Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi va Karleman funksiyasi

Yuklangan vaqt:

15.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

1515.0419921875 KB

Ko'chirib olish

Laplas tenglamasi uchun Koshi
masalasi va Karleman funksiyasi

Reja: 1. Elliptik tipdagi tenglamalar va uning
xossalari
2. Nokorrekt masalalar . Karleman
funksiyasi
3. Chegaralanmagan sohada Laplas
tenglamasi uchun Koshi masalasi

KIRISH
Masalaning qo’yilishi. Bu magistirlik dissertatsiyasida tekislikning
chegaralanmagan sohasida Laplas tenglamasi uchun Karleman funksiyasi yordamida
Koshi masalasi yechiladi hamda yechimning turg’unlik bahosi olinadi.
G sohada quyidagi Laplas tenglamasini qaraymiz.

2 2
2 2
1 2
0 U U
y y
   
 
(0 .1)
Qaralayotgan soha chegarasi G ning S qismida berilgan qiymatlariga ko‘ra
garmonik bo‘lgan ( ) ( ) U y K G   funksiyani topish talab qilinadi, ya’ni
( ) ( ) ( ), ( ) S S
U y U y f y g y
n
  

, (0.2)
bu y erda ( ) '( )f y C S  va ( ) ( ) g y C S  , berilgan funksiyalar. / n   - G ga o‘tkazilgan
tashqi normal bo‘yic ha differensial operator.
(0.1) - (0.2) – masala , Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi deyiladi.

Ma vzuning dolzarbligi . Statsionar bo’lgan, ya’ni
vaqtga bog’liq bo’lmagan fizik jarayonlarni, jumladan
issiqlikning tarqalishi, to’lqinning harakati, maydon
potensialining tortilish kuchi kabi jarayon larni tekshirish ,
asosan elliptik tipdagi tenglamalarga keltiriladi. Ya’ni
yuqoridagi qaralgan barcha tenglamalarda qatnashayotgan
noma’lum funksiya vaqt t - ga bog’liq bo’lmaydi.
Masalani yechish uchun yechimlar sinfini kompakt
to’plamgacha qisqartir ish lozim. Natijada shartli korrekt
masala hosil bo’ladi.

Tadqiqotning ob’ekti va predmeti.
Chegaralanmagan sohada berilgan Laplas
tenglamasi tadqiqotning ob y ’ekti hisoblanib
undagi Koshi masalasi yechimning oshkor
ko’rinishda ifodalanishi tadqiqotning predmeti
hisoblanadi

Tadqiqotning maqsad va vazifalari. S h artli korrekt
masalalarni y echishda regulyarizatsiyalashgan y ec himni
topishga to’g’ri keladi. Bunda cheg araning bir qismida
vektor funksiyaning qiymati beriladi. Bu qiymatdan
foydalanib chegaralanmagan sohaning ichida Laplas
tenglamasi uchun Koshi masalasini yechish
dissertatsiyaning asosiy maqsadi hisoblanadi.
Regulyarizatsiyalashgan yechimni tuzish esa, Ka rleman
funksiyasini tuzishga olib keladi.

Ilmiy yangiligi: Elliptik tenglamalar va sistemalar uchun
chegaralangan va chegaralanmagan sohalarda qo’yilgan
Koshi masalas i korrekt bo’lmagan masalalar qatoriga
kiradi. Ya’ni masala yechimining turg’unlik sharti buziladi
Kos hi masalasida, Koshi shartlari sohaning bir qismida
berilganligi sababli, chegaraning qolgan qismida
fundamental yechimlar sistemasidan foydalanilib maxsus
funksiya tuzishga to’g’ri keladi. Bunday funksiya qo ’yilgan
masala uchun Karleman funks iyasi hisoblanib, soha
chegarasining Koshi shartlari berilmagan qisimdagi
integralning qiymatini cheksiz kichikka aylantirishini
ta’minlaydi. Qaralayotgan sohalarda Karleman funksiyasini
tuzish va bu orqali yechim va unin g hosilasini
regulyariza tsiya sini t uzish, ishning yangiligi hisoblanadi.

Tadqiqotning asosiy masalalari . Maxsus
chegaralanmagan sohada Laplas tenglamasi uchun
Koshi masalasi tadqiqotning asosiy masalasi
hisoblanadi. Bunda noma’lum funksiyani ma’lum bir
shartlarni bajarganda uni aniqlash mas alasi ya’ni
Koshi masal a sining yechimini aniql ash va bu
yechimning yagonaligi va turg’unligini ko’rsatishdan
iborat.

I – BOB. Elliptik tipdagi tenglamalar va uning xossalari
1.1 -§. Laplas tenglamasi va uning fundamental yechimlari
Ma ’lumki statsio nar bo ’lmagan issiqlik maydonining temperaturasi u a ut   2
differens ial tenglamani qanoatlantiradi. Agar jarayon statsionar bo ’lsa, u h olda
) , ( у х u temperaturaning vaqtga nisbatan o ’zgarmas tarqalishi kuzatiladi, ya ’ni
0 2
2
2
2


 


y
u
x
u
Laplas tenglamasini qanoatlantiradi. Umuman olganda n o ’lchovli fazoda Laplas
tenglamasining ko ’rinishi ) ,...., , ( ) ( 2 1 nx x x u x u  funksiyaga nisbatan

 
    
n
i ix
u
1 2
2
,0 (1.1.1)
ko ’rinishga ega. Issiqlik manbai ma ’lum bo ’lgan xolda esa,

k
F f f u     , (1.1.2)
tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda F - issiqlik manbai zichligi, k - esa issiqlik
tarqalish koeffitsienti. (1.1.2) – ko ’rinishda gi tenglama Puasson tenglamasi deb
yuritiladi.

1.1.1 - Lemma . [10] .
2
0
2
0
2
0 ) ( ) ( ) (
1 1
) , , (
z z y y x x r
z y x u
    
 
f unksiya uch o ’ lchovli fazodagi
) , , ( 0 0 0 0 z y x M nuqtalardan tashqari barcha nuqtalarda
g armonik funksiyadan iboratdir. y a ’ ni

0
) /1( ) /1( ) /1(
) /1( 2
2
2
2
2
2









 
z
r
y
r
x
r
r
Shu sababli
r z y x u / 1 ) , , (  funksiyaga uch o ’lchovli fazoda Laplas tenglamasining
fundamental yechimi deyiladi.

1.2 -§. Garmonik funksiyalarning xossalari
Xossa -1.2.1 .[10]. Agar ) (M u u  va ) (M v v  funksiyalar S T  yopiq sohada
o ’zining birinchi tartibli hosilasi bilan birga uzluksiz, hamda T sohaning ichida
garmonik funksiyadan iborat bo ’lsa, u holda quyidagi tengliklar o ’rinlidirlar.
  





S S
d
n
v
d
n
u
0 ;0  
Xossa – 1. 2 .2 .[10]. Agar   M u u  funksiya T S  yopiq sohada o ’zining birinchi
tartibli hosilasi bilan uzluksiz hamda T sohada garmonik funksiyadan iborat bo ’lsa
va 0 0 0 0 ( , , ) M x y z  T sohadagi ixtiyoriy nuqtadan iborat bo ’lsa, u holda garmonik
funksiya u ning 0 M nuqtadagi qiymati quyidagi formula yordamida aniqlanadi:
2 0 4
) (
) (
R
d p u
M u RS

 

Bunga garmonik funksiya uchun o ’rta qiymat haqidagi Gauss formulasi deb
yuritiladi.

II BOB. KORREKT VA NOKORREKT MASALALAR TARIXI .
§ 2. 1. Korrekt va nokorrekt m asalalar tarixi. Adamar misoli.
Elliptik tipdagi tenglamalar nazariyasida chegaraviy masalalarni o‘rganish
mu him rol o‘ynaydi. Dirixle masalasi, Neyman masalasi va aralash chegaraviy
masalalarni yechishda o‘rganayotgan masala qaralayotgan sohaning butun
chegarasiga chegaraviy shartlar beriladi. Bu chegaraviy masalalar korrekt masala
hisoblanadi.
2.1.1 -ta’rif . M atematik fizika masalasi korekt qo‘yilgan masala deb aytiladi,
agar quyidagi shartlar bajarilsa: 1) masala yechimi mavjud,
2) masala yechimi yagona, 3) masala yechimi turg‘un, ya’ni berilganlaring kichik
o‘zgarishiga, yechimning kichik o‘ zgarishi mos kelsa.
2.1.2 -ta’rif. Agar 2.1.1 - ta’rifning hech bo‘lmasa bitta sharti bajarilmasa, u
holda qo‘yilgan masala nokorrekt masala deb aytiladi .

Laplas tenglamasi uchun Adamar misolini keltiramiz:
2 .1. 1 - misol. 2 2
1 2 { 1} Q x x    doirada Laplas tenglamasi uchun Koshi
masalasini qaraymiz, ya’ni:

2 2 1 1
2
2 2
1 2 0 ,0 1
1 2 0 ,1
( , ) exp( ) exp( )
( , ) 0
x x x x
x n
x x n
u u
u x x u n inx
u x x u



  
 

Bu erda n - natural son ( 2 0 x  , 2 2 1 1x x x xu u  tenglamaning xarakteristikasi emas ).
Tekshirib ko‘rish mumkinki, bu masalaning yechimi (analitik funks iyalar sinfida
yagona bo‘lib), quyidagi ko‘rinishg a ega:
1 2 2 1 ( , ) ( ) exp( ) exp( ) n u x x u x n chnx inx    .
Haqiqatan ham, 2 0 x  to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan Q doiradan olingan ixtiyoriy
1 2 ( , ) x x x  nuqta uchun n   da boshlang‘ich shartlar ,0 1 ,0 1 ( ) 0 ( ( ) ) n
n nu x u x e   
hattoki ixtiyoriy 1 k  uchun n   da ,0 1
1
( )
0
k
n
k
u x
x



, bo‘lishiga qaramasdan,
n   da yechimning ( )nu x   ekanligi kelib chiqadi.

ya’ni:
2 2
1
2 2 2 2 2
2 2 2
1 2 2 1
( 1)
2 2 2
( , ) ( ) exp( ) exp( )
2
(1 ) (1 ) (1 ).
2 2 2 2
nx nx
inx n
n
nx nx nx nx n n n x n
nx nx nx n
e e
u x x u x n chnx inx e e
e e e e e e
e e e e

 
   
   
  
      
 
  
        
 

2 2 (1 ) nx e  - ifoda chegaralanganligi uchun quyidagi baho o‘rinli
2 ( 1)
( )
2
n n x
n
e
u x O
  
   
 
.
S h unday qilib, n   da ( )n u x   . Bu yerda turg‘unlik sharti buziladi.
Nokorrekt m asalalar yo‘nalishi bo‘yi cha birinchi natija 1926 yilda maxsus
ko‘rinishdagi sohada T. Karleman [1] tomonidan olingan.

2.1.3 - ta’rif. [5]. Ikki kompleks o‘zgaruvchi va bitta skalyar argumentga bog‘liq
bo‘lgan ( , , ) G z   funksiya
 sohada E to‘plamning Karleman funksiyasi deb
aytiladi, agar
1. 1
( , , ) ( , , )G z G z
z
   
 
 ,
z  da
Bu erda
( , , ) G z   - funksiya quyidagi xossalarga ega:
a)  sohada
 bo‘yicha analitik funksiya;
b )
 - da chegaralangan va bo‘lakli uzluksiz;
v ) barcha
   lar uchun z bo‘yicha
 da uzluksiz;
2.
1
( , , )
2 E
G z d    
 
  , z  da.
Agar Karlem an funksiyasi mavjud bo‘lsa, u holda quyidagi formula o‘rinli:

0
1
( ) lim ( , , ) ( ) ,
2 E
f z G z f d z
i 
   
 
    (2.1.4)

$2.1.4 - ta’rif . [6]. y x  qiymatlarga aniqlangan va 0   parametrga bog‘liq bo‘lgan ( , )x y   funksiya  sohaning \S  , x   qismi uchun Karleman funksiyasi deb aytiladi, agar bu funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsa: 1. ( , )x y   funksiya quyidagi ko‘rinishda ifodalan adi: ( , ) ( ) ( , )x y F r G x y      bu erda 1 1 ( ) ln 2 F r r   , ( , ) G x y  - y o‘zgaruvchi bo‘yicha 2 R da garmonik funksiya, (hatto y x  da ham). 2. x   da ( , )x y   funksiya \ ( , ) ( , ) ( ) y S x y x y dS n                  tengsizlikni qanoatlantiradi. Bu erda n  - soha chegarasi  ga o‘tkazilgan tashqi birlik normal, ( )   - musbat funksiya bo‘lib,    da ( ) 0    .$

§2. 2. Karleman funksiyasining konstruksiyasi.
Aytaylik 0   bo‘lsin. ( , )x y   funksiyani 0   bo ‘lganda quyidagi tenglik
orqali aniqlaymiz.
2 2
2 2 2 2 0
exp( ) 2 exp( ) ( , ) Im w udu x x y
w x u

  

  
        
 , 2 2
2 w i u y     (2.2.1)
Teorema 2.2.1 .[8]. (2.2.1) tenglik orqali aniqlangan ( , )x y   funksiya 0  
bo‘lganda quyidagi ko‘rin ishda tasvirlanadi:
( , ) ( ) ( , )x y F r G x y      (2.2.2)
bu erda 1 1 ( ) ln
2
F r
r 
 , ( , ) G x y  - funksiya y bo‘yicha 2 R da garmonik funksiya.
Teorema 2.2.1 dan ( , )x y   funksiya ixtiyoriy 0   uchun y bo‘yicha
Laplas tenglamasining fundamental y echimi ekanligi kelib chiqadi. Sh uning uchun
2 1
1 2 ( ) ( , ) ( ) ( ) U y U y y C G C G    funksiya va ixtiyoriy x G  uchun quyidagi Grin
integral formulasi o‘rinli bo‘ladi:

( , ) ( ) ( , ) ( ) y
G
x y U U x x y U y dS
n n
 

             (2.2 .3)

III BOB. LAPLAS TENGLAMASI UCHUN CHEGARALANMAGAN
SOHADA KOSHI MASALASI YECHIMINING REGULYARI ZASIYASI VA
TURG’UNLIK BAHOSI
§ 3. 1. Laplas teng lamasi uchun chegaralanmagan sohada Koshi masalasi
yechimining regulyariza tsiyasi
Teorema 3.1.1. Aytaylik ( ) ( ) U y K G   funksiya soha chegarasi G - ning S
qismida (3.2.2) boshlang‘ich shartlarn i qanoatlantirib, soha chegarasi G - ning T
qismida (3.1.8) tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda barcha x G  va 0   uchun

22
2 2 ( ) ( ) ( , ) x U x U x x Me 
      , (3.1.10)
baho o‘rinli bo‘ladi. Bu erda M - berilgan musbat son va
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
3 ( 3 ) (6 3) 3 3 3
( , )
8 8 (3 ) 4 (3 ) (3 ) 4
h x h h x h h h
x
x h x x h x x h x x
     
 
    
 
    
  
.

Natija 3.1.1. Har bir x G  uchun
lim ( ) ( ) U x U x   
 ,
tengliklar o‘rinli bo‘ladi.
G  orqali
  1 2 2 1 ( , ) , , max ( ), 0 ,
T
G x x G h x h F x h          
to‘plamni belgilaymiz. Ko‘rish mumkinki, G G   to‘plam kompakt to‘plamdir.
Natija 3.1.2. Agar х G   bo‘lsa, u holda   ( ) U x  funksiyalar oilasi    da
tekis yaqinlashadi, ya’ni
( ) U x  ( ) U x .

§ 3. 2. Laplas tenglamasi uchun chegaralanm agan sohada Koshi masalasi
yechimi hosilasining regulyariza tsiyasi

Teorema 3.2.1. Aytaylik ( ) ( ) U y K G   funksiya soha chegrasining S qismida
(3.1.2) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirib, soha chegarasining T qismida (3.1.8)
tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda barcha x G  va 0  
22
2
( ) ( )
( , ) , 1, 2 x
i
i i
U x U x
x Me i
х х
      
  
 
, (3.2.1)

baho o‘rinli bo‘ladi. Bu erda M - berilgan musbat son va
2 2 2
2 2 3
2 2 2 2 2
2
2
2 3 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 4
2
2 2 2
1
3 9 9 9 9
2 4(3 ) 2 (3 ) 4 (3 ) 4 (3 )
3 9 12 21 6 3
2(3 ) 2 (3 ) 2 (3 ) (3 )
3 9 9 27
(3 ) 2 (3 )
( , )
h h h h h
h x h x x h x h x
hx h h h h h
h x x h x x h x x h x
hx h h h
h x x h x
х
x
    
  
     
  
  
 

 
   
   
 
    
   

  
 

  

22
2
2
2 2 2
9 9
3 ,
2 2
x h h
h e
x x
  


 
   


2 2
2
3
2 2 2 2 2 2
2 2
4
2 2 2 2 2 2
2
2 3 2
2
2
2 2 2
2
3 3 6 9 27
2(3 ) (3 ) (3 ) 4 (3 ) 4 (3 )
15 24 6 6 6
4(3 ) (3 ) (3 ) (3 )
3 3 3 9
2 (3 ) 2 (3 ) (3 )
( , )
hx h h h h
h x h x h x h x x h x
h hx hx h h
h x x h x x h x h x
hx h h h
x h
х
x h x h x
    
    
    
  
   
 
  
   
    

    
   
  









22
2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
3
(3 )
3 3 9 9 9 9
3 .
4 2 2 (3 ) (3 )
x
h
x h x
h h x h h h h
h e
x h x x h x



        

  

 

  
        

N atija 3.2.1 . Har bir x G  uchun

( ) ( )
lim , 1, 2
i i
U x U x
i
х х

 
 
 
 

tengliklar o‘rinli bo‘ladi.
N atija 3.2.2 . Agar х G   bo‘lsa, u holda
( )
i
U x
х
   
 
  
funksiyalar oilasi    da
tekis yaqinlashadi, ya’ni
( )
i
U x
х
 


( )
, 1, 2
i
U x
i
х



.

XULOSA
Magistrlik dissertatsiyada Laplas tenglamasi uchun chegaralanmagan sohada
Koshi masalasi y echimining regulyarizatsiyasi qaralgan.
Birinchi bob 4 - ta paragrafdan iborat bo‘lib, bu bobda asosan elliptik tipdagi
tenglamalar haqida ma’lumotlar, garmonik funksiyalar va ularning xossalari, Grin
formulalari, hamda elliptik tipli tenglamalar uchun qo‘yilgan korrekt masalalar
keltririlgan.
Ikkinchi bob magistrlik dissertatsiyaning boshlang‘ich qismi hisoblanib, bu
bobda korrekt va nokorrekt masalalar tarixi keltirilgan.
Bu bobning birinchi paragrafida Laplas tenglamasi va elliptik tipdagi
tenglamalar uchun qo‘yilgan Koshi masalasining nokorr ek tligini ko‘rsatish uchun
Adamar misoli keltirilgan.

Ikkinchi bobning ikkinchi paragrafida esa Karleman lemmasi, hamda
Karleman funksiyasini tuzish konstruksiyasi keltirilgan bo‘lib, bu paragrafda Sh.
Yarmuxamedov tomonidan tuzilgan Karleman funksiyasi o‘ rganilgan va bu funksiya
Laplas tenglamasini qanoatlantirishi ko‘rsatilgan.
Uchinchi bob magistrlik dissertatsiyaning asosiy qismi hisoblanib ,
chegaralanmagan sohada Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi deb nomlanadi va
ikki paragrafdan iborat .
Birinch i paragrafda chegaralanmagan sohada Laplas tenglamasi uchun
qo‘yilgan Koshi masalasi yechimining regulyarizatsiyasi keltirilgan .
Ikkinchi paragrafda esa chegaralanmagan sohada Laplas tenglamasi uchun
qo‘yilgan Koshi masalasi yechimi hosilasining regulyariz atsiyasi qurilgan. Bu amaliy
va tadbiqiy masalalarga katta ahamiyat kasb etadi.

C hiqargan maqola va tesslarim
1. Турсунов Ф.Р ., Махмудов Ш. Т. З адача К оши для уравнения Л апласа .
Тези сы международной научно -практической конференции «Актуальные
задачи математического моделирования и информационных технологий»
Том № 1, Нукус, май 2 -3, 2023.,ст. 302 -305.
2. Шодиев Д.С., Хайруллаев М. С., Махмудов Ш, Т . Задачи К оши для
бигармонического уравнения. задачи коши для линейных эллиптических
систем первого порядка с постоянными коэффициентами. Материалы
международную научную конференцию "Актуальные проблемы
математики и образования", посвящен ную 80 -летию д.ф. -м.н.,
профессора, член -корреспондента НАН КР, почетного академика НАН
КР Келдибая Алымкулова . 12 май 2023 йил, Ош. Киргизстан .

1. Турсунов Ф.Р. 1, Уразбаева Н.К. 2, Махмудов Ш.Т. 3 П родолжение решение
уравнения Л апласа . Материалы IX Международ ной научно -
практической конференции « Системы управления, сложные системы:
моделирование, устойчивость, стабилизация, интеллектуальные
технологии » ( CSMSSIT -2023), 24 -25 апреля 2023 г. Россия , Г. Елец.
2. Шодиев Д.С., Хайруллаев М. , Махмудов Ш. О задаче Коши для
бигармониского уравнения. Илмий ахборотнома, № 1 (137/1) 2023,ст.
52 -57.
3. Шодиев Д.Ш. 1, Хайруллаев М. С. 2, Махмудов Ш.Т. 3 П родолжение
решение бигармоническ ых уравнений. Материалы IX Международной
научно -практической конференции « Системы управления, сл ожные
системы: моделирование, устойчивость, стабилизация,
интеллектуальные технологии » ( CSMSSIT -2023), 24 -25 апреля 2023 г.
Россия , Г. Елец.
FOYDALANILGAN INTERNET SAYTLARI RO ’YHATI
1. www .Ziyonet .uz
2. http :// WWW . Math -net .ru
3. http// lib,mexmat.ru
4. www.allmath.ru/highermath/

Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi va Karleman funksiyasi

Reja: 1. Elliptik tipdagi tenglamalar va uning xossalari 2. Nokorrekt masalalar . Karleman funksiyasi 3. Chegaralanmagan sohada Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi

KIRISH Masalaning qo’yilishi. Bu magistirlik dissertatsiyasida tekislikning chegaralanmagan sohasida Laplas tenglamasi uchun Karleman funksiyasi yordamida Koshi masalasi yechiladi hamda yechimning turg’unlik bahosi olinadi. G sohada quyidagi Laplas tenglamasini qaraymiz. 2 2 2 2 1 2 0 U U y y       (0 .1) Qaralayotgan soha chegarasi G ning S qismida berilgan qiymatlariga ko‘ra garmonik bo‘lgan ( ) ( ) U y K G   funksiyani topish talab qilinadi, ya’ni ( ) ( ) ( ), ( ) S S U y U y f y g y n     , (0.2) bu y erda ( ) '( )f y C S  va ( ) ( ) g y C S  , berilgan funksiyalar. / n   - G ga o‘tkazilgan tashqi normal bo‘yic ha differensial operator. (0.1) - (0.2) – masala , Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi deyiladi.

Ma vzuning dolzarbligi . Statsionar bo’lgan, ya’ni vaqtga bog’liq bo’lmagan fizik jarayonlarni, jumladan issiqlikning tarqalishi, to’lqinning harakati, maydon potensialining tortilish kuchi kabi jarayon larni tekshirish , asosan elliptik tipdagi tenglamalarga keltiriladi. Ya’ni yuqoridagi qaralgan barcha tenglamalarda qatnashayotgan noma’lum funksiya vaqt t - ga bog’liq bo’lmaydi. Masalani yechish uchun yechimlar sinfini kompakt to’plamgacha qisqartir ish lozim. Natijada shartli korrekt masala hosil bo’ladi.

Tadqiqotning ob’ekti va predmeti. Chegaralanmagan sohada berilgan Laplas tenglamasi tadqiqotning ob y ’ekti hisoblanib undagi Koshi masalasi yechimning oshkor ko’rinishda ifodalanishi tadqiqotning predmeti hisoblanadi

O'xshashlar

Mixaelis tenglamasi va uning modifikasiyalangan shakllari

Koshi tipidagi integrallarning ba'zi bir xossalari

Hozirgi kunda axborotlashtirish va telekomunikatsiya masalasi

Sart atamasi taxlili masalasi

Jadid dramaturgiyasini davrlashtirish masalasi