Bog'liqsiz tajribalar-ketma ketligi. Bernulli fo'rmulasi

Загружено в:

12.08.2023

Скачано:

0

Размер:

40.87109375 KB

Скачать

Mavzu: Bog'liqsiz tajribalar-ketma
ketligi. Bernulli fo'rmulasi.
Reja
1. Bernulli s х emasi , bernulli formulasi.
2. Ehtimollikdan chetlashishi ehtimoli.
3 . Bog'liqsiz tajribalar-ketma ketligi .

Bernulli s х emasi . Bernulli formulasi .
Aytaylik , biror A hodisaning ketma - ket o ' tkazilayotgan bog ' liqsiz
tajribalar ( sinovlar ) ning har . birida ro ' y berishi ham bermasligi
ham mumkin bo ' lsin . Har bir tajribada A hodisaning ro'y berish
ehtimoli r ga teng va bu ehtimollik tajriba nomeriga bog'liq bo'lmagan
o'zgarmas soni. Tabiiyki. har bir tajriba uchun A hodisaning lO'y
bermaslik ehtimoli q=l-p ga teng bo'ladi. Yuqoridagi shartlarni
qanoatlantiruvchi tajribalar ketma-ketligiga Bernulli sxemasi deyiladi.
Bernulli sxemasi ikkita parametr: n tajribalar soni va p - har bir
tajribada A hodisaning ro'y berish ehtimoli bilan aniqlanadi. BernulIi
sxemasida, ya'ni n ta o'zaro bog'liqsiz tajribalar ketma-ketligida
A hodisaning m (m.'5:.n) marta ro'y berish ehtimoli P/m) quyidagi
Bernulli formulasi orqali ifodalanadi:
L- I P,,11/= ( ) e"' lI'p'q '/I /1-/1, ,
bunda p= I -q.
n ta tajriba o'tkazilganida hodisaning ro'y berishlar soni m l va
m/m/<m) sonlari orasida bo'lish ehtimoli quyidagi form.ulalardan
topiladi:
III ,
P,,(lIlj "/l1 _' ) = p,,(m j ::::: k ::::: 111 ~ ) = '[.1',,(k)
k=lIl!
n ta tajriba o'kazilganida hodisaning ko'pi bilan m marta ro'y
berish ehtimoli quyidagicha:
nl 11
P" (0: m) = I P" (k) yoki P" (0; /11) = J - I P" (k).
k~lII+j
n ta tajriba o'tkazilganida hodisaning kamida m marta ro'y berish
ehtimoli quyidagicha:
II 111-1
P" (m: n) = I P" (k) )'oki p,,(m. n) = J - L P,,rk).
!.::=;;f/J k~1!
n ta tajriba o'tkazilga41ida hodisaning hech bo'lmaganda bir marta
ro'y berish ehtimoli quyidagi formuladan topiladi:
~,(i:n)=i-qJ1·
lB EXCEL. dasturining standart funksiyalari [!J.
Statistik funksiyalar. Bernulli sxemasida A hoaisaning n tajribaning m tasida

ro'y berish ehtimoli P/m) va hodisaning ko'pi
bilan m marta ro'y berish ehtimoli P (O;m)larni maxsus
BINOMRASP(SON_S;TAJRIBALAR; S_EHTIMOLLIK;
INTEGRAL) nomli funksiya hisoblaydi. Bunda SON_S ro'y berishlar soni
(ya'ni m); TAJRIBALAR- barcha tajribalar soni
(ya'ni n); S_EHTIMOLLIK - har bir tajriba uchun hodisaning
ro'y berish ehtimoli (ya'ni p); INTEGRAL - ushbu parametrga
ROST (lSTINA-TRUE) qiymat berilsa P (m) ehtimollik hisoblanadi;
parametrga YOLG'ON (LOJ-FALSE) qiymat berilsa Pn(O;m)
ehtimollik hisoblanadi;
n ta tajriba o'tkazilganida hodisaning hech bo'lmaganda bir marta
ro'y berish ehtimolini hisoblash uchun maxsus funksiyaga murojaat
quyidagicha:
1 - BINOMRASP(n;O;p;ROST)
n ta tajriba o'tkazilganida hodisaning ro'y berishlar soni m, va m 2
orasida bo'lish ehtimoli Pn(m,;m)ni hisoblash uchun maxslIs
funksiyaga murojaat quyidagicha:
BINOMRASP(n;m2;p;ROST)-BINOMRASP(n;m,;p;ROST)
E s 1 a t m a : maxsus fllnksiyaga mllrojaat qilganda qllyidagi
parametriar SON_S;TAJRIBALAR; S_EHTIMOLLIK - miqdoriy qiymatiar
yoki 1Iiar joylashgan yacheykalarning adresi
bo'lishi kerak.
P dan kichik bo'lmagan ehtimollik bilan hodisa hech bo'lmaganda
bir marta ro'y berishi lIchlin o'tkazish kerak bo'Jgan tajribalar soni n:
In(l- P)
n'2.--~
In(/ - p)
tengsizlikdan aniqlanadi
(ya'ni P,,(I;I1)=I-q"'2.P
yoki
(1 - p)" ::; 1 - P , tengsizl ikn i logarifmla
sak: n7n(i-p):s;ln(i-P) bo'ladi). Ilovaning N:~lO jadvalida
y = In( x) fllnksiyaning qiymatlari keltirilgan.
Bernulli sxemasida hodisaning ro'y berishlar soni m ning eng
ehtimolliroq qiymati /..l quyidagicha hisoblanadi:
49
1. Agar (n+ l)p ko'paytmaning qiymati kasr bo'lsa. m kasrning
butun qismiga teng: J.i = [(n + 1)p].
2. Agar (n+l)p ko'paytmaning qiymati butun bo'lsa. ro'y berishlar soni m ning
eng ehtimolliroq qiymati ikkita bo'ladi:

J.il =(n+l)p-1 60 J.i7 =(I1+l)p'
Puasson formulasi
Bernulli sxemasida n ning qiymati yetarlicha katta. r ning qiymati esa kichkina
bo'lgan hollarda (odatda r<O.I; npq:::; 9) hoc1isaning t marta ro'y berish
ehtimoli R/m)ni hisoblashda Bernulli formulasi o'rniga Puasson formulasidan
foydalaniladi:
/, 11/1 e -I
p',
(I71);:::
--,
111! }, =
np·
Puasson formulasiga asosan n ta tajriba o'tkazilganida hodisaning
ro'y berishlar soni 1711 va 1712 (111 I < 111 1) orasida bo'lish ehtimoli
quyidagicha hisoblanadi:
1110 • ,
P,,(I1lI:l11~)~e-1 r I".,
k=m, h".
AIII ~i
P(lId) = _,_C_ funksiyasining qiymatlari jadvallashtirilgan va
111.'
Ilovadagi 2-jadvalda keltiriIgan.
lEI EXCEL dasturining standart funksiyalari [J.
Statistik funksiyalar. Bernulli sxemasida A hodisaning n tajribaning m tasida
ro'y berish ehtimoli P (m) va hodisaning ko'pi
bilan m marta ro'y berish ehtimoli P (O;m) larni Puasson formulasi bo'yicha
maxsus n
PUASSON(X;O'RTACHASI;INTEGRAL)
nomli funksiya hisoblaydi. Bunda X - ro'y berishlar soni (ya'ni m);
0' RTACHASI - har bir tajriba uchun hodisaning ro'y berish
ehtimoli p va umumiy tajribalar soni n ning ko'paytmasi. (ya 'ni
).=n·p); INTEGRAL - parametr ROST (lSTINA-TRUE)
qiymat qabul qilsa P (m) ehtimollik hisoblanadi; parametr
YOLG'ON (LOJ-FALSE) qiymat qabul qilsa PiO; m) ehtimollik hisoblanadi;
E s I a t m a : maxsus funksiyaga murojaat qilganda quyidctgi
parametrIar X;O'RTACHASI - miqdoriy qiymatlar yoki ular
joylashgan yacheykalarning adresi bo'lishi kerak.
Namunaviy masalalar yechish
I-masala. Ma'lum bir korxona mahsulotlarining S%i sifatsiz.

$Tasodifan olingan S ta mahsulot ichida ikkitasining sifatsiz bo'lish ehtimolini toping. Yechish: Tasodifan olingan mahsulotning sifatsiz bo'lish ehtimolligi p = O.OS. U holda Bernulli formulasiga asosan P,(})= .. ~(O.05/(O.95/·~ =~(0.OS)2(0.95)} =0.02· .. 2.'3' Javob: 0,02 . .:m Maxsus funksiyaga murojat: BINOMRASP(2; 5; 0.05; YOLG'ON). 2-masala. Ikkita teng kuchli raqib shaxmat o'ynamoqda. To'rt partiyadan kamida ikkitasini yutish ehtimoli kattami yoki besh partiyadan kamida uchtasini yutish ehtimolimi? Yechish: . Raqiblar tcng kuchli bo'lgani uchun yutish ehtimoli p=0,5. To'rt partiyadan kamida ikkitasini yutish ehtimolligi quyidagicha topiJadi: P4(2) + P4(3) + P4(4) = 1- P4(0) - P4(1) = I - C11(tr-C1(tr :~. 1 m Maxsus funksiyaga murojaat: I-BINOMRASP(1;4;0.5;ROST) Bcsh partiyadan kamida uchtasini yutish ehtimoli ( P~(3)+P,(4)+Pd5)=C{ -I )5 +C~(-I )5 +C)- _(I ):i . .. 2 - 2 . 2 I I-BINOMRASP(2;5;0.5;ROST) :lB Maxsus funksiyaga murojaat: 8 16 11/16>).;/16. ya'ni to'rt partiyadan kamida ikkitasini yutish ehtimoli katlaroq ekan. 3-masala. Mahsulot btta partiyasining I %i sifatsiz. Hech bo'lmaganda bitta sifatsiz mahsulot lIchratish ehtimoli 0.95 dan kichik bo'lmasligi lIchun tasodifiy tanlanma hajmi qancha bo'lishi kemk? 11/( J - p) Yechish: Ma'lumki. n:::: 1---(--]-' -. Shartga ko'ra P=0,95, p=O,OI. 17 -jJ) 51 InO,OS Demak, 11;::: -- :::: 296. Ya'ni. tanlanma hajmi kamida 296 bo'lgan !nO ,99$

taqdirda tekshiruv davomida kamida bitta sifatsiz mahsulot uchrashi
ehtimoli 0,95dan kam bo'lmaydi.
Javob: n=296.
4-masala. Ulgurji v.,ibor (baza) 10 ta do'konni L··minlaydi.
do'konlarning har biridan kelgusi kunga (qolganlariga bog'Jiq
bo'lmagan holda) bUYl'rtma tushish ehtimoli 0,4 ga tel' g. Ehtimoli
eng katta bo'lgan bir kunlik buyurtmalar sonini va ~ 1m sondagi
buyurtmalarni olish ehtimolini toping.
Yechish: Shartga ko'ra n=lO, p=O,4. (n + 1) p=4,4. Ehtimoli eng
katta bo'lgan buyurtmalar soni 4,4 ning butun qismiga teng:
J.1=[(n+ 1)p] =4.
U holda Bernulli formulasiga asosan to'rtta buyurtma olish ehtimoli P
lo (4) = C;o ·0,44 .0.6 6 = 0,251 bo'ladi.
I BINOMRASP(4;10;O.O,4;YOLG'ON). lB Maxsus funksiyaga murojaat:
Javob: jl=4, ~o(4) = 0,251.
5-masala. Darslik 100 000 nusxada chop etilgan. Chop etilgan
darslikning sifatsiz tikilgan ekanligining ehtimoli 0,0001 ga teng.
Tirajning ichida sifatsiz tikilgan kitoblar soni roppa-rosa 5 ta bo'lish
ehtimolini toping.
Yechish: Bu holda n=IOO 000, p=O,OOOI, m=5. n katta. p
ehtimollik esa kichkina bo'lgani uchun Puasson formulasidan foydalanamiz:
A l7le- l
P (mJ:::: ---
II In!
). ni hisoblaymiz: A = 11' P =
100000·0,0001 = 10. U holda
10'e- lo
PIOOOO()(5) :::: 10 5
·0,000045 -,_
=
0.0,))75.
=
5!
.ifB Maxs funksiyaga
murojaat: l
120
PUASSON(5;10;YOJ.G'ON). _
Javob: p[()()ooJ5) ~ 0,0375.

Mustahkamlash uchun masalalar
I. Qurilish kompaniyasida o'tkazilgan auditorlik tekshiruvi paytida
auditor tasodifiy ravishda 5 ta hisob varaqasini tanlaydi. Agar hisob
varaqalarining 3%i da xatolarga yo'l qo'yilgan ho'lsa, auditorning
a) faqat bitta hisob varaqasida xato topishi;
b) hech bo'lmaganda bitta hisob varaqasida xato topishi ehtimolini toping.
Javob: 0) 0,1328; b) 0,1413.
2. Fakultetdagi talabalarning o'rtach,' 10%i «Ehtimollar nazariyasi va
l.1atematik statistika» fani bo'yicha imtihonda qoniqarsiz haho
olar ekan. Aytaylik, gurllhda 20 ta talaba bor.
a) ikkita talabaning imtihon topshira olmaslik ehtimoli qancha?
b) to'rtta talabaning imtizhon topshira olmaslik ehtimoli qancha?
d) kamida uchta talabaning imtihon topshira olmaslik ehtimolligi
qancha?
e) imtihon topshira oll11aydigan talabalarning kutilayotgan
o'rtacha soni qancha?
Javob: a) 0,270; b) 0,0898; d) 0,3231; e)2
3. Avtomat dastgoh to'g'ri sozlangan bo'lsa, ishlab chiqarilayotgan detallarning
faqat I %i nosoz bo'ladi. Avtomat to'g'ri sozlangan
bo'lsin.
a) ishlab chiqarilgan mahsulotning btta partiY,lsidan tasodifiy
ravishda ikkitasi t<lIll,lb olindi. Ulardan blttasining nmo/: ho'lish
ehtil110li qancha?
b) Ishlab chiqarilgan mahsulotning btta pmiiyasidan tasodifiy
ravisll,~a beshtasi tanlab olindi. Ularning hammasi sifatli bo'lIsh
ehtimolI qancha?
d) bir kunlik ish lab chiqarilgan detallar soni 200 ta bo·ldi.
Nosoz detallarning kutilayotgan o'rtach"a soni qancha?
Javoh: 0) 0,0198; h) 0,9510; d) 2.
4. Savdo agenti bir kllnda o'rta hisobda 8 ta doil11iy xaridorlar
hilan l11uloqotda bo'ladi. U tajribasidan doimiy xaridorning xarid
qIlish ehtimoli 0,1 gil teng ekanini biladi.
a) bir klln davomida :2 kishining xarid qilish ehtimoli nechaga teng?
b) bir klln davomida hech bo'lmaganda 2 kishining xarid qilish
ehtimoli nechaga teng?
d) klln davomida hech kimning xarid qilmaslik ehtimoli nechaga teng?
e) bir kun davomida kutiladigan xaridlarning o'rtacha soni nechaga
teng?
Javoh: a) 0,1488; h) 0,1869; d) 0,43; e)4.

5. Firmada 500 Kishi ishlaydi. I-yanvarning bir vaqtda k ta xiz-
!natchining tug'i1gan kuni bo'lish ehtimoli nechaga teng? Bu ehtimollikni
k=O, I, 2, 3 qiymatlarda hisoblang.
1avoh: 0,2541; 0,3481; 0,2385; 0,108.
6. Tanga 6 marta tashlanadi.
a) Tanga «gerb» tomoni bilan ikki martadan kam tushishi;
b) «gerb» tomoni l'am ida ikki marta tushishi ehtin1 ')lini toping.
1avob: a) 7/64; b) 57/64.
7 Ko'chada birinchi dllch kelgan avtomashinaning nomerida
a) 5 raqami lIclFamaslik ehtimolini;
b) ikkita va undan ortiq 5 raqami lIchramaslik ehtimolini;
d) aynan ikkita 5 raqami uchramaslik ehtimolini toping.
1avob: a) 0,656; b) 0,948; d) 0,951;
8. Sexda 6 ta motor ishlaydi. Ularning har biri lIchun ayni paytda
ishlayotganligi ehtimoli 0,8 ga tengbo'lsa, ayl11 paytda
a) 4 ta motor ishlayotganligi;
b) hamma motor o'chirilganligi;
d) hamma motor ishlayotganligi ehtimolIarini toping.
1avoh: a) P(6;4)=O,:2..J.6; h) P(6;0)=0,000064; d) P(6;6)=O.:26;
9. Agar har bir sinovd,l A hodlsaning ro'y berish chtimoli 0,3
ga teng bo'lsa, ullIng ') ta o'zaro bog'liq bo'imagan slnovning k<lmida
:2 t<lsida ro'y berish ehtlmoll11i toping.
1avoh: fJ = 0,472
10. Tcng kuehll raqihdan to'rt partiY,ldan Ucht<lsini yutish chtimoli kattami
yoki s,lkkiztadan beshtasinimi? Durang natij,l hisobg,l
olinmaydi
1avoh: P(4;3)= 1/4; P(8;5)=7/3=
II. Teng kuchli raqibdan to'rt partiyadan kamida uchtasini yu·
tish ehtimoli kattami yoki sakkiztadan kamida beshtasinimi? Durang
natija hisobga olinmaydl.
1avob: PI(4;3)=5/16, PI(8;5)= 93/256.
12. Tasodifiy sonlar jadvalidan nechta son olll1ganida ularning
orasida 7 bilan tugay(l!gan uchta son uchmshi ehtimoli eng katt,l
bo'ladi 0
lavoh: n=29.
13. Bir otishda nishon markaZlga tekkizish ehtimoli p=O,2. Nlshon markaziga
0,9 dan kichik bo'lm<lgan ehtimolIik bllan hech
bo'imaganda hir marta tekkizish uchlln necha marta 0'7aro bog'liq

$bo'lmagan holda nishcnga qarata o'q otlsh kerak') l(.,'oh: 11 ~}(). 14. Avtomat bir siklda 10 dctal tayyorlaydi. Bu detallar har birining sifatsiz bo'lish ehtimoli 0,01 ga teng. Nechta slkldan so'ng hech bo'lmaganda bitta sifatsiz detal chiqarish ehtimoli 0,8 dan kichik bo'lmaydi? lavob: I1~J6. 15. Basketbolchi uchun to'pni savatga tushirish ehtimoli 0,4 ga teng. To'p savat tomon 10 marta tash]z,.ldi Savatga tushirishlarning eng ehtimolliroq sonini va unga mos ehtlmollikni toping. lavob: )/=4. PIli (4) = 0,251. 16. Agar har bir o'lchashda musbat xatolikka yo'l qO'yish ehtimoli 2/3, manfiy xatolikka yo'l qo'yish ehtimoli esa 1/3 bo'lsa, to'rt o'lchashda musbat va manfiy xatoliklar lIchun ehtimoli eng katta sonlarni va ularga mos ehtimolliklarni toping. lavob: )/+=3, ,l1=1. p=32/81. 17. Agar har bir sinovda hodisaning ro'y berish ehtl1l1oli 0,8 ga teng bo'lsa, hodisa ro'y berishlar sonining ehtimoli eng bttasi 20 ga 1I:ng bo'lishi uchun nechta o'zaro bog'liq bo'lmag<lIl sinov o'tkazish ko'rak bo'ladi? lavob: 24 yoki 25 tao 18. Suv osti kemasi t ta bo'limli kreyserga qarah ketma-ket p ta torpeda otib hujum qildi. Har bir torpeda uchlln uning kClll<lga tegish ehtimoli r ga tcng. Torpeda kemaga tekkanida l/m ehtimol1ik bilan uning t ta bo'limlaridan biri shikastlanadi. Agar kemani cho'ktirish uchun uning kamida ikkita bo'limiga shikast keltirish zarur bo'lsa, kemaning cho'kish ehtimolini toping. lavob: A ={kema cho'kdi}; gi poteza H, = {kemaga k ta torpeda tegdi}; k = OJ .... 11. P( H, ) = C,~ p'q"-k , P( A / H Il ) = P( A / HI ) = 0; P( A / HI, ) = 1- Ill· (1/111/ P( A) = f C,;'pl'ql1-I.(I_ +.). I,_c~ III k~1 19. Fabrikada to'quvchi 1000 ta i p to'pim nazoral qiladi. Bir daqiqa davomida I ta to'pda i pning uzilish ehtimoli 0,004. Bir daqiqa davomlda 5 tn to'pda ipning uzilish chtimolini toping. lavob: 0.1563. 20. Har bir o'q otishda nishonga tekkizish ehtimoli 0,00 I ga teng.$ $Agar 5000 marta o'q otilgan bo'isa kamida ikkita o'qning nishonga tegish ehti!nolini toping. lavob: 1-6e-5 "" 0,9596. 21. Bir soat davomida ,xtiyoriy abonentning kOll1ll1utatorga qo'ng'iroq qilish ehtimoli 0,01 ga teng. Telefon stansiyasining 800 ta abonenti bor. Bir soat oavomida 5 ta abonentning k0ll1111utatorga qo'ng'irog' qilish ehtimolini toping. lavob: SSe-x;S :::::0,0916. 22. Bir jamoaning 500 a'zosi bor. Ulardan aynan ikkitasining tug'ilgan kuni yangi yil bayrall1iga to'g'ri kelish ehtimolini toping. Yilning ixtiyoriy bir kunida tug'ilish ehtill10li 1/365 ga teng hisoblansin. lavob: ::::: 0,2385. EHTIMOLLIKDAN CHETLASHISHI EHTIMOLI n ta o'zaro bog'liq bo'lll1agan tajribalar ketll1a-ketligi ko'rilayotgan bo'lib, biror A hodisaning ro'y berish ehtimoli o'zgarmas bo'lib, har bir tajriba uchun p soniga teng bo'isin (ya'ni Bernulli sxell1asi shartlari bajarilsin). Muavr-Laplas teoremalari Bernulli sxemasida n, m, m 1, m1 lar katta qiymatlarni qabul qilganida quyidagi ehtill1011iklarni taqribiy hisoblash uchun qo'llaniladi: 1111 POl (m) = C:~lplllq"-111 va POIn, ~ k ~ m2 G~ r P,J k) . . k=ml Muavr-Laplasning lokal teoremasi. Agar n ta o'zaro bog'liq bo'imagan tajribalar ketma-ketligida biror hodisaning ro'y berish ehtimoli o'zgarmas p (O<p< 1) soniga teng bo'lsa, bu tajribalarda hodisaning ,lynan t marta sodir bo'lish ehtimoli P (m) uchun quvidagi formul;l o'rinli " P (m);::, _1_ cp(m - np ] n ~npq ~Ilpq' bu yerda q = 1 -p, <p( .\") - funksiya Laplas funksiyasi deb ataladi va quyidagicha oniqlanadi: IfJ() x =--e I -x'l2 & Bu funksiyaning qiymatlari jadvallashtirilgan va lJovaning 3-jad-: valida ketirilgan.$ $rp( x) juft funksiya, ya'ni cpr -x) = cpr x) bo'lgani uchun x ning manfiy qiymatlari uchun ham ana shu jadvaldan foydalaniladi; x >-1 qiymatlaridacp( x) = 0 deb hisoblash mumkln. Muavr-Laplasning integral teoremasi - Agar n ta o'zaro bog'liq bo'lmagan tajritalar ketma-ketligida biror hodisaning ro'y berish ehtimoli o'zgarmas p(O<p< I) soniga teng bo'lsa, bu tajribalarda hodisaning ro'y berishlar soni m ning ml va m2 qiymatlarning orasida bo'lish ehtimoli quyidagicha topiladi: Pn(/Ill: /1/2) = P:1111 s: 111 s: /1/2: '" C/J[ II'Z ]-1)[ 1If,i[ 1' npq npq Bunda (p(x)= ~ -S e- r2 /2dl - Laplasning integral funksiyasi ...;2;r 0 deb ataladi. q{,) funksiya qiymatlari jadvallashtirilgan va lJovaning 4-jadvali keltirilgan. rJJ(xJ toq funksiya, ya'ni (p(-x)=-(/J(x) bo'lgani uchun x ning manfiy qiymatlari uchun ham ana shu jadvaldan foydalaniladi; x > 5 qiymatlarida C/J( x ) = 1/2 deb hisoblash mumkin. I x 212 Eel a t m a: Ayrim darsliklarda <p(x) = r.:::- fe-I cit funksiy a . ...;2;r 0 o'rniga <PO () x = -.n;; I _f(12c X _1 2 /2 dl funksiya ishlatiladi. Bu ikki funksiya o'zaro(/JO(x)=O,5+1J(x) munosabat bilan bog'langan. Muavr Laplasning integral teoremasini <Po (x) funksiya orqali ham ifodalash mumpk(in:.. )_n[m2 -np ] n[f1lI -np J_'f [1Il2 -npJ ·f [1I11-np J n /111. 1112 - ,p - ,p - (')0 - (')0 ----'==~ ~npq ~l1pq .,f1jllj . ~I1P(1 x > 5 qiymatlarida (Po ( ,) = I deb hisoblash mumkin. Jadvallardan foydalanganda diqqat qilingl lEI EXCEL dasturining standart funksiyalari [!J. Statistik funksiyalar. 1 .\ -f ~ ) </)0(.')= .[2;;)", (' -,If ko'rinishdagi Laplasning integral funksiY,lsining qiymatlarini maxsus NORMSTRASP(Z) nomli funksiya$ $hisoblaydi. Bunda Z - funksiyaning hisoblanish kerak bo'lgan I I -, qiymati (ya'ni x). Agar (/)(x)= r:;-f (,-1- 2dl funksiyaning qiy- -V ~j[ II matini hisoblashga ehtiyoj t1.1g'ilganida, (/J(x) = ([)o(x)-O.,; ekanligini hisobga olinsa, maxsus funksiyaga murojaat NORMSTRASP(Z)-0,5 ko'rinishda bo'ladi. 1 \ _12) (/JIl(X)= ff;; Le -<if funksiyaga teskari bo'lgan funksiyaning qiymatlarini maxsus NORMSTOBR(EHTIMOLLIK) nomli funksiya hisoblaydi. Bunda EHTIMOLLIK - (0; 1) oraliqdagi r son bo'Jib, u p = <1>11 (x) tenglikni qanoatlantiradL ya'ni bu fun\...- siya x argumentning qiymatini aniqlaydi. (/J(x)= ~ If (,.f'. '..1/ funksiyaga tcskari bo'lgan funksiyaning -V 21{ Ii qiymatini hisoblashga ehtiyoj tug'ilganida (ya'ni (j)(x)=P 1 tenglikdan x ni topish uchun), (D II (,) = <D(,.:) + 0,) =PI + o. ekanligini hisoQga olinsa maxsus funksiyaga ll1urojaat NORMSTRASP(R+O,5) ko'rinishda bo'ladi. E s I a t rna: maxsus funksiyaga l11urojaat qilganda quyidagi parametrlar Z; EHTIMOLLIK - miqdoriy qiymatlar yoki ular joylashgan yacheykalarning adresi bo'lishi kerak. :J33 EXCEL dasturining standart funksiyalari OJ. Ikki (u; (j:!) parametrga hog'liq 5~ umumiyroq ko'ril1lshdagi Laplasning oddiy va integral funksiyasining qiymatlarini maxsus: NORMRASP(X;O'RTACHASI;STANDART_ CHETL;INTEGRAL) nomli funksiya hisoblaydi. Bunda X- funksiyaning hisoblanish kerak bo'lgan qlymati (ya'ni x); O'RTACHASI - funksiya ko'rinishidagi a parametr; STANDART_CHETL - funksiya ko'rinishidagi a l parametr; INTEGRAL - ROST(lSTINATRUE) va YOLG'ON(LOJ-FALSE) qiymatlarini qabul qiladi. , I \ _. U ul'" -, Agar qiymati ROST bo'lsa F(x) = as Lc: c,,- ill funksiya qly- , ( \ -d)- - , I$

mati; YOLG'ON bo'lsa, j(x) =
~~_ i! 2,,- funksiya
qlymati
. a.fi,7
hisoblanadi.
Fix), F(x) va j(x) funksiyalarning qiymat1l11 NORMRASP
maxsus funksiyaci yordamida hisoblash:
Fo(x): murojaat NORMRASP(X;O; I ;ISTINA) ;
F(x): murojaat NORMRASP(X;O; I;ISTINA)-O..:'i
j(x): murojaat NORMRASP(X;O; 1;LOJ) ;
E s I a ( 111 a. m<1XSUS funksiyaga ll1uroJaat qilgand~l quyicbgl
pammctrlar X;O'RTACHASI;STANDART_CHETL - miqdony
qiymatlar yuki ular joylashgan yacheykalarnmg adresi bO'lishi
kera~
Namunaviy masalalar yechish
I-masala. Agar A hodisaning bitta taJribada ro'y berish chtimoli
0.2 ga teng bo'lsa, tajriba 400 marta o'tkazilganida uning aynan 80
marotaba ro'y berish ehtimolini toping.
Yee/lish: Shartga ko'ra n=400; m=80; p=0.2; q=0,8. Muavr-LapIasning lokal
teorcmasidan foydalanamiz:
[)41)() (80) -- ~I -Ip [80 - 400· O,~ j-- ~ I(! (0)
-y400·0.2·0.X .,)400 0.2·0,8. 8
Ilovadagi Laplas funksiY,lsining qiymatlari keltirilgan 3-jadvaldan
i(x) nll1g 0 ga mos qlymatini topamiz: i(x)=0,3989. U holda
P4I1o(80) '"r0,3989 = 0.4986 bo'ladi
JB Maxsus funksiyaga !11urojaat:
1
"81,0(0) qiymati: NORMRASP(O;O; 1;YOLG'ON);
I j 80-400.0,2)
yoki ~400. 0.2.0,81 ~400. 0,2.0,8 qiymati:
NORMRASP(80;400*0.2;SQR(400*0.2*0.8);YOLG'ON)
Agar erinmasdan katta I- ajmdagi hisoblashlarni bajarsak, lernulIi formulasidan
ham quyidagi natijani olamiz:
I'.j()() (80) =0,498.
IBINOMRASP(80;400;0.2;YOLG'ON) lB Maxsus funksiyaga murojaat:
Javab: P.j()(I(80) '" 0,--l986.
2-masala. Tajriba vaqtida uskunaning ishdan chiqish ehtimoli 0,2
ga teng. 100 ta tajriba o'tkazilganda
a) kamida 75 ta uskunaning; b) ko'pi bilan 74 ta uskunaning;

$d) 75 tadan 90 tagacha uskunaning ishdan chiqish ehtimollarini toping? Yechish: Shartga ko'ra n=lOO; p=O,8; q=O,2; a) kamida 75 ta uskunaning ishdan chiqish ehtimoli: 1'(75 ~ m) = 1'(75 ~ 11/:::: 100] '" '" C/{ J00 - 0.8· 100 ) _ (fJ( 75 - 0.05· 100 J= (/)(5) _ ([)(- 1,25), ~IOO·0.8·0.2 ~100·0.2-0.8 /lovadagi Lap/as integral funksiyasining qivmat/ari kp/firi/gan 4- iadva/dan ([)(.Y) funksiyaning x=I,25 va x=5 ga mas qiymat/arilli topamiz: q)( I,25) = O,3l).f--l . q)( 5) =0,5. U ho/da 1'(75:S /1/) '" (/)(5)- (fJ(-1,25) = (/>(5)+ (/)(1,25) =0.5 + 0,3944 = 0,894--l bo'ladi. ]II Maxsus funksiyaga murojaat: P{7S:s m} '" ¢(S)- ¢(-1,2S) qiymati: NORMSTRASP(5)-NORMSTRASP( -1,25) b) Ko'pi bilan 74 ta uskunaning ishdan chiqish ehtimoli: «Kamida 75 ta uskunaning ishdan chiqishi» va «ko'pi bilan 74 ta uskunaning ishdan chiqishi» hodisalari o'zaro teskari hodisalardir, shuning uchun ular ehtimolliklarining yig'indisi 1 ga teng. U holda P { 111 S; 7'-1 } = ]- P ( 75 S; 111 / = ]- ().89~ -I = 0.1 056. d) 75 tadan 90 tagacha uskunaning ishdan chiqish ehtimoli: Pl75 S; 111 :::; 90] "",J 90 - 0,8·100 J _C/{ 75 - 0,05' 1001= 'V~ JI00.0,8.0,2 )100.0,2.0,8 = 0(2,5)- cP(-1,2S) = f[J(2,S) + (/J(l,25). llovadagi Laplas integral funksiyasining qiymatlari keltirilgan 4- jadvaldan (/)( x) ning x=1,25 va x=2,5 ga mos qiymatlarini topamiz: (J)( ],]5) = 0.39-1-1 , (p( ],5) = 0.-I93R. Demak, P {75 S; Jl S; 90} "" 0,-1938 + 0.39-1-1 = 0.888] ekan. !B Maxsus funksiyaga murojaat: P{75:::; m:::; 90} ::: <1>(2.5) - <1>(-1,25) qiymati: NORMSTRASP(2.5)-NORMSTRASP( -1,25). Javob: P{ 75 S; 111 / ::: 0,8944; PlIII:::; 74} ~ 0,1056; P{75:::; f./:S 90) "" 0,8882. 3-masala. Hodisaning o'zaro bog'liq bo'lmagan tajribalarning har birida ro'y berish ehtimoli 0,8 ga teng. Hodisaning kamida 75 marta ro'y berishini 0,9 ehtimollik bilan kutish mumkin bo'lishi uchun nechta tajriba o'tkazish kerak bo'ladi? Yechish: Masala shartiga ko'ra p=0,8; q=0,2; ~,(7S;I1) = 0,9.$ $Muavr- Laplasning integral teoremasidan foydalanamiz. p,,(75:n)=P\75:::;f./:::::I1I"" I \ ~ nc:=j-C/) - np 1 [7"-r.=. - np 1 =0,9. v 111)(1 V npq 0,9 = ~ )~:;.~',~~ n ]-({)~~~~"~~11 J yoki 0,9 = i j;;) _ rtf 75 - O,8nI l 2 'Vl O,-'lj;; ) Albatta taJf1 . 'baI . ar SOI1I n >75,sI' lUl1Ing ueI1un -f,; >-- J7s ~ -t,JJ I" . 2 :2 Laplas integral funksiyasi uehun <1>(4) "" 0,5 bo'igani sababli cp( j;; /2) :::: 0,5 deb hisoblash mumkin. Demak, 09-0'i q{75-0,817) j75-08nl - . , - ,- - OAf,;' Bundan (j-~ OA~ ) = -0,4. C/J(x)- toq funkslya bo'lgani uehun (/{- 75 - ~11I = O,~. IIovadagi Laplas integral funksi- . OA II ) yasining qiymatlari keltirilgan 4-jadvaldan C/J(x)=OA tenglikni qanoatlantiruvehi argumentning qiymatini topamiz: C/J( I,28)=0,4 I <1>(x)=OA JII Maxsusqiymati: funksiyaga NORMSTOBR(0.4+0,5) murojaat: .. NatlJada - 75-0,817_ ') I O,../vn - ],jj hosil qilamiz. Bu tenglikdan n ni top sak (;;; ga nisbatan kvadrat tenglama yeehsak) ~ balar soni n= 100 ekani kelib ehiqadi. = 10 yoki tajri Javoh: n=100. Mustahkamlash uchun masalalar I. Birinehi sinfga 200 ta o'quvehi qabul qilinishi kerak. Agar o'g'il bola tug'ilish ehtimoli 0,515 bo'lsa, birinehi sinfga qabul qilinganlarning roppa-rosa 100 tasi qiz bola bo'lishining ehtimolini toping. Javob: -'" 0,051 2. Agar hodisaning har bir tajribada ro'y berish chtimoli 0,2 ga teng bo'lsa, 400 ta tajriba o'tkazilganda uning aynan 104 marta ro'y berish ehtimolini toping. Javob: 0,0006$ $3. Tanga 2N marta (N yetarlieha katta!) tashl'lndi. Uning «gerb» tomoni bilan aynan N marta tushish ehtimolini toping. Javob: JI '\' (.\i) _-- O.56-C .fN l 4. Tanga 2N marta (N yetarlicha katta!) tashlandi. Uning «gerb» tomoni bilan tushishlar soni «raqam» tomoni bilan tushishlar sonidan 2t taga ko'p ekanligining ehtimolini toping. 5. Tasodifiy ravishda 100 ta tanga ustma-ust qilib taxlangan. UIarning ichida «gerb» tomoni tepaga qilib taxlanganlari 45 dan 55 tcigacha bo'Iish ehtimoIi nimaga teng? Javob: IP(I) - C/J(-I) ~ 0,6826. 6. Ishlab chiqarishdagi 1% mahsulot sifatsiz chiqadi. Tekshirish uchun tasodifiy ravishda olingan 1100 ta mahsulotdan 17 tasining sifatsiz chiqish ehtimoli qancha? Javob: C/J(20/11) - C/J(-10/3 ) ~ 0,965. 7. Merganning bitta otishda nishonga tekkizish ehtimoli 0,75. Agar 100 marta nishonga qarata o'q uzilgan bo'lsa, merganning nishonga a) kamida 70 va ko'pi bilan 80 marta; b) ko'pi bilan 70 marta tekkizish ehtimolini toping. Javob: p ~ 2C/J (1,15) = 0,7498; p '" -C/J (1,15)+0,5 = 0,1251. 8. 2100 ta o'zaro bog'liq bo'imagan tajribalarning har birida hodisaning ro'y berish ehtimoli 0,7ga teng Quyidagi xodisalar ehtimolliklarni toping: a) kamida 1470 marta va ko'pi bilan 1500 marta; b) kamida 1470 marta; d) ko'pi bilan 1469 marta ro'y beradi. Javob: a) 0,4236; b) 0,5; d) 0,5. 9 Tanga 2N marta (N yetarlicha katta!) tashlandi. Tanganing fiN ~ «gerb» tomoni bilan tushishlar soni N - -- va N + v2N oraIig'ida bo'lish ehtimolini toping. Javob: p;::= (P( 1 ) - (N -1 ) = 2(fJ( 1 ) = 0,6826 10. 11 ta tajribaning har birida ijobiy natija olish ehtimoli 0,9 ga teng. 0,98 ga teng ehtimollik bilan kamida 150 ta tajribaning ijobiy natija berishi uchun nechta tajriba o'tkazish kerak? Javoh: 11=177. O'zaro bog'liq bo'imagan tajribalarda nisbiy chastotaning$ $o'zgarmas ehtimollikdan chetlashishi O'zaro bog'liq bo'lmagan tajribalarda nisbiy chastotaning o'zgarmas ehtimollikdan chctlashishini baholashda Muavr-Laplasning integral teoremasining natijasidan foydalanamiz. Natija. n ta o'zaro bog'liq bo'lmagan tajribalarning har birida hodisaning ro'y berish ehtimoli p (O<p< I) bo'lsa (ya 'ni Bernulli sxemasi ko'rilmoqda), hodisaning ro'y berishlar soni m ning nisbiy chastotasi min ning o'zgarmas ehtimollik p dan chdlashishining biror musbat s dan kattn bo'lmaslik ehtimoli quyidagiga teng: Bu formulani hosil qilish uchun I'::-pi:s: E: modulni ochib yozamiz: (p-E:)n:S:III:s:(p+s)n. Muavr-Laplas teoremasini /Il, = (p - £) n va 1712 = (p + c) 11 chegaralar uchun qo'llasak, natija isbot bo'ladi. Agar([J(x) = cfJrdx)-O,5 ekanligini hisobga olsak., formulani hosil qilamiz. Namunaviy masalalar yechish 4-masala. O'zaro bog'liq bo'lmagan 625 tajribaning har birida hodisaning ro'y berish ehtimoli 0,8 ga teng. Hodisa ro'y benshi nisbiy chastotasining uning ehtimolidan chetlashishi absolut qiymati bo'yicha 0,04 dan katta bo'lmasligi ehtimolini toping. Yechish: Masalaning shartiga asosan n=625; p=0,8; q=0,2; E=0,04. p = P{I;;5-(J,81:; (),().,t} ehtimollikni topish kerak. p{I'~ -0,81:s; 0,04} = 2.. JO,04~ 6~5..,1= 2(jJ(2,5). 6_5 'Vl 0,8 0,,, Ilovadagi Laplas integral funksiyasining qiymatlari keltirilgan 4-jadvaldan cP(2,5)=O,4938 ekanligini topamiz. 1 1II Maxsus funksiyaga murojaat: cP(2,5) qiymati: NORMSTRASP(2.5)-0,5; Va nihoyat, p{I;;5 - 0,81::; O,O-l} ~ 2'0,4938=0,9876. Javob: 0,9876. 5-masala. O'zaro bog'liq bo'lmagall tajribalarning har birida hodisaning ro'y berish ehtimoli 0,5 ga teng. Hodisa ro'y berishi nisbiy chastotasilling uning ehtimolidan chetlashishi absolut qiymati bo'yicha 0,02 dan katta bo'lmaslik ehtimoli 0,7698 ga teng bo'lishi uchull nechta tajriba o'tkazish kerak? Yechish: Shartga ko'ra p=O,5; q=O,5; e=0,02;$ $p{I::- 0.51::; 0,02} = 0,7698. Masalani yechish uchun p{1 ';;-++2 w( c ~;~) fonnuladan foydalanamiz 2· cP (0,02~ _11 _) = 0.7698 yoki (/J (o.o.J.J,;) = (},38.J9 ~ (),) ·0,) Ilovadagi Laplas integral funksiyasining qiymatlari keltirilgan 4- jadvaldan (j)(x) funksiyaning 0,3948 qiymatiga mos kelgan argumentini aniqlaymiz: (j)( 1,2)=0,3849. 1 1Il Maxsus funksiyaga murojaat: NORMSTOBR(0,3849+0,5); Demak, 0,04-/n =1,2 yoki .J,~ = 3(}. Bundan n=900. Javob: 900. 6-masala. O'zaro bog'liq bo'lmagan 400 tajribaning har birida hodisaning ro'y berish ehtimoli 0,8 ga teng. Hodisa ro'y berishi nisbiy chastotasining hodisa ehtimolidan chetlashishi absolut qiymati bo'yicha E dan k'atta bo'lmasligining ehtimoli 0,9876 ga teng bo'ladigan E sonni toping. Yechish: Shartga ko'ra n=4OO; p=0,8; q=0,2, p{l~ - 0,81-:;. £} = 0,9876 . Teorema .:100 natijasidan foydalansak, 2· <P (~OO £ ) = 0,9876 yoki 0,8·0,2 <P(50£) = 0,-1938 ekanligi kelib chiqadi. Ilovadagi Laplas integral funksiyasining qiymatlari keltirilgan 4-jadvaldan (/)(x) funksiyaning 0,4938 qiymatiga mos kelgan argumentini aniqlaymiz: <1>(2,5)=0,4938. jlI Maxsus funksiyaga murojaat: NORMSTOBR(O,4938+0,5); Demak, 50£ = 2,5 yoki £ = 0,05 . lavob: £ = (J,05 . 7-masala. Texnika nazorati bo'limi 900 ta mahsulot sifatinj tekshirmoqda. Mahsulotning standart bo'lish ehtimoli 0,9 ga teng. 0,9544 ehtimollik bilan standart mahsulotlar soni yotadigan chegaralarni toping. Yechish: Shartga ko'ra n=900; p=0,9; q=O,l. p{1 ;~O- 0.91-:;. £ } = 0,95,/4. Teorema natijasiga asos.n p {I:-pi""}·2· ct{ £ ~ ;q ) , bundan 2· <p(£ ~0,9.0J 1900) = 0,954-1 yoki CP(J 00£) = 0,4772. Ilovadagi Laplas integral funksiyasining qiymatlari keltirilgan 4-jadvaldan <1>(x) funksiyaning 0,4772 qiytratiga mos kelgan argumentini aniqlaymiz:$ $<1>(2)=0,4938. I NORMSTOBR(0,4772+0,5); lB Maxsus funksiyaga murojaat: Ilovadagi 4-jadvaldan (/)(2)=0,4772 ekanini topamiz. Bundan J(JOE; =] yokl E; = OJ)J. Shunday (plIb, tekshirilgan mahslliotiar orasidagi nostandartlarining nisbiy chastotasi uchlln 0,9544 ehtimollik bilan quyid,)gi tengsizlik o'rinll ekan. I 111 ( i II/ ~~--(J,91<:(1.I)_' yoki O,8S:C; ~-:c;().C)] bundan '7/97</11<\'»)/- ', 9(){) II C)()()' - - - ()~ J 1 Va nihoyat. 900 til tekshirilganl,u orasida standart mahsulotlar nisbiy chastotasi 0,9544 ehtimollik hilan 'C)]:::-. IIl:C; 8]8 oraliqda yotar ekan. Javob: 792:C; III:C; 8J8 Mustahkamlash uchun masalalar II 10000 t<1 o'Laro bog'liq bo'imagan tajrihalarning har birida hodisaning ro'y bensh ehtimoli p=0,75. Uning ro'y henshlari nisbiy ch,lstotasining chtilllolidan chctlashishi <1bsolYlIt qlymati bo'yicha ko'pi bilan 0,001 ga teng bo'lishi ehtimolini toping. Javoh: p=O,182. 12. 900 ta O'Z<1ro bog'liq bo'lmagan tajribalarning har birida hodisaning ro'y berish ehtimoli p=0,5. Uning ro'y berishlari nisbiy chastotasining chtimolidan chetlashishi absolYlIt qiymat; bo'yicha 0,02 dan oshmasligi chtllnolini toping. Javob: p=2(jJ(l,2)=0.769. 13. Tanga tashlaganda 0,6 ehtimollik bilan «gerb» tomoni bilan rushishining nlshiy chastotasi LIning chtll1lolidan chetlashishl absolyut qiymati hO'yicha ko'pi hilan 0,0 I ga teng bo'lishl lIchun tangani necha mart,) tashlash kerak ho'ladi? Javoh: 11=1764 14. Idishdagl oq va qora sharlar nisbati 4: I kabi ekan. Tajnba shllndan iboratki, idishdan bitta shar olinadi, uning rangi qayd qilinadi va yana idishga qaytib solinadi. Oq shar chiqishi nisbiy chastotasining LIning ehtil1lolidan chetlashishi absolut qiymati bO'yicha 0,0 I dan oshmasligi lIchun nechta tajriba o'tkazish kerak?$

Javob: n=378.
15. O'zaro bog'liq bo'lmagan tajribalarning har birida hodisaning
ro'y berish ehtimoli 0,2 ga teng. 0,91n ehtimollik bilan 5000 ta
ulJnba o'tk8zilgal11d,1 hodlsaning ro'y bcrishi nisblY chaslOtaSll1l11g
uning chtimolidan qanday chetlashish1l11 k.utish mumkil~'~
.Iavob: £=0,0096 7 .
16 400 1<1 o'zaro bog'liq bo'lmagan tajnbalarning har blrida
hodisanll1g ro'y bensh ehtimoli p=O,~. Shunday musbat £ SOnll11
topingkl, uning ·ro'y benshlari nisbiy chastotasinll1g ehtimol1dar:
chetlashlshi absolyut qiymati bo'yicha £ dan 8shmasligl chtlrnoli
0,9876 ga teng bo'bll'
.Iavoh: £ '" 0,0:'1
17. Shosl'qol toshi 80 111L11ia tashlandl 0,9')73 ehtimollik. blian l)
ochko tushishlar soni yotadlgan chegaraLlr111 taqnblY hisoblang.
.Iavob: ;-1:; 111 Sc .:.'3].
18. Texnik nazorat bo'limi 475 mahsulotni sifat ko'ngldan
o'tkazl11oqda. Mahsulotning sifatsiz bo'lish elltlll10li 0,05 gel tcng.
0,9426 ehtimollik bilan sifatsiz l11ahsulotlar suni yotadigan cilegZlralarm
toping

Mavzu: Bog'liqsiz tajribalar-ketma ketligi. Bernulli fo'rmulasi. Reja 1. Bernulli s х emasi , bernulli formulasi. 2. Ehtimollikdan chetlashishi ehtimoli. 3 . Bog'liqsiz tajribalar-ketma ketligi .

Bernulli s х emasi . Bernulli formulasi . Aytaylik , biror A hodisaning ketma - ket o ' tkazilayotgan bog ' liqsiz tajribalar ( sinovlar ) ning har . birida ro ' y berishi ham bermasligi ham mumkin bo ' lsin . Har bir tajribada A hodisaning ro'y berish ehtimoli r ga teng va bu ehtimollik tajriba nomeriga bog'liq bo'lmagan o'zgarmas soni. Tabiiyki. har bir tajriba uchun A hodisaning lO'y bermaslik ehtimoli q=l-p ga teng bo'ladi. Yuqoridagi shartlarni qanoatlantiruvchi tajribalar ketma-ketligiga Bernulli sxemasi deyiladi. Bernulli sxemasi ikkita parametr: n tajribalar soni va p - har bir tajribada A hodisaning ro'y berish ehtimoli bilan aniqlanadi. BernulIi sxemasida, ya'ni n ta o'zaro bog'liqsiz tajribalar ketma-ketligida A hodisaning m (m.'5:.n) marta ro'y berish ehtimoli P/m) quyidagi Bernulli formulasi orqali ifodalanadi: L- I P,,11/= ( ) e"' lI'p'q '/I /1-/1, , bunda p= I -q. n ta tajriba o'tkazilganida hodisaning ro'y berishlar soni m l va m/m/<m) sonlari orasida bo'lish ehtimoli quyidagi form.ulalardan topiladi: III , P,,(lIlj "/l1 _' ) = p,,(m j ::::: k ::::: 111 ~ ) = '[.1',,(k) k=lIl! n ta tajriba o'kazilganida hodisaning ko'pi bilan m marta ro'y berish ehtimoli quyidagicha: nl 11 P" (0: m) = I P" (k) yoki P" (0; /11) = J - I P" (k). k~lII+j n ta tajriba o'tkazilganida hodisaning kamida m marta ro'y berish ehtimoli quyidagicha: II 111-1 P" (m: n) = I P" (k) )'oki p,,(m. n) = J - L P,,rk). !.::=;;f/J k~1! n ta tajriba o'tkazilga41ida hodisaning hech bo'lmaganda bir marta ro'y berish ehtimoli quyidagi formuladan topiladi: ~,(i:n)=i-qJ1· lB EXCEL. dasturining standart funksiyalari [!J. Statistik funksiyalar. Bernulli sxemasida A hoaisaning n tajribaning m tasida

ro'y berish ehtimoli P/m) va hodisaning ko'pi bilan m marta ro'y berish ehtimoli P (O;m)larni maxsus BINOMRASP(SON_S;TAJRIBALAR; S_EHTIMOLLIK; INTEGRAL) nomli funksiya hisoblaydi. Bunda SON_S ro'y berishlar soni (ya'ni m); TAJRIBALAR- barcha tajribalar soni (ya'ni n); S_EHTIMOLLIK - har bir tajriba uchun hodisaning ro'y berish ehtimoli (ya'ni p); INTEGRAL - ushbu parametrga ROST (lSTINA-TRUE) qiymat berilsa P (m) ehtimollik hisoblanadi; parametrga YOLG'ON (LOJ-FALSE) qiymat berilsa Pn(O;m) ehtimollik hisoblanadi; n ta tajriba o'tkazilganida hodisaning hech bo'lmaganda bir marta ro'y berish ehtimolini hisoblash uchun maxsus funksiyaga murojaat quyidagicha: 1 - BINOMRASP(n;O;p;ROST) n ta tajriba o'tkazilganida hodisaning ro'y berishlar soni m, va m 2 orasida bo'lish ehtimoli Pn(m,;m)ni hisoblash uchun maxslIs funksiyaga murojaat quyidagicha: BINOMRASP(n;m2;p;ROST)-BINOMRASP(n;m,;p;ROST) E s 1 a t m a : maxsus fllnksiyaga mllrojaat qilganda qllyidagi parametriar SON_S;TAJRIBALAR; S_EHTIMOLLIK - miqdoriy qiymatiar yoki 1Iiar joylashgan yacheykalarning adresi bo'lishi kerak. P dan kichik bo'lmagan ehtimollik bilan hodisa hech bo'lmaganda bir marta ro'y berishi lIchlin o'tkazish kerak bo'Jgan tajribalar soni n: In(l- P) n'2.--~ In(/ - p) tengsizlikdan aniqlanadi (ya'ni P,,(I;I1)=I-q"'2.P yoki (1 - p)" ::; 1 - P , tengsizl ikn i logarifmla sak: n7n(i-p):s;ln(i-P) bo'ladi). Ilovaning N:~lO jadvalida y = In( x) fllnksiyaning qiymatlari keltirilgan. Bernulli sxemasida hodisaning ro'y berishlar soni m ning eng ehtimolliroq qiymati /..l quyidagicha hisoblanadi: 49 1. Agar (n+ l)p ko'paytmaning qiymati kasr bo'lsa. m kasrning butun qismiga teng: J.i = [(n + 1)p]. 2. Agar (n+l)p ko'paytmaning qiymati butun bo'lsa. ro'y berishlar soni m ning eng ehtimolliroq qiymati ikkita bo'ladi:

J.il =(n+l)p-1 60 J.i7 =(I1+l)p' Puasson formulasi Bernulli sxemasida n ning qiymati yetarlicha katta. r ning qiymati esa kichkina bo'lgan hollarda (odatda r<O.I; npq:::; 9) hoc1isaning t marta ro'y berish ehtimoli R/m)ni hisoblashda Bernulli formulasi o'rniga Puasson formulasidan foydalaniladi: /, 11/1 e -I p', (I71);::: --, 111! }, = np· Puasson formulasiga asosan n ta tajriba o'tkazilganida hodisaning ro'y berishlar soni 1711 va 1712 (111 I < 111 1) orasida bo'lish ehtimoli quyidagicha hisoblanadi: 1110 • , P,,(I1lI:l11~)~e-1 r I"., k=m, h". AIII ~i P(lId) = _,_C_ funksiyasining qiymatlari jadvallashtirilgan va 111.' Ilovadagi 2-jadvalda keltiriIgan. lEI EXCEL dasturining standart funksiyalari [J. Statistik funksiyalar. Bernulli sxemasida A hodisaning n tajribaning m tasida ro'y berish ehtimoli P (m) va hodisaning ko'pi bilan m marta ro'y berish ehtimoli P (O;m) larni Puasson formulasi bo'yicha maxsus n PUASSON(X;O'RTACHASI;INTEGRAL) nomli funksiya hisoblaydi. Bunda X - ro'y berishlar soni (ya'ni m); 0' RTACHASI - har bir tajriba uchun hodisaning ro'y berish ehtimoli p va umumiy tajribalar soni n ning ko'paytmasi. (ya 'ni ).=n·p); INTEGRAL - parametr ROST (lSTINA-TRUE) qiymat qabul qilsa P (m) ehtimollik hisoblanadi; parametr YOLG'ON (LOJ-FALSE) qiymat qabul qilsa PiO; m) ehtimollik hisoblanadi; E s I a t m a : maxsus funksiyaga murojaat qilganda quyidctgi parametrIar X;O'RTACHASI - miqdoriy qiymatlar yoki ular joylashgan yacheykalarning adresi bo'lishi kerak. Namunaviy masalalar yechish I-masala. Ma'lum bir korxona mahsulotlarining S%i sifatsiz.

Tasodifan olingan S ta mahsulot ichida ikkitasining sifatsiz bo'lish ehtimolini toping. Yechish: Tasodifan olingan mahsulotning sifatsiz bo'lish ehtimolligi p = O.OS. U holda Bernulli formulasiga asosan P,(})= .. ~(O.05/(O.95/·~ =~(0.OS)2(0.95)} =0.02· .. 2.'3' Javob: 0,02 . .:m Maxsus funksiyaga murojat: BINOMRASP(2; 5; 0.05; YOLG'ON). 2-masala. Ikkita teng kuchli raqib shaxmat o'ynamoqda. To'rt partiyadan kamida ikkitasini yutish ehtimoli kattami yoki besh partiyadan kamida uchtasini yutish ehtimolimi? Yechish: . Raqiblar tcng kuchli bo'lgani uchun yutish ehtimoli p=0,5. To'rt partiyadan kamida ikkitasini yutish ehtimolligi quyidagicha topiJadi: P4(2) + P4(3) + P4(4) = 1- P4(0) - P4(1) = I - C11(tr-C1(tr :~. 1 m Maxsus funksiyaga murojaat: I-BINOMRASP(1;4;0.5;ROST) Bcsh partiyadan kamida uchtasini yutish ehtimoli ( P~(3)+P,(4)+Pd5)=C{ -I )5 +C~(-I )5 +C)- _(I ):i . .. 2 - 2 . 2 I I-BINOMRASP(2;5;0.5;ROST) :lB Maxsus funksiyaga murojaat: 8 16 11/16>).;/16. ya'ni to'rt partiyadan kamida ikkitasini yutish ehtimoli katlaroq ekan. 3-masala. Mahsulot btta partiyasining I %i sifatsiz. Hech bo'lmaganda bitta sifatsiz mahsulot lIchratish ehtimoli 0.95 dan kichik bo'lmasligi lIchun tasodifiy tanlanma hajmi qancha bo'lishi kemk? 11/( J - p) Yechish: Ma'lumki. n:::: 1---(--]-' -. Shartga ko'ra P=0,95, p=O,OI. 17 -jJ) 51 InO,OS Demak, 11;::: -- :::: 296. Ya'ni. tanlanma hajmi kamida 296 bo'lgan !nO ,99

Bog'liqsiz tajribalar-ketma ketligi. Bernulli fo'rmulasi

12.08.2023

0

40.87109375 KB

Похожие