ikki o'zgaruvchining chiziqli diofant tenglamalarni yechish algoritmi foydalanilgan adabiyotlar

Загружено в:

13.08.2023

Скачано:

0

Размер:

80.7373046875 KB

Скачать

Ikki o'zgaruvchining chiziqli diofant tenglamalarni yechish algoritmi
foydalanilgan adabiyotlar
Mundarija
KIRISH
1.Ma’lumot:
1. 1. Ta’rif
1.2. Tengsizlikni o'rganish va teoremasi
2. Amaliy :
2.1. Ikki o'zgaruvchidagi tenglamalar NS va da shaklida ishlash
2.2 Tenglamalarning grafiklarini ikkita o'zgaruvchiga aylantirish va tenglamalar
grafigining eng oddiy konvertatsiyasi qoidalarini shakllantirish
2.3. Tenglamaning yechimlari va misollar yechish usullari
Xulosa.....
Foydanilgan adabiyotlar
1

Kirish
Yechimlari integral yoki butun sonlarda izlanadigan algebraik tengsizliklar
yoki ularning ratsional koeffitsientli tizimlari. Qoidaga ko'ra, Diofantin
tenglamalarida noma'lumlar soni ko'proq. Shunday qilib, ular noaniq tengsizliklar
sifatida ham tanilgan. Zamonaviy matematikada yuqoridagi tushuncha yechimlari
Q-ratsional o zgaruvchilar maydoni, p-adik o zgaruvchilar maydoni vaʻ ʻ
boshqalarning qandaydir kengayishi algebraik butun sonlarida izlanadigan
algebraik tenglamalarga nisbatan qo llaniladi.Diofant tenglamalarini o'rganish
ʻ
raqamlar nazariyasi va algebraik geometriya o'rtasidagi chegarada joylashgan.
Butun o‘zgaruvchilarda yechim topish eng qadimgi matematik masalalardan
biridir. Miloddan avvalgi II ming yillikning boshlarida. qadimgi bobilliklar ikkita
noma'lumli tenglamalar tizimini echishga muvaffaq bo'lishdi. Diofant (taxminan 3-
asr) arifmetikasi har xil turdagi va tenglamalar tizimini o'z ichiga olgan muhim va
asosiy manbadir.Bu kitobda Diofant 19-asrda to liq ishlab chiqilgan ikkinchi va
ʻ
uchinchi darajali tengsizliklarni o rganishning bir qancha usullarini oldindan ko ra
ʻ ʻ
olgan.. Uning ishi aniq diofant tenglamalari yechimlarini o'z ichiga olgan bo'lsa-da,
u bir nechta umumiy usullar bilan ham tanish bo'lgan deb ishonishga asos
bor.Ushbu tengsizliklarni o'rganish odatda jiddiy qiyinchiliklar bilan bog'liq.
Ularda F (x, y1,…, y n) butun koeffitsientli ko'phadlar borligi sababli. Shundan
kelib chiqib, F (x, y 1 ,…., y n) tenglama qanoatlantirilishi yoki bajarilmaganligini
har qanday berilgan x uchun aniqlay oladigan yagona algoritm mavjud emasligi
haqidagi xulosalar chiqarildi. Vaziyat y 1, …, y n uchun hal qilinadi. Bunday
ko'phadlarga misollar yozilishi mumkin.ax + by = 1, bu erda a va b nisbatan butun
va tub sonlar bo'lsa, u uchun juda ko'p sonli bajarilishlar mavjud (agar x 0, y 0
natija hosil bo'lsa, u holda x = x 0 + b n o'zgaruvchilar juftligi va y = y 0 -an , bu
erda n ixtiyoriy, tengsizlikni bajaruvchi sifatida ham ko'rib chiqiladi). Diofant
tenglamalarining yana bir misoli x 2 + y 2 = z 2 dir. Bu tengsizlikning musbat
integral yechimlari kichik tomonlari x, y va to'g'ri burchakli uchburchaklar
2

uzunliklari, shuningdek, butun tomon o'lchamlari bilan gipotenuza z hisoblanadi.
Bu raqamlar Pifagor raqamlari
Diofant tenglamalari haqida tushuncha
Matematikaning geometriya usullari bilan algebra tenglamalar
sistemalarining integral va ratsional yechimlarini o'rganish predmeti bo'lgan
bo'limi, xuddi shu sohadan. 19-asrning 2-yarmida bu sonlar nazariyasining paydo
bo lishi diofant tenglamalarini koeffitsientli ixtiyoriy maydondan o rganishga olibʻ ʻ
keldi va yechimlar uning ichida yoki uning halqalarida ko rib chiqildi. Algebraik
ʻ
funksiyalar tizimi raqamlar bilan parallel ravishda ishlab chiqilgan. D.Hilbert va
xususan, L.Kroneker tomonidan ta'kidlangan ikkala o'rtasidagi asosiy o'xshashlik
odatda global deb ataladigan turli xil arifmetik tushunchalarni bir xilda
qurishga olib keldi.
Bu ayniqsa, konstantalarning cheklangan maydonida o'rganilayotgan
algebraik funktsiyalar bir o'zgaruvchi bo'lsa, seziladi. Sinf maydoni nazariyasi,
bo'linuvchi va tarmoqlanish va natijalar kabi tushunchalar yuqoridagilarning
yaxshi namunasidir. Bu nuqtai nazar diofant tengsizliklari tizimida keyinroq qabul
qilingan va faqat sonli koeffitsientlar bilan emas, balki funksiya bo'lgan
koeffitsientlar bilan ham tizimli tadqiqotlar faqat 1950-yillarda boshlangan. Ushbu
yondashuvning hal qiluvchi omillaridan biri algebraik geometriyaning rivojlanishi
edi. Bitta fanning ikki barobar muhim jihati sifatida vujudga keladigan son va
funksiya sohalarining bir vaqtda o‘rganilishi nafis va ishonchli natijalar beribgina
qolmay, balki ikki mavzuning o‘zaro boyishiga olib keldi.Algebraik geometriyada
xilma-xillik tushunchasi berilgan K maydonidagi o'zgarmas tengsizliklar to'plamini
almashtirish uchun ishlatiladi va ularning echimlari K yoki uning chekli
kengaytmasidagi qiymatlari bo'lgan ratsional nuqtalar bilan almashtiriladi. Shunga
ko'ra, aytish mumkinki, diofant geometriyasining asosiy muammosi X(K)
algebraik to'plamining ratsional nuqtalarini o'rganishdir, bu erda X - K
3

maydonidagi ma'lum sonlar. Butun sonni amalga oshirish mavjud. Geyomeririk
ma’no chiziqli diofant tenglamalarida.
Teorema : (1.1) tenglama butun yechimlarga ega bo’lishi uchun , b son
EKUB () ga bo’linishi zarur va yetarli .
Agar (1.1) tenglama yechimga ega bo’lsa , barcha yechimlari (n-1)
ta butun parametrga bog’liq bo’ladi.
Natija : o’zaro tub sonlar bo’lsin.
Agar () (1.4) tenglamani qanoatlantirsa , u holda (1.4) ning
barcha yechimlari quyidagicha topiladi :
, t Z (1.5)
Endi shunga o’xshash ba’zi bir diofant
tenglamalarning yechilishlarini ko’rib chiqamiz .
Bizdan quyidagicha diofant tenglamalarni yechish talab etilgan bo’lsin :
1-masala . 3x+4y+5z=6
Yechish:3x+4y 1 (mod 5) , demak , 3x+4y=1+5S , S Z
U holda bu tenglamaning hususiy yechimi x= -1+3S , y=1-S bo’ladi.
(1.5) ga ko’ra : x=-1+3S+4t , y=1-S-3t
Berilgan tenglamaga qo’ysak Z=1-S ni hosil qilamiz.
Demak , umumiy yechim quyidagicha bo’ladi.
(x,y,z)=(-1+3S+4t , 1-S-3t , 1-S) , S,t Z
2-masala. 6x+10y-5z=1
Yechilishi: y 1(mod 3) , demak y=1+3S , S Z va 6x-15z = -9-30S , 2x-
5z=-3-10S
z 1(mod 2)  z=1+2t , t Z  x=1-5S+5t .
demak, tenglamaning yechimi (x,y,z)=(1-5s+5t , 1+3s , 1+2t )
3- masala. 3x+4y+5z=7
4

Yechilashi:Butenglamax+4y2(mod5)taqqoslamaga teng kuchli .Uni quyidagicha
yozish mumkin:3x+4y=2+5s,s Z
3x+4y=9s+6-4-4s desak , xususiy xolda x=3s+2y=-1-s yechimga ega bo’ladi.
Bularni yuqoridagi tenglamaga qo’yamiz((1.5)ga)
Va x=3s+2+4t ,y=-1-s-3t
Berilgan tenglamaga qo’ysak, z=1-s kelib chiqadi . Demak , tenglamaning
yechimi
(x,y,z)=(3s+2+4t , -1-s-3t , 1-s) , s,t Z ko’rinishda bo’ladi.
Diofantni tahlil qilish
Algebraik navlar bo'yicha ratsional (yoki integral) nuqtalarni o'rganishda
birinchi muammo paydo bo'ladi, bu ularning mavjudligi. Gilbertning o'ninchi
muammosi ushbu muammoni hal qilishning umumiy usulini topish muammosi
sifatida tuzilgan. Algoritmning aniq ta'rifini yaratish jarayonida va shunga o'xshash
bajarilishlar isbotlanganidan keyin katta raqam muammolar mavjud emas,
muammo aniq salbiy natijaga erishdi va eng qiziqarli savol yuqoridagi tizim
mavjud bo'lgan diofant tenglamalari sinflarini aniqlashdir. Algebraik nuqtai
nazardan eng tabiiy yondashuv Hasse printsipi deb ataladi: boshlang'ich maydon K
barcha mumkin bo'lgan taxminlar uchun uning to'ldirilishi K v bilan birga
o'rganiladi. X(K) = X(K v) borliqning zaruriy sharti bo’lgani uchun va K nuqta
X(K v) to’plam hamma v uchun bo’sh emasligini hisobga oladi.Muhimligi
shundaki, u ikkita muammoni birlashtiradi. Ikkinchisi ancha sodda, uni ma'lum
algoritm bilan yechish mumkin. X xilma-xilligi proyektiv bo'lgan alohida holatda,
Hansel lemmasi va uning umumlashmalari yanada qisqarishga imkon beradi:
muammoni cheklangan maydon ustidagi ratsional nuqtalarni o'rganishga
qisqartirish mumkin. Keyin u kontseptsiyani izchil tadqiqotlar yoki samaraliroq
usullar orqali qurishga qaror qiladi.Oxirgi muhim mulohaza shuki, X(K v)
to‘plamlar chekli v sonidan tashqari hamma uchun bo‘sh emas, shuning uchun
shartlar soni har doim chekli bo‘ladi va ularni samarali tekshirish mumkin. Biroq,
Hasse printsipi daraja egri chiziqlariga taalluqli emas. Masalan, 3x 3 + 4y 3 =5
5

barcha p-adik son maydonlarida va tizimda nuqtalarga ega, ammo ratsional
nuqtalarga ega emas.Ushbu usul Hasse printsipidan "burilish" ni amalga oshirish
uchun Abel navlarining asosiy bir hil bo'shliqlari sinflarini tavsiflovchi
kontseptsiyani qurish uchun boshlang'ich nuqta bo'lib xizmat qildi. Har bir
manifold (Tate-Shafarevich guruhi) bilan bog'lanishi mumkin bo'lgan maxsus
tuzilish nuqtai nazaridan tasvirlangan. Nazariyaning asosiy qiyinligi guruhlarni
hisoblash usullarini olish qiyinligidadir. Bu kontseptsiya algebraik navlarning
boshqa sinflariga ham kengaytirilgan.
Tengsizliklarni bajarish algoritmi
Diofant tenglamalarini o'rganishda qo'llaniladigan yana bir evristik g'oya
shundan iboratki, agar tengsizliklar to'plamida ishtirok etadigan o'zgaruvchilar soni
ko'p bo'lsa, u holda tizim odatda yechimga ega bo'ladi. Biroq, har qanday alohida
holat uchun buni isbotlash juda qiyin. Ushbu turdagi masalalarga umumiy
yondashuvda analitik sonlar nazariyasi qo'llaniladi va trigonometrik yig'indilarni
baholashga asoslanadi. Bu usul dastlab maxsus turdagi tenglamalar uchun
qo'llanilgan.Biroq, keyinchalik uning yordami bilan isbotlanganki, agar toq darajali
shakl F bo'lsa, d va n o'zgaruvchilarda va ratsional koeffitsientlarga ega bo'lsa, u
holda n d ga nisbatan etarlicha katta bo'ladi, shuning uchun proyektiv gipersirt F =
0 ratsional nuqtaga ega. Artin taxminiga ko'ra, bu natija n > d 2 bo'lsa ham to'g'ri
bo'ladi. Bu faqat kvadratik shakllar uchun isbotlangan. Shunga o'xshash
muammolarni boshqa sohalar uchun ham so'rash mumkin. Diofant
geometriyasining markaziy muammosi butun son yoki ratsional nuqtalar
to'plamining tuzilishi va ularni o'rganish bo'lib, aniqlanishi kerak bo'lgan birinchi
savol bu to'plamning chekli ekanligidir. Ushbu muammoda, agar tizim darajasi
o'zgaruvchilar sonidan ancha katta bo'lsa, vaziyat odatda cheklangan miqdordagi
bajarilishlarga ega.
Chiziqlar va egri chiziqlardagi tengsizliklar
X(K) guruhini r-darajali erkin tuzilma va n-tartibli chekli guruhning to g ridan-ʻ ʻ
to g ri yig indisi sifatida ifodalash mumkin. 1930-yillardan boshlab bu sonlar
ʻ ʻ ʻ
berilgan K maydoni bo yicha barcha elliptik egri chiziqlar to plamida
ʻ ʻ
6

chegaralanganmi, degan savol o rganildi.Buralish n ning chegaralanganligi 70-ʻ
yillarda ko rsatildi. Funktsional holatda o'zboshimchalik bilan yuqori darajali egri
ʻ
chiziqlar mavjud. Raqamli holatda, bu savolga hali ham javob yo'q.
Nihoyat, Mordell gipotezasi g>1 jinsdagi egri chiziq uchun integral nuqtalar soni
chekli ekanligini bildiradi. Funktsional holatda bu kontseptsiyani 1963 yilda
Yu.I.Manin ko'rsatgan. Diofant geometriyasida cheklilik teoremalarini isbotlashda
foydalaniladigan asosiy vosita balandlik hisoblanadi. Birdan katta o'lchamdagi
algebraik navlar ichida elliptik egri chiziqlarning ko'p o'lchovli analoglari bo'lgan
Abel navlari eng chuqur o'rganilgan.
A.Veyl ratsional nuqtalar guruhi generatorlari sonining chekliligi haqidagi
teoremani har qanday o'lchamdagi abel navlariga (Mordell-Veyl tushunchasi)
umumlashtirib, uni kengaytirdi. 1960-yillarda Birch va Svinnerton-Dyerning
gipotezasi paydo bo'lib, bu va guruh va manifoldning zeta funktsiyalarini
yaxshilaydi. Raqamli dalillar bu farazni tasdiqlaydi.Muammo har qanday Diofant
tenglamasining yechimi bor yoki yo'qligini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin
bo'lgan algoritmni topishdir. Qo'yilgan muammoning muhim xususiyati har qanday
tengsizlikka mos keladigan universal usulni izlashdir. Bunday usul yuqoridagi
tizimlarni yechishga ham imkon beradi, chunki u P21+ ⋯ +P2k=0.p1= 0 , ... , PK=
0p = 0,...,pK = 0 yoki p21+ ⋯ + P2K= ga ekvivalentdir. 0 . n12+ ⋯ +pK2=0. Butun
sonlardagi chiziqli tengsizliklar yechimini topishning bunday universal usulini
topish masalasini D. Gilbert.1950-yillarning boshlarida Diofant tenglamalarini
echish algoritmi yo'qligini isbotlashga qaratilgan birinchi tadqiqotlar paydo bo'ldi.
Bu vaqtda Devis gipotezasi paydo bo'lib, unda har qanday sanab o'tiladigan
to'plam ham yunon olimiga tegishli ekanligini aytdi. Chunki algoritmik jihatdan
hal qilib bo'lmaydigan to'plamlarning misollari ma'lum, lekin rekursiv sanab
o'tiladi. Bundan kelib chiqadiki, Devis gipotezasi to'g'ri va bu tenglamalarning
echilishi masalasi manfiy bajariladi.Shundan so'ng, Devis gipotezasi uchun bir
vaqtning o'zida yechimga ega bo'lgan (yoki yo'q) tengsizlikni o'zgartirish usuli
mavjudligini isbotlash qoladi. Diofant tenglamasining bunday o'zgarishi, agar u
ko'rsatilgan ikkita xususiyatga ega bo'lsa, mumkinligi ko'rsatildi: 1) ushbu turdagi
7

$har qanday yechimda. v ≤ uu ; 2) har qanday uchun k eksponentsial o'sish bo'lgan ijro bor. Raqam chizig'ini chizish. Bitta o'zgarmaydigan tengsizlikni tasvirlash uchun bitta o'q etarli bo'lgani uchun to'rtburchaklar koordinata tizimini chizishning hojati yo'q. Buning o'rniga, to'g'ri chiziq chizish kifoya. Chiziq chizish. Raqam o'qiga siz belgilagan nuqtadan chiziq chizing. Agar o'zgaruvchi bu raqamdan katta bo'lsa, chiziqni o'ngga qo'ying. Agar o'zgaruvchi kichikroq bo'lsa, chiziqni chapga siljiting. Chiziq oxiriga o'q qo'ying, bu uning oxirgi segment emasligini va davom etishini ko'rsatadi. Javobingizni tekshiring. O'zgaruvchini almashtirish x har qanday raqam va uning son o'qidagi o'rnini belgilang. Agar bu raqam siz chizgan chiziqda bo'lsa, grafik to'g'ri. Chiziqli tengsizlik grafigi To'g'ri chiziqli formuladan foydalaning. Oddiy chiziqli tenglamalar uchun ham xuddi shunday formuladan foydalanilgan, lekin bu holda '=' belgisi o'rniga tengsizlik belgisini qo'yish kerak. Bu quyidagi belgilarning biri bo'lishi mumkin: To'g'ri chiziq tenglamasi shaklga ega y = mx + b , qaerda m qiyalikka mos keladi va b - o'q bilan kesishish y. belgisi bu ifodaning ko'plab echimlari borligini bildiradi. Tengsizlikni chizish. Chiziqning o'q bilan kesishish nuqtasini toping y va uning qiyaligi, so'ngra tegishli koordinatalarni belgilang. Misol sifatida, tengsizlikni ko'rib chiqing y >1/2 x +1. Bunday holda, to'g'ri chiziq o'qni kesib o'tadi y da x = 1, va uning qiyaligi ½ bo'ladi, ya'ni o'ngga 2 birlikka siljiganimizda, biz 1 birlikka ko'tarilamiz. Chiziq chizish. Undan oldin, tengsizlik belgisiga qarang. Agar bu< или >, nuqta chizilgan bo'lishi kerak. Agar tengsizlik belgisi bo'lsa ≤ (\ displaystyle \ leq) yoki ≥ (\ Displaystyle \ geq) , chiziq mustahkam bo'lishi kerak. Grafikni soya qiling. Tengsizlik ko'p echimlarga ega bo'lgani uchun, grafikda barcha mumkin bo'lgan echimlar ko'rsatilishi kerak. Bu shuni anglatadiki, siz maydonni chiziq ustidan yoki ostidan soya qilishingiz kerak. 8$

Kvadrat tenglama grafigi
Formulaga qarang. Kvadrat tenglamada hech bo'lmaganda bitta o'zgaruvchi
kvadratga bo'linadi. Odatda, kvadratik tenglama quyidagicha yoziladi: y = ax 2 +
bx + c .
Kvadrat tenglamani tuzishda siz parabola, ya'ni lotincha "U" harfi shaklidagi egri
chiziqni olasiz.Parabola qurish uchun siz kamida uchta nuqtaning koordinatalarini,
shu jumladan parabolaning tepasini (uning markaziy nuqtasi) bilishingiz kerak.
Belgilang a, b va v. Masalan, tenglamada y = x 2 + 2x + 1 a =1, b = 2 va v = 1. Har
bir parametr o'zgaruvchidan oldin tegishli kuchga ega bo'lgan raqamdir. Masalan,
agar ilgari x hech qanday raqamga arzimaydi, shuning uchun b = 1, chunki tegishli
atama 1 shaklida yozilishi mumkin x .
Parabolaning tepasini toping. Parabolaning o'rta nuqtasini topish uchun ifodadan
foydalaning -b /2 a ... Bizning misolimiz uchun -2/2 (1) ni olamiz, bu -1.
Jadval yarating. Shunday qilib, biz koordinata ekanligini bilamiz x tepaliklar -1.
Biroq, bu faqat bitta koordinata. Uning tegishli koordinatasini topish uchun y ,
shuningdek, parabolaning boshqa ikkita nuqtasi, jadval tuzish kerak.
Uch qatorli va ikkita ustunli jadval tuzing.
Koordinatani yozing x chap ustunning markaziy katagidagi parabolaning
tepalari.Yana ikkita koordinatani tanlang x chap va o'ngga bir xil masofada
(gorizontal o'q bo'ylab salbiy va ijobiy yo'nalishlarda).Siz tepalikdan teng
masofada joylashgan har qanday tamsayılarni tanlashingiz mumkin.Agar siz
aniqroq grafik tuzmoqchi bo'lsangiz, uchta o'rniga beshta nuqtadan
foydalanishingiz mumkin. Bunday holda, siz ham shunday qilishingiz kerak, faqat
jadval uchta emas, balki beshta qatordan iborat bo'ladi.
Noma'lum koordinatalarni topish uchun tenglama va jadvaldan
foydalaning y . Jadvaldan bitta x koordinatani oling, uni berilgan tenglamaga ulang
va mos keladigan y koordinatasini toping.
Bizning holatda, biz tenglamani almashtiramiz y = x 2 +2 x O'rniga +1 x -3. Natijada,
biz topamiz y = -3 2 +2 (-3) +1, ya'ni y =4.
Biz topilgan koordinatani yozamiz y tegishli koordinataga yaqin hujayrada x
9

Shu tarzda uchta koordinatani (yoki ko'proq ball ishlatsangiz) toping y .
Er uchastkalari. Shunday qilib, siz grafikda belgilashingiz mumkin bo'lgan
ma'lum koordinatali kamida uchta nuqtaga egasiz. Ularni parabola shaklidagi egri
chiziq bilan ulang. Tayyor!
Kvadrat tengsizlik chizig'i
Parabolani chizish. Kvadrat tengsizlik kvadrat tenglamaga o'xshash formuladan
foydalanadi, lekin '=' belgisi o'rniga tengsizlik belgisi mavjud. Masalan, kvadrat
tengsizlik quyidagicha ko'rinishi mumkin. y <a x 2 + b x + c. Oldingi "Kvadrat
tenglama chizish" usulidagi qadamlardan foydalaning va parabolaning uchta
nuqtasini toping.</a
MAKSAD: 1) Talabalarni "ikki o'zgaruvchili tenglama" tushunchasi bilan
tanishtirish;
2) Ikki o'zgaruvchili tenglama darajasini aniqlashga o'rgatish;
3) berilgan funksiya yordamida qaysi rasm grafik ekanligini aniqlashga o'rgatish
bu tenglama;
4) ikkita o'zgaruvchiga ega bo'lgan grafiklarning o'zgarishini ko'rib chiqing;
Agrapher dasturi yordamida ikkita o'zgaruvchida berilgan tenglama;
6) Talabalarning mantiqiy fikrlashini rivojlantirish.
I. Yangi material - suhbat elementlari bilan tushuntirish ma'ruzasi.
(ma'ruza muallif slaydlari yordamida o'tkaziladi; grafik Agrapher dasturida
bajariladi)
D: Chiziqlarni o'rganishda ikkita vazifa paydo bo'ladi:
Bu chiziqning geometrik xossalari bo'yicha uning tenglamasini toping;
Teskari muammo: chiziqning berilgan tenglamasi yordamida uning geometrik
xususiyatlarini o'rganish.
Biz geometriya kursidagi birinchi masalani aylana va to'g'ri chiziq bilan bog'liq
holda ko'rib chiqdik.
Bugun biz teskari muammoni ko'rib chiqamiz.
Shakl tenglamalarini ko'rib chiqing:
lekin) x (x-y) = 4; b) 2y-x 2 =-2 , ichida) x (x + y) 2 ) = x +1 .
10

Ikki o'zgaruvchili tenglamalarga misollar.
Ikki o'zgaruvchidagi tenglamalar NS va da
shaklga ega f (x, y) = (x, y) , qaerda f va o'zgaruvchilar bilan ifodalar NS va
da. Agar tenglamada bo'lsa x (x-y) = 4 o'zgaruvchining o'rnini bosadi NS uning
qiymati -1, va o'rniga da - qiymat 3, keyin siz to'g'ri tenglikni olasiz: 1 * (- 1-3) = 4,
O'zgaruvchan qiymatlarning juftligi (-1; 3) NS va da tenglamaning yechimi
hisoblanadi x (x-y) = 4 .Ya'ni tenglamani yechish orqali ikkita o'zgaruvchiga ega
deyiladi bu tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiruvchi o'zgaruvchilarning
tartiblangan juft qiymatlar to'plami. Ikki o'zgaruvchili tenglama, qoida tariqasida,
cheksiz ko'p echimlarga ega. Istisnolar kabi tenglamalarni tashkil qiladi NS 2 +
(y 2 - 4) 2 = 0 yoki 2x 2 + da 2 = 0 .Ulardan birinchisida ikkita echim bor (0; -2) va
(0; 2), ikkinchisida bitta echim bor (0; 0).X 4 + y 4 +3 = 0 tenglamaning echimlari
umuman yo'q. Tenglama o'zgaruvchilarining qiymatlari butun sonlar bo'lsa, qiziq.
Bunday tenglamalarni ikkita o'zgaruvchiga yechish orqali butun sonlar juftlari
topiladi. Bunday hollarda tenglamalar butun sonlarda hal qilinadi
deyiladi.Yechimlari bir xil bo'lgan ikkita tenglama deyiladi ekvivalent
tenglamalar ... Masalan, x (x + y 2) = x + 1 tenglama uchinchi darajali
tenglamadir, chunki uni o'ng tomoni xy 2 + x 2 - x -1 = 0 tenglamaga aylantirish
mumkin. uchinchi darajali standart shakldagi polinom.F (x, y) = 0 shaklida
ifodalangan ikkita o'zgaruvchidagi tenglama darajasi, bu erda F (x, y) standart
shaklning polinomidir, F (x, y) polinomining darajasi.Agar ikkita o'zgaruvchiga
ega bo'lgan tenglamaning barcha echimlari koordinata tekisligidagi nuqtalar bilan
ifodalangan bo'lsa, siz ikkita o'zgaruvchili tenglama grafigini olasiz. Jadval Ikkita
o'zgaruvchidagi tenglama - koordinatalari bu tenglamaning echimi bo'lib xizmat
qiladigan nuqtalar to'plami.
Shunday qilib, tenglama grafigi ax + by + c = 0 agar koeffitsientlardan kamida
bittasi to'g'ri chiziq bo'lsa a yoki b nolga teng emas Agar a = b = c = 0 , keyin bu
tenglamaning grafigi koordinata tekisligi agar a = b = 0 , lekin c0 , keyin grafik
shunday bo'sh to'plam Tenglama grafigi y = a x 2 + tomonidan + c - parabola
tenglama grafigi xy = k (k0) – giperbol Tenglama grafigi NS 2 + y 2 = r , bu erda x
11

va y o'zgaruvchilar, r - musbat son, aylana boshiga va radiusiga teng
markazlashgandi r Tenglama grafigi ellips , qaerda a va b - ellipsning katta va kichik
yarim eksalari
Ba'zi tenglamalarni tuzish ularning o'zgarishi yordamida osonlashadi. O'ylab
ko'ring tenglamalarning grafiklarini ikkita o'zgaruvchiga aylantirish va tenglamalar
grafigining eng oddiy konvertatsiyasi qoidalarini shakllantirish
1) F (-x, y) = 0 tenglama grafigi F (x, y) = 0 tenglama grafigidan o'q atrofida
simmetriya yordamida olinadi. da.
2) F (x, -y) = 0 tenglama grafigi o'qi atrofida simmetriya yordamida F (x, y) = 0
tenglama grafigidan olinadi. NS .
3) F (-x, -y) = 0 tenglama grafigi kelib chiqishi haqidagi markaziy simmetriya
yordamida F (x, y) = 0 tenglama grafigidan olinadi.
4) F (x-a, y) = 0 tenglama grafigi x o'qiga parallel ravishda | a | orqali | F (x, y) = 0
tenglama grafigidan olinadi | birliklar (agar o'ngda) a > 0, va agar chapda lekin < 0).
5) F (x, y-b) = 0 tenglama grafigi F (x, y) = 0 tenglamaning grafigidan | b | o'qga
parallel bo'lgan birliklar da (agar bo'lsa) b > 0 va agar bo'lsa, pastga b < 0).
6) F (ax, y) = 0 tenglamaning grafigi y o'qiga siqish yordamida F (x, y) = 0
tenglama grafigidan olinadi va agar lekin > 1, va y o'qidan vaqtga cho'zilib, 0
bo'lsa< lekin < 1.
7) F (x, by) = 0 tenglama grafigi x o'qiga siqishni yordamida F (x, y) = 0 tenglama
grafigidan olinadi. B marta, agar b > 1 va x o'qidan faktorga cho'zilib, 0 bo'lsa < b <
1.
Agar qandaydir tenglamaning grafigi boshlanish nuqtasiga yaqin burchak bilan
burilsa, yangi grafik boshqa tenglamaning grafigi bo'ladi. 90 0 va 45 0 burchaklar
orqali aylanishning alohida holatlari muhim ahamiyatga ega.
8) F (x, y) = 0 tenglamaning grafigi kelib chiqishi atrofida soat yo'nalishi bo'yicha
90 0 burchak bilan aylanishi natijasida F (-y, x) = 0 tenglamaning grafigiga kiradi
va soat sohasi farqli o'laroq - tenglama grafigiga F (y, -x) = 0.
12

9) F (x, y) = 0 tenglamaning grafigi kelib chiqishi atrofida 45 0 burchak bilan soat
yo'nalishi bo'yicha aylanishi natijasida F = 0 tenglama grafigiga, soat sohasi farqli
o'laroq - tenglama grafigiga kiradi. F = 0.
Tenglama grafiklarini ikkita o'zgaruvchiga aylantirish qoidalarini ko'rib chiqsak,
funktsiyalar grafigini o'zgartirish qoidalari osonlikcha olinadi.
Misol 1. Tenglama grafigi ekanligini ko'rsataylik NS 2 + y 2 + 2x - 8y + 8 = 0
aylana
Biz tenglamani quyidagicha o'zgartiramiz:
1) biz o'zgaruvchini o'z ichiga olgan atamalarni guruhlarga ajratamiz NS va
o'zgaruvchini o'z ichiga oladi da , va har bir atama guruhini trinomialning to'liq
kvadrati shaklida ifodalang: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2 * 4 * y + 16) + 8 - 1 - 16 = 0;
2) olingan trinomiallarni ikkita ifodaning yig'indisi (farqi) ning kvadrat shaklida
yozamiz: (x + 1) 2 + (y - 4) 2 - 9 = 0;
3) ikkita o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamalar grafigini o'zgartirish qoidalariga
muvofiq (x + 1) 2 + (y - 4) 2 = 3 2 tenglamasini tahlil qiling: bu tenglamaning
grafigi markazi aylana. nuqta (-1; 4) va radiusi 3 birlik ...
Misol 2. Keling, tenglamani tuzamiz NS 2 + 4y 2 = 9 .
Biz 4y 2 ni (2y) 2 shaklida ifodalaymiz, x 2 + (2y) 2 = 9 tenglamani olamiz, uning
grafigini x o'qiga siqish orqali x 2 + y 2 = 9 doirasidan olish mumkin. 2 marta.
Boshida markazi va radiusi 3 birlik bo'lgan aylana chizish.
Har bir nuqtaning X o'qidan masofasini 2 marta qisqartirib, tenglama grafigini
olamiz
x 2 + (2y) 2 = 9.
Biz aylanani uning diametrlaridan biriga (X o'qida yotadigan diametrga) siqish
orqali shaklga ega bo'ldik. Bu shakl ellips deb ataladi
Misol 3. Keling, x 2 - y 2 = 8 tenglamaning grafigi nima ekanligini aniqlaylik.
Keling, F = 0 formulasidan foydalanaylik.
Bu tenglamani X o'rniga Y va Y o'rniga, biz olamiz:
13

V: y = tenglamaning grafigi qanday?
D: tenglama grafigi y = giperbola.
Y: Biz x 2 - y 2 = 8 shaklidagi tenglamani y = tenglamaga aylantirdik.
Bu tenglamaning grafigi qaysi chiziq bo'ladi?
D: Demak, x 2 - y 2 = 8 tenglamaning grafigi giperbola.
Y: Qaysi chiziqlar y = giperbolaning asimptotalari hisoblanadi.
D: giperbolaning y = asimptotalari y = 0 va x = 0 chiziqlardir.
Y: Burilish amalga oshirilganda, bu chiziqlar = 0 va = 0 qatorlarga, ya'ni y = x va y
= - x chiziqlarga aylanadi.
4 -misol: Keling, soat yo'nalishi bo'yicha 90 0 burchak ostida aylantirilganda
parabolaning y = x 2 tenglamasi qanday shaklga ega bo'lishini bilib olaylik.
F (-y; x) = 0 formulasidan foydalanib, y = x 2 tenglamada x - y o'zgaruvchini va y
o'zgaruvchini x ga almashtiramiz. Biz x = (-y) 2 tenglamani olamiz, ya'ni x = y 2
Biz ikkita o'zgaruvchiga ega bo'lgan ikkinchi darajali tenglamalar grafiklarining
misollarini ko'rib chiqdik va bunday tenglamalarning grafiklari parabola,
giperbola, ellips (xususan, aylana) bo'lishi mumkinligini aniqladik. Bundan
tashqari, ikkinchi darajali tenglamaning grafigi bir juft to'g'ri chiziq bo'lishi
mumkin (kesishgan yoki parallel) Bu degenerativ holat deyiladi. Demak, x 2 - y 2
= 0 tenglamaning grafigi o'zaro kesishuvchi to'g'ri chiziqlar juftligi ,x 2 - 5x + 6 +
0y = 0 tenglama grafigi esa parallel to'g'ri chiziqlardir.
II mahkamlash.
1 -mashq. (5; 4), (1; 0), (-5; -4) va (-1; -) juftlardan qaysi biri tenglamaning echimi
hisoblanadi:
14

a) x 2 - y 2 = 0, b) x 3 - 1 = x 2 y + 6y?
Yechim:
Bu nuqtalarning koordinatalarini berilgan tenglamaga, bu nuqtalarning
koordinatalarini birma -bir almashtirib, biz bu juftlarning hech biri x 2 - y 2 = 0
tenglamaning yechimi va x 3 tenglamaning echimlari emasligiga ishonch hosil
qilamiz. -1 = x 2 y + 6y -juftlar (5; 4), (1; 0) va (-1; -).
125 - 1 = 100 + 24 (I)
1 - 1 = 0 + 0 (I)
125 - 1 = -100 - 24 (L)
1 - 1 = - - (VA)
Javob: lekin); b) (5; 4), (1; 0), (-1; -).
Vazifa 2. xy 2 - x 2 y = 12 tenglamaning echimlarini toping, bunda qiymati NS 3
ga teng.
Yechish: 1) Berilgan tenglamada X o'rniga 3 ni qo'ying.
2) Y o'zgaruvchiga nisbatan kvadratik tenglama olamiz, u quyidagi shaklga ega:
3y 2 - 9y = 12.
4) Keling, bu tenglamani echamiz:
3y 2 - 9y - 12 = 0
D = 81 + 144 = 225
Javob: (3; 4) va (3; -1) juftlar xy 2 - x 2 y = 12 tenglamaning echimlari
Topshiriq 3. Tenglama darajasini aniqlang:
a) 2y 2 - 3x 3 + 4x = 2; c) (3 x 2 + x) (4x - y 2) = x;
b) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 = 0; d) (2y - x 2) 2 = x (x 2 + 4xy + 1).
Javob: a) 3; b) 5; 4 da; d) 4.
Topshiriq 4. Tenglama grafigi qanday shaklga ega:
a) 2x = 5 + 3y; b) 6 x 2 - 5x = y - 1; v) 2 (x + 1) = x 2 - y;
d) (x - 1,5) (x - 4) = 0; e) xy - 1,2 = 0; f) x 2 + y 2 = 9.
15

Vazifa 5. A) o'qi bo'yicha x 2 - xy + 3 = 0 (24 -rasm) tenglama grafigiga grafigi
nosimmetrik bo'lgan tenglamani yozing. NS ; b) o'qlar da ; v) y = x to'g'ri chiziq; d)
y = -x to'g'ri chiziq.
Vazifa 6. Tenglama tuzing, uning grafigi y = x 2 -3 tenglama grafigini cho'zish
orqali olinadi:
a) x o'qidan 2 marta; b) y o'qidan 3 marta.
Topshiriqning to'g'riligini tekshirish uchun Agrapher dasturidan foydalaning.
Javob: a) y - x 2 + 3 = 0 (25a -rasm); b) y- (x) 2 + 3 = 0
b) to'g'ri chiziqlar parallel, x o'qiga parallel 1 birlik o'ngga va y o'qiga parallel 3
birlik pastga
v) to'g'ri chiziqlar kesishadi, x o'qi atrofida nosimmetrik xaritalash
d) to'g'ri chiziqlar kesishadi, y o'qi atrofida nosimmetrik xaritalash
e) to'g'ri chiziqlar parallel, nosimmetrik displey
f) to'g'ri chiziqlar kesishadi, kelib chiqish yo'nalishi bo'yicha soat yo'nalishi
bo'yicha 90 ga aylanadi va x o'qi atrofida nosimmetrik ko'rsatiladi
I. variant.
a) 5x 3 -3x 2 y 2 + 8 = 0; b) (x + y + 1) 2 - (x -y) 2 = 2 (x + y).
a) x 3 + y 3 -5x 2 = 0; b) x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 = 1.
x 4 + y 4 -8x 2 + 16 = 0.
a) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;
b) x 2 -y 2 = 1;
c) x - y 2 = 9.
x 2 - 2x + y 2 - 4y = 20.
Doira markazining koordinatalarini va uning radiusini ko'rsating.
6. y = giperbolasi koordinata tekisligida qanday harakatlanishi kerakki, uning
tenglamasi x 2 - y 2 = 16 shaklga ega bo'lsin?
Javobingizni Agrapher dasturi yordamida chizish orqali tekshiring.
7. Parabolani y = x 2 koordinata tekisligida qanday siljitish kerak, shunda uning
tenglamasi x = y 2 - 1 shaklini oladi.
Ikkinchi variant.
16

1. Tenglama darajasini aniqlang:
a) 3ksi = (y-x 3) (x 2 + y); b) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 = 0.
2. (-2; 3) juft sonlar tenglamaning yechimi:
a) x 2 -y 2 -3x = 1; b) 8x 3 + 12x 2 y + 6x 2 + y 3 = -1.
3. Tenglamaning echimlar to'plamini toping:
x 2 + y 2 -2x - 8y + 17 = 0.
4. Agar bu egri chiziqning tenglamasi quyidagi shaklga ega bo'lsa, qanday egri
(giperbola, aylana, parabola):
a) (x-2) 2 + (y + 2) 2 = 9
b) y 2 - x 2 = 1
c) x = y 2 - 1.
(Agrapher dasturi yordamida topshiriqning to'g'riligini tekshiring)
5. Agrapher dasturi yordamida tenglamani tuzing:
x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.
6. Tenglama x 2 - y 2 = 28 shaklga ega bo'lishi uchun y = giperbolasini koordinata
tekisligida qanday siljitish kerak?
7. Y = x 2 parabolasini koordinata tekisligida qanday siljitish kerak, shunda uning
tenglamasi x = y 2 + 9 shaklini oladi.
Algoritimi
Diofant tenglamalarini yechish algoritmi bir xossalab, ikki butun soniy
tiklash bo'yicha mazmunli kanseptga asoslangan. Ikki butun soniy `a` va `b`
berilgan bo'lsa, algoritm quyidagi tartibda ishlaydi:
1. Qadam: To'g'ri yoki katta soniy qiymatlarni aniqlash. - Agar `a` kichik bo'lsa,
`a` va `b` almashtiriladi.
2. Qadam: O'zgaruvchilarni alohida aniqlash. - Ikkala o'zgaruvchining qiymatini
o'zgaruvchi deb belgilaymiz (`x = a`, `y = b`). - Katta o'zgaruvchini o'zgaruvchi
deb tanlab, kichik o'zgaruvchini esa katta o'zgaruvchi deb tanlaymiz (`x = max(a,
b)`, `y = min(a, b)`).
3. Qadam: Diofant tenglamasini yechish. - `y` soni 0 ga teng bo'lguncha, `x` sonini
natijalashtiramiz va algoritmadan chiqamiz. - Aks holda, natijalashtirilgan
17

o'zgaruvchilar orqali yangi `x` va `y` qiymatlarni topishimiz kerak. Uchun: - `x`
o'zgaruvchisiga `y` ni o'zingizdan ayirib yozishingiz mumkin (`x = x - y`). -
O'zgaruvchilarni o'zgartirib yozib yuborish sariq qadamdir (`x` tomoniga `y` ni
aylantirmoq uchun).
4. Qadam: x va y sonlarining o'zgaruvchilarni natijalashtirish. - Natijalashtirilgan
`x` sonini o'zgaruvchiga o'rnating va `y` o'zgaruvchisini 0 ga tenglashtiring (`x =
x`, `y = 0`).
5. Qadam: Natijani qaytaring. - Natijani qaytarib, Diofant tenglamalarining
yechimi sifatida `x` sonini ishlatish mumkin.
Dasturlar
#include <iostream>
int gcdExtended(int a, int b, int *x, int *y)
{ // Agar b nol bo'lsa, qo'shimcha ko'rinishda GCD ni va qiymatlarni tiklash
if (b == 0) {
*x = 1;
*y = 0;
return a;
}
int x1, y1;
// Qo'shimcha o'zgaruvchilar
int gcd = gcdExtended(b, a % b, &x1, &y1);
// Qiymatlarni yangilash *x = y1;
*y = x1 - (a / b) * y1;
return gcd;
}
int main()
{
int a, b;
cout << "Diofant tenglamalari uchun a ni kiriting: ";
cin >> a;
18

cout << "Diofant tenglamalari uchun b ni kiriting: ";
cin >> b;
int x, y;
int gcd = gcdExtended(a, b, &x, &y);
cout << "Diofant tenglamalari uchun GCD: " << gcd << endl;
cout << "x qiymati: " << x << endl;
cout << "y qiymati: " << y << endl;
return 0;
}
#include <iostream>
int gcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if (a == 0) {
x = 0;
y = 1;
return b;
}
int x1, y1;
int d = gcd(b % a, a, x1, y1);
x = y1 - (b / a) * x1;
y = x1;
return d;
}
bool solveDiophantineEq(int a, int b, int c, int &x, int &y) {
int d = gcd(a, b, x, y);
if (c % d != 0) {
return false; // Yechim yo'q
}
x *= c / d;
y *= c / d;
19

return true;
}
int main() {
int a, b, c;
cout << "a = ";
cin >> a;
cout << "b = ";
cin >> b;
cout << "c = ";
cin >> c;
int x, y;
if (solveDiophantineEq(a, b, c, x, y)) {
cout << "x = " << x << ", y = " << y << std::endl;
} else {
cout << "Yechim yo'q" << std::endl;
}
return 0;
}
Geyometrya
Koordinata tekisligi tushunchasini eslatish. Koordinata tekisligidagi nuqta
tasvirini ko'rib chiqing. Ikki o'zgaruvchili tenglama tushunchasini, ularning
echimini va tenglama grafigini bering. Ikki o'zgaruvchili chiziqli tenglamani
tuzishni o'rgating. Ikki o'zgaruvchili chiziqli tenglama grafigini tuzish algoritmini
o'rganing. O x y 1 O'zaro perpendikulyar ikkita son o'qlari to'rtburchaklar
koordinata tizimini hosil qiladi 1 - 1 - 1 I II III I V Koordinatali burchaklar
Ordinatlar (y o'qi) Abscissa (x o'qi) Eslatib o'tamiz.M (a; b) nuqtaning
koordinatalarini topish algoritmi y o'qiga parallel bo'lgan nuqta orqali to'g'ri chiziq
o'tkazing va bu to'g'ri chiziqning x o'qi bilan kesishgan nuqtasining koordinatasini
toping-bu nuqtaning abscissa bo'lishi. 2. X o'qiga parallel bo'lgan nuqta orqali
to'g'ri chiziq o'tkazing va bu to'g'ri chiziqning y o'qi bilan kesishgan nuqtasining
20

koordinatasini toping-bu nuqtaning ordinatasi bo'ladi. A B 5 2 C 4 -5 M -2 -5 3 -3
B (2; 5); C (4; -5); M (-5; -2); A (-3; 3)
A (-4; 6) B (5; -3) C (2; 0) D (0; -5) Eslab qoling! M (a; b) nuqtani qurish algoritmi
x = a to'g'ri chiziqni qurish. Y = b to'g'ri chiziqni tuzing. Tuzilgan chiziqlarning
kesishish nuqtasini toping -bu M (a; b) nuqtasi bo'ladi 6 -4 5 -3 -5 Shakl
tenglamasi: a x + b = 0 bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan chiziqli tenglama deyiladi
(bu erda x - o'zgaruvchi, a va b - ba'zi sonlar). Diqqat! x - o'zgaruvchi tenglamaga
majburiy ravishda birinchi darajali kiritiladi. (45 - y) + 18 = 58 bitta chiziqli
tenglamali 3x² + 6x + 7 = 0 chiziqli tenglama emas, balki bitta o'zgaruvchili
chiziqli tenglama Eslatib o'tamiz!ax + by + c = 0 Ikki o'zgaruvchili chiziqli
tenglama Ikki noma'lum bo'lgan tenglamaning echimi - o'zgaruvchilar juftligi,
almashtirilganda tenglik haqiqiy son tengligiga aylanadi. Shakl tenglamasi: ikkita
o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglama deyiladi (bu erda x, y - o'zgaruvchilar, a, b va
c - ba'zi sonlar). (x; y)Bir o'zgaruvchiga ega bo'lgan chiziqli tenglamani echish
o'zgaruvchining o'sha qiymatlarini topishni anglatadi, ularning har birida tenglik
haqiqiy sonli tenglikka aylanadi. (x; y) -? Bunday echimlar cheksiz ko'p.Ikki
o'zgaruvchili chiziqli tenglama bir o'zgaruvchili tenglamalarga o'xshash
xususiyatlarga ega, agar siz tenglamadagi atamani bir qismdan ikkinchisiga
o'tkazsangiz, uning belgisini o'zgartirsangiz, siz ekvivalent tenglamani olasiz. 2.
Agar tenglamaning ikkala tomoni ham songa (nolga teng emas) ko'paytirilsa yoki
bo'linsa, u holda ekvivalent tenglama olinadi.10 ta ekvivalent tenglamalar 4y³
atamasi chapdan o'ngga ko'chirilgandan buyon ildizlari bir xil bo'lgan ikkita
o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamalar ekvivalent deb ataladi.
11 O x y 1 1 -misol Koordinata tekisligida x + y - 3 = 0 nuqtali ikkita
o'zgaruvchiga ega bo'lgan chiziqli tenglamaning echimlarini chizing. 1. (3; 0), (2;
1), (1; 2), (0; 3), (-2; 5) tenglamani qondiradigan bir nechta juft sonlarni tanlaylik.
2. XOy nuqtalarini quraylik: A (3; 0), B (2; 1), C (1; 2), E (0; 3), M (-2; 5). 3 E (0;
3) 1 2 C (1; 2) 1 2 B (2; 1) 3 A (3; 0) -2 5 M (-2; 5) 3. Barcha nuqtalarni ulang.
Diqqat! Barcha nuqtalar bitta to'g'ri chiziqda yotadi. Kelajakda: to'g'ri chiziq qurish
uchun 2 ball etarli mm - x + y - 3 = 0 tenglama grafigi Ular aytadilar: t -
21

tenglamaning geometrik modeli x + y - 3 = 0 -4 7 P (-4; 7) P (-4; 7) to'g'ri chiziqqa
tegishli bo'lgan va tenglamaning echimi bo'lgan juftlik
12 Xulosa: Agar (-4; 7) tenglamani qondiradigan juft sonlar bo'lsa, u holda P (-4;
7) nuqta m chizig'iga tegishli.Agar P nuqtasi (- 4; 7) m chiziqqa tegishli, keyin (-4;
7) juftlik tenglamaning yechimi hisoblanadi. Aksincha:
13 Teorema: ax + by + c = 0 har qanday chiziqli tenglamaning grafigi to'g'ri chiziq.
Grafik tuzish uchun ikkita nuqtaning koordinatalarini topish kifoya. Haqiqiy
vaziyat (og'zaki model) Algebraik model Geometrik model Ikki sonning yig'indisi
3.x + y = 3 (ikkita o'zgaruvchida chiziqli tenglama) to'g'ri chiziq t (ikkita
o'zgaruvchida chiziqli tenglama grafigi) x + y - 3 = 0
14 xy 1 2 -misol 3 x - 2y + 6 = 0 tenglamani tuzing 1. x = 0 bo'lsin, uni 3 · 0 - 2y +
6 = 0 - 2y + 6 tenglamasiga almashtiring. = 0 - 2y = - 6 y = - 6: (-2) y = 3 (0; 3) -
bir juft son, yechim 2. y = 0 bo'lsin, 3 x - 2 0 + tenglamaga almashtirilsin. 6 = 0 3x
+ 6 = 0 3x = - 6 x = - 6: 3 x = - 2 (-2; 0) - juft son, yechim 3. Nuqtalarni tuzing va 0
3 -2 to'g'ri chiziqni ulang. 3 x - 2y + 6 = 0Biz tez -tez ax + b = 0 shaklidagi
tenglamalarga duch keldik, bu erda a, b - sonlar, x - o'zgaruvchi. Masalan, bx - 8 =
0, x + 4 = 0, - 7x - 11 = 0 va boshqalar a, b sonlari (tenglamaning koeffitsientlari)
har qanday bo'lishi mumkin, faqat a = 0 bo'lgan hollar bundan mustasno.Ax + b =
0 tenglama, bu erda a, bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan chiziqli tenglama (yoki bitta
noma'lum x bo'lgan chiziqli tenglama) deyiladi. Buni hal qilish uchun, ya'ni x va a
orqali ifodalash uchun biz:Biz buni tez -tez aytib o'tgan edik matematik
model haqiqiy vaziyat - bu bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan chiziqli tenglama yoki
transformatsiyadan so'ng chiziqli holatga tushiriladigan tenglama. Endi shunday
haqiqiy vaziyatni ko'rib chiqaylik.A va B shaharlaridan, ularning orasidagi masofa
500 km, ikkita poezd bir -biriga, har biri o'z tezligiga ega. Ma'lumki, birinchi
poyezd ikkinchisidan 2 soat oldin ketgan. Ikkinchi poezd ketgandan uch soat
o'tgach, ular uchrashishdi. Poyezd tezligi nimaga teng?Keling, masalaning
matematik modelini tuzaylik. Birinchi poezdning tezligi x km / soat, ikkinchi
poyezdning y km / soat tezligi bo'lsin. Birinchisi 5 soat yo'lda bo'lgan va shuning
uchun bx km masofani bosib o'tgan. Ikkinchi poezd 3 soat yo'lda edi, ya'ni. Zu km
22

yo'lidan o'tdi.Ularning uchrashuvi C nuqtasida bo'lib o'tdi. 31 -rasmda vaziyatning
geometrik modeli ko'rsatilgan. Algebraik tilda uni quyidagicha ta'riflash mumkin:
5x + Zu = 500
yoki
5x + Zu - 500 = 0.
Bu matematik model ikkita o'zgaruvchan x, y bo'lgan chiziqli tenglama deb ataladi.
Umuman,
ax + by + c = 0,
bu erda a, b, c raqamlar, va, chiziqli tenglama x va y ikkita o'zgaruvchiga ega (yoki
ikkita noma'lum x va y).5x + 3y = 500 tenglamaga qaytamiz. E'tibor bering, agar x
= 40, y = 100 bo'lsa, 5 40 + 3 100 = 500 to'g'ri tenglikdir. Bu shuni anglatadiki,
masalaning savoliga javob quyidagicha bo'lishi mumkin: birinchi poezdning tezligi
40 km / soat, ikkinchi poezdning tezligi 100 km / soat. X = 40, y = 100 sonlar
juftligi 5x + 3y = 500 tenglamaning yechimi deb ataladi. Shuningdek, ular
aytadilarki, bu juftlik (x; y) 5x + 3y = 500 tenglamasini qondiradi.Afsuski, bu
qaror yagona emas (biz hammamiz aniqlikni, aniqlikni yaxshi ko'ramiz).
Darhaqiqat, bunday variant ham mumkin: x = 64, y = 60; haqiqatan ham, 5 64 + 3
60 = 500 - haqiqiy tenglik. Va bu: x = 70, y = 50 (chunki 5 70 + 3 50 = 500 to'g'ri
tenglikdir).Aytaylik, x = 80, y = 60 raqamlari juftligi tenglamaning echimi emas,
chunki bu qiymatlar uchun to'g'ri tenglik ishlamaydi:Umuman olganda, ax + by + c
= 0 tenglamaning yechimi, bu tenglamani qondiradigan har qanday juft juftlik (x;
y) deyiladi, ya'ni ax + by + c = 0 o'zgaruvchilari bilan tenglikni haqiqiyga
aylantiradi. raqamli tenglik. Bunday echimlar cheksiz ko'p.
Sharh.
23

Keling, yuqorida ko'rib chiqilgan masalada olingan 5x + 3y = 500
tenglamaga yana qaytaylik. Uning yechimlarining cheksiz to'plami orasida,
masalan, quyidagilar mavjud: x = 100, y = 0 (aslida 5 100 + 3 0 = 500 - haqiqiy
sonli tenglik); x = 118, y = - 30 (chunki 5 118 + 3 (-30) = 500 to'g'ri sonli
tenglikdir). Biroq, bo'lish tenglamaning yechimlari , bu juftliklar bu muammoning
echimi bo'lib xizmat qila olmaydi, chunki poezdning tezligi nolga teng bo'la
olmaydi (keyin u ketmaydi, lekin bir joyda turadi); bundan tashqari, poezd tezligi
manfiy bo'lishi mumkin emas (u holda, bu muammo bayonotida aytilganidek,
boshqa poezdga emas, balki teskari yo'nalishda). Misol 1. X + y - 3 = 0 ikkita
o'zgaruvchiga ega bo'lgan chiziqli tenglamaning echimlarini xOy koordinata
tekisligida nuqta sifatida chizish.
Yechim. Keling, berilgan tenglamaning bir nechta echimlarini, ya'ni tenglikni
qondiradigan bir nechta juft sonlarni tanlaylik: (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (- 2; 5) ).
"Ikki o'zgaruvchili tenglama va uning grafigi" video darsi o'quvchilarni ikki
o'zgaruvchili tenglama tushunchasi bilan tanishtiradi, uning echimi, ikkita
o'zgaruvchili tenglama grafigi, uning tuzilishi haqida tushuncha beradi. Video
darsning maqsadi - bu mavzu bo'yicha o'quv materialini vizual tarzda taqdim etish,
bu o'qituvchining darsdagi topshiriqlarni bajarishini osonlashtirish va dars vaqtidan
unumli foydalanish imkoniyatini berishdir.
3x + 4y = 16, x 2 = 9-y 2, xy-8 = 0. Bundan tashqari, ikkita o'zgaruvchida
tenglama echimlari haqida tushuncha berilgan. 3x + 4y = 16 tenglamani adolatli
tenglikka aylantiruvchi x = 4 va y = 1 o'zgaruvchilarning qiymatlarini almashtirish
ko'rsatilgan. Tenglamani echishning mohiyatini tushuntirgandan so'ng, tenglamani
echish kontseptsiyasi kiritiladi, bu holda bu raqamlar juftligi (4; 1) bo'lib, unda
birinchi navbatda x o'zgaruvchining qiymati ko'rsatilgan va y o'zgaruvchining
qiymati ikkinchi o'rinda turadi. Bundan tashqari, o'quvchilar eslab qolishlari
uchun, tenglamaning echimi nima ekanligini, ya'ni tenglamani haqiqiy tenglikka
aylantiruvchi o'zgaruvchilar uchun juftlik qiymatining ta'rifi ko'rsatiladi.Ikkita
o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamaning o'ziga xosligi ko'rsatilgan - ko'p hollarda
24

ular cheksiz echimlar to'plamiga ega. Ekvivalent tenglamalar tushunchasi kiritiladi,
ular bir xil echimlar to'plamiga ega bo'lgan tenglamalardir. Ikkita o'zgaruvchiga
ega bo'lgan butun tenglama va bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan butun tenglamaning
darajasini aniqlashning bir xil usuli qayd etilgan. Shuningdek, chap tomonda
polinom va o'ngda 0 polinomga ega bo'lgan ikkita o'zgaruvchini o'z ichiga olgan
tenglama, berilgan polinomga teng darajaga ega ekanligi ko'rsatilgan. Tenglama
darajasini aniqlashning usuli, uni ekvivalent tenglama bilan almashtirishdir, shunda
standart shakldagi polinom tenglamaning chap tomonida, nol esa chap tomonda
qoladi. Bunday almashtirishga misol keltiriladi: qayd etilgan (x 2 -y) 2 = x 4 -1 va
-2x 2 y + y 2 + 1 = 0 tenglamalar ekvivalentdir. Tenglamani shaklga tushirgandan
so'ng, chap tomonda standart shakldagi polinom qolganda, bu tenglamaning
uchinchi darajali ekanligini aniqlash mumkin.Keyinchalik, ikkita o'zgaruvchiga
ega bo'lgan tenglama grafigining xususiyatlarini ko'rib chiqamiz. Yuqoridagi
ta'rifda, ikkita o'zgaruvchiga ega bo'lgan ba'zi tenglamalarning grafigi
koordinatalar tekisligining nuqtalar to'plami bo'lib, ularning koordinatalarini
almashtirib, to'g'ri tenglikni olish mumkin. Talabalarga ikkita o'zgaruvchiga ega
bo'lgan tenglama grafigi bo'lgan o'rganilgan grafiklar eslatiladi. Bu ax + by = c
chiziqli tenglama grafigini ifodalovchi to'g'ri chiziq, bu erda a ≠ 0 va b ≠ 0,
shuningdek parabola - y = x 2 tenglama grafigi, giperbola - y = 15
grafik.O'quvchilarga x 2 + y 2 = r 2 funktsiyasini chizish ko'rsatiladi, bu erda r -
ixtiyoriy musbat son. Bu tenglamaning grafigi bo'lgan aylana ekranda ko'rsatiladi.
Aylananing istalgan nuqtasi bu tenglamani qondirishi isbotlangan. Buning uchun
ixtiyoriy B (x; y) nuqtani belgilang. Abstsessa o'qiga tushgan perpendikulyarning
uzunligi shu nuqtaning ordinat moduliga teng va bu nuqtadan boshiga chizilgan
segment radiusdir. Segmentning kelib chiqishidan perpendikulyarning xo'ppoz
bilan kesishish nuqtasigacha bo'lgan uzunligi abscissa moduliga teng. Olingan
to'g'ri burchakli AOB uchburchakdan biz tenglikka egamiz: Bu tenglik modul
belgisiz ham to'g'ri.Tenglama aylananing har qanday B (x; y) pozitsiyasida to'g'ri
ekanligiga ishonch hosil qilish uchun aylananing abssissa o'qi bilan kesishish
nuqtasida joylashgan B nuqtasini ko'rib chiqish taklif etiladi. Ta'kidlanishicha, bu
25

holda nuqtaning bitta koordinatasi radiusga, ikkinchisi nolga teng. X 2 + y 2 = r 2
tenglama 0 2 + r 2 = r 2 bo'ladi, shuning uchun tenglik ham amal qiladi. Bundan
tashqari, ta'rif sohasida bo'lmagan barcha nuqtalar uchun ularning koordinatalari
aylana x 2 + y 2 = r 2 tenglamasini qondirmaydi. Bunday nuqtalarga misollar
koordinata tekisligida belgilanadi. Ko'rib chiqilgan qurilishning umumiy xulosasi
shuni ko'rsatadiki, x 2 + y 2 = r 2 yozuvidagi aylana tenglamasi A (x; y) nuqtalar φ,
O (0; 0) - aylananing markazi, r - radius.Bundan tashqari, aylana tenglamasi uning
markazining holatiga bog'liqligi ko'rib chiqiladi. Qayd etilishicha, markaz | a | ga
ko'chirilganda birliklari o'ngga yoki chapga parallel ravishda x ga, shuningdek | b |
da birliklar yuqoriga yoki pastga, y ga parallel, faqat O (a; b) yangi koordinatalari
bo'lgan nuqtada markazlashtirilgan bir xil radiusli aylana olinadi. Bunday
aylananing tenglamasi (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 2 ga teng.
Diofant tenglamalarini yechish
Diofant tenglamalarini yechish o‘quvchilardan alohida e’tibor, malaka va
bilimni talab qiladi. Shuning uchun ham Diofant tenglamalari fan
olimpiadalarining turli bosqichlarida, Xalqaro olimpiada topshiriqlarida alohida
ahamiyatga ega. Diofant tenglamalarining umumiy ko‘rinishi ?????? ( ?????? 1, ?????? 2, … , ???????????? ) =
0 shaklda bo‘ladi. Bu yerda ?????? ifoda ?????? 1, ?????? 2, … , ???????????? o‘zgaruvchilari butun sonlar
bo‘lganida butun qiymatlar qabul qiladi. Tenglama III asrda yashagan yunon
matematigi Diofant sharafiga shunday nomlangan. Diofant o’zining mashhur
“Arifmetika” kitobida algebraik tenglamalarni yechish usullarini hamda sonlar
nazariyasining asosiy usullarini bayon qilib G‘arbda "Science and Education"
Scientific Journal / ISSN 2181-0842 November 2021 / Volume 2 Issue 11
www.openscience.uz 89 “algebraning otasi” degan nomga sazovor bo‘lgan.
Mazkur kitobda algebraik tenglamalarning butun yechimlarini topishga oid
ko‘pgina masalalar jamlangan. Diofant tenglamalari 2 xil: chiziqli va yuqori
darajali ko‘rinishda beriladi. Tenglama shartiga ko‘ra natural yoki butun yechimlar
topiladi. Chiziqli diofant tenglamalari Ta’rif. ?????? 1 ?????? 1 + ?????? 2 ?????? 2 + ⋯ + ???????????????????????? = ??????
ko‘rinishdagi tenglamalar chiziqli diofant tenglamalari deyiladi. Bu yerda ?????? 1, ?????? 2,
26

… , ???????????? , ?????????????????? . ?????? ≥ 1 va ?????? 1, ?????? 2, … , ???????????? ≠ 0 deb faraz qilamiz. [1] Ko‘pincha diofant
tenglamalarini yechishda tenglikning birinchi qismi bir songa karrali qilib
qolganlarini ikkinchi qismiga o‘tkazib olinadi va ikkinchi qismi ham shu songa
karrali bo‘lganda to‘g‘ri deb tenglamaning yechimlari topiladi. 1-misol.
Tenglamaning barcha natural ?????? , ?????? yechimlarini toping 7 ?????? + 13 ?????? = 113. Yechish.
Bu masalani tenglikning 1-qismi birorta songa bo‘linsa, albatta 2-qismi ham shu
songa bo‘linishidan topish mumkin. Tenglikning o‘ng tomonidan 7 ga karrali
qismini ajratib olamiz: 7 ?????? + 14 ?????? − ?????? = 113, keyin ?????? ni tenglikning chap qismiga
o‘tkazib 7 ?????? + 14 ?????? = ?????? + 113 ko‘rinishdagi tenglikka ega bo‘lamiz 7( ?????? + 2 ?????? ) = ?????? +
113 (1) oxirgi tenglamaning o‘ng tomoni 7 ga karrali. Demak, chap qismi ham 7 ga
karrali bo‘lishi lozim. ?????? + 113 = 112 + 1 + ?????? = 7 ?????? , ?????????????????? . Bundan 1 + ?????? ifoda 7 ga
karrali yoki 0 bo‘lishi kerak. ?????? = 6, 13, 20, … = 7 ?????? − 1 topilgan ?????? ning qiymatlarini
(1) ifodaga qo‘yib faqat ?????? = 6 bo‘lganida ?????? = 5 ga teng bo‘lgan natural qiymat
qabul qilishini aniqlab olamiz. Demak (5; 6) tenglamaning yagona natural yechimi
ekan. 2-misol. 127 ?????? − 52 ?????? + 1 = 0 tenglamaning natural sonlardagi yechimini
toping. Yechish. Tenglikning birinchi tarafidan 4 ga karrali qismini ajratib olamiz
va qolgan qismini tenglikning o‘ng tarafiga o‘tkazib 128 ?????? + 52 ?????? = ?????? − 1 tenglikka
ega bo‘lamiz. 4 · (32 ?????? − 13 ?????? ) = ?????? − 1 bu tenglikning chap qismi 4 ga karrali
bo‘lgani uchun o‘ng qismi ham 4 ga karrali bo‘lishi kerak. Demak ?????? − 1 = 4 ?????? , ??????????????????
chunki o‘ng qismi musbat chap qismi ham musbat bo‘lishi kerak. ?????? = 1,2,3, …
qiymatlar yordamida ?????? va ?????? larni aniqlaymiz va ?????? = 2 da yagona ?????? = 9 va ?????? = 22 ga
teng bo‘lgan natural yechimga ega bo’lamiz. 3-misol. Tenglamaning butun
sonlardagi yechimini toping. 6 ?????? + 10 ?????? − 7 ?????? = 11 tenglamaning barcha butun
yechimlari ?????? , ?????? , ?????? larni topamiz. ?????? ′ = − ?????? deb olib, "Science and Education"
Scientific Journal / ISSN 2181-0842 November 2021 / Volume 2 Issue 11
www.openscience.uz 90 6 ?????? + 10 ?????? + 7 ?????? ′ = 11 tenglamaga ega bo`lamiz. 10 + 7 = 3
ekanligini hisobga olib, 6 ?????? + 7( ?????? + ?????? ′ ) + 3 ?????? = 11 tenglamaga va ?????? + ?????? ′ = ?????? deb
olib, 6 ?????? + 7 ?????? + 3 ?????? = 11 tenglamaga ega bo`lamiz. Endi 7 = 6 + 1 ekanligini hisobga
27

olib, 6( ?????? + ?????? ) + ?????? + 3 ?????? = 11 va ?????? + ?????? = ?????? deb olib, 6 ?????? + ?????? = 11 tenglamani hosil
qilamiz. Agar ?????? ′ va ?????? lar uchun ixtiyoriy butun sonlarni olib, ?????? = 11 − 3 ?????? − 6 ?????? deb
olsak, bu tenglamaning barcha butun yechimlari ?????? , ?????? , ?????? larga ega bo`lamiz. ?????? + ?????? =
?????? bo‘lgani uchun ?????? = ?????? − ?????? = 3 ?????? + 7 ?????? − 11 bo`ladi va ?????? ′ = − ?????? va ?????? + ?????? ′ = ??????
bo`lgani uchun ?????? = ?????? − ?????? = 4 ?????? + 6 ?????? − 11 ga ega bo`lamiz. Tenglamaning barcha
butun yechimlari ?????? , ?????? , ?????? ?????? = 3 ?????? + 7 ?????? − 11 va ?????? = 4 ?????? + 6 ?????? − 11 lardan topiladi, bu
yerda ?????? va ?????? lar uchun ixtiyoriy butun sonlar. Haqiqatan ham, 6(3 ?????? + 7 ?????? − 11) +
10 ?????? − 7(4 ?????? + 6 ?????? − 11) = 11 ixtiyoriy butun ?????? , ?????? larda to‘g‘ri tenglik hosil bo‘ladi.
2-darajali diofant tenglamalari 2-darajali ikki noma’lumli tenglamalarining
umumiy ko‘rinishi ???????????? 2 + ?????????????????? + ???????????? 2 + ???????????? + ???????????? + ?????? = 0 shaklida bo‘lib, bunda ?????? ,
?????? , ?????? , ?????? , ?????? , ?????? -berilgan butun sonlar, hamda ?????? , ?????? , ?????? lardan kamida bittasi noldan farqli
bo‘lishi kerak. [2] Yuqori darajali aniqmas tenglamalarni butun sonlarda
yechishning aniq usullari bo‘lmasa-da, biz ba’zi usullar: qoldiqlar nazariyasidan,
qisqa ko‘paytirish formulalaridan hamda mantiqiy fikrlardan foydalanamiz:
Qoldiqlar nazariyasidan foydalanish. Har qanday juft sonning kvadratini 4 ga
bo‘lishda qoldiqda 0 bo‘ladi. Har qanday toq sonning kvadratini 4 ga bo‘lganda
qoldiq 1 ga teng bo‘ladi.1 (2 ?????? ) 2 = 4 ?????? 2 ; (2 ?????? + 1) 2 = 4( ?????? 2 + ?????? ) + 1 3 ga karrali
sonning kvdratini 3 ga bo‘lganda qoldiq 0 ga teng, 3 ga karrali bo‘lmagan soning
kvadratini 3 ga bo‘lganda qoldiq 1 ga teng bo‘ladi. (3 ?????? ) 2 = 3 · 3 ?????? 2 , (3 ?????? + 1) 2 = 3
·
(3 ?????? 2 + 2 ?????? ) + 1, (3 ?????? + 2) 2 = 3 · (3 ?????? 2 + 4 ?????? + 1) + 1 endi bu usullarni misollarda
qo‘llaymiz.[3] 4-misol. 3 ?????? 2 − 4 ?????? 2 = 13 tenglamaning natural sonlardagi
yechimini toping. Yechish. Berilgan tenglamani 4 ?????? 2 − 4 ?????? 2 − 12 = 1 + ?????? 2 , 4( ?????? 2
− ?????? 2 − 3) = 1 + ?????? 2 ko‘rinishida yozamiz. Tenglikning 1-qismi 4 ga karrali.
Sonning kvadratini 4 ga bo‘lishda qoldiqda 0 yoki 1 qolgani uchun 1 + ?????? 2 ifodani
4 ga bo’lganda qoldiq 1 yoki 2 ga teng bo‘ladi. Bunday tenglikning 4 ga bo‘lishi
mumkin emas. Demak, berilgan tenglama natural yechimga ega emas. "Science
and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842 November 2021 / Volume 2
Issue 11 www.openscience.uz 91 5-misol. ?????? 3 − ?????? 3 = 91 tenglamani natural
28

sonlarda yeching. Yechish. Berilgan tenglamani ko‘paytuvchilarga ajratamiz ( ?????? −
?????? )( ?????? 2 + ???????????? + ?????? 2 ) = 91. 91 sonining bo‘luvchilarini topamiz 91 = (±1) · (±91) =
(±7)
· (±13) = (±13) · (±7) Bu ko‘paytmalardan foydalanib tenglamani yechganda.
{ ?????? − ?????? = 7 ?????? 2 + ???????????? + ?????? 2 = 13 ga teng bo‘lgan holgina tenglikni qanoatlantirishini
ko‘rish mumkin. Boshqa sonlarni qo‘yganda tenglama natural yechimga ega
bo‘lmaydi. Bu sistemani yechib ?????? = 5, ?????? = 6 ga teng bo‘lgan yagona natural
yechimga ega bo‘lamiz. 6-misol. Tenglamaning butun sonlardagi yechimini
toping: ?????? + ?????? = 2 ???????????? . Yechish. Bu tenglamani yechish uchun 1 noma’lum ikkinchisi
orqali ifodalab olinadi ?????? = ?????? ???????????? − ?????? ; 2 ?????? = 2 ?????? −1+1 2 ?????? −1 ; 2 ?????? = 1 + 1 2 ?????? −1 tenglikni
hosil qilamiz. ?????? ni tanlab olish usuli orqali unga mos ?????? ning qiymati topiladi. 2 ?????? −
1 ifoda 1; -1 ga teng bo‘lgan qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Chunki kasr butun
son chiqishi zarur. Bu qiymatlarni tenglikka qo‘yib (0;-1) va (1; 1) ga teng bo‘lgan
2 ta yechimga ega bo‘lamiz. 7-misol. Quyidagi ( ?????? − ?????? ) 2 + ( ?????? − ?????? ) 2 + ( ?????? − ?????? ) 2 =
30 tenglama butun sonlarda yechimga ega emasligini isbotlang. Yechish.
Tenglikning chap tomonini ko‘paytuvchilarga ajratish orqali berilgan tenglamani
quyidagi ko‘rinishga keltiramiz: ( ?????? − ?????? )( ?????? − ?????? )( ?????? − ?????? ) = 10. Ta’kidlaymizki, ( ?????? −
?????? ) + ( ?????? − ?????? ) + ( ?????? − ?????? ) = 0. Ikkinchi tomondan, 10 sonining bo‘luvchilari ±1, ±2, ±5,
±10 ga teng, bu to‘plamdan olingan ko‘paytmasi 10 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy uchta
sonning yig‘indisi nolga teng bo‘lmaydi. Demak, berilgan tenglama butun sonlar
to‘plamida yechimga ega emas.
Xulosa
Diofant tenglamalarining butun va ratsional yechimlarini topish usullari, so’ngra
ikki noma’lumli chiziqli tenglamalani yechish usullari batafsil bayon etildi,
misollar keltirildi. So’ngra ko’p noma’lumli yuqori darajali tenglamalarning
yechimi ma’lum bo’lgan bir qator ko’rinishlari o‘rganildi, yechimi haligacha
noma’lum bo’lgan tenglamalar keltirildi. Bundan tashqari, ayrim ko’rinishdagi
tenglamalar bilan bog’liq tarixiy ma’lumotlar, ular bilan shug’ullangan klassik
29

matematiklar hamda tenglamaning geometrik mazmuni talqin etildi. Yuqori
darajali ko’p noma’lumli tenglamalarning ko’paytuvchilarga ajratish, sonning juft‐
toqligidan foydalanish, taqqoslamalarni qo’llash va boshqa xususiy usullari bayon
etildi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Agaxanov N.Kh., Kuptsov L.P., Nesterenko Yu.V., Reznichenko S.V., Slinko
A.M. (1997) Matematicheskiye olimpiady dlya shkolnikov [Mathematical
Olympiads for pupils]. Moscow: Prosveshcheniye.
2. N.Rahimov.(2020) Matematikadan nostandart masalalar. I qism. Samarqand:
SamDChTI. "Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
November 2021 / Volume 2 Issue 11 www.openscience.uz 92
3. Vasilev N.B., Gutenmaher V.L., Rabbot J.P., Toom A.L. (1981) Zaochnyye
matematicheskiye olimpiady [Correspondence Mathematical Olympiads].
Moscow: Nauka.
4. Gal'perin G.A., Tolpygo A.K. (1996) Moskovskiye matematicheskiye olimpiady
[Moscow Mathematical Olympiads]. Moscow: Prosveshcheniye.
5. Tohirov А., Mo‘minov G‘. Matematikadan olimpiada masalalari [Olympiad
problems in mathematics]. Tashkent: O‘qituvchi.
30

Ikki o'zgaruvchining chiziqli diofant tenglamalarni yechish algoritmi foydalanilgan adabiyotlar Mundarija KIRISH 1.Ma’lumot: 1. 1. Ta’rif 1.2. Tengsizlikni o'rganish va teoremasi 2. Amaliy : 2.1. Ikki o'zgaruvchidagi tenglamalar NS va da shaklida ishlash 2.2 Tenglamalarning grafiklarini ikkita o'zgaruvchiga aylantirish va tenglamalar grafigining eng oddiy konvertatsiyasi qoidalarini shakllantirish 2.3. Tenglamaning yechimlari va misollar yechish usullari Xulosa..... Foydanilgan adabiyotlar 1

Kirish Yechimlari integral yoki butun sonlarda izlanadigan algebraik tengsizliklar yoki ularning ratsional koeffitsientli tizimlari. Qoidaga ko'ra, Diofantin tenglamalarida noma'lumlar soni ko'proq. Shunday qilib, ular noaniq tengsizliklar sifatida ham tanilgan. Zamonaviy matematikada yuqoridagi tushuncha yechimlari Q-ratsional o zgaruvchilar maydoni, p-adik o zgaruvchilar maydoni vaʻ ʻ boshqalarning qandaydir kengayishi algebraik butun sonlarida izlanadigan algebraik tenglamalarga nisbatan qo llaniladi.Diofant tenglamalarini o'rganish ʻ raqamlar nazariyasi va algebraik geometriya o'rtasidagi chegarada joylashgan. Butun o‘zgaruvchilarda yechim topish eng qadimgi matematik masalalardan biridir. Miloddan avvalgi II ming yillikning boshlarida. qadimgi bobilliklar ikkita noma'lumli tenglamalar tizimini echishga muvaffaq bo'lishdi. Diofant (taxminan 3- asr) arifmetikasi har xil turdagi va tenglamalar tizimini o'z ichiga olgan muhim va asosiy manbadir.Bu kitobda Diofant 19-asrda to liq ishlab chiqilgan ikkinchi va ʻ uchinchi darajali tengsizliklarni o rganishning bir qancha usullarini oldindan ko ra ʻ ʻ olgan.. Uning ishi aniq diofant tenglamalari yechimlarini o'z ichiga olgan bo'lsa-da, u bir nechta umumiy usullar bilan ham tanish bo'lgan deb ishonishga asos bor.Ushbu tengsizliklarni o'rganish odatda jiddiy qiyinchiliklar bilan bog'liq. Ularda F (x, y1,…, y n) butun koeffitsientli ko'phadlar borligi sababli. Shundan kelib chiqib, F (x, y 1 ,…., y n) tenglama qanoatlantirilishi yoki bajarilmaganligini har qanday berilgan x uchun aniqlay oladigan yagona algoritm mavjud emasligi haqidagi xulosalar chiqarildi. Vaziyat y 1, …, y n uchun hal qilinadi. Bunday ko'phadlarga misollar yozilishi mumkin.ax + by = 1, bu erda a va b nisbatan butun va tub sonlar bo'lsa, u uchun juda ko'p sonli bajarilishlar mavjud (agar x 0, y 0 natija hosil bo'lsa, u holda x = x 0 + b n o'zgaruvchilar juftligi va y = y 0 -an , bu erda n ixtiyoriy, tengsizlikni bajaruvchi sifatida ham ko'rib chiqiladi). Diofant tenglamalarining yana bir misoli x 2 + y 2 = z 2 dir. Bu tengsizlikning musbat integral yechimlari kichik tomonlari x, y va to'g'ri burchakli uchburchaklar 2

uzunliklari, shuningdek, butun tomon o'lchamlari bilan gipotenuza z hisoblanadi. Bu raqamlar Pifagor raqamlari Diofant tenglamalari haqida tushuncha Matematikaning geometriya usullari bilan algebra tenglamalar sistemalarining integral va ratsional yechimlarini o'rganish predmeti bo'lgan bo'limi, xuddi shu sohadan. 19-asrning 2-yarmida bu sonlar nazariyasining paydo bo lishi diofant tenglamalarini koeffitsientli ixtiyoriy maydondan o rganishga olibʻ ʻ keldi va yechimlar uning ichida yoki uning halqalarida ko rib chiqildi. Algebraik ʻ funksiyalar tizimi raqamlar bilan parallel ravishda ishlab chiqilgan. D.Hilbert va xususan, L.Kroneker tomonidan ta'kidlangan ikkala o'rtasidagi asosiy o'xshashlik odatda global deb ataladigan turli xil arifmetik tushunchalarni bir xilda qurishga olib keldi. Bu ayniqsa, konstantalarning cheklangan maydonida o'rganilayotgan algebraik funktsiyalar bir o'zgaruvchi bo'lsa, seziladi. Sinf maydoni nazariyasi, bo'linuvchi va tarmoqlanish va natijalar kabi tushunchalar yuqoridagilarning yaxshi namunasidir. Bu nuqtai nazar diofant tengsizliklari tizimida keyinroq qabul qilingan va faqat sonli koeffitsientlar bilan emas, balki funksiya bo'lgan koeffitsientlar bilan ham tizimli tadqiqotlar faqat 1950-yillarda boshlangan. Ushbu yondashuvning hal qiluvchi omillaridan biri algebraik geometriyaning rivojlanishi edi. Bitta fanning ikki barobar muhim jihati sifatida vujudga keladigan son va funksiya sohalarining bir vaqtda o‘rganilishi nafis va ishonchli natijalar beribgina qolmay, balki ikki mavzuning o‘zaro boyishiga olib keldi.Algebraik geometriyada xilma-xillik tushunchasi berilgan K maydonidagi o'zgarmas tengsizliklar to'plamini almashtirish uchun ishlatiladi va ularning echimlari K yoki uning chekli kengaytmasidagi qiymatlari bo'lgan ratsional nuqtalar bilan almashtiriladi. Shunga ko'ra, aytish mumkinki, diofant geometriyasining asosiy muammosi X(K) algebraik to'plamining ratsional nuqtalarini o'rganishdir, bu erda X - K 3

maydonidagi ma'lum sonlar. Butun sonni amalga oshirish mavjud. Geyomeririk ma’no chiziqli diofant tenglamalarida. Teorema : (1.1) tenglama butun yechimlarga ega bo’lishi uchun , b son EKUB () ga bo’linishi zarur va yetarli . Agar (1.1) tenglama yechimga ega bo’lsa , barcha yechimlari (n-1) ta butun parametrga bog’liq bo’ladi. Natija : o’zaro tub sonlar bo’lsin. Agar () (1.4) tenglamani qanoatlantirsa , u holda (1.4) ning barcha yechimlari quyidagicha topiladi : , t Z (1.5) Endi shunga o’xshash ba’zi bir diofant tenglamalarning yechilishlarini ko’rib chiqamiz . Bizdan quyidagicha diofant tenglamalarni yechish talab etilgan bo’lsin : 1-masala . 3x+4y+5z=6 Yechish:3x+4y 1 (mod 5) , demak , 3x+4y=1+5S , S Z U holda bu tenglamaning hususiy yechimi x= -1+3S , y=1-S bo’ladi. (1.5) ga ko’ra : x=-1+3S+4t , y=1-S-3t Berilgan tenglamaga qo’ysak Z=1-S ni hosil qilamiz. Demak , umumiy yechim quyidagicha bo’ladi. (x,y,z)=(-1+3S+4t , 1-S-3t , 1-S) , S,t Z 2-masala. 6x+10y-5z=1 Yechilishi: y 1(mod 3) , demak y=1+3S , S Z va 6x-15z = -9-30S , 2x- 5z=-3-10S z 1(mod 2)  z=1+2t , t Z  x=1-5S+5t . demak, tenglamaning yechimi (x,y,z)=(1-5s+5t , 1+3s , 1+2t ) 3- masala. 3x+4y+5z=7 4

Yechilashi:Butenglamax+4y2(mod5)taqqoslamaga teng kuchli .Uni quyidagicha yozish mumkin:3x+4y=2+5s,s Z 3x+4y=9s+6-4-4s desak , xususiy xolda x=3s+2y=-1-s yechimga ega bo’ladi. Bularni yuqoridagi tenglamaga qo’yamiz((1.5)ga) Va x=3s+2+4t ,y=-1-s-3t Berilgan tenglamaga qo’ysak, z=1-s kelib chiqadi . Demak , tenglamaning yechimi (x,y,z)=(3s+2+4t , -1-s-3t , 1-s) , s,t Z ko’rinishda bo’ladi. Diofantni tahlil qilish Algebraik navlar bo'yicha ratsional (yoki integral) nuqtalarni o'rganishda birinchi muammo paydo bo'ladi, bu ularning mavjudligi. Gilbertning o'ninchi muammosi ushbu muammoni hal qilishning umumiy usulini topish muammosi sifatida tuzilgan. Algoritmning aniq ta'rifini yaratish jarayonida va shunga o'xshash bajarilishlar isbotlanganidan keyin katta raqam muammolar mavjud emas, muammo aniq salbiy natijaga erishdi va eng qiziqarli savol yuqoridagi tizim mavjud bo'lgan diofant tenglamalari sinflarini aniqlashdir. Algebraik nuqtai nazardan eng tabiiy yondashuv Hasse printsipi deb ataladi: boshlang'ich maydon K barcha mumkin bo'lgan taxminlar uchun uning to'ldirilishi K v bilan birga o'rganiladi. X(K) = X(K v) borliqning zaruriy sharti bo’lgani uchun va K nuqta X(K v) to’plam hamma v uchun bo’sh emasligini hisobga oladi.Muhimligi shundaki, u ikkita muammoni birlashtiradi. Ikkinchisi ancha sodda, uni ma'lum algoritm bilan yechish mumkin. X xilma-xilligi proyektiv bo'lgan alohida holatda, Hansel lemmasi va uning umumlashmalari yanada qisqarishga imkon beradi: muammoni cheklangan maydon ustidagi ratsional nuqtalarni o'rganishga qisqartirish mumkin. Keyin u kontseptsiyani izchil tadqiqotlar yoki samaraliroq usullar orqali qurishga qaror qiladi.Oxirgi muhim mulohaza shuki, X(K v) to‘plamlar chekli v sonidan tashqari hamma uchun bo‘sh emas, shuning uchun shartlar soni har doim chekli bo‘ladi va ularni samarali tekshirish mumkin. Biroq, Hasse printsipi daraja egri chiziqlariga taalluqli emas. Masalan, 3x 3 + 4y 3 =5 5

ikki o'zgaruvchining chiziqli diofant tenglamalarni yechish algoritmi foydalanilgan adabiyotlar

13.08.2023

0

80.7373046875 KB

Похожие