logo
  1. Главная страница
  2. Дипломные работы
  3. Общий
  4. KASR TUSHUNCHASI BILAN TANISHTIRISH.

KASR TUSHUNCHASI BILAN TANISHTIRISH.

Загружено в:

12.08.2023

Скачано:

0

Размер:

103.1220703125 KB
Скачать
MAVZU: KASR TUSHUNCHASI BILAN TANISHTIRISH. Mundarija Kirish ............................................................................................................................................................ 2 1-bob. Matematika darslarida kasrning matematik tushunchasini shakllantirishning nazariy va uslubiy asoslari. ....................................................................................................................................................... 6 Matematika darslarida matematik tushunchalarni shakllantirish jarayoni .................................................. 6 1.2. Matematika darslarida matematik tushunchalarni kiritish usullari ..................................................... 16 2-bob. Matematika darslarida kasrning matematik tushunchasini kiritish va shakllantirishni amaliy o’rganish. ................................................................................................................................................... 23 2.1. Kasr haqida tushuncha ........................................................................................................................ 23 2.2. Matematika darslarida kasrning matematik tushunchasini kiritish va shakllantirish .......................... 25 Notoʻgʻri kasr nima? ............................................................................................................................... 34 Aralash sonlar nima? ............................................................................................................................. 35 ............................................................................................................................................................... 35 Aralash sonni notoʻgʻri kasr koʻrinishida qayta yozish ............................................................................ 35 ................................................................................................................................................................... 36 Notoʻgʻri kasrni aralash son koʻrinishida qayta yozish ............................................................................ 36 Xulosa ........................................................................................................................................................ 37 Adabiyotlar ro'yxati .................................................................................................................................... 39 1 Kirish Kasr   ( arabcha :   رسك   —  bo lak,  parcha) ʻ   —   matematikada   birning  bitta  yoki  bir nechta  qismidan  (bo lagidan)  iborat  son.  Kasr  ikkita  butun  sonning  nisbati  bilan ʻ ifodalanadi:     yoki  n/m.  Bu  yerda   m   kasrning   maxraji ,   n   bo lsa ʻ   surati   deyiladi. Maxraj  chiziqning  ostiga  (yoki  ketiga),  surat  bo lsa  chiziqning  ustiga  (yoki  oldiga) ʻ yoziladi. Maxraj  bir  sonni  necha  bo lakka  bo linganini  ko rsatadi,  surat  bo lsa  shu ʻ ʻ ʻ ʻ kasrda  shunday  ulushlardan  nechta  borligini  ko rsatadi.  Masalan, ʻ     kasrida  surat  3 dir  va  u kasr  teng  uch  bo lakni  ifodalashini  ko rsatadi.  Maxraj  bo lsa  4 dir  va  u ʻ ʻ ʻ to rtta  bo lak  bir  bo lib  butunni  hosil  qilishini  anglatadi. ʻ ʻ ʻ Matematikada     ko rinishida   yozsa   bo ladigan   barcha   sonlar ʻ ʻ   ratsional sonlar   to plamiga  kiradi.  Bu  yerda  a va  b butun  sonlardir  va  b 0 ga  teng  emas ʻ (b‡0). Kasr  sonlar  yaqqol  surat  yoki  maxrajli  bo lmasligi  ham  mumkin,  masalan ʻ o nli  kasr, ʻ   foiz ,  manfiy  darajalar  (mos  ravishda  0,01,  1%  va  10 −2 ;  bularning  har  biri 1/100  ga  teng).  Butun  sonni  ham  maxraji  1 ga  teng  kasr  ko rinishida  yozish ʻ mumkin:  masalan  7 va  7/1  bir-biriga  teng. Kasrlar   nisbat   va   bo linmalarni ʻ   ifodalashda  ham  ishlatiladi. [1]   Masalan,  3/4 kasr  3:4  nisbat  va  3 ÷ 4 bo linmani  ifodalaydi. ʻ Matematikaning  ko'pgina  ilovalari  miqdorlarni  o'lchash  bilan  bog'liq.  Biroq, bu  maqsadlar  uchun  natural  sonlar  etarli  emas;  miqdor  birligi  har  doim  ham o'lchangan  miqdorning  butun  soniga  to'g'ri  kelmaydi.  Bunday  vaziyatda  o'lchov natijasini  to'g'ri  ifodalash  uchun  tabiiy  raqamlardan  boshqa  raqamlarni  kiritish orqali  sonlar  zaxirasini  kengaytirish  kerak.  Qadim  zamonlarda  odamlar  shunday xulosaga  kelishgan:  uzunliklarni,  maydonlarni,  massalarni  va  boshqa  miqdorlarni o'lchash  dastlab  kasr  sonlarning  paydo  bo'lishiga  olib  keldi  - ular  ratsional  sonlarni olishdi  va  V  asrda.  Miloddan  avvalgi.  Pifagor  maktabi  matematiklari  uzunligi tanlangan  uzunlik  birligi  bilan  ratsional  son  bilan  ifodalab  bo'lmaydigan segmentlar  mavjudligini  aniqladilar.  Keyinchalik,  bu  masalani  hal  qilish  bilan 2 bog'liq holda,  irratsional  sonlar  paydo  bo'ldi.  Ratsional  va  irratsional  sonlar  haqiqiy sonlar  deyiladi. Haqiqiy  raqamlar  turli  raqamlar  qatoridagi  oxirgi  emas.  Natural  sonlar to'plamining  kengayishi  bilan  boshlangan  jarayon  bugungi  kunda  ham  davom etmoqda  - buni  turli  fanlar  va  matematikaning  o'zi  rivojlanishi  talab  qilmoqda. O'quvchilarni  kasr  sonlar  bilan  tanishtirish,  qoida  tariqasida,  boshlang'ich sinflarda  sodir  bo'ladi.  Keyin  o'rta  maktabda  kasr  tushunchasi  takomillashtiriladi va  kengaytiriladi.  Shu  munosabat  bilan  o`qituvchi  kasr  va  ratsional  son tushunchalarini  bilishi,  ratsional  sonlar  ustida  amallarni  bajarish  qoidalarini,  bu amallarning  xossalarini  bilishi  kerak.  Bularning  barchasi  nafaqat  kasrlar kontseptsiyasini  matematik  jihatdan  to'g'ri  kiritish  va  kichik  yoshdagi  o'quvchilarni ular  bilan  amallarni  bajarishga  o'rgatish  uchun,  balki  ratsional  va  haqiqiy  sonlar to'plamining  tabiiy  sonlar  to'plami  bilan  bog'liqligini  ko'rish  uchun  ham  zarurdir. raqamlar.  Ularning  tushunchasisiz  maktabning  boshlang’ich  va  keyingi  sinflarida matematika  o’qitishda  uzviylik  masalasini  hal  qilib  bo’lmaydi. Ushbu  muammoning  dolzarbligidan  kelib  chiqib,  biz  o‘quv  mashg‘ulotimiz mavzusini  “Matematik  tushunchalarni  shakllantirish”  (Kesrlar.  5-sinf)  tanladik. Tadqiqot  ob'ekti  kasr  tushunchasini  shakllantirish  jarayonidir. Tadqiqot  predmeti  matematika  darslariga  matematik  tushunchalarni  kiritish va  shakllantirish  usullaridan  iborat. Ishning  maqsadi  matematika  darslarida  matematik  tushunchalarni  joriy  etish va  shakllantirish  usullarini  ishlab  chiqishdan  iborat. Maqsadga  muvofiq,  5-sinf  o‘quvchilarida  kasr  tushunchasini  ratsional  son sifatida  shakllantirishga  yo‘naltirilgan  tizimli  va  maqsadli  ishlar  jarayonida  kasr tushunchasi  shakllanadi,  degan  gipoteza  asosida  ish  olib  borildi. Maqsad  va  gipotezaga  muvofiq  quyidagi  vazifalar  qo'yildi: -  uslubiy-matematik  va  psixologik-pedagogik  adabiyotlarni  tahlil  qilish  va kasr  tushunchasiga  oid  nazariy  qoidalarni  aniqlash; 3 - uslubiy-matematik  adabiyotlarni  tahlil  qilish  hamda  matematika  darslarida kasr  tushunchasini  kiritish  va  shakllantirish  usullarini  aniqlash,  kasr  tushunchasini kiritishga  turlicha  yondashuvlarni  ko‘rib  chiqish; -  kasrni  ratsional  son  sifatida  shakllantirishga  qaratilgan  mashqlarni  tanlash  va tekshirish; —  kasrni  ratsional  son  sifatida  kiritish  va  shakllantirish  usullari  bo‘yicha uslubiy  tavsiyalar  ishlab  chiqish. Belgilangan  vazifalarni  hal  qilish  uchun  tadqiqot  usullari  qo'llanildi:  kuzatish, pedagogik  eksperiment,  talabalar  faoliyati  mahsulotlarini  tahlil  qilish,  test. Tadqiqot  uch  bosqichda  amalga  oshirildi: 1-bosqich  - qidiruv-nazariy.  Psixologik,  pedagogik  va  uslubiy  adabiyotlarni tahlil  qilish  jarayonida  metodologiya,  tadqiqot  metodologiyasi,  uning  kontseptual apparati,  muammo,  ob'ekt,  mavzu,  vazifalar,  usullar  va  tadqiqot  gipotezasi keltirildi. 2-bosqich  - eksperimental.  Bu  bosqichda  ijodiy  topshiriqlar  yordamida matematika  darslari  ishlab  chiqildi  va  o'tkazildi,  ishchi  gipoteza  tekshirildi;  olingan natijalar  qayta  ishlandi. 3-bosqich  - yakuniy  va  umumlashtirish.  Ushbu  bosqich  materialni  qayta ishlash  va  tizimlashtirish,  sinovdan  o'tkazish  va  natijalarni  amaliyotga  tatbiq etishni  o'z  ichiga  oladi. Barcha  3 bosqich  ishimizda  o'z  aksini  topdi. Ishning  tuzilishi:  bitiruv  malakaviy  ishi  kirish,  ikki  bob,  xulosa,  foydalanilgan adabiyotlar  ro‘yxati,  shu  jumladan  20  nom,  ilovalardan  iborat. Tadqiqot  bazasi:  Tadqiqot  Semibugrovskaya  o'rta  maktabi  bazasida  olib borildi.  Semibugry,  Kmizyakskiy  tumani. Mavzular  5-“A”  sinf  o quvchilari  soni  14  nafar  va  parallel  5 “B”  sinf ʻ o quvchilari  soni  14  nafar. ʻ Tadqiqotning  amaliy  ahamiyati  kasrning  ratsional  son  sifatidagi  matematik tushunchasini  shakllantirish,  kasrni  ratsional  son  sifatida  shakllantirishga qaratilgan  vazifalarni  tanlashdadir. 4 5 1-bob. Matematika darslarida kasrning matematik tushunchasini shakllantirishning nazariy va uslubiy asoslari. Matematika darslarida matematik tushunchalarni shakllantirish jarayoni Eng qadimgi  kasrlar   butun  sonlarning   teskari  yozilgani  bo lgan.  Bu  qadimiy ʻ belgilar  ikkining  bir  qismini,  uchning  bir  qismini,  to rtning  bir  qismini  va  hokazoni ʻ ifodalagan.   Misrliklar   misr  kasrlaridan   eramizdan  avval  taxminan  1000-yillarda foydalanishgan.  Taxminan  4000-yil  avval  misrliklar  sonlarni  kasr  bilan  bo lish ʻ uchun  bir  oz  boshqacha  uslublardan  foydalanishgan.  Ular  surati  bir  bo lgan  kasrlar ʻ ustida  amallar  bajarish  uchun  eng  kichik  umumiy  bo luvchidan  foydalanishgan. ʻ Ularning  uslublari  zamonaviy  uslublar  bilan  bir  xil  natijalar  bergan. [4] Yunonlar   surati  bir  bo lgan  kasrlardan  foydalanishgan.  Eramizdan  avvalgi ʻ taxminan  530-yilda  yunon  faylasufi   Pifagorning   shogirdlari  ikkining   kvadrat ildizini   kasr  ko rinishida  yozib  bo lmasligini  aniqlashgan.  Eramizdan  avvalgi ʻ ʻ taxminan   150-yilda   hindistonlik   jainchi   matematiklar   „Sthananga   sutra“ (talaffuzi:   Sananga  sutra)  asarini  yozishgan.  Bu  asarda  sonlar  teoriyasi,  arifmetik amallar  va  kasrlar  ustida  amallar  haqida  yozilgan. Bir  sonni  ikkinchisi  ostida  yozish  va  kasrlarni  hisoblash  usullari  bizning eraning   499-yili   atrofida   Aryabhatta   yozgan   asarda uchraydi.   Sanskrit   adabiyotlarda  kasrlar  yoki   ratsional  sonlar   doim  butun  son  va uning  ketidan  kasr  son  ko rinishida  yozilgan.  Kasr  son  butun  son  yozilgan ʻ qatorning  ostiga  yozilgan.  Kasrning  o zi  ikki  qatorda  yozilgan.  Birinchi  qatorda ʻ yozilgan  surat   amsa   deb  atalgan,  ikkinchi  qatorga  yozilgan  maxraj   cheda   deb atalgan.  Agar  kasr  biron-bir  boshqa  belgisiz  yozilgan  bo lsa,  demak  bu  kasrni ʻ yuqoridagi  butun  songa  qo shish  kerak  bo lgan  deb  tushuniladi.  Agar  kasrning ʻ ʻ o ng  tarafiga  kichkina  aylana  yoki  „+“  belgisi  qo yilgan  bo lsa,  bu  kasrni  butun ʻ ʻ ʻ sondan  ayirish  kerak  bo lgan  deb  tushuniladi.  Masalan,  hind  matematigi ʻ   Bhaskara I   quyidagicha  yozgan: 6 ६  १  २ १  १  १० ४  ५  ९ Ya ni,ʼ 6  1 2 1  1 1 ० 4  5 9 yozuvi  6+1/4,  1+1/5  va  2-1/9  ni  ifodalagan. O rta  asrlarda ʻ   yashagan   marokashlik   musulmon   matematik   Abu  Bakr  al- Hassar   birinchi  marta  surat  va  maxrajni  ajratuvchi  gorizontal  chiziq  haqida  yozgan. O z  asarida  al-Hassar:  „…masalan,  agar  sizga  beshdan  uch  va  beshdan  birning ʻ uchdan  birini  yoz  deyishsa,  bunday  deb  yozing:   3153 .“ [5]   Kasrni  shu  uslubda yozish  ozginadan  keyin  13-asrda   Leonardo  Fibonaccining   ishlarida  ham  uchraydi. [6] O nli  kasrlarning ʻ   kelib  chiqishi  haqida   Dirk  Jan  Struik   bunday  deb  yozadi: [7] "O nli  kasrlarni  hisobda  ishlatishni  keng  foydalanishga  kirgizgan  asar  deb ʻ 1585-yil  Leydenda  chop  etilgan   De  Thiende   flamand  pamfletini  aytish  mumkin. O sha  paytda  Niderlandiyada  yashagan  matematik  Simon  Stevin  (1548-1620) ʻ asarni  fransuz  tiliga  o girgan.  Xitoy  matematiklari  o nli  kasrlardan  Stevindan  bir ʻ ʻ necha  asr  avval  foydalanishgani  rost.  Fors  astronomi  Al-Kashi  „Arifmetika  kaliti“ asarida  oltmishli  sanoq  sistemasidan  va  o nli  kasrlardan  foydalangani  ham  rost. ʻ (15-asr  boshlari,   Samarqand ) [8] " 7 Fors matematigi   Jamshid  al-Kashi   o nli  kasrlarni  15-asrda  o ylab  topganman ʻ ʻ deb  aytsa  ham,  J.  Lennart  Berggrenga  ko ra  u adashgan.  Chunki  o nli  kasrlar ʻ ʻ undan  5 asr  oldin,  ya ni  10-asrda  yashagan ʼ   Bog dodlik ʻ   matematik   Abu'l-Hasan  al- Uqlidisi   ishlarida   uchraydi.   Matematika   tarixchilari   orasida   al-Uqlidisi birinchilardan  bo lgani  haqida  har  xil  qarashlar  bo lsa  ham,  uning  o nli  kasr ʻ ʻ ʻ tushunchasiga  katta  hissa  qo shganiga  shubha  yo q.   ʻ ʻ Biz  ob'ektlarning  (va  hodisalarning)  turli  sifatlari,  atributlari  yoki xususiyatlaridan  foydalangan  holda  bir  ob'ektni  (hodisani)  boshqasidan  ajratamiz. O'rganilayotgan  ob'ektlarning  turli  xossalari  orasida  quyidagilarni  ajratib  ko'rsatish mumkin:  1)  yagona  (individual)  xususiyatlar;  2)  umumiy  xususiyatlar. Ayrim  ob'ektning  o'ziga  xos  xususiyatlariga  xos  bo'lib,  ular  uning  farqlovchi xususiyatlari  hisoblanadi.  Masalan:  a)  Yevropadagi  eng  katta  daryo  - Volga;  b)  bir o'zgaruvchili  ikkinchi  darajali  tenglama  - kvadrat  tenglama. Ba'zi  bir  ob'ektning  umumiy  xususiyatlari  uning  o'ziga  xos  va  farqli bo'lmagan  xususiyatlari  bo'lishi  mumkin.  Masalan,  odamlar  umurtqali  hayvonlardir (farqli  bo'lmagan  xususiyat).  Ob'ektning  umumiy  xususiyati,  agar  u  ushbu ob'ektning  muhim  deb  ataladigan  xususiyatlarini,  uni  boshqa  ko'plab  ob'ektlardan ajratib  turadigan  xususiyatlari  bo'lgan  xususiyatlarni  ifodalasa,  uning  farqlovchi xususiyati  bo'lishi  mumkin.  Masalan,  odamlar  aniq  nutqqa  ega  mavjudotlardir. Ob'ektlarning  ushbu  xossalarini  inson  miyasida  aks  ettirish  jarayonida  fikrlashning tushuncha  deb  ataladigan  maxsus  shakli  paydo  bo'ladi. Kontseptsiya  sifatida  fikrlashning  bunday  shakliga  nima  xosdir? Birinchidan,  kontseptsiya  yuqori  darajada  tashkil  etilgan  materiyaning mahsulidir;  ikkinchidan,  kontseptsiya  moddiy  olamni  aks  ettiradi;  uchinchidan, tushunchaning  umumlashtirish  vositasi  sifatida  bilishda  namoyon  bo‘lishi; to‘rtinchidan,  tushunchaning  o‘ziga  xos  inson  faoliyatini  bildirishi;  beshinchidan, inson  ongida  tushunchaning  shakllanishi  uning  nutq,  yozuv  yoki  belgi  orqali ifodalanishidan  ajralmasdir. 8 Muayyan kontseptsiyani  shakllantirish  jarayoni  bir  necha  ketma-ket bosqichlarni  ko'rish  mumkin  bo'lgan  bosqichma-bosqich  jarayondir.  Keling,  bu jarayonni  eng  oddiy  misolda  - bolalarda  3 raqami  tushunchasining  shakllanishida tasvirlashga  harakat  qilaylik. 1)  Idrokning  birinchi  bosqichida  bolalar  turli  xil  o'ziga  xos  to'plamlar  bilan tanishadilar,  masalan,  1-rasmda  ko'rsatilgan.  bu  to'plamlardan  iborat.  Bilish jarayonining  ushbu  bosqichida  ular  ob'ektlarning  o'zlari  ham,  ushbu  ob'ektlar elementi  bo'lgan  to'plamlarning  ham  eng  xilma-xil  konkret  xususiyatlariga  e'tibor berishlari  (idrok  etishlari)  mumkin. Bu  "ko'rish"  jarayoni  bola  ongida  voqelikni  aks  ettirishning  maxsus  shaklini yaratadi,  bu  idrok  (sezish)  deb  ataladi.  Ob'ektni  hissiy  idrok  etish  - uni  bilishning dastlabki,  eng  oddiy  bosqichi  -  unga  mos  keladigan  tushunchaning shakllanishining  birinchi  bosqichi.  Idrok  inson  ongida  har  qanday  narsa  yoki hodisalar  uning  his-tuyg'ulariga  ta'sir  qilgandagina  mavjud  bo'ladi;  shu  bilan  birga, u  izsiz  yo'qolmaydi. 2)  Keling,  har  bir  to'plamni  tashkil  etuvchi  narsalarni  olib  tashlaymiz  va bolalarni  bu  narsalar  nima  ekanligini  unutishga  taklif  qilamiz.  Ushbu to'plamlarning  har  birini  tavsiflovchi  umumiy  narsa  bormi?  Har  bir  to'plamdagi ob'ektlar  soni  bolalarning  ongiga  muhrlanishi  kerak  edi,  hamma  joyda  "uch"  bor edi.  Agar  shunday  bo'lsa,  bolalar  ongida  "uch"  raqamini  ifodalashning  yangi  shakli yaratilgan. 3)  Hozirgacha  bolalar  har  birida  3 ta  ob'ektga  ega  bo'lgan  ob'ektlar  to'plami bilan  shug'ullanishgan.  Fikrlash  tajribasi  asosida,  bilishning  keyingi  bosqichida bolalar  "uch"  so'zida  ifodalangan  xususiyat  har  qanday  shakl  elementlarining  har qanday  to'plamini  (a,  b,  c)  tavsiflashini  ko'rishlari  kerak.  Shunday  qilib,  bunday to'plamlarning  muhim  umumiy  xususiyati  ajralib  turadi  - "uch  elementga  ega bo'lish".  Endi  aytishimiz  mumkinki,  bolalar  ongida  3 raqami  haqida  tushuncha shakllangan. Ko'rinib  turibdiki,  biz  keltirgan  illyustrativ  sxema  haqiqiy  fikrlash  jarayoniga taxminan  taxminiy  taxmindir.  Shu  bilan  birga,  bu  eng  oddiy  illyustrativ  misoldan 9 ham tushunchalar  mavhumlik  bilan  uzviy  bog‘liq  bo‘lgan  umumlashtirish  amali orqali  shakllanayotgani  ayon  bo‘ladi. E'tibor  bering,  umumlashtirishning  bir  nechta  turlari  ma'lum.  Ulardan  biri ob'ektlarning  umumiy  xususiyatlarini  ajratib  ko'rsatish,  ular  farq  qiladigan narsalarni  yo'q  qilish  asosida  qurilgan.  Shunday  qilib,  masalan,  "ABC uchburchak",  "uchburchak"  va  "ko'pburchak"  kabi  tushunchalarni  hisobga  olsak, ular  orasidagi  asosiy  farq  aniq  umumlashtirish  darajasida  ekanligini  aniqlash  oson: "uchburchak"  tushunchasi  kengroqdir.  "ABC  uchburchak"  tushunchasi  va "ko'pburchak"  tushunchasi  "uchburchak"  dan  kengroqdir.  Tushunchalarni umumlashtirishning  o'sishi  bir  ob'ektni  boshqasidan  ajratib  turadigan  xususiyat- atributlar  bekor  qilinganda  sodir  bo'ladi.  Shunday  qilib,  "ko'pburchak" tushunchasida  faqat  barcha  ko'pburchaklarga  xos  bo'lgan  umumiy  xususiyatlar ajratib  ko'rsatiladi,  ko'pburchakning  bir  turini  boshqasidan  ajratib  turadigan  bir  xil xususiyatlar  bekor  qilinadi. Ilmiy  bilishda  mavhum  deb  ataladigan  bunday  tushunchalar  muhim ahamiyatga  ega  bo'lib,  ob'ektlarni  tasniflash,  ularni  bir-biri  bilan  taqqoslash, aniqlash  yoki  farqlash  va  hokazolarga  imkon  beradi. Ob'ektlar  va  hodisalarni  kontseptsiya  orqali  umumlashtirish  tafakkurning kognitiv  qiymatini  oshiradi,  birinchidan,  umumiyroq  tushunchalar  turli  xil ob'ektlarni  aqliy  tadqiq  qilish  va  o'rganish  imkonini  beradi,  ikkinchidan,  ob'ektning individual  xususiyatlaridan  voz  kechib,  tafakkurning  kognitiv  qiymatini  oshiradi. shu  bilan  biz  torroq  tushunchalar  doirasida  ilgari  oshkor  etilmagan  umumiy, barqarorroq  xususiyatlarni  aniqlaymiz. Umumlashtirishning  yana  bir  usuli  aniq  tushunchalar  deb  ataladigan narsalarni  shakllantirishga  imkon  beradi.  Uning  o'ziga  xosligi  shundaki,  bu  erda umumlashtirish  nafaqat  ob'ektlarning  umumiy  xususiyatlarini  ajratib  ko'rsatish, balki  uning  maxsus  va  individual  xususiyatlarini  kontseptsiyada  saqlash  orqali amalga  oshiriladi. Shunday  qilib,  masalan,  "hosil"  matematik  kontseptsiyasida,  odatda, hosilalarning  barcha  turlariga  xos  bo'lgan  umumiy  xususiyatlarni  ta'kidlash  bilan 10 birga, ushbu  tushunchaning  o'ziga  xos  xususiyatlarini  ko'rsatish  kerak:  uzluksiz funktsiyaning  hosilasi,  hosila  transsendental  funktsiya  va  boshqalar. Shunday  qilib,  idrok  va  tasvirdan  farqli  o'laroq,  kontseptsiya  bizning ongimizda  faqat  ushbu  holat  uchun  muhim  bo'lgan  (bu  tushunchaning  belgilaridir) belgi  va  xususiyatlarni  qamrab  oladi. Demak,  tushuncha  o‘rganilayotgan  ob’ektlarning  muhim  (o’ziga  xos) xususiyatlarini  aks  ettiruvchi  tafakkur  shaklidir. Agar  kontseptsiya  real  hayotdagi  ob'ektlarni  to'g'ri  aks  ettirsa,  to'g'ri hisoblanadi. Har  bir  kontseptsiya  mazmuni  va  ko'lami  bo'yicha  ko'rib  chiqilishi  mumkin. Tushunchaning  mazmuni  - berilgan  tushunchaning  barcha  muhim  belgilarining yig'indisidir.  Tushunchaning  qamrovi  - bu  tushuncha  qo'llanilishi  mumkin  bo'lgan ob'ektlar  to'plami. Demak,  «paralelogramma»  tushunchasi  uchun  mazmun  shunday  xossalar bilan  ifodalanadi,  masalan:  1)  qarama-qarshi  tomonlar  mos;  2)  qarama-qarshi burchaklar  mos  keladi,  3)  kesishish  nuqtasidagi  diagonallar  yarmiga  bo'linadi  va hokazo. "Parallelogramma"  tushunchasining  doirasi  quyidagi  to'rtburchaklar  to'plami bilan  ifodalanadi:  1)  to'g'ri  parallelogramm;  2)  olmoslar;  3)  to'rtburchaklar;  4) kvadratlar Yuqoridagi  misol  shuni  ko'rsatadiki,  tushuncha  mazmuni  tushunchaning atributlari  yig'indisi  bo'lib,  ularning  har  biri  zarur  va  barchasi  birgalikda tushunchani  o'rnatish  uchun  yetarlidir. Tushunchaning  mazmuni  uning  qamrovini  qat’iy  belgilab  beradi,  aksincha, tushuncha  doirasi  uning  mazmunini  to‘liq  belgilaydi.  Shunday  qilib,  kontseptsiya mazmunining  o'zgarishi  uning  ko'lamining  o'zgarishiga  olib  keladi  va  aksincha. Ma’lum  ma’noda  tushunchaning  mazmuni  va  ko‘lami  o‘rtasida  teskari  bog‘liqlik mavjud.  Shunday  qilib,  masalan,  agar  siz  parallelogramma  tushunchasining mazmunini  oshirsangiz  (diagonallar  o'zaro  perpendikulyar),  keyin  uning  hajmi darhol  kamayadi  (faqat  romb  va  kvadrat  qoladi);  agar  bu  kontseptsiyaning 11 mazmuni qisqartirilsa  (faqat  ikkita  qarama-qarshi  tomonning  parallelligini  talab qilsa),  uning  hajmi  ortadi  (nomlangan  to'rtburchaklarga  trapezoid  qo'shiladi). Agar,  masalan,  “kasrni  qisqartirish”  tushunchasining  ko‘lamini  kengaytirsak, uni  “bir  xil  o‘zgartirishlar”  tushunchasiga  kiritsak  (faktoring  yoki  yig‘indi,  kasrni qisqartirish  va  boshqalar),  unda  bu  tushunchaning  mazmuni  kamayadi  ( ifoda komponentlarini  bittaga  bo'lish  imkoniyati  va  bir  xil  son  ko'pchilik  bir  xil o'zgarishlar  uchun  yo'qoladi). Umumlashtirish  jarayonida  tushuncha  doirasi  kengayadi,  mazmuni  esa torayib  boradi. Tushunchaning  ixtisoslashuvi  jarayonida  buning  aksi  kuzatiladi:  tushuncha doirasi  torayadi,  lekin  mazmuni  kengayadi.  Shuni  ta'kidlash  kerakki,  ma'lum  bir tushunchaning  mazmuni  va  hajmi  o'rtasidagi  ko'rib  chiqilayotgan  bog'liqlik, mazmunini  o'zgartirish  jarayonida  bir  tushunchaning  hajmi  boshqa  tushuncha hajmining  kichik  to'plami  bo'lgandagina  sodir  bo'ladi. Tushunchalarni  shakllantirish  jarayonida  ularning  nutqi  va  ramziy  ifodasi katta  rol  o'ynaydi.  So'z  tushunchaning  tashuvchisi  deb  ataladi.  Har  qanday  fan  yoki texnika  sohasining  qat’iy  belgilangan  tushunchasini  bildiruvchi  so‘z  ilmiy  atama deyiladi.  Masalan,  "romb"  so'zi  matematik  atamadir.  Shu  bilan  birga,  simvolizm  va nutq  (va,  xususan,  atama)  bu  tushunchani  bir  ma'noda  ifodalashi  kerak.  Bunga qarshi  misol  sifatida  omonimlar  deb  ataladigan  so'zlarni  keltirish  mumkin.  Ulardan biri  turli  ma'nolarda  tushunilishi  mumkin  bo'lgan  mashhur  maktab  atamasi  "ildiz" (tenglamaning  ildizi,  o'simlikning  ildizi,  sonning  kvadrat  ildizi,  "yomonlik  ildizi"). Bunday  holda,  so'z  salbiy  rol  o'ynaydi:  tushuncha  u  bilan  bir  ma'noda ifodalanmaydi. Boshqa  tomondan,  bir  xil  tushunchani  ifodalovchi  turli  xil  atamalar  mavjud va  juda  aniq  (sinonim  so'zlar).  Masalan,  "kvadrat"  atamasi  "muntazam to'rtburchak",  "to'g'ri  burchakli  romb"  va  boshqalar  bilan  almashtirilishi  mumkin. Bunday  holda,  so'zning  roli  ijobiydir:  u tushunchani  aniqlaydi. Tushunchaning  mazmunini  ochish  jarayoni  uning  xususiyatlarini  sanab o'tishdan  iborat.  Tushunchaning  zarur  va  yetarli  belgilarini  sanab,  izchil  jumlaga 12 (nutq 7 yoki  ramziy)  qisqartirish  tushunchaning  (matematik  ob'ekt)  ta'rifidir. Ta'rifga  kiritilgan  belgilarning  har  biri  zarur  bo'lishi  kerak  va  barchasi  birgalikda  - bu  kontseptsiyani  o'rnatish  uchun  etarli.  Ta'rif  tushunchaning  asosiy  mazmunini ochib  berishi  kerak.  Unda  ortiqcha  so'zlar  bo'lmasligi  kerak;  bo'shliqlar  bo'lmasligi kerak.  Bu  yerda  parallelogramma  tushunchasining  to g ri  ta rifiga  misol ʻ ʻ ʼ keltiramiz:  “Parallelogramma  to rtburchak  bo lib,  uning  qarama-qarshi  tomonlari ʻ ʻ juft  va  parallel  bo ladi”;  va  bu  erda  "kvadrat"  tushunchasining  ta'riflariga  qarshi ʻ misollar  keltirilgan:  1)  kvadrat  barcha  burchaklari  to'g'ri  (yetarli  emas)  bo'lgan parallelogrammadir;  2)  kvadrat  - to'g'ri  burchakli  romb  (to'g'ri);  3)  kvadrat  - tomonlari  teng  va  to'rtta  to'g'ri  burchakli  (ortiqcha)  parallelogramma. Talabalar  hech  qanday  ta'riflar  isbotlanmaganligini  tushunishlari  kerak.  Shu bilan  birga,  matematikani  o'qitish  jarayonida  tushunchaning  u yoki  bu  ta'rifini rag'batlantirish  mumkin  (va  foydali).  Kontseptsiyaning  ta'rifi  shartli  kelishuvning mohiyati  bo'lsa-da,  u ma'lum  bir  tushunchaning  real  xususiyatlaridan  kelib  chiqqan holda  yoki  ma'lum  talablarga  muvofiq  (yangi  tushunchani  kiritishda)  oqilona tanlanadi.  Ba'zi  tushunchalar  uchun  ularning  ta'riflari  va  ularni  ifodalovchi atamalar  juda  tabiiy  ko'rinadi  (uchburchak  - bu  uchta  ichki  burchakli  ko'pburchak); boshqalar  uchun  motivatsiya  yoki  tushuntirish  kerak. Ayrim  asl  matematik  tushunchalar  aniqlanmagan  (yoki  bilvosita  aksiomalar orqali  aniqlanadi).  Masalan,  to‘plam  tushunchasi  aniqlanmagan  tushunchadir. Har  bir  kontseptsiyaning  ta'rifi  dinamikada  ko'rib  chiqilishi  mumkin  edi, ya'ni.  bir  kontseptsiyani  boshqasiga  qisqartirish  jarayoni  sifatida.  Bu  yerdagi bosqichlar  ketma-ketligi  cheklangan,  chunki  bu  jarayonni  davom  ettirsak,  biz muqarrar  ravishda  boshlang'ich  deb  hisoblangan  tushunchalarga  kelamiz. Ayrim  kontseptsiyani  aniqlash  jarayonidan  kelib  chiqadigan  tushunchalar ketma-ketligida  har  bir  tushuncha  (ikkinchisidan  boshlab)  oldingi  tushuncha  uchun umumiy  tushunchadir,  ya'ni.  Ushbu  tushunchalarning  hajmlari  o'zaro  ketma-ket qo'shilish  munosabatida:  vlv2  v3...  vn. 13 Masalan (1-rasm):  kvadrat  maxsus  rombdir;  romb  - maxsus  parallelogramm; parallelogramm  - maxsus  to'rtburchak;  to'rtburchak  - bu  maxsus  ko'pburchak; ko'pburchak  - maxsus  geometrik  shakl;  geometrik  shakl  nuqta  to'plamidir. Shunday  qilib,  biz  asl  tushunchalarga  erishdik:  nuqta  va  to'plam. O'quv  jarayonida  bunday  tushunchalarni  alohida  ajratib  ko'rsatish  va  ularni asosiy  tushunchalar  sifatida  qabul  qilishga  undash  kerak. Kontseptsiyani  turli  yo'llar  bilan  to'g'ri  ta'riflash  mumkin. 1.  Eng  yaqin  tur  va  tur  farqi  orqali.  Masalan:  kvadrat  - tomonlari  teng  bo'lgan to'rtburchak;  Romb  - diagonallari  o'zaro  perpendikulyar  bo'lgan  parallelogramm. To'plamlar  nazariyasi  va  matematik  mantiq  tilida  tushunchani  aniqlashning  bu usulining  mohiyati  quyidagicha: Agar  A  to'plamida  P(x)  xossaga  ega  bo'lgan  x elementlar  va  bu  xususiyatga ega  bo'lmagan  elementlar  mavjud  bo'lsa,  bu  xususiyat  P(x)  A  to'plamini  ikkita kichik  to'plamga  ajratadi: va  bu  ikki  to'plam: Bu  erda  A  to'plam  umumiy  tushunchaga  tegishli  ob'ektlar  to'plami,  P xossa esa  berilgan  tushunchaning  o'ziga  xos  xususiyati  (o'ziga  xos  farqi)  hisoblanadi. “Kvadrat  tomonlari  teng  bo lgan  to rtburchak”  ta rifida  A  to plami  barcha ʻ ʻ ʼ ʻ to rtburchaklar  to plamidir  va  P xossa  (“kvadrat”  tushunchasi  o rtasidagi  o ziga ʻ ʻ ʻ ʻ xos  farq)  “tomonlari  yo q”  xossasidir.  ”. ʻ 2.  Genetika  (kontseptsiyaning  kelib  chiqishini  ko'rsatadigan  tarzda).  Masalan, aylana  - bu  tekislikda  yotgan  ma'lum  nuqtadan  ma'lum  masofada  joylashgan barcha  nuqtalar  to'plami. 3.  Induktiv  ravishda.  Masalan,  an  = an-1  + d rekursiv  tenglik  arifmetik progressiyani  belgilaydi. 4.  Abstraksiya  orqali.  Masalan,  natural  son  ekvivalent  chekli  to'plamlar sinfining  xarakteristikasidir. Tushunchaning  qamrovini  aniqlashtirish  jarayoni  tushunchaning  tasnifi deyiladi.  Shunday  qilib,  tasniflash  deganda  umumiy  tushuncha  hajmini  tashkil etuvchi  ob'ektlar  majmuasining  turlarga  bo'linishi  tushuniladi.  Bu  bo'linish  bir 14 turdagi ob'ektlarning  o'xshashligi  va  boshqa  turdagi  ob'ektlardan  muhim  belgilari bo'yicha  farqiga  asoslanadi. Masalan,  natural  son  tushunchasini  tasniflash  quyidagi  diagrammada ko'rsatilganidek  amalga  oshirilishi  mumkin  (2-rasm). To'g'ri  tasniflash  ma'lum  shartlarning  bajarilishini  nazarda  tutadi,  ularni natural  sonlarni  tasniflashning  yuqoridagi  sxemasi  bilan  ko'rsatish  mumkin: 1.  Tasniflash  tasniflash  jarayonida  o'zgarishsiz  qoladigan  ma'lum  bir  atribut bo'yicha  amalga  oshirilishi  kerak.  Berilgan  misolda  bunday  belgi  berilgan  natural sonning  tub  bo‘luvchilar  sonidir. 2.  Tasniflash  natijasida  kelib  chiqadigan  tushunchalar  o'zaro  mustaqil  bo'lishi kerak.  Keltirilgan  misolda  bu  tub  sonlar,  kompozit  sonlar  va  bir  to'plamlarining kesishishi  bo'sh  ekanligi  bilan  ifodalanadi. 3.  Tasniflash  natijasida  hosil  bo‘lgan  tushunchalar  hajmlarining  yig‘indisi dastlabki  tushunchaning  hajmiga  teng  bo‘lishi  kerak.  Yuqoridagi  misolda  tub sonlar,  kompozit  sonlar  va  bitta  natural  sonlar  to'plamini  tugatadi. 4.  Tasniflash  jarayonida  ushbu  umumiy  tushunchada  eng  yaqin  turlarga  o'tish kerak. Yuqoridagi  misolda  natural  sonlarni  tasniflashda  natural  sonlar  to‘plamini  tub sonlarga,  uch  xil  bo‘luvchili  sonlarga  va  bittaga  bo‘lish  noto‘g‘ri  bo‘ladi.  Bunday holda,  "tasniflash  sakrashi"  deb  ataladigan  narsa  bo'ladi,  chunki  birinchi  navbatda kompozit  raqamlarni  farqlash  kerak  bo'ladi  va  shundan  keyingina  qo'shma  sonlar uch  xil  bo'luvchiga,  to'rt  xil  bo'luvchiga  va  hokazolarga  ega  bo'lgan  raqamlarga bo'linadi.  . Darhaqiqat,  ma'lum  bir  kontseptsiyani  tasniflashning  birinchi  bosqichida ma'lum  bir  xususiyat  - Pi  (x)  atributi  ajralib  turadi.  A  ob'ektlarning  ma'lum to'plamini  o'rganish  natijasida  biz  ushbu  to'plamdan  ikkita  A1  va  A2  kichik to'plamlarni  tanlaymiz: Shunday  qilib,  biz  A  to'plamining  yuqoridagi  tasniflash  shartlarini qondiradigan  ikkita  sinfga  bo'linishiga  erishdik. 15 Ushbu kontseptsiyani  tasniflash  jarayonini  davom  ettirishni  istab,  biz  yangi P2  (x)  xossasini  ajratib  ko'rsatamiz  va  Ai  to'plamining  ikkita  B)  va  B2  kichik to'plamlarga  bo'linishini  olamiz  va  hokazo. Muayyan  tushuncha  hajmini  tashkil  etuvchi  ob'ektlar  majmuasining  ketma-ket bo'linishi  natijasida  bu  tushunchaning  ma'lum  bir  tasnifi  paydo  bo'ladi.  Shunday qilib,  masalan,  "qavariq  ko'pburchak"  tushunchasini  tasniflashning  mumkin bo'lgan  sxemalaridan  biri  shunday  ko'rinadi  (3-rasm). E'tibor  bering,  zamonaviy  maktab  geometriya  kursida  to'rtburchaklar  tasnifi qabul  qilinadi,  bu  esa  bundan  farq  qiladi. 1.2. Matematika darslarida matematik tushunchalarni kiritish usullari Mashhur  frantsuz  matematigi  Freche  to'g'ri  ta'kidlaydi:  “Agar  biror  narsa haqiqatan  ham  zarur  bo'lsa,  bu  dogmatik  usulni  yo'q  qilishdir;  qanday  paydo bo'lganligini,  nima  uchun  ekanligini,  qanday  qo'llanilishini  ko'rsatmasdan  hech qanday  ta'rif  bermang.  Maktab  ta'limiga  matematik  tushunchalarni  joriy  qilishda quyidagi  sxemaga  amal  qilish  foydali  bo'ladi,  ammo  ular  ob'ektiv  o'zgaruvchan o'quv  sharoitlariga  (sinf  tarkibi,  matematik  tushunchalarning  tabiati  va  boshqalar) qarab  dinamik,  qisqartirilgan  yoki  to'ldirilishi  kerak. Talabaga  allaqachon  ma'lum  bo'lgan  tushunchalar  bilan  organik  bog'liq bo'lgan  tushunchalarni  kiritishda  mavhum-deduktiv  deb  ataladigan  boshqa  usulni qo'llash  mumkin. Masalan,  kvadrat  tenglama  tushunchasini  quyidagicha  kiritish  mumkin: 1.  Yangi  tushunchaga  ta'rif  bering  (ax2  + bx  + c = 0 ko'rinishdagi  tenglama, bu  erda  a≠0  kvadrat  deb  ataladi),  uni  bildiruvchi  atama  (noma'lumning  eng  katta ko'rsatkichi  ikkita;  tenglama  o'z  ichiga  oladi)  noma'lum  kvadrat). 2.  Ushbu  tushunchani  (x2  + px  + c = 0,  ax2  + c = 0,  ax2  + bx  = 0,  ax  = 0) ifodalashning  alohida  (va  maxsus)  holatlarini  ko'rib  chiqing,  bu  tushunchaning o'ziga  xos  tasnifini  qiling. 16 Ushbu kontseptsiyaga  qarama-qarshi  misollar  keltiring  (masalan,  talabalardan bx  + c = 0 ko'rinishdagi  tenglama  to'liq  bo'lmagan  kvadrat  tenglama  bo'ladimi  yoki yo'qligini  so'rash  uchun). 3.  Kiritilgan  tushunchani  aniq  misollar  (x2  - 5x  + 6 = 0,  3x2  - 27  = 0 va boshqalar)  bilan  tasvirlab  bering,  har  safar  ushbu  tushunchaning  har  bir  o'ziga  xos ko'rinishi  uning  ta'rifiga  mos  keladimi  yoki  yo'qligini  tekshirib  ko'ring. 4.  Ushbu  tushunchaning  qo'llanilishiga  aniq  misollar  keltiring  (masalan,  S = qt2  / 2 ma'lum  formulasini  qt2  - 2S  = 0 kvadrat  tenglama  deb  hisoblash  mumkin; so'zli  masalalarni  yechishda  kvadrat  tenglamadan  foydalaning). Beton  induktiv  usul  quyi  sinflarda  ko'proq  qo'llanilishini  topadi;  o'rta maktabda  abstrakt-deduktiv  usul  ko'proq  qo'llaniladi. Talabalar  tomonidan  ma'lum  bir  matematik  kontseptsiyani  o'zlashtirish,  uning ko'lami  va  mazmuni  haqida  aniq  tasavvurga  ega  bo'lish  bilan  bir  qatorda,  ushbu tushunchani  o'zlarining  matematik  faoliyati  jarayonida  qo'llash  qobiliyatini, shuningdek,  asosiy  omillarni  yangilash  qobiliyatini  anglatadi.  bu  tushuncha. U  yoki  bu  matematik  kontseptsiyani  har  qanday  teoremalarni  isbotlash  va muammolarni  hal  qilishda  qo'llashda,  bu  tushunchani  ko'proq  yoki  kamroq yashirin  shaklda  paydo  bo'lgan  hollarda  aniqlay  olish  muhimdir. Xususan,   ko'plab   geometrik   tushunchalarni   o'zlashtirganda,   ushbu tushunchani  yanada  murakkab  yoki  g'ayrioddiy  joylashgan  chizmada  "tanib  olish" qobiliyati  katta  ahamiyatga  ega. Shu  nuqtai  nazardan,  "tayyor  chizmalar  bo'yicha"  mashqlar  juda  foydali. Shunday  qilib,  masalan,  "izosseller  uchburchagi"  tushunchasi  bilan  tanishgandan so'ng,  talabalarga  quyidagi  mashqlarni  taklif  qilish  mumkin: 1.  Ko'zni  baholashdan  foydalanib  (va  keyin  bu  baholashni  o'lchov  bilan tasdiqlang),  5-rasmda  ko'rsatilgan  uchburchaklardan  qaysi  birini  aniqlang. 2.  Har  bir  teng  yonli  uchburchakda  asos  va  yon  tomonlarini  nomlang  va ko'rsating. 3.  Ularning  har  birida  asosdagi  burchaklarni  va  tepadagi  burchaklarni nomlang  va  ko'rsating. 17 Bilimni aktuallashtirish  bosqichida,  ma'lum  bir  kontseptsiyani  o'rganishda, ushbu  kontseptsiyaning  paydo  bo'lishi  uchun  mavjudligi  etarli  bo'lgan  bir  qator vaziyatlarni  ajratib  ko'rsatish  tavsiya  etiladi. Masalan,  5-6-sinflar  matematika  kursida  burchaklar  tengligi  tushunchasini o'rganib  chiqqandan  so'ng,  o'quvchilar  burchaklar  teng  ekanligiga  e'tibor  berishlari kerak,  agar: a)  burchaklar  to g ri  chiziqqa  nisbatan  simmetrik  bo ladi; ʻ ʻ ʻ b)  burchaklar  bir-biridan  berilgan  segmentga  parallel  o'tkazish  yo'li  bilan olinadi; v)  bu  burchaklar  teng  yonli  uchburchakning  poydevoridagi  burchaklar  yoki teng  yonli  uchburchakning  burchaklaridir; d)  burchaklar  bir-biridan  berilgan  nuqta  atrofida  ma'lum  burchak  bilan aylanish  yo'li  bilan  olinadi  va  hokazo. Bu  ish  butun  yil  davomida  (ehtimol  bir  necha  yil)  tizimli  ravishda  amalga oshirilishi  kerak;  asosiy  tushunchalar  bilan  bog'liq  bunday  holatlar  ro'yxatini davom  ettirish  mumkin  va  kerak. Tushunchalarni  o'zlashtirishda  o'quvchilar  ko'pincha  turli  qiyinchilik  va xatolarga  duch  kelishadi. Keling,  tushunchalar  ta'rifida  paydo  bo'lishi  mumkin  bo'lgan  xatolarni  ko'rib chiqishdan  boshlaylik  va  ularning  paydo  bo'lishining  ba'zi  sabablarini  ko'rsatamiz. Avvalo,  talabalarga  qandaydir  yangi  tushunchani  aniqlashda  ma'lum tushunchalardan  foydalanish  bilan  bog'liq  farqni  aniq  ko'rsatish  kerak. Belgilanayotgan  ob'ektga  mos  keladigan  tushuncha  aniqlangan  deb  ataladi; yordamida  aniqlangan  ob'ektning  mazmuni  ochiladigan  tushuncha  aniqlovchi deyiladi.  Demak,  masalan,  “Ikki  xil  nuqtadan  va  ular  orasida  joylashgan  barcha nuqtalardan  tashkil  topgan  to‘plam  segment  deyiladi”  ta’rifida  “segment” tushunchasi  aniqlangan  tushuncha,  “nuqtalar  to‘plami”  tushunchasi  esa  bitta. belgilovchi  tushunchalardan  iborat. Agar  bu  farq  talabalar  tomonidan  tan  olinmasa,  unda  tushunchalarning  ta'rifi ko'pincha  ular  tomonidan  stilistik  jihatdan  noto'g'ri  beriladi. 18 Ta'riflarni shakllantirishda  talabalarning  asosiy  xatolari  mantiqda  o'rnatilgan "ta'riflash  qoidalari"  ga  rioya  qilmaslikdan  kelib  chiqadi,  ularni  amalga  oshirishda bu  farq  ham  katta  rol  o'ynaydi.  Biz  ushbu  "qoidalar"  ning  eng  muhimlarini  sanab o'tamiz. 1)  Har  qanday  ta'rif  mutanosib  bo'lishi  kerak,  ya'ni.  ta'riflanayotgan tushunchaning  ko'lami  aniqlovchi  tushunchaning  ko'lamiga  teng  bo'lishi  kerak. Masalan,  "Romb  - bu  ikki  qo'shni  tomoni  bir-biriga  teng  bo'lgan parallelogramma"  ta'rifi  mutanosibdir,  chunki  "romb"  tushunchasining  ko'lami "ikki  teng  qo'shni  tomoni  bo'lgan  parallelogramma"  tushunchasining  doirasiga tengdir.  Ushbu  tushunchalarning  hajmlarini  belgilovchi  to'plamlar  mos  keladi). Ushbu  qoidani  buzish  ikki  turdagi  xatolarga  olib  keladi: a)  Aniqlovchi  tushunchaning  doirasi  belgilanayotgan  tushuncha  doirasiga nisbatan  kengroqdir.  Bunday  holda,  turning  jinsga  tegishli  bo'lganidek, aniqlanayotgan  tushuncha  aniqlovchi  bilan  bog'liq.  Masalan:  "Doira  diametri  - bu doiradagi  ikkita  nuqtani  bog'laydigan  chiziq  segmenti."  Bu  erda  mohiyatan  akkord aniqlanadi  - diametrdan  ko'ra  kengroq  tushuncha  (aniqlovchi  tushuncha  doirasi doiraning  barcha  akkordlarini  o'z  ichiga  oladi). Ushbu  kontseptsiyaning  ta'rifidagi  bu  xato,  turlar  farqining  belgisi ("aylananing  ikkita  nuqtasini  bog'lang")  nafaqat  diametrlarga,  balki  umuman barcha  akkordlarga  tegishli  bo'lganligi  sababli  yuzaga  keladi  va  shuning  uchun diametrlarni  boshqa  chiziqdan  ajratish  uchun  ishlatib  bo'lmaydi.  aylana  nuqtalarini birlashtiruvchi  segmentlar. Mantiqdagi  bunday  ta'rif  juda  keng  deb  ataladi. Talabalar  ushbu  xatoni  tushunishlari  uchun  ular  bilan  dinamik  rasm  yoki "Doira  va  doira"  filmini  ko'rib  chiqish  tavsiya  etiladi. b)  Aniqlovchi  tushunchaning  doirasi  belgilanayotgan  tushuncha  doirasiga nisbatan  torroq.  Ikkinchisi  birinchisiga  nasl  qanday  bo'lsa,  turga. Misol  tariqasida  quyidagi  ta'rifni  ko'rib  chiqaylik:  "Romb  - bu  ikkita  bir-biriga mos  keladigan  qo'shni  tomonlari  bo'lgan  to'rtburchaklar".  Bu  yerda,  mohiyatan, kvadrat  (rombusdan  ko'ra  torroq  tushuncha)  aniqlanadi.  Ushbu  kontseptsiyaning 19 ta'rifidagi bu  xato,  ko'rsatilgan  tur  xususiyati  (to'rtburchak  - ikkita  qo'shni tomonlari  bir-biriga  mos  keladigan  parallelogramma)  faqat  romblar,  kvadratlar to'plamining  kichik  to'plamiga  tegishli  bo'lganligi  sababli  yuzaga  keladi,  ya'ni. faqat  romblar  to'plamining  bir  qismi  uchun  ajralib  turadi.  Mantiqdagi  bunday  ta'rif juda  tor  deb  ataladi. 2)  Ta'rifda  "shafqatsiz  doira"  bo'lmasligi  kerak,  ya'ni.  ta’rifni  shunday  tuzib bo‘lmaydiki,  ta’riflanayotgan  tushuncha  bir  xil  ta’riflanayotgan  tushuncha vositasida  aniqlansin  (yomon  yoki  aniq  shaklda). Ushbu  qoidani  buzish  ham  ikki  turdagi  xatolarga  olib  keladi: a)  Aniqlangan  tushunchaga  shunday  belgilovchi  tushuncha  xos  bo`lib,  uning mazmuni  aniqlangan  tushunchaning  o`zi  yordamidagina  oydinlashadi. Demak,  masalan,  “qo‘shish  yig‘indini  topish  harakati”  va  “yig‘indi  qo‘shish natijasidir”  ta’riflarida  ana  shunday  “shafqatsiz  doira”  mavjud.  Yig'indining aniqlovchi  tushunchasini  bu  holda  aniqlanayotgan  tushunchadan,  qo'shish tushunchasidan  mustaqil  ravishda  belgilash  mumkin  emas. b)  Belgilangan  va  aniqlovchi  tushunchalar  mazmunan  bir  xil,  ammo  ular  turli so'zlar  bilan  ifodalanishi  mumkin. Ushbu  ta'rif  tavtologiya  deb  ataladi. Masalan,  "To'g'ri  burchak  - 90  ° burchak"  yoki  "To'g'ri  burchak  - tomonlari perpendikulyar  bo'lgan  burchak". Demak,  bu  noto'g'ri  ta'riflarda  belgilanayotgan  ob'ektning  mohiyati  ochib berilmaydi;  aniqlovchi  tushuncha  aniqlanayotgan  tushuncha  haqida  allaqachon ma'lum  bo'lgan  narsalarni  takrorlaydi. 3)  Iloji  bo'lsa,  ta'rif  salbiy  bo'lmasligi  kerak.  Bu  shuni  anglatadiki,  bunday ta'riflardan  qochish  kerak,  ularda  o'ziga  xos  farq  salbiy  tushuncha  sifatida  ishlaydi. Ba'zan  matematikada  esa  "salbiy"  ta'riflar  qo'llaniladi,  xususan,  ular  ma'lum bir  tushunchaga  tegishli  bo'lmagan  belgilarni  ko'rsatsa. Biroq,  matematikani  o'qitish  jarayonida  bunday  ta'riflar  nomaqbuldir,  chunki ular  tushunchaning  mazmunini,  uning  muhim  xususiyatlarini  deyarli  ochib 20 bermaydi, faqat  aniqlanayotgan  tushunchalar  bo'lmasligi  kerak  bo'lgan xususiyatlarni  ko'rsatadi. Agar  yangi  tushunchani  kiritishda  uning  ta’rifini  shakllantirish  va  bu tushunchani  ko‘rgazmali  modellarini  ko‘rsatmasdan,  darslikdan  olingan  faqat  bitta misol  bilan  tasvirlash  bilan  cheklansak,  o‘quvchilar  bunday  tushunchalarni ko‘pincha  noto‘g‘ri  o‘zlashtiradilar.  Talabalar  uchun  bu  ko'pincha  kontseptsiyani noqonuniy   umumlashtirishga   (asosiy   bo'lmagan   xususiyatlar   bo'yicha umumlashtirish)  va  muhim  xususiyatlarni  muhim  bo'lmagan  narsalar  bilan aralashtirishga  urinishda  namoyon  bo'ladi.  Bunday  turdagi  odatiy  xato,  masalan, o'quvchilarning  tanish  geometrik  figurani,  agar  u  g'ayrioddiy  shakl  yoki tekislikdagi  pozitsiyasiga  ega  bo'lsa,  tanimasliklaridir. Xususan,  o‘quvchilar  6-rasmda  ko‘rsatilgan  holatda  berilgan  teng  yonli uchburchakni  «tanmaydilar»,  lekin  6-rasm,  b  va  hokazolarda  ko‘rsatilgan vaziyatda  o‘xshash  uchburchaklar  juftlarini  o‘rnatishda  katta  qiyinchiliklarga  duch kelishadi. Talabalar  tomonidan  eng  muhim  matematik  tushunchalarni  ongli  ravishda o'zlashtirish  uchun  maqsadli  og'zaki  savollar  va  mashqlar  tizimi  katta  ahamiyatga ega,  masalan: 1.  Quyidagi  ta riflardagi  xatoni  toping  (ushbu  ta riflarning  har  birini ʼ ʼ ko rsating): ʻ a)  birinchi  tenglamaning  ildizlari  ikkinchi  tenglamaning  ildizlari  bo'lsa, ekvivalent  tenglamalar  ikkita  shunday  tenglamadir; b)  uchburchak  tomonini  yarmiga  bo'luvchi  to'g'ri  chiziq  mediana  deyiladi; v)  uchburchakning  ikki  tomonining  o'rta  nuqtalarini  tutashtiruvchi  va uchinchi  tomonining  yarmiga  teng  bo'lgan  segment  uchburchakning  o'rta  chizig'i deyiladi. 2.  Quyidagi  ta’riflarning  yetarli  emasligini  ko‘rsatadigan  misollar  keltiring: a)  egri  chiziqqa  tangens  - bu  egri  chiziq  bilan  faqat  bitta  umumiy  nuqtaga  ega bo'lgan  to'g'ri  chiziq  (7-rasmga  qarang); 7-rasm 21 b) agar  L1  chiziqning  istalgan  nuqtasidan  boshqa  L2  chizig'igacha  bo'lgan masofa  hamma  joyda  bir  xil  bo'lsa,  bunday  chiziqlar  parallel  deyiladi  (8-rasmga qarang)  va  hokazo. Shunday  qilib,  maktabda  matematik  tushunchalarni  kiritish  va  o'rganish jarayonida  quyidagilar  foydalidir: 1)  yangi  tushunchalarni  rasmiy  ravishda  kiritmang;  yangi  mavhum tushunchalarni  batafsil  belgilash;  iloji  bo'lsa,  beton-induktiv  usulni  qo'llang; 2)  tushunchalarni  talabalarga  eng  tabiiy  tarzda  kiritish;  iloji  bo'lsa,  talabalarni mustaqil  o'rganish  va  ko'rib  chiqilayotgan  tushunchani  aniqlashga  ko'proq  jalb qilish; 3)  kiritilgan  tushunchalar,  atamalar,  ta'riflarni  rag'batlantirish;  talabalarda yangi  tushunchalarni  kiritishning  o'zboshimchaliklari  haqida  tasavvurga  ega bo'lishiga  yo'l  qo'ymaslik; 4)  yangi  tushunchalarni  o‘rganish  jarayonida  yangi  tushunchaning  ma’lum bo‘lgan  tushunchalar  bilan  aloqalarini  aniqlash  maqsadga  muvofiqdir;  yangi tushunchalar  va  ma'lum  bo'lgan  tushunchalarni  tavsiflashda  o'xshashlikni ko'rsatish; 5)  har  bir  darsda  ushbu  darsda  ko'rib  chiqilgan  tushunchalar  bilan  bog'liq bo'lgan  talabalarga  ma'lum  bo'lgan  eng  muhim  matematik  tushunchalarning ta'riflarini  takrorlash  foydali  bo'ladi,  shu  bilan  birga  tushunchalarning  ta'riflarini yoddan  ko'p  yodlashni  talab  qilmaydi,  balki  ushbu  kontseptsiya  ta'rifining mohiyatini  to'g'ri  o'tkazish; 6)  o’quvchilar  ma’lum  matematik  tushunchalarni  o’zlashtirganlarida, o’quvchilar  nutqini  qat’iy  nazorat  qilib,  ta’riflarni  shakllantirishda  aniqlik,  qisqalik va  qat’iylikni  talab  qiladilar.  Shuni  yodda  tutish  kerakki,  xatolarning  "oldini  olish" ularni  tuzatishdan  ko'ra  samaraliroqdir.  O'qituvchi  doimiy  ravishda  bunday profilaktika  bilan  shug'ullanishi  kerak. 22 2-bob. Matematika darslarida kasrning matematik tushunchasini kiritish va shakllantirishni amaliy o’rganish. 2.1 . Kasr haqida tushuncha X segmentining  uzunligini  bitta  e segmenti  yordamida  o'lchash  talab  qilinsin (rasm).  O'lchashda  ma'lum  bo'ldiki,  x segmenti  uchta  segmentdan,  e va  e segmentidan  qisqaroq  bo'lgan  segmentdan  iborat  bo'lib,  bu  holda  x segmentining uzunligini  natural  son  bilan  ifodalab  bo'lmaydi.  Biroq,  agar  e segmenti  4 qismga bo'lingan  bo'lsa,  u holda  x segmenti  e segmentining  to'rtinchi  qismiga  teng  bo'lgan 14  ta  segmentdan  iborat  bo'lib  chiqadi  va  keyin  x segmentining  uzunligi  haqida gapirganda,  ikkitasini  ko'rsatishimiz  kerak.  4 va  14  raqamlari:  segmentning to'rtinchi  qismi  e segmentiga  to'liq  14  marta  to'g'ri  keladi.  Shuning  uchun  biz  x segmentining  uzunligini  E  deb  yozishga  kelishib  oldik,  bu  erda  E  - birlik segmentining  uzunligi  va  belgisi  kasr  deyiladi. Umuman  olganda  kasr  tushunchasiga  quyidagicha  ta’rif  beriladi.  Uzunligi  E bo'lgan  x segment  va  birlik  e segmenti  berilgan  bo'lsin.  Agar  x segmenti  e segmentining  n qismiga  teng  bo'lgan  m  segmentdan  iborat  bo'lsa,  u holda  x segmentining  uzunligi  quyidagicha  ifodalanishi  mumkin,  bu  erda.  belgisi  kasr deyiladi. Kasrni  qayd  qilish  uchun  m  va  n sonlar  natural,  m  - sanoqchi,  n - kasrning maxraji  deyiladi. Kasrning  soni  maxrajidan  kichik  bo'lsa,  to'g'ri,  agar  uning  soni  maxrajidan katta  yoki  teng  bo'lsa,  noto'g'ri  deyiladi. Keling,  e segmentining  to'rtinchi  qismi  x segmentiga  to'liq  14  marta  to'g'ri kelishini  ko'rsatadigan  rasmga  qaytaylik.  Shubhasiz,  bu  x segmentiga  bir  necha marta  to'g'ri  keladigan  e segmentining  bunday  qismini  tanlashning  yagona  varianti emas  . Siz  e segmentining  sakkizinchi  qismini  olishingiz  mumkin,  keyin  x segmenti  28  ta  shunday  qismdan  iborat  bo'ladi  va  uning  uzunligi  kasr  sifatida ifodalanadi.  Siz  e segmentining  o'n  oltinchi  qismini  olishingiz  mumkin,  keyin  x 23 segmenti 56  ta  shunday  qismdan  iborat  bo'ladi  va  uning  uzunligi  kasr  sifatida ifodalanadi. Umuman  olganda,  berilgan  birlik  e segmenti  uchun  bir  xil  x segmentning uzunligini  turli  kasrlar  bilan  ifodalash  mumkin  va  agar  uzunlik  kasr  bilan ifodalangan  bo'lsa,  u holda  u ko'rinishdagi  istalgan  kasr  bilan  ham  ifodalanishi mumkin,  bu  erda  k - a. natural  son. Teorema.  Kasrlar  va  bir  xil  segment  uzunligini  ifodalash  uchun  mg  = np tengligi  zarur  va  etarli. Ta'rif:  Ikki  kasr  va  mg  = np  bo'lsa,  teng  deyiladi.  Agar  kasrlar  teng  bo'lsa,  = deb  yozing. Masalan  =,  chunki  17  x 21  = 119  x 3 = 357  va  ≠,  chunki  17  x 27  = 459,19  x 23  = 437  va  459  ≠ 437. Yuqorida  tuzilgan  teorema  va  ta’riflardan  kelib  chiqadiki,  ikkita  kasr  bir  xil segment  uzunligini  ifodalasagina  teng  bo‘ladi. Biz  bilamizki,  kasrlarning  tenglik  munosabati  refleksli,  simmetrik  va  o'tishli, ya'ni.  ekvivalentlik  munosabati  hisoblanadi.  Endi,  teng  kasrlar  ta'rifidan foydalanib,  buni  isbotlash  mumkin. Teorema.  Kasrlarning  tengligi  ekvivalentlik  munosabatidir. Isbot:  Darhaqiqat,  kasrlar  tengligi  refleksivdir:  = , chunki  mn  = mn  tenglik  har qanday  m  va  n natural  sonlar  uchun  amal  qiladi. Kasrlar  tengligi  simmetrikdir:  =,  keyin  =,  chunki  mg  = np  pn  = mg  (m,n,p,g  e N)  ekanligini  bildiradi. U  tranzitivdir:  agar  = va  = bo'lsa,  u holda  = . Haqiqatan  ham,  = bo'lgani  uchun,  keyin  mg  = np,  = beri,  keyin  ps  = gr.  mg  = np  tenglikning  ikkala  tomonini  s ga,  ps  = gr  tenglikni  n ga  ko'paytirsak,  mgs  = nps va  nps  = grs  ni  olamiz  . Bu  erdan  mgs  = grs  yoki  ms  = nr.  Oxirgi  tenglik  = ni bildiradi.  Demak,  kasrlar  tengligi  refleksiv,  simmetrik  va  tranzitivdir,  shuning uchun  u ekvivalentlik  munosabatidir. Teng  kasrlarning  ta'rifidan  kasrning  asosiy  xususiyati  quyidagicha: 24 Agar kasrning  ayiruvchisi  va  maxraji  bir  xil  natural  songa  ko'paytirilsa  yoki bo'linsa,  berilgan  kasrga  teng  kasr  olinadi. Bu  xossaga  asoslanib,  kasrlarni  qisqartirish  va  kasrlarni  umumiy  maxrajga keltirish. Kasrlarni  qisqartirish  - berilgan  kasrni  boshqasiga,  berilganiga  teng,  lekin ayiruvchi  hisob  va  maxrajga  almashtirish. Agar  kasrning  soni  va  maxraji  faqat  bittaga  bo'linadigan  bo'lsa,  kasr kamaytirilmaydigan  kasr  deyiladi.  Masalan,  - qaytarilmas  kasr,  chunki  uning  soni va  maxraji  bir  vaqtning  o'zida  faqat  bittaga  bo'linadi,  ya'ni.  In  (5;  17)  = 1. Kasrlarni  umumiy  maxrajga  keltirish  - berilgan  kasrlarni  maxrajlari  bir  xil bo'lgan  teng  kasrlar  bilan  almashtirish.  Ikki  kasrning  umumiy  maxraji  = n va  g sonlarning  umumiy  karrali,  eng  kichik  umumiy  maxraji  esa  ularning  eng kichigidir. 2.2. Matematika darslarida kasrning matematik tushunchasini kiritish va shakllantirish Har  qanday  kontseptsiya,  shu  jumladan  matematik,  u tomonidan  tasvirlangan aniq  ob'ektlar  to'plamidan  abstraktsiyadir.  Tushuncha  o'rganilayotgan  ob'ektlar, hodisalarning  barqaror  xususiyatlarini  aks  ettiradi.  Ushbu  xususiyatlar  tushuncha bilan  birlashtirilgan  barcha  ob'ektlar  uchun  takrorlanadi.  Ammo  har  bir  real  ob'ekt o'ziga  xos  bo'lgan  boshqa  xususiyatlarga  ega.  Muhim  bo'lmagan  xususiyatlardagi farq  faqat  yo'lga  chiqadi,  muhim  narsalarni  ta'kidlaydi. ma'nosiz  bo'lsa,  o'quvchi  har  bir  abstraksiya  ortida  vizual  ruhiy  rasmni ko'rmasa,  o'quvchilar  bilimida  formalizmga  olib  kelishi  mumkin  , ya'ni.  tasvir. Vizual  bilimlarni  tashuvchi  va  tasvirlarni  shakllantiradigan  moddiy  yoki moddiylashtirilgan  ob'ektlar  bilan  o'quvchilarning  amaliy  faoliyatiga  e'tibor bermaslik  yuzaki  bilimlarning  paydo  bo'lishiga,  ba'zan  esa  uning  yo'qligiga  olib keladi. Oddiy  kasr,  aslida,  maktab  kursida  yuzaga  keladigan  birinchi  chuqur matematik  abstraktsiyadir.  O'qituvchi  tomonidan  o'rganilayotgan  tushunchalarning 25 mazmun tomoniga  e'tibor  bermaslik,  vizualizatsiyaga  etarlicha  ishonchli tayanmasdan  kasrlarning  rasmiy  ishlashiga  tez  o'tish  zaif  va  hatto  o'rtacha o'quvchilarning  o'rganilayotgan  materialni  tushunmasligiga  olib  keladi.  Ba'zan,  3/5 belgisi  ortida  talaba  hech  qanday  tasvirni  ko'rmaydi.  Bunday  talaba  uchun  hatto kasrlar  bo'yicha  operatsiyalar  ham  bir  qator  tushunarsiz  protseduralarga  aylanadi, ular  ketma-ketligini  shunchaki  eslab  qolishlari  kerak. «Oddiy  kasr»  tushunchasini  to`g`ri  tushunish  va  undan  foydalanish ko`nikmasini  shakllantirishga  moddiylashtirilgan  predmetlar  bilan  amaliy  ish  olib borish  yordam  beradi.  Quyida  bunday  ishlarni  bajarish  tavsiya  etiladigan  ba'zi materiallar  keltirilgan. "Oddiy  kasr"  tushunchasini  o'zlashtirgan  holda,  talaba  butun  bo'linadigan  teng ulushlar  sonini  va  olingan  ulushlar  sonini  hisoblashni  mashq  qilishi  kerak.  Kasrlar -  bu  raqamlar,  shuning  uchun  birinchi  bosqichda  talabaga  faqat  aniqlikdan foydalangan  holda,  natijada  olingan  kasrlarni  butun  sonlar  bilan,  masalan,  1 bilan va  kasr  bilan  taqqoslash  imkoniyatini  berish  kerak. O'rganishning  ushbu  bosqichida  fleshkalar  juda  foydali  bo'lib,  ularning namunalari  quyida  ko'rsatilgan.  1-karta  faqat  individual  topshiriqning  variantidir (9-rasm). 9-rasm Bu  individualdir.  Har  bir  talaba  o'z  kartasini  oladi,  bu  boshqa  bolalarning kartalaridan  farq  qiladi.  Bu  talabani  mustaqil  harakat  qilishga  undaydi  va  faqat o'qituvchining  modellar  bilan  manipulyatsiyasini  kuzatishni  emas,  balki  kasrlarni o'rganishda  ko'pincha  "ko'rinish"  ga  tushadi. 1-kartada,  agar  rasmda  taklif  qilingan  bo'lsa,  "turli"  kasrlar  (1/2  =  3/6) ko'rinishida  har  bir  qismni  ko'rsatgan  holda  jadvalni  to'ldirishingiz  kerak. Raqamlarni  ajratuvchi  qalin  chiziqlar  bir  xil  maslahatdir.  Taklif  etilgan  mashqlarni bajarib,  talaba  kasr  tushunchasini  o'zlashtiradi,  asosiy  xususiyatga  e'tibor  beradi, kasrni  birga  qo'shishni  hisoblaydi.  Allaqachon  bu  bosqichda  u kasrlarni  qo'shish bilan,  kasrni  yangi  maxrajga  kamaytirish  bilan  bevosita  sodir  bo'ladi. Kartada  talabalar  quyidagi  savollarga  javob  berishlari  kerak: 26 Shaklning qaysi  qismi  (faqat  har  bir  kartada  turli  xil  shakldagi  8 ta  raqam mavjud)  ma'lum  turdagi  soya  bilan  qoplangan? Shaklning  qaysi  qismi  ikkala  turdagi  lyuk  bilan  soyalangan?  (Bu  savol o'quvchilarni  kasrlarni  qo'shishga  olib  keladi,  masalan,  E ning  6/18  va  3/18  ni qo'shish) Shaklning  qaysi  qismi  lyuksiz  qolgan?  (Bu  erda,  aslida,  1 dan  to'g'ri  kasrni ayirish  talab  qilinadi,  masalan,  C.  figurasining  qaysi  qismi  lyuksiz  qolganini  topish uchun,  agar  uning  5/10  qismi  soyali  bo'lsa) Qiyshiq  soyalash  O  figurasining  4/12  qismini,  to‘g‘ri  ko‘lankalash  esa  xuddi shu  figuraning  2/12  qismini  ko‘rsatadi.  Qaysi  soyalar  G  figurasining  ko'proq qismini  egallaydi?  G  rasmdagi  qiya  lyukka  to'g'ridan-to'g'ri  lyukka  qaraganda nechta  ulushga  ko'p?  Kasrlarni  bir-biriga  tenglashtirish  va  kasrlarni  ayirish.  Qalin chiziq  B shaklini  necha  qismga  ajratadi?  Bu  qismlarning  nechtasida  bu  raqamning 12  qismi  bor? F  rasmini  ko'rib  chiqing,  undagi  1/4  ulushni  tanlang.  1/4  kasrni  boshqa  kasrlar bilan  F rasmga  asoslanib  ifodalang. Kasrning  asosiy  xossasi  2-sonli  kartada  qayd  etilgan  (10-rasm).  U  ikki  qismga bo'lingan,  ularning  har  biri  bitta  "segment"  ni  teng  qismlarga  bo'lishning  uchta usulini  ko'rsatadi:  4 qismga,  8 qismga  va  16  qismga  (3  qismga,  6 qismga  va  12 qismga).  Talabalar  uchta  teng  kasrdan  ikkitasi  uchun  etishmayotgan  sonlarni yozishlari  kerak.  Buning  uchun  ular  quyidagilarni  bajarishlari  kerak  bo'ladi  : rasmdagi  uchta  kasrdan  biri  tomonidan  berilgan  birinchi  segmentni  tanlang  (ham hisoblagich,  ham  maxraj  ma'lum  bo'lgan);  birinchisiga  teng  bo'lgan  ikkinchi segmentni  toping  (u  boshqa  kasrning  maxraji  bilan  ko'rsatilgan  qismlar  soniga bo'linadi);  ikkinchi  qismdagi  qismlar  sonini  hisoblang  va  uni  ikkinchi  kasrning hisob  raqamiga  yozing;  segmentlardan  birini  aqliy  ravishda  uchinchi  kasrning maxraji  bilan  ko'rsatilgan  qismlar  soniga  bo'ling  va  birinchi  ikkitasi  bilan  bir  xil uzunlikdagi  uchinchi  segment  uchun  qancha  qismlar  kerak  bo'lishini  ayting.  Ko'rib turganimizdek,  bunday  jarayon  o'quvchilarni  ko'rgazmali  materialni  mustaqil 27 ishlashga undaydi  va  asta-sekin,  bu  operatsiya  davomida  rasmiy  qoidani  ishlab chiqadi. 3  va  4-sonli  kartalar  bo'yicha  mashqlar  o'zaro  teskari  (11-rasm).  Ular  kasr tushunchasini  o'zlashtirishning  yangi  jihatini  ifodalaydi.  Taklif  etilgan  mashqlarni amalga  oshirish  kinestetik  (motor)  fikrlash  turiga  ega  bo'lgan  o'quvchilar tomonidan  yaxshiroq  eslab  qoladigan  vosita  harakatlari  bilan  birga  keladi. E'tibor  bering,  3-kartada  asl  raqamlar  ataylab  murakkablashtirilgan.  Shunday qilib,  o'quvchilar  ongida  geometrik  tasvir  emas,  balki  raqamning  teng  elementlarini sanash  natijasida  hosil  bo'lgan  arifmetik  amallar  ketma-ketligi  ta'minlanadi.  Xuddi shunday,  javoblardagi  4-kartada  "yaxshi"  to'rtburchaklar  olinmaydi.  Talabalar  asta- sekin  geometrik  ob'ektlar  bilan  manipulyatsiyadan  arifmetik  amallarga  o'tishlari kerak.  Shunday  qilib,  agar  talabalar  birinchi  vazifani  faqat  geometrik  tarzda  bajara olsalar  (1/2  kasrni  bildiruvchi  raqamga  aynan  bir  xil  raqamni  qo'shib),  2/5  kasrda bu  endi  mumkin  emas.  Avval  bu  raqamni  2 qismga  bo'lishingiz  kerak.  Keyingi vazifada  (3/4  fraksiya)  bunday  bo'linish  "og'riqsiz"  amalga  oshirilmaydi,  ya'ni. vizual  tarzda.  Biz  bu  raqamning  teng  kvadratlari  sonini  hisoblashdan  boshlashimiz kerak. Sondan  kasrni  va  uning  kasridan  sonni  topish  usullarini  o'zlashtirish  uchun talabalarga  yana  ko'rgazmali  material  bo'yicha  topshiriq  taklif  etiladi,  ya'ni.  5 va  6- sonli  kartalarda.  (12-rasm)  Ushbu  vazifalarni  bajarib,  bolalar  chizmalarga  murojaat qilishadi.  Shu  bilan  birga,  ular  sondan  kasrni  va  uning  kasridan  sonni  topish operatsiyalarining  mohiyatini  aniq  tushunadilar  , chunki  vizual  rasmlar  - tasvirlar bu  operatsiyalar  bilan  bog'liq.  Vazifalarni  bajarishda  o'quvchilarga  ko'pincha sinfda  bo'lgani  kabi  bir  yoki  ikkita  emas,  balki  besh  yoki  oltitasi  bo'lgan  etarli miqdordagi  majoziy  o'zgarishlarni  taklif  qilish  muhimdir.  Bunday  topshiriqlarni individual  kartada  taqdim  etish  oson,  chunki  talaba  yolg'iz  ishlaydi,  butun  sinf tomonidan  materialni  o'rganish  sur'atini  pasaytirmaydi.  Albatta,  kasrlar  bilan ishlash  amaliyoti  ko'rgazmali  material  bilan  yuqoridagi  mashqlar  bilan cheklanmasligi  kerak.  O'qituvchi  darslikdagi  odatiy  topshiriqlardan  ham foydalanishi  kerak.  U  buni  differentsial  tarzda  amalga  oshirishi  mumkin,  ba'zilarini 28 kartalarda ushlab  turadi  va  boshqalarni  yanada  murakkab  mashqlar  bilan rag'batlantiradi. Kasrlarni  qo`shishni  o`rganishda  o`quvchilarga  kasr  xossalarini  aks  ettiruvchi ko`rgazmali  material  bilan  ishlash  imkoniyatini  berish  kerak.  Bunda  7-kartada berilgan  topshiriqlarga  o'xshash  vazifalar  qo'llaniladi  (13-rasm).  Bu  erda  nozik chiziqlar  eng  kichik  umumiy  maxraj  nima  bo'lishini  va  vizual  ravishda  nimani anglatishini  tushunishga  yordam  beradi.  Yangi  maxrajga  qisqartirilgan  kasr  qanday bo'lishi  ham  taklif  qilinadi.  Bunday  mashqlarni  bajarishda  mashq  qilib,  talaba ikkita  kasrni  qo'shish  natijasini  vizual  tarzda  baholay  oladi,  kerakli  hisob-kitoblarni amalga  oshiradi.  Zaif  talaba  uchun  bunday  ish  ma'noga  to'la:  unga  tayanib,  siz  turli xil  maxrajlarga  ega  kasrlarni  qo'shish  algoritmini  kiritishingiz  mumkin,  bu  endi bolaga  tushunarsiz  protsedura  bo'lib  ko'rinmaydi.  Vizual  darajada  qo'shish  bilan parallel  ravishda,  kasrlarni  ayirish  operatsiyasi  ham  o'rganiladi.  7-raqamli  kartada talabalarga  kasrlar  orasidagi  farqni  topishni  taklif  qilish  tavsiya  etiladi: va  hokazo. Deyarli  an'anaviy  tarzda,  oddiy  kasrlarni  ko'paytirish  qoidasi  yon  uzunligi ushbu  kasrlar  bilan  ifodalangan  to'rtburchakning  maydonini  topish  misolida tushuntiriladi.  Bitta  misoldan  "qadrlangan"  qoidani  qabul  qilib,  ular  kasr mahsulotlarini  topib,  undan  foydalanishni  boshlaydilar.  Shoshqaloqlik  va rasmiyatchilik  keyinchalik  bilim  sifatida  namoyon  bo'ladi. Talaba  kasrlarni  ko'paytirish  qoidasini  tushunishi,  uni  vizual  tasvir  bilan bog'lashi  uchun  unga  quyidagi  mashqlarni  taklif  qilish  foydalidir: 8-sonli  kartada  (14-rasm)  birlik  kvadratlar  teng  to'rtburchaklarga  bo'linadi. Kichik  to'rtburchak  qancha  birlik  ekanligini  toping.  A,  B,  C,  D,  E,  F birlik kvadratining  qaysi  qismi  qalin  chiziq  bilan  belgilangan  to'rtburchak  ekanligini toping. A,  B,  C,  D,  E,  F figuralarining  har  birida  tanlangan  to‘rtburchakning  qaysi qismi  kichik  to‘rtburchak  ekanligini  toping. 8-kartadagi  A,  B,  C,  E,  F.  raqamlariga  ko'ra,  har  bir  raqam  ostida  yozilgan kasrlarni  ko'paytirish  ma'nosini  tushuntiring. 29 Talabalarning e'tiborini  E  kvadratida  qalin  chiziqlar  uchta  kichik to'rtburchakdan  iborat  to'rtburchaklar  ko'rsatishiga  qaratish  kerak.  E kvadratida  14 ta,  soyali  rasmda  esa  5 ta  shunday  to'rtburchaklar  mavjud.Ko'paytmaning  qiymati bo'lgan  kasr  3 ga  kamaytirilgandan  so'ng  kasrdan  olingan,  buni  qalin  harf  bilan ta'kidlangan  3 x 1 to'rtburchakning  butun  soni  tasdiqlaydi.  chiziqlar. Zaif  va  o'rtacha  o'quvchilar  uchun  butun  va  kasr  qismi  bo'lgan  sonning noto'g'ri  kasr  shaklida  yozish  mashqlari,  kasrni  butun  songa  bo'lish  mashqlari foydali  bo'ladi. Shunday  qilib,  yuqoridagi  kartalar  matematikani  o'rganishda  narsalarning tabiatiga  murojaat  qilish,  bolani  amaliy  faoliyatga  qo'shish  imkoniyatini  topish imkonini  beradi,  bunda  u o'rganilgan  abstraktsiyalarni  o'zlashtirishga  yordam beradigan  tasvirlarni  shakllantiradi. Aniqlash   eksperimenti   bosqichida   tuzilgan   vazifalarni   bajarishda muvaffaqiyat  darajasining  qiyosiy  tavsiflari  diagrammada  ko'rsatilgan. Aniqlovchi  eksperimentdan  olingan  natijalar  ikki  sinf  o‘quvchilarining bilimlari  bir  xil  darajada  ekanligini  ko‘rsatadi. Formativ  eksperiment  bosqichida  bizning  maqsadimiz  matematika  darslarida kasrning  matematik  tushunchasini  joriy  etish  va  shakllantirishni  amaliy o'rganishdir. Formativ  eksperiment  davomida  kasrni  ratsional  son  sifatida  shakllantirishga asoslangan  turli  xil  vazifalar  taklif  qilindi  . Sondan  kasr  va  uning  kasridan  son topish  masalalarini  yechishda  kasr  tushunchasining  ma’nosiga  tayangan,  qiyosiy ish  olib  borilgan.  Koordinata  nurida  kasrning  tasviri  bo'yicha  topshiriqlar,  kattalik birliklari  bo'yicha  orientatsiyaga  asoslangan  topshiriqlar,  raqamlarning  soyasidan foydalangan  holda  sonning  kasr  tushunchasini  aniqlash  uchun  topshiriqlar,  ijodiy xarakterdagi  vazifalar,  kasrlarni  taqqoslash  bo'yicha  topshiriqlar  kiritildi. tanlangan,  sonning  noto'g'ri  kasr  shaklida  yozish  uchun  mashqlar  foydali  bo'ldi. Koordinata  nurida  kasrning  tasviri  uchun  vazifalar  taklif  qilindi: -  Daftarning  12  yacheykasini  bitta  segment  sifatida  oling  va  koordinata  nurida B  (),  C (),  E (),  P (),  R () nuqtalarini  belgilang. 30 - Koordinata  nuriga  bitta  segment  OE  chizing  va  uni  6 ta  teng  qismga  bo'ling. Har  bir  qism  segmentning  qaysi  qismini  tashkil  qiladi?  Segmentning  qaysi  qismi  4 zarbadan  iborat? -  Bitta  segment  daftarning  6 ta  katak  uzunligiga  teng.  Koordinata  nurlari nuqtalarida  koordinatalar  , , , bilan  belgilang.  Ushbu  nuqtalarning  qaysi  biri nurning  chap  tomonida,  qaysi  biri  hammaning  o'ng  tomonida  joylashgan? -  Koordinatalar  nuridagi  nuqtalarni  belgilang:  A  (),  B (),  C (),  D  (),  E (),  K  (). Ulardan  birortasi  mos  keladimi? -  AB  segmentining  uzunligi  8 sm.Uzunligi  AB  segmentining  uzunligiga  teng bo'lgan  kesma  chizing. Miqdor  birliklari  bilan  ishlashga  asoslangan  vazifalar  taklif  qilindi: -  Qanday  ataladi: a)  metrning  yuzdan  bir  qismi; b)  tonnaning  mingdan  bir  qismi; v)  soatning  oltmishdan  bir  qismi; d)  kunning  yigirma  to'rtdan  bir  qismi; e)  kub  metrning  milliondan  bir  qismi; e)  kvadrat  metrning  milliondan  bir  qismi. -  necha  daqiqa:  a)  soatning  uchdan  birida; b)  chorak  soat  ichida; v)  yarim  soatda; d)  soatning  o'ndan  birida; e)  soatning  o'n  ikkinchisida; e)  soatning  oltinchi  yarmida? -  Necha  soniya: a)  5 daqiqa b)  chorak  soat  ichida; c)  bir  soat  ichida; d)  chorak  daqiqada; e)  daqiqaning  uchdan  birida; 31 e) yarim  daqiqa? 1  m3  ning  qaysi  qismi  1 sm3?  1 m2  ning  qaysi  qismi  1 sm2  ga  teng? -  Qanday  nisbat:  a)  yildan  bir  kun; b)  haftadan  kun; c)  metrdan  dekimetr; d)  litrdan  1 sm3? -  haftaning  qaysi  qismi:  a)  besh  kun; b)  olti  kun? -  Bir  soatda  necha  daqiqa  bor?  Qaysi  qism  1 daqiqa,  7 daqiqa,  15  daqiqa. -  bir  soatda  necha  daqiqa;  soatlarda;  soatlarda;  h.p.;  hf? Raqamlarni  soyalashdan  foydalangan  holda  sonning  kasr  tushunchasini aniqlash,  ya'ni  raqamning  soyali  va  soyasiz  qismini  aniqlash  uchun  topshiriqlar kiritilgan. Ijodiy  vazifalar  tanlangan: -  Tomoni  4 sm  bo'lgan  kvadrat  chizamiz  va  uni  3 xil  usulda  4 qismga bo'lamiz. -  8 sm  uzunlikdagi  segmentni  chizing.Bu  segmentni  rangli  qalam  bilan belgilang.  Segmentning  qaysi  qismi  belgilanmagan? Numeratori  maxrajdan  3 ga  kichik  bo'lgan  beshta  kasrni  o'ylab  ko'ring. Numeratori  maxrajdan  3 ga  kichik  bo'lgan  besh  kasrni  yozing.  Numeratori maxrajdan  3 barobar  ko'p  bo'lgan  beshta  kasrni  yozing. Ayrimi  100  dan  katta  bo‘lgan  3 ta  to‘g‘ri  kasrni  ayting. dan  katta  bo'lgan  5 ta  kasrni  ayting. Kasrlarni  solishtirish  uchun  topshiriqlar  olindi: -  Kasrlarni  o'sish  tartibida  joylashtiring:  . Bu  kasrlarni  kamayish  tartibida joylashtiring. —  Yozuvlardagi  yulduzchani  < yoki  > bilan  almashtiring: A)  ; b)  , c)  , d) Kasrlarning  qaysi  biri  kattaroq: a)  yoki  , b)  yoki  , c)  yoki  , d)  yoki  ? 32 - nuqtalarning  qaysi  biri  koordinata  nurida  chap  tomonda  joylashgan:  a)  A  () yoki  B (); b)  M()  yoki  N()? -  rostmi:  a)  kamroq; b)  ko'proq. -  solishtiring:  a)  va  , b)  va  , c)  1 va  , d)  va  1,  e)  va  0,  f) va  0. Kasrlarni  o'qish  va  yozish  qoidalarini,  kasr  sonlarini  o'z  ichiga  olgan  tenglik va  tengsizliklarni  o'qish  qoidalarini,  oddiy  kasrlarni  o'z  ichiga  olgan  ifodalar  va tenglamalarni  bilish  uchun  topshiriqlar  kiritilgan: -  Kasrlarni  o'qing:  , ,,,,,, Har  bir  kasrning  soni  va  maxrajini  nomlang. -  Oddiy  kasr  shaklida  yozing: a)  oltidan  uch; b)  uchdan  bir; v)  yarmi; d)  to'rtdan  uch; e)  yetti  o‘ndan; e)  o'n  bir  yuzdan  bir; g)  o'n  bir  qirq  sakkiz. Kasrlarni  o'qing,,,,,,,,,,.  Numerator  va  maxrajni  nomlang. -  nuqtalardan  qaysi  biri  koordinata  nurida  chap  tomonda  joylashgan: a)  A  () yoki  B ();  b)  A  () yoki  B ()? -  Bu  rostmi: a)  kamroq,  b)  ko'proq? -  Quyidagilarni  bajaring: a)  + ; b)  + ; c)  +;  d)  + ; e)  x - ; e)  - ; va)  - ; h)  - -  tenglamani  yeching:  a)  x - =;  b)  - y = ; c)  z + = ; d)  + p =. Raqamning  noto'g'ri  kasr  shaklida  yozish  uchun  mashqlar  foydali  bo'ldi: 33 Barcha noto'g'ri  kasrlarni  5 raqami  bilan  yozing. Qaysi  qiymatlarda  u noto'g'ri  kasr  bo'ladi? Numeratori  maxrajdan  3 barobar  ko'p  bo'lgan  beshta  kasrni  yozing. Kasr  noto'g'ri  bo'lgan  x ning  barcha  qiymatlarini  toping? Mahraji  200  dan  katta  bo‘lgan  3 ta  noto‘g‘ri  kasrni  ayting. Biz  o'zimiz  uchun  matematika  darslarida  kasrning  matematik  tushunchasini kiritish  va  shakllantirishni  amaliy  o'rganishni  tashkil  etish  va  o'tkazish  nuqtai nazaridan  juda  ko'p  foydali  narsalarni  bilib  oldik.  Shunday  qilib,  darslarning samaradorligini  qayd  etib,  biz  quyidagi  natijalarga  erishdik:  bolalarning matematika  darslarida  faolligi  va  qiziqishi  ortdi,  matematika  bo'yicha  o'quv natijalari  va  ish  sifati  yaxshilandi. Formativ  eksperimentni  o'tkazgandan  so'ng,  biz  nazorat  tajribasini  o'tkazdik, uning  maqsadi  5-sinfda  matematika  darslarida  kasrning  matematik  tushunchasini kiritish  va  shakllantirish  bo'yicha  amaliy  o'rganishdan  foydalanish  samaradorligini aniqlash  edi.  Buning  uchun  biz  aniqlash  tajribasi  bosqichida  o'tkazilgan  ish  bilan o'xshash  ishni  bajardik.  Natijalarni  jadvalga  joylashtiramiz. Nazorat  tajribasi  sifatida  biz  T.D  tomonidan  tavsiya  etilgan  diagnostik testlarga  muvofiq  sinovdan  o'tkazdik.  Goncharova  "To'liq  assimilyatsiya  qilish texnologiyasiga  asoslangan  ta'lim".  Testlarda  sonning  kasr  tushunchasini  shtrix yordamida  aniqlash,  oddiy  kasrlar,  muntazam  va  noto‘g‘ri  kasrlar  tushunchalarini aniqlash,  sondan  kasr  va  uning  kasr  qismidan  son  topishni  o‘rganish,  qo‘shish formulalarini  bilish  bo‘yicha  topshiriqlar  berildi.  va  bir  xil  maxrajli  kasrlarni ayirish. Nazorat  tajribasi  bosqichida  tuzilgan  topshiriqlarni  bajarishda  muvaffaqiyat darajasining  qiyosiy  tavsiflari  diagrammada  ko'rsatilgan. Noto g ri kasr nima? ʻ ʻ Noto g ri kasr ʻ ʻ   bu  shunday  kasrki,  uning  surati  maxrajdan  katta  yoki  unga   teng. Quyida  noto g ri  kasrlarga  misollar  keltirilgan: ʻ ʻ 34 Aralash sonlar nima? Aralash son   bu butun  sonlar  va  to g ri  kasrlarni  o z  ichiga  olgan  sondir. ʻ ʻ ʻ Quyida  aralash  sonlarga  misollar  keltirilgan: Aralash sonni noto g ri kasr ko rinishida qayta yozish ʻ ʻ ʻ                 start  fraction,  4,  divided  by,  5,  end  fraction   sonini  noto g ri  kasr ʻ ʻ ko rinishida  qayta  yozing. ʻ 35 Noto g ri kasr shaklida qayta yozingʻ ʻ Noto g ri kasrni aralash son ko rinishida qayta yozish ʻ ʻ ʻ             start  fraction,  10,  divided  by,  3,  end  fraction   kasr  sonini  aralash  son   shaklida  qayta  yozing. 36 Keling,          start  fraction,  10,  divided  by,  3,  end  fraction   kasr  sonidan  qancha butun  sonni  olishimiz  mumkinligini  ko rib  chiqaylik. ʻ Xulosa O'qituvchi  kasr  va  ratsional  son  tushunchalarini  bilishi,  ratsional  sonlar  ustida amallarni  bajarish  qoidalarini,  bu  amallarning  xossalarini  bilishi  kerak,  bu  faqat kasr  tushunchasini  matematik  jihatdan  to'g'ri  kiritish  va  kichik  yoshdagi o'quvchilarga  o'rgatish  uchun  emas.  harakatlarni  bajarish,  lekin  bundan  kam muhim  bo‘lmagan  holda,  ratsional  sonlar  to‘plami  va  haqiqiy  sonlarning  natural sonlar  to‘plami  bilan  bog‘liqligini  ko‘rish,  buni  tushunmasdan  turib  matematika o‘qitishda  birlamchi  va  keyingi  bosqichlarda  uzluksizlik  masalasini  yechish mumkin  emas.  maktab  baholari. "Oddiy  kasr"  tushunchasini  o'zlashtirgan  holda,  talaba  butun  bo'linadigan  teng ulushlar  sonini  va  olingan  ulushlar  sonini  hisoblashni  mashq  qilishi  kerak. 37 Kasrlar - bu  raqamlar,  shuning  uchun  birinchi  bosqichda  talabaga  faqat aniqlikdan  foydalangan  holda,  natijada  olingan  kasrlarni  butun  sonlar  bilan, masalan,  1 bilan  va  kasr  bilan  taqqoslash  imkoniyatini  berish  kerak. Kasrni  ratsional  son  sifatida  shakllantirishga  asoslangan  turli  topshiriqlar kiritilishi  bilan  sondan  kasr  va  uning  kasrdan  son  topishga  oid  masalalarni echishda  qiyosiy  ish,  kasr  tushunchasining  ma'nosiga  asoslanib,  tanlash.  ijodiy xarakterdagi  topshiriqlar  o'quvchilarning  faolligini,  qiziqishini  oshirdi,  ish  sifati  va 5-sinfdagi  bolalarning  muvaffaqiyati  yaxshilandi,  bu  biz  ilgari  surgan  gipotezani tasdiqlashga  imkon  berdi. 38 Adabiyotlar ro'yxati 1. Belyaev  E.A.,  Perminov  V.Ya.  Matematikaning  falsafiy  va  uslubiy muammolari.  - M.:  MGU,  1981.  - 214  b. 2.  Gnedenko  B.V.  Zamonaviy  dunyoda  matematika.  – M.:  Ma’rifat,  1990.  – 128  b. 3.  Jukov  N.I.  Matematikaning  falsafiy  muammolari.  - Minsk,  1977.  - 95  p. 4.  Tabiiy  fanlarda  matematikaning  tushunarsiz  samaradorligi  // Matematika  - 1991  - No  10  - 23-bet. 39

MAVZU: KASR TUSHUNCHASI BILAN TANISHTIRISH. Mundarija Kirish ............................................................................................................................................................ 2 1-bob. Matematika darslarida kasrning matematik tushunchasini shakllantirishning nazariy va uslubiy asoslari. ....................................................................................................................................................... 6 Matematika darslarida matematik tushunchalarni shakllantirish jarayoni .................................................. 6 1.2. Matematika darslarida matematik tushunchalarni kiritish usullari ..................................................... 16 2-bob. Matematika darslarida kasrning matematik tushunchasini kiritish va shakllantirishni amaliy o’rganish. ................................................................................................................................................... 23 2.1. Kasr haqida tushuncha ........................................................................................................................ 23 2.2. Matematika darslarida kasrning matematik tushunchasini kiritish va shakllantirish .......................... 25 Notoʻgʻri kasr nima? ............................................................................................................................... 34 Aralash sonlar nima? ............................................................................................................................. 35 ............................................................................................................................................................... 35 Aralash sonni notoʻgʻri kasr koʻrinishida qayta yozish ............................................................................ 35 ................................................................................................................................................................... 36 Notoʻgʻri kasrni aralash son koʻrinishida qayta yozish ............................................................................ 36 Xulosa ........................................................................................................................................................ 37 Adabiyotlar ro'yxati .................................................................................................................................... 39 1

Kirish Kasr   ( arabcha :   رسك   —  bo lak,  parcha) ʻ   —   matematikada   birning  bitta  yoki  bir nechta  qismidan  (bo lagidan)  iborat  son.  Kasr  ikkita  butun  sonning  nisbati  bilan ʻ ifodalanadi:     yoki  n/m.  Bu  yerda   m   kasrning   maxraji ,   n   bo lsa ʻ   surati   deyiladi. Maxraj  chiziqning  ostiga  (yoki  ketiga),  surat  bo lsa  chiziqning  ustiga  (yoki  oldiga) ʻ yoziladi. Maxraj  bir  sonni  necha  bo lakka  bo linganini  ko rsatadi,  surat  bo lsa  shu ʻ ʻ ʻ ʻ kasrda  shunday  ulushlardan  nechta  borligini  ko rsatadi.  Masalan, ʻ     kasrida  surat  3 dir  va  u kasr  teng  uch  bo lakni  ifodalashini  ko rsatadi.  Maxraj  bo lsa  4 dir  va  u ʻ ʻ ʻ to rtta  bo lak  bir  bo lib  butunni  hosil  qilishini  anglatadi. ʻ ʻ ʻ Matematikada     ko rinishida   yozsa   bo ladigan   barcha   sonlar ʻ ʻ   ratsional sonlar   to plamiga  kiradi.  Bu  yerda  a va  b butun  sonlardir  va  b 0 ga  teng  emas ʻ (b‡0). Kasr  sonlar  yaqqol  surat  yoki  maxrajli  bo lmasligi  ham  mumkin,  masalan ʻ o nli  kasr, ʻ   foiz ,  manfiy  darajalar  (mos  ravishda  0,01,  1%  va  10 −2 ;  bularning  har  biri 1/100  ga  teng).  Butun  sonni  ham  maxraji  1 ga  teng  kasr  ko rinishida  yozish ʻ mumkin:  masalan  7 va  7/1  bir-biriga  teng. Kasrlar   nisbat   va   bo linmalarni ʻ   ifodalashda  ham  ishlatiladi. [1]   Masalan,  3/4 kasr  3:4  nisbat  va  3 ÷ 4 bo linmani  ifodalaydi. ʻ Matematikaning  ko'pgina  ilovalari  miqdorlarni  o'lchash  bilan  bog'liq.  Biroq, bu  maqsadlar  uchun  natural  sonlar  etarli  emas;  miqdor  birligi  har  doim  ham o'lchangan  miqdorning  butun  soniga  to'g'ri  kelmaydi.  Bunday  vaziyatda  o'lchov natijasini  to'g'ri  ifodalash  uchun  tabiiy  raqamlardan  boshqa  raqamlarni  kiritish orqali  sonlar  zaxirasini  kengaytirish  kerak.  Qadim  zamonlarda  odamlar  shunday xulosaga  kelishgan:  uzunliklarni,  maydonlarni,  massalarni  va  boshqa  miqdorlarni o'lchash  dastlab  kasr  sonlarning  paydo  bo'lishiga  olib  keldi  - ular  ratsional  sonlarni olishdi  va  V  asrda.  Miloddan  avvalgi.  Pifagor  maktabi  matematiklari  uzunligi tanlangan  uzunlik  birligi  bilan  ratsional  son  bilan  ifodalab  bo'lmaydigan segmentlar  mavjudligini  aniqladilar.  Keyinchalik,  bu  masalani  hal  qilish  bilan 2

bog'liq holda,  irratsional  sonlar  paydo  bo'ldi.  Ratsional  va  irratsional  sonlar  haqiqiy sonlar  deyiladi. Haqiqiy  raqamlar  turli  raqamlar  qatoridagi  oxirgi  emas.  Natural  sonlar to'plamining  kengayishi  bilan  boshlangan  jarayon  bugungi  kunda  ham  davom etmoqda  - buni  turli  fanlar  va  matematikaning  o'zi  rivojlanishi  talab  qilmoqda. O'quvchilarni  kasr  sonlar  bilan  tanishtirish,  qoida  tariqasida,  boshlang'ich sinflarda  sodir  bo'ladi.  Keyin  o'rta  maktabda  kasr  tushunchasi  takomillashtiriladi va  kengaytiriladi.  Shu  munosabat  bilan  o`qituvchi  kasr  va  ratsional  son tushunchalarini  bilishi,  ratsional  sonlar  ustida  amallarni  bajarish  qoidalarini,  bu amallarning  xossalarini  bilishi  kerak.  Bularning  barchasi  nafaqat  kasrlar kontseptsiyasini  matematik  jihatdan  to'g'ri  kiritish  va  kichik  yoshdagi  o'quvchilarni ular  bilan  amallarni  bajarishga  o'rgatish  uchun,  balki  ratsional  va  haqiqiy  sonlar to'plamining  tabiiy  sonlar  to'plami  bilan  bog'liqligini  ko'rish  uchun  ham  zarurdir. raqamlar.  Ularning  tushunchasisiz  maktabning  boshlang’ich  va  keyingi  sinflarida matematika  o’qitishda  uzviylik  masalasini  hal  qilib  bo’lmaydi. Ushbu  muammoning  dolzarbligidan  kelib  chiqib,  biz  o‘quv  mashg‘ulotimiz mavzusini  “Matematik  tushunchalarni  shakllantirish”  (Kesrlar.  5-sinf)  tanladik. Tadqiqot  ob'ekti  kasr  tushunchasini  shakllantirish  jarayonidir. Tadqiqot  predmeti  matematika  darslariga  matematik  tushunchalarni  kiritish va  shakllantirish  usullaridan  iborat. Ishning  maqsadi  matematika  darslarida  matematik  tushunchalarni  joriy  etish va  shakllantirish  usullarini  ishlab  chiqishdan  iborat. Maqsadga  muvofiq,  5-sinf  o‘quvchilarida  kasr  tushunchasini  ratsional  son sifatida  shakllantirishga  yo‘naltirilgan  tizimli  va  maqsadli  ishlar  jarayonida  kasr tushunchasi  shakllanadi,  degan  gipoteza  asosida  ish  olib  borildi. Maqsad  va  gipotezaga  muvofiq  quyidagi  vazifalar  qo'yildi: -  uslubiy-matematik  va  psixologik-pedagogik  adabiyotlarni  tahlil  qilish  va kasr  tushunchasiga  oid  nazariy  qoidalarni  aniqlash; 3

- uslubiy-matematik  adabiyotlarni  tahlil  qilish  hamda  matematika  darslarida kasr  tushunchasini  kiritish  va  shakllantirish  usullarini  aniqlash,  kasr  tushunchasini kiritishga  turlicha  yondashuvlarni  ko‘rib  chiqish; -  kasrni  ratsional  son  sifatida  shakllantirishga  qaratilgan  mashqlarni  tanlash  va tekshirish; —  kasrni  ratsional  son  sifatida  kiritish  va  shakllantirish  usullari  bo‘yicha uslubiy  tavsiyalar  ishlab  chiqish. Belgilangan  vazifalarni  hal  qilish  uchun  tadqiqot  usullari  qo'llanildi:  kuzatish, pedagogik  eksperiment,  talabalar  faoliyati  mahsulotlarini  tahlil  qilish,  test. Tadqiqot  uch  bosqichda  amalga  oshirildi: 1-bosqich  - qidiruv-nazariy.  Psixologik,  pedagogik  va  uslubiy  adabiyotlarni tahlil  qilish  jarayonida  metodologiya,  tadqiqot  metodologiyasi,  uning  kontseptual apparati,  muammo,  ob'ekt,  mavzu,  vazifalar,  usullar  va  tadqiqot  gipotezasi keltirildi. 2-bosqich  - eksperimental.  Bu  bosqichda  ijodiy  topshiriqlar  yordamida matematika  darslari  ishlab  chiqildi  va  o'tkazildi,  ishchi  gipoteza  tekshirildi;  olingan natijalar  qayta  ishlandi. 3-bosqich  - yakuniy  va  umumlashtirish.  Ushbu  bosqich  materialni  qayta ishlash  va  tizimlashtirish,  sinovdan  o'tkazish  va  natijalarni  amaliyotga  tatbiq etishni  o'z  ichiga  oladi. Barcha  3 bosqich  ishimizda  o'z  aksini  topdi. Ishning  tuzilishi:  bitiruv  malakaviy  ishi  kirish,  ikki  bob,  xulosa,  foydalanilgan adabiyotlar  ro‘yxati,  shu  jumladan  20  nom,  ilovalardan  iborat. Tadqiqot  bazasi:  Tadqiqot  Semibugrovskaya  o'rta  maktabi  bazasida  olib borildi.  Semibugry,  Kmizyakskiy  tumani. Mavzular  5-“A”  sinf  o quvchilari  soni  14  nafar  va  parallel  5 “B”  sinf ʻ o quvchilari  soni  14  nafar. ʻ Tadqiqotning  amaliy  ahamiyati  kasrning  ratsional  son  sifatidagi  matematik tushunchasini  shakllantirish,  kasrni  ratsional  son  sifatida  shakllantirishga qaratilgan  vazifalarni  tanlashdadir. 4

5

Похожие

Vektor tushunchasi va ular bilan bog’liq tushunchalar
Har xil janrdagi asarlarni o’qitish metodikasininh o’ziga xos xususiyatlari. Hikoya va ertakni o’qitish metadikasi. O’qituvchilarni hikoya va ertak janri bilan tanishtirish,
Video karta va video karta tushunchasi
DARAXT TUSHUNCHASI. DARAXTNING KOMPYUTER XOTIRASIDA TASVIRLANISHI
O'ZBEKISTON RESPUBLIKASIDA OILAVIY HUQUQ. OILA TUSHUNCHASI