KICHIK O‘LCHAMLI YECHILUVCHAN LI ALGEBRALARINING MARKAZIY KENGAYTMALARI
![Kadrlar tayyorlash dasturini ro‘yobga chiqarishning uchinchi << to‘plangan
tajribalarni tahlil etish va umumlashtirish asosida , mamlakatni ijtimoiy - iqtisodiy
rivojlantirish istiqbollariga muvofiq kadrlar tayyorlash tizimini takomillashtirish va
yanada rivojlantirish >> [2,(40-41)] - bosqichida o‘quv tarbiya jarayonini yangi
o‘quv uslubiy majmualar , ilg‘or pedagogik texnologiyalar bilan ta’minlash
vazifalari belgilangan bir davrda to‘plangan tajribalarni ,ilmiy , ilmiy -metodik
adabiyotlarda keltirilgan ilmiy xulosalarni tanqidiy o‘rganib ,ta’lim jarayoniga
tatbiq
etish yo‘llarini ishlab chiqish dolzarb masala ekanligi qayd etilgan .
Lie algebralari 1870-yillarda Marius Sophus Lie tomonidan cheksiz kichik
o zgarishlar tushunchasini o rganish uchun kiritilgan va 1880-yillarda Wilhelmʻ ʻ
Killing tomonidan mustaqil ravishda kashf etilgan. Li algebra nomini 1930-yillarda
Hermann Veyl bergan, eski matnlarda cheksiz kichik guruh atamasi ishlatiladi.
TADQIQOT MAQSADI :
Magistrlik dissertatsiyasida yechiluvchan Li algebralarining markaziy
kengaytmalarini o’rganish va ularni klassifikatsiya qilgan holda topish, Li
algebralarining xossalari o‘rganilib, uning ba’zi muhim sinflarini tasniflash hamda
rejalashtirish .
TADQIQOTNING MAQSADINI AMALGA OShIRISh UChUN QUYIDAGI
VAZIFALAR BELGILANADI:
1. Li algebralarini nilpotentlikka va yechiluvchanlikka tekshirish , algebra va
chiziqli fazo elementlari orasida Li algebrasini qurish uchun amal kiritish yo’llarini
o’rganish.
2. Markaziy kengaytmani izomorfizm aniqligida klasifikatsiyalarga ajratish
usullarini kiritish.
3. Tabiiy darajalangan Li algebrasi kengaytmasi, nilradikal bilan kengaytmasini
o’rganish.
3. TADQIQOT O’BEKTI:
3](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_3.png)
![Ushbu tadqiqot ishidan ilmiy izlanishlar olib borish, keltirilgan xulosa va
tavsiyalardan hamda metodik qo‘llanmadan amaliyotda foydalanish mumkin .
Zamonaviy algebrada noassotsiativ algebralarni, ularning xususiyatlarini va
strukturasini o`rganish muhim masalalardan biri hisoblanadi.
Noassosiativ algebralarni o‘rganishda ularning strukturasini aniqlovchi bir
qator klassik teoremalar mavjud. Ma‘lumki, Li algebralari noassosiativ
algebralarning muhim sinflaridan hisoblanib, ular assosiativ, Yordan algebralar
kabi
bir qator algebralar bilan uzviy bog‘liq. Li algebralari o‘zining bir qator
umumlashmalariga ega bo‘lib, so‘nggi yilllarda ushbu umumlashmalar jadal
suratda
o’rganilmoqda. Ushbu dissertatsiya ishi Li algebralarining markaziy
kengaytmalarini topish strukturalariga bag‘ishlanadi. Unda Li algebrasining
markaziy kengaytmasi o’rganilinib kichkina o’lchamli algebralar uchun Li
nazariyasi o‘rganilib, algebralari uchun qanchalik darajada o‘rinli ekanligi
ko‘rsatiladi.
Mazkur dissertatsiyaning asosiy maqsadi berilgan algebralar ko’philligini
o’rganishda kichik o’lchamli algebralarni tasniflash , ular uchun Li algebralarining
klassik nazariyasidan ma’lum bo‘lgan teoremalarni o‘rganishdan iborat.
Ushbu masalalarni ilmiy jihatdan hal etish uchun strukturaviv nazariya,
algebraik, hamda geometrik metodlardan foydalanish k о ‘zda tutilgan.
Xozirgi kunda Li algebralarning markaziy kengaytmalar usulidan foydalanib
algebralarni o’rganish jadal suratda о ‘rganilmoqda. Li algebrasi о ‘tgan asrning
1870-yillarda yillarida Marius Sophus Lie tomonidan ushbu
[ ?????? , [ ?????? , ?????? ]] + [ ?????? ,[x,y]]+ [y,[z, x]]=0
Yakobi ayniyati bilan xarakterlanadigan antikomutative algebra sifatida fanga
kiritilgan .
Noassosiativ algebralar va ularning tasvirlarini o‘rganish uzoq yillardan beri
algebra sohasining asosiy masalalari bo‘lib kelmoqda. Li algebralari noassosiativ
5](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_5.png)
![I BOB. LI ALGEBRASINING ASOSIY TUSHUNCHASI
1.1 Li algebrasining ta’rifi
Ta’rif 1.1.1 ( a , b ) → [ a , b ]
ko’paytma bilan F maydon ustida aniqlangan L algebra
quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa, L
ga F
maydon ustida aniqlangan Li
algebrasi deyiladi.
1) Barcha x ∈ L
lar uchun
[x,x]= 0 ;
2) Barcha
x,y,z∈L lar uchun [ x , [ y , z ]] +[ y , [ z , x ]] +[ z , [ x , y ]] = 0
. Bu Yakobi
ayniyati deyiladi.
3)
∀ x,y∈L lar uchun [x,y]=− [y,x] - antikommutativlik xossasi o’rinli bo’lsa.
Bu yerda 3 aksiomadan
2[x,x]=0 ni hosil qilamiz. Shuning uchun, agar F
maydonning xarakteristikasi 2 dan farqli bo’lsa (
char F ≠2 ), u holda (3) aksiomadan
1 aksioma kelib chiqadi.
Agar
x,y∈K lar uchun [ x , y ] ∈ K
o’rinli bo’lsa, Li algebrasining L ning vektor qism
fazosi K
qism algebra deb ataladi.
Li algebrasiga misollar.
A
- F
maydon ustidagi assosiativ algebra bo’lsin. A
vektor fazo ustida yangi amal
kiritamiz.
[a,b]= ab −ba
ab
- A algebraning a va b elementlari ko’paytmasidan iborat. U holda A vektor fazo
[
,]
amalga nisbatdan Li algebrasini tashkil qiladi. Uni A−¿¿ orqali belgilaymiz.
Haqiqatdan, ham
7](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_7.png)
![1)[ a , a ] = aa − aa = 0
2)
[a,[b,c]]= a[b,c]− [b,c]a=abc −acb − bca +cba
[b,[c,a]]= b[c,a]− [c,a]b=bca −bac −cab +acb
[
c , [ a , b ]] = c [ a , b ] − [ a , b ] c = cab − cba − abc + bac
Bu tengliklarni hadma-had qo’shsak
[ a , [ b , c ]] +[ b , [ c , a ]] +[ c , [ a , b ]] = 0
tenglikni
hosil qilamiz.
3)
[a,b]= ab −ba =−(ba −ab )=−[b,a].
V
- F maydon ustidagi vektor fazo bo’lsin. End ( V )
orqali V fazodagi chiziqli
almashtirishlar to’plamini belgilaymiz.
End (V) chiziqli almashtirishlarni
ko’paytirishga nisbatan assotsiativ algebra tashkil qiladi. U holda
gl
( V ) = End ( V ) − ¿ ¿
-Li algebrasidan iborat. Uni to’liq chiziqli Li algebrasi deb
ataymiz. Agar biz F
maydonda aniqlangan matrisalar algebrasi F
n ni qarasak, u
holda F
n− ¿ ¿
Li algebrasini gl
( n , F )
orqali belgilaymiz. gl (V ) dagi ixtiyoriy qism
algebra chiziqli algebra deyiladi.
Endi Li algebrasiga klassik misollar bo’lgan
An,Bn,Cn ∂n(n≥1) larni qaraymiz.
An:
Fn+1 da izi nolga teng bo’lgan matrisalarning qism fazosi sl(n+1,F) ni
qaraymiz , ya’ni
sl(n+1,F)= {x∈Fn+1|Tr(x)= 0
}
Tr(x)
- x
matrisaning diagonalidagi elementlarining yig’indisidan iborat.
Shuningdek
Tr(x,y)=Tr(y,x) bo’ladi. Haqiqatdan ham,
x =
( a
11 ⋯ a
1 , n + 1
⋮ ⋱ ⋮
a
n + 1,1 ⋯ a
n + 1 , n + 1 ) y = ( b
11 ⋯ b
1 , n + 1
⋮ ⋱ ⋮
b
n + 1,1 ⋯ b
n + 1 , n + 1 )
bo’lsa, u holda
Tr ( x , y ) =
∑
i = 1n + 1
a
1 i b
i 1 +
∑
i = 1n + 1
a
2 i b
i 2 + … +
∑
i = 1n + 1
a
n + 1 , i b
i , n + 1 = ¿
8](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_8.png)
![¿
∑
in + 1
¿ ¿
Eslatib o’tamizki, A,B glϵ (n+1,F) lar uchun A⋅B= AB − BA deb olsak, bu amalga
nisbatan gl ( n + 1 , F )
Li algebrasi bo’ladi, x , y Sl
ϵ ( n + 1 , F )
lar uchun [x,y]= xy − yx ,
shuningdek Tr
( x ) = Tr ( y ) = 0
va Tr ( xy ) = Tr ( yx )
tengliklarni hisobga olsak,
xy Sl
ϵ ( n + 1 , F )
ekanligi kelib chiqadi.
Demak, Sl
( n + 1 , F )
esa gl ( n + 1 , F )
ning qism algebrasi bo’ladi. Sl ( n + 1 , F )
algebra
maxsus Li algebrasi deb ataladi.
i ≠ j
bo’lganda
eij Slϵ (n+1,F) bo’ladi, bu yerda e
ij i − ¿
satr, j − ¿
ustunda 1
qolgan
elementlari
0 bo’lgan n+1−¿ tartibli kvadrat matrisa. Shuningdek,
h
i = e
ii − e
i + 1 , i + 1 Sl
ϵ ( n + 1 , F ) ( 1 ≤ i ≤ n )
. hi− bu i−¿ satr va i ustunda 1 , i+1−¿ satr va i+1
ustunda
−1 joylashgan, qolgan elementlari 0 bo’lgan matrisa. Bunday matrisalar
soni mos ravishda
( n + 1 ) 2
− ( n + 1 )
va n ga teng. Bundan tashqari, eij,hi,i≠ j(1≤i≤n)
lar chiziqli bog’lanmagan, u holda
dimSl (n+1,F)≥(n+1)2−(n+1)+n=(n+1)2−1= dim Fn+1−1,
ya’ni
(n+1)2−1≤dimSl (n+1,F)<(n+1)2
, chunki Sl ( n + 1 , F )
to’plam sifatida F
n + 1 ning qism
to’plamidan iborat. Demak, dimSl
( n + 1 , F ) = n 2
+ 2 n
ekan.
cn
: F2n matrisalar algebrasida S=(
0 En
− En 0) matritsani qaraymiz, bu yerda En -n×n
o’lchamli birlik matrisa.
Ushbu
SP(2n,F)={xϵF2n∨SX =− XTS} to’plamni qaraymi. XTmatrisa − X ning
transponirlangan matrisasidan iborat. SP
( 2 n , F )
lar uchun [ x , y ] = xy − yx SP ϵ ( 2 n , F )
ekanligini ko’rsatish kerak. Ya’ni
S(xy − yx )=−(xy − yx )TS tenglikning to’g’riligini
ko’rsatish kerak.
−
( xy − yx ) T
S = − (( xy ) T
− ( yx ) T)
S = − ( y T
x T
− x T
y T )
S − y T
x T
S + x T
y T
S = − y T (
x T
S ) + x T (
y T
S ) = − y T (
− Sx ) + x T (
− Sy ) = y T
Sx − x T
Sy = ( y T
S ) x − ( x T
S ) y = − Syx + Sxy = S ( xy − yx )
.
Biz bu yerda matritsalarni ko’paytirish assosiativligidan va
( xy ) T
= y T
x T
tenglikdan
foydalandik. SP
( 2 n , F )
algebraga simplektik Li algebrasi deb ataladi.
9](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_9.png)
![1.2 Li algebrasining asosiy strukturalari
Biz ba’zi bir tabiiy chiziqli Li algebralarini qarab chiqdik. Bunda bitta Li
algebrasini topsak, unga izomorf bo’lgan bo’lgan algebralari ham Li algebralari
bo’lar ekan. Biz endi Li algebralarini qanday qurishimiz mumkinligini o’ylaymiz.
Misol uchun , agar L F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazo bo’lsa, biz L
dan Li algebrasini hosil qiladigan amalni shunday topishimiz kerakki, bunda
∀ x ∈ L
uchun [x,x]= 0 o’rinli bo’lishi kerak va yana boshqa shartlar ham.
Agar L chekli o’lchamli algebra bo’lsa va uning bazislari
e1,e2,… ,en uning
bazislari bo’lsa , u holda L ning har bir har bir elementi shu bazislar orqali
ifodalanadi va shu jumladan bazislarning ixtiyoriy ikkitasining ko’paytmasi ham
shu algebraga tushgani uchun , ko’paytma ham shu bazislar orqali ifodalandi.
Ya’ni quyidagicha ifodalansin.
¿
Bunda kiritilayotgan amalimizda bazislarning ko’paytmasi qanday kiritilish
bo’lishini aniqlashtirib olishimiz kerak bo’ladi.
Aytaylik,
[ e
i , e
j ] =
∑
k = 1n
a
i , jk
e
k bo’lsin deylik. Bunda ai,jk larga Li algebrasining
struktura o’zgarmaslari deyiladi. Bunda a
i , jk
lar uchun quyidagi shartlar bajarilishi
kerak agarki, Li algebrasi qurilayotgan bo’lsa:
{
ai,ik=0=ai,jk +aj,ik
∑k (ai,jk ak,lm +aj,lk ak,im +al,ikak,jm )=0
Amalda Li algebralarini bunday suniy tarzda qurish bizga katta noqulayliklar
keltiradi. Ammo qaralayotgan vektor fazomiz yoki algebramiz o’lchami kichik
o’lchamli
dimL ≤2 bo’lganda Li algebralarini bemalol aniqlashimiz mumkin.
Agar algebra o’lchami 1 bo’lsa,
[e¿¿1,e1]=0¿ amal kiritish orqali yasaladi.
12](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_12.png)
![Agar algebra ikki o’lchamli bo’lsa, e1,e2∈L uchun
¿
Amal kiritish yetarli, albatta bunda Yakobi ayniyatlarini ham tekshirish kerak.
Agar algebra 3 o’lchamli bo’lsa, misol uchun amalni quyidagicha kiritishimi ham
mumkin:
e1,e2,e3∈L uchun
{
[
e
1 , e
2 ] = e
3
[
e
1 , e
3 ] = e
2
[
e
2 , e
3 ] = e
0
Yana shunga o’xshash
L = R 3
da
e1,e2,e3∈R3 vektorlar uchun vektorlarni vektorial
ko’paytmasini ham amal qilib kiritsak , u holda bu amalga nisbatan hosil bo’lgan
algebra Li algebrasi hosil qilishini tekshirib ko’rish qiyin emas.
1.3 Nilpotent va yechiluvchan Li algebralari
Endi biz Li alebrasi uchun quyidagicha belgilashlar kiritib olaylik;
Ta’rif 1.3.1 Agar Li algebrada bo’lsa, u holda ga nilpotent
algebra deyiladi.
Misol uchun
L={(
0 a b
0 0 c
0 0 0);a,b,c∈R} algebrani qaraylik. Buni bazislarini
E
1 =
( 0 1 0
0 0 0
0 0 0 ) , E
2 = ( 0 0 1
0 0 0
0 0 0 ) , E
3 = ( 0 0 0
0 0 1
0 0 0 )
Bunda kiritilgan amalimimiz,
A,B∈L uchun amalimiz: [ A , B ] = AB − BA
Demak, [ E
¿ ¿ 1 , E
1 ] =
( 0 0 0
0 0 0
0 0 0 ) ¿
13](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_13.png)
![[ E
¿ ¿ 1 , E
2 ] =( 0 0 0
0 0 0
0 0 0 ) ¿
[ E
¿ ¿ 1 , E
3 ] =
( 0 0 1
0 0 0
0 0 0 ) ¿
[ E
¿ ¿ 2 , E
2 ] =
( 0 0 0
0 0 0
0 0 0 ) ¿
[ E
¿ ¿ 2 , E
3 ] =
( 0 0 0
0 0 0
0 0 0 ) ¿
Demak, L 2
= {
( 0 0 1
0 0 0
0 0 0 ) }
bo’layapti. ( 0 0 1
0 0 0
0 0 0 ) element bilan L ning ixtiyoriy
elamenti ko’paytmasi nol bo’lishini tekshirish qiyin emas.
Ta’rif 1.3.2 Agar Li algebrada bo’lsa, u holda ga
yechiluvchan algebra deyiladi.
Teorema 1.3.1 Nilpotent bo’lgan algebra yechiluvchan algebra bo’ladi.
Isbot: Barcha
k∈N uchun L[k]⊆ Lk ekanligini induksiya bilan ko’rsatishimiz
mumkin.
Lekin, teskarisi o’rinli emas.
Bunga misol qilib, L algebrani quyidagi matritsalar to’plamini olaylik :
L={(
a b
0 − a),a,b∈R}
dimL =2
va E
1 = ( 1 0
0 − 1 ) , E2=(
0 1
0 0) , bunda A,B∈L uchun amalimiz: [ A , B ] = AB − BA
.
Bu kiritilgan amal bo’yicha nilpotentlikka tekshiramiz.
[E1,E1]=(
1 0
0 −1)(
1 0
0 −1)−(
1 0
0 −1)(
1 0
0 −1)=0
14](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_14.png)
![[E1,E2]=(
1 0
0 −1)(
0 1
0 0)−(
0 1
0 0)(
1 0
0 −1)=(
0 2
0 0)= 2E2
[E1,E2]=−2E2
[E
2 , E
2 ] = 0
Demak,
L2 bazisi { E
2 }
ekan, L2= L3=… ⇒ spin L2={E2} .
Shunday qilib L algebra nilpotent emas ekan.
Endi yechiluvchanlikka tekshiramiz. Yuqorida hosil qilgan L 2
= { E
2 }
dan ma’lum
bo’ladiki,
L[3]= L[2]× L[2]=0 chunki, [ E
2 , E
2 ] = 0
.
Teorema 1.3.2 (Engel teoremasi)
L chekli o’lchamli Li algebrasi bo’lsin. L Li algebra nilpotent Li algebra bo’ladi
faqat va faqat L ning barcha x
elementlari ad
-nilpotent bo’lsa.
Bunda
ad -nilpotent degani, adx:L→ L akslantirishda a d
x ( y ) = [ x , y ]
kiritilganda
ad
( X ) k
= 0 o’rinli bo’ladigan ∃ k ∈ N
bo’lsa, x
ga ad
-nilpotent element deyiladi.
Lemma: nilpotent algebra ideal
Maksimal nilpotent idealga algebraning nilradikali deyiladi.
15](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_15.png)
![bu yerda .
To’rt o’lchamli yechiluvchan Li algebrasining ikki o’lchamli kengaytmasiga bitta
misol keltiraylik
Bizga yechiluvchan Li algebrasi quyidagi ko’patyma bilan berilgan bo’lsin.{[e¿¿1,e4]= e1¿[e¿¿2,e4]= e2¿[e3,e4]=−e3
Tasdiq: L algebraning 2-o’lchamli markaziy kengaytmasi algebra
ko’rinishi quyidagi algebralar izomorfizm aniqlikda bo’ladi.
,
III BOB. TABIIY DARAJALANGAN LI ALGEBRASINING MARKAZIY
KENGAYTMALARI
28](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_28.png)
![n juft bo’lganda quyidagilar to’g’ri
∇1=[Δn,1],∇ j=¿
Natijada
¿
φ∈Aut (nn,1) uchun va har bir ψ = ⟨ α
1 ∇
1 + α
2 ∇
2 + … + α
n
2 ∇
n
2 ⟩ , bizning ⟨ψ ⟩ kenglikda
avtomorfizm guruhga tegishli fazoda amallarimiz bajariladi.
⟨
α
1¿
∇
1 + α
2¿
∇
2 + … + α
n
2¿
∇
n
2 ⟩
Bu yerda
Shuni ta’kidlash osonki Ann ( ψ ) ∩ Z
( n
n , 1 ) = 0
ga α
1 ≠ 0
bo’lgan holda teng bo'ladi.
Keyingi natijalarga qarasak : - Agar α
i = 0
ning qiymati i
( 2 ≤ i ≤ n
2 ) ni bajarsa αi¿=0
ushbu tenglik kelib chiqadi
⟨ ∇
1 ⟩ .
Agar
α2≠0 va α
i = 0
, i ( 3 ≤ i ≤ n
2 ) ga mos kelsa
{
α
1¿
= α
1 a
1 n − 1
b
2 ,
α
2¿
= α
2 a
1 b
22
.
a1=1,b2= α1
α2 ni tanlab biz ⟨∇1+∇2⟩ ga ega bo’lamiz .
Endi umumiy holatga yuzlansak ,
αk≠0 k
va α
i = 0
uchun mos ravishda
quyidagilarni keltirib chiqaradi
( k + 1 ≤ i ≤ n
2 ) .
31](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_31.png)
![Then choosing a1=1,b2= α1
αk , va
b
2 t = − 1
2 α
k b
2 ¿
,
Bunda 2 ≤ k ≤ n
2 , 2 ≤ t ≤ k − 1
, bizda ko’rsatuvchi bor
⟨ ∇
1 + ∇
k ⟩ .
Oldingi barcha orbitalar har xil bo’lganligini bo’lish qiyin emas.
T
1
( n
n , 1 ) = Orb ⟨ ∇
1 ⟩ ∪ Orb ⟨ ∇
1 + ∇
2 ⟩ ∪ Orb ⟨ ∇
1 + ∇
3 ⟩ ∪ … ∪ Orb ⟨ ∇
1 + ∇
n
2 ⟩ .
Orbita uchun
⟨ ∇
1 ⟩ , ( n + 1 )
-yo’nalishli tabiiy ketma-ketlikka ega Li algebrasi n
n + 1,1 va
Orb
⟨ ∇
1 + ∇
k ⟩ orbitalari uchun Lk for 2≤k≤⌊n
2⌋ bor.
Agar n
toq bo’lsa:
∇1=[Δn,1],∇ j=¿
Natijada
ψ= ⟨α1∇1+α2∇2+… +αn+12
∇ n+12⟩ , bizda avtomorfiz guruhiga tegishli ⟨ ψ ⟩
mavjud.
⟨α1¿∇1+α2¿∇2+… +αn+12
¿ ∇n+12⟩,
α1¿= a1n−2b2(α1a1−αn+12
a2),αn+12
¿ = αn+12
a1n−2b22,
¿
Shuni yodda tutish kerakki
( ψ 0 )
∩ Z ( n
n , 1 ) = 0
keyingiga mos kelsa (α1,αn+12)≠(0,0 ) .
Agar α
n + 1
2 ≠ 0
bo'lsa
a
1 = 1 , a
2 = α
1
α
n + 1
2 , b
2 =
√ 1
α
n + 1
2 ,
¿
32](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_32.png)
![{β b
1,3 = ( 1 + α ) b
2,3 , ¿ ( 1 + β ) b
1 , j = ( j − 4 + α ) b
2 , j , 4 ≤ j ≤ n + 2
b
2 , j = ( 1 + β ) b
3 , j − 1 , ¿ ¿ 4 ≤ i ≤ n + 1 , i − 1 ≤ j ≤ n .
¿ b
i , j + 2 = 0 ,
¿ ¿
Endi biz
B2(sn,2,θ,C) kengligini aniqlaymiz.
f
( x
1 ) = c
1 e
n + 1 , f ( x
2 ) = c
2 e
n + 1 , f ( e
i ) = c
i + 2 e
n + 1 , 3 ≤ i ≤ n ,
larni istalgan avtomorfizm ga ulab
ϕ∈Aut (sn,2) natijada
df ( y , z ) = f ( [ y , z ] ) + θ ( ϕ ( z ) ) ( f ( y ) ) − θ ( ϕ ( y ) ) ( f ( z ) )
Quyidagi shartlarga ega bo’lamiz
df
( x
1 , x
2 ) = β c
1 − α c
2 , ¿ df ( x
1 , e
1 ) = − ( 1 + α ) c
3 , ¿ df ( x
1 , e
2 ) = − α c
4 , ¿ df ( x
1 , e
j ) = − ( j − 2 + α ) c
j + 2 , 3 ≤ j ≤ n ,
df
( x
2 , e
1 ) = − β c
3 , ¿ df ( x
2 , e
j ) = − ( 1 + β ) c
j + 2 , ¿ ¿ ¿
Quyidagilarni tushunish qiyin emas
( α , β ) ≠ ( 1 − n , − 1 )
va ( α , β ) ≠ ( 2 − n , − 2 )
,
( α , β ) = ( 2 − n , − 2 )
va
n juft
Bizda
Ann (ψ0)∩ Z(nn,1)={en}≠0 bor bo’lsa, yechimga ega Li algebrasining sn,2
bo’linmas kengaytmasini topish maqsadida biz
(α,β)=(1−n,−1) va
(α,β)=(2−n,− 2),n
shartlarni bajarsa n toq hisoblanadi.
Ushbu ikki holatlarda bizda
dim Z2(sn,2,θ,C)= n+2,dim B2(sn,2,θ,C)=n+1 bo’lib,
dim H 2(sn,2,θ,C)=1
ni bildiradi. Hamda H 2 (
s
n , 2 , θ , C )
ham quyidagi kenglikda
bajariladi
H 2(sn,2,θ,C)= ⟨[ψ]⟩,ψ(en,e1)= en+1,(α,β)=(1− n,−1),
¿
Endi biz algebraning yangi mahsuloti deb
~L= sn,2⊕{en+1} olamiz. ( α , β ) = ( 1 − n , − 1 )
bo’lganda biz keyingi natijalarga ega bo’lamiz
36](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_36.png)
![[en,e1]=ψ(en,e1)=en+1,
[en+1,x1]=−θ(x1)en+1=(n−1)en+1,
[en+1,x2]=−θ(x2)en+1= en+1.Agar ( α , β ) = ( 2 − n , − 2 )
va n toq bo’lgan taqdirda quyidagi natijalarga ega bo’lamiz
¿
Shunday qilib, biz ushbu qismda o’zimizga tegishli natijaga erishdik.
Teorema 4.3.
~ L
, Lie algebra sn,2 ning bir o’lchovli bo’linmas kengaytmasi bo’lsa ,
~L
keyingi qiymatlardan biriga izomorfik hisoblanadi sn+1,2 va τ
n + 1,2 .
τn+1,2 qiymat n toq bo’lgandagina namoyon bo’ladi . n juft bo’lganda bu yerda
faqatgina bir kengaytma mavjud bo'ladi
sn+1,2 .
3.3 Yechimga ega Li algebrasining 1 o’lchov nilradikalidagi kengaytmasi
Ushbu qismda biz yechiluvchi Li algebrasining barcha bir o’lchovli kengaytmasini
aniqlaymiz:
s
n , 11
( β ) , s
n , 12
, s
n , 13
, s
n , 14
(
α
3 , α
4 , … , α
n − 1 )
Biz birinchi ushbu qiymatlarda avtomorfizm hodisasiga baho beramiz.
Tasdiq 3.3.1 . Algebra
sn,11 (β) ning istalgan avtomorfizmi quyidagilarga ega :
ϕ ( x ) = x + a
1 e
1 + 1
b
1 ∑
k = 2n − 1
❑ ( β + k − 2 ) b
k + 1 e
k + a
n e
n , ϕ
( e
1 ) = b
1 e
1 +
∑
k = 3n
❑ b
k e
k ,
¿
Algebra
sn,12 ning istalgan avtomorfizmi quyidagi shakllarga ega :
ϕ(x)= x+∑k=2
n
❑ akek,ϕ(e1)= b1e1+b1∑k=3
n
❑ ak−1ek
ϕ(e2)=∑k=2
n
❑ ckek,ϕ(ei)=b1i−2∑k=i
n
❑ ck−i+2ek,3≤i≤n.
s
n , 13
qiymatning istalgan avtomorfizmi keyingilarni bajaradi :
37](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_37.png)
![(2) Agar γ = 1 − n − β
va β ≠ n + 2 − 2 k
keyingilarning barchasi uchun k(2≤k≤⌊n+1
2 ⌋) ,
natijada
{
b1,i=(i−2−n)b2,i−1, 4≤i≤n+1,
bi,j=0, 3≤i≤n,i+1≤ j≤n+1.
(3) Agar
γ=2−n−2β va β≠1 , keyinchalik
(4) Agar γ ≠ 1 − n − β , γ ≠ 2 − n − 2 β
va β = 3 − 2 k − γ
2 bazilari uchun k
( 2 ≤ k ≤ ⌊ n
2 ⌋ )
, keyin
¿
(5) Agar γ ≠ 1 − n − β , γ ≠ 2 − n − 2 β
va β ≠ 3 − 2 k − γ
2 keyingi lar k
( 2 ≤ k ≤ ⌊ n
2 ⌋ )
, natijada
¿
Biz
θ ga ko’ra ikki tomonlama tenglikning o’lchovini aniqlaymiz
f(x)= c0en+1,f(ei)=cien+1,1≤i≤n
Istalgan avtomorfizm uchun ϕ ∈ Aut
( s
n , 11
( β ) )
Dan keyingilar keladi
df ( y , z ) = f ( [ y , z ] ) + θ ( ϕ ( z ) ) ( f ( y ) ) − θ ( ϕ ( y ) ) ( f ( z ) )
Natijada
df (x,e1)=−(1+γ)c1, ¿df (x,ei)=−(i−2+β+γ)ci, 2≤i≤n
df (e1,ei)=−ci+1, ¿ ¿
Natijada
dim B2(sn,11 (β),θ,C)={
n if γ≠−1
n− 1 if γ=−1
40](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_40.png)
![Li algebrasining s
n , 11
( β )
bo’linmas kengaytmasini topish qiyin emas. Buning
uchun keyingi qiymatlarga murojaat etamiz
γ = 1 − n − β
va γ = 2 − n − 2 β , n
toq . Natijada bizda
(1) Agar γ = 1 − n − β
va β= n+2−2k keyingilar uchun k(2≤k≤⌊n+1
2 ⌋) , natijada
H 2(sn,11 (β),θ,C)=¿
(2) Agar γ = 1 − n − β
va β ≠ n + 2 − 2 k
keyinchalik
k(2≤k≤⌊n+1
2 ⌋) , natijada
H 2
(
s
n , 11
( β ) , θ , C ) = ⟨[ Δ
n + 1,2 ]⟩ .
(3) Agar γ = 2 − n − 2 β , β ≠ − 1 , γ ≠ − 1 , n
toq , keyinchalik
H 2
(
s
n , 11
( β ) , θ , C ) = ¿
(4) Agar
γ=−1,β= 3− n
2 ,n toq bo’lsa natijada
H 2
(
s
n , 11
( β ) , θ , C ) = ¿
Bu yerda
Δi,j uchun {x,e1,e2,… ,en} ga asoslanib 3 qismdagi amallarni ishlatamiz.
Teorema 3.3.1 Agar
~ L
, s
n , 11
( β )
Li algebrasining bir o’lchamli kengaytmasi
bo’lsa,
~L quyidagi amallarga izomorfik hisoblanadi
s
n + 1,11
( β ) , τ
n 11
( β ) , τ
n + 1,12
va
~
L
k
( 2 ≤ k ≤ ⌊ n
2 ⌋ ) : ¿
41](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_41.png)
![Isbot. (1) Agar γ=1− n− β va β= n+2−2k keyingilar uchun 2 ≤ k ≤ ⌊ n + 1
2 ⌋
. Natijada
∇
1 =
[ Δ
n + 1,2 ] , ∇
k = ¿
Keyinchalik amallar da
ψ= ⟨δ1∇1+δk∇k⟩ , bir kenglikda bajariladi ⟨δ1¿∇1+δk¿∇k⟩
keyingilarga asosan
δ
1¿
= δ
1 c
2 b
1 n − 1
, δ
k¿
= δ
k c
22
b
12 k − 3
if k < n + 1
2 ,
δ
1¿
= c
2 b
1 n − 2
(
δ
1 b
1 + δ
n + 1
2 b
n + 1
2 ) , δ
k¿
= δ
k c
22
b
1 n − 2
if k = n + 1
2 .
k < n + 1
2 bo’lganda
Ann (ψ0)∩ Z(nn,1)=0 ga ega bo’lamiz. Bunda keyingilar bo’lishi
shart δ
1 ≠ 0
. Natijada
Agar
δk= 0 , keyin δ
k¿
= 0
⟨ ∇
1 ⟩ bizda natija bo’ladi s
n + 1,11
( β )
uchun β= n+2−2k .
Yuzaga keladi.
Agar
δk≠0 , keyin b1=1,c2= δ1
δk , natijada ⟨ ∇
1 + ∇
k ⟩ Dan ~Lk,2≤k≤⌊n
2⌋ kelib
chiqadi.
Agar
k= n+1
2 bo’lsa ( n toq bo’lsa) unga ko’ra β=1 and
Agar δ
n + 1
2 = 0
, keyin δ
n + 1
2¿
= 0
dan
⟨ ∇
1 ⟩ ga ega bo’lamiz. Natijada
sn+1,11 (β) Dan β = 1
chiqadi.- If δ
n + 1
2 ≠ 0
, ga ko’ra b
n + 1
2 = − δ
1 b
1
δ
n + 1
2 , ning natijasida
⟨∇n+12⟩
hamda bizda τn+1,11 (β) dan
β = 1 kelib chiqadi.
(2) Agar
γ=1− n− β va β≠n+2− 2k keyingilar uchun 2≤k≤⌊n+1
2 ⌋ . Natijada bir
orbitali
⟨[ Δ
n + 1,2 ]⟩ dan sn+1,11 (β) kelib chiqib, β ≠ n + 2 − 2 k
.
(3) Agar
γ=2−n−2β,β≠1 va γ≠−1 . Natijada
42](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_42.png)
![¿
τn+1,11 (β) for β ≠ 1
chiqadi.
(4) Let γ = − 1 , β = 3 − n
2 . Shuningdek, quyidagilarni bajargan holda
∇1=[Δ2,1 ],∇2=¿
ψ =
⟨ δ
1 ∇
1 + δ
2 ∇
2 ⟩ ning istalgan biri ⟨ δ
1¿
∇
1 + δ
2¿
∇
2 ⟩ ga asosan bajariladi
Avtomorfizm guruhida keyingisi
δ1¿=δ1b1,δ2¿=δ2c22b1n−1.
Agar
δ1=0 , dan ⟨ ∇
2 ⟩ keyingi amallar kelib chiqadi τ
n + 1,11
( β )
for β = 3 − n
2 .
Agar δ
1 ≠ 0
bo’lsa biz
⟨∇1+∇2⟩ ga teng orbitaga ega bo’lamiz. Natijada τn+1,12 .
Tepadagilarga asosan , biz
Z2(sn,12 ,θ,C) ga tavsif beramiz. θ
ga ko’ra ikki halqali
tomonga ega bo’lamiz.
C= {en+1} bir o’lchovli abelian algebrasi.
Tasdiq 3.3.3 . Istalgan
ψ∈Z2(sn,12 ,θ,C) quyidagilarga asosan tuziladi :
1 Agar
γ=−1 , keyinchalik
ψ(x,e1)=b1,2 ,ψ(x,e2)= b1,3 ,ψ(e1,ej)=b2,j+1,2≤ j≤n.
2 Agar
γ=−2 , keyinchalik
ψ(x,e1)=b1,2 , ψ(x,e2)= b1,3 ¿ψ(e1,ej−1)=b2,j, ψ(x,ej)=−b2,j, 3≤ j≤n
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Agar n juft bo’lsa
b3,n+1=0 .
3 Agar
γ≠−1 va γ≠− 2 , Natijada
ψ(x,e1)=b1,2 , ψ(x,e2)= b1,3 ,
ψ(e1,ej−1)=b2,j, ψ(x,ej)=(1+γ)b2,j,3≤ j≤n.
43](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_43.png)
![Isbot: Isbot Tasdiq 3.3.2 bilan mos keladi.
Endi biz θ ga ko’ra ikki halqali tenglikning qiymatini aniqlaymiz
f ( x ) = c
0 e
n + 1 , f
( e
i ) = c
i e
n + 1 , 1 ≤ i ≤ n
Istalgan avtomorfizm uchun
ϕ∈Aut (sn,12 )
df ( y , z ) = f ( [ y , z ] ) + θ ( ϕ ( z ) ) ( f ( y ) ) − θ ( ϕ ( y ) ) ( f ( z ) )
Natija
df
( x , e
1 ) = − γ c
1 , ¿ df ( x , e
i ) = − ( 1 + γ ) c
i , 2 ≤ i ≤ n ,
df
( e
1 , e
i ) = − c
i + 1 , ¿ ¿
Vaziyatdan yaqqol ma’lumki γ ≠ − 1 , γ ≠ − 2
, va γ = − 2 B
n toq bo’lsa ,
(
ψ 0 )
∩ Z ( n
n , 1 ) = { e
n } ≠ 0 kelib chiqadi. Li algebrasining bo’linmas kengaytmasini olish
uchun
sn,12 keyingi tenglik lar kerav −1 In γ=−2,n toq.
Birinchi vaziyatda bizda
dim Z2(sn,12 ,θ,C )= n+1,dim B2(sn,12 ,θ,C )= n−1 kelib chiqib
dim H 2(sn,12 ,θ,C)=2
dan of H 2 (
s
n , 12
, θ , C )
kelib chiqadi
H 2
(
s
n , 12
, θ , C ) = ⟨[ Δ
3,1 ] ,[ Δ
n + 1,2 ]⟩ , γ = − 1.
Ikkinchi holatda bizda dim Z 2
(
s
n , 12
, θ , C ) = 3 n − 1
2 , dim B 2 (
s
n , 12
, θ , C ) = n
dan
dim H 2
(
s
n , 12
, θ , C ) = n − 1
2 asosidan H 2(sn,12 ,θ,C) quyidagilar kelib chiqadi
H 2
(
s
n , 12
, θ , C ) = ¿
Teorema 5.5. Agar
~L Li algebraning bir o’lchamli bo’linmas kengaytmasi bo’lsa
s
n , 12
, Natijada
~L keyingilar uchun izomorfik xususiyatini namoyon etadi
s
n + 1,12
, s
n + 1,14
( 0,0 , … , 0,1 ) , τ
n + 1,13
( 0,0 , … , 0 )
Isbot. Agar
γ=−1 . ∇1=[Δ3,1],∇2=[Δn+1,2 ] , ga ko’ra ψ= δ1∇1+δ2∇2 ,bizda ⟨ψ ⟩
⟨
δ
1¿
∇
1 + δ
2¿
∇
2 ⟩ kelib chiqadi. Bunda
44](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_44.png)
![ψ(x,e1)=b1,2 , ψ(x,e2)=b1,3 ,
ψ(e1,ej−1)=b2,j, ψ(x,ej)=(1+γ)b2,j+ ∑k=j+1
n−1
❑ αk+2−jb2,j+1,3≤ j≤n.Quyidagilar
θ asosan aniqlanadi
B 2
(
s
n , 13
, θ , C ) = { df ( x , e
1 ) = − ( 1 + γ ) c
1 − c
2 ,
¿ 2 ≤ i ≤ n , ¿ df ( e
1 , e
i ) = − c
i + 1 , ¿ 2 ≤ i ≤ n − 1. ¿
B 2
(
s
n , 14 (
α
3 , α
4 , … , α
n − 1 ) , θ , C ) = { df ( x , e
1 ) = − γ c
1 ,
¿ 2 ≤ i ≤ n , ¿ df ( e
1 , e
i ) = − c
i + 1 , ¿ 2 ≤ i ≤ n − 1. ¿
Teorema 3.3.2 . Li algebra
sn,13 ning istalgan bir o’lchovli kengaytmasi isomorphic
sn+1,13
. ga nisbatan izomorfik xususiyatini namoyon etadi.
Isbot. Agar
γ≠− n bo’lsa ,biz Ann (ψ0)∩ Z(nn,1)={en}≠0 ga ega bo’lamiz. Shuningdek,
Lie algebra
sn,13 ning bo’linmas kengaytmasini olish γ=−n . Ni ko’rish yetarli bo’lsa
dim Z 2
(
s
n , 13
, θ , C ) = n + 1 , dim B 2 (
S
n + 1,3 , θ , C ) = n
dan H 2 (
s
n , 13
, θ , C ) = 1
H 2 (
s
n , 13
, θ , C )
ning
asosi keyingi amallardan aniqlanadi.
H 2(sn,13 ,θ,C)= ⟨[ψ]⟩,ψ(en,e1)= en+1,γ=−n.
s
n , 13
⊕
{ e
n + 1 } algebrasining yangi natijalari quyidagilar
[en,e1]=ψ(en,e1)=en+1,[en+1,x]=−θ(x)en+1= nen+1
biz s
n + 1,13
ga ega bo’lamiz .
Teorema 5.9. Li algebrasining bir o’lchamli bo’linmas kengaytmasini topish
uchun S
n + 1,4
( α
3 , α
4 , … , α
n − 1 ) , sn+1,14 (α3,α4,… ,αn−1,αn) va τ
n + 1,13 (
α
4 , α
6 , … α
n − 1 ) ga
yuzlanamiz. Isbot. Li algebrasining bir o’lchamli markaziy kengaytmasini olish
uchun
sn,14 (α3,α4,… ,αn−1) dan γ=−1 va γ=−2,n ga murojaat etish kifoya. N toq
bo’lsa, α
2 t − 1 = 0
keyingi t
( 2 ≤ t ≤ n − 1
2 ) kelib chiqadi. Ushbu amallarga asosan biz
keyingi natijalarga ega bo’lamiz
dim B2(sn,14 (α3,α4,… ,αn−1),θ,C)= {
n−1 if γ=−1
n if γ=−2
47](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_47.png)
![va
Bundan quyidagilar kelib chiqadi
(1) Agar γ=−1 . Amalda
∇
1 =
[ Δ
3,1 ] , ∇
2 = [ Δ
n + 1,2 −
∑
i = 4n
❑ α
n + 3 − i Δ
i , 1 ]
Bundan kelib chiqadi ki ψ =
⟨ δ
1 ∇
1 + δ
2 ∇
2 ⟩ , bizda ⟨ ψ ⟩
as ⟨ δ
1¿
∇
1 + δ
2¿
∇
2 ⟩ guruhida
avtomorfizm hodisasi yuz beradi natijada
δ1¿=δ1c2,δ2¿= δ2c2.
Shu narsa aniqki
Ann (ψ0)∩ Z(nn,1)=0 , δ2≠0 deb olamiz. Bizda keyingilar kelib
chiqadi
⟨ α
n ∇
1 + ∇
2 ⟩ bu sn+1,14 (α3,α4,… ,αn−1,αn) natijasini aniqlashtiradi.
(2) Agar
γ=−2 . Bizda ¿ ning orbitasi bo’lgani holda τn+1,13 (α4,α6,… αn−1) kelib
chiqadi.
48](/data/documents/4a21af50-2886-40bb-82da-904717db9657/page_48.png)
KICHIK O‘LCHAMLI YECHILUVCHAN LI ALGEBRALARINING MARKAZIY KENGAYTMALARI MUNDARIJA KIRISH…………………………………………………………………………..3 I BOB . LI ALGEBRASINING ASOSIY TUSHUNCHASI 1.1 Li algebrasining ta’rifi ……. ………………………………………………………………………….8 1.2 Li algebrasining asosiy strukturalari…………………………………………………………………..13 1.3 Nilpotent va yechiluvchan Li algebralari…………………………………………………………………….15 II BOB. LI ALGEBRASINING MARKAZIY KENGAYTMALARI 2.1 Algebra kengaytmasi va algebra markaziy kengaytmasi………………….,..18 2.2 Nilpotent Li algebrasining markaziy kengaytmalari………………………………………………………………..22 2.3 Yechiluvchan Li algebrasining markaziy kengaytmalari………………………………………………………………..24 2.4 To’rt o’lchamli yechiluvchan Li algebrasining ikki o’lchamli kengaytmasi …………………………………………………...…27 III BOB TABIIY DARAJALANGAN LI ALGEBRASINING MARKAZIY KENGAYTMALARI 3.1 Tabiiy darajalangan Li algebrasining markaziy kengaytmasi…….………..29 3.2 Yechiluvchan Li algebrasining ikki o’lchovli nilradikal bilan kengaytmasi………………………………………………..35 3.3 Yechiluvchan Li algebrasining 1 o’lchov nilradikalidagi kengaytmasi …………………………………….………….40 V ….XULOSA……………………………………………………………...…55 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI………………………….. KIRISH 1
2020-yil 7-mayda Prezidentimizning “Matematika sohasidagi ta lim sifatiniʼ oshirish va ilmiy tadqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari to g risida”gi PQ- ʻ ʻ 4708-sonli qarori qabul qilindi. Mazkur qarorning mazmun-mohiyati shundan iboratki, unda mamlakatimiz ilm-fan sohasidagi taraqqiyotining ustuvor yo nalishi ʻ sifatida matematika fanini rivojlantirishga alohida ahamiyat berilgan . O‘tgan davr ichida matematika ilm-fani va ta’limini yangi sifat bosqichiga olib chiqishga qaratilgan qator tizimli ishlar amalga oshirildi : birinchidan, ilg‘or ilmiy markazlarda faoliyat yuritayotgan vatandosh matematik olimlarning taklif qilinishi va xalqaro ilmiy-tadqiqotlar olib borilishi uchun zarur shart-sharoit yaratildi ; ikkinchidan, xalqaro fan olimpiadalarida g‘olib bo‘lgan yoshlarimiz va ularning murabbiy ustozlari mehnatini rag‘batlantirish tizimi joriy etildi ; uchinchidan, oliy ta’lim va ilmiy-tadqiqotlarning o‘zaro integratsiyalashuvini ta’minlash maqsadida talabalar shaharchasida Fanlar akademiyasining V.I. Romanovskiy nomidagi Matematika institutining (keyingi o‘rinlarda — Institut) yangi va zamonaviy binosi barpo etildi. Matematika sohasidagi fundamental tadqiqotlarni moliyalashtirish hajmi bir yarim barobarga oshirildi, budjet mablag‘lari hisobidan superkompyuter, zamonaviy texnika va asbob uskunalar xarid qilindi ; to‘rtinchidan, ilmiy darajali kadrlarni tayyorlashning birlamchi bosqichi sifatida stajyor-tadqiqotlik instituti joriy etildi ; beshinchidan, ilm-fan sohasidagi ustuvor muammolarni tezkor bartaraf etish, fan, ta’lim va ishlab chiqarish integratsiyasini kuchaytirish masalasini Hukumat darajasida belgilash maqsadida O‘zbekiston Respublikasining Bosh vaziri raisligida Fan va texnologiyalar bo‘yicha respublika kengashi tashkil etildi. Bu o‘z navbatida yoshlarning bilim olishlari uchun yaratilayotgan sharoit , katta e’tibor ularga katta ma’suliyat ham yuklaydi . TADQIQOTNNG ISHLANGANLIK DARAJASI: 2
Kadrlar tayyorlash dasturini ro‘yobga chiqarishning uchinchi << to‘plangan tajribalarni tahlil etish va umumlashtirish asosida , mamlakatni ijtimoiy - iqtisodiy rivojlantirish istiqbollariga muvofiq kadrlar tayyorlash tizimini takomillashtirish va yanada rivojlantirish >> [2,(40-41)] - bosqichida o‘quv tarbiya jarayonini yangi o‘quv uslubiy majmualar , ilg‘or pedagogik texnologiyalar bilan ta’minlash vazifalari belgilangan bir davrda to‘plangan tajribalarni ,ilmiy , ilmiy -metodik adabiyotlarda keltirilgan ilmiy xulosalarni tanqidiy o‘rganib ,ta’lim jarayoniga tatbiq etish yo‘llarini ishlab chiqish dolzarb masala ekanligi qayd etilgan . Lie algebralari 1870-yillarda Marius Sophus Lie tomonidan cheksiz kichik o zgarishlar tushunchasini o rganish uchun kiritilgan va 1880-yillarda Wilhelmʻ ʻ Killing tomonidan mustaqil ravishda kashf etilgan. Li algebra nomini 1930-yillarda Hermann Veyl bergan, eski matnlarda cheksiz kichik guruh atamasi ishlatiladi. TADQIQOT MAQSADI : Magistrlik dissertatsiyasida yechiluvchan Li algebralarining markaziy kengaytmalarini o’rganish va ularni klassifikatsiya qilgan holda topish, Li algebralarining xossalari o‘rganilib, uning ba’zi muhim sinflarini tasniflash hamda rejalashtirish . TADQIQOTNING MAQSADINI AMALGA OShIRISh UChUN QUYIDAGI VAZIFALAR BELGILANADI: 1. Li algebralarini nilpotentlikka va yechiluvchanlikka tekshirish , algebra va chiziqli fazo elementlari orasida Li algebrasini qurish uchun amal kiritish yo’llarini o’rganish. 2. Markaziy kengaytmani izomorfizm aniqligida klasifikatsiyalarga ajratish usullarini kiritish. 3. Tabiiy darajalangan Li algebrasi kengaytmasi, nilradikal bilan kengaytmasini o’rganish. 3. TADQIQOT O’BEKTI: 3
Li algebralari va chiziqli fazolar bilan markaziy kengaytmani hosil qilish hamda ularni izomorfizm aniqligida klasifikatsiya qilish. TADQIQOT PREDMETI: 5. Algebra tushunchasi, Li algebra tushunchasi, nilpotent va yechiluvchan Li algebralari , chiziqli fazolar, chiziqli fazo va algebra elementlari orasidagi to’g’ri yig’indi, algebrani qanoatlantirish metodlari. TADQIQOTNING METODOLOGIK ASOSI: O‘zbekiston Respublikasi Konstitutsjyasi , << Ta’lim to‘g‘risida >> gi qonun, << Kadrlar tayyorlash milliy dasturi >> , << Yoshlarga oid davlat siyosati to‘g‘risida>> gi qonuni ta’lim sohasidagi davlat siyosatining asosiy tamoyillari, mavzuga oid falsafiy, psixologik, pedagogik manbalar, bilish nazariyasi, didaktikaning asosiy qonunlari va tamoyillari, shaxsga yo‘naltirilgan ta’limni amalga oshirish, ta’limtarbiya jarayonida zamonaviy pedagog va axborot texnolgiyalaridan foydalanish bo‘yicha yaratilgan nazariyalardan iborat. TADQIQOTNING METODLARI : - tadqiqot mavzusi bo‘yicha psixologik, pedagogik va metodik adabiyotlar tahlili . - umumlashtirish, taqqoslash, tizimlashtirish ; -izlanuvchan-tasdiqlovchi, shakllantiruvchi, nazorat-tuzatish va nazorat umumlashtiruvchi bosqichlaridan iborat ; TADQIQOTNING ILMIY YANGILIGI: Berilgan algebralar ko’philligini o’rganishda kichik o’lchamli algebralarni tasniflash muhim rol o’ynaydi.Chunki, kichik o’lchamli algebralarning tasniflari ixtiyoriy o’lchamli algebralarning xossalarini o’rganish imkonini beradi. Yechiluvchan Li algebralarning sinfi chekli o’lchamli Li algebralari nazariyasining muhim sinflaridan hisoblanib, ularni tasniflashning bir qancha usullari mavjud. Markaziy kengaytma usuli so’nggi yillarda chekli o’lchamli algebralarni tasniflashda keng qo’llanilayotgan usullardan biri hisoblanadi. TADQIQOTNING AMALIY AHAMIYATI : 4
Ushbu tadqiqot ishidan ilmiy izlanishlar olib borish, keltirilgan xulosa va tavsiyalardan hamda metodik qo‘llanmadan amaliyotda foydalanish mumkin . Zamonaviy algebrada noassotsiativ algebralarni, ularning xususiyatlarini va strukturasini o`rganish muhim masalalardan biri hisoblanadi. Noassosiativ algebralarni o‘rganishda ularning strukturasini aniqlovchi bir qator klassik teoremalar mavjud. Ma‘lumki, Li algebralari noassosiativ algebralarning muhim sinflaridan hisoblanib, ular assosiativ, Yordan algebralar kabi bir qator algebralar bilan uzviy bog‘liq. Li algebralari o‘zining bir qator umumlashmalariga ega bo‘lib, so‘nggi yilllarda ushbu umumlashmalar jadal suratda o’rganilmoqda. Ushbu dissertatsiya ishi Li algebralarining markaziy kengaytmalarini topish strukturalariga bag‘ishlanadi. Unda Li algebrasining markaziy kengaytmasi o’rganilinib kichkina o’lchamli algebralar uchun Li nazariyasi o‘rganilib, algebralari uchun qanchalik darajada o‘rinli ekanligi ko‘rsatiladi. Mazkur dissertatsiyaning asosiy maqsadi berilgan algebralar ko’philligini o’rganishda kichik o’lchamli algebralarni tasniflash , ular uchun Li algebralarining klassik nazariyasidan ma’lum bo‘lgan teoremalarni o‘rganishdan iborat. Ushbu masalalarni ilmiy jihatdan hal etish uchun strukturaviv nazariya, algebraik, hamda geometrik metodlardan foydalanish k о ‘zda tutilgan. Xozirgi kunda Li algebralarning markaziy kengaytmalar usulidan foydalanib algebralarni o’rganish jadal suratda о ‘rganilmoqda. Li algebrasi о ‘tgan asrning 1870-yillarda yillarida Marius Sophus Lie tomonidan ushbu [ ?????? , [ ?????? , ?????? ]] + [ ?????? ,[x,y]]+ [y,[z, x]]=0 Yakobi ayniyati bilan xarakterlanadigan antikomutative algebra sifatida fanga kiritilgan . Noassosiativ algebralar va ularning tasvirlarini o‘rganish uzoq yillardan beri algebra sohasining asosiy masalalari bo‘lib kelmoqda. Li algebralari noassosiativ 5