logo
  1. Главная страница
  2. Дипломные работы
  3. Общий
  4. LAGRANJNING 2-TUR TENGLAMALARINING BA’ZI TEBRANUVCHI SISTEMALARDA QO'LLASH METODIKASI

LAGRANJNING 2-TUR TENGLAMALARINING BA’ZI TEBRANUVCHI SISTEMALARDA QO'LLASH METODIKASI

Загружено в:

12.08.2023

Скачано:

0

Размер:

341.5302734375 KB
Скачать
LAGRANJNING 2-TUR TENGLAMALARINING BA’ZI TEBRANUVCHI SISTEMALARDA QO'LLASH METODIKASI M U N D A R I J A KIRISH………………………………………………………….. 3 I BOB. HARAKAT TENGLAMALARINING UMUMLASHGAN KOORDINATALARDAGI IFODASI 1-§ Umumlashgan koordinatalar va umumlashgan kuchlar …… 6 2-§ Mexanik sistema tebranma harakatlarini tadqiq etishda Lagranjning II tur tenglamalari …………………………….. 12 II BOB. ERKINLIK DARAJASI IKKIGA TENG SISTEMALAR 3-§ Qo’sh mayatnik tebranishlari …………………………………. 1 5 4-§ Masalalar………………………………………………………… 22 Xulosa……………………………………………………………. 3 4 Adabiyotlar ro’yxati…………………………………………… 3 5 2 KIRISH Texnikaning hech bir sohasini tebranishlarsiz tasavvur etish qiyin. Mexanik sistemalarning tebranishlari bir necha asrlardan buyon tadqiq etib kelinadi, juda ko’p olimlarning tebranma harakat etayotgan mexanik sistemalarning turli nuqtai nazardan tadqiq etilgan, va bu mavzuda ilmiy-nazariy kitoblar juda ko’p chop etilgan va hozirgi zamonda ham chop etilmoqda. Masalaning qo’yilishi. Nazariy mexanika fani bo’yicha ko’pgina adabiyotlarda Lagranj II tur tenglamalariga kamroq e’tibor beriladi. Lekin shu bilan birga Lagranjning II tur tenglamalari nazariy mexanika masalalarini yechishning universal vositasi hisoblanadi. Bog’lanishlar ostidagi sistema uchun umumlashgan koordinatalarning kiritilishi vositasida bog’lanish tenglamalari ayniyatlarga aylanib qoladi va differensial tenglamalarda noma’lum bo’lgan ideal golonom bog’lanishlarning reaksiyalari qatnashmaydi. Natijada harakat differensial tenglamalarida faqat sistema harakatini aniqlab beruvchi q i parametrlar qoladi. Ushbu malakaviy bitiruv ishida turli ravishda o’rnatilgan hamda elastik elementli matematik va fizik mayatnik ko’rinishidagi mexanik sistemalarning muvozanat holati atrofidagi kichik tebranishlarini Lagranjning II tur tenglamalari yordamida tekshirish masalasi o’rganilgan. Mavzuning dolzarbligi. Mexanik sistemalar tebranma harakatlarini tadqiq etishga juda ko’p adabiyotlar bo’lishiga qaramay, real mexanik sistemalarning tebranishlarini harakat differensial tenglamalarini tuzish yordamida tadqiq etish masalasi har doimgidek dolzarbligicha qolmoqda. Ishning maqsad va vazifalari. Malakaviy bitiruv ishida mexanik sistemalar harakatini o’rganishga Lagranjning ikkinchi tur tenglamalrining qo’llanilishini o’rganish va bu tenglamalar asosida erkinlik darajasi ikkiga teng bo’lgan mayatniklarning inersiya momentlarini e’tiborga olgan holda, mayatnik osilish 3 nuqtasi to’g’ri chiziqli va aylanma harakatlanayotgan deb olingan holda sistema harakat differensial tenglamalarini tuzish, ularni integrallash va dinamikasini tadqiq etish, sistema parametrlarining o’zgarishi uning tebranishlariga qanday ta’sir etishini tadqiq etish maqsad qilingan. Ilmiy-tadqiqot metodlari. Malakaviy bitiruv ishida qaralayotgan mexanik sistemalarning harakat differensial tenglamalarini tuzishda nazariy mexanika kursida o’rganilgan moddiy nuqta dinamikasining asosiy tenglamasi, sistema harakat miqdori momentining o’zgarishi haqidagi teorema hamda Lagranjning ikkinchi tur tenglamalari qo’llaniladi. Hosil bo’lgan differensial tenglamalar chiziqlimas differensial tenglamalar bo’lganligi uchun ular kvadraturalarda integrallanmaydi. Xususiy hollardagi yechimni olish uchun Maple dasturidan foydalaniladi. Ishning ilmiy va amaliy ahamiyati. Malakaviy bitiruv ishida olingan natijalar o’z ichida fizik mayatniklarni saqlaydigan qurilmalar qo’llaniladigan texnikaning har bir sohasida mehnat qilayotgan injener-texniklar, matematika, mexanika, amaliy matematika, fizika mutaxassisliklari talabalari uchun foydali bo’ladi. Ishning tuzilishi. Bitiruv malakaviy ishi kirish, to’rtta paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat bo’lib, kirish qismida ishning mohiyati qisqacha yoritilgan. Birinchi paragrafda muvozanat holati tushunchasi , umumlashgan koordinatalar va umumlashgan kuchlar va ularni hisoblash usullari, sistema muvozanatining umumlashgan koorditalardagi ifodalari haqida umumiy ma’lumotlar keltirilgan. Ikkinchi paragrafida paragrafda Lagranjning II tur tenglamalari moddiy nuqta dinamikasining umumiy tenglamasidan keltirib chiqarilgan va bu tenglamalarning qo’llanilishi bo’yicha qisqacha ma’lumotlar keltirilgan Uchinchi paragrafda qo’sh mayatnik harakat differensial tenglamalari Lagranjning II tur tenglamalari yordamida keltirib chiqarilgan. Qaralayotgan sistema kichik tebranishlar sodir etayotgan hol uchun tebranishlar qonuni olingan 4 va bu yechim uchun Maple dasturi yordamida tebranishlar grafiklari olingan. To’rtinchi paragrafda erkinlik darajasi ikkiga teng bo’lgan mexanik sistemalar harakatiga doir bir nechta masalalar yechib ko’rsatilgan. Chizmalar shaxsiy kompyuterlardan foydalanilgan holda Maple 7.0 dasturi yordamida olingan. Olingan natijalarning qisqacha mazmuni. Malakaviy bitiruv ishida erkinlik darajasi ikkiga teng mexanik sistemalarLagranjning ikkinchi tur tenglamalari asosida sistema harakati tadqiq etilgan. Bir nechta xususiy holdagi masalalar yechilgan – qo’sh mayatnik va elastik elementli mayatnik tebranishlar chastotasi xususiy tebranishlar chastotasi uchun amplitudalarning vaqt bo’yicha o’zgarishi grafiklari olingan. 5 I BOB. HARAKAT TENGLAMALARINING UMUMLASHGAN KOORDINATALARDAGI IFODASI 1-§. UMUMLASHGAN KOORDINATALAR VA UMUMLASHGAN KUCHLAR n ta moddiy nuqtadan tashkil topgan mexanik sistemani qaraymiz. Oxyz inersial koordinatalar sistemasida har bir Mk nuqtaning holati 3n ta xk,yk,zk dekart koordinatalari bilan aniqlanadi. Faraz qilaylik, mexanik sistemaning harakati r ta qo’yib yubormaydigan golonom, ideal bog’lanishlar bilan chegaralangan bo’lsin fi(x1,y1,z1,...,xn,zn,yn,t)=0 (i=1,2 ,...,r) (1.1) 3n ta xk,yk,zk koordinatalar r ta bog’lanish tenglamalari bilan bog’langan, demak o’zaro bog’lanmagan koordinatalar soni 3n-r ta bo’ladi. Shunday qilib, mexanik sistemaning ixtiyoriy paytdagi holati S=3n−r ta o’zaro bog’lanmagan q1,q2,...,qn parametrlar bilan aniqlanadi. O’zaro bog’lanmagan q1,q2,...,qn koordinatalarga umumlashgan koordinatalar, ular soni S=3n−r ga mexanik sistemaning erkinlik darajasi deyiladi. Masalan, matematik tebrang’ichning holati uning vertikaldan og’ish burchagi bilan aniqlanadi (q= ϕ) , bitta qo’zg’almas nuqtaga ega bo’lgan qattiq jismning holati uchta Eyler burchaklari bilan aniqlanadi (q1=ψ,q2=θ,q3= ϕ) , tekis harakatdagi qattiq jismning holati qutbning ikkita Dekart koordinatalari va qutb atrofidagi burilish burchagi bilan aniqlanadi (q1= xc,q2= yc,q3=ϕ) . Umumlashgan koordinatalar har xil geometrik va fizik xususiyatlarga ega, ular chiziqli va burchakli miqdorlar, shuningdek yuza yoki hajm birliklaridagi, ba’zan kuch va boshqa fizik miqdorlar bo’lishi mumkin. 6 Faraz qilaylik, mexanik sistemaning holati s ta q1,q2,...,qs umumlashgan koordinatalarga bog’liq bo’lsin. Mexanik sistemaning har bir Mk nuqtasining holati uning ⃗rk radius-vektori bilan aniqlanadi, ⃗rk=⃗rk(x1,y1,z1,...,xn,yn,zn) x1,y1,z1,...,xn,yn,zn dekart koordinatalarini q1,q2,...,qs umumlashgan koordinatalar orqali ifodalab, ⃗rk radius-vektorni ham umumlashgan koordinatalar orqali ifodalab olish mumkin, ya’ni ⃗rk=⃗rk(q1,q2,...,qs,t). (K=1,2 ,...,n) (1.2) (1.2) vektor tenglamalar quyidagi n ta skalyar tenglamalar sistemasiga ekvivalent: xk=xk(q1,q2,...,qs,t);¿}yk=yk(q1,q2,...,qs,t);¿}¿¿(K=1,2,...,n).¿ Golonom mexanik sistemaning o ’ zaro bog ’ lanmagan koordinatalari soni sistemaning mumkin bo ’ lgan ko ’ chishlarini ifoda lovchi o ’ zaro bog ’ lanmagan varia t siyalar soniga teng . Mexanik sistemaning o ’ zaro bog ’ lanmagan varia t siyalar soniga sistemaning erkinlik darajasi deyiladi . r ta (1.1) bog ’ lanish qo ’ yilgan golonom mexanik sistemaning erkinlik darajasi o ’ zaro bog ’ lanmagan koordinatalar soniga teng . Demak, golonom mexanik sistema uchun o’zaro bog’lanmagan variatsiyalar sifatida umumlashgan koordinatalarning variatsiyalari olinadi. Nogolonom mexanik sistemaning erkinlik darajasi o’zaro bog’lanmagan koordinatalar soniga teng bo’lmaydi. Faraz qilaylik, mexanik sistemaga r ta golonom bog’lanishlar bilan bir qatorda m ta nogolonom bog’lanish ham qo’yilgan bo’lsin. Nogolonom bog’lanish tenglamalari koordinatalar differensiallariga chiziqli bog’langan, ya’ni 7 αj1αq 1+...αjSαq S+αjdt=0 (j=1,2 ,...m),(1.3) bu yerda αjk va αj lar q1,...,qs va t ning biror funksiyalari. Agar nogolonom bog’lanish statsionar bo’lsa, αj=0 va αjk funksiyalardan birortasi ham vaqtga oshkor bog’liq bo’lmaydi. (1.3) nogolonom bog’lanish tenglamalaridan q1,q2,...,qs koordinatalarning δq1,δq2,...,δq s variatsiyalari m ta tenglamalar bilan o’zaro bog’lanadi, ya’ni αj1δq 1+...,+αjsδq s=0 (j=1,2 ,...,m). Oxirgi tenglamalardan shunday xulosa kelib chiqadiki, mexanik sistemaning o’zaro bog’lanmagan varia t siyalari soni o’zaro bog’lanmagan koordinatalar sonidan kam bo’ladi. Shunday qilib, nogolonom mexanik sistemaning erkinlik darajasi ν= S− m ga teng dir , bu yerda S-mexanik sistemaning holatini aniqlovchi o’zaro bog’lanmagan koordinatalar soni, m -nogolonom bog’lanish tenglamalari soni. Nogolonom tenglamalar soni sistemaning nogolonomlik darajasini aniqlaydi. Endi umumlashgan kuchlarni topamiz. Mexanik sistemaga ta’sir etuvchi hamma aktiv kuchlarni mumkin bo’lgan ko’chishlardagi ishlari yig’indisini topamiz (jumladan, ishqalanish kuchlari uchun ham): δA =∑ (k) ⃗Fkδ⃗rk. (1.4) (1.2) dan foydalanib, ⃗rk radius-vektorning variatsiyalarini δq1,δq2,...,δq s variatsiyalar orqali ifodalaymiz: δ⃗rk=∑(i) ∂⃗rk ∂qi δq i (K=1,2 ,...,r). (1.5) ∂⃗rk ∂qi vektorning dekart koordinatalaridagi proyeksiyalari: 8 ( ∂⃗rk ∂qi)x =∂xk ∂qi , ( ∂⃗rk ∂qi)y =∂yk ∂qi ,( ∂⃗rk ∂qi)z =∂zk ∂qi .(1.6) (1.5) ni (1.4) ga qo’yamiz: δA =∑(k) ⃗Fkδ⃗rk=∑(k) ⃗Fk∑(i) ∂⃗rk ∂qi δq i . Yig’indi tartibini o’zgartiramiz: δA =∑ (i)(∑ (k) ⃗Fk⋅∂⃗rk ∂qi)δq i. Quyidagi belgilashni kiritamiz: Qi=∑(k) ⃗Fk⋅∂⃗rk ∂qi (i=1,2 ,...,S). (1.7) Natijada mumkin bo’lgan ish ifodasi quyidagi ko’rinishga keladi: δA =∑ (i) Qiδq i=Q1δq 1+Q2δq 2+...+QSδq S. (1.8) (1.8) munosabatning o ’ ng tomonida δqi oldidagi koeffi t siyent Qi=∑(k) ⃗Fk ∂⃗rk ∂qi ga umumlashgan qi koordinataga mos umumlashgan kuch deyiladi. Umumlashgan kuch tayin o’lchov birligiga ega emas uning o’lchov birligi qi umumlashgan koordinataga bog’liq [Qi]=[A]/[qi]. Umumlashgan kuchni hisoblash usullarini qaraymiz. 1. Umumlashgan kuch (1.7) formula bilan hisoblanadi. ⃗Fk ∂⃗rk ∂qi skalyar ko’paytmani ochib yozamiz: 9 Qi=∑ (k)(Fkx ∂xk ∂qi +Fky ∂yk ∂qi +Fkz ∂zk ∂qi),(1.9) bu yerda Fkx,Fky,Fkz - lar ⃗Fk kuchning dekart koordinatalari sistemasi o’qlaridagi proyeksiyalari. 2. Umumlashgan kuchni masalan, qi umumlashgan koordinataga mos Qi umumlashgan kuchni topish uchun mexanik sistemaga shunday mumkin bo’lgan ko’chish beramizki, δqi dan boshqa hamma umumlashgan koordinatalarning variatsiyalari nolga teng bo’lsin: δq 1=δq 2=...=δq i−1=δq i+1=...= δq S=0, δq i≠0. (1.8) formuladan foydalanib, hamma aktiv kuchlarning bu ko’chishda bajargan ishlarini hisoblaymiz: δA i=Qiδq i. Xuddi shunday qolgan umumlashgan kuchlarni ham hisoblash mumkin. 3. Mexanik sistemaga ta’sir etuvchi kuchlar potensialli bo’lsin. Potensialli kuch uchun Fkx=− ∂Π ∂xK , Fky=− ∂Π ∂yK , Fkz=− ∂Π ∂zK tengliklar o’rinli. Π - mexanik sistemaning potensial energiyasi. Fkx,Fky,Fkz larning bu ifodalarini (1.9) formulaga qo’yamiz: Qi=−∑ (k)( ∂Π ∂xk ∂xk ∂qi +∂Π ∂yk ∂yk ∂qi +∂Π ∂zk ∂zk ∂qi). Mexanik sistemaning potensial energiyasi qi umumlashgan koordinatalarning murakkab funksiyasi va 10 xk=xk(q1,q2,...,qS,t), yk=yk(q1,q2,...,qS,t), zk=zk(q1,q2,...,qS,t)munosabatlarga asosan: ∂Π ∂qi =∂Π ∂xk ∂xk ∂qi +∂Π ∂yk ∂yk ∂qi +∂Π ∂zk ∂zk ∂qi . Natijada quyidagi tenglikka kelamiz: Qi=− ∂Π ∂qi (i=1,2 ,...,S). (1.10) Shunday qilib , konservativ sistemaning umumlashgan kuchlari sistema potensial energiyasidan mos umumlashgan koordinata bo ’ yicha olingan xususiy hosila ning teskari ishorasi bilan olinganiga teng . Mexanik sistema muvozanatining umumlashgan koordinatalardagi ifodasi. Mumkin bo’lgan ko’chish prinsipiga asosan ideal, statsionar, golonom va qo’yib yubormaydigan bog’lanishli mexanik sistema muvozanatda bo’lishi uchun ⃗ϑK(0)=0 bo’lgan holatda sistemaga ta’sir etuvchi barcha aktiv kuchlarning mumkin bo’lgan ko’chishlarda bajargan ishlari yig’indisi nolga teng bo’lishi zarur va yetarli ya’ni, δA =0. Mexanik sistemaning holati q1,q2,...,qS umumlashgan koordinatalar orqali aniqlangan bo’lsin. U holda aktiv kuchlarning mumkin bo’lgan ishlari yig’indisini (1.8) formulaga asosan quyidagi ko’rinishda yozish mumkin: Q1δq 1+Q2δq 2+...+Qnδq n=0. (1.11) q1,q2,...,qS umumlashgan koordinatalar o’zaro bog’lanmagan va bog’lanish golonom ekanligi sababli δq1,δq2,...,δq S variatsiyalar ixtiyoriy bo’ladi. U holda (1.11) tenglamadan hamma umumlashgan kuchlarning nolga tengligi kelib chiqadi, ya’ni 11 Q1=0,Q2=0,...,QS=0.(1.12) Haqiqatan ham sistemaga shunday mumkin bo’lgan ko’chish beramizki, δq 1=δq 2=...=δq S−1=0, δq S≠0 . Bularni (1.11) tenglamaga qo’yib, QSδq S=0 tenglamaga kelamiz. Shartga ko’ra δq S≠0 demak, QS=0 . Xuddi shunday qolgan umumlashgan kuchlarning ham nolga teng bo’lishini ko’rsatish mumkin. (1.12) shartdan quyidagi xulosa kelib chiqadi: ideal, statsionar golonom va qo’yib yuborilmaydigan mexanik sistema muvozanatda bo’lishi uchun sistemaning hamma umumlashgan kuchlari nolga teng bo’lishi zarur va yetarli. Agar mexanik sistemaga ta’sir etuvchi kuchlar konservativ bo’lsa, (1.10) tenglamaga asosan (1.12) tenglamalar quyidagi ko’rinishga keladi: ∂Π ∂q1 =0,∂Π ∂q2 =0,...,∂Π ∂qS =0. (1.13) 2 - § MEXANIK SISTEMA TEBRANMA HARAKATLARINI TADQIQ ETISHDA LAGRANJNING II TUR TENGLAMALARI Mexanik sistemalar harakatlarini tadqiq etishda ularning harakat differensial tenglamalarini tuzishda Lagranjning ikkinchi tur tenglamalarining o’rni sezilarli darajada. Shuning uchun malakaviy bitiruv ishining ushbu paragrafida Lagranjning ikkinchi tur tenglamalari haqida qisqacha to’xtalib o’tamiz. Lagranjning II tur tenglamalari dinamika masalalarini yechishning yagona va shu bilan birga sodda usulini bildiradi. Bu tenglamalarning yutug’i deb hisoblanadigan tomoni bu tenglamalarning ko’rinishi na mexanik sistemaga kiruvchi jismlar (nuqtalar) sonidan, na bu jismlar harakatining ko’rinishiga bog’liq; Lagranj tenglamalari soni sistemaning erkinlik darajasigagina bog’liq. Bundan tashqari ideal bog’lanishlar bo’lgan holda Lagranj tenglamalarining o’ng tomoniga umumlashgan kuchlar kiradi, va demak, bu tenglamalarda oldindan noma’lum bog’lanish reaksiyalari qatnashmaydi. Bu bilan noma’lum reaksiya kuchlarini topish masalasi erksiz mexanik sistema harakat differensial tenglamalarini tuzish masalasidan ajratiladi. 12 Lagranjning II tur tenglamalari dinamika masalalarini dinamikaning ixtiyoriy masalasini yechishning yagona metodikasini - amallar bajarishning aniq tartibini belgilab beradi. Lagranjning ikkinchi tur tenglamalarining ko’rinishi quyidagicha:d dt ( ∂T ∂ ˙qi)− ∂T ∂qi = Q i. (i= 1,2 ,...,n) (2.1) Bu yerdagi sistema nuqtalarining dekart koordinatalarini umumlashgan koordinatalar orqali ifodasi x v =x v (1.q 1 , q 2 , …, q n ,t); y v =y v (1.q 1 , q 2 , …, q n ,t); (1.i=1,2,…,n) (2.2) z v =z v (1.q 1 , q 2 , …, q n ,t). Yoki ⃗rv=⃗rv(q1,q2,...,qn,t) Bizga ma’lumki, umumlashgan kuchlar Qi= ∑ v=1 N ⃗Fv ∂⃗rv ∂qi , (i= 1,2 ,...,n) formula bilan topiladi. Sistema kinetik energiyasi T= ∑ v=1 N mvvv2 2 ga teng. 13 Mexanik sistemaga ta’sir etuvchi barcha kuchlar potensialli bo’lsin, u holdaQi=− ∂П ∂qi . (i= 1,2 ,...,n) P – potensial energiya deyiladi. (1.1) ga asosan (1.9) ni quyidagi ko’rinishda yozamiz: d dt ( ∂T ∂ ˙qi)− ∂T ∂qi = ∂Q i ∂qi . (i= 1,2 ,...,n) quyidagi funksiyani kiritamiz: L=T− П , L funksiyaga Lagranj funksiyasi yoki kinetik potensial deyiladi. Potensial energiya umumlashgan tezliklarga bog’liqmas bo’lgani uchun ∂П ∂˙qi = 0. (i= 1,2 ,...,n) Bunga asosan d dt ( ∂ L ∂ ˙qi)− ∂ L ∂qi = 0. (i= 1,2 ,...,n) Dinamika masalalarini Lagranjning II tur tenglamalari yordamida yechishning shu tartibini keltirib o’tamiz: 1. Mexanik sistema erkinlik darajasini topish; 2. Umumlashgan koordinatalarni tanlash; 3. Umumlashgan kuchlarni topish; 4. Sistema kinetik energiyasini topish; 5. Lagranj tenglamalariga kiruvchi hosilalarni hisoblash; 14 6. Lagranj II tur tenglamalarini tuzish va boshlang’ich shartlar asosida integrallash; 7. Masala shartida topish talab etilayotgan noma’lumlarni topish. II BOB. ERKINLIK DARAJASI IKKIGA TENG SISTEMALAR 3-§ QO’SH MAYATNIK TEBRANISHLARI Ushbu paragrafda bir-biri bilan kichik silindrik sharnir orqali bog’langan ikkita mayatnik – qo’sh mayatnikning harakatlarini tadqiq etamiz. Shaklda ushbu mexanik sistema tasvirlangan. Bir jinsli bo’lgan har bir sterjenlarning uzunliklari ( 2l ) va massalari ( m ) teng. Qaralayotgan mexanik sistemaning erkinlik darajasi ikkiga teng. Qo’sh mayatnikning holatini to’liq aniqlab beradigan parametrlar – umumlashgan koordinatalar sifatida har bir mayatnikning vertikaldan og’ish burchagini olamiz: ularni mos ravishda birinchi va ikkinchi tartib raqamli indekslar orqali belgilaymiz. q1= θ1; q2= θ2 Mexanik sistemaning harakat differensial tenglamalarini tuzish uchun Lagranjning II tur tenglamalaridan foydalanamiz. d dt ( ∂T ∂ ˙qi)− ∂T ∂qi = − ∂П ∂qi . (i= 1,2 ) Sistemaning kinetik energiyasi uni tashkil etuvchi ikkita sterjenlarning kinetik energiyalari yig’indisidan iborat: T=T 1 + T 2 . 15 1 P ⃗ 2P ⃗ θ1 θ 2 x y D С В А x y D С В А Sterjenlarning kinetik energiyalarini topamiz. Birinchi sterjen A nuqta atrofida aylanma harakatda bo’lganligi uchun uning kinetik energiyasi A nuqtaga nisbatan inersiya momenti va burchak tezligi orqali ifodalanadi. Bu sterjen bir uchi mahkamlanganligi uchun uning inersiya momenti JA= 1 2m (2l)2 formula orqali hisoblanadi. Demak, birinchi sterjenning kinetik energiyasi: T1= 1 2 JA˙θ1 2= 1 2 ⋅1 3 ⋅P g (2l)2˙θ1 2= 2 3 ⋅P g l2˙θ1 2; (3.1) formula yordamida hisoblanadi. Mexanik sistemaning ikkinchi sterjenining kinetik energiyasini hisoblaymiz. Ikkinchi sterjen tekis parallel harakat qilayapti. Uning kinetik energiyasini hisoblash uchun qattiq jismlarning kinetik energiyasini hisoblashning Kyonig teoremasidan foydalanamiz. Bu teoremaga asosan sterjenning kinetik energiyasi uning butun massasi bir nuqtada – massalar markazi D nuqtada joylashgan degan farazdagi moddiy nuqtaning kinetik energiyasi va shu massalar markazi atrofida aylanma harakat kinetik energiyalari yig’indisiga teng: T2= 1 2 P g (˙xD 2+ ˙yD 2 )+ 1 2 JD˙θ2 2; (3.2) Ikkinchi BC sterjen og’irlik markazining koordinatalari xD= 2lsin θ1+lsin θ2; yD= 2lcos θ1+lcos θ2; (3.3) ga teng. (3.3) tengliklardan vaqt bo’yicha hosila olamiz 16 ˙xD= 2l˙θ1cos θ1+l˙θ2cos θ2; ˙yD=− 2l˙θ1sin θ1− ˙θ2lsin θ2;Olingan tengliklarni (3.2) ifodaga qo’yib, sterjen massalar markazining kinetik energiyasini hisoblaymiz. U holda sterjen massalar markazining moddiy nuqta sifatidagi kinetik energiyasi quyidagiga teng: 1 2 P g (˙xD 2+˙yD 2 )= 1 2 P g [(2l˙θ1cos θ1+l˙θ2cos θ2) 2+(− 2l˙θ1sin θ1− ˙θ2lsin θ2) 2 ]= = 1 2 P g l2 [4 ˙θ1 2+˙θ2 2+4 ˙θ1˙θ2cos (θ1− θ2)] (3.4) Endi sterjenning massalar markazi atrofidagi aylanma harakati uchun kinetik energiyasini hisoblaymiz. Massalar markazi D nuqtaga nisbatan sterjenning inersiya momenti JD= Pl 2 3g (3.5) formula asosida aniqlanadi. Massalar markazi atrofida aylanma harakat burchak tezligi ˙θ 2 bo’lganligi uchun aylanma harakat kinetik energiyasi quyidagicha topiladi: 1 2 JD ˙θ2 2= 1 2 Pl 2 3g ˙θ2 2= Pl 2 6g ˙θ2 2. (3.6) Demak, ikkinchi sterjenning kinetik energiyasi (3.2) ga asosan T2= 2Pl 2 3g [3 ˙θ1 2+3 ˙θ1˙θ2cos (θ1− θ2)+ ˙θ2 2] (3.7) ga teng. 17 Demak, qaralayotgan mexanik sistemaning kinetik energiyasi quyidagiga teng:T = T 1+ T 2= 2 Pl 2 3 g ˙θ1 2+ 2 Pl 2 3 g [3 ˙θ1 2+ 3 ˙θ1˙θ2cos (θ1− θ2)+ ˙θ2 2]= = 2 Pl 2 3 g [4 ˙θ1 2+ 3 ˙θ1 ˙θ 2cos (θ1− θ2)+ ˙θ2 2 ] (3.8) Qo’sh mayatnikning (3.8) tenglik bilan aniqlanadigan kinetik energiya formulasi uning istalgan paytidagi istalgan burchak tezligi bilan harakati uchun o’rinli. Biz malakaviy bitiruv ishimizda qo’sh mayatnikning kichik tebranishlarini tadqiq etish bilan chegaralanamiz. Qo’sh mayatnikning kichik tebranishlari uchun kinetik energiya formulasi (3.8) tenglikdagi strjenlarning vertikaldan og’ish burchaklari yetarlicha kichik bo’lsin, degan farazga asoslanadi. Bu burchaklar yetarlicha kichik bo’lsa, cos (θ1− θ2)≈ 1 deb olish mumkin. Bu farazga asosan, qo’sh mayatnikning kichik tebranishlari uchun kinetik energiya T= 2Pl 2 3g [4 ˙θ1 2+3 ˙θ1˙θ2+ ˙θ2 2] (3.9) formula asosida hisoblanadi. Endi qaralayotgan mexanik sistemaning potensial energiyasini hisoblaymiz. Sistema potensial energiyasi uni tashkil etuvchi sterjenlar og’irlik kuchlarining potensial energiyalari yig’indisiga teng: П = П 1+ П 2 (3.10) Sistemaga ta’sir etuvchi og’irlik kuchlarini potensial energiyalari bu sterjenlarning og’irlik markazlarining geometrik o’rnining o’zgarishiga (massalar markazining balandligiga) bog’liq. 18 Birinchi sterjenning potensial energiyasi quyidagicha topiladi:П 1= Рl (1− cos θ1) (3.11) Ikkinchi sterjenning potensial energiyasi П 2= Рl [2(1− cos θ1)+(1− cos θ2)] (3.12) ga teng. Demak, qo’sh mayatnikning potensial energiyasi П = П 1+ П 2= Рl (1− cos θ1)+Рl [2(1− cos θ1)+(1− cos θ2)]= = Рl [3(1− cos θ1)+(1− cos θ2)] Oxirgi olingan tenglik sistemaning ixtiyoriy holati uchun potensial energiyasini topish imkonini beradi. Lekin, biz qarayotgan holda sistema kichik tebranishlar sodir etadi, deb faraz qildik. U holda (3.11) va (3.12) tengliklarda qatnashgan burchaklar kichik va bu burchak kosinuslarini Makloren qatoriga yoyilmasining birinchi hadi bilan chegaralanish mumkin. Ya’ni, cos ϕ= 1− ϕ2 2 deb olish mumkin. U holda qaralayotgan mexanik sistemaning kinetik energiyasi П = Рl [ 3θ1 2 2 + θ2 2 2 ] . (3.13) ko’rinish oladi. Sistema uchun topilgan kinetik va potensial energiyalardan Lagranjning II tur tenglamalarida qatnashgan umumlashgan koordinatalar, umumlashgan tezliklar va vaqt bo’yicha hosilalarni hisoblaymiz. 19 Oldin sistema kinetik energiyasidan umumlashgan tezliklar bo’yicha hosilalarni hisoblaymizd dt ( ∂T ∂ ˙θ1)= d dt ( 2Pl 2 3g (8 ˙θ1+3 ˙θ2))= 2Pl 2 3g (8 ¨θ1+3 ¨θ2) (3.14) d dt ( ∂T ∂ ˙θ2)= d dt ( 2Pl 2 3g (3 ˙θ1+2 ˙θ2))= 2Pl 2 3g (3 ¨θ1+2 ¨θ2) (3.15) Sistema kinetik energiyasi umumlashgan koordinatalarga bog’liq bo’lmaganligi sababli tenglikdan umumlashgan koordinatalar bo’yicha olingan hosilalar ∂T ∂θ1 = 0; ∂T ∂θ2 = 0. (3.16) ga teng. Endi (3.13) formula orqali aniqlanuvchi potensial energiyadan hosilalarni hisoblaymiz. ∂П ∂θ1 = 3Рl θ1 , ∂П ∂θ2 = Рl θ2 . (3.17) Olingan ifodalarni Lagranjning II tur tenglamalariga qo’yamiz 2Pl 2 3g (8¨θ1+3¨θ2)= 3Pl θ1 , 2Pl 2 3g (3¨θ1+2¨θ2)= Pl θ2 . (3.18) Oxirgi tengliklarni qisqartirib, hosilalarga nisbatan tenglamalar sistemasini hosil qilamiz 8¨θ1+3¨θ2= 9gθ 1 2l , 3¨θ1+2¨θ2= 3gθ 2 2l . (3.19) 20 Bu tengliklarda g=10 deb olsak, sistemaning harakat differensial tenglamalari¨θ1= − 90 7l θ1+45 7l θ2; ¨θ2= 135 7l θ1− 120 7l θ2 (3.20) Umumiy yechim θ1= √28 +1 2√28 (С 1cos k1t+C 2sin k1t)+√28 − 1 2√28 (С 3cos k2t+C 4sin k2t); θ2= 9 2√28 (С 1cos k1t+C 2sin k1t)− 9 2√28 (С 3cos k2t+C 4sin k2t). (3.21) bunda k1= √ 105 − 15 √28 7l ;k2= √ 105 +15 √28 7l . - tebranishlarning xususiy chastotalari. Mexanik sistemaning harakatining boshlang’ich shartlari berilsa, (3.21) umumiy yechimlardan foydalanib, integral o’zgarmaslari C 1 , C 2 , C 3 , C 4 larni topib, talab etilgan yechimlarni olish mumkin. Sistema harakatlari uchun Maple dasturi vositasida harakat qonunini ifodalovchi grafik tasvirini olamiz. 21 :=   1 45        2 t2 ( )  t 2 ( )  t := eq2    1 45        4 t4 ( )  t 14 3        2 t2 ( )  t 105 ( )  t 0Masala. m 1 =8m massali platforma gorizontal tekislik bo’ylab ishqalanishsiz sirpanmoqda . Platforma bo’ylab m 2 = 2m massali bir jinsli silindr 2 sirpanmasdan dumalayapti. Silindr o’qi platforma bilan bikrligi c ga teng bo’lgan prujina bilan biriktirilgan . Sistema harakat tenglamalari tuzilsin. Mexanik sistemaning ixtiyoriy holatini rasmda tasvirlab olamiz. Fiksirlash usulini qo’llab, har bir jismni alohida to’xtatgan holda sistemaning erkinlik 22 darajasi ikkiga tengligini topamiz. Sistemaning umumlashgan koordinatalari sifatida platformaning qo’zg’almas asosga nisbatan hisoblangan gorizontal siljishi s ni va prujinaning dastlabki l 0 deformasiyalanmagan holatiga nisbatan cho’zilishi x ni tanlab olamiz, ya’ni q 1 = s , va q 2 = x . U holda Lagranjning ikkinchi tur tenglamalari quyidagicha yoziladi: (a ) Sistemaning kinetik energiyasi T = T 1 + T 2 ga teng bo’lib, bunda T 1 – platformaning kinetik energiyasi , v a T 2 – silindrning kinetik energiyasi . Platformaning harakati ilgarilanma hamada silindrning harakati tekis parallel ekanligidan , silindr uchun og’irlik markazi C ni qutb sifatida tanlab olib , uning kinetik energiyasini massalar markazining ilgarilanma harakat kinetik energiyasi va massalar markazi atrofida aylanma harakat kinetik energiyalari yig’indisi ko’rinishida tasvirlash mumkin (b) bunda V 1 va V C – mos ravishda platforma va silinrning massalar markazining tezliklari, ω 2 – silindrning absolyut burchak tezligi, J Cω – silindrning aylanish o’qiga nisbatan inersiya momenti bo’lib , J Cω = m 2 R 2 / 2 . Platforma bilan silindr umumlashgan koordinatalarning ortib borishi tomonga V 1 va V 2 tezliklar bilan harakatlanayapti, deb olamiz ( rasm ), u holda s' = V 1 , v a x' = V 2 . Bu holda platformaning harakatini ilgarilanma ekanligidan V C = V 1 + V 2 . Bu vektorlar bir to’g’ri chiziq bo’ylab bir tomonga yo’nalganligi uchun V C = V 1 + V 2 = s' + x' . Ko’chirma harakat ilgarilanma bo’lganligdan ω e = 0 , va ω 2 = φ 2r , bunda φ 2r – silindrning nisbiy burchak tezligi bo’lib, φ 2r = V 2 / CP = V 2 / R = x' / R , bunda P – silindrning tekis parallel harakatidagi oniy aylanish markazi , va R – uning radiusi . shunday qilib, φ 2 = x' / R . (b) ga tezliklarning umumlashgan koordinatalar va umumlashgan tezliklar orqali ifodalangan son qiymatlarini va J C ω ni qo’yib, 23 ifodaga ega bo’lamiz. bundan, platforma va silindr massalarini e’tiborga olgan holda Kinetik energiyadan (a) tenglamalardagi mos hosilalarni topamiz : (c ) Aktiv kuchlar qatoriga platform a va silindr ning og’irlik kuchlari kiradi , ideal bo’lmagan bog’lanishlarning reaksiyalariga ta’sir aks ta’sirga teng bo’lgan silindr va platforma orasidagi prujinaning elastiklik kuchi kiradi. (r a s m ). Silindr sirpanmasdan dumalagani uchun, va P nuqta nisbiy harakatdagi oniy aylanish markazi bo’lganligi uchun bu nuqtaga qo’yilgan kuchlar nisbiy harakatda ish bajarmaydi, ya’ni platformaning ustki silliqmas sirti silindir uchun ideal bog’lanish bo’ladi. Qaralayotgan mexanik sistema stasionar bog’lanishli golonom sistema bo’ladi, shuning uchun umumlashgan kuchlarni topish uchun virtual quvvatlardan foydalanish mumkin. V 1 = s' 0 , bo’lganda V 2 = x' = 0 , va N 1 * : shunday qilib, Q 1 = 0 . V 2 = x' 0 , bo’lganda V 1 = s' = 0 , va N 2 * : shunday qilib, Q 2 = -cx . Umumlashgan kuchlar va kinetik energiyadan olingan mos hosilalarni Lagranj tenglamalariga qo’yamiz 24 Vaqt bo’yicha hosilalarni hisoblab, sistema uchun harakat tenglamalarini olamiz : (d) Oxirgi tengliklarning birinchisidan s'' = -0,2x'' ekanligini topib, ikkinchi tenglamaga qo’yib, silindr markazining platformaga nisbatan harakat tenglamalarini keltirib chiqaramiz : 2,6mx'' + cx = 0 yoki x'' + k 2 x = 0 , bunda k 2 = c / 2,6m (e) Ko’rinib turibdiki, (e) tenglama erkin tebranishlar tengmasi . Tenglama bu ko’rinishga keltirilganda k xususiy tebranishlarning doiraviy chastotasi bo’ladi va tebranishlar davri τ = 2 π / k . Demak, izlanayotgan miqdorlar : Masala. Mexanik sistema M momentli juft kuch qo’yilgan R radiusli baraban 1 (rasm), 2 telejk a va 3 kat o k ( baraban va katok bir jinsli silindr lar ); ularning og’irliklari mos ravishda P 1 , P 2 , P 3 ; telejka g’ildiraklarinng massalarini e’tiborga olmaymiz . Telejka baraban bilan unga o’ralgan ip vositasida biriktirilgan , va katok bilan – BD prujin a orqali ulangan ; prujinaning bikrlik koeffisiyenti c . Sistema muvozanat holatidan harakatni boshlamoqda ; prujina bu holatda deform asiyalanmagan . R, c, P 1 = 2P, P 2 = 4P, P 3 = 2P, M = 4PR, α = 30° . Sistema harakatlanayotganda dismlarning tebranishlari chastotasi va davri topilsin Yechish . 1. masalani yechish uchun Lagranjning ikkinchi tur tenglamalaridan foydalanamiz. Qaralayotgan mexanik sitema ikkita erkinlik darajasiga ega. Umumlashgan koordinatalar sifatida prujinaning cho’zilishi va barabanning burilish burchagini tanlaymiz φ (q 1 = x, q 2 = φ ) . u holda Lagranjning ikkinchi tur tenglamlari quyidagi ko’rinishda bo’ladi: (1) 25 rasm 2. sistemaning kinetik energiyasi har bir jismning kinetik energiyalari yig’indisiga teng bo’ladi : T = T 1 + T 2 + T 3 (2) Baraban qo’zg’almas o’q atrofida aylanadi, telejka ilgarilanma harakatlanadi va katok tekis parallel harakatlanadi. Shuning uchun (3) bunda I 0 = (P 1 / 2g)R 2 , I D = (P 3 / 2g)R 3 2 ( R 3 - kat o k radius i 3). Bu ifodada qatnashadigan barcha tezliklarni x' va φ ' umumlashgan tezliklar orqali ifodalash kerak . Ko’rinib turibdiki, ω 1 = φ ', v 2 = R ω 1 = R φ ' . v D ni topish uchun katokning harakatini murakkab deb hisoblaymiz . x D nuqtaning telejkaga nisbatan holatini aniqlaganligi uchun , v D = v D ot + v D per , bunda v D ot = x', v D per = v 2 = R φ ' . U holda x va φ ning ortishi bilan v D ot va v D per tezliklar turli tomonga yo’nalganligi uchun va E nuqta katok uchun oniy aylanish markazi ekanligini e’tiborga olsak, Topilgan barcha tezliklar va inersiya momentlari I 0 va I D ning qiymatlarini (3) tengliklarga qo’yib, T 1 , T 2 , T 3 kinetik energiyalar uchun quyidagi ifodalarni topamiz: U holda (2) tenglik , P 1 = P 3 = 2P , va P 2 = 4P larni e’tiborga olsak , (4) Bundan quyidagilarga ega bo’lamiz: 26 (5) 3. Endi umumlashgan kuchlar Q 1 va Q 2 ni topamiz. Sistemaga ta’sir etayotgan aktiv kuchlarni tasvirlab olamiz: bular P 1 , P 2 , P 3 og’irlik kuchlari, F va F' elastiklik kuchlari , bunda F = F'= cx , va M momentga ega bo’lgan juft kuch . a) Q 1 umumlashgan kuchni topish uchun sistemaga shunday mumkin bo’lgan ko’chish beramizki, bunda x koordinata δ x>0 orttirma oladi , va φ o’zgarmaydi, ya’ni. δφ = 0 (baraban bu holda aylanmaydi va telejka esa harakatlanmaydi). U holda faqat P 3 va F kuchlar elementar ish bajaradi, P 3 = 2P ekanligini e’tiborga olib bu ishni topamiz (6 ) b) Q 2 umumlashgan kuchni topish uchun sistemaga shunday mumkin bo’lgan ko’chish beramizki , φ koordinata δφ > 0 orttirma oladi , va x o’zgarmaydi , ya’ni δx = 0 ( bu holda prujina uzunligi o’zgarmaydi ). U holda telejka va D kat o k markazi bir xil ko’chish oladi δs 2 = δs D = Rδφ va ta’sir etayotgan barcha kuchlarning elementa ishi quyidagicha bo’ladi: Bu ifodada miqdorlarning qiymatlarini qo’ysak, (7) (6) va (7) dagi δ x va δφ lar oldidagi koeffisiyentlar izlanayotgan umumlashgan kuchlar bo’ladi, demak, (8) (5) va (8) larni (1) ga qo’yib , sistema harakatlari uchun quyidagi differensial tenglamalarni hosil qilamiz : (9 ) 27 4. k va τ larni topish uchun (9) tenglamalardan φ '' ni yo’qotamiz . Buning uchun birinchi tenglamani 8g ga , ikkinchisini 3g/R ga ko’paytirib qo’shib yuboramiz . Natijada quyidagi tenglamani hosil qilamiz 15 Px '' = 11 Pg - 8 cgx yoki (10) Harakat differensial tenglama (10) ko’rinishga keltirilganda , undagi k doiraviy chastota bo’ladi va tebranishlar davri τ = 2π/k . Demak, izlanayotgan kattaliklar 28 XULOSA Mexanikada sistema harakat differensial tenglamalarini tuzib ularni integrallash masalasi asosiy masalalardan hisoblanadi. Lagranjning II tur tenglamalari yordamida ushbu masalalarni matematik modellashtirish va olingan differensial tenglamalarning yechilishi qulay, birinchidan, sistema harakat differensial tenglamalari soni eng kam – sistema erkinlik darajasiga teng bo’ladi, ikkinchidan, bu tenglamalarning yozilish formasi umumlashgan koordinatalarning tanlanishiga bogliq emas, uchinchidan, bu tenglamalarda bog’lanish reaksiyalari qatnashmaydi, to’rtinchidan, Lagranj II tur tenglamalarini tuzish uchun aniq ketma-ketlikdagi ishlarni bajarish yetarli. Bu masalaning yechilishi sistemaga konservativ kuchlar ta’sir etayotgan holda yanada yengillashadi. Ushbu malakaviy bitiruv ishida mexanik sistemalarning harakatlarinig Lagranjning II tur tenglamalari yordamida o’rganilgan, bu tenglamalardan foydalanib, erkinlik darajasi birga va ikkiga teng sistemalar harakatlariga doir masalalar yechilgan. Malakaviy bitiruv ishida uchraydigan ba’zi chizmalar hisoblash mashinalarida Maple 7.0 dasturidan foydalanib olingan. Malakaviy bitiruv ishida olingan natijalardan quyidagicha xulosalar qilish mumkin: - mayatniklarning tebranishlarini tadqiq etish natijasida mexanik sistemalar harakatini Lagranjning ikkinchi tur tenglamalari yordasida tadqiq etish juda qulay ekan; - olingan grafiklardan ko’rinib turribdiki, qo’sh mayatnikning har bir sterjenining tebranma harakatlari amplitudalari bir kamayib, bir ortib turar ekan. 29 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Do’smatov O.M., Tilavov A. Nazariy mexanika (Sistema dinamikasi). SamDU – 2005. 2. N.N.Buxgols. Osnovnoy kurs teoreticheskoy mexaniki. –M.: «Nauka», I.II. chasti, 2009 g. 3. Do’smatov O.M., Tilavov A. Nazariy mexanika. – Samarqand -2001 y. 4. To’rayev X.T., Tilavov A. Nazariy mexanika. – Samarqand -2006 y. 5. To’rayev X.T., Tilavov A. Nazariy mexanika. Statika va kinematika – Toshkent -2011 y. 6. Meshcherskiy I.V. Nazariy mexanikadan masalalar to’plami. - T.: O’qituvchi, 1989. 7. Rashidov T., Shoziyotov Sh., Mo’minov Q.B. Nazariy mexanika asoslari. - T.: «O’qituvchi», 1990. 8. O’rozboyev M.T. Nazariy mexanika asosiy kursi, - T.: «O’qituvchi», 1966. 9. Yablonskiy A.A.Sbornik zadaniy dlya kursovix rabot po teoreticheskoy mexanike. M.: Visshaya shkola, 1972. 10. Targ S.M. Kratkiy kurs teoreticheskoy mexaniki. - M.: «Nauka», 1974. 11. http://shops.h1.ru/index.shtml?topic=11729&page=1 12. http://www.unilib.neva.ru/rus/lib/ 30

LAGRANJNING 2-TUR TENGLAMALARINING BA’ZI TEBRANUVCHI SISTEMALARDA QO'LLASH METODIKASI M U N D A R I J A KIRISH………………………………………………………….. 3 I BOB. HARAKAT TENGLAMALARINING UMUMLASHGAN KOORDINATALARDAGI IFODASI 1-§ Umumlashgan koordinatalar va umumlashgan kuchlar …… 6 2-§ Mexanik sistema tebranma harakatlarini tadqiq etishda Lagranjning II tur tenglamalari …………………………….. 12 II BOB. ERKINLIK DARAJASI IKKIGA TENG SISTEMALAR 3-§ Qo’sh mayatnik tebranishlari …………………………………. 1 5 4-§ Masalalar………………………………………………………… 22 Xulosa……………………………………………………………. 3 4 Adabiyotlar ro’yxati…………………………………………… 3 5 2

KIRISH Texnikaning hech bir sohasini tebranishlarsiz tasavvur etish qiyin. Mexanik sistemalarning tebranishlari bir necha asrlardan buyon tadqiq etib kelinadi, juda ko’p olimlarning tebranma harakat etayotgan mexanik sistemalarning turli nuqtai nazardan tadqiq etilgan, va bu mavzuda ilmiy-nazariy kitoblar juda ko’p chop etilgan va hozirgi zamonda ham chop etilmoqda. Masalaning qo’yilishi. Nazariy mexanika fani bo’yicha ko’pgina adabiyotlarda Lagranj II tur tenglamalariga kamroq e’tibor beriladi. Lekin shu bilan birga Lagranjning II tur tenglamalari nazariy mexanika masalalarini yechishning universal vositasi hisoblanadi. Bog’lanishlar ostidagi sistema uchun umumlashgan koordinatalarning kiritilishi vositasida bog’lanish tenglamalari ayniyatlarga aylanib qoladi va differensial tenglamalarda noma’lum bo’lgan ideal golonom bog’lanishlarning reaksiyalari qatnashmaydi. Natijada harakat differensial tenglamalarida faqat sistema harakatini aniqlab beruvchi q i parametrlar qoladi. Ushbu malakaviy bitiruv ishida turli ravishda o’rnatilgan hamda elastik elementli matematik va fizik mayatnik ko’rinishidagi mexanik sistemalarning muvozanat holati atrofidagi kichik tebranishlarini Lagranjning II tur tenglamalari yordamida tekshirish masalasi o’rganilgan. Mavzuning dolzarbligi. Mexanik sistemalar tebranma harakatlarini tadqiq etishga juda ko’p adabiyotlar bo’lishiga qaramay, real mexanik sistemalarning tebranishlarini harakat differensial tenglamalarini tuzish yordamida tadqiq etish masalasi har doimgidek dolzarbligicha qolmoqda. Ishning maqsad va vazifalari. Malakaviy bitiruv ishida mexanik sistemalar harakatini o’rganishga Lagranjning ikkinchi tur tenglamalrining qo’llanilishini o’rganish va bu tenglamalar asosida erkinlik darajasi ikkiga teng bo’lgan mayatniklarning inersiya momentlarini e’tiborga olgan holda, mayatnik osilish 3

nuqtasi to’g’ri chiziqli va aylanma harakatlanayotgan deb olingan holda sistema harakat differensial tenglamalarini tuzish, ularni integrallash va dinamikasini tadqiq etish, sistema parametrlarining o’zgarishi uning tebranishlariga qanday ta’sir etishini tadqiq etish maqsad qilingan. Ilmiy-tadqiqot metodlari. Malakaviy bitiruv ishida qaralayotgan mexanik sistemalarning harakat differensial tenglamalarini tuzishda nazariy mexanika kursida o’rganilgan moddiy nuqta dinamikasining asosiy tenglamasi, sistema harakat miqdori momentining o’zgarishi haqidagi teorema hamda Lagranjning ikkinchi tur tenglamalari qo’llaniladi. Hosil bo’lgan differensial tenglamalar chiziqlimas differensial tenglamalar bo’lganligi uchun ular kvadraturalarda integrallanmaydi. Xususiy hollardagi yechimni olish uchun Maple dasturidan foydalaniladi. Ishning ilmiy va amaliy ahamiyati. Malakaviy bitiruv ishida olingan natijalar o’z ichida fizik mayatniklarni saqlaydigan qurilmalar qo’llaniladigan texnikaning har bir sohasida mehnat qilayotgan injener-texniklar, matematika, mexanika, amaliy matematika, fizika mutaxassisliklari talabalari uchun foydali bo’ladi. Ishning tuzilishi. Bitiruv malakaviy ishi kirish, to’rtta paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat bo’lib, kirish qismida ishning mohiyati qisqacha yoritilgan. Birinchi paragrafda muvozanat holati tushunchasi , umumlashgan koordinatalar va umumlashgan kuchlar va ularni hisoblash usullari, sistema muvozanatining umumlashgan koorditalardagi ifodalari haqida umumiy ma’lumotlar keltirilgan. Ikkinchi paragrafida paragrafda Lagranjning II tur tenglamalari moddiy nuqta dinamikasining umumiy tenglamasidan keltirib chiqarilgan va bu tenglamalarning qo’llanilishi bo’yicha qisqacha ma’lumotlar keltirilgan Uchinchi paragrafda qo’sh mayatnik harakat differensial tenglamalari Lagranjning II tur tenglamalari yordamida keltirib chiqarilgan. Qaralayotgan sistema kichik tebranishlar sodir etayotgan hol uchun tebranishlar qonuni olingan 4

va bu yechim uchun Maple dasturi yordamida tebranishlar grafiklari olingan. To’rtinchi paragrafda erkinlik darajasi ikkiga teng bo’lgan mexanik sistemalar harakatiga doir bir nechta masalalar yechib ko’rsatilgan. Chizmalar shaxsiy kompyuterlardan foydalanilgan holda Maple 7.0 dasturi yordamida olingan. Olingan natijalarning qisqacha mazmuni. Malakaviy bitiruv ishida erkinlik darajasi ikkiga teng mexanik sistemalarLagranjning ikkinchi tur tenglamalari asosida sistema harakati tadqiq etilgan. Bir nechta xususiy holdagi masalalar yechilgan – qo’sh mayatnik va elastik elementli mayatnik tebranishlar chastotasi xususiy tebranishlar chastotasi uchun amplitudalarning vaqt bo’yicha o’zgarishi grafiklari olingan. 5

I BOB. HARAKAT TENGLAMALARINING UMUMLASHGAN KOORDINATALARDAGI IFODASI 1-§. UMUMLASHGAN KOORDINATALAR VA UMUMLASHGAN KUCHLAR n ta moddiy nuqtadan tashkil topgan mexanik sistemani qaraymiz. Oxyz inersial koordinatalar sistemasida har bir Mk nuqtaning holati 3n ta xk,yk,zk dekart koordinatalari bilan aniqlanadi. Faraz qilaylik, mexanik sistemaning harakati r ta qo’yib yubormaydigan golonom, ideal bog’lanishlar bilan chegaralangan bo’lsin fi(x1,y1,z1,...,xn,zn,yn,t)=0 (i=1,2 ,...,r) (1.1) 3n ta xk,yk,zk koordinatalar r ta bog’lanish tenglamalari bilan bog’langan, demak o’zaro bog’lanmagan koordinatalar soni 3n-r ta bo’ladi. Shunday qilib, mexanik sistemaning ixtiyoriy paytdagi holati S=3n−r ta o’zaro bog’lanmagan q1,q2,...,qn parametrlar bilan aniqlanadi. O’zaro bog’lanmagan q1,q2,...,qn koordinatalarga umumlashgan koordinatalar, ular soni S=3n−r ga mexanik sistemaning erkinlik darajasi deyiladi. Masalan, matematik tebrang’ichning holati uning vertikaldan og’ish burchagi bilan aniqlanadi (q= ϕ) , bitta qo’zg’almas nuqtaga ega bo’lgan qattiq jismning holati uchta Eyler burchaklari bilan aniqlanadi (q1=ψ,q2=θ,q3= ϕ) , tekis harakatdagi qattiq jismning holati qutbning ikkita Dekart koordinatalari va qutb atrofidagi burilish burchagi bilan aniqlanadi (q1= xc,q2= yc,q3=ϕ) . Umumlashgan koordinatalar har xil geometrik va fizik xususiyatlarga ega, ular chiziqli va burchakli miqdorlar, shuningdek yuza yoki hajm birliklaridagi, ba’zan kuch va boshqa fizik miqdorlar bo’lishi mumkin. 6

Похожие

LAGRANJ TENGLAMALARINING MASSALALAR YECHISHGA TATBIQLARI
“Samarqand – tarix beshigi” bo‘limini o‘rgatish metodikasi (2-sinf misolida)
Nochiziqli issiqlik tenglamalarining Avtomodel yechimlarining asimptotik turg’unligi
Tengsizliklarni isbotlashning ba’zi usullari
MS Excelda matematik amallar va funksiyalarni qo'llash usullari