MAVZU: Nochiziqli issiqlik tenglamalarining Avtomodel yechimlarining asimptotik turg’unligi . I. Kirish II. Asosiy qism 1. Chegaralangan fazoda kvazichiziqli issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi. 2. Tez diffuziya tenglamasi uchun Koshi masalasi. 3. Avtomodel yechimlarning asimptotik turg’unligi tushunchasi. III. Xulosa IV. Adabiyotlar

Kirish Ushbu kurs ishida fazoda kvazichiziqli issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi, tez diffuziya tenglamasi, chegaralangan sohadagi chegaraviy masala, tez diffuziya tenglamasi uchun Koshi masalasi, har xil kvazichiziqli issiqlik tenglamalari uchun ekvivalentlik shartlari, gradient nochiziqli issiqli o’tkazuvchanlik tenglamasi va Kolmogorov-Petrovskiy-Piskunov masalalarini ko`rib chiqamiz.Ular keyinchalik ba zi maxsus masalalar yechishda foydalaniladi.ʼ Kurs ishining asosiy maqsadi nisbatan oddiy misollar yordamida Avtomodel yechimlar, fazoda kvaziziqli issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi, tez diffuziya tenglamasi, chegaralangan sohadagi chegaraviy masala, tez diffuziya tenglamasi uchun Koshi masalasi, har xil kvazichiziqli issiqlik tenglamalari uchun ekvivalentlik shartlari, gradient nochiziqli issiqli o’tkazuvchanlik tenglamasi, Kolmogorov-Petrovskiy-Piskunov masalasi va keyingi o’rinlarda qo'llaniladigan tadqiqot usullarini taqdim etishdan iborat. Biz chiziqli bo'lgan jarayonlarning muhim xususiyatlarini tavsiflovchi va ixtiyoriy yechimlarning keng to'plamining xususiyatlarini tavsiflashi mumkin bo'lgan "asos" bo'lgan matematik tenglamalarning alohida yechimlarining rolini ta'kidlaydi. ХХ asrning oltmishinchi yillarida ilmiy tatqiqotlarning yangi uslubi matematik modellashtirish va hisoblash eksperimentiga asos solindi. Bu usulning mazmuni boshlang‘ich obyektni uning differensial tenglamalardan tashkil topgan matematik modeli bilan almashtirish va uni yechilayotgan masalaning tabiatidan kelib chiqqan holda, zamonaviy hisoblash vositalari yordamida o‘rganishdan iborat. Matematik modellashtirish uslubiyati uzluksiz taraqqiyot holatida bo‘lib, bugungi kunda katta texnik tizimlarni ishlab chiqarishdan to murakkab iqtisodiy va ijtimoiy jarayonlarni tahlil etishgacha bo‘lgan sohalarni qamrab olmoqda. Fizik jarayonlarning chiziqli matematik modellarini tadqiq qilish hamda xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalar asosida umumiy usullar orqali ishlanadi. Matematik fizikaning nochiziqli modellari fizik parametrning turli qiymatlarida ko‘rilayotgan jarayonlar haqida to‘laroq va keng qamrovli ma’lumotlar olish imkonini beradi. Sonli modellashtirishning asosiy masalasi sifatida Koshi va chegaraviy masala uchun global yechimning mavjudligi, yechimni baholash, yechim asimptotikalari va front (erkin chegaralarni) aniqlashni o‘rganish tushuniladi. Kvazichiziqli parabolik tenglamalar uchun umumlashgan yechimning turli xususiyatlari, tenglamalar va ularning asimptotikalarini topishga A.A. Samarskiy, S.P. Kurdyumov, A.M. Mixaylov, V.A. Galaktionov, A.S. Kalashnikov, A.S. Martinson, G.I. Barenblatt, M. Aripov, Sh.A. Sadullaeva, Z.R.Raxmonov, A.S.Matyakubov ishlarida keng yoritib berilgan. 1950-yilda B.Ya.Zeldovch, A.C.Kompanets tomonidan birinchi marotaba issiqlik tarqalishi tezligining chegaralanganlik effekti aniqlangan [1]. Xuddi shu natijalar G.I.Barenblatt (1952) tomonidan poltropik filtratsiya tenglamalari uchun,

keyinchalik L.A.Peletier (1958) diffuziya jarayonlari uchun takrorlandi. A.S.Kalashnikov [2] tomonidan kuchli yutilish holida chekli vaqt ichida to‘la sovush hodisasi aniqlandi. Bir qator ishlarda nochiziqli tenglamalar uchun Koshi masalasining musbat yechimlarining asimptotik hatti-harakatlari o‘rganilgan ishlarda Koshi masalasi tahlil qilingan. 1 . Chegaralangan fazoda kvazichiziqli issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi. Chegaraviy masalalarni qo’yilishi.Ko'pgina hollarda biz quyidagi ko'rinishdagi kvazichiziqli parabolik tenglamalar bilan ishlaymiz.Chiziqli bo'lmagan issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamalari.ut= A (u)= ∇ ⋅(k(u)∇ u), ∇ ()= ¿grad x(), x∈ RN, (1) Yoki manba bilan chiziqli bo'lmagan issiqlik o'tkazuvchanligi tenglamalari bilan ut= B (u)= ∇ ⋅(k(u)∇ u)+Q (u), (2) bu erda k(u) funksiya chiziqli bo'lmagan issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti ma'nosiga ega, u= u(t,x)≥ 0 temperatura, Biz k koeffitsyentini manfiy bo'lmagan va yetarlicha silliq funksiya deb hisoblaymiz: k(u)∈C 2((0,∞ ))∩ C ([0,∞ )). Agar u > 0 yetarli darajada silliq yechim bo'lsa, u holda (1) tenglamani quydagicha yozishimiz mumkin. ut= A (u)= k(u)∇ u+k'(u)|∇ u|2, (1') Bu yerda ∇ - Laplas operatori: ∇ u=∑ i=1 N ∂2u ∂xi 2, |∇ u|2=∑ i=1 N ( ∂u ∂xi) 2 . tenglama (1) tenglamaga ekvivalent ut= A (u)= ∇ ϕ(u), (1'') ϕ(u)=∫ 0 u k(η)dη , u≥ 0 . (2) dagi B ( u ) funksiya chiziqli bo ' lmagan issiqlik o ' tkazuvchanlik bo ' lgan sohada issiqlik tarqalish yoki yutilish jarayonini aks etiradi , agar u≥0 uchun Q(u)≥0 bo ’ lsa issiqlik tarqalish va aksincha Q(u)≤0 bo ' lsa , issiqlikni yutish jarayonini tavsiflaydi . Bundan tashqari , Q(u) funksiyasini , agar boshqacha ko ' rsatilmagan bo ' lsa , yetarli darajada silliq deb hisoblaymiz : Q(u)∈C1([0,∞)) Ko ' pgina hollarda , sovuq muhitda yonish ( absorbsiya ) yo ' q , ya ' ni Q(0)=0 deb taxmin qilinadi .

Keyinchalik (1), (2) tenglamalar uchun asosan birinchi chegaraviy masala va Koshi masalasining quyilishini qarab chiqamiz. Birinchi chegaraviy masalau(t,x) funksiyani aniqlashdan iborat. Buning uchun biz (0,T )× Ω dagi tenglamani qanoatlantiradi, bunda doim T≥ 0 bo’ladi, RN -dagi (ehtimol, chegaralanmagan) Ω silliq sohada, boshlang‘ich va chegaraviy shartlar: u(0,x)= u0(x)≥ 0, x∈Ω ; u0∈C (Ω ), sup u0 < ∞ ; (3) u(t,x)= u1(t,x)≥ 0, t∈(0,T ), x∈∂Ω u1∈([0,T))× ∂Ω sup u1 < ∞ (4) (3) dagi u0(x) funksiyani dastlabki harorat o'zgarishi sifatida yozish mumkin. Shart (4) ko'rib chiqilayotgan hududning ∂Ω chegarasida tashqi issiqlik effektini tavsiflaydi. (3) dagi sup u0 < ∞ chegara bo'lmagan sohada bo'lganda muhim rol o'ynaydi. (1), (3), (4) yoki (2) - (4) masalalarning yechimini x∈Ω ; t∈(0,T ), uchun bir xilda chegaralangan funksiyalar sinfidan izlash kerak. To‘liq vaqt oralig‘ida to‘liq sovutish sharti.To‘liq sovutish effekti chiziqli bo‘lmagan muhitdagi issiqlik oqimi bilan bog‘langan. v>1 bo‘lsa, sup u0= M <∞ . Unda ℜ sohadagi barcha t≥T uchun u(t,x)=0 bo‘lganda T0≤T¿=M 1−v/(1−v) topamiz. Isbot.(1) tenglamadagi u(t) fazoviy bir qiymatli yechimni u(t,x) qo‘yamiz: u'(t)=−vv(t) , t>0; v(0)= M . Taqqoslash teoremasidan ℜ+×ℜN da u(t,x)≤v(t) . Bu yerdan t=T¿ bo‘lganda v(t)=0 ekanligini tekshirish qiyin emas. Ikkita xususiyat ham – lokalizatsiya va to‘liq sovutish –quyidagi misolda o‘z ifodasini topgan. Misol uchun: σ∈(0,1 ) berilgan bo‘lsin. ℜ+×ℜN bo‘lganda quyidagi tenglama uchun Koshi masalasini qaraymiz ut= ∇⋅(uσ∇ u)− u1 (3) Masalaning yechimini ushbu ko‘rinishda izlaymiz uA(t,x)=ψ(t)θ(ξ) , ξ=|x|/ϕ(t) , (4)

bu yerda ψ(t),ϕ(t) -issiqlik strukturasining amplitudasi va kengligi, θ(ξ)≥0 -finit funksiya quyidagi ko‘rinishga ega. θ(ξ)=[(1− ξ2)+]1/σ , ξ∈ℜ . Oxirgi tenglamani (4) ifodaga qo‘yib ψ(t),ϕ(t) uchun oddiy differensial tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. − 2(2+Nσ ) σ2 + 2ϕϕ ' σψ σ− ϕ2ψ' ψσ+1= 0, 4 σ2− 2ϕϕ ' σψ σ− ϕ2 ψ2σ= 0 , t>0, (5) ψ(0)=∞ , ϕ(0)=0 . Issiqlik amplitudasi va yarimkenglik strukturasini quyidagicha ifodalaymiz: ψσ(t)=a0t−Nσ/(2+Nσ )(A−b0t2(1+Nσ)/(2+Nσ))+ ϕ2(t)=c0t2/(2+Nσ)/(2+Nσ))+ . (4’) bu yerda a0=[ 2(2+Nσ ) σ ] −Nσ /(2+Nσ ) , c0=[ 2(2+Nσ ) σ ] 2/(2+Nσ ) , b0= σ2 4(1+Nσ )[ 2(2+Nσ ) σ ] 2(1+Nσ )/(2+Nσ ) A>0 -o‘zgarmas. ψ(t),ϕ(t) funksiyalarning grafik ko‘rinishi rasmda ifodalangan. Kuchlanish bilan chegaraviy shartlar. Biz issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti (x > 0) yarim bo'shliqni egallagan muhitda issiqlik tarqalishining bir o'lchovli jarayonini ko'rib chiqamiz. Olinayotgan muhitda issiqlik tarqalishining o'lchangan jarayoni {x≥ 0} da issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti va haroratga bog‘liq bo’ladi: k= k(u)≥ 0 da u≥0;k(0)≥0 Chegara x = 0 da harorat o'zgaradi, ya'ni t= T>0 u vaqtning qandaydir chekli momentida cheksizlikka boradi (T -kuchlanish momenti). Jarayon kvazichiziqli parabolik tenglama uchun birinchi tur chegaraviy shart bilan tavsiflanadi.