Tasodifiy miqdorlar va ularning sonli xarakteristikalari
![I-BOB. TASODIFIY MIQDORLAR
Ehtimollar nazariyasining muhim tusunchalaridan biri tasodifiy miqdor
tushunchasidir. Ushbu bobda tasodifiy miqdor tushunchasi keltirilgan. Tasodifiy
miqdorlarning turlari keltirilgan. Diskret tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot
qonuni, taqsimot funksiya, uzluksiz tasodifiy miqdorlar va ularning zichlik
funksiyasi keltirilib, ularga doir namunaviy misollar yechib ko‘rsatilgan.
1.1 - §. Diskret tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonuni
Tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qilishi oldindan ma’lum bo‘lmagan
miqdor tasodifiy miqdor deyiladi.
Tasodifiy miqdorlar lotin alifbosining bosh harflari X , Y , Z ,… (yoki grek
alifbosining kichik harflari (ksi), (eta), ζ (dzeta),…) bilan qabul qiladigan
qiymatlari esa kichik harflar x1,x2,... ,y1,y2,... ,z1,z2,... bilan belgilanadi.
Endi tasodifiy miqdorning qa’tiy matematik ta’rifini keltiramiz:
1.1.1-ta’rif.
( Ω , A , P )
- ehtimollar fazosi va X ¿ X ( ω ) − Ω
da aniqlangan sonli
funksiya bo‘lsin. Agar har qanday haqiqiy x
uchun
{ω ∈Ω :X (ω)≤x}∈A
munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda bunday X = X
( ω )
funksiyaga tasodifiy miqdor
deyiladi.
Tasodifiy miqdorlarga misollar keltiramiz: 1) X -tavakkaliga olingan
mahsulotlar ichida sifatsizlari soni; 2) Y - n ta o‘q uzilganda nishonga tekkanlari
soni; 3) Z -asbobning beto‘htov ishlash vaqti; 4) U -[0,1] kesmadan tavakkaliga
tanlangan nuqtaning koordinatalari; 5) V -bir kunda tug‘iladigan chaqaloqlar soni
va h.k.
Agar tasodifiy miqdor chekli yoki sanoqli qiymatlar qabul qilsa, bunday
tasodifiy miqdor diskret tipdagi tasodifiy miqdor deyiladi.
4](/data/documents/c9cea046-199d-4b2e-ac13-b1f0801d7eaf/page_4.png)
![Agar F ( x ) taqsimot funksiya uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasi
bo‘lsa, taqsimot funksiyaning 1-4 xossalaridan quyidagi natijalarni keltirish
mimkin:
1. X tasodifiy miqdorning [a,b) oraliqda yotuvchi qiymatni qabul qilish
ehtimolligi taqsimot funksiyaning shu oraliqdagi orttirmasiga teng:
P { a ≤ X < b } = F ( b ) − F ( a )
. (1.2.3)
2. X uzluksiz tasodifiy miqdorning tayin bitta qiymatni qabul qilishi
ehtimolligi nolga teng:P{X= xi}=0
1-natijada [a,b], (a,b], (a,b) oraliqlar uchun ham (1.2.3) tenglik o‘rinli,
ya’ni
P
{ a ≤ X < b } = P { a ≤ X ≤ b } = P { a < X ≤ b } = ¿
¿ P { a < X < b } = F ( b ) − F ( a )
.
Masalan,
P { a ≤ X < b } = P { X = a } + P { a < X < b } = P { a < X < b }
.
Isboti. 1. a<b bo‘lgani uchun
{X <b}={X <a}+{a≤X <b} . {X <a} va {a≤X <b}
hodisalar birgalikda bo‘lmagani uchun
P{X<b}= P{X <a}+P{a≤ X<b}
va
P{a≤ X<b}= P{X <b}− P{X <a}= F(b)− F(a)
munosabatlar o‘rinli bo‘ladi.
3. (1.2.3.) tenglikni [ a,x ) oraliqqa tatbiq etamiz:
P { a ≤ X < x } = F ( x ) − F ( a )
.
F ( x ) funksiya a nuqtada uzluksiz bo‘lgani uchun quyidagilar o‘rinli bo‘ladi:
lim
x → a F
( x ) = F ( a ) ,
lim
x → a P { a ≤ X < x } = P { X = a } = lim
x → a F ( x ) − F ( a ) = F ( a ) − F ( a ) = 0
.
10](/data/documents/c9cea046-199d-4b2e-ac13-b1f0801d7eaf/page_10.png)
![tenglik bilan berilgan bo‘lsa, C o‘zgarmas parametrni toping.
Yechish. Zichlik funksiyaning 3-xossasiga ko‘ra u
∫
−∞
+∞
f(x)dx=1
shartni qanoatlantirishi lozim. Bu shartning berilgan funksiya uchun bajarilishini
talab qilamiz:
4C ∫−∞
+∞ dx
e−x+ex=1
.
Bu yerdan
C= 1
4∫−∞
+∞ dx
e−x+ex . Dastlab ushbu aniqmas integralni hisoblaymiz:
∫ dx
e−x+ex=∫ exdx
1+e2x=arctg ex.
So‘ngra, xosmas integralni hisoblaymiz:
∫−∞
+∞ dx
e−x+ex= lim
a→−∞∫
a
0 dx
e−x+ex+ lim
a→+∞∫
0
a dx
e−x+ex= π
2.
Shunday qilib,
C= 1
2π.
Ba’zi muhim taqsimotlar. Endi eng ko‘p ishlatiladigan absolut uzluksiz
tasodifiy miqdorlarning ba’zilarini keltiramiz.
Tekis taqsimot.
[ a , b ]
oraliqda tekis taqsimlangan tasodifiy miqdor absolut
uzluksiz tasodifiy miqdor bo‘lib, uning zichlik funksiyasi
f
( x ) =
{ 1
b − a , a ≤ x ≤ b
0 , x < a ; yoki x > b
ko‘rinishga ega.
15](/data/documents/c9cea046-199d-4b2e-ac13-b1f0801d7eaf/page_15.png)
![Tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning [a,b] oraliq ichidagi ( x
1 , x
2 )
intervalga tushish ehtimoli, F
( x
2 ) − F ( x
1 ) = x
2 − x
1
b − a ga teng bo‘lib, u shu intervalning
uzunligiga proporsional.
Eksponensial taqsimot. Quyidagi
f
( x ) = { 0 , x < 0 ,
λ e − λx
, x ≥ 0
zichlik funksiyaga ega bo‘lgan tasodifiy miqdorga λ
( λ > 0 ) − ¿
parametrli
eksponensial qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi. Bu holda
taqsimot funksiyasi
F
( x ) = { 0 , x < 0 ,
1 − e − λx
, x ≥ 0
ko‘rinishga ega ekanligini topish qiyin emas.
Turli elementar atomlarning yemirilish vaqti eksponensial taqsimotga ega.
Bunda T = 1
λ son yemirilish vaqtining o‘rtacha qiymatini bildiradi.
Eksponensial taqsimotga ega bo‘lgan ξ
tasodifiy miqdor so‘nggi ta’sirning
yo‘qlik xossasiga ega.
ξ tasodifiy miqdorni atomning yemirilish vaqti deb izohlab,
A={x1<ξ≤x1+x2}
hodisani ko‘ramiz va bu hodisaning B={ξ>x1} hodisa ro‘y
bergandagi shartli ehtimolini hisoblaymiz:
P
( A ) = P ({ x
1 < ξ ≤ x
2 }) = 1 − e − λ ( x ¿ ¿ 1 + x
2 ) − ( 1 − e − λ x
1 )
= e − λ x
1 (
1 − e − λ x
2 )
¿
P(B)= P({ξ>x1})=1− P({ξ≤x1})=e−λx1
tengliklardan
P(A ∕B)= e−λx1(1−e−λx2)
e−λx1 =(1− e−λx2)
munosabatning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi, ya’ni atom x
1 vaqt yashagach uning
yana
x2 vaqt ichida yemirilish ehtimoli, xuddi shu atomni x2 vaqt ichida
yemirilishining shartsiz ehtimoli bilan bir xil. Aynan shu xossaga so‘nggi
ta’sirning yo‘qlik xossasidan iborat.
So‘nggi ta’sirning yo‘qligi eksponensial taqsimlangan tasodifiy miqdorning
xarakterlovchi xossasidan iborat. Boshqacha qilib aytganda, barcha absolut
uzluksiz taqsimotli tasodifiy miqdorlar ichida faqat eksponensial taqsimotli
16](/data/documents/c9cea046-199d-4b2e-ac13-b1f0801d7eaf/page_16.png)
![tasodifiy miqdorgina so‘nggi ta’sirning yo‘qlik xossasiga ega (geometrik
taqsimotga qaralsin).
Normal taqsimot. Normal taqsimot eng ko‘p ishlatiladigan uzluksiz
tasodifiy miqdordir. Taqsimot funksiyasiFa,σ(x)= 1
√2πσ∫−∞
x
e
−(u−a)2
2σ2 du
ko‘rinishga ega bo‘lgan tasodifiy miqdorga (
a,σ2 ) parametrli normal (yoki Gauss)
qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi.
Bu yerda a − ¿
o‘zgarmas son; σ > 0.
Normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi
fa,σ(x)= 1
σ√2πe
−(x−a)2
2σ2 ,− ∞<x<+∞
ko‘rinishga ega. Biz
fa,σ(x)>0va ∫−∞
+∞
fa,σ(x)dx =1
ekanligini ko‘rsataylik:
[∫−∞
+∞
fa,σ(x)dx ]
2
=∫−∞
+∞
∫−∞
+∞
fa,σ(x)fa,σ(y)dxdy =¿¿
¿ 1
2πσ2∫−∞
+∞
∫−∞
+∞
exp {
−1
2 (
x−a
σ )
2
− 1
2(
y− a
σ )
2
}dxdy =¿
¿ 1
2π∫−∞
+∞
∫−∞
+∞
exp {
−u2+v2
2 }dudv
Oxirgi integralda
u= rcosθ ,v= rsinθ deb o‘zgaruvchilarni almashtirsak,
[∫−∞
+∞
fa,σ(x)dx ]
2
= 1
2π∫0
2π
∫0
∞
rexp {
− r2
2 }drdθ =−∫0
∞
dexp {
− r2
2 }=1
tenglik kelib chiqadi. Demak, f
a , σ
( x )
zichlik funksiya, Fa,σ(x) esa taqsimot funksiya
ekan.
f
a , σ
( x )
zichlik funksiya x=a nuqtada eng katta qiymatga erishadi va uning
grafigi
x=a to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik joylashgan. Bu funksiya uchun OX
o‘q gorizontal asimptota
x=a+σ,x=a−σ nuqtalar esa funksiyaning burilish
nuqtalaridan iborat.
17](/data/documents/c9cea046-199d-4b2e-ac13-b1f0801d7eaf/page_17.png)
![p( x ) =
{ 1
b − a , x ∈
[ a , b ]
0 , x ∉
[ a , b ] .
Endi bu tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini ( 2. 1.3) formula
yordamida hisoblaymiz.
Mξ =∫−∞
a
x∙0dx +∫a
b
x∙ 1
b−adx +∫b
∞
x∙0dx = 1
b−a(
x2
2 |ab
)= b+a
2
2.6 -misol. parametrli eksponensial qonun bo‘yicha taqsimlangan
tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi ni toping.
Yechish. parametrli eksponensial qonun bo‘yicha taqsimlangan
tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi p ( x )
quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
p(x)={
μe−μx,x>0
0,x≤0 ,
bu yerda μ > 0.
Bu tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini ( 2. 1.3) formuladan
foydalanib hisoblaymiz.
Mξ =
∫
− ∞0
x ∙ 0 dx +
∫
0∞
x ∙ μ e − μx
dx = x ∙
( − e − μx )
|
0 ∞
+
∫
0+ ∞
e − μx
dx = ( − 1
μ e − μx
dx ) .
Bu integralni hisoblashda bo‘laklab integrallash formulasidan foydalandik.
Demak, parametrli eksponensial qonun bo‘yicha taqsimlangan
tasodifiy
miqdorning matematik kutilmasi parametrning teskari qiymatiga teng ekan.
Тasodifiy miqdorlarning matematik kutilmasi hamma vaqt ham mavjud
bo‘lavermasligini eslatib o‘tamiz. Masalan, tasodifiy miqdor Koshi qonuni bilan
taqsimlangan bo‘lsin . U holda uning zichlik funksiyasi
,
x∈R
25](/data/documents/c9cea046-199d-4b2e-ac13-b1f0801d7eaf/page_25.png)
![= n ( n − 1 ) p 2
+ np − ¿
.
Demak, MX =np ;DX = npq .
2. Puasson taqsimoti. Agar X tasodifiy miqdor 0,1,2,…m,… qiymatlarni
pm= P{X= m}= am⋅e−a
m!
(2.2.7)
ehtimolliklar bilan qabul qilsa, u Puasson qonuni bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy
miqdor deyiladi. Bu yerda a biror musbat son.
Puasson qonuni bo‘yicha taqsimlangan X diskret tasodifiy miqdorning
taqsimot qonuni quyidagi ko‘rinishga ega:
X=m 0 1 2 … m …
pm= P{X= m} e−a
a ⋅ e − a
1 ! a 2
⋅ e − a
2 ! … a m
⋅ e − a
m ! …
Teylor yoyilmasiga asosan,
∑
m = 0∞
p
m = e − a
∑
m = 0∞
a m
m ! = e − a
⋅ e a
= 1
. Bu taqsimotni
Π (a)
orqali belgilaymiz. Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha bo‘ladi:
F ( x ) =
{ 0 , agar m ≤ 0
∑
m < x a m
⋅ e − a
m ! , agar 0 < m ≤ x
Endi bu taqsimotning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz:
MX = ∑m=0
∞
m⋅am⋅e−a
m! = e−a∑m=1
∞
m⋅ am
m!=¿
¿ a ⋅ e − a
∑
m = 1∞
a m − 1
( m − 1 ) ! = a ⋅ e − a
⋅ e a
= a ,
DX =
∑
m = 0∞
m 2
⋅ a m
⋅ e − a
m ! − a 2
= a
∑
m = 1∞
m ⋅ a m − 1
⋅ e − a
( m − 1 ) ! − a 2
= ¿
¿ a ⋅
[
∑
k = 0∞
k a k
⋅ e − a
k ! +
∑
k = 0∞
a k
⋅ e − a
k ! ] − a 2
= a ( a + 1 ) − a 2
= a
Demak,
MX =a;DX = a .
3. Geometrik taqsimot. Agar X tasodifiy miqdor 1,2,…m,… qiymatlarni
p
m = P { X = m } = q m − 1
p (2.2.8)
ehtimolliklar bilan qabul qilsa, u geometrik qonuni bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy
miqdor deyiladi. Bu yerda p = 1 − q ∈ ( 0,1 )
.
35](/data/documents/c9cea046-199d-4b2e-ac13-b1f0801d7eaf/page_35.png)
![f ( x ) ={ 1
b − a , agar x ∈ [ a , b ] ,
0 , agar x ∉ [ a , b ] (2. 2 .9)
ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, u [a,b] oraliqda tekis taqsimlangan tasodifiy miqdor
deyiladi.
Bu tasodifiy miqdorning grafigi 2-rasmda berilgan. [ a , b ] oraliqda tekis
taqsimlangan X tasodifiy miqdor ni X ∼ R [ a , b ]
ko‘rinishda belgilanadi. X ∼ R [ a , b ]
uchun taqsimot funksiyasini topamiz. F ( x ) =
∫
− ∞x
f ( t ) dt
formulaga ko‘ra agar
a≤x≤b
bo‘lsa
F(x)=∫a
x dt
b−a= t
b−a|a
x
= x− a
b−a
,
agar
x<a bo‘lsa, F ( x ) = 0
va x>b bo‘lsa,
F ( x ) =
∫
− ∞a
0 dt +
∫
ab
dt
b − a +
∫
bx
0 dt = t
b − a
|
ab
= 1
bo‘ladi. Demak,
F ( x ) =
{ ¿ 0 , agar x < a bo ‘ lsa,
¿ x − a
b − a , agar a ≤ x ≤ b bo ‘ lsa,
¿ 1, agar b < x bo ‘ lsa,
F ( x ) taqsimot funksiyaning grafigi 3-rasmda keltirilgan.
2-rasm .
37](/data/documents/c9cea046-199d-4b2e-ac13-b1f0801d7eaf/page_37.png)
![3-rasm .X ∼R[a,b]
tasodifiy miqdor uchun MX va DX
larni hisoblaymiz:
MX =
∫
− ∞a
x ⋅ 0 dx +
∫
ab
x
b − a dx +
∫
b+ ∞
x ⋅ 0 dx = x 2
2 ( b − a )
|
ab
= b 2
− a 2
2 ( b − a ) = a + b
2 , ;
DX =
∫
ab
(
x − a + b
2 ) 2
⋅ dx
b − a = 1
b − a ⋅ 1
3 ( x − a + b
2 ) 3|
ab
= ¿ ¿ 1
3 ( b − a ) ¿
Demak,
MX = a+b
2 , DX =¿¿ .
5. Ko‘rsatkichli taqsimot. Agar uzluksiz X tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi
f ( x ) =
{ λ e − λx
, agar x ≥ 0 ,
0 , agar x < 0 (2.2.10)
ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, X tasodifiy miqdor ko‘rsatkichli qonun bo‘yicha
taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi. Bu yerda
λ biror musbat son. λ
parametrli
ko‘rsatkichli taqsimot E ( λ )
orqali belgilanadi. Uning grafigi 4-rasmda keltirilgan.
38](/data/documents/c9cea046-199d-4b2e-ac13-b1f0801d7eaf/page_38.png)
![MX =∫
0
+∞
x⋅λe−λxdx = limb→∞∫
0
b
x⋅λe−λxdx = limb→∞(−∫
0
b
xd e−λx
)=¿¿ lim
b → ∞
( − x ⋅ e − λx |
0b
+
∫
0b
e − λx
dx ) = lim
b → ∞ ( − 1
λ e − λx |
0b)
= 1
λ ,
DX =∫−∞
+∞
x2f(x)dx − ¿¿¿[bo ‘laklab integrallash formulasini ikki marta qo ‘llaymiz ]=¿
¿ λ
( lim
b → ∞ ( − x 2
λ e − λx
+ 2
λ ( − x
λ e − λx
− 1
λ 2 e − λx ))|
0b)
− 1
λ 2 = 2
λ 2 − 1
λ 2 = 1
λ 2 .
Demak, agar X ∼ M ( λ )
bo‘lsa, u holda MX = 1
λ va DX = 1
λ 2 .
6. Normal taqsimot . Normal taqsimot ehtimollar nazariyasida o‘ziga xos
o‘rin tutadi. Normal taqsimotning xususiyati shundan iboratki, u limit taqsimot
hisoblanadi. Ya’ni boshqa taqsimotlar ma’lum shartlar ostida bu taqsimotga
intiladi. Normal taqsimot amaliyotda eng ko‘p qo‘llaniladigan taqsimotdir.
X uzluksiz tasodifiy miqdor normal qonun bo‘yicha taqsimlangan deyiladi,
agar uning zichlik funksiyasi quyidagicha ko‘rinishga ega bo‘lsa
f ( x ) = 1
σ ⋅
√ 2 π e − ¿ ¿ ¿
(2.2.11)
a va
σ>0 parametrlar bo‘yicha normal taqsimot N ( a , σ )
orqali belgilanadi.
X ∼ N ( a , σ )
normal tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi
F(x)= 1
σ⋅√2π ∫−∞
x
e−¿¿¿¿
(2. 2 .12)
Agar normal taqsimot parametrlari a =0 va
σ=1 bo‘lsa, u standart normal
taqsimot deyiladi. Standart normal taqsimotning zichlik funksiyasi quyidagicha
ko‘rinishga ega:
ϕ(x)= 1
√2π⋅e
−x2
2.
Taqsimot funksiyasi
Φ ( x ) = 1
√
2 π ∫
− ∞x
e − t 2
2
dt
ko‘rinishga ega va u Laplas funksiyasi deyiladi.
40](/data/documents/c9cea046-199d-4b2e-ac13-b1f0801d7eaf/page_40.png)
![Endi esa k toq bo‘lganda, ya’ni k=2n-1 da boshlang‘ich momentni
hisoblaymiz.
m
2 n − 1 =
∑
i = 13
x
i2 n − 1
p
i =( − 1 ) 2 n − 1
∙ 0,25 + 0 2 n − 1
∙ 0,5 + 1 2 n − 1
∙ 0,25 = 0.
Faraz qilaylik
ξ
absolyut uzluksiz tasodifiy miqdor bo‘lib, uning zichlik
funksiyasi f ( x ) bo‘lsin. U holda k -tartibli boshlang‘ich moment Stiltes integralining
хossasiga ko‘ra
mk= ∫−∞
∞
xkf(x)dx ,k≥0
(2.3.4)
tenglik bilan aniqlanadi. Bu holda
∫
− ∞∞
|
x | k
f ( x ) dx < ∞
integral yaqinlashadi deb faraz qilinadi. Nolinchi tartib l i boshlang‘ich moment
doim mavjud va u birga teng, ya’ni
m0=∫−∞
∞
x0dF (x)= ∫−∞
∞
dF (x)=1.
Birinchi tartibli boshlang‘ich moment-bu matematik kutilmadir, ya’ni
m1=∫Ω
❑
ξ(ω)dP (ω)∫−∞
∞
xdF (x)= Mξ .
2.16-misol . Agar ξ
a bsolyut uzluksiz tasodifiy miqdor bo‘lib, uning zichlik
funksiyasi
f ( x ) =
{ x
2 , x ∈ [ 0 ; 2 ]
0 , x ∉ [ 0 ; 2 ]
bo‘ls a, u holda bu tasodifiy miqdorning 2-tartibli boshlang‘ich momentini
hisoblang.
47](/data/documents/c9cea046-199d-4b2e-ac13-b1f0801d7eaf/page_47.png)
![Yechish.
ξ
absolyut uzluksiz tasodifiy miqdor bo‘l ganligi uchun uning 2-
tartibli boshlang‘ich momentini (13.4) formuladan foydalanib topamiz:
m
2 =
∫
− ∞∞
x 2
dF( x ) =
∫
0 2
x 2
⋅ x
2 dx = x 4
8 ¿
02
= 2 4
8 − 0 = 2.
2.17-misol . Ω =
[ − π ; π ] , A
bilan Ω dagi Lebeg ma’nosida o‘lchovli to‘plamlar
sistemasini belgilaymiz. P
( A ) = 1
2 π μ ( A )
va ξ(ω)=cosω bo‘lsin. ξ
tasodifiy
miqdorning 3-va 4-tartibli absolyut momentlarini hisoblang.
Yechish. Bizga absolyut uzluksiz tasodifiy miqdor
ξ
ning o‘zi berilgan
bo‘l ganligi uchun uning boshlang‘ich momentlarini (2.3.2) formuladan foydalanib
topamiz. Maqsadimiz
β3=∫−π
π|cosω |3
2π dω
integralni hisoblash.
β3= 2
2π∫−π2
π2
cos 3ω dω = 1
π∫−π2
π2
(
3
4cosω +1
4cos 3ω)dω =¿
¿ 1
π
( 3
4 sinω + 1
12 sin 3 ω ) ¿
− π
2π
2
= 4
3 π .
Endi 4-tartibli absolyut momentni hisoblaymiz.
β
4 =
∫
− ππ
|
cosω | 4
2 π dω = 1
π ∫
0π
cos 4
ω dω = ¿
=
1
π∫0
π
(
3
8+1
2cos 2ω+1
8cos 4ω)dω = ¿
1
π(
3
8ω+1
4sin 2ω+ 1
32 sin 4ω)¿0π=3/8.
Yuqori tartibli markaziy momentlar.
48](/data/documents/c9cea046-199d-4b2e-ac13-b1f0801d7eaf/page_48.png)
![M |ξη |≤√M ξ2√M η2 (2.3.7)
Isbot. Ma’lumki, ixtiyoriy
ω∈Ω uchun
|
ξ ( ω ) η ( ω ) | ≤ 1
2 ( ξ 2 (
ω ) + η 2
( ω ) )
tengsizlik o‘rinli hamda
M ξ2 va M η2 momentlar chekliligidan M | ξη | < ∞
ekani kelib
chiqadi.
x
o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgan musbat aniqlangan ushbu
M (x|ξ|+|η|)2≤x2M ξ2+2xM (|ξ|∙|η|)+M η2
kvadratik formaning diskriminanti nomanfiy bo‘lishi kerak, ya’ni
(
2 M (| ξ| ∙| η|)) 2
− 4 M ξ 2
M η 2
≤ 0
bundan esa ( 2. 3. 7 ) tengsizlikning o‘rinli ekanlig i kelib chiqadi.
2.18-misol . Ω =
[ − π ; π ] , A
bilan Ω dagi Lebeg ma’nosida o‘lchovli to‘plamlar
sistemasini belgilaymiz. P
( A ) = 1
2 π μ ( A )
bo‘lib, ξ(ω)=cosω va η ( ω ) = sinω
bo‘lsin. ξ
va
η tasodifiy miqdorlar uchun Koshi-Bunyakovskiy tengsizligining to‘g‘riligiga
ishonch hosil qiling.
Yechish.
ξ va η absolyut uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun M ¿ ),
M ξ 2
va
M η 2
larni hisoblaymiz:
M
(| ξη |) = 1
2 π ∫
− ππ |
sinωcosω | dω = 1
2 π ∫
0π |
sin 2 ω | dω = 1
π ∫
0π
2
sin 2 ωdω = 1
π ,
M ξ2= 1
2π∫−π
π
cos 2ωdω = 1
4π∫−π
π
(1+cos 2ω)dω = 1
2,
M η 2
= 1
2 π ∫
− ππ
sin 2
ω dω = 1
4 π ∫
− ππ
( 1 − cos 2 ω ) dω = 1
2 .
Endi topilgan
M ¿ ),
M ξ 2
va M η2 larni (2.3.7) ga qo‘yib, Koshi-Bunyakovskiy
tengsizligi bajarilishiga ishonch hosil qilamiz:
51](/data/documents/c9cea046-199d-4b2e-ac13-b1f0801d7eaf/page_51.png)
Tasodifiy miqdorlar va ularning sonli xarakteristikalari MUNDARIJA Kirish ………………………………………………………………………………3 I-BOB. TASODIFIY MIQDORLAR 1.1-§. Diskret tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonuni ………………… 5 1.2- § . Taqsimot funksiyasi va uning xossalari …………………………………. 9 1.3- §. Uzluksiz tasodifiy miqdorlarning zichlik funksiyasi va xossalari ……….12 II-BOB. TASODIFIY MIQDORLARNING SONLI XARAKTERISTIKALARI 2.1-§. Tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmasi ……………………………21 2.2- § . Tasodifiy miqdorlarning dispersiyasi ……..………………………………28 2.3- § . Tasodifiy miqdorlarning yuqori tartibli momentlari …...………………….45 XULOSA …………………………………………………………………….…...57 Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxat …………….………………………………….58 1
Kirish Masalaning dolzarbligi . Ushbu malakaviy bitiruv ishi tasodifiy miqdor va ularning sonli xarakteristikasini o‘rganishga bag‘ishlanadi. Ehtimollar nazariyasining asosiy bo‘limlaridan biri bu–tasodifiy miqdorlar haqida bo‘lib. Bu sohada hozirgi paytga kelib klassikaga aylangan chuqur va fundamental ahamiyatga ega bo‘lgan natijalar olingan. Ehtimollar nazariyasini qurishda va rivojlantirishda katta hissa qo‘shgan buyuk olimlardan Chebishev, Laplas, Bernshteyn, Kolmogorov, Lypuanov, Yensenlarning tasodifiy miqdor va ularning sonli xarakteristikasini rivojidagi ishlarini alohida takidlash zarur. Masalaning qo‘yilishi . Malakaviy bitiruv ishida diskret tasodifiy miqdorlar, uzluksiz tasodifiy miqdorlar hamda ularning sonli xarakteristikalari: matematik kutilmasi, dispersiyasi va yuqori tartibli momentlarini hamda kovariatsiya va korrelyatsiya koefffisiyenti o‘rganish masalari qo‘yilgan. Ishning maqsad va vazifalari. Malakaviy bitiruv ishining maqsad va vazifalari tasodifiy miqdorlar va ularning sonli xarakteristikalari bo‘lgan matematik kutilma, dispersiya va tasodifiy miqdorlarning k orrellyatsi on bog‘lanishi, k orrellyatsi ya koeffitsi y enti ga doir teoremalarni o‘rganish va misollarda ko‘rib chiqishdan iborat. Ilmiy tadqiqot usullari. Ushbu bitiruv malakaviy ishini bajarish jarayonida ehtimollar nazariyasi va matematik analizning apparatlaridan keng ma'noda foydalanildi. Ishning ilmiy ahamiyati. Bu ishda olingan natijalar ehtimollar nazariyasining singulyar uzluksiz tasodifiy miqdorlarni sonly xarakteristikalarini o‘rganishda foydalanish mumkin. Ishning amaliy ahamiyati. Bu ishda jamlangan materiallardan, ehtimollar nazariyasidagi tasodifiy miqdorlar va ularning sonly xarakteristikalariga doir amaliy masalalarda foydalanish mumkin. 2
Ishning tuzilishi. Bitiruv ishi kirish qismi, ikkita bob, oltita paragrafdan iborat. Shunigdek ishning oxirida xulosa va foydanilgan adabiyotlar ro‘yxati keltirilgan. Malakaviy bitiruv ishining birinchi bobida ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri bo‘lgan tasodifiy miqdorlar haqida umumiy tushunchalar keltirilgan. Malakaviy bitiruv ishining ikkinchi bobida tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari haqida ma’lumotlar keltirilgan. 3
I-BOB. TASODIFIY MIQDORLAR Ehtimollar nazariyasining muhim tusunchalaridan biri tasodifiy miqdor tushunchasidir. Ushbu bobda tasodifiy miqdor tushunchasi keltirilgan. Tasodifiy miqdorlarning turlari keltirilgan. Diskret tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonuni, taqsimot funksiya, uzluksiz tasodifiy miqdorlar va ularning zichlik funksiyasi keltirilib, ularga doir namunaviy misollar yechib ko‘rsatilgan. 1.1 - §. Diskret tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonuni Tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qilishi oldindan ma’lum bo‘lmagan miqdor tasodifiy miqdor deyiladi. Tasodifiy miqdorlar lotin alifbosining bosh harflari X , Y , Z ,… (yoki grek alifbosining kichik harflari (ksi), (eta), ζ (dzeta),…) bilan qabul qiladigan qiymatlari esa kichik harflar x1,x2,... ,y1,y2,... ,z1,z2,... bilan belgilanadi. Endi tasodifiy miqdorning qa’tiy matematik ta’rifini keltiramiz: 1.1.1-ta’rif. ( Ω , A , P ) - ehtimollar fazosi va X ¿ X ( ω ) − Ω da aniqlangan sonli funksiya bo‘lsin. Agar har qanday haqiqiy x uchun {ω ∈Ω :X (ω)≤x}∈A munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda bunday X = X ( ω ) funksiyaga tasodifiy miqdor deyiladi. Tasodifiy miqdorlarga misollar keltiramiz: 1) X -tavakkaliga olingan mahsulotlar ichida sifatsizlari soni; 2) Y - n ta o‘q uzilganda nishonga tekkanlari soni; 3) Z -asbobning beto‘htov ishlash vaqti; 4) U -[0,1] kesmadan tavakkaliga tanlangan nuqtaning koordinatalari; 5) V -bir kunda tug‘iladigan chaqaloqlar soni va h.k. Agar tasodifiy miqdor chekli yoki sanoqli qiymatlar qabul qilsa, bunday tasodifiy miqdor diskret tipdagi tasodifiy miqdor deyiladi. 4
Agar tasodifiy miqdor qabul qiladigan qiymatlari biror oraliqdan iborat bo‘lsa uzluksiz tipdagi tasodifiy miqdor deyiladi. Demak, diskret tasodifiy miqdor bir-biridan farqli alohida qiymatlarni, uzluksiz tasodifiy miqdor esa biror oraliqdagi ihtiyoriy qiymatlarni qabul qilar ekan. Yuqoridagi X va Y tasodifiy miqdorlar diskret, Z esa uzluksiz tasodifiy miqdor bo‘ladi. Endi tasodifiy miqdorni qat’iy matematik ta’rifini keltiramiz. elementar hodisalar fazosida aniqlangan X sonli funksiya tasodifiy miqdor deyiladi, agar har bir elementar hodisaga X ( ) sonni mos qo‘ysa, yani X = X ( ), . Masalan, tajriba tangani 2 marta tashlashdan iborat bo‘lsin. Elementar hodisalar fazosi Ω = { ω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 } , ω 1 = ¿ , ω 2 = GR , ω 3 = RG , ω 4 = RR bo‘ladi. X -gerb chiqishlari soni bo‘lsin, u holda X tasodifiy miqdor qabul qiladigan qiymatlari: X ( 1 )=2, X ( 2 )=1, X ( 3 )=1, X ( 4 )=0. Tasodifiy miqdorning eng sodda misoli sifatida A∈A hodisaning I A ( ω ) indikatorini qarash mumkin; IA(ω)={ 1,agar ω ∈A 0,agar ω∈A { ω : ξ ( ω ) ≤ x } = { ∅ , x < 0 , A , 0 ≤ x < 1 , Ω , x ≥ 1 , ( 1.1 .1 ) munosabatdan IA(ω) funksiyaning tasodifiy miqdor ekanligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik, A1,A2,… ,An,… lar juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan hodisalarni to‘la guruhini tashkil qilsin, ya’ni A i ∈ A , A i ∩ A j = ∅ , i ≠ j , ∑ i = 1∞ A i = Ω bo‘lsin. 1.1.2-ta’rif. Agar ξ tasodifiy miqdorni 5