Panjaradagi bir zarrachali sistema energiyasi taqsimotining sonli xarakteristikalari
![Modomiki, ∆k
k0
≪1 deb faraz qilinar ekan, unda bu taxmindan foydalanib integralni
soddalashtirishga o‘tiladi. Ushbu maqsadda ω
quyidagicha yoziladi:
ω = ħ k 2
2 m = ħ
2 m [ k
0 +
( k − k
0 ) ] 2
= ħ k 2
2 m + ħ k
0 ( k − k
0 )
m + ħ ( k − k
0 ) 2
2 m = ω
0 + ħ k
0 ( k − k
0 )
m + ħ ( k − k
0 ) 2
2 m
ω
ning bu ko‘rinishi uning
k atrofida yoyilgan Teylor qatoridir :
ω = ω
0
( k ) + ¿
ω0(k)=ω0 , ¿
, ( ∂ 2
ω
∂ k 2 )
k = k
0 = ħ
m . (2.1.13)
Quyidagiga e’tibor beraylik: biz ko‘rayotgan qatorda (
k−k0 ) ning ikkinchi
darajali hadi uning birinchi darajali hadiga nisbatan ancha kichik ekan:
|
∂ 2
ω
∂ k 2
( k − k
0 ) 2
∂ ω
∂ k
( k − k
0 )| = |
k− k0
2k0|=|
∆k
k0|≪1 .
Shuning uchun, ω
ni ifodalashda (2.1.13) formuladagi dastlabki ikkita had bilan
cheklansak bo‘ladi va quyidagi chiziqli ifoda olinadi:
ω=ω0(k)+¿ ( ∂ ω
∂ k ¿ ( k − k
0 ) . (2.1.14)
Agar (
k−k0 )=ξ kabi yangi o‘zgaruvchi kiritsak, unda ψ¿ ) quyidagi ko‘rinishda
bo‘ladi:
ψ(x,t)=C(k0)ei(ω0t−k0x)∫−∆k
∆k
ei(∂ω∂kt−x)ξdξ .
Dastlab ξ bo‘yicha oddiy integrallash natijasida
ψ ( x , t ) = 2 C ¿
) sin
{ [( ∂ ω
∂ k ) t − x ] ∆ k }
(
∂ ω
∂ k ) t − x e i ( ω
0 t − k
0 x )
= C ( x , t ) e i ( ω
0 t − k
0 x )
(2.1.15)
32](/data/documents/30a5b6ff-bd94-4bac-8d2b-7356475f0f58/page_32.png)
![ni olinadi. Sinus funksiya argumentidagi ∆k kichik bo‘lganligi sababli, c ( x , t )
funksiyani exp[ i ¿
] funksiyaga nisbatan sekin o‘zgaruvchi funksiya deb aytish
mumkin. Shuning uchun ?????? (x,t) ni
ω0 chastotali va k0 to‘lqin soniga teng bo‘lgan
deyarli monoxromatik to‘lqin deb qarash mumkin. Bunda c ( x , t )
to‘lqin
amplitudasi. Uni batafsil o‘rganib chiqaylik. c ( x , t )
quyidagi ko‘rinishga ega.
c(x,t)= 2∆ k sinα (x,t)
α(x,t) ,
bunda
α(x,t)=[x−(
∂ω
∂k)t]∆k .
Matemetika kursidan ma’lumki sin
α / α funksiya α = 0
nuqtada maksimum
qiymatga erishadi,
α = ± π da nolgacha tushadi, so‘ngra esa tez so‘nuvchi tebranma
funksiyaga aylanadi. Amplituda c ( x , t )
maksimumga erishgan koordinata x
0 ni
aniqlaylik. Bu nuqtani to‘lqin paketning markazi deb olaylik. To‘lqin paketning
markazi yuqorida aytilganlarga binoan quyidagi shartdan topilishi kerak:
α
( x , t ) = [ x − ( ∂ ω
∂ k ) t ] ∆ k = 0
.
Demak, x
0 =
( ∂ ω
∂ k ) t
kelib chiqadi. Bundan ko‘rinib turibdiki, paketning markazi
x
o‘qi bo‘ylab doimiy tezlik bilan harakatlanadi. Bu tezlik gruppaviy tezlik deb
ataladi va
v
gr =
( ∂ ω
∂ k )
0 (2.1.16)
formula orqali aniqlanadi. (2.1.11) ga asoslanib v
gr hisoblasak ,
v
gr = ħ k
m
0 ,
hamda p = ħ k
,
p= m0v ni eslasak, v -zarracha tezligi
33](/data/documents/30a5b6ff-bd94-4bac-8d2b-7356475f0f58/page_33.png)
![nazariyasida) muqarrar hodisaning ehtimolligini birga teng deb hisoblash
kelishilgan. Demak, bu kelishuvga binoan
∫| ψ ( r , t ) | 2
dV = 1
. (2.2.4)
Ushbu shart normallash sharti deb ataladi va bu shartni qanoatlantiruvchi
ψ
funksiya esa normallashgan funksiya hisoblanadi. Odatda, fizik jihatdan real
bo‘lgan sharoitlarda zarrachaning harakati doimo cheklangan sohada sodir bo‘ladi,
shuning uchun (2.2.4) integral yaqinlashuvchidir, bu vaziyatda esa normallash
shartini doimo amalga oshirish mumkin. Ammo juda ko‘p hollarda
ideallashtirilgan funksiyalardan foydalanish qulayroqdir, lekin ular uchun (2.2.3)
dagi integral uzoqlashadi va natijada normallash sharti bajarilmaydi. Misol qilib
de-Broyl yassi to‘lqinni olish mumkin:
ψ
( r , t ) = Aexp [ i
ħ ( pr − Et ) ]
.
Bu holda integralning uzoqlashishi aniqdir;
∫
| ψ ( r , t ) | 2
dV = | A | 2
∫ dV = ∞
.
Shuni aytish kerakki, de-Broyling yassi to‘lqini ideal aniq impulsga ega bo‘lgan
zarrachaga xos. Haqiqatda esa zarracha impulsi kichkina bo‘lsa ham noaniqlikka
ega. Lekin shunga qaramay, de-Broyl to‘lqini fazoda cheklanadi, ya’ni to‘lqin
paketiga aylanadi va integral yaqinlashadi.
2.3-§. Superpozitsiya prinsipi
Endi kvant nazariyasini tuzishda muhim ahamiyatga ega bo‘lgan bir masalani
hal qilishga o‘taylik. Optika kursidan ma’lumki, difraksiya va interferensiya
hodisalari to‘lqinlarning qo‘shilishi, ya’ni ularning superpozitsiyasi bilan
bog‘liqdir. Matematik jihatdan to‘lqinlarning qo‘shila olishligi bevosita Maksvell
tenglamalarining chiziqliligidan kelib chiqadi. Ma’lumki, tenglamaning chiziqliligi
quyidagi ma’noni anglatadi: agar tenglamaning qandaydir yechimlari mavjud
bo‘lsa, ularning istalgan chiziqli kombinatsiyasi ham shu tenglamaning yechimi
37](/data/documents/30a5b6ff-bd94-4bac-8d2b-7356475f0f58/page_37.png)
![Fizik to‘lqinlar o‘zi tarqalayotgan muhitning holatini (akustik to‘lqinlar,
suvdagi to‘lqinlar va hokazo), yoki qandaydir maydon holatini (elektromagnit
to‘lqinlar, gravitatsion to‘lqinlar) belgilaydi. Xo‘sh, de-Broyl to‘lqinlari esa
nimaning holatini belgilar ekan? Modomiki, de-Broyl to‘lqini ayrim zarrachaga
xos ekan, u faqat shu zarrachaning holatini aniqlashga munosibdir. Masalan, de-
Broyl yassi to‘lqini
Aexp [ i ( kr − ωt ) ]
aniq p= ħk impuis va E = ħ ω
energiyaga ega bo‘lgan zarracha holatiga mosdir.
Zarracha uchun superpozitsiya prinsipini qabul qilinishining o‘zi, zarrachalar holati
haqidagi klassik tushunchamizni o‘zgartirishga majbur qiladi. Masalan,
superpozitsiya prinsipiga asosan, tabiatda har xil energiya va impulsli de-Broyl
yassi to‘lqinlarining yig‘indisidan iborat bo‘lgan de-Broyl to‘lqiniga mos keluvchi
holat amalga oshishi mumkin:
Aexp [
i
ħ(pr − Et )]+Bexp [ i
ħ ( p '
r − E '
t ) ¿
.
Ahamiyat beraylik, zarrachaning bu holati endi aniq impuls va aniq energiyaga
ega emas. Klassik fizikaga asosan bunday bo‘lishi mutlaqo mumkin emas.
Haqiqatan ham, klassik fizikaga binoan zarracha vaqtning har qanday momentida
qandaydir aniq impuls va energiyaga ega. Ammo tajribalar bizni superpozitsiya
prinsipini tan olishni taqozo qilar ekan, u holda zarrachani klassik fizika uchun
yo‘q bo‘lgan bu holatlarini mavjudligini ham qabul qilish lozim. Ushbu
g‘ayritabiiy holni ilgariroq, ya’ni de-Broyl to‘lqinlarining ehtimoliy talqinini
ko‘rgan vaqtda anglash lozim edi. Yana bir marta de-Broyl yassi to‘lqinini diqqat
bilan ko‘rib chiqaylik
ψ
( r , t ) = ¿
Aexp [ i
ħ ( pr − Et ) ¿
.
Ushbu holatda, zarracha aniq impuls va energiyaga ega bo‘lsa ham, biz uning
koordinatalari haqida aniq bir ma’lumotga ega emasmiz. Haqiqatan ham, zarracha
bu holatda fazoning istalgan qismida bir xil topilish ehtimoliga egadir, chunki
39](/data/documents/30a5b6ff-bd94-4bac-8d2b-7356475f0f58/page_39.png)
f(n),
bu yerda
χ
A (n) =
{
1,n∈A
0,n∉A.
koordinataning ?????? holatdagi taqsimot funksiyasi F
ψ quyidagiga teng bo‘ladi:
Fψ ( λ ) ¿‖Eλψ‖2=(Eλψ ,Eλψ)=(Eλψ ,ψ)= ∑n∈Z
Eλψ(n)ψ(n)=∑n∈Z
χ¿ψ(n)ψ(n)=∑n≤λ
|ψ(n)|2 .
Xususan bu yerdan ?????? holatda zarrachani A ⊂ Z
to‘plamdan topish ehtimoli
Pψ ( ξ ∈ A) ¿∑n∈A
|ψ(n)|2
ga teng.
Zarracha koordinatasining ixtiyoriy ?????? ∈ ??????
2 (
Z ) holatdagi taqsimoti diskret
bo‘lib, uning taqsimot qonunini quyidagi jadval orqali berish mumkin.
ξ . . . -1 0 1 . . . n . . .
Pψ
. . . |
ψ ( − 1 )| 2 |
ψ ( 0 )| 2 |
ψ ( 1)| 2
. . . |
ψ ( n )| 2
. . .
Erkin harakatlanayotgan zarrachaning energiya operatori
^H quyidagicha aniqlanadi
(
^ H f ) ( n ) = − 1
2 m ( f ( n + 1 ) + f ( n − 1 ) − 2 f ( n ) )
. (3.1.1)
Bu yerda m − ¿
zarrachaning massasi. Energiya operatori
^H ning (3.1.1) tasviriga
koordinat tasvir deyiladi. Bu operator ??????
2 (
Z ) fazoni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi
chiziqli chegaralangan operator bo‘ladi.
49](/data/documents/30a5b6ff-bd94-4bac-8d2b-7356475f0f58/page_49.png)
![Endi bu ??????
2 (Z ) fazoda siljishlar gruppasi deb ataluvchi ^U
s , s ∈ Z , unitar
operatorlar oilasini kiritamiz, bu operatorning f
funksiyaga ta’siri
¿
s f)(n)=f(n+s) s ∈
Z .
ko‘rinishida aniqlanadi. Bu operatorlar ko‘paytirishga nisbatan Abel gruppasini
tashkil qiladi. Ixtiyoriy s, t ∈ Z
lar uchun
^U
s ^U t ¿^U t ^U s ¿^U s+t ^ U
s¿
·
¿ ^ U
− s ¿ ( ^ U ¿ ¿ s ) − 1
¿
(3.1.2)
tengliklar o‘rinli. (3.1.2) tenglikdan
^U
s , s ∈ Z
operatorlarning unitar ekanligi kelib
chiqadi. Energiya operatori
^H ni ^U
s operatorlarning chiziqli kombinatsiyasi
ko‘rinishida ham tasvirlash mumkin.
^ H = − 1
2 m ¿
1 + ^U
-1 - 2^U
0 ) (3.1.3)
(3.1.2) va (3.1.3) tengliklardan quyidagi tasdiq kelib chiqadi.
3.1.1-lemma . Ixtiyoriy s ∈
Z uchun ^U
s ^H ¿^H ^U
s tenglik o‘rinli. Boshqacha
aytganda barcha s ∈
Z lar uchun ^ U
s operator, energiya operatori ^H bilan o‘rin
almashinuvchidir.
(3.1.3) tenglik bilan aniqlangan energiya operatori
^ H
: ??????
2 ( Z ) → ??????
2 ( Z
), o‘z-o‘ziga
qo‘shma chegaralangan operator bo‘ladi.
^H energiya operatorining koordinat
tasviridan impuls tasviriga o‘tish Furye almashtirishi orqali amalga oshiriladi.
F:l
2 ( Z ) → L
2 [− π , π ] (
F ^ f )(p) ¿ 1
√
2 π ∑
n ∈ Z
^ f ( n ) e inp
Murakkab bo‘lmagan hisoblashlar ko‘rsatadiki istalgan s ∈ Z
uchun
(F
^U
s F -1
f)(p) ¿e−isp f(p) ¿ ¿
s f)(p)
tenglik o‘rinli. Energiya operatori H = F
^ H
F -1
ning impuls tasviri L2[−π,π] Hilbert
fazosida quyidagi formula yordamida aniqlanadi:
( H
1 f )( p ) = 1
m ( 1 − cosp ) f ( p ) , f ∈ L
2 [ − π , π ] .
50](/data/documents/30a5b6ff-bd94-4bac-8d2b-7356475f0f58/page_50.png)
![Ma’lumki
ψ
0+ ¿( p) = 1√
2 π ¿
{
ψ
n+ ¿ ( p) = 1√
π cos np ¿
, ψn
−¿(p)=1√πsin np¿ }, n ∈ N
sistema
L2[−π,π] fazoda ortonormal bazis tashkil qiladi.
3.1.1-ta’rif .
ψ0
+¿(p)= 1√2π¿ {
ψn
+¿(p)=1√πcos np¿ ,
ψn
−¿(p)=1√πsin np¿ }, n ∈N
bazis vektorlariga mos holatlarni trigonometrik bazis holatlar deb ataymiz.
Ma’lumki, uzluksiz u funksiyaga ko‘paytirish operatorining spektri u
funksiyaning qiymatlar sohasidan iborat bo‘ladi. Shunday ekan
H energiya
operatorining spektri
σ(H ) = [0, 2
m ] kesmadan iborat. Demak, energiyaning qabul
qilishi mumkin bo‘lgan qiymatlari [0, 2
m ] kesmani tutash to‘ldiradi. Har bir λ ∈
[0, 2
m ] uchun A( λ ) to‘plamni kiritamiz:
A ( λ ) = { p ∈ [ − π , π ] : 1
m ( 1 − cos p ) ≤ λ } = [ − arccos ( 1 − λ m ) , arccos ( 1 − λ m ) ] .
Bu A ( λ )
to‘plamning indikatorini qaraymiz:
χ
A ( λ ) (p) ¿
{ 1 , p ∈ A ( λ )
0 , p ∉ A ( λ ) .
3.1.2-lemma . Energiya operatori H
biri yoyilmasidagi
Eλ spektral proyektorlar
quyidagicha bo‘ladi:
(
Eλf¿(p)=
{
0,λ<0
χA(λ)(p)f(p),0≤λ< 2
m
f(p),λ≥ 2
m
Masalan, 3.1.2-lemmadan energiyaning
ψn+¿¿ bazis holatdagi taqsimot funksiyasi
Fψn+¿¿
uchun quyidagi tenglik o‘rinli:
F
ψn+¿(λ)=
{
0,λ<0 1πarccos (1−λm)+sin(2narccos (1−λm)) 2nπ ,0≤λ<2m
1,λ≥2m
¿
.
51](/data/documents/30a5b6ff-bd94-4bac-8d2b-7356475f0f58/page_51.png)
![(3.2.3) ni hisoblashda integrallash jadvalidan foydalansak teorema isbotiga
kelamiz.
3.2.2-teorema . Zarracha energiyasining Sn−¿¿ , n ≥ 2 holatdagi dispersiyasi
D(
hSn−¿¿ ) = 1
n(3
4− 1
n)
ga teng.
3.3-§. Zarracha energiyasining bazis holatdagi sonli
harakteristikalari
Erkin harakatlanayotgan zarrachaning energiya operatori
^ H
2 quyidagicha
aniqlanadi
(
^ H
2 f ) ( n ) = 1
2 m ( f ( n + 1 ) + f ( n − 1 ) )
, f∈l2(Z) (3.3.1)
Bu yerda
m − zarracha massasi. (3.3.1) ifodaga energiya operatori ^ H
2 ning
koordinat tasviri deyiladi va bu operator o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli chegaralangan
operator bo‘ladi. Energiya operatorining koordinat tasviridan impuls tasviriga
o‘tish Furye almashtirishi orqali amalga oshiriladi:
F : l
2 ( Z ) → L
2 [ − π , π ] ( F
^ f ) ( p ) = 1
√
2 π ∑
n ∈ Z
^ f ( n ) e inp
Energiya operatori
H 2= F ^H 2F−1 ning impuls tasviri L2[−π,π] Hilbert fazosida
quyidagi formula yordamida aniqlanadi :
( H
2 f )( p ) = 1
m ( cosp ) f ( p ) , f ∈ L
2 [ − π , π ] .
Ma’lumki ,
ψ0
+¿(p)= 1√2π¿ {
ψn
+¿(p)=1√πcos np¿ ,
ψn
−¿(p)=1√πsin np¿ }, n∈N sistemalar L2[−π,π]
fazoda ortonormal bazis tashkil qiladi. Bu yerda
{ψ0+¿,ψn+¿,ψ¿¿n∈N¿¿¿ bazis vektorlariga mos
holatlar trigonometrik bazis, { ??????
n (p)},n ∈ Z bazis vektorlariga mos holatlar esa
kanonik bazis deb ataladi. Energiya operatori
H 2 ning spektri σ(H 2)=¿ [ − 1
m , 1
m ]
kesmadan iborat . Demak, energiyaning qabul qilishi mumkin bo‘lgan qiymatlari [
53](/data/documents/30a5b6ff-bd94-4bac-8d2b-7356475f0f58/page_53.png)
![−1
m, 1
m ] kesmani tutash to‘ldiradi. Har bir λ ∈ [
−1
m , 1
m ] uchun
A ( λ ) to‘plamni
kiritamiz:
A ( λ ) = { p ∈ [ − π , π ] : 1
m cosp ≤ λ } = [ − arccos λ m ; arccos λ m ] .
Bu A ( λ )
to‘plamning indikatorini qaraymiz:
χ
A ( λ ) (p) =
{
1,p∈A(λ)
0,p∉A(λ).
3.3.1-lemma . Energiya operatori
H 2 biri yoyilmasidagi Eλ spektral proyektorlar
quyidagicha bo‘ladi :
( E
λ f ¿
( p ) =
{ 0 , λ < − 1
m
χ
A
( λ)( p ) f ( p ) , − 1
m ≤ λ < 1
m
f
( p ) , λ ≥ 1
m
a
− ixtiyoriy kuzatiluvchan miqdor, A
unga mos o‘z-o‘ziga qo‘shma operator
bo‘lib,
D(A) uning aniqlanish sohasi. Kuzatiluvchan a miqdorning ?????? ∈ Ω holatda
o‘rta qiymati, boshqacha aytganda matematik kutilmasini
aψ orqali belgilaymiz.
O‘z-o‘ziga qo‘shma operatorning spektral yoyilmasi haqidagi teoremaga ko‘ra
( A
?????? , ?????? ) ¿
∫
− ∞∞
λ d ( E
λ ψ , ψ )
o‘rinli , bu yerda
Eλ − A operator birining yoyilmasidan
olingan proyektor, E
λ 2
¿ E
λ (proyektorning xossasi) va
Eλ operatorlar o‘z-o‘ziga
qo‘shma bo‘lganligi uchun
(
Eλ ?????? , ?????? ) = ( E
λ 2
?????? , ?????? ) = ( E
λ ?????? , E
λ ?????? ) ¿‖Eλψ‖2
tengliklar bajariladi, shuning uchun
(A ?????? , ?????? )
¿∫−∞
∞
λd(Eλψ,Eλψ) =
∫
− ∞∞
λ d ( E
λ ψ , ψ ) =
∫
− ∞∞
λ d F
ψ ( λ )
54](/data/documents/30a5b6ff-bd94-4bac-8d2b-7356475f0f58/page_54.png)
![kelib chiqadi. Ehtimollar nazariyasi kursidan ma’lumki ∫−∞
∞
λd¿¿ integralning
qiymati taqsimot funksiyasi
Fψ(λ) bo‘lgan tasodifiy miqdorning matematik
kutilmasiga teng. Bu matematik kutilmani biz
aψ bilan belgilaymiz. f ( λ )
− haqiqiy
qiymatli, o‘lchovli va
d ( Eλψ ,ψ ) o‘lchov bo‘yicha deyarli chekli, masalan uzluksiz
funksiya bo‘lsin. U holda
f(A) o‘z-o‘ziga qo‘shma operator aniqlangan.
Kuzatiluvchan
a miqdor λ qiymatni qabul qilganda, f ( λ )
qiymatni qabul qiladigan
kuzatiluvchan miqdorni f ( a )
orqali belgilaymiz.
3.3.2-lemma . Agar ψ ∈ D ( f ( A ) )
bo‘lsa, u holda f ( a )
kuzatiluvchan miqdor ??????
holatda
[ f ( a ) ]
ψ = ( f ( A ) ψ , ψ )
o‘rta qiymatga ega.
Haqiqatan ham
Fψ(λ) − a kuzatiluvchan miqdorning ?????? holatdagi taqsimot
funksiyasi bo‘lsa, o‘rta qiymat formulasiga ko‘ra
∫−∞
∞
f(λ)dF ψ(λ)= ¿∫−∞
∞
f(λ)d(Eλψ ,ψ)=(f(A)ψ ,ψ)¿ (3.3.2)
tenglik o‘rinli. 3.3.2-lemmaga ko‘ra aytish mumkinki f ( a )
kuzatiluvchan miqdorga
mos keluvchi o‘z-o‘ziga qo‘shma operator
f(A) bilan ustma-ust tushadi. Faraz
qilaylik f ( λ ) = λ k
bo‘lsin, u holda
f(A)= Ak bo‘lib,
Akψ= ∫−∞
∞
λkdEλψ
bo‘ladi, 3.3.2 formulaga ko‘ra
( A k
ψ , ψ ) =
∫
− ∞∞
λ k
d ( E ¿ ¿ λ ψ , ψ ) =
∫
− ∞∞
λ k
d F
ψ λ ¿
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Ehtimollar nazariyasi kursidan ma’lumki bu ifoda
aψ tasodiy miqdorning k − ¿
tartibli boshlang‘ich momentidir. Demak quyidagi tasdiq o‘rinli.
55](/data/documents/30a5b6ff-bd94-4bac-8d2b-7356475f0f58/page_55.png)
![sistemada eng muhim fizik miqdorlardan biri bu energiya hisoblanadi. Bizga ikki
o‘lchamli panjara Z2 da erkin harakatlanayotgan kvant tipidagi zarrachaga mos
sistema berilgan bo‘lsin. Zarracha energiyasining qiymati tasodifiy miqdor bo‘lib,
bu tasodifiy miqdorni h
orqali, unga mos o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorni esa H
bilan belgilaymiz. Bir zarrachali sistemaga mos energiya operatori ??????
2 ( Z 2
) Hilbert
fazosida quyidagicha aniqlanadi:
^ H
0 = − 1
2 m ∆
1 − 1
2 m ∆
2
bu yerda m
zarrachaning massasi, ∆
1 = ∆ ⊗ I, va ∆
2 = I ⊗ ∆ bo‘lib, I − ??????
2 (
Z2 ) dagi
birlik operator, ∆ esa panjaradagi standart Laplas operatori, ya’ni
(∆
^ ψ ¿ ( x ) =
∑
j = 12
( ^ ψ( x + e
j ) + ^ ψ( x − e
j ) − 2 ^ ψ( x ) )
^ ψ ∈
??????
2 ( Z2 )
bu yerda e
1 = ( 1 , 0 ) , e
2 = ( 0 , 1 )
lar
Z2 panjaradagi birlik vektorlar. Energiya
operatorining koordinat tasviridan impuls tasviriga o‘tish Furye almashtirishi
orqali amalga oshiriladi:
F : ??????
2 ( Z 2
) → L2(T2),T=[−π,π] , ( F ^f¿(p)= 1
2π ∑n∈Z2
^f(n)ei(n1p1+n2p2)
H
energiya operatorining impuls tasviri Hilbert fazosi
L2(T2), da quyidagi formula
yordamida aniqlanadi:
(Hf )(p)= 1
m (2−cos p1−cos p2)f(p),f∈L2(T2)
Ma’lumki, φ
0 ( p ) = 1
2 π , φ
n ( p ) = 1
2 π e ¿
( p
1 + p
2 )
¿ , n ∈ Z
vektorlar L
2 ( T 2
)
fazoda
ortonormal sistema tashkil qiladi. φ
n holatlarning dastlabki 2 n + 1
tasining
yig‘indisidan tashkil topgan quyidagi holatlar ketma-ketligini qaraymiz:
Sn(p)= φ−n(p)+… +φ0(p)… +φn(p)
√2n+1
n ∈ Z
+ .
Istalgan
n∈Z+¿¿ butun son uchun ‖ S
n ‖ = 1
tenglikni bevosita tekshirib ko‘rish
mumkin. a
kuzatiluvchan miqdorning ?????? holatdagi o‘rta qiymati
aψ va dispersiyasi
D ¿¿
) uchun quyidagi tengliklar o‘rinli
58](/data/documents/30a5b6ff-bd94-4bac-8d2b-7356475f0f58/page_58.png)
Panjaradagi bir zarrachali sistema energiyasi taqsimotining sonli xarakteristikalari Mundarija Kirish …………………………………………………………………………………………3 I BOB. KVANT MEXANIKASINING FIZIKAVIY ASOSLARI 1.1-§. Klassik fizikaning asosiy qiyinchiliklari. ................................................8 1.2-§. Kvant nazariyasining paydo bo‘lishi ………………………………….11 1.3-§. Yorug‘likning kvant nazariyasi ……………………………………….14 1.4-§. Bor postulatlari …………………………………………………………21 II BOB. ENERGIYANING SUPERPOZITSIYA PRINSIPI 2.1-§. Zarrachalarning to‘lqin tabiati. De-Broyl g‘oyasi ……………………28 2.2-§. Koordinatani aniqlash ehtimolligi ……………………………………..35 2.3-§. Superpozitsiya prinsipi ………………………………………………….36 2.4-§. Energiya operatori ………………………………………………………39 2.5-§. Fizik kattaliklarning o‘rta qiymati va dispersiyasini hisoblash ……...44 III BOB. SISTEMA ENERGIYASINING SONLI XARAKTERISTIKALARI 3.1-§. Sistema energiyasi taqsimoti . ………………………………………….47 3.2-§. Sistema energiyasi uchun katta sonlar qonuni ………………………..50 3.3-§. Zarracha energiyasining bazis holatlardagi sonli xarakteristikalari ……………………………………………………………….51 Xulosa …………………………………………………………………………..58 Foydalanilgan adabiyotlar …………………………………………………….59 1
Kirish 1. Masalaning dolzarbligi va uning tarixi . Kvant nazariyasi rivojlanishining boshlang‘ich nuqtasi 1900-yilda M.Plankning nurlanish nazariyasi bo‘yicha qilgan ishidan iborat. Klassik fizika prinsiplarini issiqlik nurlanishi energiyasi taqsimotining spektral analiziga qo‘llash "ultrabinafsha halokatiga"olib keladi: bu holda muvozanatli nurlanish energiyasining zichligi cheksiz katta bo‘ladi. Bu har qanday haroratga modda va nurlanish orasida issiqlik muvozanati bo‘lishi mumkin emasligini anglatadi, shunday ekan, modda energiyani absolyut nol haroratgacha soviguncha taratishi kerak. Nurlanish energiyasi taqsimotining tajriba bilan mos keladigan qonunini olish uchun Plank elektromagnit nurlanish alohida porsiyalar- kvantlar bilan chiqariladi va yutiladi, kvant energiyasi E nurlanishning aylanma chastotasi ω ga proporsianal: E = h ω deb faraz qildi, bu yerda h=1.05 ·10 −27 ergs, h−¿ o‘zgarmas Plank doimiysi deb ataladi. A.Eynshteyn 1905-yilda yorug‘lik diskret kvantlar (fotonlar) bilan nafaqat chiqariladi va yutiladi, balki tarqatiladi ham deb faraz qilib, fotoeffekt qoidasini tushuntirib berdi. Eynshteyn har bir yorug‘lik kvantiga nafaqat Plank formulasiga ko‘ra energiyani, balki uzunligi p yorug‘lik to‘lqini uzunligi λ bilan p= 2πh λ munosabat orqali bog‘langan impuls vektorini ham mos qo‘ydi. Eynshteynning farazini 1923-yilda A.Kompton o‘z tajribasi bilan tasdiqladi. U fotonlar elektronlar bilan to‘qnashganda energiya va impulsning saqlanish qonunlari Plank va Eynshteyn formulalariga asosan bajarilishini ko‘rsatdi. L.de Broyl tomonidan 1924-yilda ko‘rsatilgan munosabatlar, to‘lqinlar va zarrachalar o‘rtasidagi universal dualizmni xarakterlaydi, degan farazni ilgari surdi. Xususan, har qanday zarrachaning harakati bilan de Broyl uzunligi λ = 2 π h p ga teng bo‘lgan to‘lqinni bog‘ladi, bunda p − ¿ zarracha impulsi vektorining uzunligi. Mikrozarrachalarning to‘lqin xossalari keyinchalik K.Devisson va A.Djermerning elektronlarning kristallik panjaralarda difraksiyasi bo‘yicha tajribalarida (1927-yilda) va boshqa tajribalarda topildi. E.Rezerfort tomonidan taklif etilgan va tajribada asoslangan atomning planetar modeli ham klassik fizikaning asosiy qoidalariga zid keladi. Klassik elektrodinamikaga ko‘ra 2
elektronlar yadro atrofida yopiq orbitalar bo‘yicha harakatlanib, har qanday tezlanib harakatlanayotgan zaryadlar singari, elektromagnit to‘lqinlarni chiqarishi kerak. Natijada, energiyani yo‘qota borib, elektronlar 10 − 9 tartibdagi vaqt ichida yadroga qulashi (tushishi) kerak (amalda bu narsa ro‘y bermaydi). Bundan tashqari, klassik mexanikaga ko‘ra elektron istalgan orbita bo‘yicha harakatlanishi va demak, istalgan to‘lqin uzunligidagi yorug‘likni taratishi mumkin, lekin yaxshi ma’lumki ko‘pgina moddalarning nurlanish spektrlari diskretdir. Atomlar tuzilishini tushuntirish uchun N.Bor 1913-yilda klassik fizikaning qoidalarini ularga zid qo‘shimcha postulatlar bilan qo‘shuvchi nazariyani taklif qildi. Xususan, Bor statsionar orbitalar mavjudligini o‘rnatdi. Ular bo‘ylab harakatlanayotgan elektron yorug‘lik tarqatmaydi, bunda elektronning energiyasi faqat diskret qiymatlar qabul qilishi mumkin. Elektron bir statsionar orbitadan boshqasiga o‘tganda energiyasi shu orbitalar energiyalarining ayirmasi bilan aniqlanadigan foton taraladi yoki yutiladi. A.Zommerfeld tomonidan to‘ldirilgan va mukkammallashtirilgan bu nazariyani "eski kvant nazariyasi"deb atashadi. Bor tomondan to‘g‘riroq va ziddiyatlarsiz nazariyani izlash bosqichi sifatida qaralgan eski kvant nazariyasi atom spektrlarining tuzilishini umumiy holda tushuntirish va vodorod atomining hamda bir elektronli ionlarning xossalarini miqdoriy tavsifini berishga imkon yaratdi. Murakkabroq atomlar va molekulalarning xossalarini bu nazariya to‘liq tushuntirib bera olmadi. 1925-yilda B.Geyzenberg atom hodisalarining nazariyasiga yangi yondashuvni belgilab berdi. Uning harakat tenglamalarida elektron koordinatasi va tezliklari o‘rniga ma’lum abstrakt algebraik kattaliklar-matritsalar qatnashadi, tajribada kuzatiladigan fizik kattaliklar (masalan, nurlanish chastotalari va intensivliklari) va matritsalar orasidagi bog‘lanish uchun sodda qoidalar berildi. Geyzenbergning bu ishlari Born va Yordanlar tomonidan shakllantirildi. Shunday qilib matritsaviy mexanika vujudga keldi. Unda fizik miqdorlar sonlar yoki sonli funksiyalar bilan emas, balki cheksiz matritsalar bilan ifodalangan. Shryodinger de Broylning g‘oyalarini rivojlantirib, 1926-yilda to‘lqin mexanikasini yaratdi. Unda fizik miqdorlarning qiymatlarini hisoblash chiziqli differensial operatorlarning xos qiymatlarini topishga keltiriladi. 3
Shryodinger va boshqa mualliflar matritsaviy va to‘lqin mexanikalari bitta nazariyani bayon qilishning ikki usuli ekanligini o‘rnatganlaridan keyin bu nazariyani kvant mexanikasi deb atasha boshlashdi. Kvant mexanikasi formal apparatini qurish asosan yigirmanchi yillarning oxiriga kelib va talqin qilish masalalari keyingi yillarda ham faol muhokama etildi. Kvant mexanikasi apparatining qat’iy matematik asoslanishi yigirmanchi va o‘ttizinchi yillar oralig‘ida I.fon Neyman tomonidan ishlab chiqildi. Kvant mexanikasi atomlar va molekulalar kabi mikroskopik obyektlar hamda (impuls ta’siri yoki momenti kabi) fizik xarakteristikalari miqdoriy jihatdan Plank doimiysi bilan taqqoslanadigan jarayonlarni o‘rganish uchun qo‘llaniladi. Makroskopik obyektlar, ya’ni odatdagi o‘lchamli obektlar uchun Plank doimiysining kattaligini e’tiborga olmas darajada kichik deb hisoblash mumkin. Insonning sezgi organlari odatda mikroskopik hodisalarni bevosita qabul qila olmaydi. Shu sababli mikroobektlarning harakatini o‘rganish uchun harakati klassik mexanika doirasida ifodalanadigan asbob vositachiga muhtojmiz. Mikroobektning qandaydir fizik miqdorini o‘lchash uchun mikroobektni asbob bilan o‘zaro ta’sir qilishga majbur etish kerak. Bu o‘zaro ta’sir natijasida asbobning makroskopik holati o‘zgaradi, ya’ni o‘lchash akti yuz beradi. Odatda mikroobekt asbob bilan o‘zaro ta’sir qilganda ko‘chkisimon jarayonni (masalan Vilson kamerasida bug‘ kondensatsiyasini) chaqiradi, bu esa asbobning makro holatining o‘zgarishiga olib keladi. Umumiy holda o‘lchash natijasini oldindan aniq aytib berish mumkin emas ekan (hatto o‘lchash o‘tkaziladigan sharoitlar haqida barcha mumkin bo‘lgan malumotlar to‘planganda ham). O‘lchash natijasi tasodifiy miqdor bo‘lib, kvant mexanikasida bunday miqdorlarning taqsimot qonunlari o‘rganiladi. Qiymatlarini tajribada aniqlash mumkin bo‘lgan fizik miqdorlar kuzatiluvchan miqdorlar deyiladi. O‘lchash natijalari haqiqiy sonlar deb hisoblanadi. Kvant mexanikasining asosiy postulatlari I. fon Neyman tomonidan taklif etilgan bo‘lib biz ularga ishning II bobida to‘xtalib o‘tamiz. 2. Masalaning qo‘yilishi . Ushbu magistrlik dissertatsiyasida panjaradagi bir zarrachali sistema energiyasi taqsimotining sonli xarakteristikalarini qaraymiz. 4
Bunday zarracha holatlar fazosi Ω− Z da aniqlangan va kvadrati bilan jamlanuvchi Hilbert fazosi l2(Z) ga izomorf. Zarracha energiyasi H Hilbert fazosida aniqlangan o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘ladi. Erkin zarracha energiyasining bazis holatlardagi taqsimoti o‘rganiladi. 3. Ishning maqsadi va vazifalari . Erkin zarracha energiyasining taqsimotini topish bu taqsimotning sonli xaraktrestikalarini o‘rganish. 4. Ilmiy tadqiqot metodlari. Ushbu magistrlik dissertatsiyasini bajarish jarayonida ehtimollar nazariyasi elementlaridan, o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlarning spektral nazariyasidan, tasodifiy miqdorlar va taqsimotlar nazariyasi metodlaridan va xossalaridan foydalanildi. 5. Ishning ilmiyligi . Magistrlik dissertatsiyasi ishida olingan natijalardan kvant mexanikasi masalalarini, o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlarning spektral xossalarini tekshirishda, matematik fizika masalalarini tadqiq qilishda foydalanish mumkin. 6. Ishning amaliy ahamiyati . Magistrlik dissertatsiya ishida to‘plangan materiallardan kvant mexanikasi, statistik fizika va matematik statistika fanlaridan labaratoriya mashg‘ulotlari va amaliyot darslarida foydalanish mumkin. 7. Ishning tuzilishi . Magistrlik dissertatsiyasi kirish qismi, uch bob, 12 ta paragraf, xulosa qismi hamda, o‘z ichiga 19 ta adabiyotni olgan foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. Belgilashlar uch raqamli bo‘lib, ular orasi nuqta bilan ajratilgan. Birinchi raqam bob nomerini, ikkinchi raqam esa paragraph nomerini, uchinchi raqam tartib nomerini bildiradi. Masalan, 2.1.1-teorema yozuvi ikkinchi bob, birinchi paragrafning birinchi teoremasi ekanligini bildiradi, yoki (1.1.4) belgilash birinchi bob, birinchi paragraf to‘rtinchi formula ekanligini anglatadi. Kirish qismida esa belgilashlar bitta raqamli. Dissertatsiya oxirida xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati keltirilgan. Olingan natijalarning qisqacha bayoni. Birinchi bobda kvant nazariyasining paydo bo‘lishi, Bor postulotlari. Ikkinchi bobda zarrachaning to‘lqin tabiati, koordinatani aniqlash ehtimolligi, energiya operatori keltirilgan. Uchinchi bob uch paragrafdan iborat bo‘lib, 3.1− 5