Chiziqli t е nglamalar sist е masini y е chish. ChTS y е chish masalasini qo’yish va ularni е chish uchun MATLAB funksiyalari. Masalar y е chish Reja: 1. Chiziqli tenglamalar sistemasi(CHTS); 2. CHTS ni yechish usullari; 3. CHTS ni yechishda Matlab usullari; 4. CHTS ga doir misollar.

1.Chiziqli tenglamalar sistemasi(CHTS). Juda ko’p masalalarni hal qilishda CHTS ga duch kelamiz. Umumiy holda CHTS ning umumiy ko’rinishi quyidagicha bo’ladi.{ a11x1+a12x2+… +a1nxn= b1 a21x1+a22x2+… +a2nxn=b2 … … … … … … … … … … … … … … … an1x1+an2x2+… +annxn= bn (1) Bu yerda x 1 , x 2 , …, x n - noma’lum o’zgaruvchilar, a 11 , a 12 , …, a nn , va b 1 , b 2 , … , b n lar haqiqiy sonlar. (1) Tizimining yechimi deb uni tenglamalarni ayniyatlarga aylantiruvchi x 1 ,x 2 ,…, x n sonlarga aytiladi. CHTS ni vektor ko’rinishda quyidagicha yozish mumkin: Ax=b (2) Bu yerda A= [ a11 ,a12 ,… ,a1n a11 ,a12 ,… ,a2n … … … … … … … … a11 ,a12 ,… ,ann ] (nxn) o’lchovli matritsa, X= [ x 1 x 2 … x n ] (nx1) o’lchovli noma’lum vector ustun, b= [ b 1 b 2 … b n ] (nx1) o’lchovli ozod had deb ataluvchi vector ustun.

A*=[A,b]-kengaytirilgan matritsani kiritamiz. Chiziqli algebra kursidan ma’lumki (Kronel-Kapelli teoremasi) A va A* matritsalarning ranglari teng bo’lsa (1) yoki (2) sistemaning yechimi mavjud bo’ladi. 2.CHTS ni yechish usullari. ChTS ni yechishning aniq usullaridan keng qo’llaniladiganlari Gauss, Kramer va teskari matritsa usullaridir, taqribiy usullarga esa itiratsiyalar, Zeydel va kichik kvadratlar usullarni keltirish mumkin. Aniq usullardan Kramer usulini ko’rib chiqamiz: Buning uchun det(A)≠0 bo’lishi kerak. Usulni to’liq keltirish uchun asosiy A matritsani k-ustun elementlari ozod had b bilan almashtirib A k , k=1,n matritsalar hosil qilamiz. U holda det(A)≠0 shart asosida yechimni topish uchun x k = det ⁡ ( A k ) det ⁡ ( A ) , k=1,2,…,n tengliklardan foydalanish mumkin. Taqribiy usullardan iteratsiya usulini keltiramiz. Buning uchun (1) sistemani quyidagicha ko’rinishga keltiramiz: { x1= β1+α12x2+α13x3+… +α1nxn, x2= β1+α21x1+α23x3+… +α2nxn, … … … … … … … … … … … … … … … … … … … xn= βn+αn1x1+αn2x2+… +αnn−1xn−1 (3) Bu yerda βi= bi aij , αij= − aij aii , i≠j, αij= 0,i= j,i,j=1,2 ,… ,n. U holda α = [ α 11 α 12 … α n α 21 α 22 … α n 1 … … … … … … … α 11 α 12 … α n 1 ] , β= [ β 1 β 2 … β n ] belgilashlar kiritib (3) ni quyidagicha yozib olamiz. x= β+ α x (4)

(4) sistemani ketma-ket yaqinlashish (iteratsiya) usuli bilan yechamiz. Boshlang’ich yaqinlashish uchun x (0) = β ozod hadni olamiz va ketma-ket keyingi yaqinlashishlarni hosil qilamiz: x (1) = β+α x (0) ; x (2) = β+ α x (1) ; …………………… x (k+1) = β+ α x (k) ; Agar x (0) , x (1) ,…, x (k) ,… sonlar ketma-ketligi limitga ega bo’lsa, u holda bu limit (3) yoki (4) sistemaning yechimi bo’ladi. Yaqinlashishlarni ochiq holda quyidagicha yozish mumkin: x i( 0 ) = β i , x i( k + 1 ) = β i + ∑ j = 1 j ≠ in α ij x i( k ) , i= 1,n , k=0,1,2,… (5) Yechimni taqribiy hisoblashning ana shunday usuli iteratsiya usuli deyiladi. Iteratsiya protsessining yaqinlashuvchi bo’lishini yetarli shartini quyidagicha teoremada keltiramiz: Teorema: Agar o’zgartirilgan (3) sistema quyidagi shartlardan 1) ∑ j = 1n ¿ α ij ∨ ¿ < 1 ¿ , i=1,2,…,n. 2) ∑ i = 1n ¿ α ij ∨ ¿ < 1 ¿ , i=1,2,…,n. biri bajarilsa, u holda bu sistema uchun hosil qilingan (5) iteratsiya jarayoni yagona yechimga yaqinlashuvchi bo’ladi, ixtiyoriy boshlang’ich nuqta x (0) uchun. Vektor ko’rinishidagi (2) sist е mani detA≠0 bo’lgan holda teorema shartini qanoatlantiradigan sistemaga keltirish mumkin: (A -1 -ε)Ax=Db, D= A -1 -ε; (6) ε =[ εij ]-yetarli kichik sonlardan iborat bo’lgan matritsa (6)dan quyidagini olamiz.

x=β+αx, (7) bu yerda α=ε A, β=Db, bo’lib Σ ij lar yetarli kichik qilib olinsa teorema shartlari bajariladi. 3.CHTS ni yechishda Matlab usullari. CHTS ni yechish uchun Matlab funksiyalari (usullari) juda ko’p bo’lib, biz ulardan bir nechtasini keltiramiz. Birinchi usul “chapdan bo’lish” usulidir: 1) x=A\B 2) x=isqnonneg(A,B)-Ax=B chiziqli tenglamalar sistemasini kichik kvadratlar usuli bilan yechadi. Bunda A-(nxn) o’lchovli, B-(nx1) o’lchovli, x i ≥0, i=1,2,…,n. Minimallashtirish kriteriyasi: B-Ax ning ikkinchi normasini minimallashtirish; 3) x=isqnonneg(A,B,x0)-Iteratsiyalar uchun chiziqli tenglamalar sistemasining aniq berilgan nomanfiy boshlang’ich qiymatlarda yechib beradi; 4) [x,w]=isqnonneg(…)-yechim bilan birga qoldiqlar vektori kvadrati ikkinchi normasini qaytaradi; 5) [x,w,w1]=isqnonneg(…)-xuddi avvalgi buyruq kabi, yana qoldiqlar vektori w1 ni qaytaradi; 6) bicg(A,B)-Ax=B ning x yechimini qaytaradi; A(nxn), B(nx1). Bunda hisoblash iteratsiyalar yaqinlashguncha yoki min{20,n} gacha bajariladi; 7) bisc(A,B,tol)-yechimni tol xatolik bilan qaytaradi; 8) bisc(A,B,tol,maxit)-avvalgi buyruq kabi, yechimni undan tashqari maxit-maksimal iteratsiyalar soni bilan qaytaradi. 4.CHTS ga doir misollar. 1.Tenglamalar sistemasini chapdan bo’lish va 2), 3) buyruqlar yordamida yeching va Kramer usulida yechilgan bilan solishtiring.