Mavzu:Geometrik o’xshashliklar va almashtirishlar. Masalalar yechish usullari Reja 1. Geometrik almashtirish 2. Almashtirishlar gruppasining umumiy xossalari 3. Yasashga doir masalalar

Geometrik almashtirish — to g ri chiziq, tekislik yoki fazoni o zaro birʻ ʻ ʻ qiymatli akslantirish; ma lum qonuniyat va qoidalarga asosan berilgan figuradan ʼ yangi figura hosil qilish. Masalan, o q simmetriyasi yoki markaziy simmetriya — ʻ eng oddiy G. a. Uni quyidagicha ta riflash ham mumkin. Ma lum qoida asosida ʼ ʼ tekislikning har bir M nuqtasiga shu tekislikdagi aniq Af nuqta mos keltirilsa, tekislikdagi nuqtalarni almashtirish yo li aniqdangan yoki qisqacha, almashtirish ʻ berilgan deyiladi va bu ramziy tarzda quyidagicha ko rsatiladi: f(M)=M\ Bundagi M’ ʻ nuqta M nuqtaning obrazi (aksi), M nukta esa M’ nuqtaning pro-obrazi (asli) deyiladi, / ramzi almashtirishning nimadan iboratligini ko rsatadi. M’ nuqtaning ʻ vaziyati M nuqtaning vaziyatiga bog liq bo lgani uchun Af nuqta M nuqtaning ʻ ʻ argumenta, M nukta esa Af nuqtaning funksiyasi deyiladi. Figuralar analitik usulda ham almashtirilishi mumkin. Geometriyada har bir nuqtaning pro-obrazi bittagina nukta bo lgan obrazlarni hosil qiluvchi G. a.lar muhim. Bunday G. a., odatda, o zaro ʻ ʻ bir qiymatli almashtirish deyiladi. Geometriyada uchraydigan hamma o zaro bir ʻ qiymatli almashtirishlar ichida harakat deb ataluvchi G. a. muhim o rin tutadi (har ʻ qanday ikki M va N nuktani tutashtiradigan almashinuvchi figuraning MN kesmasi shu nuqtalarning obrazlari M’ va N’ ni tutashtiruvchi kesmaga teng bo lsa, bunday ʻ almashtirish harakat deb ataladi). Geometriyada ayrim almashtirishlar bilan bir qatorda G. a.lar to plami ham ahamiyatli. Bulardan gruppa deb atalgan to plamlar ʻ ʻ yana ham muhimroq. G. a.lar geometriyaning yetakchi va samarali yo nalishlaridan ʻ biri hisoblanadi. Bir qancha figuralarni nuqtalar to’plamidan tuzilgan to’plam deb qarash mumkin. Masalan, ko’pburchakning tomonlaari va dioganallari to’plami, bitta aylanaga urinuvchi to’g’ri chiziqlar to’plami, prizma yoqlari va dioganal kesimlari to’plami, bitta sferaga urinuvchi tekisliklar to’plami va xokazo. Ta’rif: Tekislik nuqtalari to’plamidan iborat biror geometrik figurani ma’lum qonun qoida yordamida almashtirib, shu tekislikning ikkinchi bir figurasiga o’tkazish geometrik almashtirish deyiladi. Tekislikna nuqta atrofida burish, markaziy simmetriya, o’q simmetriyasi,

parallel ko’chirish va gomotetiyalar geometrik almashtirishning eng sodda ko’rinishlaridandirsimmetriya, o’q simmetriyasi, parallel ko’chirish va gomotetiyalar geometrik almashtirishning eng sodda ko’rinishlaridandir. Ta’rif: ma’lum qoida asosida tekislikning har bir M nuqtasiga shu tekislikdagi nuqta mos keltirilsa, tekislikdagi nuqtalarni almashtirish yo’li aniqlangan yoki qisqacha, almashtirish berilgan deyiladi va bu simvolik ravishda quyidagicha ko’rsatiladi: f ( M ) = Bundagi nuqta M nuqtaning obrazi, M nuqta esa nuqtaning proobrazi deyiladi. Bundagi f simvoli almashtirishning nimadan iboratligini ko’rsatadi. Almashtirishlar gruppasining umumiy xossalari; 1. Almashtirishlar to’plami dagi har qandayikki almashtirishning ko’paytmasi (yoki yig’indisi) yana shu to’plamga tegishli almashtirish bo’ladi. Almashtirishlar gruppasining bu xossasiga qisqacha almashtirishlar to’plamining yopiqlik xossasi deyiladi. 2. Almashtirishlar to’plami dagi ixtiyoriy uchta almashtirishni ko’paytirish assotsiativlik qonuniga boysunadi : to’plamga qarashli ixtiyoriy uchta f 1, f 2, f 3 almashtirishlar uchun ushbu (f 1 * f 2 * ) * f 3 = f 1 *( f 2 * f 3 ) munosabat bajariladi. 3. Almashtirish to’plamida -birlik f 0 almashtirishga ega, ya’ni u almashtirish figurani aslicha qoldirish xossasiga egadir.

to’plamdagi har qanday almashtirish teskari almashtirishga egadir, ya’ni to’plamdagi har bir f almashtirishga teskari f -1 almashtirish mavjud, bu almashtirish shu to’plamga kiradi va f * f -1 = f -1 * f = f 0 bo’ladi Figuralarni almashtirish analitik ususlda ham berilishi mumkin, bularni quyidagi misollar orqali ko’rib chiqamiz: chizmadagi OX o’qida yotgan nuqtalarni y=kx tenglama yordamida kordinatalar boshidan o’tuvchi to’g’ri chiziqdagi nuqtalarga almashtirish mumkin. Buning uchun OX o’qdagi M(x, O) nuqtaga koordinatalari x va y=kx bo’lgan nuqtani mos keltirish mumkin. Bu to’g’ri proporsionallik grafigini beradi. Agar M nuqta OX o’q bo’yicha siljisa unga mos nuqta OA to’g’ri chiziq bo’yicha harakatlanadi. Ixtiyoriy AOB o’tkir burchakning bir tomonidagi nuqtalarni uning ikkinchi tominidagi nuqtalarga turlicha almashtirish mumkin. Ulardan biri OB tomon nuqtalariga shu nuqtalarning AO tomondagi ortogonal proeksiyalarini mos keltirishdir. AOB burchakning OB tomonidagi M,N,..., nuqtalarga AO tomondagi , ,…, nuqtalarni shu burchakning

bissektrissasiga o’tkazilgan perpendikulyar vositada mos keltirish mumkin. OB nurdagi har qanday nuqtaga shu almashtirishga asosan OA nurdan unga mos bo’lgan nuqatani topish mumkin shuning uchun quyidagilarni yoza olamiz: 3-chizma f(M)= , f(N)= ,… xuddi shunday OA nurning har bir nuqtasi uchun OB nurda aniq bir M nuqtani topish mumkin, ya’ni quyidagialr o’rinlidir. f -1 (M)= , f -1 (N)= ,… shuning uchun bundagi aks ettirishlar qaytama almashinish bo’ladi. y=x 2 tenglama bilan berilgan parabola nuqtalariga uning simmetriya o’qi OY ning nuqtalarini mos keltirish mumkin. Buning uchun parabolada yotgan M 1 nuqtaning absisasi x bo’lsa, (O,x 2 ) nuqtani unga mos keltiramiz. nuqta M 1 nuqtaning OY dagi ortogonal proeksiyasi deb ham qarash mumkin. OY obrazining 0 dan boshqa har qanday nuqtasi 2 ta proobrazga ( va M 2 nuqtalarga) egadir.