logo

KOMPLEKS SONLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR

Загружено в:

08.08.2023

Скачано:

0

Размер:

873.5 KB
“ KOMPLEKS  SONLAR  VA  ULAR  USTIDA  AMALLAR ” 
M U N D A R IJA
Kirish  .
 I BOB.  Algebraik shakldagi kompleks 	sonlar va ular ustida amallar	.
1.1 Qo’shish amali.
1.2 Ayirish amali.
1.3 Ko‘paytirish amali.
1.4 Bo‘lish amali.
II BOB.  . Trigonometrik shakldagi kompleks sonlar va ular ustida amallar.
III BOB.  Tr i gonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarni ko’paytirish, 
bo’lish,darajaga ko’tarish.
IV BOB. 	
Kompleks sondan ildiz chiqarish.	
V BOB. 
Prеzеntatsiya namoyishlar 
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar  Samarqand Davlat Universiteti xuzuridagi pedagog kadirlarni qayta tayyorlash va ularni
malakasini oshirish mintaqaviy  markazining  “Matematika” fani o’qituvchisi
Babakulova Dilbarningning  “Kompleks sonlar va ular ustida amallar” ”
                                    Mavzusidagi
Bitiruv ishiga ilmiy raxbarning 
X U L O S A S I
Bugungi   kunda   ta’lim   jarayonida   matematika ga   bo’lgan   talab   borgan   sari
ortib bormoqda. Fan ta’lim rivojlangan sari  Axborot texnologiyalarining ham yangidan
yangi turlari  ko’plab imkoniyatlari yaratilmoqda. Axborot texnologiyalari nafaqat ta’lim
tizimida   balki   barcha   sohalarda   ham   qo’llanilib   kelinmoqda.   Xozirgi   vaqtda   biror   bir
sohani  matematikasiz  tasavvur qilish qiyin. 
                                 Ushbu Bitiruv Malakaviy Ishida Komplek sonlar va ular ustida amallarini
misol   va   masalalar   bilan   yoritib   berilgan.   Shu   bilan   birga   slaytlar   bilan   yanada     to’liq
yoritib bera olgan .
Babakulova Dilbar tomonidan tayyorlangan    “Komplek sonlar va ular ustida 
amallar”  mavzusidagi Bitiruv ishi o’rnatilgan talablarga mos ravishda tayyorlangan va 
talab qoidalarga to’liq mos keladi.  Mavzuni  o’rganuvchi uchun oson qilib yoritib 
bergan. Ushbu Bitiruv Malakaviy ishini ijobiy tomondan baholash mumkin deb 
xisoblayman.
Ilmiy Raxbar:                                                                               N.Ravshanova KIRISH
Mavzuning   dolzarbligi.   Mustaqillikka   erishilgandan   keyin   barcha
sohalardagi   kabi   ta`lim   tizimida   ham   jiddiy   islohatlar   amalga   oshirildi,   ta`limning
sifatini yaxshilashga kirishildi.
Ta`lim   berishning   yangi   usullari   joriy   qilina   boshlandi.   Shulardan   eng   asosiysi
o`quvchilarga   yangi   pedagogik   texnologiya   asosida   dars   berish   masalasi.   Bu
usulni   matematika     sohasida   ishlashga   ham   tadbiq   qilish   yangi
samara   berishi   amalda   tasdiqlandi.   O`quvchilarning   badiiy   didini   o`stirish,
dunyoqarashini   kengaytirish   uchun   ularning   kompyuter   va   zamonaviy
tehnalogiyalar   asosida   ishlashi   juda   muhim.   Buning   usullarini   ishlab   chiqish   esa,
hech   qachon   dolzarbligini   yo`qotmaydi.   Biz   mazkur   bitiruv   ishimizda   bu   xususida
o`z   taklif   va   mulohazalarimizni   ifodalashga   harakat   qilamiz.
                  Jamiyatning   barcha   qatlamlarini,   ayniqsa,   yoshlarni   yuksak   ma`naviyat   va
ma`rifat   sohibi   qilib   tarbiyalash   bugungi   kunning   dolzarb   masalasidir.
Kursni   tugatish   ishining   maqsadi.     Bitiruv   makalaviy   ishimizni   yozishdan
asosiy   maqsadi   o’quvchilarga   o’z   sohamiz   bo’yicha   to’g’ri   tarbiya   berish   bilan   birga
Kompleks   sonlar   va   ular   ustida   amallarni   o’rgatish   usullarining   eng
qulay va sodda tartibda o’rgatish yo’llari haqida bayon qilamiz.  
Kursni   tugatish   ishining   obyekti.   Kasb-hunar   maktabi   o’quvchilari   va
pedagoglar.   Mazkur   kurs   ishi   kompleks   sonlar   va   ular   ustida   amallar   oid   manbalar   va
uslubiy tavsiyalarni o`z ichiga oladi.  I BOB. 1. Algebraik shakldagi kompleks 	sonlar va ular ustida amallar	.
Kompleks sonlar ta'limoti ilm-u fanda, xususan, ma tematikada alohida o'rin tutadi. Tez
rivojlanayotgan   bu   soha   texnikada,   shuningdek   ishlab   chiqarishning   ko'plab   so halarida
g'oyat keng qo'llanishga ega. Shu sonlar haqida  ayrim ma'lumotlarni keltiramiz. Xususiy
bir misoldan boshlaylik.
x 2
 + 4 = 0 tenglamani yechish jarayonida x
1  = 2   va   x
2   = -2     «sonlar» hosil
bo'ladi. Haqiqiy sonlar  orasida esa bunday «sonlar» mavjud emas. Sunday holatdan  qutulish
uchun     ga son deb qarash zarurati paydo  bo'ladi.
Bu   yangi   son   hech   qanday   real   kattalikning   o'lchamini   yoki   uning   o'zgarishini
ifodalamaydi.   Shu   sababli   uni   mavhum   (xayoliy,   haqiqatda   mavjud   bo'lmagan)   birlik
deb   atash   va   maxsus   belgilash   qabul   qilingan:     = i.   Mavhum   birlik   uchun   i 2
=-l
tenglik o'rinlidir.
a  +  bi  ko'rinishdagi ifodani qaraymiz. Bu yerda  a  va  b  lar istalgan haqiqiy sonlar, i esa
mavhum birlik.
  a + bi    ifoda    haqiqiy  son  a  va mavhum son    bi  lar «kompleksi»dan  iborat bo'lgani uchun
uni kompleks son deb atash qabul  qilingan.
a + bi  ifoda  algebraik shakldagi kompleks  son deb  ataladi, bu yerda  a R, b R, i 2
 = -
1.  Bu paragrafda 
a   +   bi   ni   qisqalik   uchun   «algebraik   shakldagi   kompleks   son»   deyish   o'rniga
«kompleks son» deb ishlataveramiz. Kompleks sonlarni bitta harf bilan belgilash qulay.
Masalan,   a + bi ni  z = a + bi   ko'rinishda belgilash mumkin.z =a + bi   kompleks sonning
haqiqiy   qismi   a   ni   Re(z)   (fransuzcha   reele   -   haqiqiy)   bilan,   mavhum   qismi   b   ni   esa
Im(z)(fransuzcha imaginaire — mavhum) bilan  belgilash qabul qilingan:       a=  Re(z),
b = Im(z).
Agar   z=a   +   bi   kompleks   son   uchun   b=0   bo'lsa,   haqiqiy   son   z   =   a   hosil   bo'ladi.
Demak, haqiqiy sonlar   to'plami  R  barcha  kompleks sonlar to'plami  C  ning qism   to'plami
bo'ladi  R  C.
1 - m i s o l .   z
1  = l+2i, z
2  = 2-i, z
3  =  2 , 1 ,  z
4  = 2i, z
5 =   0 kompleks sonlarning haqiqiy va
mavhum qismlarini topamiz.
Yechish.   Kompleks   son   haqiqiy   va   mavhum   qismlarining   aniqlanishiga   ko'ra,
quyidagilarga egamiz:
Re(z
1 )=l; Re(z
2 ) = 2; Re(z
3 ) = 2,l; Re(z
4 ) = 0; Re(z
s )=0; 
Im(z
1 )=2; Im(z
2 ) = -i; Im(z
3 ) = 0; Im(z
4 )  = 2i;  Im(z
s )  =  0.
Kompleks   sonlar   uchun   «   <   »,   «   >   »   munosabatlari   aniqlanmaydi,   lekin   teng
kompleks   sonlar   tushunchasi   kiritiladi. Haqiqiy   va   mavhum   qismlari   mos   ravishda   teng
bo'lgan  kompleks sonlar  teng kompleks sonlar  deb ataladi.  Masalan, z,  = 1 , 5  +   va  z
2
= + 0,8i sonlari uchun
Re(z
1 ) = Re(z
2 ) = l,5,  Im(z
1 )  =  Im(z
2 )  =  0,8. Demak,  z
1  =  z
2
Bir-biridan faqat mavhum qismlarining ishorasi bilan   farq qiladigan ikki kompleks son
o'zaro qo'shma kompleks son lar  deyiladi.  z =a+ bi  kompleks songa qo'shma kompleks  son
= a-bi   ko'rinishda   yoziladi. Masajan,   6+  7i  va  6-   7i   lar  qo'shma kompleks sonlardir:
 = 6-7i. Shu kabi    soniga qo'shma son 
  = z   bo'ladi. Masalan,     =   =6+7i.   a  haqiqiy songa qo'shma son  a  ning o'ziga	
teng:	
=	= a - 0	i =a.  	Lekin 	bi 	mavhum songa 	qo'shma son 	=-bi  	dir. Chunki  	=	
=0-bi=-bi,   a ,   b   R. .  Kompleks sonlar ustida arifmetik amallar quyidagicha 	aniqlanadi:	
(a + bi	) + 	(c + di	) = 	(a + c) 	+ 	(b + d	)i;	(1)	
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + 	(b- d	)i;	(2)	
(a + 	b i )		( c	 + di	) = 	(ac - bd	) + (ad + 	bc)i             	(3)
                                        (4)   	
(1) va (2) tengliklarni bevosita qo'llash qiyin emas.  	Kompleks sonlarni ko'paytirish	
amalini i	2 = -1 ekanligini 	e'tiborga olib, ko'phadlarni ko'paytirish kabi bajarish 	mumkin.	
2 - m i s o l .    	  ( 2 - i )	(	+   2 i ) = 2		  +   2	2 i - i		- 2 i	2  =	+   4 i -	i +   2 =	+	i .	
  (4) formulani eslab qolish va amaliyotda bevosita qo'l	lash  ancha qiyin. Shu sababli	
 ni hisoblash uchun,	uning surati va maxrajini c - 	di 	ga ko'paytirib, tegishli amal	larni	
bajarish qulaydir.
3-misol  
.
   
Kompleks sonlarni qo'shish va ko'paytirish amallari  	xossalari haqiqiy sonlarnikiga	
o'xshash;
1)	
z + w= w + z;	1')	 zw = wz;
2)	
(z + w) + t = z+(w + t);             	2 ' )	 (zw)t=z(wt);
3) z + 0= z;    3' )   z  l =   z ;	
4)	z(w +t) = zw +zt.	
z +w = 0 tenglikni qanoatlantiruvchi 	z, w 	kompleks 	sonlari o'zaro qarama-qarshi sonlar	
deyiladi. 	z kompleks 	soniga qarama-qarshi sonni 	-z 	bilan belgilash qabul 	qilingan. z	 = a	
+ bi 	kompleks songa 	qarama-qarshi 	bo'lgan 	yagona kompleks son mavjud va bu son 	–	
z=-a- bi 	komp	leks sonidan iborat.	
zw=1   	tenglikni  qanoatlantiradigan  	z  	va  	w  	kompleks  	sonlari o'zaro teskari kompleks	
sonlar deyiladi. z = 0 soniga  	teskari   son   mavjud   emas.   Har   qanday   z	0     kompleks	
songa teskari kompleks son mavjud.  Bu son  	- sonidan  	iborat.  	z = a + bi  	kompleks	
songa teskari bo'lgan  	 sonini 	topamiz:
bunda  i 2
 har safar  -1  ga almashtiriladi. 1.   Qo’shish amali.   z
1 =a
1 +b
1 i   va   z
2 =a
2 +b
2 i   kompleks sonlarning yig‘indisi deb haqiqiy
qismi   qo’shiluvchi   kompleks   sonlar   haqiqiy   qismlarining   yig‘indisiga,   mavhum
qismi   ularning   mavhum   qismlarining   yig‘indisiga   teng   bo‘lgan     z     kompleks   songa
aytiladi va u quyidagicha yoziladi:
z=( a
1 + a
2 ) + (b
1 + b
2 )i
Misol:  (5-3i) + (3+3i)=(5+3) + (3-3)i= 8
            (2+5i) + (-2+5i)=(2-2) + (5+5)i= 10i
2.   Ayirish   amali.   z
1 =a
1 +b
1 i     kompleks   sondan   z
2 =a
2 +b
2 i   kompleks   sonning   ayirmasi
deb   z
1   va   z
2   ga qarama – qarshi bo‘lgan   –   z
2   sonlarning yig‘indisidan iborat bo‘lgan
kompleks songa aytiladi:
z = z
1  + (-z
2 )= ( a
1  - a
2 ) + (b
1  - b
2 )i
Misol:  (10+2i) – (3 - 4i) = (10 - 3) – (2+4)i = 7+6i
             (4+5i) – (3+5i)= (4 - 3) – (5 - 5)i = 1
3.   Ko‘paytirish amali .   z
1 =a
1 +b
1 i   va   z
2 =a
2 +b
2 i   kompleks sonlarning                            
ko‘paytmasi deb 
z=  α
1 ×  α
2 =(a
1 a
2  – b
1 b
2 ) + (a
1 b
2  + a
2 b
1 )i
     kompleks songa aytiladi. Kompleks sonlarni ko‘paytirganda  i 2
=-1 , 
      i 3
=  -i ,  i 4
=  i 2
×i 2
=1,  i 5
=i   va hokazo, umuman k butun bo‘l ganda  i 4k
=1, i 4k+1
=i, i 4k+2
= -1 ,
i 4k+3
=-i   ekanligini e’tiborga olish kerak.
Misol:  (5+2i)(3-4i)= 23-14i
             (2+i)(2-i)= 4+1=5
4.   Bo‘lish  amali.   z
1 =a
1 +b
1 i     kompleks  sonning   z
2 =a
2 +b
2 i   kompleks  songa   bo‘l  inmasi
deb   z
1 = z× z
2    tenglikni qanoatlantiradigan z kompleks songa aytiladi va u quyidagi
formula bilan topiladi:
                             
   Misol:    
O‘rin almashtirish, gruppalash qonuni kompleks sonlarda ham to’g’ri:
(a+bi) + (c+di) = (c+di) + (a+bi)
(a+bi) · (c+di) = (c+di) · (a+bi)
(a+bi) + (c+di) + (e+fi) = (a+bi) + [(c+di) + (e+fi)]1-teorema.	
Isbot	.   z=a   +   bi,w   =   c   +   4i  	bo'lsin.   U   holda    	=   a-bi,  	=   c-di  	va  	=	
= a + c - (b + d)i 	= 	(a - bi) + (c- di) =	
2-teorema.	 	
I s b o t.	 Haqiqatan,
=	=	  ac   -   bd   -	-(ad   +   bc)i.  	Ikkinchi	
tomondan, 	
=   (a-bi)(c-di)   =	ac-   bd-(ad+bc)i.    	Natijalar   bir   xil.   Demak,  	
.Xususan,z	0 bo'lsa, 	z ga teskari bo'lgan 	 songa 	qo'shma son 	z ga qo'shma sonning	
teskarisi   bo'ladi.   Haqiqatan,   2-   teoremaga   ko'ra   z		  =   l   tenglikdan  	=   1	
olinadi. Bundan 	=	
N   a   t   i   j   a.  	Kompleks   sonning   natural   ko'rsatkichli   da	rajasiga   qo'shma   son,   berilgan   songa	
qo'shma sonning 	shu natural ko'rsatkichti darajasiga teng; 	. 2. Trigonometrik shakldagi kompleks sonlar va ular ustida amallar.
1.   Kompleks   sonning   trigonometrik   shakli.   Kompleks   sonlarga   oid   ko'pgina
tushunchalar ayoniy bo'lishi uchun  kompleks sonni biror geometrik shakl (figura, tasvir)
sifatida qarash qulaydir.
Biz   z   =   x   +   yi   kompleks   sonning   geometrik   shakli   sifatida,   XOY   koordinata
tekisligidagi   A(x;   y)   nuqtani   yoki   boshi   O(0;   0)   nuqtada,   oxiri   esa   A(x;   y)   nuqtada
bo'lgan      vektorni qabul qilamiz (17-  a, b  rasmlar). Bunda koor dinata tekisligining har
bir nuqtasi faqat bitta kompleks  sonni tasvirlaydi va aksincha, har qanday kompleks son
faqat bitta nuqtada tasvirlanadi. Haqiqiy sonlarga abssissalar   o'qining nuqtalari,   bi (i R}
sof   mavhum   sonlarga   esa   ordinatalar   o'qining   nuqtalari   mos   keladi.   Shunga   ko'ra,
koordinatalar tekisligi  kompleks tekislik ,  abssissalar o'qi  haqiqiy o'q ,  ordinatalar o'qi esa
mavhum o'q  deb ham  ataladi. 
z   =   x   +   yi   kompleks   sonining   geometrik   tasviri   bo'lgan   vektor   uning   radius-vektori
deyiladi. Har  qanday   z = x + yi   kompleks   son   yagona   radius-vektorga   ega,   chunki   x,   y
sonlari   yagona   A(x;   y)   nuqtani   (vektorning   oxirini)   aniq laydi.   Kompleks   son   radius-
vektorining   uzunligi   shu   son ning   moduli   deyiladi.   z =x   +   yi kompleks   sonning   modulini
 z      yoki   r   bilan   belgilaymiz.    z  ,   x,   y   haqiqiy   sonlar   quyidagi   tenglik   bilan
bog'langan:
z	 = . (1)
Haqiqatan ham, ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga  k o ' r a ,  
    t e n g l i k   o'rinlidir (17-  b  rasm).
4- misol.  z= -i  kompleks sonning modu lini toping.
Yechish.   x   =   ,   y   =-   bo'lgani   uchun,   .   -     vektor
z =   x   +iy 0   kompleks   sonning   radius- vektori   bo'lsin   (17-   b   rasm).   Markazi   O(0;   0)
nuqtada   bo'lgan   r=    z        radiusli   aylananing   B(r;   0)   nuqtasini,   O   nuqta   atrofida   bu
nuqta   A(x;   y)   nuqta bilan  ustma-ust   tushadigan qilib buramiz   (17-d   rasm). Bu ishni, bir-
biridan   2   ga   karrali   bo'lgan   burish   burchagiga   farq   qiladigan   chek siz   ko'p   burish
burchaklari yordamida amalga oshirish mumkin. Shu burish burchaklarining har biri     z =
x + iy  kompleks sonning argumenti  deb ataladi.
17-   d   rasmda   z   =   x   +   iy   kompleks   sonning   argument- laridan   biri   bo'lgan      burchak
ko'rsatilgan.
z = x+iy  kompleks sonning barcha argumentlari to'p lamini Arg(z) bilan belgilaymiz. Yuqoridagi mulohazalardan ko'rinadiki, agar   Arg(z)  bo'lsa, u holda ixtiyoriy  k   Z  son
uchun      +   2 k     Arg(z)   bo'ladi.   Shu   sababli   Arg(z)   to'plamni   quyidagicha   tasvirlash
mumkin:
Arg(z) = {   + 2 k :   k Z}.
Burish   burchagining   kosinusi   va   sinusi   ta'riflaridan   ko'rinadiki,   z   =   x   +   yi   kompleks
sonning har qanday cp  argument! uchun quyidagi munosabatlar o'rinli:
cos  = ,   sin   = 
Bu tengliklar asosida,   z = x + yi   kompleks sonini z =   z|(cos(   + i sin  ) ko'rinishida
yozib olish mumkin.  Bunday yozish  kompleks sonni trigonomelrik shaklda  tasvirlash  deb
yuritiladi.
Kompleks son cheksiz ko'p argumentlarga ega bo'lgani  uchun, uni cheksiz ko'p usullar
bilan trigonometrik shaklda   yozish   mumkin.   Shu   sababli   kompleks   sonning   trigono metrik
shaklini  tayin  bir   oraliqda  yotadigan   argument  orqali   yozish maqsadga  muvofiqdir. Biz ana
shunday oraliq sifatida   [0;   2 ]   oraliqni olamiz. Bu oraliqda har qanday z(z 0 )   kompleks
sonining faqat bitta argumenti yotadi.
z = x + yi  kompleks sonining [0; 2 ] oraliqda yotadi gan argumenti shu sonning  bosh
argumenti   deyiladi   va   arg(z)   bilan   belgilanadi.   Shunga   muvofiq   ravishda,z   =    z |
(cos(arg(z)) + isin(arg(z))) ni z kompleks sonning bosh trigonometrik shakli deb ataymiz.
Bundan   keyin,   kompleks   sonning   argumenti   va   kompleks   sonning   trigo nometrik   shakli
deyilganda, mos ravishda kompleks son ning bosh argumenti va bosh trigonometrik shakli
nazarda  tutiladi.
Endi   z   =   0   soni   ustida   to'xtalamiz.   Bu   sonning   moduli   0   ga   teng,   lekin   argumenti
aniqlanmaydi. 5- m i s o 1.  a) 1 + i; b) 3i; d) -1 + i; e) 1 – i sonlarini  trigonometrik shaklda ifodalang.
Y e c h i s h .a)	|1 + i	 =	,     	 ,
1 +i=  (cos + isin	
)   (18-  a  rasm);
a)  3i  =3 ,   , 3i = 3(cos  +isin )  (18-b rasm);
3 .Tr i gonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarni ko’paytirish,
bo’lish,darajaga ko’tarish.
  Trgonometrik   shaklda   yozilgan   kompleks   sonlarni   ko’poaytirish,bo’lish   va
darajaga   ko’tarish   qoidalarini   keltirib   chiqarish   uchun   asos   bo’ladigan
teoremalarni qaraymiz.
1-teorema. Kompleks   sonlar   ko’paytmasining   moduli   ko’paytuvchilar   modullarining
ko’paytmasiga   tenng,   ko’paytuvchilarning   har   qanday   argumentlari   yig’indisi   shu
kompleks sonlar ko’paytmasining biror argumenti bo’ladi.
  Isbot.   z=r(cosφ+ i sinφ)   va   w=R(cosα+ i sinα)   larz,w   kompleks   sonlarning   biror
trigonometrik   shakli   bo’lsi.   U   holda,   z   va   w   sonlar   ko’paytmasini   ko’phadlarni
ko’paytirish   qoidasi   yordamida   topsak,   zw=rR(cos(φ+·)+isin(φ+α))   hosil   bo’ladi.
Demak |zw|=rR=|z||w| va φ+α ning biror argumentidan iborat 	
2-teorema.  	Kompleks   sonlar   nisbatining   moduli  	bo'linuvchi   va   bo'luvchi	
modullarining   nisbatiga   teng,   bo'linuvchi   va   bo'luvchi   har   qanday   argumentlarining
ayirmasi bo'linmaning biror argumenti bo'ladi.	
Isbot.	 z = 
=r(cosφ+ i sinφ) 	 va 	w =R(cosα+ i sinα) 	lar 	z va 	w 	kompleks sonlarining biror	
trigonometrik shakli 	b o l s m .      	
U	h o l d a      	
tenglik bajariladi. Bu yerdan esa   	 ekanligi va φ-α	sonning uchun argument bo'lishi 	
kelib 	chiqadi.
Endi   trigonometrik   shaklda   berilgan   sonlarni   ko'	paytirish,   bo'lish   va   darajaga	
ko'tarish qoidalarini kelti	ramiz.	
Trigonometrik shaklda (bosh trigonometrik shaklda  
bo'lishi   shart  emas!)   berilgan
z=r(cos φ + i sin φ )     va  w=R(cos φ + i sin φ )     kompleks sonlarni:
a) ko'paytirish uchun,    zw=rR(cos(φ+α)+ i sin(φ+ α ))   tenglikni tuzish va  φ  +  α     ni bosh
argument bilan almashtt rish;
b) bo'lish   uchun   ,   =   (cos(φ-α)+ i sin(φ- α ))   teng   likni   tuzish   va   φ   –   α     ni   bosh
argument bilan almashtirish  kerak. Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarni ko'	paytirish qoidasini z	n = 	z · z · · · z	 (n	
ta   ko'paytuvchi)   ko’	paytma   uchun   ketma-ket   tatbiq   etib,   z	n  ni   hisoblash   qoi	dasini   hosil	
qilamiz:	
zn =(r(cosφ + isinφ))	n  ni hisoblash uchun,   	zn =r	n(cosnφ + 	isinnφ)	n  tenglikni tuzish va	
nφ 	argumentni 	bosh argument bilan almashtirish kerak.	Agar 	z =cos φ + i sin φ	 bo'lsa, darajaga	
ko'tarish for	mulasi   quyidagi   ko'rinishni   oladi:   (cosφ   +  	isinφ)	n  =
  cosnφ   +   i sinnφ.  	Bu	
tenglik 	Muavr formulasi 	deyiladi. 
4.Kompleks sondan ildiz chiqarish.	
 z   kompleks   sonning   n-darajali   ildizi   deb,   w	n=   z   tenglik   bajariladigan   har   qanday   w	
kompleks songa aytiladi (bu yerda  n	N). 	Agar  z=0  bo’lsa, w	n= 0   (n	N)	
tenglik  w=0 soni uchungina bajariladi.
Agar z	o bo’lsa, w	n= z   (n	N) tenglik w ning n ta har xil kompleks ildizlarga ega	
bo’lishini isbotlaymiz.
Teorema.
 z=r(cosφ+ i sinφ)	 	0   	kompleks soni  n ta har xil  w	k  kompleks ildizlarga	
ega va bu ildizlar quidagi formula bilan toiladi:	
k=0,1,2,…,n-1	
Isbot.
 w=R(cosα+ i sinα) kompleks somi  z=r(cosφ+ i sinφ)	 	0 sonning n-darajali ildizi	
bo’lsin.  U  holda  R	n  (
cosnφ   +   i sinnφ )=   r(cosφ+ i sinφ)   tenglik   o’rinli   bo’ladi.   Ikkita
kompleks sonning modullari teng va argumentlari bir-biridan 2π k (bu yerda k	
Z)	
qo’shiluvchiga farq qilsagina, ular teng bo’adi. Shu sababli
       R=	,                 (1)	
       (2)
t engliklar   bajariladi. Hosil qilingan b'u tengliklarni  w  ning  trigonometrik shakliga  qo'yamiz;	
    (3)
Bu yerdan ko'rinadiki,  z =  r(cosα +  i sinα) komp leks sonining bar qanday n- darajali
ildizi   (3)   ko'rinishda   bo'ladi.   Aksincha,   (3)   ko'rinishdagi   har   qanday   kompleks   son
z=r(cos φ + i sin φ )   kompleks   sonining   n-   darajali   il dizi   bo'ladi.   Buni   darajaga   ko'tarish
yordamida bevosita  tekshirib ko'rish mumkin.
Shunday   qilib,   (3)   ko'rinishdagi   sonlar   va   faqat   shu   sonlargina   z=r(cos φ + i sin φ )
kompleks sonining  n-  da rajali ildizi bo'ladi. Endi (3) formula  z 0  sonining  n  ta  h ar xil ildizini  aniqlashini ko'rsatamiz. Qulaylik
uchun (3) formuladagi  w  ning  k  ga bog'liq ekanligini oshkor ko'rinishda yozib  olayik:	
 (4)
k = 0 ,   k =1, ...,   k = n- 1     bo'lganda bu formula yorda mida w
0 ,
w
1 , ..., w
n-1 _ son lari  hosil qilinadi.  Bu son lar   ning argumentlari bir-
bi ridan   2π   ga   karrali   bo' l ma gan   qo'shiluvchi   bilan   farq   qiladi.
Shuning   uchun   bu   sonlar   orasida   tenglari   mav jud   bo'lmaydi,   ya'ni
ular   n   tadir.   Endi   ixtiyoriy  	
  sonini  	  soniga   qoldiqli
bo'larniz:  k = n  ·  m + s,  bu yerda  m Z, s    {0, 1, 2, ..., n- 1}. U
holda,
Bu yerdan ko'rinadiki, (4) formuladagi  k  ning o'rniga  h ar qanday butun son qo'yilganda ham, w
0 , w
1 , .,.,
w
n-1  
{  sonlardan birortasi hosil bo'ladi. Teorema isbot bo'ldi.
Markazi koordinatalar  boshida bo'lgan     radiusli   aylanani qaraymiz. W
0 ,   W
1 , ...,   W
n-1   nuqtalar   shu
aylanada   yotadi   va   uni   n   ta   teng   yoylarga   ajratadi,   chunki   qo'shni   W
k   nuqtalarning   argumentlari   bir-
birlaridan         -   ga   farq   qiladi.   Demak,   bu   nuqtalar   aylanaga   ichki   chizilgan   muntazam   n
burchakning uchlari bo'ladi (20- rasmda bu  muntazam oltiburchak, chizmada  n = 6<W
0  OW
5  =   ). 1-slayd
2-slayd
                                                                                                               
3-slaydMavhum birlik haqida tushuncha.
   x 2
+4=0 tenglamani yechish jarayonida x
1 =2 va x
2 =-2  ,,sonlar’’
hosil bo`ladi. Haqiqiy sonlar orasida esa bunday ,,sonlar’’ mavjud emas. 
Bunday holatdan qutulish uchun   ga son deb qarash zarurati paydo 
bo`ladi.
  Bu yangi son hech qanday real kattalikning o`lchamini yoki uning 
o`zgarishini ifodalaydi. Shu sababli unli mavhum birlik deb atash va 
maxsus belgilash qabul qilingan:  =i. Mavhum birlik uchun i 2
=-1 tenglik 
o`rinlidir.A
lgebrai	
k 	
ko`rinishidag	
i kom
pleks 	
sonlar.	
 Ta’rif. 	
z=a+bi 	
ko`rinishidagi 	
son kom
pleks 	
son deb 	
ataladi. Bu 	
yerda a va b 	
sonlar haqiqiy 	
sonlar, i-	
m
avhum
 	
birlik.  	Re(a+bi)	
=a, 	
Im
(a+bi)=bi.	
Kom
pleks 	
sonlar 	
to`plam
i C 	
orqali 	
belgilanadi.
O`ZARO QO`SHMA
KOMPLEKS SONLAR
                  a+bi va a-bi 
ko`rinishidagi sonlar o`zaro 
qo`shma kompleks sonlar 
deyiladi. TENG KOMPLEKS SONLAR.
      Ikkita a+bi va c+di 
kompleks sonlar faqat va 
faqatgina a=c va b=d 
bo`lgandagina bir-biriga teng 
kompleks sonlar deyiladi.
QARAMA-QARSHI KOMPLEK SONLAR.
-a –bi soni a+bi soniga qarama-qarshi kompleks 
son deyiladi. 4-ilovaKompleks sonlar ustida amallar.
AYIRISH.
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
BO`LISH.QO`SHISH.
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
(a+bi)+(c+di)+(m+ni)=(a+c+m)+(b+d+n)i;
(a+bi)+(a-bi)=2a;
(a+bi)+(-a-bi)=0.
Misollardan namunalar.
z
1 =3-2i  va  z
2 =1+3i  kompleks sonlarning 
a) yig’indisini   b) ayirmasini  d) ko’paytmasini  e) bo’linmasini 
toping.
  Yechish:
z
1 +z
2 =(3-2i)+(1+3i)= (3+1)+(-2+3)i =4+i;
z
1 -z
2  =(3-2i)-(1+3i)=(3-1)+(-2-3)i=2-5i;
z
1 *z
2 =(3-2i)(1+3i)=3*1+3*(3i)-2i*1-2i*1-2i*(3i)=3+9i-2i-
6i 2
=3+7i-6*(-1)=9+7i;
d) KO`PAYTIRISH.
(a+bi)*(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)=
 =(ac-bd)+(bc+ad)i.
(a+bi*)(a-bi)=a 2
+b 2
. 5-slayd
KOMPLEKS SONDAN KVADRAT ILDIZ CHIQARISH
                                               ni his о bl а ng.
Yechish.  K о mpl е ks s о nd а n kv а dr а t ildiz chiq а rish f о rmul а l а ri 
1)  v а  
2)  l а rd а n f о yd а l а n а miz.  
B е rilg а n mis о ld а     bo’lg а nligi uchun birinchi f о rmul а ni qo’ll а ymiz: 
       6-slayd
 
KOMPLEKS SONNING TRIGONOMETRIK SHAKLI.
                       z=|z| (cos(arg(z)+isin(arg(z)))   komplers sonnng 
trigonometrik shakli.
MISOL:  z=1+3i alg е braik shakldagi kompl е ks sonni trigonom е trik shaklga k е ltiring.
Yechish.  Buning uchun  г  va    larni topib ularni )	sin	(cos			i	r	bi	a			
ga qo’yamiz. k= =2 б   k=2 б    tg  = .  tg  =  dan     =    
bo’ladi. 
D е mak, z=2(cos +isin ).
2-misol.   ni trig о n о m е trik sh а klg а  k е ltiring.
Yechish.  7-slayd
Bo’lish.Trigonometrik shakldagi kompleks sonlar 
ustida amallar.
Ko’paytirish.
z
1* z
2 =r
1  r
2 ((cos 
1 cos 
2 -
sin 
1 sin 
2 )+i(sin 
1 cos 
2 +cos 
1 sin 
2 )),
z
1* z
2 =r
1  r
2 ((cos( 
1 + 
2 )+ 
sin( 
1 + 
2 )) Darajaga
ko’tarish.
z n
=(r(cos  +isin  ) n
=
r n
(cosn  +isinn  )Misol.
z
1 =4(cos60 0
+ isin60 0
), 
z
2 =2(cos15 0
+isin15 0
)  bo’lsa, u 
xolda 
Misol.Misol.
z
1 =2(cos23 0
+isin23 0
),
z
2 =3(cos22 0
+ism22 0
) bo’lsa, 
u xolda 
z
1 z
2 =6(cos45 0
+isin45 0
) . XULOSA
Ushbu   bitiruv   malakaviy   ishimda   Komplek   sonlar   va   ular   ustida   amallar     haqida
to’la   ma’lumot   berishga   harakat   qildim.   Usulni   tanlashda   bir   qator   omillar-mazkur
bosqichda   yechiladigan   misol,   masalalari,   o’quvchilarning   yosh   va   individual
xususiyatlari, zarur didaktik vositalarning mavjudligi va boshqalar hisobga olgan holda
tayyorlandi.   Elementar   matematik   tasavvurlarni   shakllantirishda   amaliy   va   o`yin
metodlari bilan birga qo`llanadi. Bu ularning mohiyatini hech bir kamaytirmaydi. 
Bitiruv malakaviy ishimni xulosalar ekanman, Komplek sonlar va ular ustida 
amallar haqida har qanday usul bilan dars o`tmaylik, shu usul jamiyatga, hayotiy
voqealarga bog`lab dars o`tilsagina, o`quvchini darsga qiziqtira olsa bu birinchi
navbatda bizning yutug`imiz hisoblanadi.Shu jumladan Kompleks sonlarni yechishni 
to’rtta amal usulida qo’shish, ayirish, ko’paytirish, bo’lish, trigonometric shakli va 
kvadrat ildiz chiqarish kabi mavzularga doir bo’lgan masalalarni o’z bitiruv ishimda 
yoritib o’tdim. 
Xulosa qilib aytadigan bo’lsak zamonaviy axborot tehnalogiyalari Komplek sonlar va 
ular ustida amallar haqida bugungi o’quvchilarga haqida to’la va to’g’ri ma’lumot
berib, ulardan oqilola foydalanish usullarini o’rgata olsak, o’ylaymanki biz
oldimizga qo’ygan asosiy maqsadlarimizdan biriga erishgan bo’lamiz. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO`YXATI
1. Abduhamidov   A.U.,   Nasimov   X.A.,   “Algebra   va   matematik   analiz   asoslari”   I-II-qism
Akademik litseylar uchun o’quv qo’llanma. T-2000 yil.
2. Nasimov   X.   va   boshqalar.   “Algebra   va   matematik   analiz   asoslaridan   masalalar   to’plami”.T.-
2004 yil.
3. Nasimov X. va boshqalar. “Algebra va analiz asoslari”.T-2004 yil.
4. B.Abdalimov,   A.Abdug’apporov   va   boshqalar.   “Oliy   matematikadan   masalalar   yechish
bo’yicha qo’llanma” .Toshkent-1985 yil.
5. Sh. I. Tojiyev “MATEMATIKA” Toshkent-1990 yil.
6. A.   Sa’dullayev,   H.Mansurov   va   boshqalar   “Matematik   analiz   kursidan   misol   va   masalalar
to’plami” I qism. Toshkent-1993 yil.
7. A.U.Umrbekov,Sh.Sh.Shoabzalov “Matematikani takrorlang”.Toshkent-1990 yil.
8. H.A.Nasimov,D.D.To’raqulov “Matematikadan PRAKTIKUM”Toshkent-1990 y.
1. http://www.Ziyonet.uz
  2. http://www.  Google.uz.
 3. http://www.   matanaliz .uz
4. http://www. matematikbilimdon.uz

“ KOMPLEKS SONLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR ” M U N D A R IJA Kirish . I BOB. Algebraik shakldagi kompleks sonlar va ular ustida amallar . 1.1 Qo’shish amali. 1.2 Ayirish amali. 1.3 Ko‘paytirish amali. 1.4 Bo‘lish amali. II BOB. . Trigonometrik shakldagi kompleks sonlar va ular ustida amallar. III BOB. Tr i gonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarni ko’paytirish, bo’lish,darajaga ko’tarish. IV BOB. Kompleks sondan ildiz chiqarish. V BOB. Prеzеntatsiya namoyishlar Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar

Samarqand Davlat Universiteti xuzuridagi pedagog kadirlarni qayta tayyorlash va ularni malakasini oshirish mintaqaviy markazining “Matematika” fani o’qituvchisi Babakulova Dilbarningning “Kompleks sonlar va ular ustida amallar” ” Mavzusidagi Bitiruv ishiga ilmiy raxbarning X U L O S A S I Bugungi kunda ta’lim jarayonida matematika ga bo’lgan talab borgan sari ortib bormoqda. Fan ta’lim rivojlangan sari Axborot texnologiyalarining ham yangidan yangi turlari ko’plab imkoniyatlari yaratilmoqda. Axborot texnologiyalari nafaqat ta’lim tizimida balki barcha sohalarda ham qo’llanilib kelinmoqda. Xozirgi vaqtda biror bir sohani matematikasiz tasavvur qilish qiyin. Ushbu Bitiruv Malakaviy Ishida Komplek sonlar va ular ustida amallarini misol va masalalar bilan yoritib berilgan. Shu bilan birga slaytlar bilan yanada to’liq yoritib bera olgan . Babakulova Dilbar tomonidan tayyorlangan “Komplek sonlar va ular ustida amallar” mavzusidagi Bitiruv ishi o’rnatilgan talablarga mos ravishda tayyorlangan va talab qoidalarga to’liq mos keladi. Mavzuni o’rganuvchi uchun oson qilib yoritib bergan. Ushbu Bitiruv Malakaviy ishini ijobiy tomondan baholash mumkin deb xisoblayman. Ilmiy Raxbar: N.Ravshanova

KIRISH Mavzuning dolzarbligi. Mustaqillikka erishilgandan keyin barcha sohalardagi kabi ta`lim tizimida ham jiddiy islohatlar amalga oshirildi, ta`limning sifatini yaxshilashga kirishildi. Ta`lim berishning yangi usullari joriy qilina boshlandi. Shulardan eng asosiysi o`quvchilarga yangi pedagogik texnologiya asosida dars berish masalasi. Bu usulni matematika sohasida ishlashga ham tadbiq qilish yangi samara berishi amalda tasdiqlandi. O`quvchilarning badiiy didini o`stirish, dunyoqarashini kengaytirish uchun ularning kompyuter va zamonaviy tehnalogiyalar asosida ishlashi juda muhim. Buning usullarini ishlab chiqish esa, hech qachon dolzarbligini yo`qotmaydi. Biz mazkur bitiruv ishimizda bu xususida o`z taklif va mulohazalarimizni ifodalashga harakat qilamiz. Jamiyatning barcha qatlamlarini, ayniqsa, yoshlarni yuksak ma`naviyat va ma`rifat sohibi qilib tarbiyalash bugungi kunning dolzarb masalasidir. Kursni tugatish ishining maqsadi. Bitiruv makalaviy ishimizni yozishdan asosiy maqsadi o’quvchilarga o’z sohamiz bo’yicha to’g’ri tarbiya berish bilan birga Kompleks sonlar va ular ustida amallarni o’rgatish usullarining eng qulay va sodda tartibda o’rgatish yo’llari haqida bayon qilamiz. Kursni tugatish ishining obyekti. Kasb-hunar maktabi o’quvchilari va pedagoglar. Mazkur kurs ishi kompleks sonlar va ular ustida amallar oid manbalar va uslubiy tavsiyalarni o`z ichiga oladi.

I BOB. 1. Algebraik shakldagi kompleks sonlar va ular ustida amallar . Kompleks sonlar ta'limoti ilm-u fanda, xususan, ma tematikada alohida o'rin tutadi. Tez rivojlanayotgan bu soha texnikada, shuningdek ishlab chiqarishning ko'plab so halarida g'oyat keng qo'llanishga ega. Shu sonlar haqida ayrim ma'lumotlarni keltiramiz. Xususiy bir misoldan boshlaylik. x 2 + 4 = 0 tenglamani yechish jarayonida x 1 = 2 va x 2 = -2 «sonlar» hosil bo'ladi. Haqiqiy sonlar orasida esa bunday «sonlar» mavjud emas. Sunday holatdan qutulish uchun ga son deb qarash zarurati paydo bo'ladi. Bu yangi son hech qanday real kattalikning o'lchamini yoki uning o'zgarishini ifodalamaydi. Shu sababli uni mavhum (xayoliy, haqiqatda mavjud bo'lmagan) birlik deb atash va maxsus belgilash qabul qilingan: = i. Mavhum birlik uchun i 2 =-l tenglik o'rinlidir. a + bi ko'rinishdagi ifodani qaraymiz. Bu yerda a va b lar istalgan haqiqiy sonlar, i esa mavhum birlik. a + bi ifoda haqiqiy son a va mavhum son bi lar «kompleksi»dan iborat bo'lgani uchun uni kompleks son deb atash qabul qilingan. a + bi ifoda algebraik shakldagi kompleks son deb ataladi, bu yerda a R, b R, i 2 = - 1. Bu paragrafda a + bi ni qisqalik uchun «algebraik shakldagi kompleks son» deyish o'rniga «kompleks son» deb ishlataveramiz. Kompleks sonlarni bitta harf bilan belgilash qulay. Masalan, a + bi ni z = a + bi ko'rinishda belgilash mumkin.z =a + bi kompleks sonning haqiqiy qismi a ni Re(z) (fransuzcha reele - haqiqiy) bilan, mavhum qismi b ni esa Im(z)(fransuzcha imaginaire — mavhum) bilan belgilash qabul qilingan: a= Re(z), b = Im(z). Agar z=a + bi kompleks son uchun b=0 bo'lsa, haqiqiy son z = a hosil bo'ladi. Demak, haqiqiy sonlar to'plami R barcha kompleks sonlar to'plami C ning qism to'plami bo'ladi R C. 1 - m i s o l . z 1 = l+2i, z 2 = 2-i, z 3 = 2 , 1 , z 4 = 2i, z 5 = 0 kompleks sonlarning haqiqiy va mavhum qismlarini topamiz. Yechish. Kompleks son haqiqiy va mavhum qismlarining aniqlanishiga ko'ra, quyidagilarga egamiz: Re(z 1 )=l; Re(z 2 ) = 2; Re(z 3 ) = 2,l; Re(z 4 ) = 0; Re(z s )=0; Im(z 1 )=2; Im(z 2 ) = -i; Im(z 3 ) = 0; Im(z 4 ) = 2i; Im(z s ) = 0. Kompleks sonlar uchun « < », « > » munosabatlari aniqlanmaydi, lekin teng kompleks sonlar tushunchasi kiritiladi. Haqiqiy va mavhum qismlari mos ravishda teng bo'lgan kompleks sonlar teng kompleks sonlar deb ataladi. Masalan, z, = 1 , 5 + va z 2 = + 0,8i sonlari uchun Re(z 1 ) = Re(z 2 ) = l,5, Im(z 1 ) = Im(z 2 ) = 0,8. Demak, z 1 = z 2 Bir-biridan faqat mavhum qismlarining ishorasi bilan farq qiladigan ikki kompleks son o'zaro qo'shma kompleks son lar deyiladi. z =a+ bi kompleks songa qo'shma kompleks son = a-bi ko'rinishda yoziladi. Masajan, 6+ 7i va 6- 7i lar qo'shma kompleks sonlardir: = 6-7i. Shu kabi soniga qo'shma son = z bo'ladi. Masalan, = =6+7i. a haqiqiy songa qo'shma son a ning o'ziga teng: = = a - 0 i =a. Lekin bi mavhum songa qo'shma son =-bi dir. Chunki = =0-bi=-bi,

a , b R. . Kompleks sonlar ustida arifmetik amallar quyidagicha aniqlanadi: (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d )i; (1) (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b- d )i; (2) (a + b i )  ( c + di ) = (ac - bd ) + (ad + bc)i (3) (4) (1) va (2) tengliklarni bevosita qo'llash qiyin emas. Kompleks sonlarni ko'paytirish amalini i 2 = -1 ekanligini e'tiborga olib, ko'phadlarni ko'paytirish kabi bajarish mumkin. 2 - m i s o l . ( 2 - i ) ( + 2 i ) = 2  + 2 2 i - i  - 2 i 2 = + 4 i - i + 2 = + i . (4) formulani eslab qolish va amaliyotda bevosita qo'l lash ancha qiyin. Shu sababli ni hisoblash uchun, uning surati va maxrajini c - di ga ko'paytirib, tegishli amal larni bajarish qulaydir. 3-misol . Kompleks sonlarni qo'shish va ko'paytirish amallari xossalari haqiqiy sonlarnikiga o'xshash; 1) z + w= w + z; 1') zw = wz; 2) (z + w) + t = z+(w + t); 2 ' ) (zw)t=z(wt); 3) z + 0= z; 3' ) z  l = z ; 4) z(w +t) = zw +zt. z +w = 0 tenglikni qanoatlantiruvchi z, w kompleks sonlari o'zaro qarama-qarshi sonlar deyiladi. z kompleks soniga qarama-qarshi sonni -z bilan belgilash qabul qilingan. z = a + bi kompleks songa qarama-qarshi bo'lgan yagona kompleks son mavjud va bu son – z=-a- bi komp leks sonidan iborat. zw=1 tenglikni qanoatlantiradigan z va w kompleks sonlari o'zaro teskari kompleks sonlar deyiladi. z = 0 soniga teskari son mavjud emas. Har qanday z 0 kompleks songa teskari kompleks son mavjud. Bu son - sonidan iborat. z = a + bi kompleks songa teskari bo'lgan sonini topamiz: bunda i 2 har safar -1 ga almashtiriladi.