Koshining asosiy teoremasi. Analatik funksiyalar. Garmonik funksiyalar.Kosining integral formulasi. Reja: 1. Koshi integral teoremasi 2.Analitik funksiya 3.Garmonik funksiyalar 4.Koshining integral formulasi. Adabiyotlar

Koshi integral teoremasi Koshi integral teoremasi -kompleks o zgaruvchili funksiyalar nazariyasiningʻ fundamektal teoremasi. G (7.) — kompleks tekislikdagi bir boglamli D sohada ʻ aniqlangan golomors funksiya, u esa D sohada yotuvchi bo lakli silliq yopiq chiziq ʻ bo lsin. U holda bo ladi. Bu teorema O. Koshi tomonidan 1825-yilda e lon ʻ ʻ ʼ qilingap. Uning to la isbotiii 1884-yilla E. Gure bsrli. Koshi integral teoremasi t. ʻ golomorf funksiyalar xossalaryning asosiy harakteristikalarilap birini ifodalaydi. Uzluksiz funksiyalar uchun Koshi integral teoremasi t.ga teskari teoremaga Marera teoremasi deyiladi.ko rinishlagi integral; bunda u — to g rilaiuvchi yopiq egri ʻ ʻ ʻ chiziq, f(^) — kompleks o zgaruvchili funksiya bo lib, u u — chiziq bilan ʻ ʻ chegaralangan chekli D sohada golomorf va bu sohaning yopig i Oda uzluksizlir. ʻ Agar nuqta D sohaga tegishli bo lsa, u holda Koshi integral teoremasi f(g) ga teng ʻ bo ladi, ya ni D sohala golomorf va uning yopigi D la uzluksiz har qanday ʻ ʼ funkniyaning D soxadagi qiymati chegaralari qiymatlari orqali Koshi integral teoremasi vositasida ifolalanadi. Koshi integral teoremasinikg umumlashmalari Koshi tipidagi integrallardir. ularning ko rinishi ham Koshi integral teoremasi ko rikishila bo lali, lskik u egri ʻ ʻ ʻ chiziq yopiq bo lishi va f funksiya golomorf bo lishi shart emas, Koshi tipidagi ʻ ʻ iktegrallar matematik fizika va gidrolinamikaning ayrim masalalarini yechishda qo llaniladi. ʻ Analitik funksiya Analitik funksiya – matematikaning asosiy tushunchalaridan biri; f(z)=c +c (z-a) ₀ ₁ +c (z-a)²+c (z-a)³+... darajali qator yig indisi ko rinishida yozilishi mumkin ₂ ₃ ʻ ʻ bo lgan funksiya. Bundan Analitik funksiyaning istalgan tartibdagi hosilasi ham ʻ mavjudligi kelib chiqadi. Analitik funksiya sinfi yetarlicha keng bo lib, unga ʻ matematikada va uning tadbikdarida uchraydigan funksiyalarning ko pchiligi ʻ kiradi. Ayni paytda bu sinf bir qator ajoyib xossalarga ega. Avvalo, Analitik funksiya sinfi arifmetik, algebraik amallarga, limitga o tish amaliga nisbatan yopiq ʻ

sinfdir. Analitik funksiyalarni ikki turga bo'lish mumkin: haqiqiy va kompleks analitik funksiyalar. Xossalari. 1. Agar f(z)-kompleks o'zgaruvchili analitik funksiya bir bog lamli D sohadaʻ analitik bo lsa, ixtiyoriy yopiq γ ʻ ⊂ D kontur bo yicha olingan integral nolga teng. ʻ 2. Agar f(z)-kompleks o'zgaruvchili analitik funksiya bir bog lamli D sohada ʻ analitik bo lsa, D sohani chegarasida berilgan qiymatlar orqali sohani ichidagi ʻ qiymatlarini aniqlash mumkin. 3. Agar f(z)-kompleks o'zgaruvchili analitik funksiya bir bog lamli D sohada ʻ analitik bo lsa, uning haqiqiy va mavhum qismlari D sohada ʻ garmonik funksiya bo'ladi. Shu va boshqa xossalar Analitik funksiya sinfining muhim ob’ekt ekanligini ko rsatadi. Analitik funksiya nazariyasiga O. Koshi, B. Riman, K. Veyershtrass ʻ asos solgan. Garmonik funksiyalar Garmonik funksiyalar - Laplas tenglamasini kanoatlantiradigan biror sohada birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari bilan uzluksiz bo lgan haqiqiy funksiyalar. ʻ Tarif n o'lchamli fazodagi D sohada aniqlangan ikki marta differensiallanuvchi u funksiya Δu=0 tenglamani qanoatlantirsa u holda u funksiya D sohada garmonik funksiya deyiladi. D sohada garmonik funksiyalar sinfi h(D) bilan belgilanadi. Xossalari 1. D sohada garmonik funksiya har qanday tartibli xususiy hosilalarga ega, ya'ni cheksiz marta differensiallanuchi bo'ladi. 2. Garmonik funksiyani D sohadagi S ⊂ D sfera bo'yicha o'rta qiymati S sfera markazidagi qiymatiga teng.

3. Garmonik funksiyani D sohadagi B ⊂ D shar bo'yicha o'rta qiymati B shar markazidagi qiymatiga teng. 4. Agar D ⊂ C kompleks tekislikdagi bir bog'lamli sohada u - garmonik bo'lsa u holda shunday f - D sohada analitik funksiya mavjudki u = Re f tenglik o'rinli. Muhim vektor maydonlarning potensiallari (mas, siqilmaydigan bir jinsli suyuqlik harakatida tezlik potensiali, jism ichida temperaturaning tarqalishi va b.) G.f. hisoblanadi. Ikki x, u o zgaruvchining G. f. i kompleks z = x + iy o zgaruvchiningʻ ʻ analitik funksiyasi / (x) bilan uzviy bog langan. Har bir i (x, u) G.f. biror analitik / ʻ (x) funksiyaning haqiqiy yoki mavhum qismi va, aksincha, ixtiyoriy analitik funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlari G. f. bo ladi. G. f. nazariyasining eng ʻ muhim masalalari chegaraviy masalalardan ibo-rat. Bulardan biri Dirixle masalasi bo lib, bunda biror soha ichidagi G. f. soha chegarasida berilgan qiymatlariga ʻ asosan izlanadi. G. f. nazariyasining bu va b. chegaraviy masalalarini yechish uchun nazariy va amaliy jihatdan ahamiyati katta bo lgan turli usullar ishlab ʻ chiqilgan. G.f. nazariyasini fizika va texnika masalalariga tatbiq qilishda chegaraviy masalalarni sopli yechish usullarini ishlab chiqish juda muhim (qarang Matematik fizika tenglamalari). Koshining integral formulasi. Kompleks sonlar tekisligi C da D sohani qaraylik. Uning chegarasi ∂D silliq (bo’lakli silliq) chiziqdan iborat. Bu yopiq egri chiziq musbat yo’nalishda olingan bo’lsin. Aytaylik, D da f(z) funksiya aniqlangan bo’lsin. Teorema: Agar f(z)∈V (D )∩ C (D ) bo’lsa, u holda ∀ z∈D nuqta uchun ………………………………… f(z)= 1 2πi ∫ ∂D f(ξ) ξ− z (1) tenglik o’rinli bo’ladi. O’ng tomonda f(z) funksiyamizni faqat chegaradagi qiymatlar ishtirok qilyapti. Demak golomorf funksiya o’zini chegaradagi qiymatlari bilan to’la aniqlanadi.

Isbot: Etarlicha kichiq  son uchun U ρ= {z:|z'− z|< ρ} doirani qaraymiz (U ρ⊆ D ) , u holda D ρ= D {U ρ¿ sohada f(ξ) ξ−z funksiya 2 ta golomorf funksiyaning nisbati sifatida (maxraji nolga teng emas) golomorfdir (hattoki D ρ da ham). Ko’p bog’lamli soha uchun Koshi teoremasiga ko’ra ∫ ∂Dρ f(ξ) ξ− z dξ = 0 yoki bundan Endi ρ→ 0 da o’ng tomon 2πif(z) ga intilsa bas. Shuni ko’rsatamiz. f(z) funksiya z nuqtada uzluksiz bo’lganligi uchun ∀ ε>0 songa ko’ra, ∃δ>0 ni |ξ− z|= ρ<δ bo’lganda |f(ξ)− f(z)|<ε tengsizlik bajariladi. B undan