Mavzu: O D D I Y D I F F E R E N S I A L TENGL A M A L A R U C H U N C H E G A R A V I M A S A L A L A R N I T A Q R I B I Y Y E C H I S H

Mavzu: : O D D I Y D I F F E R E N S I A L TENGL A M A L A R U C H U N C H E G A R A V I M A S A L A L A R N I T A Q R I B I Y Y E C H I S H Reja . ׀ . Kirish ׀׀ . Asosiy qisim 1 Ikkinchi tartibli chiziqli chegaraviy masalani Koshi masalasiga keltirish 2 Chekli ayirmali metod bilan ikkinchi tartibli chegaraviy masalani yechish 3 Taqribiy analitik metodlar , Galerkin metodi ׀׀׀ Foydalanilgan adabiyotlar

Kirish Tabiiy fanlar va muhandislik hisoblarining ko‘plab tadqiqotlarida differensal tenglamalarning berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlanti- ruvchi yechimlarini topish talab etiladi. Boshlang‘ich yoki chegaraviy masalalarni yechish – bu juda keng ma’noda bo‘lib, ular aniq analitik usullar va taqribiy sonli usullardir. Analitik usullar bilan biz differensial tenglamalar fanidan tanishmiz. Bu usullar faqat tor doiradagi tenglamalar sinfinigina yechish imkonini beradi. Xususan, bu usullar o‘zgarmas koeffitsiyentli ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni yechishda keng qo‘llaniladi. Bunday tenglamalar ko‘plab fizik jarayonlarni tadqiq qilishda uchraydi, masalan tebranishlar nazariyasida, qattiq jismlar dinamikasida va shunga o‘xshash. Taqribiy usullar kompyuterlar paydo bo‘lmasidan ancha avval ishlab chiqilgan. Hozirgi kunda ham ularning ko‘pchiligi amaliyotda o‘z mazmunini yo‘qotgani yo‘q. Taqribiy usullar umumiy holda ikki guruhga bo‘lnadi: taqribiy- analitik usullar (boshlang‘ich yoki chegaraviy masalaning berilgan kesmadagi taqribiy yechimini biror funksiya ko‘rinishida izlash); sonli yoki to‘r usullar (boshlang‘ich yoki chegaraviy masalaning berilgan kesmadagi taqribiy yechimini qurish). Zamonaviy hisoblash texnikasi va yig‘ilgan hisoblash tajribalari differensial tenglamalarning katta va murakkab masalalarini taqribiy yechish imkonini bermoqda. Sonli hisoblashlarda eng muhim jihat bu yetarlicha aniqlikda izlanayotgan taqribiy yechimga erishishdir. Bu aniqlikning muhim jihatlari esa EHMdan foydalanish aniqligi, kiritilayotgan ma’lumotlarda yo‘l qo‘yilishi mumkin bo‘lgan xatoliklar va yaxlitlash natijasida paydo bo‘ladigan xatoliklardan qutilishdir. Hozirgi kunda ko‘plab zamonaviy matematik paketlar mavjudki, ular oddiy differensial tenglamalarni yetarlicha aniqlikda

ham analitik va ham sonli yechib berish imkoniyatga ega [1, 10, 11, 14]. Buning uchun esa oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechishning hisoblash usullari va ularning xususiyatlari bilan yaqindan tanishishni talab qiladi. Bu bilan birga shunday masalalar ham uchraydiki, ularni mavjud usullar bilan emas, balki ularning modifikatsiyasi, yangi uslubi va algoritmi bilan yechish lozim bo‘ladi. Umuman olganda, oddiy differensial tenglama bilan berilgan chegara- viy- masala: yagona yechimga ega; yechimga ega emas; bir nechta yoki cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lishi mumkin. 1 § Ikkinchi tartibli chiziqli chegaraviy masalani Koshi masalasiga keltirish Faraz qilaylik, [ a, b] oraliqday y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)= f(x) (1) differensial tenglama berilgan bo‘lib, uning a0y(a)+a1 y(a)= A |a0|+|a1|≠ 0, (2) β0y(b)+β1y(b)= B |β0|+|β1|≠ 0 chegaraviy shartlami qanoatlantiradigan yechimini topish masalasini ko‘ramiz. Yechimni y(x)=cu (x)+z(x) (3) ko‘rinishda qidiramiz, bu yerda c - konstanta, u(x) esa (1) ga mos keluvchi

u''(x)+p(x)u'(x)+q(x)u(x)=0 (4) bir jinsli tenglamaning noldan farqli yechimi, z(x) z''(x)+p(x)z'(x)+q(x)z(x)= f(x) ( 5) tenglamaning qandaydir yechimi. (3) bilan aniqlangan y(x)=cu (x)+z(x) yechim ixtiyoriy c da (1) ni qanoatlantirishiga ishonch hosil qilish qiyin emas. Ixtiyoriy [ c ] uchun (2) ning birinchisi o‘rinli bo‘lishini talab etamiz, u holda ca 0u(a)+a0z(a)+ca 1u(a)+a1z(a)= A bo‘lib, undan c[a0u(a)+a1u(a)]+a0z(a)+a1z(a)= A (6) hosil bo‘ladi. Bu tenglik ixtiyoriy c larda o‘rinli bo'lishi uchun quyidagi tengliklar bajarilishi kerak: a0u(a)+a1u(a)=o ( 7) a0u(a)+a1u(a)= A Agar ixtiyoriy c≠0 uchun u(a)=a1c, , u(a)=−a0c (8) deb olsak, unda (7) ning birinchisi o‘rinli bo‘ladi, uning ikkinchisining o‘rinli bo‘lishligini ta'minlash uchun a 0 ≠ 0 bo‘lgan z(a)= A a0 z(a)=a1c, (9)