Oddiy differensial tenglamalarni chekli elementlar usuli bilan yechish

Загружено в:

08.08.2023

Скачано:

0

Размер:

102.8095703125 KB

Скачать

Mavzu: Oddiy differensial tenglamalarni chekli elementlar
usuli bilan yechish
Reja:
Kirish.
I.Nazariy qism.
1. Umumiy mulohazalar.
II.Asosiy qism.
1. Oddiy differensial tenglamalarni;
2. ODT uchun chegaraviy masalalarni (ChM) yechish
usullari tasnifi;
3. Oddiy differensial tenglamalarni sonli va taqribiy
yechish;
4. Chekli-ayirmali metod bilan ikkinchi tartibli
chegaraviy masalalarni yechish
Xulosa.

KIRISH. Xalq xo’jaligining etakchi tarmoqlarida ishlash va
ularni rivojlantirish o’z oldiga maqsad qilib olgan harbir yosh
mutaxassis o’z faoliyatida fan va texnika yutuqlari bilan yetarli
darajada qurollangan bo’lishi zarur. Hayotga joriy qilinayotgan
"Ta’lim to’g’risidagi" qonun va "Kadrlar tayyorlash milliy
dasturi" Respublikamizda ta’lim tizimini isloh qilish va buning
natijasi sifatida ertangi kunimizni bugungidan yaxshi bo’lishini
ta’minlay oladigan kadrlar etishtirib chiqarishga qaratilgan.
Amaliy masalalarni yechishda ko’p matematik masalalarni
aniq yechimini topish etarlicha murakkab masaladir, chunki
izlanayotgan yechim elementar funksiyalar orqali yangi davr
shaxsiy kompyuterlarining paydo bo’lishi bilan qo’yilgan
masalalarni sonli usullar bilan yechish alohida o’rin oladi. Sonli
usullar bu qo’yilgan masalalarni shunday usullariki uni EHM
boshqaradigan arifmetik va mantiqiy amallarni sonlar ustida
bajarishdan iborat.
Suyuqlik uzluksiz va ajralmas fizik jism deb qaralib, tutash
muhit mexanikasining bir bo’limi sifatida ham qaraladi. Suyuqlik
va gaz mexanikasiga xos bo’lgan taqribiy hisoblash usullarini
o’rgatish, olgan nazariy bilimlarini masalalar yechishga tadbiq
eta bilish, ularda mantiqiy mushohada qilish kabi, inson
faolliyatining barcha sohalari uchun zarur bo’lgan qobiliyatni
shakllantirishdan iboratdir.

1. Chegaraviy masalalarni echish usullari
ODT uchun ChM ni echishda samarali ta q ribiy va sonli
usullar ishlab chi q ilgan. Ta q ribiy usullarga kollokatsiya, eng
kichik kvadratlar, sohachal a r usullari, bundan tash q ari samarali
va universal b o` lgan Galyorkin usuli kiradi.
ODT uchun chegaraviy masalalarni sonli echish usullari
ayirmali echimni tuzishga asoslangan. Ayirmali usullar o` zining
q ulayligi va o` ta universalligi sababli keng q o` llaniladi.
Chekli ayirmalar usuli
Quyidagi Lu = u''+ p(x)u'+ q(x)u= f(x),
(5)
tenglamaning
l0y= c1y(a)+c2y'(a)= c,
l1y= d1y(b)+d2y'(b)= d.
(6)
shartlarni qanoatlantiruvchi echimini topish talab etilgan bo`lsin.
Masalani sonli yechish izlanayotgan u(x) haqiqiy echimning
x
0 , x
1 , x
2 ,..., x
n nuqtalardagi y
0 , y
1 ,...y
n taqribiy qiymatlarini
topishdan iborat. x
i , nuqtalar to`r tugunlari deb ataladi. Bir-
biridan bir xil uzoqlikda joylashgan tugunlar sistemasidan hosil
bo`lgan quyidagi tekis to`rni qo`llaymiz

x
i =x
0 +ih, i=0,1,2,...,n.
Bundan
x
0 =a, x
n =b, h=(b-a)/n.
h – kattalik to`r qadami .
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz
p(x
i )=p
i , q(x
i )=q
i , f(x
i )=f
i ,y(xi)= yi, y'(xi)= yi
', y''(xi)= yi
''.
y'(xi)
va y''(xi) larni har bir ichki tugunda ayirmali
markaziy hosilalar yordamida a pproksim atsiyalaymiz
y'
(xi)=
yi+1− yi−1
2h
+O (h2)
, y''(xi)=
yi+1− 2 yi+ yi−1
h2 +O (h2).
Kesma
oxirilarida bir
tomonlama ayirmali іosilalarni qo`llaymiz
Bu formulalarni qo`llab (5), (6) berilgan masala ayirmali
approksimatsi yasini hosil qilamiz :
{
y
i+1
−2y
i
+y
i−1
h
2
+p
i
y
i+1
−y
i−1
2h
+q
i
y
i
=f
i
, i=1,n−1,¿
{
c
1
y
0
+c
2
y
1
−y
0
h
=c, ¿¿¿¿
(7)
Izlanayotgan echimning y
0 , y
1 ,…, y
n taqribiy qiymatlarini
topish uchun (7) n+1 noma`lumli n+1 ta chiziqli tenglamalar
sistemasini echish zarur . Bu sistemani CHATS ni echishning
biron bir standart usullari yordamida echish mumkin. Ammo (7)
y0
'=
y1− y0
h
+O (h), yn
'=
yn− yn−1
h
+O (h).

tenglamalar koeffitsient laridan tuzilgan matritsa uch
dioganallidir , shuning uchun uni echishda progonk a usuli deb
ataluvchi maxsus usulni qo`llaymiz .
(7) sistem ani quyidagi tarzda yozamiz {β
0
y
0
+γ
0
y
1
=ϕ
0¿{α
i
y
i−1
+β
i
y
i
+γ
i
y
i+1
=ϕ
i
, i=1,2,...,n−1¿¿¿¿
(8)
bunda

0 = c
1 h-c
2 , 
0 =c
2 , 
0 =s
2 , 
0 =hs
,

I =f
i h 2
,
αi= 1− 1
2
pih , βi= − 2+ qih2 , γi= 1+
pih
2
, i= 1,2 ,...,n− 1
,

n = – d
2 , 
n =hd
1 + d
2
, 
n =hd.
(8) sistem a echimini quyidagi ko`rinishda izlaymiz
y
i =u
i +v
i y
i+1 , i=0, 1, . . . , n-1, (9)
bu erada u
i , v
i , i=0,1,…,(n-1) lar progon ka koeffitsient lari deb
ataladi .
(9) ni (8) ga qo`yib u
i , v
i lar uchun quyidagi rekkurent
formul ani hosil qilamiz :
vi= −
γi
βi+αivi−1
, ui=
ϕi− αiui−1
βi+ αivi−1
, i= 1 ,n.
(10)
Hisoblash sxemasini bir jinsli qilish uchun

0 =0, 
n =0 ,
deb olamiz.
Progonka usuli ikki bosqichdan iborat .

1) Progonkaning to` g` ri yo`li . (10) bo`yicha i indes
o`zgarishining o`sib borish tartibida ketma-ket u
i , v
i
koeffitsient lar v0= −
γ0
β0
, u0=
ϕ0
β0
,
qiymatlar yordamida hisoblanadi.
2) Progonkaning teskari yo`li. (9) formul a bo`yicha i
indeks ning kamayish tartibida ketma-ket y
n , y
n-1 ,…,y
0 kattaliklar
aniqlanadi.
SHunday qilib

n =0, u holda v
n =0 va
y
n =u
n , ya`ni
progonkaning to`ғri yo`lida v
i , u
i kattaliklar yordami bilan y
n
echim hisoblanadi .
SHunday qilib, progonka usuli bilan (9) sistem aning aniq
echimini topa olamiz , bu esa (5), (6) chegaraviy masala echimi
xatoligi faqat berilgan masala ayirmali approksimatsi ya xatoligi
bilan aniqlanishini va xatolik O(h) ga teng ekanligini ko`rsatadi .
(9) sistem ani
αiyi−1− βiyi+γiyi+1= ϕi, i= 1,n− 1 ,
y0= χ1y1+μ1, yn= χ2yn−1+μ2,
(11)
ko`rinishda yozamiz, bu erda
χ1= −
γ0
β0
, μ1=
ϕ0
β0
, χ2= −
αn
βn
, μ1=
ϕn
βn
, βi= 2− qih2,
αi≠ 0 , βi≠ 0
.
U holda (10) formul a quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi
vi=
γi
βi− αivi−1
, ui=
αiui−1− ϕi
βi− αivi−1
.
(12)

x= b nuqtada ( ya`ni i= n da ) yn
{yn= χ2yn−1+μ2¿¿¿¿
sistem adan
yn
yn= χ2(un−1+vn−1yn)+ μ2, (1− χ2vn−1)yn= χ2un−1+ μ2
yn=
χ2un−1+ μ2
1− χ2vn−1
(13)
kabi aniqlanadi.
(12), (13) formulalar ma`noga ega bo`ladigan etarlilik
shartlarini isbotlaymiz:
|βi|≥ |αi|+|γi|, i= 1 ,n− 1 , |χi|≤ 1 , i= 1,2 , |χ1|+|χ2|< 2.
(14)
Bu shartlarda
i= 0,n− 1 uchun |vi|≤ 1 bo`lishini ko`rsatamiz.
|vi−1|≤1
bo`lsin. Bundan |vi|≤ 1 bo`lishini ko`rsatamiz.
SHunday qilib
|v0|=|χ1|≤ 1 , u holda bundan barcha i=1,2 ,...,n− 1 lar
uchun
|vi|≤ 1 bo`lishligi kelib chiqadi.
(14) qo`llab quyidagi ayirmani baholaymiz
|βi− αivi−1|−|γi|≥|βi|−|αi|⋅|vi−1|−|γi|≥
¿|αi|+|γi|− |αi|⋅|vi−1|−|γi|= |αi|− |αi|⋅|vi−1|= |αi|⋅(1− |vi−1|)≥ 0
.
Bundan
|βi− αivi−1|≥|γi| .
SHunday qilib
γi≠ 0 , u holda |βi− αivi−1|>0 , ya`ni
|vi|=
|γi|
|βi− αivi−1|
≤ 1
.

$Bundan ko`rinadiki agar |vi−1|<1 bo`lsa , u holda |vi|<1 bo`ladi . |v0|=|χ1|<1 da barcha |vi|<1 bo`ladi . ( 10 ) ning maxrajini baholaymiz : |1− χ2vn−1|≥ 1−|χ2|⋅|vn−1|≥ 1−|χ2|>0 , bundan |χ2|<1 yoki |vn−1|<1 ( |χ1|<1 da ), ya`ni |1− χ2vn−1|>0 . Agar |βi0|>|αi0|+|γi0| hech bo`lmaganda bitta i= i0 nuqtada bajarilsa , u holda barcha i>i0 uchun |vi|<1 bajariladi va jumladan i= n− 1 da |vn−1|<1 ga ega bo`lamiz . Bu holda |χ1|+|χ1|<2 shart ortiqcha hisoblanadi , chunki |χ1|=1 va |χ2|=1 da |1− χ2vn−1|≥ 1−|χ2|⋅|vn−1|>0 bo`ladi . Faraz qilaylik, \ a,b\ da quyidagi Uy) = /0)+ p(x)y' (*)+ q(x)y(x)= /O) 0) «0 /«)+«] y(a)=A, ja0j + |a,|^O, (2) PoJ'(*)+Pi/(6)=5. |Po|+|P.hO (3) chegaraviy masala berilgan boiib, u yagona yechimga ega boisin. \a,b\ oraliqni h = (h-a)/N qadam bilan teng N boiakka boiib, {xi }”_o to r hosil qilamiz: a =■ jc0 < < x2 < ■ • ■ < xN = b . (4) i \N Endi (1) ni x.,x2,...,xN^ nuqtalarda, ya’ni {+,}(_0 to‘ming ichki nuqtalarida, (2) va (3) ni mos ravishda x0, xN nuqtalarda qaraymiz. (1) da x = Xj i = \,2,...,N-l desak, y"(Xi)+p(xi)y(xi)+ q(x/)y(Xi)= f(xt), i=\,i,...,N-\, (5)$ $hosil boiadi. Bu yerda /(*,), /(*,) lami y(x) funksiya qiymatlari orqali approksimatsiya qilamiz. Buning uchun xt nuqta atrofida y(x) to‘rtinchi tartibli hosilaga ega, deb hisoblaymiz va quyidagi yoyilmalami hosil qilamiz: Mx,.+1)=^. + /i)=Mxp+^/(xi)+|/(x,)+|/'(xi)+|//K'(xj +0/1), (6) 0 < 0 < 1, 0 < 0j < 1. Bulardan quyidagilarga ega bo‘lamiz:-l^lty^L=y'iXj)+o(hX ( 8 ) n rM-yi*:-,) =y.{Xi>m, (9) h y(xi+\)-y(xi-\) _y’(x\+0(h2) . (10) 2 h Bulaming chap tomoni mos ravishda o ‘ng hosila, chap hosila va markaziy hosila deb ataladi. Shunga o‘xshash y (x;) uchun (H) formulani hosil qilish mumkin. Endi (5)dan (10), (11) larga asosan XynHyX-s-i(12) h“ ln ni hosil qilamiz, bundan esa i - - \2-h2<i(xi)\y(x,)+ J , l + ~^p(xi )y .y(-rl>l) = (13) = h2f(xi) + o(h/l), i = l,2,...,N-l$ $ko‘rinishga ega bo‘lgan (5) ning to‘ming ichki nuqtalaridagi approksimatsiyasi hosil bo‘ladi. Shuningdek, (2), (3) chegaraviy shartlaming (8), (9) formulalami ishlatib approksimatsiyasini topamiz: (ao/z-a^jKxo) + a, y(x,) = hA + o{h2), (14) -Pi ^(^-i) —(Pi + /2P0 )y(x„) = hB+o(h2). (15) Endi (13), (14), (15) lardagi o(h%) va o(h2) lami tashlab yuborib hamda quyidagi belgilashlami kiritib Ci = 2~h q(x,), Bi=\ + -p(xl), y{xt) = ylt a, hA p, hB Xi =z~zr’ =71— X2=~JT’ M -2 a^-hoiQ Pi+*Po ’ 2 Pi+^Po Aa0-aj' quyidagi tenglamalar sistemasini 7o =Xi 7i +Mu 1 4>Vi - Cy, + B,yM =h2fi, i = ) (16) yN - x .2 yN~\ +M2 hosil qilamiz. Bu tenglamalar sistemasining matritsasi uch diagonalli. Bunday sistemalami yechish uchun odatda haydash usuli qo‘llanadi. (16) ning yechimini quyidagi yi+i =aMyi + bM, i = 0,l,...,N-l (17) ko‘rinishda izlaymiz, bu yerda aM,bM lar noma'lumlar. (17) dan quyidagilarga ega bo‘lamiz: yi = a,y,-i + b, ,$ $y i+1 = aM yt + bM = a, aM yt-i + aM bt + bM. Bu ifodalami (16) ga qo‘ysak, [4 - ", (C., - B,aM )]yM + [6,.( B,aM-C]) + B,bM - hlf{ ] - 0 hosil bo‘ladi. Agar a, = 4 __ fj = B'bM h2fj J2 D „ » ui n D - ’ * *>*'v>-'v 1 crBiat*t Ci~BiaM bo‘lsa, yuqoridagi tenglik o‘rinli bo‘ladi. aN va bN lami esa (16) ning oxirgi tenglamasidan va (17) da i = N-1 bo‘lganda topamiz: aN=Xi, bN =B2- (16) ning birinchisi va (17) da / = 0 desak .. _ xA+Vi yo - ...... l-Xi a\ hosil bo‘ladi. Shunday qilib, (16) tenglamalar sistemasini haydash usuli bilan yechish algoritmini hosil qildik: 4 u _ AAn-^y; 1 CrB,a ,>’ aN ~X2’ ^>n=V -2, } (l^) y » 1 = Oi+i^,-+*>+i. /=o,i,...,jv-i y° /(l-X i«i) j Bu algoritm bo‘yicha y, lar chegaraning chap nuqtasidan boshlab ketma-ket topiladi, shuning uchun (18) formulalar chapdan haydash formulalari deyiladi. Xuddi shuningdek, o‘ngdan haydash formu- lalarini chiqarish mumkin: ? =__4__„ _ r\A~hlfi$

’i+1 C^A, ’ "+' C-ti,4 ’
5i=Xp ni =M-i,
X- = SwXi+i + Hi+i, i = 0,l,...,iV-1
Agar a(. koeffitsiyentlar moduli bo‘yicha birdan kichik bo‘lsa, u
holda (18) haydovchi formulalar turg ‘un deyiladi.
Quyidagi teorema o‘rinlidir.
Teorema. Agar
1
}> (19)
J
4 > 0, Bt > 0, C, > 4 + B', i = l,2,...,iV-l;
o < Xp x2 < 1
shartlar bajarilsa, u holda haydashni bajarish mumkin va u
turg‘un bo‘ladi.
Isboti. Haqiqatan ham, 0 < aN = i2 < 1 ekanhgi teorema
shartidan kelib chiqadi. Faraz qilaylik, 0 < al+1 < 1 bo‘lsin, u
holda
0 < a, =
4-
(c-4-4)+4+(i-ai+1)4
<1 bo‘ladi, chunki maxraj suratdan katta. Demak, i = 1,2,...,7V
— 1 uchun 0 < at < 1. Endi 0 < < 1 shart 0 < at < 1 bilan
birgalikda y0 ni
aniqlaydigan formulada maxraj noldan farqligini ta'minlaydi.
Ba’zi bir tatbiqiy masalalami yechishda to‘r usulini emas, balki
yechimni, taqribiy boTsada, analitik ko‘rinishda topish talab
etiladi. Bunday hollarda yechimning aniqligi darajasi yuqori

$bo‘lishligi talab qilinmaydi, ammo aniq yechim o'rniga shunday funksiyani qurish talab etiladiki, u chegaraviy shartlami qanoatlantirishi kerak hamda differensial tenglamaga bogTiq boTgan qandaydir munosabatlaming bajarilishini talab etadi. Yuqoridagi talablarga javob bemvchi fiinksiya taqribiy ravishda differensial tenglamani ham qanoatlantiradi. Bu munosabatlami hosil qilishda qo‘yiladigan talablarga qarab turli metodlar hosil boTadi. 8.4.1. Kollokatsiya metodi Faraz qilaylik, quyidagi L(y) /(x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) =f(x) (1) le(y) = ^oy(a)+a.iy\a)=A, |a0| + |a,|*03 (2) h(y) = Po kW+P, Ab)= B, |p0| + |p,|^ 0. (3) chegaraviy masala berilgan boTsin. Bu masalaning taqribiy yechimini n y„ (/=<p0 (*) + Z ckVk W (4) k=l ko‘rinishda izlaymiz, bu yerda tyk(x) (k = 0,1,...,«) - maTum funksiyalar boTib, ular hozircha U<Po) = 4 '4(<Po) = S, latot) = lbtot) = 0,k = l2,...,n shartlami qanoatlantirishi talab qilinadi. U holda ixtiyoriy ct (k = l,2,...,n) lar uchun yn(x) (2), (3) chegaraviy shartlami qanoatlantiradi, ammo u differensial tenglamani qanoatlantirmasligi mumkin, ya’ni L(yn)^f(x). y„(x) (l)ning aniq yechimi y(x) bilan aynan bir xil boTgan hol bundan istisno. L(yn) = f(x) tenglikni \a,b\ ga tegishli turli jc,,x2,...,jcn nuqtalarda bajarilishini talab qilsak, noma'lum ck (k = 1,2,...,«) parametrlami topishuchun flckL((pk(xi)) = /(x^-L^ix^), i = l,2,...,/i (5) k =1$ $ko‘rinishga ega chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo‘lishi uchim (x) (k = 1,2,...,«) lar quyidagi shartlami qanoatlantirishi kerak: 1) bu funksiyalar chiziqli bog‘liqsiz bo‘lishi kerak; 2) p(x), q(x), f (x) funksiyalar [a,b | da uzluksiz bo‘lsa, cpj(x)e C2[a,6| bo‘lishi kerak; 3) (PfcOO (k = 1,2,...,«) funksiyalar yordamida hosil qilingan sistema L(<pk(xf) (k = l,2,...,n) ixtiyoriy va turli x, (/= 1,2,...,«) nuqtalar uchun Chebishev sistemasini tashkil qilishi kerak. Ta’rif. Agar [a,b\ ga tegishli va turli xt (i = 1,2,...,«) nuqtalar uchun (Pl(Xi) cp^Xj) (p,(x2) (p2(x2) <p«(*l) 9B(*2) *0 <Pi(*J <P2 (■*■») ••• <P„(*J bo‘lsa, (pt(x) (k = 1,2,..,,«) funksiyalar sistemasi [ a,b\ da Chebishev sistemasini tashkil etadi deyiladi. Endi (5) ni yechib, noma’lum parametr ck (k = 1,2,...,«) lami topamiz va (l)-(3) chegaraviy masala yechimini n 4=1 ko‘rinishda topgan bo‘lamiz.$ $Shuni eslatib o‘tamizki, bu metoddagi L(yA*))\x x = 1((p0W)L=;r + 5>*£(tP*to) IX-Xj >X=X, i = l,2,...,« shartlaming bajarilishi L(yn(x)) ning L(q>k(x)) funksiyalar sistemasi bo‘yicha xt (i = 1,2,...,«) nuqtalarda interpolyatsiyalanishini angla- tadi. Bunday interpolyatsiyalash mumkin va yagona boiishligi uchun |a,6|da L(tyk(x)) funksiyalar sistemasi Chebishev sistemasidan iborat boiishligi kerak. Xulosa. Men bu kurs ishini tayyorlab, Erkli o’zgaruvchi x, noma’lum funksiya y va uning hosilalari orasidagi bog’lanishdan iborat bo’lgan tenglamaga differensial tenglama deyiladi. N oma’lum funksiya faqat bitta o’zgaruvchiga bog’liq bo’lsa,bunday differensial tenglamaglarga, xususiy hosilali differensial tenglamalar deyiladi. Differensial tenglamaga kirgan hosilalarning eng yuqori tartibiga differensial tenglamaning tartibi deyiladi. y"=3x², y"'=cos x tenglamalar mos ravishda ikkinchi va uchinchi tartibli tenglamalarga misol bo’ladi. Umumiy holda m-tartibli differensial tenglama F(x,y,y',y'',…,y )=0 ͫ ko’rinishda belgilanishini bildim.$

Adabiyotlar
1. Флетчер К. Численные методы на основе метода
Галеркина. М: Мир, 1988. (36-45 betlar)
2. Х ў жаёров Б . Х . Қ урилиш масалаларини сонли ечиш
усуллари . Тошкент, “Ў збекистон ” , 1995. (102-106 betlar )
3. Демидович Б.П., Марон И.А, Шувалов Э.З. Численные
методы анализа. М: Гос.изд. физ-мат. лит. 1962. (255-
264 betlar)
4. Волков Е.А. Численные методы. М: Наука, 1982. (193-
200 betlar)
5. Исраилов М.И. Ҳ исоблаш усуллари. Тошкент:
Укитувчи, 1996.
6. www.ziyo.net

Mavzu: Oddiy differensial tenglamalarni chekli elementlar usuli bilan yechish Reja: Kirish. I.Nazariy qism. 1. Umumiy mulohazalar. II.Asosiy qism. 1. Oddiy differensial tenglamalarni; 2. ODT uchun chegaraviy masalalarni (ChM) yechish usullari tasnifi; 3. Oddiy differensial tenglamalarni sonli va taqribiy yechish; 4. Chekli-ayirmali metod bilan ikkinchi tartibli chegaraviy masalalarni yechish Xulosa.

KIRISH. Xalq xo’jaligining etakchi tarmoqlarida ishlash va ularni rivojlantirish o’z oldiga maqsad qilib olgan harbir yosh mutaxassis o’z faoliyatida fan va texnika yutuqlari bilan yetarli darajada qurollangan bo’lishi zarur. Hayotga joriy qilinayotgan "Ta’lim to’g’risidagi" qonun va "Kadrlar tayyorlash milliy dasturi" Respublikamizda ta’lim tizimini isloh qilish va buning natijasi sifatida ertangi kunimizni bugungidan yaxshi bo’lishini ta’minlay oladigan kadrlar etishtirib chiqarishga qaratilgan. Amaliy masalalarni yechishda ko’p matematik masalalarni aniq yechimini topish etarlicha murakkab masaladir, chunki izlanayotgan yechim elementar funksiyalar orqali yangi davr shaxsiy kompyuterlarining paydo bo’lishi bilan qo’yilgan masalalarni sonli usullar bilan yechish alohida o’rin oladi. Sonli usullar bu qo’yilgan masalalarni shunday usullariki uni EHM boshqaradigan arifmetik va mantiqiy amallarni sonlar ustida bajarishdan iborat. Suyuqlik uzluksiz va ajralmas fizik jism deb qaralib, tutash muhit mexanikasining bir bo’limi sifatida ham qaraladi. Suyuqlik va gaz mexanikasiga xos bo’lgan taqribiy hisoblash usullarini o’rgatish, olgan nazariy bilimlarini masalalar yechishga tadbiq eta bilish, ularda mantiqiy mushohada qilish kabi, inson faolliyatining barcha sohalari uchun zarur bo’lgan qobiliyatni shakllantirishdan iboratdir.

1. Chegaraviy masalalarni echish usullari ODT uchun ChM ni echishda samarali ta q ribiy va sonli usullar ishlab chi q ilgan. Ta q ribiy usullarga kollokatsiya, eng kichik kvadratlar, sohachal a r usullari, bundan tash q ari samarali va universal b o` lgan Galyorkin usuli kiradi. ODT uchun chegaraviy masalalarni sonli echish usullari ayirmali echimni tuzishga asoslangan. Ayirmali usullar o` zining q ulayligi va o` ta universalligi sababli keng q o` llaniladi. Chekli ayirmalar usuli Quyidagi Lu = u''+ p(x)u'+ q(x)u= f(x), (5) tenglamaning l0y= c1y(a)+c2y'(a)= c, l1y= d1y(b)+d2y'(b)= d. (6) shartlarni qanoatlantiruvchi echimini topish talab etilgan bo`lsin. Masalani sonli yechish izlanayotgan u(x) haqiqiy echimning x 0 , x 1 , x 2 ,..., x n nuqtalardagi y 0 , y 1 ,...y n taqribiy qiymatlarini topishdan iborat. x i , nuqtalar to`r tugunlari deb ataladi. Bir- biridan bir xil uzoqlikda joylashgan tugunlar sistemasidan hosil bo`lgan quyidagi tekis to`rni qo`llaymiz

x i =x 0 +ih, i=0,1,2,...,n. Bundan x 0 =a, x n =b, h=(b-a)/n. h – kattalik to`r qadami . Quyidagi belgilashlarni kiritamiz p(x i )=p i , q(x i )=q i , f(x i )=f i ,y(xi)= yi, y'(xi)= yi ', y''(xi)= yi ''. y'(xi) va y''(xi) larni har bir ichki tugunda ayirmali markaziy hosilalar yordamida a pproksim atsiyalaymiz y' (xi)= yi+1− yi−1 2h +O (h2) , y''(xi)= yi+1− 2 yi+ yi−1 h2 +O (h2). Kesma oxirilarida bir tomonlama ayirmali іosilalarni qo`llaymiz Bu formulalarni qo`llab (5), (6) berilgan masala ayirmali approksimatsi yasini hosil qilamiz : { y i+1 −2y i +y i−1 h 2 +p i y i+1 −y i−1 2h +q i y i =f i , i=1,n−1,¿ { c 1 y 0 +c 2 y 1 −y 0 h =c, ¿¿¿¿ (7) Izlanayotgan echimning y 0 , y 1 ,…, y n taqribiy qiymatlarini topish uchun (7) n+1 noma`lumli n+1 ta chiziqli tenglamalar sistemasini echish zarur . Bu sistemani CHATS ni echishning biron bir standart usullari yordamida echish mumkin. Ammo (7) y0 '= y1− y0 h +O (h), yn '= yn− yn−1 h +O (h).

tenglamalar koeffitsient laridan tuzilgan matritsa uch dioganallidir , shuning uchun uni echishda progonk a usuli deb ataluvchi maxsus usulni qo`llaymiz . (7) sistem ani quyidagi tarzda yozamiz {β 0 y 0 +γ 0 y 1 =ϕ 0¿{α i y i−1 +β i y i +γ i y i+1 =ϕ i , i=1,2,...,n−1¿¿¿¿ (8) bunda  0 = c 1 h-c 2 ,  0 =c 2 ,  0 =s 2 ,  0 =hs ,  I =f i h 2 , αi= 1− 1 2 pih , βi= − 2+ qih2 , γi= 1+ pih 2 , i= 1,2 ,...,n− 1 ,  n = – d 2 ,  n =hd 1 + d 2 ,  n =hd. (8) sistem a echimini quyidagi ko`rinishda izlaymiz y i =u i +v i y i+1 , i=0, 1, . . . , n-1, (9) bu erada u i , v i , i=0,1,…,(n-1) lar progon ka koeffitsient lari deb ataladi . (9) ni (8) ga qo`yib u i , v i lar uchun quyidagi rekkurent formul ani hosil qilamiz : vi= − γi βi+αivi−1 , ui= ϕi− αiui−1 βi+ αivi−1 , i= 1 ,n. (10) Hisoblash sxemasini bir jinsli qilish uchun  0 =0,  n =0 , deb olamiz. Progonka usuli ikki bosqichdan iborat .

Oddiy differensial tenglamalarni chekli elementlar usuli bilan yechish

08.08.2023

0

102.8095703125 KB

Похожие