Byurgers tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan sonli yechish

Загружено в:

12.08.2023

Скачано:

0

Размер:

1200.5 KB

Скачать

Byurgers tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan sonli yechish
Mundarija
Kirish.
I.Nazariy qism.
1.1 Umumiy mulohazalar.
II.Asosiy qism.
2.1 Byurgers tenglamasi. Xossa, fizik ma’ no va analitik yechim.
2.2 Byurgers tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan sonli yechish.
2 .3 Byurgers tenglamasini taqribiy yechishning (VVCP),Dyufort–Frankelning
«chexarda» sxemasi, Allen – Chen usuli, Laks–Vendroff usuli.
2.4 Byurgers tenglamasini taqribiy yechishning algoritmi, dasturi va natijalar
tahlili.
Xulosa.
Foydalanilgan adabiyotlar.

Kirish.
Gidrodinamika tenglamalari nochiziqli. Bu shuni bildiradiki, juda kamdan kam holdagina
ularning analitik yechimlarini topish mumkin. Shuning uchun gidrodinamikada sonli
usullarni q o’ llash mutloq zarurligi ayon b o’ ladi. Hozirgi zamon hisoblash texnikasining
tezligi va operativ xotirasi fantastik tusda o’ sib bormoqda. Yildan yilga hisoblash
gidrodinamikasining juda tez takomillashishiga olib kelmoqda va o’ z navbatida yaqin
yillarda kompyuter hisoblari juda qimmat turadigan eksperimental tadqiqotlarni
almashtiradi. Hozirgi kunda suyuqlik va gazlarning gidrodinamik harakatini hisoblash
dasturlari ham mahsulot hisoblanadi, ular sanoat va ishlab chiqarishning turli
tarmoqlariga samarali q o’ llanilmoqda.
Hozirgi kunda gidrodinamika masalalarini yechishning bir qator hisoblash usullari
mavjud b o’ lib, ularni quyidagicha klassifikatsiya qilishimiz mumkin: chekli ayirmalar
usuli; chekli hajmlar usuli; chekli elementlar usuli; chegaraviy elementlar usuli; spektral
usul va hokazo.
Bu usullarning amaliyotda keng q o’ llanilib kelinayotgan har xil modifikatsiyalari
ham mavjud. Bulardan tashqari bu klassifikatsiyaga kirmaydigan ba’zi usullar ham
mavjud, masalan, yacheykalarda zarrachalar usuli; gibrid usullar; diskret uyurmalar usuli;
to’g’ridan to’g’ri statik modellashtirish; kletkali avtomatlar va hokazo.
Amaliy masalalarni yechishda ko’p matematik masalalarni aniq yechimini topish
etarlicha murakkab masaladir, chunki izlanayotgan yechim elementar funksiyalar orqali
yangi davr shaxsiy kompyuterlarining paydo bo’lishi bilan qo’yilgan masalalarni sonli
usullar bilan yechish alohida o’rin oladi. Sonli usullar bu qo’yilgan masalalarni shunday
usullariki uni EHM boshqaradigan arifmetik va mantiqiy amallarni sonlar ustida
bajarishdan iborat.

1.1 Umumiy mulohazalar.
Gidrodinamikada asosan nochiziqli masalalarni yechish zarur bo’ladi ,
bunda
Gidrodinamikada asosan nochiziqli masalalarni yechish zarur bo’ladi , bunda
bosim, zichlik, temperatura va tezlik xususiy hosilali nochiziqli tenglamalar
sistemasini yechish orqali topiladi.
Shuning uchun bunday masalalarni yechishda avvalo gidrodinamika
tenglama siga o’xshash tenglamani yechid olish lozim bo’ladi. Bu teng lama
fizik jarayonlarni tavsiflovchi hadlarni (komvektiv, diffuzion yoki dissipativ va
nostatsionar hadlarni) o’zida olgan bo’lishi zarur. Ana shunday nochiziqli
tenglama Byurgers tomonidan sodda holda taklif etilgan. Bu tenglama
quyidagi ko’rinishga ega:
Bu tenglamaning chap tarafidagi birinchi had nostatsionarlik hadi,
ikkinchisi konvektivlik hadi, tenglamaning o’ng tarafidagi had esa
qovushoqlik hadini bildiradi Agar qovushoqlik hadi nolga teng bo’lmasa, u
holda tenglama par abolik tipda, agar u nolga teng bo’lsa, u holda
tenglamada faqat nostatsionarlik va nochiziqli konvektivlik hadlari qoladi
(tenglama giperbolik tipda bo’ladi) va bu hol yuqorida yetarlicha yoritilgan.
Mazkur bobda Byurgersning parabolik tipdagi (to’la) tenglamasining ba’zi
matematik xususiyatlari va uni chekli ayirmalar usuli yordamida sonli
yechishning modeli, algoritmi va dasturi keltirilgan. Bundan tashqari

Byurgersning ikki o’lchovli tenglamasi orqali ifodalanuvchi masala ham
tadqiq qilingan.
ta’limiy – Byurgersning chiziqli va nochiziqli tenglamalari, masalaning
qo’yili shi, Byurgers tenglamasining xususiy holi va uning analitik yechim
haqidagi mavzuga oid materiallarini qabul qilish va ularni eslab qolish;
tarbiyaviy – ishontirish; xulqi ustidan nazorat; faol mustaqil ishlash;
mustaqil ishni bajarishda vaqtni to’g’ri taq simlash; javobgarlikni his qilish;
mehnat-sevarlik; yakka tartibda va guruhlarda hamkorlikda ishlash; raqibni
hurmat qilish; kelishuvchanlik; bir to’xtamga kelish; diqqatni jamlash;
sarishtalik;
rivojlantiruvchi – darslik bilan ishlash; ijodiy namuna; tahlil; taklif;
xulosa; tanqidiy qarash; xususiydan umumiyga o’tish; umumlashtirish;
nazariy, mantiqiy va analitik fikrlash; ijodiy yondashish; Internetdan
foydalanish.
Boshlang ’ich impuls funksiya bilan berilganda
Byurgersning to’la tenglamasini (qovushoq oqishni) yechishda optimal
boshlang’ich shartni topishni modellastirish, algoritmlastirish, dasturiy
ta’minotni yaratish va natijalarni tahlil qilis h hamda qo’yilgan masalaning
yechimini bir nechta ayirmali sxemalarda olib, natijalarni taqqoslash. Bu
masalani yechish uchun vaqt bo’yicha ilgariga va fazo bo’yicha markaziy
ayirma usuli (VVCP) va Mak– Kormak usulidan foydalanildi. Q o’yilgan
masalada Byurgersning ikki o’lchovli masalasi yechildi. Qo’yilgan masalani
yechish algoritmiga ko’ra Fortran algoritmik tilida dastur tuzildi.
2.1 By urgers t englamasi. X ossa, fi zik ma’ no v a analit ik y echim.

Gidrodinamikada asosan nochiziqli masalalarni yechish zarur bo’ladi ,
bunda
Gidrodinamikada asosan nochiziqli masalalarni yechish zarur bo’ladi ,
bunda bosim, zichlik, temperatura va tezlik xususiy hosilali nochiziqli
tenglamalar sistemasini yechish orqali topiladi.
Shuning uchun bunday masalalarni yechishda avvalo gidrodinamika
tenglama siga o’xshash tenglamani yechid olish lozim bo’ladi. Bu teng lama
fizik jarayonlarni tavsiflovchi hadlarni (komvektiv, diffuzion yoki dissipativ va
nostatsionar hadlarni) o’zida olgan bo’lishi zarur. Ana shunday nochiziqli
tenglama Byurgers tomonidan sodda holda taklif etilgan. Bu tenglama
quyidagi ko’rinishga ega:
Bu tenglamaning chap tarafidagi birinchi had nostatsionarlik hadi,
ikkinchisi konvektivlik hadi, tenglamaning o’ng tarafidagi had esa
qovushoqlik hadini bildiradi Agar qovushoqlik hadi nolga teng bo’lmasa, u
holda tenglama par abolik tipda, agar u nolga teng bo’lsa, u holda
tenglamada faqat nostatsionarlik va nochiziqli konvektivlik hadlari qoladi
(tenglama giperbolik tipda bo’ladi) va bu hol yuqorida yetarlicha yoritilgan.
Mazkur bobda Byurgersning parabolik tipdagi (to’la) tenglamasining ba’zi
matematik xususiyatlari va uni chekli ayirmalar usuli yordamida sonli
yechishning modeli, algoritmi va dasturi keltirilgan. Bundan tashqari
Byurgersning ikki o’lchovli tenglamasi orqali ifodalanuvchi masala ham
tadqiq qilingan.

Masalaning qo’y ilishi.
Masalaning shartlari quyidagicha:
– boshlan g’ ich impuls uchun Byurgersning t o’ la tenglamasini (qovushoq
oqishni) yechishda optimal boshlan g’ ich shartni aniqlash va Byurgers
tenglamasining boshlan g’ ich impulsga ta’s irini tadqiq qilish.
Byurgersning t o’ la nochiziqli tenglamasi quyidagicha yoziladi:
(2.1)
Bu xususiy hosilali parabolik tipdagi tenglama b o’ lib, u tenglama chegaraviy
qatlam tenglamasi, Navye – Stoks tenglamasining paraboliklashtirilgan shakli
va Navye – Stoksning t o’ la tenglamasi uchun model b o’ lib xizmat qiladi.
Chegaraviy qatlam tenglamasini va Navye – Stoks tenglamasining parabolik-
lashtirilgan shaklini yaxshi modellashtirish uchun (2.1) tenglamadagi erkli t
va х noma’lumlarni erkli х va у o’ zgaruvchilarga almashtiramiz, u holda
quyidagi tenglamaga kelamiz:
(2.2)
bu yerda х – qadam koordinatasi.
Masalaning analit ik y echimi.

Byurgers tenglamasi uchun ba’zi chegaraviy va boshlan g’ ich hartlarda aniq
analitik yechim mavjud. Har xil ayirmali sxemalarni taqqoslash uchun bu
yechimlardan foydalanish mumkin. (2.1) tenglamaning aniq statsionar
yechimi (ya’ni ) uhbu
chegaraviy shartlarda quyidagicha yoziladi:
bu yerda
u – tenglamaning yechimi:
2.2 Byurgers tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan sonli yechish .
Qovushoqmas siqiluvchan gaz uchun Eylerning bir o’lchovli tenglamalari
sistemasi divergent shaklda quyidagicha yoziladi
(1)
bu yerda
Xususan, (1) nochiziqli tenglama qovushoqlik hisobgaolinmaganda quyidagi Byurgers
tenglamasini beradi [3]

(2)
Umuman olganda esa Byurgers nochiziqli tenglamasi quyidagicha yoziladi:
(3)
Byurgers tenglamasi bir o’lchovli Navye-Stoks tenglamasining xususiy holidir.
Gidrodinamikaning ba’zi masalalarini yechishda (2) yoki (3) tenglamalarning
yechimini topish juda katta amaliy ahamiyatga ega. Buni ko’p hollarda analitik usul bilan
amalga oshirib bo’lmaydi. Shunday paytda bizga (2) yoki (3) tenglamalarni har xil chekli
ayirmali sxemalar bilan approksimatsiyalash orqali uni sonli yechish yaxshi natija beradi
[3]. Buni quyidagi aniq amaliy masalani yechish orqali ko’rsatish mumkin.
1-masala. Quyidagi chegaraviy masalani chekli ayirmalar usuli bilan yeching:
Quyidagi ayirmali to’rni kiritamiz:
bu yerda N – Ox o’q bo’ylab tugunlar soni;  – vaqt bo’yicha qadam; h – x koordinata
bo’yicha qadam. To’r funksiyasini Bularga ko’ra chegaraviy masalada 54
berilgan tenglamaning nuqtadagi ayirmali approksimatsiyasi quyidagicha
yoziladi:
(4)
chegaraviy va boshlang’ich shartlarni approksimatsiyalash esa quyidagicha:

(5)
(6)
Hosil bo’lgan (4) - (6) ayirmali masalani yugiruvchi hisob sxemasi bo’yicha
yechish mumkin. Faraz qilaylik, izlanayotgan to’r funksiyasining biror t
j vaqt
momentidagi qiymatlari ma’lum, t
j+1 vaqt momentida unng qiymatlarini topish talab
etilsin. Dastlab (4) tentlamani i = 0 da yozib olamiz, bunda (6) ga ko’ra z
0j+1 qiymatlar
ma’lum. Natijada z
1j+1 ga nisbatan kvadrat quyidagi tenglamaga kelamiz:
(7)
bu yerdagi h va  qadamlar ayirmali sxema ustivorligi shartidan topiladi. Bu (4) to’rt
nuqtali shablon bo’yicha chiqarilgan yuqori aniqlikdagi ayirmali sxemaning ustivorligini
maksimum prinsipini qo’llash orqali ko’rsatib bo’lmaydi, ammo spektral kriteriya bilan
(4) ning doimo ustivor ekanligini ko’rsatish mumkin [3,4]
Bu kvadrat tenglamani analitik yoki taqribiy hisob usullaridan biri, masalan,
Nyuton usuli bilan yechish mumkin. Faraz qilaylik, izlanayotgan ildizga biror
yaqinlashish bo’lsin. U holda (7) tenglama ushbu ko’rinishni oladi,
bunda . Bu tenglamani qatorga yoyib va uni chiziqlilashtirib, ushbu
tenglikni, o’z navbatida esa ushbu
iteratsion formulani hosil qilamiz. Iteratsion jarayon  aniqlik bilan Shart
bajarilgancha davom ettiriladi. Ketma-ket larni hisoblab, funksiyaning t
j+1
vaqt momentidagi qiymati hosil qilinadi.

Hisoblashlarni matematik paketlardan biri (masalan, Maple, Mathcad, MATLAB
yoki boshqa) yordamida bajarish mumkin.
MS Excel elektron jadvali imkoniyatlari ham ushbu masalani muvaffaqiyatli
yechish imkonini beradi. Bu quyidagicha bajariladi:
1) MS Excel-2010 dasturini ishga tushiring. Yangi varaq oching (masalan, Лист 1 ).
Boshlang’ich ma’lumot sifatida x ning qiymatlarini A2:A52 diapazonga x = 0 dan h =
0,02 qadam bilan x = 1 gacha, t ning qiymatlarini B1:AE1 diapazonga t = 0 dan  = 0,01
qadam bilan t = 0,3 gacha joylashtiring.
2) B2 yacheykaga ushbu =4*ATAN(A2-2)/3,14159+2 hisoblashni (5) formula
bo’yicha kiriting va uni B3:B52 yacheykalarga tarqating.
3) C2 yacheykaga ushbu =(2-4*ATAN(2)/3,14159)*EXP(-C1) hisoblashni (6)
formula bo’yicha kiriting va uni D1:AE1 yacheykalarga tarqating.
4) C3 yacheykaga ushbu =-3+ КОРЕНЬ (9-0,08*((C2-B2-B3)/0,02+(B3-B2-
C2)/0,04+(B3^2-B2^2-C2^2)/0,08)) hisoblashni (bu ifoda (7) kvadrat tenglamaning
ildizlaridan biri) kiriting va uni C3:AE52 yacheykalarga tarqating.
5) A1:AE52 yacheykalardagi ma’lumotlarni belgilab (Ctrl+A), Вставка 
Диаграмма  Поверхность  Проволочная поверхность tugmachalari orqali
quyidagi grafikni yasang (2-rasm).
2-rasm. To’rt nuqtali shablon bo’yicha chiqarilgan ayirmali sxema natijasi.
Ushbu (4) to’rt nuqtali shablon bo’yicha chiqarilgan ayirmali sxema oddiy oshkor
va oshkormas sxemalarga nisbatan yuqori aniqlikdagi silliq yechimni beradi. Chegaraviy

masalaning uzilishli yechimlari yoki katta gradiyentli yechimlari bo’lganda bu ayirmali
sxemadan foydalanish maqsadga mufofiq emas.
2-masala. Yuguruvchi hisob sxemasi va iteratsion usullardan foydalanib, quyidagi
chegaraviy masala sonli yechilsin:
Masalani yechishning algoritmi. Berilgan tenglamani ushbu
ko’rinishga keltiramiz. Quyidagi ayirmali sxema to’rini kiritamiz:
bu yerda N – Ox o’qi bo’ylab, S – Ot o’qi bo’ylab tugunlar soni; h, τ – koordinata va vaqt
bo’yicha qadamlar. To’r funksiyani
yij = u(x
i ,t
j ) kabi kiritamiz. Oxirgi tenglamaning
ayirmali approksimatsiyasi quyidagicha yoziladi:
(8)
chegaraviy va boshlang’ich shartlar:
Hosil qilingan ayirmali masalani yuguruvchi hisob sxema yordamida yechamiz. (1)
tenglamadan foydalanib, y
i+1, j+1 ni quyidagi tenglamadan topamiz:
(9)
(8) tenglama transendent, uni quyidagi usul bilan yechamiz. y
i+1, j+1 ni ketma-ket
yaqinlashishlar bilan izlaymiz. Faraz qilaylik, y
i+1, j+1 ga dastlabki biror u0 yaqinlashish
ma’lum bo’lsin, u holda (9) tenglama ushbu f(u
0 + Δ u
0 ) = 0 ko’rinishga keladi, bu yerda
Δ u
0 =u-u
0 . Bu tenglamani qatorga yoyib, uni chiziqlilashtirish orqali quyidagi tenglikka
kelamiz: Natijada navbatdagi va undan keyingi yaqinlashishlar uchun
munosabatni hosil qilamiz. Hisoblashlar jarayoni berilgan ε aniqlikka

erishilgunga qadar (|f(u
i )|< ε ) davom ettiriladi. Xuddi shunday, y
i+1, j+1 larning qolgan
indekslari uchun qiymatlari topiladi.
Hisob natijalari. Yuqorida keltirilgan hisob shabloni asosida MATLAB dasturi
yaratildi, uning natijalari 3-rasmda tasv irlangan.
N = 100; S = 100; e=0.01;
T = 0.3; h = (1/N); tau = (T/S);
Yrange = 0:h:1; Xrange =
0:tau:T;
for n=1:N+1, for s=1:S+1,
y(n,s)=0; end ; end ;
for n=1:N+1,
a=n*h; y(n,1)=cos(pi*a/2);
end ;
for s=1:S+1,
t=s*tau; y(1,s)=1+1/2*atan(t);
end ;
for i=1:N, for j=1:S,
ul=y(i,j+1); dl=y(i,j);
dr=y(i+1,j); yi = dl; ur=yi; ee=ur/(2*tau)+(ul-dl
dr)/(2*tau)+log(1+ur*ur)/(2*h)+
(log(1+dr*dr)-
log(1+dl*dl)-log(1+ul*ul))/(2*h);
while (abs(ee)>e),
ur=yi; ee=ur/(2*tau)+(ul-dl
dr)/(2*tau)+log(1+ur*ur)/(2*h)+
(log(1+dr*dr)-
log(1+dl*dl)-log(1+ul*ul))/(2*h);
ed=1/(2*tau)+2*ur/((1+ur*ur)*2*h);
yi=yi-ee/ed;
end; y(i+1,j+1)=yi; end ; end ;
surf(Xrange,Yrange,y); colormap gray
Xlabel( ‘T’ ); Ylabel( ‘X’ ); Zlabel( ‘U’ );
3-rasm. MATLAB dasturi hisobi natijalari.

2 .3 Byurgers tenglamasini taqribiy yechishning chekli ayirmalar usuli.
Vaqt bo’yicha o’ngga va fazo bo’yicha markaziy ayirma usuli (VVCP). Bu
usul chiziqlilashtirilgan Byurgers tenglamasida vaqt bo’yicha oldinga va fazoviy
koordinata bo’yicha markaziy ayirmali sxemani qo’llash bilan olingan va u VVCP usuli
deb ataladi. Buning natijasida olingan ayirmali sxema quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
(3.19)
Bu birinchi tartibli aniqlikdagi bir qadamli oshkor sxema bo’lib, uning approksimatsiya
xatoligi Modifikatsiyalangan tenglamani yozamiz:
(3.20)
Byurgers tenglamasi uchun Agar r = 0.5, v = 1 bo’lsa, u holda
(3.20) – modifikatsiyalangan tenglamaning o’ng tarafidagi dastlabki ikkita
qo’shiluvchilarning koeffitsiyentlari nolga aylanadi. Bunga ko’ra qaralayotgan xususiy
hosilali tenglamada – qovushoq had yo’qoladi. Natijada VVCP usuli r = 0.5, v = 1 da
Byurgers tenglama–sining qo’llab bo’lmaydigan chekli–ayirmali approksimat–siyasiga
olib keladi, chunki bunday holda ayirmali sxema kabi ko’rinishni oladi.
Ustivorlikning tavsiflangan tahlilidan kelib chiqadiki, ayirmali sxemaning ustivor bo’lishi
uchun koeffitsiyenti noldan katta bo’lishi zarur. Natijada
Oxirgi munosabatni quyidagicha yozish mumkin:

(3.21)
Byurgers tenglamasini sonli yechish jarayonida eng kerakli parametr bo’lgan
Reynoldsning to’r soni (ba’zan u Pekle soni deb ham ataladi) paydo bo’ladi va u quyidagi
munosabatdan topiladi:
(3.22)
Konveksiyaning diffuziyaga nisbatini xarakterlovchi bu o’lchamsiz parametr Byurgers
tenglamasi yechimining xarakterini aniqlashda muhim rol o’ynaydi. Reynoldsning to’r
sonini va orqali quyidagicha ifodalash mumkin:
Natijada (3.21) ustivorlik shartini quyidagicha yozish mumkin
(3.23)
Dyufort–Frankelning «chexarda» sxemasi. Yuqorida ta’kidlagan edikki,
Byurgersning chiziqlilashtirilgan tenglamasi birinchi tartibli to’lqin tenglamasi va issiqlik
o’tkazuvchanlik tenglamasining kombinatsiyasidan iborat. Shuning uchun, to’lqin
tenglamasi va issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini sonli yechish uchun qo’llanilgan
ba’zi algoritmlarni kombinatsiya qilish mumkin. Ana shunday sxemalardan biri Dyufort–
Frankelning «chexarda» sxemasi. (3.18) tenglama uchun
(3.24)
Bu birinchi tartibli aniqlikdagi bir qadamli oshkor sxema bo’lib, uning approksimatsiya
xatoligi Chiziqli hol (A=c) uchun modifikatsiyalangan tenglamaning
ko’rinishi quyidagicha:

Chiziqli holda Neyman usulining ustivorligi tahlilini (Furyening ustivorlik
tahlili) keltirish va sxemada ustivorligini ko’rsatish mumkin.
Shuni ta’kidlash lozimki, sxemaning ustivorlik sharti qovushoqlik
koeffitsienti miqdoridan bog’liq emas. Bu o’z navbatida qovushoq hadni
approksimatsiya qilishda Dyufort–Frankel sxemasidan foydalanilganligidan bog’liq.
Ammo muvofiqlashtirish shartidan kelib chiqadiki, t va x nolga intilganda
miqdor nolga intilishi zarur, bu o’z navbatida vaqt qadamiga shartga ko’ra
qattiqroq shart qo’yadi. Shuning uchun Dyufort–Frankelning «chexarda» sxemasi
nostatsionar masalalarni yechishdan ko’ra statsionar masalalarni (chunki bunday
masalalarda vaqt bo’yicha hisobning aniqligi unchalik ahamiyatga ega emas)
yechishga qulaydir. Nochiziqli holda, qaralayotgan sxema
noustivor bo’ladi.
Allen – Chen usuli. Allen va Chen [1970] Brailovskiy sxemasining ustivorlik
shartida r hadga qo’yilgan cheklovni olib tashlangan modifikatsiyasini taklif etishdilar.
Bu sxema quyidagicha yoziladi:
- prediktor
- korrektor
Qovushoq hadning o’ziga xos chekli ayirmali approksimatsiyasi ustivorlik sharti bilan
bog’liq r hadga cheklov qo’ymydi, shuning uchun Byurgersning chiziqli tenglamasi
holida qaralayotgan sxema da ustivor bo’ladi. Bunga ko’ra katta qiymatlarida bu usul
Brailovskaya usuliga qaraganda vaqtning kattaroq qadamlaridan foydalanish imkonini
beradi.
Allen–Chen usuli birinchi tartibli aniqlikka ega bo’lib, uning approksimatsiya xatoligi

Laks–Vendroff usuli. Ikki qadamli Laks–Vendroff usuli to’lqin tenglamasini
yechish uchun qo’llaniladi. Byurgersning to’la tenglamasini yechish uchun
qo’llaniladigan har xil usullar ichida quyidagisi ham bor:
Laks–Vendroff sxemasining bu varianti Tommen tomonidan Navye–Stoks
temglamasini yechishqa qo’llanilgan. Boshqa varianti esa Palumbo va Rubinlar
tomonidan tavsiya etilga. Bu shunisi bilan farq qiladiki, unda dastlabki qiymatlar
n +1/ 2 nomerli qatlamda emas, balki n +1 nomerli qatlamda hisoblanadi. Tavsiflangan
ayirmali sxema birinchi tartibli aniqlikka ega bo’lib, uning approksimatsiya xatoligi
Ustivorlikning chiziqli tahlili natijasida olingan bu ayirmali sxemaning
aniq ustivorlik sharti quyidagicha yoziladi:
2.4 By urgers t englamasini t aqribiy y echishning algorit mi, dast uri v a
nat ijalar t ahlili
Tenglamani t aqribiy y echishning algorit mi v a dast uri. Asosiy
qo’yilgan masala quyidagidan iborat:
Boshlang ’ich impuls funksiya bilan
berilganda Byurgersning to’la tenglamasini (qovushoq oqishni) yechishda
optimal boshlang’ich shartni topishni modellastirish, algoritmlastirish,
dasturiy ta’minotni yaratish va natijalarni tahlil qilis h hamda qo’yilgan
masalaning yechimini bir nechta ayirmali sxemalarda olib, natijalarni
taqqoslash. Bu masalani yechish uchun 3.2 –banda tavsiflanfan vaqt bo’yicha
ilgariga va fazo bo’yicha markaziy ayirma usuli (VVCP) va Mak– Kormak

usulidan foydalanildi. Q o’yilgan masalada Byurgersning ikki o’lchovli
masalasi yechildi. Qo’yilgan masalani yechish algoritmiga ko’ra Fortran
algoritmik tilida dastur tuzildi.
Dasturda quyidagi belgilashlar qabul qilingan:
1) Ох va Оу o’ qlar b o’ yicha hisob sohasining mos o’ lchamlari nx va ny ;
2) Ох va Оу o’ qlar b o’ yicha Byurgers tezliklari komponentalar – сх va
су ;
3) diffuzion komponentalar – ах va ау ;
4) hisob vaqti – nt .
PROGRA M VVCP
use avdef
use avviewer
use dflib
integer(4)::hv,status,nError
character(av_max_label_len)::xLabel=‘X’,
yLabel=‘Y’
real, parameter:: pi=3.14159
integer, parameter:: nx=80, ny=80
real, dimension(nx,ny):: u1, u2
real, dimension(nx):: x,y
real:: dx, c=0.75, dt, dy, a=0.1, s=1./6, dt1, dt2,dt3,dt4
real:: ax=0.1,ay=0.1,cx=0.25,cy=0.25
integer:: nt

write(*,*) "Enter dx"
read(*,*) dx
write(*,*) "Enter dy"
read(*,*) dy
write(*,*) "Enter time"
read(*,*) nt
dt1=dx/c
dt2=(s*dx*dx)/a
dt3=dy/c
dt4=(s*dy*dy)/a
dt=min(dt1,dt2,dt3,dt4)
write(*,*) "Value of dt= ",dt
do i=1,nx
x(i)=(i – 1)*dx
y(i)=(i – 1)*dx
end do
do i=1,56
do j=1,56
u1(i,j)=sin(2*pi*(x(i)*x(i)+y(i)*y(i)))
end do
end do

do n=1,nt
do i=2,nx – 1
do j=2,ny – 1
u2(i,j)=u1(i,j)*(1 – (2*ax*dt)/(dx*dx)&
– (2*ay*dt)/(dy*dy) – (cx*dt)/dx – (cy*dt)/dy )&
+u1(i – 1,j)*(ax*dt/(dx*dx)+cx*dt/dx)+u1(i,j – 1)& *(ay*dt/(dy*dy)+cy*dt/dy)&
+u1(i+1,j)*(ax*dt/(dx*dx))+u1(i,j+1)* (ay*dt/(dy*dy))
end do
end do
u1=u2
end do
call faglStartWatch(u1,status)
write(*,*) ‘Starting Array Viewer’
call favStartViewer(hv,status)
if( status /= 0 ) then
call favGetErrorNo(hv,nError,status)
if( nError /= 0) then
write(*,*) "ArrayViewer reports error",nError
stop
endif
endif
call favSetArray(hv,u1,status)
call favSetArrayName(hv,"Graph",status)
call favSetGraphType(hv,ImageMap,status)

call favSetUseAxisLabel(hv,x_axis,1,status)
call favSetUseAxisLabel(hv,y_axis,1,status)
call favSetUseAxisLabel(hv,z_axis,1,status)
call favSetAxisLabel(hv,x_axis,xLabel,status)
call favSetAxisLabel(hv,y_axis,yLabel,status)
call favSetAxisLabel(hv,z_axis,xLabel,status)
call favSetAxisAutoDetail(hv,0,status)
call
favSetNumMajorTickmarks(hv,x_axis,3,status)
call
favSetNumMajorTickmarks(hv,y_axis,3,status)
call
favSetNumMajorTickmarks(hv,z_axis,3,status)
call favShowWindow(hv,av_true,status)
call sleepqq(90000)
call favEndViewer(hv,status)
call faglEndWatch(u1,status)

end program vvcp
PROGRA M MA K-KORMA K
use avdef

use avviewer
use dflib

integer(4)::hv,status,nError
character(av_max_label_len)::xLabel=‘X’,
yLabel=‘Y’
real, parameter:: pi=3.14159
integer, parameter:: nx=80, ny=80
real, dimension(nx,ny):: u1,u2,u3
real, dimension(nx):: x,y
real:: dx,dt,dy,dt1,dt2,r=0.03
real:: ax=0.1,ay=0.1,cx=0.25,cy=0.25
integer:: nt
write(*,*) "Enter dx"
read(*,*) dx
write(*,*) "Enter dy"
read(*,*) dy
write(*,*) "Enter time"
read(*,*) nt

dt1=dx*dx/2*ax
dt2=dy*dy/2*ay
dt=min(dt1,dt2)

write(*,*) "Value of dt= ",dt
do i=1,nx
x(i)=(i – 1)*dx
y(i)=(i – 1)*dx
end do
do i=1,56
do j=1,56
u1(i,j)=sin(2*pi*(x(i)*x(i)+y(i)*y(i)))
end do
end do
do n=1,nt
do i=2,nx – 1
do j=2,ny – 1
u2(i,j)=u1(i,j) – (dt/dx)*(u1(i+1,j)*
u1(i+1,j)/2&
– u1(i,j)*u1(i,j)/2) –
(dt/dy)*(u1(i,j+1)*u1(i,j+1)/2&
– u1(i,j)*u1(i,j)/2)+r*(u1(i+1,j) –
2*u1(i,j)+u1(i – 1,j))&
+r*(u1(i,j+1) – 2*u1(i,j)+u1(i,j – 1))
end do
end do
do i=2,nx – 1

do j=2,ny – 1
u3(i,j)=0.5*(u1(i,j)+u2(i,j) – (dt/dx)*(u1(i,j)*
u1(i,j)/2& – u1(i – 1,j)*u1(i – 1,j)/2) – (dt/dy)*
(u1(i,j)*u1(i,j)/2& – u1(i,j – 1)*u1(i,j – 1)/2)+
r*(u2(i+1,j) – 2*u2(i,j)+u2(i – 1,j))&
+r*(u2(i,j+1) – 2*u2(i,j)+u2(i,j – 1)))
end do
end do
u2=u3
u1=u2
end do
call faglStartWatch(u1,status)
write(*,*) ‘Starting Array Viewer’
call favStartViewer(hv,status)
if( status /= 0 ) then
call favGetErrorNo(hv,nError,status)
if( nError /= 0) then
write(*,*) "ArrayViewer reports error",nError
stop
endif
endif
call favSetArray(hv,u1,status)
call favSetArrayName(hv,"Graph",status)

call favSetGraphType(hv,ImageMap,status)
call favSetUseAxisLabel(hv,x_axis,1,status)
call favSetUseAxisLabel(hv,y_axis,1,status)
call favSetUseAxisLabel(hv,z_axis,1,status)
call favSetAxisLabel(hv,x_axis,xLabel,status)
call favSetAxisLabel(hv,y_axis,yLabel,status)
call favSetAxisLabel(hv,z_axis,xLabel,status)
call favSetAxisAutoDetail(hv,0,status)
call
end program makkormak
Tenglamani t aqribiy y echishning nat ijalari t ahlili. Boshlang’ich impuls
funksiyasi ning Array Visualizer dagi grafigi
quyidagicha (3.3 –rasm): Kiritilgan dastlabki ma’lumotlar uchun berilganlar
dx=0.009, dy=0.009 kanligidan olingan natijalarning grafigi quyidagicha (3.4 –
rasm).

Xulosa.
Masalani ikki xil usul bilan uechish orqali shu narsa kuzatildiki , berilgan boshlan g’ ich
impulsda Byurgers tenglamasining yechimi shaklan jihatdan bir biriga yaqin natijalar
beradi . Bu rasmlardan k o’ rinadiki, Byurgers tenglamasi berilgan boshlan g’ ic h impulsda
ham konveksiya va ham diffuziya tenglamasiga o’ z ta’sirini beradi. Hisoblashlarda

k o’ chirish tezligining komponentalari o’ zaro teng va miqdori 0,25 deb olindi. Bunda
q o’ z g’ alishlar tezligining o’ zgarmasligi va boshlan g’ ich impuls koordinata boshiga
nisbatan 45º ga burilishi aniq b o’ ldi. Diffuzion handing ta’siri quyidagicha: boshlan g’ ich
impuls bir oz tarqalgan va hisob sohasining atrofiga zich joylashgan. Vaqt b o’ yicha
ilgariga va fazo b o’ yicha markaziy ayirma usuli (VVCP) va Mak – Kormak usuli
natijalaridan Byurgers tenglamasining boshlan g’ ich impulsga ta’siri bir biriga yaqin
b o’ lganligi uchum bu usullarning har ikkalasi ham optimal usul ekanligi k o’ rinadi. Agar
aniq masalaning analitik yechimi oldindan ma’lum b o’ lsa, u holda qolgan usullar
natijalarini ham o’ zaro taqqoslash bilan yanada aniqroq natijalarga erishish mumkin.

Foydalanilgan adabiyotlar.
1. Abdirashidov A., Suyarshayev M.M. Gidrodinamikaning asosiy masalalarini sonli
yechish usullari. Uslubiy qo’llanma. – Samarqand: SamDU nashri, 2014. – 92 bet.
2. Articolo G.A. Partial differential equations and boundary value problems with Maple.
– 2nd ed./ 2009, Elsevier Inc. All rights reserved. - 733 p.
3. Richard L. Burden and J. Douglas Faires. Numerical Analysis. Ninth Edition, Boston,
USA, 2011. – 895 p.
4. L.Ridgway Scott. Numerical Analysis. Princeton University Press, 2011.- 342 p.
5. Абдухамидов А . У ., Худойназаров С . Ҳисоблаш усулларидан амалиёт ва
лаборатория машғулотлари . – Тошкент : Ўқитувчи , 1995. – 240 б .
6. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в
пакетах Mathcad, Mathlab, Maple. – М.: НТ Пресс, 2006. – 496 с.
7. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. – М.: Изд-во
Бином. Лаборатория знаний, 2011. – 640 с.
8. http://edu.ru/ ; https://edu.uz/uz ; https://exponenta.ru/ ; http://www.intuit.ru/ ;
http://www.ziyonet.uz/ ; www.techlibrary.ru

Byurgers tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan sonli yechish Mundarija Kirish. I.Nazariy qism. 1.1 Umumiy mulohazalar. II.Asosiy qism. 2.1 Byurgers tenglamasi. Xossa, fizik ma’ no va analitik yechim. 2.2 Byurgers tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan sonli yechish. 2 .3 Byurgers tenglamasini taqribiy yechishning (VVCP),Dyufort–Frankelning «chexarda» sxemasi, Allen – Chen usuli, Laks–Vendroff usuli. 2.4 Byurgers tenglamasini taqribiy yechishning algoritmi, dasturi va natijalar tahlili. Xulosa. Foydalanilgan adabiyotlar.

Kirish. Gidrodinamika tenglamalari nochiziqli. Bu shuni bildiradiki, juda kamdan kam holdagina ularning analitik yechimlarini topish mumkin. Shuning uchun gidrodinamikada sonli usullarni q o’ llash mutloq zarurligi ayon b o’ ladi. Hozirgi zamon hisoblash texnikasining tezligi va operativ xotirasi fantastik tusda o’ sib bormoqda. Yildan yilga hisoblash gidrodinamikasining juda tez takomillashishiga olib kelmoqda va o’ z navbatida yaqin yillarda kompyuter hisoblari juda qimmat turadigan eksperimental tadqiqotlarni almashtiradi. Hozirgi kunda suyuqlik va gazlarning gidrodinamik harakatini hisoblash dasturlari ham mahsulot hisoblanadi, ular sanoat va ishlab chiqarishning turli tarmoqlariga samarali q o’ llanilmoqda. Hozirgi kunda gidrodinamika masalalarini yechishning bir qator hisoblash usullari mavjud b o’ lib, ularni quyidagicha klassifikatsiya qilishimiz mumkin: chekli ayirmalar usuli; chekli hajmlar usuli; chekli elementlar usuli; chegaraviy elementlar usuli; spektral usul va hokazo. Bu usullarning amaliyotda keng q o’ llanilib kelinayotgan har xil modifikatsiyalari ham mavjud. Bulardan tashqari bu klassifikatsiyaga kirmaydigan ba’zi usullar ham mavjud, masalan, yacheykalarda zarrachalar usuli; gibrid usullar; diskret uyurmalar usuli; to’g’ridan to’g’ri statik modellashtirish; kletkali avtomatlar va hokazo. Amaliy masalalarni yechishda ko’p matematik masalalarni aniq yechimini topish etarlicha murakkab masaladir, chunki izlanayotgan yechim elementar funksiyalar orqali yangi davr shaxsiy kompyuterlarining paydo bo’lishi bilan qo’yilgan masalalarni sonli usullar bilan yechish alohida o’rin oladi. Sonli usullar bu qo’yilgan masalalarni shunday usullariki uni EHM boshqaradigan arifmetik va mantiqiy amallarni sonlar ustida bajarishdan iborat.

1.1 Umumiy mulohazalar. Gidrodinamikada asosan nochiziqli masalalarni yechish zarur bo’ladi , bunda Gidrodinamikada asosan nochiziqli masalalarni yechish zarur bo’ladi , bunda bosim, zichlik, temperatura va tezlik xususiy hosilali nochiziqli tenglamalar sistemasini yechish orqali topiladi. Shuning uchun bunday masalalarni yechishda avvalo gidrodinamika tenglama siga o’xshash tenglamani yechid olish lozim bo’ladi. Bu teng lama fizik jarayonlarni tavsiflovchi hadlarni (komvektiv, diffuzion yoki dissipativ va nostatsionar hadlarni) o’zida olgan bo’lishi zarur. Ana shunday nochiziqli tenglama Byurgers tomonidan sodda holda taklif etilgan. Bu tenglama quyidagi ko’rinishga ega: Bu tenglamaning chap tarafidagi birinchi had nostatsionarlik hadi, ikkinchisi konvektivlik hadi, tenglamaning o’ng tarafidagi had esa qovushoqlik hadini bildiradi Agar qovushoqlik hadi nolga teng bo’lmasa, u holda tenglama par abolik tipda, agar u nolga teng bo’lsa, u holda tenglamada faqat nostatsionarlik va nochiziqli konvektivlik hadlari qoladi (tenglama giperbolik tipda bo’ladi) va bu hol yuqorida yetarlicha yoritilgan. Mazkur bobda Byurgersning parabolik tipdagi (to’la) tenglamasining ba’zi matematik xususiyatlari va uni chekli ayirmalar usuli yordamida sonli yechishning modeli, algoritmi va dasturi keltirilgan. Bundan tashqari

Byurgersning ikki o’lchovli tenglamasi orqali ifodalanuvchi masala ham tadqiq qilingan. ta’limiy – Byurgersning chiziqli va nochiziqli tenglamalari, masalaning qo’yili shi, Byurgers tenglamasining xususiy holi va uning analitik yechim haqidagi mavzuga oid materiallarini qabul qilish va ularni eslab qolish; tarbiyaviy – ishontirish; xulqi ustidan nazorat; faol mustaqil ishlash; mustaqil ishni bajarishda vaqtni to’g’ri taq simlash; javobgarlikni his qilish; mehnat-sevarlik; yakka tartibda va guruhlarda hamkorlikda ishlash; raqibni hurmat qilish; kelishuvchanlik; bir to’xtamga kelish; diqqatni jamlash; sarishtalik; rivojlantiruvchi – darslik bilan ishlash; ijodiy namuna; tahlil; taklif; xulosa; tanqidiy qarash; xususiydan umumiyga o’tish; umumlashtirish; nazariy, mantiqiy va analitik fikrlash; ijodiy yondashish; Internetdan foydalanish. Boshlang ’ich impuls funksiya bilan berilganda Byurgersning to’la tenglamasini (qovushoq oqishni) yechishda optimal boshlang’ich shartni topishni modellastirish, algoritmlastirish, dasturiy ta’minotni yaratish va natijalarni tahlil qilis h hamda qo’yilgan masalaning yechimini bir nechta ayirmali sxemalarda olib, natijalarni taqqoslash. Bu masalani yechish uchun vaqt bo’yicha ilgariga va fazo bo’yicha markaziy ayirma usuli (VVCP) va Mak– Kormak usulidan foydalanildi. Q o’yilgan masalada Byurgersning ikki o’lchovli masalasi yechildi. Qo’yilgan masalani yechish algoritmiga ko’ra Fortran algoritmik tilida dastur tuzildi. 2.1 By urgers t englamasi. X ossa, fi zik ma’ no v a analit ik y echim.

Gidrodinamikada asosan nochiziqli masalalarni yechish zarur bo’ladi , bunda Gidrodinamikada asosan nochiziqli masalalarni yechish zarur bo’ladi , bunda bosim, zichlik, temperatura va tezlik xususiy hosilali nochiziqli tenglamalar sistemasini yechish orqali topiladi. Shuning uchun bunday masalalarni yechishda avvalo gidrodinamika tenglama siga o’xshash tenglamani yechid olish lozim bo’ladi. Bu teng lama fizik jarayonlarni tavsiflovchi hadlarni (komvektiv, diffuzion yoki dissipativ va nostatsionar hadlarni) o’zida olgan bo’lishi zarur. Ana shunday nochiziqli tenglama Byurgers tomonidan sodda holda taklif etilgan. Bu tenglama quyidagi ko’rinishga ega: Bu tenglamaning chap tarafidagi birinchi had nostatsionarlik hadi, ikkinchisi konvektivlik hadi, tenglamaning o’ng tarafidagi had esa qovushoqlik hadini bildiradi Agar qovushoqlik hadi nolga teng bo’lmasa, u holda tenglama par abolik tipda, agar u nolga teng bo’lsa, u holda tenglamada faqat nostatsionarlik va nochiziqli konvektivlik hadlari qoladi (tenglama giperbolik tipda bo’ladi) va bu hol yuqorida yetarlicha yoritilgan. Mazkur bobda Byurgersning parabolik tipdagi (to’la) tenglamasining ba’zi matematik xususiyatlari va uni chekli ayirmalar usuli yordamida sonli yechishning modeli, algoritmi va dasturi keltirilgan. Bundan tashqari Byurgersning ikki o’lchovli tenglamasi orqali ifodalanuvchi masala ham tadqiq qilingan.

Byurgers tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan sonli yechish

12.08.2023

0

1200.5 KB

Похожие