logo

Qattiq jismning tekis-parallel harakati

Загружено в:

08.08.2023

Скачано:

0

Размер:

186.1943359375 KB
 
 
   
O`ZB ЕKISTON  R ЕSPUBLIKASI  OLIY VA O`RTA MAXSUS TA'LIM 
VAZIRLIGI 
ANDIJON MUHANDISLIK 
ANDIJON MUHANDISLIK  ANDIJON MUHANDISLIK 
ANDIJON MUHANDISLIK -
--
- 
  
 IQTISODIYOT INSTITUTI
IQTISODIYOT INSTITUTIIQTISODIYOT INSTITUTI
IQTISODIYOT INSTITUTI 
  
 
«Muhandislik» fakult еti 
 	
  UMUMMUHANDISLIK FANLARI kafedrasi 
NAZARIY MEXANIKA fanidan 
     
 	
 
 
 
 	
Mavzu:	 Qattiq jismning tekis-parallel harakati 	
 
 
 
 	
Bajardi:  TMJ 2kurs Nurmatov N 
 
Raxbar: Ismoilov X 	
 
 
 
 
 
 
 	
Andijon-2011 y  Qattiq jismning tekis-parallel harakati  	
 
Reja: 
 
1.  Qattiq jismning tekis-parallel harakati. Qattiq jis mning tekis-
parallel harakatini aniqlash 
2.  Tekis shaklning harakat tenglamalari 
3.  Tezliklar oniy markazi 
4.  Tekis shakl nuqtasining tezlanishi va uning oniy ma rkazi 	
  
Qattiq  jism  harakatlanganda  uning  hamma  nuqtalari  biror  qo’zg’almas 
tekislikka  parallel  tekisliklarda  harakatlansa,  qat tiq  jismning  bunday  harakatiga 
tekis-parallel harakat  deyiladi  (41-shakl).  Jismni  P	
0  tekislikka  parallel  bo’lgan 
ixtiyoriy  P  tekislik  bilan  qirqamiz.  Natijada  P  tek islikda  S  qirqim  yuza  hosil 
bo’ladi. Bu yuzani tekis shakl deb ataladi. Tekis s hakl hamma vaqt P tekislikda 
harakatlanadi.  Jismda  tekislikka  tik  qilib  A',  A''  olingan  kesma  jism 
harakatlanganda  P  o’ziga  o’zi  parallel  qoladi.  Unin g  hamma  nuqtalarining  tezlik 
va  tezlanishlari  bir  xil  bo’lib,  P  tekislikka  paral lel  bo’ladi.  Bunday  holda  A',  A'' 
kesma  ustida  yotuvchi  jismning  hamma  nuqtalarining  harakatini  o’rganish 
o’rniga,  shu  nuqtalardan  birining  harakatini  o’rgan ish  kifoya.  Shunday  nuqta 
uchun S tekis shaklning  a nuqtasini olsak bo’ladi. 
Demak  qattiq  jism  tekis  parallel  harakatini  o’rgani sh  uchun,  jismda  P	
0 
qo’zg’almas  tekislikka  parallel  bo’lgan  S  yuzaning  (tekis  shaklning)  P  tekislikdagi 
harakatini  bilsak  kifoya.  Kinematikada  qattiq  jismn ing  tekis  parallel  harakati 
sohasida  yuritiladigan  mulohazalar  mashina  va  mexan izmlarning  va  ularning 
ayrim  qismlarining  harakatini  o’rganishda  nazariy  b aza  sifatida  qo’llaniladi. 
Shuning uchun qattiq jismning tekis parallel haraka ti kinematikaning asosiy qismi 
bo’lib,  bu  qismni  ayrim  o’rganiladi.  Tekis  shakl  ha rakatlanadigan  tekislikka 
tekis  shaklning  harakat  tekisligi  deyiladi.  Tekis  s haklning  harakat  tekisligida 
joylashgan  qo’zg’almas  OXY  koordinata  sistemasiga  n isbatan  harakatini 
o’rganamiz. 
 
1-shakl 
 
Tekis  shakl  S  ning  qo’zg’almas  koordinata  sistemasi ga  nisbatan  vaziyati 
unda olingan ixtiyoriy ikkita nuqtasini tutashtiruv chi AB kesmaning  vaziyati  bilan 	
S 	
P0 	
P 	
B 	
A	B
B¢¢ 	A¢¢ 
A  aniqlanadi.  Biroq  AB  kesmaning  qo’zg’almas  sistemaga  nisbatan  vaziyati  uning 
biror  nuqtasining  koordinatalari  va  bu  kesmaning  OX   o’qi  bilan  tashkil  etgan 	
j 
burchagi  bilan  aniqlanadi.  Bunday  nuqtaga  qutb  nuqta  deyiladi.  Faraz  qilaylik,  S 
tekis  shakl  t  vaqtda  1-holatda  bo’lib  uning  holati  AB  kesma  bilan  aniqlansin, 
t+ Dt  vaqtda  S,  II  holatga  ko’chib,  AB  kesma  A	
1B1  holatni  oladi.  A  nuqtani 
qutb  deb  olamiz.  AB  ning  A  nuqtasi  A	
1  ga  S  o’tguncha  tekis  shaklga 
ilgarilanma harakat beramiz, shunda AB kesma A	
1B' holatga keladi. Bu holda S 
ning  hamma  nuqtalari  geometrik  AA	
1  ga  teng  masofaga  ko’chadi.  A	1B'  ni  A	1 
nuqta  atrofida  <BA	
1B’=	j1  ga  aylantirsak,  A	1B’  kesma  A	1B1  holatga  
ko’chadi.  Tekis shakl S birinchi holatdan ikkinchi  holatga o’tadi.  Endi  B nuqtani 
qutb  deb  olamiz.  B  nuqta  B	
1  holatga  kelguncha  S  tekis  shaklga  ilgarilanma 
harakat  beramiz.  Bu  holda  AB    kesma  A'B	
1  holatga  o’tadi.    Tekis  shaklning 
hamma nuqtalari bir xilda BB' masofaga ko’chadi. B  nuqta atrofida ÐA'B	
1A	1=j	2 
burchakka aylantirsak,  AB kesma  A	
1B1 holatga  keladi. Bu holda S tekis shakl 
B  nuqta  harakati  bilan  ilgarilanma  ko’chib,  B  nuqta   atrofida 	
j2  burchakka 
aylanishi  natijasida  S  birinchi  holatdan  ikkinchi  h olatga  o’tadi.  Birinchi  holda  S 
tekis  shakl  A  nuqtaning  ilgarilanma  harakati  bilan  A  nuqta  atrofida 
j1  burchakka 
aylanishi  natijasida  birinchi    holatdan  ikkinchi  ho latga  o’tgan  edi.  Har  ikki 
holda  tekis  shaklni  birinchi  holatdan  ikkinchi  hola tga  ko’chishi  ikki  harakat 
natijasida  bajarilishini  ko’rdik.  Bu  tekis  shaklnin g  harakat  tekisligida 
ko’chishiga doir teoremani ifodalaydi.  Teorema:  Tekis  shaklning  harakat  tekisligidagi  har  qanday  harakatini 
ixtiyoriy  tanlab  olingan  qutb  nuqtasining  harakati  bilan  ilgarilanma  harakatdan  va 
shu  qutb  nuqta  atrofida  aylanma  harakatlardan  tashk il  topgan  deb  qarash  mumkin 
(2-shakl). 	
 
 
2-shakl   
Biz  yuqorida  bir  gal  A,  ikkinchi  galda  B  nuqtani  qu tb  deb  oldik  A  va  B 
lar  ixtiyoriy  nuqtalar  bo’lgani  uchun  qutb  nuqtani  tanlab  olish  ixtiyoriy  bo’ladi. 
Tekis  shaklni  ilgarilanma  harakati  qutb  nuqtani  tan lab  olishga  bog’liq.  Masalan 
yuqorida  A  nuqtani  qutb  nuqta  uchun  olganimizda  S  n i  nuqtalari  ilgarilanma 
harakat  natijasida  AA'  masofaga  ko’chgan  bo’lsa,  B  nuqtani  qutb  uchun 
olganimizda BB' masofaga ko’chadi. Biroq AA' ¹BB' aks holda (AA'=BB') tekis 
shakl  faqat  ilgarilanma  harakat  qiladi.  Shakldan  AB ¹A	
1B'  va  AB ¹A'B	1 
bo’lgandan A	
1B' ¹A'B	1 bo’ladi. Har ikki holda  ÐB'AB	1=Ð A'B	1A	1: ya’ni 	2
1j
=
j	. 
Bundan tekis shaklni har ikki qutb nuqta atrofida a ylanish yo’nalishi va aylanish 
burchagi  bir  xilda  ekanligini  ko’ramiz.  Demak  tekis   shaklning  ilgarilanma  harakati 
qutb nuqtani tanlab olishga bog’liq, ammo aylanma h arakati qutb nuqtani tanlashga   bog’liq bo’lmaydi. Tekis  shakl  S  ni  harakat  tekisligida  joylashgan  OXY   qo’zg’almas 
koordinata  sistemasiga  nisbatan  harakatini  tekshira miz.  Qutb  nuqta  uchun  S  ning 
biror  O  nuqtasini  ixtiyoriy  tanlab  olamiz.  Shu  O	
1  nuqtada  S  bilan  mahkam 
bog’langan,  u  bilan  birga  harakatlanuvchi  O	
1X1Y1  koordinata  sistemasini 
o’tkazamiz.  O	
1X1Y1 koordinata  sistemasini OXY koordinata sistemasiga n isbatan 
harakati  S  ni  OXY  ga  nisbatan  harakatini  ifodalaydi .  O	
1X1Y1  ning  OXY  ga 
nisbatan holati O	
1 ni X	o1, Y	o1 koordinatalari hamda OX ning O	1X1 bilan tashkil etgan 	
j burchagi bilan aniqlanadi. Vaqt o’tishi bilan S ha rakatlanganda X	01, Y	o1 va 	j lar 
t vaqtning funksiyasi shaklida o’zgaradi (3-shakl).  
Ya’ni       	
 
 

= ==
)
( )
( )
(	3 2
01 1
01t
f t
f
Y t
f
X	j	
       (5.1) 
bo’ladi.  X	
01,  Y	o1  va 	j  lar  vaqtning  bir  qiymatli,  uzluksiz  differensialla nuvchi 
funksiyasi bo’ladi. (5.1) tenglamalar berilgan bo’l sa,  istalgan t  vaqt  uchun  S  ning 
XY  tekisligidagi  holati  ma’lum  bo’ladi.  (5.1)  tengl amalar  tekis  shaklning  harakat 
tenglamalari  deyiladi.  Agar  harakat  davomida 	
j=const  bo’lsa,  S  va  Y  bilan 
bog’langan  O	
1X1Y1 	koordinata  o’qlari  o’zlarining  boslang’ich  holatiga   doimo 
parallel harakatlanadi. 
 
3-shakl 
 
S  ilgarilanma  harakatda  bo’ladi.  Agar  X	
01,Y	01=const  bo’lsa,  S  va  Y  bilan 
bog’langan  O	
1X1Y1  koordinata o’qlari  O	1  nuqta  atrofida  aylanma  harakat  qiladi. 	j 
aylanish  burchagini  OX  dan  boshlab  soat  milining  ay lanish  tomoniga  teskari 
aylanishda hisoblanadi. Shunday qilib S ning qo’zg’ almas XY tekisligidagi harakati 
ikki harakatdan tashkil topadi.  (5.1)  tenglamalarning  birinchi  ikkitasi  S  tekis  sha klning  ilgarilanma 
harakatini,  uchinchisi  S  ning  qutb  nuqta  atrofidagi   aylanma  harakatini  ifodalaydi. 
Agar  (5.1)  berilgan  bo’lsa,  ularni  birinchi  ikkitas idan  t  bo’yicha  bir  marta  hosila 
olib, S ning ilgarilanma harakat 	
J	 tezligini topamiz: 	
)t(
f
  );t(f	2
y
0
1
x
0	1
1	¢	=	¢	=	J
J	 
bunda 
2 y
o
2
x
o
2
2
0
1
1
1
0
1
0
1	Y
X	J
J
J+
=
+
= &
&	 
Agar  (5.1) ning uchinchi  tenglamasidan  t  vaqt  bo’yi cha  bir  marta  hosila 
olsak, S tekis shaklning O	
1 nuqta atrofidagi aylanma harakat burchak tezligi 	w 	
1O	
1X	
1Y	
j	1
O	Y	
1
O	X	X	
Y
O	
S ni va ikki marta hosila olsak, burchak tezlanishi 	e ni topamiz.   	
;	dt
dj	w	=	  	2
2	dt
d	j
e	=	 
Demak  S  tekis  shakl  harakat  tekisligidagi  harakati  ixtiyoriy  t a n l a b  
o l i n g a n   O	
1  q u t b   n u q t a s i n i n g   t e z l i g i   b i l a n   ilgarilanma  va  O	1  qutb  nuqta 
atrofida  aylanma  harakatlardan  tashkil  topadi.  S  te kis  shakl  OXY  qo’zg’almas 
koordinata sistemasiga nisbatan bir vaqtda ikki har akatda ishtirok etadi. Shuning 
uchun  S  ning  OXY  ga  nisbatan  harakati  murakkab  hara k atdan  iborat  deb 
qarash  mu mkin.  S   ning  ilgarilanma  harakati  ko’chirm a,  uning  qutb  nuqta 
atrofidagi aylanma harakati nisbiy harakat bo’ladi.  	
Tekis  shaklning  XY  tekisligidagi  harakatini  tekshir amiz  (4-shakl).  S  ning 	
biror A nuqtasini qutb uchun tanlab, uning radius vektorini 	Ar	 bilan belgilaymiz, S 	
ning  ixtiyoriy  B  nuqtasining  radius  vektori 	Br	.  Yuqorida  isbotlangan  teoremaga 	
asosan 	
AB
A
Br
r
rr	r	+
=	        (5.2) 	
bo’ladi. 	
 	
4-shakl 	
 
Bunda 	ABr	  B  nuqtaning  A  nuqta  atrofida  aylanma  (nisbiy)  hara kat  radius 	
vektori.  Nuqta  harakatlanganda  uning  radius  vektori  t  vaqtning  funksiyasi  sifatida 
o’zgaradi.  B  nuqtaning  tezligi  (5.2)  dan  t  vaqt  bo’ yicha  olingan  hosilaga  teng 
bo’ladi. Ya’ni 	
dt
r
d	
dt
r
d	A
B+
=	dt
r
dAB	       (5.3) 	
;	dt
r
d	B
BJ=	 	;	dt
r
d	A
AJ=	 	dt
r
dAB	ABJ=	 	
bunda 	ABJ	  B  nuqtaning  A  nuqta  atrofidagi  nisbiy  (aylanma)  ha rakat  tezligi. 	
Aylanma  harakat  tezligi,  aylanma  harakat w  burchak  tezlik  vektorining  aylanish 
radius vektoriga vektorlik ko’paytmasiga teng ekanl igi bizga ma’lum 	
;	AB	BA	´
=	w
J	 
Bunda 	
AB
^	w	  bo’lgani  uchun 	J	BA	  ning  miqdori       	J	BA	= w   AB  bo’ladi. 
Bularning qiymatlarini (5.3) ga qo’ysak quyidagi te nglikni olamiz 	
AB
A
BJ
J
J+
=	      (5.4) 	
Demak,  tekis  shaklning  biror  nuqtasining  tezligi,  q utb  nuqtasining 	
ilgarilanma  harakat  tezligi  bilan  qutb  nuqta  atrofidagi  aylanma  harakat 
tezliklarining  geometrik  yig’indisiga  teng  ekan.  Boshqacha  aytganda,  tekis 	
BJ	BAJ	
AJ	
AJ	Br	
Ar	
O  shaklning  biror  nuqtasining  absolyut  (	J	B)  tezligi  uning  qutb  nuqtasining 	
ko’chirma  harakat  (	J	A)  tezligi  bilan  qutb  nuqta  atrofida  nisbiy  (	BAJ	  aylanma) 	
harakat  tezliklarining  geometrik  yig’indisiga  teng bo’ladi.  (5.4)  tenglikdan 
foydalanib,  amaliy  masalalarni  yechishda  katta  ahamiyatga  ega  bo’lgan  quyidagi 
teoremani isbotlaymiz. 	
Teorema: Tekis  shakl  ikki  nuqtasining  tezliklarini  shu  nuqta larni 	
tutashtiruvchi to’g’ri chiziqdan o’tuvchi o’qdagi proyeksiyalar o’zaro teng bo’ladi. 	
Tekis  shaklning 	J	A  va 	J	B  tezliklari  berilgan  bo’lsin  (5-shakl).  Shu 	
tezliklarning  A  va  B  nuqtalarini  tutashtiruvchi  AX  yo’nalishiga  proyeksiyasining 
tengligini  ko’rsatsak,  teoremani  isbotlagan  bo’lamiz.  Buning  uchun  (5.4)  ni  AX 
yo’nalishiga proyeksiyalaymiz. 	
 	
5-shakl 	
)
(
)
(
)
(AB
AX
A
AX
B
AX	pr
pr
pr	J
J
J	+
=	 	
Bunda 	J	BA	^ AB bo’lgani uchun 	0
)
( =	AB
AX	pr	J	. 	
Demak, 	
)
(
)
(A
AX
B
AX	pr
pr	J
J	=	      (5.5) 	
J	Acos a=	J	Bcos b 	
bo’ladi. 
Berilgan  onda  (daqiqada)  tezligi  nolga  teng  bo’lgan   tekis  shakl  nuqtasiga 	
tezliklar  oniy  markazi  deb  ataladi.  Tekis  shaklning  bunday  nuqtasini  topish  uchun 
uning  istalgan  nuqtasining  tezligini  aniqlaydigan  ( 5.4)  formuladan  foydalanamiz. 
Aytaylik  tekis  shaklning  biror  O  nuqtasining 	J	0  ilgarilanma  (ko’chirma)  harakat 	
tezligi  va  shu  O  nuqta  atrofidagi  (nisbiy)  aylanma  harakat w  burchak  tezligi 
berilgan  bo’lsin.  Shu  O  nuqtani  qutb  nuqta  deb  olam iz.  Bu  holda  tekis  shaklning 
ixtiyoriy  nuqtasining  (absolyut)  tezligi,  qutb  nuqta 	J	0  ilgarilanma  (ko’chirma) 	
harakat  tezligi  bilan  qutb  nuqta  atrofida 	J	OR	  (nisbiy)  aylanma  harakat  tezligining 	
geometrik  yig’indisiga  teng  bo’ladi.  O  nuqtadan 	J	0  ga  aylanma  harakat 	
yo’nalishiga tik chiziq o’tkazamiz (6-shakl). 	
 	
6-shakl 	
Bu  chiziq  ustida  yotgan  hamma  nuqtalarning  O  nuqta  atrofida  aylanma 	
tezligi o’tkazilgan chiziqqa tik, qutb nuqta 	J	0 tezligiga teskari yo’naladi. Aylanma 	
x 
o 90	
J	
P 	0pJ	
w	
AJ	
ABJ	
ABJ	
BJ	
0 	J  harakat  tezliklari  nuqtalardan  aylanish  markazi  O  gacha  bo’lgan  oraliqqa 
proporsional  ekani  bizga  formuladan  ma’lum.  O’tkazilgan  to’g’ri  chiziq  ustida 
shunday P nuqta topamizki, uning aylanish tezligi 	J	PO	 miqdor jihatidan qutb nuqta 	
tezligiga  teng  bo’lsin,  ya’ni 	J	0=J	PO	  yo’nalishi  unga  qarama-qarshi  bo’lsin 	
0
0 P	J
J-
=	. Bu holda P nuqtaning (absolyut) tezligi (5.4) for mulaga muvofiq  	
РО
О
РJ
J
J+
=	 	
bo’ladi.  Shunday  qilib  shu  onda  P  nuqta  tekis  shakl ning  tezliklar  oniy  markazi 
bo’ladi.  Endi  P  nuqtaning  to’g’ri  chiziq  ustidagi  holatini  aniqlaydigan  formulaga 
muvofiq 	J	PO	=w OP,  ikkinchi  tomondan 	J	PO	=J	0  bu  holda  wOP=	J	0  bo’ladi. 	
Bundan  	
w
J0	ОР =	        (5.6)  	
Demak,  tekis  shaklning  tezliklar  oniy  markazi,  qutb   nuqtadan  uning 	
tezligiga  aylanish  yo’nalishda  tik  o’tgan  to’g’ri  chiziqda  qutb  nuqtasidan 	w
J0 	
masofada joylashgan bo’lar ekan. 	
 
1) Agar  tekis  shaklning  biror  A  nuqtasining 	J	A  tezligi  va  ikkinchi  B 	
nuqtasining 	J	B tezligining yo’nalishi berilgan bo’lsa, tezliklar oniy markazi shu A 	
va B nuqtalardan tezliklarga o’tkazilgan tik chiziq larni kesishgan nuqtasida bo’ladi 
(7- shakl, a); 	
2) Agar tekis shaklni ikki A va B nuqtalarini 	B
A __
__	,J
J	 tezliklari shu nuqtalarni 	
tutashtiruvchi  AB  ga  tik,  miqdorlari  farqli  bo’lsa  (	J	A¹J	B),  tezliklar  oniy  markazi 	
tezliklarning  uchini  tutashtiruvchi  chiziq  bilan  AB   chiziqni  davomining  kesishgan 
nuqtasida bo’ladi (7- shakl, b, d); 	
3) Agar  tekis  shaklning  A  va  B  nuqtalarining  tezlik lari  teng  va  parallel 	
bo’lsa,  tezliklar  oniy    markazi  (AP=¥)  cheksizlikda  bo’ladi.  Shu  onda  tekis  shakl 
oniy ilgarilanma harakat qiladi (7- shakl, e ,f). 	
4) Amaliyotda  ko’pincha  tekis  shakl  S  qo’zg’almas  e gri  chizig’i  ustida 	
sirpanmasdan  dumalaydi.  Bu  holda  S  ning  egri  chiziqqa  tegib  turgan  nuqtasining 
tezligi  nolga  teng  bo’ladi.  Shu  nuqta  mazkur  on  uchun  oniy  markaz  bo’ladi  (7-
shakl, g). 	
 
7- shakl 	
– 	
-	
d) 	
g)   Berilgan  onda  tekis  shaklning  oniy  markazi  P  ma’lum  bo’lsin.  P  ni  qutb 	
nuqta  uchun  olib,  (5.4)  formulaga  muvofiq  tekis  sha klning  A,  B,  C  nuqtalari 
tezliklarini topamiz: 	
CP
P
C BP
P
B PA
P
AJ
J
J J
J
J J
J
J+
= +
= +
=	
 	
Bu yerda 	J	P=0 bo’lgani uchun  	
J	A= w	pAP,	J	B=w	pBP,	J	C=w	pCP          (5.7) 	
yo’nalishlari 	J	A^ AP 	J	B^BP 	J	C^CP. 	
Agar tekis shaklning olingan onda oniy markazi ma’l um bo’lsa, tekis shakl 	
nuqtalarining  shu  ondagi  tezliklari,  oniy  markazi  a trofida  xuddi  oniy  aylanma 
harakatdagi jism nuqtalarining tezliklari kabi topiladi. Demak, tekis shaklning oniy 
markazi  ma’lum  bo’lganda,  uning  nuqtalari  tezliklar ining  miqdorlari  tekis 
shaklning  aylanma  harakat  burchak  tezligini  nuqtalardan  oniy  markazgacha 
bo’lgan masofalariga ko’paytmasiga teng bo’ladi.  	
Tezliklar  mos  ravishda  shu  oraliqlarga  aylanma  harakat  yo’nalishlarda  tik 	
yo’nalgan  bo’ladilar  (8-shakl).  (5.7)  dan  tekis  shakl  nuqtalarining  oniy  paytdagi 
tezliklari orasidagi munosabatni aniqlaymiz 	
CP	BP	AP	
C
B
AJ	J	J	=
=	        (5.8) 	
 	
8-shakl 
 	
O	1xh   qo’zg’almas  tekislikda  harakatlanayotgan  S  tekis  s haklning  biror 	
ixtiyoriy  B  nuqtasining  tezlanishini  aniqlaymiz.  Bi zga    ma’lumki,  S  ning 
qo’zg’almas O	1xh tekislikdagi harakati ikki harakatdan tashkil topa di: 	
1)  ixtiyoriy  ravishda  tanlab  olingan  qutb  nuqtasini ng  harakati  bilan 	
ilgarilanma; 	
2) qutb nuqta atrofida nisbiy aylanma harakatlardan iborat. 
Shu  sababli  S  tekis  shakl  har  bir  nuqtasining  harak ati  ko’chirma  va  nisbiy 	
harakatlardan  tashkil  topgan  murakkab  harakatdan  ib orat  bo’lib,  tezlanishi 
murakkab  harakat  tezlanishi  kabi  tezlanishlarni  qo’shish  teoremasiga  muvofiq 
aniqlanadi (9-shakl). 	
BA
A
Ba
a
a +
=	      (5.9) 	
Bu  tenglikdagi 	aA 	–  S  tekis  shakldan  ixtiyoriy  tanlab  olingan  qutb 	
nuqtasining ilgarilanma harakat tezlanishi. Bu tezl anish qattiq jismning ilgarilanma 
harakati xususiyatiga ko’ra tekis shaklning hamma n uqtalari uchun bir xil bo’lib, S 
ning ko’chirma harakat tezlanishi bo’ladi, ya’ni 	A
ea
a =	. 	
B	
A	
C
BJ	
AJ	
CJ	w	P	
 AP 	
p  BAa	  esa  B  nuqtaning  O  qutb  nuqta  atrofidagi  aylanma  harakat  tezlanishi,  S 	
ning  nisbiy  harakat  tezlanishini  ifodalaydi 	BA
ra
a =	.  Shunday  qilib,  tekis  shaklning 	
istalgan  B  nuqtasining  tezlanishi 	Ba	  ixtiyoriy  ravishda  tanlab  olingan  A  qutb 	
nuqtani ilgarilanma harakat tezlanishi 	Aa	 bilan qutb nuqta atrofida aylanma harakat 	
BAa	  tezlanishlarining  geometrik  yig’indisiga  teng.  Bos hqacha  aytilganda,  tekis 	
shaklning  istalgan  nuqtasining  tezlanishi  tekis  shaklning  ko’chirma  va  nisbiy 
tezlanishlariga  qurilgan  parallelogramm  diagonali  b o’ylab  yo’nalgan  bo’lib, 
miqdori  shu  diagonal  uzunligiga  teng. 	OMa	  aylanma  harakat  tezlanishi  bo’lgani 	
uchun uni ikki tezlanishga ajratiladi: 	
1)  B  nuqtadan  aylanish  markazi  A  qutbga  qarab  BA  bo ’ylab  yo’nalgan 	
n
BAa	– markazga intilma tezlanish; 	
2) Aylanish radiusi BA ga tik yo’nalgan 	tBAa	– aylanma tezlanishga ajraladi. 	
Ya’ni 	
tBA
n
BA
BAa
a
a +
=	      (5.10) 	
Markazga intilma tezlanishning moduli 	
BA
a	n
BA 2	w=	        (5.11) 	
Hamma  vaqt  musbat  son  bo’lgani  uchun 	n
BAa	  hamma  vaqt  kuzatilayotgan 	
nuqtadan aylanish radiusi bo’ylab aylanish markazig a yo’nalgan bo’ladi. Aylanma 
tezlanishning moduli 	
BA
a	BA	e	t	=	        (5.12) 	
ga teng yo’nalishi aylanma harakat burchak tezlanis hining ishorasiga bog’liq. 	
Agar e=d w/dt>0 bo’lsa, 	tBAa	 BA ga tik qutb nuqta atrofida aylanma harakat 	
tezligi 	BAJ	  bilan  bir  yo’nalishda  bo’lib,  aylanma  harakat  tezl anuvchan  bo’ladi. 	
Agar e<0  bo’lsa, 	tBAa	  BA  ga  tik,  aylanma  harakat  tezligi 	BAJ	  ga  teskari  tomonga 	
yo’nalgan bo’ladi. Bu holda aylanma harakat sekinla nuvchan bo’ladi. 	n
BAa	 bilan 	tBAa	 	
orasidagi burchak 90° bo’lgani uchun 	n
BAa	ning moduli 
(	)	(	)	4
2
2
2w
e	t	+
=
+
= AB
a
a
a	BA
n
BA
BA	    (5.13) 	
tenglikdan topiladi. 	
Agar  aylanish  radiusi  AB  bilan 	BAa	  ni  tashkil  etgan  burchagini 
m  bilan 	
belgilasak, quyidagi tenglikni olamiz 	
2w
e
m	
t	
=
=	n
BA
BAa
a
tg	        (5.14) 	
Bundan  w va  e aylanma harakat burchak tezligi va burchak tezlani shi tekis 	
shaklining hamma nuqtalari uchun bir xilda bo’lganl igi sababli m burchak har onda 
tekis  shaklning  hamma  nuqtalari  tezlanishlari  uchun   bir  xilda  bo’ladi.  Agar e=0 
bo’lsa, 	0
=	tBAa	 bo’lib, 	n
BA
BAa
a=	. Bu holda aylanma harakatdagi tezlanish markazga 	
intilma  tezlanishdan  iborat  bo’lib,  aylanma  harakat   tekis  o’zgaruvchan  aylanma 
harakat bo’ladi. (5.10) ga ko’ra (5.9) ni quyidagicha yozish mumkin 	
 
   
9-a shakl 	
 
9-b shakl 	
tBA
n
BA
A
Ba
a
a
a +
+
=	               (5.15) 	
Shunday  qilib,  agar  ixtiyoriy  tanlab  olingan  A  qutb
  nuqtani  ilgarilanma 	
harakat  tezlanishi  va  qutb  nuqta  atrofida  aylanma  h arakat  burchak  tezligi  va 
burchak tezlanishi berilgan bo’lsa, tekis shaklning istalgan B nuqtasining tezlanishi 
(5.15) formula asosida topiladi.
  	
Tekis  shaklning  har  onda  tezliklar  oniy  markazi  bo’ lgani  kabi,  tezlanishlar 	
oniy  markazi ham  bo’ladi.  Harakatlanayotgan  tekis  s haklning kuzatilayotgan  onda 
tezlanishi  nolga  teng  bo’lgan  nuqtasiga  tezlanishla r  oniy  markazi  deyiladi. 
Tezlanishlar  oniy  markazini  Q  bilan  belgilaymiz  va uning  holatini  aniqlaymiz.  Q 
nuqtaning  tezlanishi  S  tekis  shaklning  boshqa  nuqta larining  tezlanishi  kabi  (5.9) 
formulaga  muvofiq  aniqlanadi.  Buning  uchun  S  ning  b iror  O  nuqtasining 	0a	 	
ilgarilanma ko’chirma harakat tezlanishi bilan S ning burchak tezligi w va burchak 
tezlanishi  e berilgan bo’lishi kerak. Bu holda (15.9) ga muvofi q 	
Q0
0
Qa
a
a +
=	      (5.16) 	
bo’ladi. 	
Q  tezlanishlar  oniy  markazi  bo’lishi  uchun 	0
a	Q=	  bo’lishi  kerak.  Bundan 	
a0=	0
Q	a	  kelib  chiqadi.  Demak,  Q  tezlanishlar  oniy  markazi  bo’lishi  uchun  Q  ning 	
ko’chirma  harakat 	a0  tezlanishi  oniy  aylanma  harakat 	0
Q	a	 tezlanishiga  miqdor 	
jihatidan  teng  bo’lib,  bir  chiziq  bo’ylab  qarama-qa rshi  tomonlarga  yo’nalgan 
bo’lishi kerak. (5.16) ga muvofiq 	
4
2
0
Q	0
Q
a	w
e+
=	 	
shartga ko’ra 	0
Q
0	a
a =	 bo’lganidan 	
4
2 0	
a
0
Q	
w
e+
=	
      (5.17) 	
ni  topamiz.  Bu  tenglik  tezlanishlar  oniy  markazi  Q 
ning  0  nuqtagacha  bo’lgan 	
па	 	
В 	А 	х 	
y 	
w e 	
m 	
а	 	tа	 	
а	 	
а	 	а	 	
пВАа	В 	А 	х 
y 	w 
e 	m 	
ВАа	
tВАа	
Ва	 	
Аа	
Аа	  masofasini  aniqlaydi.  Oniy  aylanish  radiusi  QO  ning 	0
Q	a	  bilan  tashkil  etgan 	
burchagi (5.14) formulaga muvofiq 	
2	tg	w
e
m=	            (5.18) 
 
     
10-shakl 	
 
a0  ga  m  burchak  ostida  ( e>0)	 aylanma  harakat  yo’nalishida  (agar  e<0 	
aylanma  harakatga  teskari  yo’nalishda  bo’lsa)  OK  ch izig’ini  o’tkazamiz  (10-
shakl).  Shu  OK  chiziq  olingan  QO  kesmaning  Q  uchi  tezlanishlar  oniy  markazini 
ifodalaydi.  Shunday  qilib  tekis  shaklning  tezlanishlar  oniy  markazining  holatini 
(5.17)  va  (5.18)  formulalaridan  foydalanib  topiladi.  Buning  uchun 	a0  va w, e  lar 	
berilgan bo’lishi shart. Tekis shaklning tezlanishl ar oniy markazi Q ma’lum bo’lsa, 
uning boshqa nuqtalarining tezlanishlarini aniqlash  soddalashadi. Q ni qutb nuqtasi 
uchun  olib  tekis  shaklning  boshqa  A  va  B  nuqtalarin ing  tezlanishlarini  (5.1) 
formulaga muvofiq topamiz 	
BQ
Q
B AQ
Q
Aa
a
a a
a
a
+
= +
=	
 	
Bu  yerda  Q  tezlanishlar  oniy  markazi  bo’lgani  uchun  	Qa	=0  bo’lib, 	
yuqoridagi tengliklar quyidagi ko’rinishga keltiriladi. 	
BQ
B AQ
Aa
a a
a
=
=	
       (5.19) 	
bu tezlanishlarning moduli 	
4
2
BQ
B 4
2
AQ
A	BQ
a
a AQ
a
a	w
e w
e+
=
= +
=
=	
                   (5.20) 	
 	
11-shakl 	
0a
0a	
w
e	
Q
O	
0
Q	a	
k
m	
0a
0a	w	e	
m	
Q	
O	
0
Q	a	k	
m	
Aa
Ba	
m	
m   	
tengliklaridan  aniqlanadi.  (5.11)  formulalardan  S  tekis  shaklning  tegishli 
nuqtalarining  tezlanishlari  nuqtalardan  tezlanishlar  oniy  markazi  bo’lgan 
oraliqlarga proporsional ekani kelib chiqadi 	
BQAQ
a
a	B A
=	        (5.21) 	
olingan (5.11) va (5.12) ga asosan quyidagi natijag
a kelish mumkin. 	
Agar  tekis  shaklning  tezlanishlar  oniy  markazi,  ayl anma  harakat  burchak 	
tezligi w  va  burchak  tezlanishi  e  lar  berilgan  bo’lsa,  tekis  shaklning  istalgan 
nuqtalarining  tezlanishlarini  qutb  nuqta  atrofida  o ddiy  aylanma  harakat 
tezlanishlari  kabi  aniqlanar  ekan.  Tezlanishlar  oniy  markazi  A  va  B  nuqtalardan 
ularning 	Aa	va 	Ba	  tezlanishlariga m  burchak  ostida  o’tkazilgan  chiziqlarning 	
kesishgan  nuqtasida  joylashgan  bo’ladi  (11-shakl).  Agar e=0  bo’lsa, 	
n
BQ
B
n
AQ
Aa
a
ва
a
a =
=	  bo’lib,  tezlanishlar  oniy  markazi 	Aa	va 	Ba	  tezlanishlar 	
yo’nalgan chiziqlarning kesishgan nuqtasida joylash gan bo’ladi (12-shakl). 	
Shuni  ta’kidlab  o’tish  lozimki,  tezliklar  oniy  mark azi  bilan  tezlanishlar 	
oniy markazi bir nuqtada bo’lmaydi. 	
 	
 	
12-shakl 	
 	
Adabiyotlar 	
 
1. Шохайдарова  П . ва  бош šалар . Назарий  механика . -Т.:  Ўкитувчи , 1992. 
2.  Рашидов  Т .Р . ва  бош šалар . Назарий  механика  асослари .   -Т.:  Ўкитувчи , 
1991. 
3.  Яхёев  М .С .,  Мўминов  К .Б . Назарий  механика . -Т.:  Ўšитувчи , 1990. 
4.  Никитин  Н .Н . Курс  теоретической  механики . -M.: Высшая  школа , 1990. 
5.  Тарг  С .М . Краткий  курс  теоретической  механики .  -M.: Высшая  школа , 
2002. 
6.  Мешчерский  И.В .  Назарий  механикадан  масалалар  тўплами .  -Т.: 
Ўкитувчи , 1990. 
7.  Мешчерский  И .В .  Сборник  задач  по  теоретической  механике .  -М.: 
Наука , 1986. 
 	
Aa	
Ba

O`ZB ЕKISTON R ЕSPUBLIKASI OLIY VA O`RTA MAXSUS TA'LIM VAZIRLIGI ANDIJON MUHANDISLIK  ANDIJON MUHANDISLIK  ANDIJON MUHANDISLIK  ANDIJON MUHANDISLIK - -- -      IQTISODIYOT INSTITUTI IQTISODIYOT INSTITUTIIQTISODIYOT INSTITUTI IQTISODIYOT INSTITUTI       «Muhandislik» fakult еti UMUMMUHANDISLIK FANLARI kafedrasi NAZARIY MEXANIKA fanidan Mavzu: Qattiq jismning tekis-parallel harakati Bajardi: TMJ 2kurs Nurmatov N Raxbar: Ismoilov X Andijon-2011 y

Qattiq jismning tekis-parallel harakati Reja: 1. Qattiq jismning tekis-parallel harakati. Qattiq jis mning tekis- parallel harakatini aniqlash 2. Tekis shaklning harakat tenglamalari 3. Tezliklar oniy markazi 4. Tekis shakl nuqtasining tezlanishi va uning oniy ma rkazi Qattiq jism harakatlanganda uning hamma nuqtalari biror qo’zg’almas tekislikka parallel tekisliklarda harakatlansa, qat tiq jismning bunday harakatiga tekis-parallel harakat deyiladi (41-shakl). Jismni P 0 tekislikka parallel bo’lgan ixtiyoriy P tekislik bilan qirqamiz. Natijada P tek islikda S qirqim yuza hosil bo’ladi. Bu yuzani tekis shakl deb ataladi. Tekis s hakl hamma vaqt P tekislikda harakatlanadi. Jismda tekislikka tik qilib A', A'' olingan kesma jism harakatlanganda P o’ziga o’zi parallel qoladi. Unin g hamma nuqtalarining tezlik va tezlanishlari bir xil bo’lib, P tekislikka paral lel bo’ladi. Bunday holda A', A'' kesma ustida yotuvchi jismning hamma nuqtalarining harakatini o’rganish o’rniga, shu nuqtalardan birining harakatini o’rgan ish kifoya. Shunday nuqta uchun S tekis shaklning a nuqtasini olsak bo’ladi. Demak qattiq jism tekis parallel harakatini o’rgani sh uchun, jismda P 0 qo’zg’almas tekislikka parallel bo’lgan S yuzaning (tekis shaklning) P tekislikdagi harakatini bilsak kifoya. Kinematikada qattiq jismn ing tekis parallel harakati sohasida yuritiladigan mulohazalar mashina va mexan izmlarning va ularning ayrim qismlarining harakatini o’rganishda nazariy b aza sifatida qo’llaniladi. Shuning uchun qattiq jismning tekis parallel haraka ti kinematikaning asosiy qismi bo’lib, bu qismni ayrim o’rganiladi. Tekis shakl ha rakatlanadigan tekislikka tekis shaklning harakat tekisligi deyiladi. Tekis s haklning harakat tekisligida joylashgan qo’zg’almas OXY koordinata sistemasiga n isbatan harakatini o’rganamiz. 1-shakl Tekis shakl S ning qo’zg’almas koordinata sistemasi ga nisbatan vaziyati unda olingan ixtiyoriy ikkita nuqtasini tutashtiruv chi AB kesmaning vaziyati bilan S P0 P B A B B¢¢ A¢¢ A

aniqlanadi. Biroq AB kesmaning qo’zg’almas sistemaga nisbatan vaziyati uning biror nuqtasining koordinatalari va bu kesmaning OX o’qi bilan tashkil etgan j burchagi bilan aniqlanadi. Bunday nuqtaga qutb nuqta deyiladi. Faraz qilaylik, S tekis shakl t vaqtda 1-holatda bo’lib uning holati AB kesma bilan aniqlansin, t+ Dt vaqtda S, II holatga ko’chib, AB kesma A 1B1 holatni oladi. A nuqtani qutb deb olamiz. AB ning A nuqtasi A 1 ga S o’tguncha tekis shaklga ilgarilanma harakat beramiz, shunda AB kesma A 1B' holatga keladi. Bu holda S ning hamma nuqtalari geometrik AA 1 ga teng masofaga ko’chadi. A 1B' ni A 1 nuqta atrofida <BA 1B’= j1 ga aylantirsak, A 1B’ kesma A 1B1 holatga ko’chadi. Tekis shakl S birinchi holatdan ikkinchi holatga o’tadi. Endi B nuqtani qutb deb olamiz. B nuqta B 1 holatga kelguncha S tekis shaklga ilgarilanma harakat beramiz. Bu holda AB kesma A'B 1 holatga o’tadi. Tekis shaklning hamma nuqtalari bir xilda BB' masofaga ko’chadi. B nuqta atrofida ÐA'B 1A 1=j 2 burchakka aylantirsak, AB kesma A 1B1 holatga keladi. Bu holda S tekis shakl B nuqta harakati bilan ilgarilanma ko’chib, B nuqta atrofida j2 burchakka aylanishi natijasida S birinchi holatdan ikkinchi h olatga o’tadi. Birinchi holda S tekis shakl A nuqtaning ilgarilanma harakati bilan A nuqta atrofida j1 burchakka aylanishi natijasida birinchi holatdan ikkinchi ho latga o’tgan edi. Har ikki holda tekis shaklni birinchi holatdan ikkinchi hola tga ko’chishi ikki harakat natijasida bajarilishini ko’rdik. Bu tekis shaklnin g harakat tekisligida ko’chishiga doir teoremani ifodalaydi. Teorema: Tekis shaklning harakat tekisligidagi har qanday harakatini ixtiyoriy tanlab olingan qutb nuqtasining harakati bilan ilgarilanma harakatdan va shu qutb nuqta atrofida aylanma harakatlardan tashk il topgan deb qarash mumkin (2-shakl). 2-shakl Biz yuqorida bir gal A, ikkinchi galda B nuqtani qu tb deb oldik A va B lar ixtiyoriy nuqtalar bo’lgani uchun qutb nuqtani tanlab olish ixtiyoriy bo’ladi. Tekis shaklni ilgarilanma harakati qutb nuqtani tan lab olishga bog’liq. Masalan yuqorida A nuqtani qutb nuqta uchun olganimizda S n i nuqtalari ilgarilanma harakat natijasida AA' masofaga ko’chgan bo’lsa, B nuqtani qutb uchun olganimizda BB' masofaga ko’chadi. Biroq AA' ¹BB' aks holda (AA'=BB') tekis shakl faqat ilgarilanma harakat qiladi. Shakldan AB ¹A 1B' va AB ¹A'B 1 bo’lgandan A 1B' ¹A'B 1 bo’ladi. Har ikki holda ÐB'AB 1=Ð A'B 1A 1: ya’ni 2 1j = j . Bundan tekis shaklni har ikki qutb nuqta atrofida a ylanish yo’nalishi va aylanish burchagi bir xilda ekanligini ko’ramiz. Demak tekis shaklning ilgarilanma harakati qutb nuqtani tanlab olishga bog’liq, ammo aylanma h arakati qutb nuqtani tanlashga

bog’liq bo’lmaydi. Tekis shakl S ni harakat tekisligida joylashgan OXY qo’zg’almas koordinata sistemasiga nisbatan harakatini tekshira miz. Qutb nuqta uchun S ning biror O nuqtasini ixtiyoriy tanlab olamiz. Shu O 1 nuqtada S bilan mahkam bog’langan, u bilan birga harakatlanuvchi O 1X1Y1 koordinata sistemasini o’tkazamiz. O 1X1Y1 koordinata sistemasini OXY koordinata sistemasiga n isbatan harakati S ni OXY ga nisbatan harakatini ifodalaydi . O 1X1Y1 ning OXY ga nisbatan holati O 1 ni X o1, Y o1 koordinatalari hamda OX ning O 1X1 bilan tashkil etgan j burchagi bilan aniqlanadi. Vaqt o’tishi bilan S ha rakatlanganda X 01, Y o1 va j lar t vaqtning funksiyasi shaklida o’zgaradi (3-shakl). Ya’ni      = == ) ( ) ( ) ( 3 2 01 1 01t f t f Y t f X j (5.1) bo’ladi. X 01, Y o1 va j lar vaqtning bir qiymatli, uzluksiz differensialla nuvchi funksiyasi bo’ladi. (5.1) tenglamalar berilgan bo’l sa, istalgan t vaqt uchun S ning XY tekisligidagi holati ma’lum bo’ladi. (5.1) tengl amalar tekis shaklning harakat tenglamalari deyiladi. Agar harakat davomida j=const bo’lsa, S va Y bilan bog’langan O 1X1Y1 koordinata o’qlari o’zlarining boslang’ich holatiga doimo parallel harakatlanadi. 3-shakl S ilgarilanma harakatda bo’ladi. Agar X 01,Y 01=const bo’lsa, S va Y bilan bog’langan O 1X1Y1 koordinata o’qlari O 1 nuqta atrofida aylanma harakat qiladi. j aylanish burchagini OX dan boshlab soat milining ay lanish tomoniga teskari aylanishda hisoblanadi. Shunday qilib S ning qo’zg’ almas XY tekisligidagi harakati ikki harakatdan tashkil topadi. (5.1) tenglamalarning birinchi ikkitasi S tekis sha klning ilgarilanma harakatini, uchinchisi S ning qutb nuqta atrofidagi aylanma harakatini ifodalaydi. Agar (5.1) berilgan bo’lsa, ularni birinchi ikkitas idan t bo’yicha bir marta hosila olib, S ning ilgarilanma harakat J tezligini topamiz: )t( f );t(f 2 y 0 1 x 0 1 1 ¢ = ¢ = J J bunda 2 y o 2 x o 2 2 0 1 1 1 0 1 0 1 Y X J J J+ = + = & & Agar (5.1) ning uchinchi tenglamasidan t vaqt bo’yi cha bir marta hosila olsak, S tekis shaklning O 1 nuqta atrofidagi aylanma harakat burchak tezligi w 1O 1X 1Y j 1 O Y 1 O X X Y O S

ni va ikki marta hosila olsak, burchak tezlanishi e ni topamiz. ; dt dj w = 2 2 dt d j e = Demak S tekis shakl harakat tekisligidagi harakati ixtiyoriy t a n l a b o l i n g a n O 1 q u t b n u q t a s i n i n g t e z l i g i b i l a n ilgarilanma va O 1 qutb nuqta atrofida aylanma harakatlardan tashkil topadi. S te kis shakl OXY qo’zg’almas koordinata sistemasiga nisbatan bir vaqtda ikki har akatda ishtirok etadi. Shuning uchun S ning OXY ga nisbatan harakati murakkab hara k atdan iborat deb qarash mu mkin. S ning ilgarilanma harakati ko’chirm a, uning qutb nuqta atrofidagi aylanma harakati nisbiy harakat bo’ladi. Tekis shaklning XY tekisligidagi harakatini tekshir amiz (4-shakl). S ning biror A nuqtasini qutb uchun tanlab, uning radius vektorini Ar bilan belgilaymiz, S ning ixtiyoriy B nuqtasining radius vektori Br . Yuqorida isbotlangan teoremaga asosan AB A Br r rr r + = (5.2) bo’ladi. 4-shakl Bunda ABr B nuqtaning A nuqta atrofida aylanma (nisbiy) hara kat radius vektori. Nuqta harakatlanganda uning radius vektori t vaqtning funksiyasi sifatida o’zgaradi. B nuqtaning tezligi (5.2) dan t vaqt bo’ yicha olingan hosilaga teng bo’ladi. Ya’ni dt r d dt r d A B+ = dt r dAB (5.3) ; dt r d B BJ= ; dt r d A AJ= dt r dAB ABJ= bunda ABJ B nuqtaning A nuqta atrofidagi nisbiy (aylanma) ha rakat tezligi. Aylanma harakat tezligi, aylanma harakat w burchak tezlik vektorining aylanish radius vektoriga vektorlik ko’paytmasiga teng ekanl igi bizga ma’lum ; AB BA ´ = w J Bunda AB ^ w bo’lgani uchun J BA ning miqdori J BA = w AB bo’ladi. Bularning qiymatlarini (5.3) ga qo’ysak quyidagi te nglikni olamiz AB A BJ J J+ = (5.4) Demak, tekis shaklning biror nuqtasining tezligi, q utb nuqtasining ilgarilanma harakat tezligi bilan qutb nuqta atrofidagi aylanma harakat tezliklarining geometrik yig’indisiga teng ekan. Boshqacha aytganda, tekis BJ BAJ AJ AJ Br Ar O