logo

Qavariq to’plamlar va ular ustida amallar.Qavariq to’plamlarning ajralishi

Загружено в:

08.08.2023

Скачано:

0

Размер:

257.5673828125 KB
Qavariq  to’plamlar  va ular ustida amallar.Qavariq to’plamlarning ajralishi .  
Reja:
1. Qavariq to’plam tushunchasi.
2. Qavariq konuslar va affin to’plamlar.
3. Qavariq to’plamlarning xossalari. 
4. To’plamlarning qavariq va affin qobiqlari.
5. Nisbiy ichki nuqtalar. Chetki nuqtalar.
6. Qavariq to’plamlarning ajralishi.
7. To’plamlarning ajralishi haqidagi teoremalar.
Asosiy adabiyotlar
1.  Р.Габасов, Ф.М.Кириллова. Оптималлаштириш усуллари.  Т. Узбекистон,
1995.
Qo’shimcha adabiyotlar
2.   Васильев   Ф.П.   Численные   методы   решения   экстремальных   задач.   М.
Наука, 1988.
3. Галеев Е.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач.
М: Изд МГУ. 1989.   
4. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.Наука.1998. 
5.   Сухарев А.Г., Тимохов А.Н., Фёдоров В.В. Курс методов оптимизации.
М. Наука 1988
6.   Исроилов   И.,   Отакулов   С.   Вариацион   хисоб   ва   оптималлаштириш
усуллари.   I -кисм.   Самарканд.   Сам   ДУ   нашри,   1999,   II -кисм   Самарканд,
СамДУ нашри, 2001    
  Ekstremal masalalarni o’rganishda qavariq to’plamlar va qavariq funksiyalar
muhim ahamiyatga ega. Ular amaliy matematikaning o’yinlar nazariyasi, 
operasiyalarni tekshirish, matematik iqtisod va shu kabi boshqa sohalarda ham 
qo’llaniladi.
  1 . Qavariq to’plam tushunchasi. Misollar .  Bo’sh bo’lmagan nR	Q	  to’plam 
berilgan bo’lsin.
1-t a’ r i f . Agar 	
Q	y	x			   ,  va barcha 		1,0	  uchun 	Q	y	x				)	1(		  bo’lsa,	
Q
 - qavariq to’plam deyiladi.
Qavariq to’plam o’zining ixtiyoriy 	
x  va 	y  nuqtalarini tutashtiruvchi	
			
10   ),(:, 		 yxyzRzyx n
  kesmani to’liq o’zida saqlaydi (1-chizma).
             a) qavariq to’plam                                       b) qavariq bo’lmagan
to’plam
1- c hizma .   
Ta’rifga asosan,  	
nR - qavariq to’plamdir.   Yagona   elementli   to ’ plam
va   bo ’ sh   to ’ plamni   ham   qavariq   deb   qabul   qilingan .	
nR
  da   qavariq   to’plamlarga   sodda   misollar   sifatida   quyidagilarni
keltirish mumkin (	
2n  uchun 2-chizmaga q.):
a) 	
			1	0   ),	(	:	,										u	v	u	x	R	x	v	u	n - kesma; b)  	 0   ,:),( 		
huxRxhul n
-   n
Ru 
  nuqtadan   n
Rh 
  yo’nalishda
chiquvchi nur;
   	
	 1
   ,:),( RhuxRxhul n
		
-   n
Ru 
  nuqtadan   n
Rh 
  yo’nalish
bo’yicha o’tuvchi to’g’ri chiziq;
v)  	
						x	u	R	x	u	H Tn	:	)	,	(
  -   gipertekislik,   n
Ru 
,  	1R	 ;	
		

xuRxuH Tn
:),(
,  			 
xuRxuH Tn
:),(
-  	)	,	(		u	H	   gipertekislik
bilan hosil qilingan yarim fazolar;
g)  	
	 	1	  ,	:	)	,...,	(	),	(	1	,n	i	v	x	u	R	x	x	x	v	u	P	i	i	i	n	n						   -  	n   o’lchamli
parallelepiped, 
n	i	v	u	,...,v	(v	v	u	u	u	i	i	n	n	,1	     	    ),	   ),	,...,	(	1	1							 ;
d) 	
	r	d	x	R	x	r	d	K	n					:	),	(  - markazi 	nR	d  nuqtada bo’lgan radiusli
shar.	
nR
  da   qavariq   bo’lmagan   to’plamlarga   quyidagilar   misol   bo’la
oladi (	
2n  uchun 3-chizmaga q.):	
	n	i	x	x	R	x	Q	i	n	,1	   ,0	   ,1	:					
;
		n	i	n	R	x	n	i	x	x	x	R	x	Q											)1	,....,1,1(	   ,	,1	   ,0	   ,1	:
;	
		.	    , ,	:	2	1	2	1	r	r	r	x	r	R	x	Q	n					
  
             a )                               b )                                                    v )
                                                              2- chizma                                                  3-  chizma
2-   t   a ’   r   i   f .   Agar   ixtiyoriy   	   ,	,	y	x	Q	y	x		 ,   nuqtalar   va   barcha   )1,0(	
sonlar   uchun  	
Q	y	x	int	)	1(					     bo ’ lsa   ( ya ’ ni  	Q	y	x	z					)	1(		   to ’ plamning
ichki   nuqtasi ), 	
Q -  qat ’ iy   qavariq   to ’ plam   deyiladi .
Masalan ,  	
),	(	r	d	K   -   shar   –   qat ’ iy   qavariq   to ’ plam ,  	n	v	u	P	),	(   o ’ lchovli
parallelepiped  –  qat ’ iy   qavariq   emas  (4- chizma ).
                          	
Q	z	int	  	y                                                         	x
                         	
x       	d                                                               	Q	z	int	      
                                                                                                   	
y
                               a)                                                 b)
                                                4- chizma.
I   z   o   h.   Ta’rifdan   ko’rinib   turibdiki,  	
nR	Q	   to’plamning   qat’iy
qavariq bo’lishi uchun, 	
	Q	int  bo’lishi zarur.
              2 .  Qav ariq k onuslar v a affi n t o’plamlar . 
                  Qavariq   konuslar   va   affin   to’plamlar   qavariq   to’plamlarning
muhim sinfini tashkil etadi. 3-   t   a’   r   i   f .   Agar   barcha  0	   ,				Q	x   uchun  	Q	x	   bo’lsa,  	nR	Q	   -
konus deyiladi.
Boshqacha   aytganda,   agar  	
Q   -   konus   bo’lsa,   u   o’zining   ixtiyoriy
nuqtasidan o’tuvchi va uchi nolda bo’lgan nurni to’liq o’zida saqlaydi.
Agar barcha 
0	   0,	   ,	,						Q	y	x  uchun 	Q	y	x			  bo’lsa, 	Q  - qavariq
konus   deyiladi.   Qavariq   konus,   bir   vaqtning   o’zida,   ham   qavariq
to’plam, ham konusdir (5-chizma).
                                      a )                                                        b )
                                                         5- chizma.
4-t a’ r i f. Agar 	
Q	y	x			,  va barcha  1
R	
 uchun, 	Q	x				)	1(		  bo’lsa,	
nR	Q	
  -   affin   to’plam   deyiladi.   Affin   to’plam   o’zining   ixtiyoriy   ikki
nuqtasidan o’tuvchi to’g’ri chiziqni to’liq saqlaydi.
Affin   to’plamlar   sodda   tuzilishga   ega.   Buni   quyidagi   teorema
tasdiqlaydi.
1- t eorema . 	
nR	Q	  - affin to’plam bo’lsin. U holda:
a)  ixtiyoriy  
Q	x	0   uchun  	0x	Q	L		   to’plam  	nR   da  chiziqli  qism fazo
bo’ladi; bunda 	
L  	Q	x	0  nuqtaning tanlanishiga bog’liq emas;
b) 	
Q  ni quyidagicha tasvirlash mumkin:
			m	i	b	x	a	R	x	b	Ax	R	x	Q	Ti	n	n	,1	   ,	:	:							
 ,                             (1) bu   yerda  n	m	A		 -   o’lchovli   matrisa,   maa ,...,
1
-   uning   satrlaridan   tuzilgan
vektorlar, 	
m	m	R	b	b	b			)	,...,	(1 .
(1)   tasvir   ko’rsatdiki,   affin   to’plam   chekli   sondagi   gipertekisliklar
kesishmasidan iborat.	
0x	Q	L		
 ga affin 	Q  to’plamga parallel chiziqli qism fazo deyiladi.
1-teoremadan   kelib   chiqadiki,   affin   to’plam   yopiqdir;   agar  	
nR	Q	
bo’lsa, affin 	
Q  to’plam ichki nuqtalarga ega emas (		Q	int ).
                     3. Qav ariq t o’plamlarning xossalari .
 Quyida qavariq to’plamlarning bir necha xossalarini keltiramiz.
2-   t eorema .   Ixtiyoriy   sondagi   qavariq   to’plamlarning   kesishmasi
yana qavariq to’plamdir.
I s b o t i .   IiQ
i   ,
- qavariq to’plamlar bo’lsin ( I -chekli yoki cheksiz
indekslar to’plami). 	
Ii	iQ	Q	
	
 to ’ plamning   qavariq   ekanligini   ko ’ rsatamiz .
a )  Q
  bo ’ lsin .  Bu   holda   teoremaning   isboti   o ’ z  –  o ’ zidan   ravshan
( chunki   bo ’ sh   to ’ plam   qavariq   deb   qabul   qilingan );
b)  	
	1,0	   ,	,	   ,						Q	y	x	Q   bo’lsin.   To’plamlar   kesishmasining
ta’rifiga   asosan,  	
I	i	Q	y	x	i				  ,	, .   IiQ
i   ,
  to’plamlar   qavariq   bo’lganligi
uchun,     IiQyxz
i     ,)1(
	
.   U   holda,  	Ii	iQ	z	
	
 ,   ya’ni  	Q   -   qavariq
to’plamdir.  
                  Isbotlangan   teoremaga   asosan,	
			m	i	b	x	a	R	x	b	Ax	R	x	Q	i	Ti	n	n	,1	   ,	:	:							
  to’plam   qavariqdir   (bu   yerda	
n	m	A		
  -   matrisa,   maa ,...,
1
-   uning   satrlaridan   tuzilgan   vektorlar,
),...,(
1 mbbb 
).   Chunki   bu   to’plam,   qavariq   to’plamlar   bo’lgan, 	m	i	b	x	a	R	x	b	a	H	i	Ti	n	i	i	,1	   ,	:	)	,	(					    yarim   fazolarning   kesishmasidan
iborat.
Chekli   sondagi   yarim   fazolarning   kesishmasidan   iborat   bo’lgan
qavariq to’plamga poliedr deyiladi. 
Qavariq   to’plamlarning   birlashmasi   qavariq   to’plam  bo’lishi   ham,
bo’lmasligi   ham   mumkin.   Masalan,  	
)	,	(	)	,	(	2	1	r	d	K	r	d	K	Q		   to’plam   qavariq,
chunki  	
	2	1	2	1	,	max	   ),,	(	)	,	(	)	,	(	r	r	r	r	d	K	r	d	K	r	d	K			 ;       2121   ),,(),(				  
uHuHQ 
to’plam qavariq emas.
3-   t eorema .   Qavariq  	
mQ	Q	Q	,...,	,	2	1   to’plamlarning   chiziqli
kombinasiyasi deb ataluvchi ,	
	
											
m
i	i	i	ii	n	m
i	i	i	m	i	Q	x	x	x	R	x	Q	Q	
1	1	
,...,1	  ,	   ,	:		
to’plam qavariq bo’ladi, bu yerda  m	
	,...,
1
- ixtiyoriy sonlar.
Bu  teoremaga asosan, qavariq  	
1Q   va  	2Q   to’plamlarning algebraik
yig’indisi 	
	
22
1121
21   ,  ,: QxQxxxxxQQ 
,
ayirmasi	
	
22
1121
21   ,  ,: QxQxxxxxQQ 
,
hamda qavariq 	
Q  to’plamning ixtiyoriy 	  songa ko’paytmasi 	
	Q	x	x	y	y	Q				  ,	:		
,
qavariq to’plamdir. 
4- t eorema . Qavariq 	
Q  to’plamning yopig’i 	Q  - qavariq to’plamdir.
I s b o t i. 	
	 	Q	y	x	1,0	   ,	  ,				  uchun 	y	x	z	)	1(					    nuqtani qaraymiz.
Qavariq   to’plam   yakkalangan   nuqtalarga   ega   bo’lmaganligi   uchun,  	
x va  y   -  	Q   to’plamning   limitik   nuqtalaridir.   Shuning   uchun,   shunday	
Q	xk
  va  	Q	yk   nuqtalar ketma – ketligi mavjudki,    kyyxx kk
   ,   ,
bo’ladi.  
Q   to’plam   qavariq   bo’lganligi   uchun,
,...2,1   ,)1(  kQyxz kkk	
	
.   U   holda,	
z	y	x	y	x	z	k	
k	
k	
k	
k	
k											)	1(	lim)	1(	lim	lim				
.   Demak,  	Q	z ,   ya’ni  	Q   -   qavariq
to’plamdir.  
I z o h. a)  	
Q   to’plamning yopig’i  	Q   - qavariq bo’lsada,  	Q   - qavariq
bo’lmasligi   mumkin.   Masalan,  	
	r	d	x	R	x	Q	n						0:   -   qavariq   emas,
ammo 	
),	(	r	d	K	Q	  - qavariq to’plam.
b)   qat’iy   qavariq   to’plamning   yopi ђ i   qat’iy   qavariq   bo’lmasligi
mumkin.   Masalan,  	
	
							
,n	i	x	x	R	x	Q	i	
n
i	i	n	1	   ,0	   ,1	:	
1	
2   -   qat’iy   qavariq,
ammo  	
	
							
,n	i	x	x	R	x	Q	i	
n
i	i	n	1	   ,0	   ,1	:	
1	
2  esa,  qat’iy qavariq emas.
5-   t eorema .  
Q   -   qavariq   to’plam,  		Q	int   bo’lsin.   Agar
QyQx int  , 
 bo’lsa, 	
)1,0(	   ,	int	)	1(									Q	y	x  bo’ladi.
  I s b o t i. 
Q	y	int  bo’lganligi uchun, shunday 	0  mavjudki,	
		.	:	Q	y	v	v				
                                                    (2)
Ushbu	
1	0   ,	)	1(									y	x	u
                                        (3)
ko’rinishdagi   nuqtalarni   qaraymiz.  	
Q	u	int	   ekanligini   ko’rsatish   uchun,	
u
  nuqtaning  	Q   to’plamda   to’liq   yotuvchi   biror   atrofini   qurish   yetarli.	
		Q	u	z	z						)	1(	:
 ekanligini ko’rsatamiz. Qx 
  bo’lganligidan,    Q	u	z	x	v	v	


	


						
	)	1(	:   to’plam   bo’sh
emas. Shuning uchun, shunday 	
Q	z	1  nuqta mavjudki,	

		u	z	x	z						)	1(
1
                                           (4)
munosabat bajariladi.
         	

 

1	1	2 zz
z
 deb olamiz. U holda, (3) va (4) dan,	
										
					
			u	z	z	x	u	z	x	u	z	z	y	z	z	y	z	(	1
1	)	(	)	(	1
1	
1	
)	(	
1	1	1	1	2					
		

	
					)1z	x
 
munosabatni   olamiz.   Demak,    	
Q	z	2   (   (2)   ga   q.).  	2z   nuqtaning
aniqlanishiga   ko’ra,  	
2	1	)	1(	z	z	z					 .  	Q	z	z	2	1,   va  	Q   qavariq   bo’lganligi
uchun,  	
Q	z . Shunday qilib,  		)	1(			u	z   shartni qanoatlantiruvchi har
bir   z
  vektorning  	
Q   ga   tegishli   ekanligi   ko’rsatildi.   Bu   esa,    	Q	u	int	
demakdir.  
Bu teoremadan natija sifatida quyidagi tasdiqlarni olish mumkin. 
6-   t eorema .   Agar  	
Q   -   qavariq   to’plam   bo’lsa,  	Q	int   ham   qavariq
to’plam bo’ladi.
7-   t eorema .   Agar  	
Q   -   qavariq   to’plam,  		Q	int   bo’lsa,  	   ,	int	Q	Q
,	
Q	Q	int	int	
,  	Q	Q		     bo’ladi   (bu   yerda  	Q	Q	Q	int\		   -  	Q   to’plamning
chegarasi).
Agar  	
Q   -   qavariq   to’plam   bo’lmasa,  	Q	Q		   tenglik   o’rniga,   faqat	
Q	Q		
  munosabat   o’rinli,   xolos.   Haqiqatan   ham,  	Q	Q	   ekanligidan,	
Q	Q	int	int	
, demak,   QQQQQQ  int\int\
.  7-teoremadan   foydalanib,   quyidagi   natijani   olish   mumkin:   agarnR	Q	
-   qavariq   to’plam,  		Q	int ,  	Q   -   qat’iy   qavariq   bo’lsa,  	Q   -   qat’iy
qavariq to’plam bo’ladi.	
nR
  fazoning 	mx	x	,...,1  nuqtalari berilgan bo’lsin.
5-t   a’   r   i   f.   Agar  	
	
			
m
i	i	i	m	i	
1	
1	   ,	,1	   ,0		   bo’lsa,  	  m
i i
i xz
1	
  nuqtaga
m
xxx ,...,, 21
 nuqtalarning qavariq kombinasiyasi deyiladi.
Agar   faqat  	
 	m
i i
11	
  shart   bajarilsa,  	  m
i i
i xz
1	
  nuqtaga,   m
xxx ,...,, 21
nuqtalarning affin kombinasiyasi deyiladi.
8-   t eorema .   Qavariq   (affin)   to’plam   o’z   nuqtalarining   barcha
mumkin bo’lgan qavariq (affin) kombinasiyalarini o’zida saqlaydi.
I   s   b   o   t   i.   Teoremaning   affin   to’plamga   tegishli   qismi   1-
teoremadan kelib chiqadi ( (1) formulaga q.). 	
nR	Q	
 - qavariq to’plam bo’lsin. Ixtiyoriy 	,...3,2,1	m   uchun, 
1	    ,	,1	   ,0	    ,	   ,	
1	1	
									
m
i	i	i	i	m
i	
ii	m	i	R	x	x	z			
                          (5)
shartdan,  	
Q	z   munosabat   kelib   chiqishini     ko’rsatamiz.   Matematik
induksiya   usulini   qo’llaymiz.  	
1	m   uchun   tasdjiqning   bajarilishi   o’z-
o’zidan   ravshan. Faraz qilaylik,  	
k	m	   uchun tasdiq o’rinli bo’lsin. (5) da	
1	k	m
  deb   olamiz.   Agar  	1	1	k   bo’lsa,  	0	....	2	1					k		   va   demak,	
Q	x	z	k			1
. Agar  	1	0	1		k  bo’lsa, 	
				

	
									
k
i	
i	
k
i	k
i	
k	k	k	ii	x	 	x	x	x	x	z	
1	1	
1
1	
1	1	1	1	   ,	)	1(	
			
                     (6)
deb   yozib   olamiz.  	
x   nuqta   m
xxx ,...,, 21
  nuqtalarning   qavariq
kombinasiyasidan   iborat   bo’lib,   induktiv   farazimizga   ko’ra,   Qx 
.   U holda,  Q   ning qavariqligini hisobga olib, (6) dan   	Q	z   ga ega bo’lamiz.

                        4.  To’plamlarning qav ariq v a affi n qobiqlari . 
6- t a’ r i f.  	
nR	Q	   to’plamni o’zida saqlovchi barcha qavariq (affin)
to’plamlarning kesishmasiga uning qavariq (affin) qobig’i deyiladi va 
                                   convQ
 (	
affQ )
 kabi belgilanadi (6-chizma).
                        a)                    6- chizma                        b)
         Ixtiyoriy  Q
 uchun,  convQ
 (	
affQ ) – bo’sh bo’lmagan qavariq (affin)
to’plamdir.   Agar  	
Q   -   qavariq   (affin)   to’plam   bo’lsa,  	Q	convQ	   ( QaffQ 
)
bo’ladi. 
9- t eorema . Bo’sh bo’lmagan ixtiyoriy  	
nR	Q	   to’plamning qavariq
(affin) qobi ђ i  	
Q   to’plam  nuqtalarining  barcha  mumkin  bo’lgan  qavariq
(affin) kombinasiyalari to’plami bilan ustma- ust tushadi. 
I   s   b   o   t   i .   Teoremaning   qavariq   qobiqqa   tegishli   qismini
isbotlaymiz (affin qobiq uchun o’xshash isbotlanadi).	
Q
  to’plam   nuqtalarining   barcha   mumkin   bo’lga   qavariq
kombinasiyalari   to’plamini  	
comQ     deb   belgilaylik.  	convQ	Q	
bo’lganligidan(6-ta’rifga q.), 8-teoremaga asosan, 	
convQ	comQ	
 .                                                       (7)	
comQ
 to’plamning qavariqligini ko’rsatamiz.  Haqiqatan   ham,         1,	λ	    ,0	    ,0	    ,	    ,	
1
1	
2
1	
1m
1i	1	i	2	1							
					
m
i	
m
i	i	i	i	ii	y	z	x	z					
	

2	
1	
1	
m
i	i
  bo’lsin.  	 ,0	1	1	   ,	   ,	1	  ,	1	1	1	2	1										i	m	i	i	i	m	i	i	λ	,   	,m	,   iλ	λ	,   	,m	i	y	u	,m	 i	x	u	
2	1	2	,1	   ,	  ,	,1	   ,0	   ,	,1	1	m	i	m	i	m	i	i	i	m	i									
  deb belgilaymiz. U holda,  		1,0		
uchun,         
 	
							

	
								
1	2	2	1	
1	1	1	1	2	1	,	)	1(	)	1(	)	1(	
m
i	
m
i	
i	m	m
i	
i	i	i	ii	u	y	x	z	z									   
    
							

	
									
1	2	2	1	
1	1	1	
,1	)	1(	)	1(	)	1(	
m
i	
m
i	i	i	
m	m
i	i	i									   	,0	)	1(				i	i			  
21,1 mmi 
. 
                  Demak,  	
comQ	z	z	z				 21	)	1(		
.   Bu   esa,  	comQ   ning   qavariqligini
ko’rsatadi. 
Ta’rifdan   tushunarliki,  	
comQ	Q	 .   Bundan   esa,   6-ta’rifga   ko’ra,	
comQ	convQ	
  bo’lishi   kelib   chiqadi.   Olingan   bu   munosabat   va   (7)   dan
teoremaning  isbotiga kelamiz.  
9-teoremadan foydalanib, quyidagi natijani olish mumkin.
10-t eorema . Agar 	
k	i	R	Q	n	i	,1	   ,		  bo’lsa, 		  k
i k
i ii	convQ	Q	conv
1 1
 bo’ladi.
Qavariq analizda quyidagi teorema muhim ahamiyatga ega. 
11-t eorema   (Karateodori).  	
nR	Q	   bo’lsin.   U   Holda   convQ
  ning
ixtiyoriy   nuqtasini  	
Q ning    	1n   tadan   ko’p   bo’lmagan   nuqtalarining
qavariq kombinasiyasi kabi tasvirlash mumkin. (Teorema isbotini 	
		10,9
dan topish mumkin.)
Karateodori teoremasidan natija sifatida quyidagiga ega bo’lamiz.
12-t eorema .   Agar  	
nR	Q	   -   kompakt   bo’lsa,   convQ
  ham   kompakt
bo’ladi.                 5. N isbiy  ichk i nuqt alar. Chet k i nuqt alar . 
7-t   a’   r   i   f.  nR	Q	x		0   bo’lsin.   Agar   biror  	0   uchun,
QaffQxK ),( 0	

  munosabat   bajarilsa,  	0x   ga  	Q   to’plamning   nisbiy   ichki
nuqtasi deyiladi(7-chizma).	
Q
 to’plamning nisbiy ichki 
nuqtalari  to’plamini 	
riQ  deb belgilaymiz.  	riQ	Q	Q	r		
to’plamga 	
Q  ning nisbiy chegaraviy nuqtalari 
to’plami deyiladi.                                                                                   7-
chizma.
                                                                                                           7 – chizma.
1-m   i   s   o   l.  	
	0	   ,1	:)	,	,	(	3	22	21	3	2	1						x	x	x	x	x	x	x	Q   bo’lsin.  	0 2x	R	affQ	
bo’lgani   uchun,    	
	0	   ,1	:)	,	,	(	3	22	21	3	2	1						x	x	x	x	x	x	x	riQ ,	
	,1	:)	,	,	(	22	21	3	2	1					x	x	x	x	x	x	Q	r
 	0	3	x . Keltirilgan bu misolda  	Q - bittadan ko’p
elementli   qavariq   to’plam   bo’lib,  	
	Q	int     bo’lsa-da,  	riQ   -   bo’sh
bo’lmagan   qavariq   to’plamdir.   Quyidagi   teorema     ko’rsatadiki,   bu
tasodifiy emas.
13-   t eorema .   Agar  	
nR	Q	   -   bittadan   ko’p   elementli   qavariq
to’plam bo’lsa,  	
riQ - bo’sh  bo’lmagan  qavariq to’plam bo’ladi va  	riQ	Q	 ,	
Qri	riQ	
, 	Q	r	Q	r			   tengliklar bajariladi. 
6-7   –   teoremalarning   natijalarini   umumlashtiruvchi   bu
teoremaning isbotini [4,10] dan qarash mumkin.
8-t   a’   r   i   f.  	
nR	Q	x		0   bo’lsin.   Agar  	0x   nuqtani	
 ,	  ,	)	1(	2	1	2	1	0	x	x	x	x	x						
   )1,0(  ,  , 21
	 QxQx
ko’rinishda   tasvirlash
mumkin bo’lmasa, 	
0x  - 	Q  to’plamning chetki nuqtasi deyiladi. Q  to’plamning   barcha   chetki   nuqtalari   to’plamini  	четQ   deb
belgilaymiz.
Ta’rifdan     osongina   kelib   chiqadiki,   agar  	
Q   chekli   sondagi
nuqtalardan   iborat   bo’lsa,   четQQ 
    bo’ladi.  
Q	Qчет		   munosabat   ham
ta’rifdan   kelib  chiqadi.   Agar  	
Q -  ochiq  to’plam   (	Q	Q	int )  bo’lsa,  		четQ ,
chunki ichki nuqta chetki nuqta bo’la olmaydi.  	
Q   yopiq bo’lganda Ham	
	четQ
 bo’lib qolishi mumkin. (2- misoldagi 	1Q  to’plamga q.)	
convQ	Q	
  bo’lsa-da,  	чет	чет	convQ	Q	)	(	   munosabat   hamma   vaqt   ham
o’rinli   bo’lavermaydi.   Masalan,  	
		2	)2,0(),1,0(),0,0(	R	Q		     uchun,	
	:)	,	(	2	1x	x	x	convQ		
 	0	  ,2	0	1	2				x	x ,    			Q	Q	convQ четчет			  ,)2,0(),0,0(	)	(
,   ya’ni	
	чет	чет	convQ	Q	)	(
. 	
	Q	convQ
  bo’lsa-da,   четчет convQQ )(
  bo’lishi   ham   mumkin   (   quyida
keltirilgan 14-teoremaning f) tasdig’iga q.).
2-m   i   s   o   l.  	
	0	:)	,	(	2	2	1	1				x	x	x	x	Q ,  		1	0  ,2	:)	,	(	1	2	1	2	1	2							x	x	x	x	x	x	Q ,	
	1	   ,1	:)	,	(	22	21	2	1	2	1	3							x	x	x	x	x	x	x	Q
  bo’lsin   (8-chizma).   8-chizmadan   va   9-
ta’rifdan   foydalanib,  	
	чет	Q1 ,  		)1,1(),2,1(),2,0(),0,0( 2	 чет	Q
,	
	0	0	  ,1	:)	,	(	2	1	22	21	2	1	3							,  x	x	x	x	x	x	x	Q	чет
 ekanligini ko’rish qiyin emas.                      2x                                          	2x                                         	2x
                     	
1Q                                               	2Q
                                                                                                                    3Q
                     a)              	
1x                           b)               	1x                           v)	
1x
         
                                              8- chizma
14- t eorema . Quyidagi tasdiqlar o’rinli:
a) agar  	
nR	Q	 - qavariq yopiq to’plam bo’lib, birorta ham to’ ђ ri chiziqni
saqlamasa, 	
	четQ  bo’ladi;
b) agar  
nR	Q	  - qavariq kompakt bo’lsa,  чет	convQ	Q	
 bo’ladi;
d) Har qanday 	
Q  poliedr uchun 		четQ , yoki 	четQ  chekli bo’ladi;
e) agar 	
	b	Ax	R	x	Q n				:
 - poliedr bo’lsa, 		четQ  bo’lishi uchun 	n	rankA	  
bo’lishi   zarur   va   yetarlidir;  	
	0	  ,	:					x	b	Ax	R	x	Q n
  ko’rinishdagi   poliedr
uchun 
esa 	
	четQ  bo’ladi. 
f) agar  	
nR	Q	  - qat’iy qavariq yopiq to’plam bo’lsa, 	Q	Qчет	  bo’ladi.
I s b o t i. Teoremaning a)-e) tasdiqlari isbotlarini adabiyotlardan,
masalan [3, 9, 10, 11] lardan topish mumkin.
f) tasdiqni isbotlaymiz. 	
Q	z		  bo’lsin. 	Q  yopiq bo’lgani uchun, 	Q	z
bo’ladi. Agar    четQz 
 deb faraz qilsak, shunday 	
)1,0(	   ,	   ,	   ,						y	x	Q	y	Q	x
mavjudki,  	
Q	y	x	z	int	)	1(						 .   Olingan   qarama-   qarshilik  	четQ	Q		 ekanligini   ko’rsatadi.   Endi   chetki   nuqta   ta’rifidan   kelib   chiquvchiQ	Qчет		
 munosabatni Hisobga olib 	Q	Qчет	  tenglikka ega bo’lamiz. 
6. Qav ariq t o’plamlarning ajralishi.
Qavariq to’plamlarning ajralishi haqidagi teoremalar  qavariq
to’plamlarning muhim xossasini ifodalaydi. Bu teoremalar ekstremal
masalalar nazariyasida
 keng qo’llaniladi. 
                      6.1.To’plamlarning ajralishi t ushunchasi . 	
nR	A
  va 	nR	B	  to’plamlar berilganda bo’lsin. 
1-t a’ r i f. Agar shunday 	
0	   ,			c	R	c n
 va 	1R	  topilib, 
y	c	x	c	B	y	A	x	y	c	x	c
T
ByT
AxTT
									sup	inf	   ,	    		
                       (1)
munosabat bajarilsa, 	
A  va 	B  to’plamlar ajraluvchi deyiladi. 
Agar   (1)   o’rniga  	
y	c	x	c T
ByT
Ax
	sup	inf
  qat’iy   tengsizlik   bajarilsa,  	
A   va  	B
to’plamlar kuchli ajraluvchi deyiladi. 
Demak,   ta’rifga   ko’ra,  	
A   va  	B   to’plamlarning   ajralishi   shunday	
						z	c	R	z	c	H	T	n:	)	,(
  gipertekislikning   mavjudligini   bildiradiki,  	A
to’plam   shu   gipertekislik   bilan   hosil   qilingan   yarim   fazolarning   biri	
		

zcRzcH Tn
:),(
  da,  	B   esa   ikkinchi   yarim   fazo	
		

zcRzcH Tn
:),(
  da   yetadi.   Shu    	)	,(	c	H   gipertekislik  	A   va  	B
to’plamlarni ajratuvchi deb ataladi. 
Quyidagi   1-2   –   chizmalarda   ajraluvchi   to’plamlarga   misollar
keltiradi (2.b)- chizmada kuchli ajraluvchi to’plamlar tasvirlangan).    a)  b) c)
1- chizma
d) e)
2- chizma
2- t a’ r i f. Agar ixtiyoriy  Q	x   uchun  	x	cT   va biror   Qy 
   uchun	

yc T
 bo’lsa, 							z	c	R	z	c	H	T	n:	)	,(  gipertekislikka 	Q  to’plamga tayanch
gipertekislik deyiladi (3- chizma).
 
3- chizma.
3-t   a’   r   i   f .  	
nR	Q	   bo’lsin.   n
Ra 
  nuqtaning  	Q   to’plamga
proyeksiyasi   deb  	
Q	x	a	x	a	a	PQ						   ,	)	( ,   shartni   qanoatlantiruvchi	
Q	a	PQ	)	(
 nuqtaga aytiladi. 
Boshqacha   aytganda,   n
Ra 
  nuqtaning  	
Q   to’plamga   proyeksiyasi	
Q
 to’plamning 	a   nuqtaga eng yaqin nuqtasidir:  a	x	Q	a	a	a	P	Qx	Q					inf	)	,	(	)	(	 
Agar 	
Q	a  bo’lsa, 	a	a	P Q	)	(
 bo’lishi ravshan. 
Agar 	
Q	a  va 	Q  ochiq to’plam bo’lsa, 	)	(a	P Q
 mavjud emas. Agar 	Q  -
yopiq to’plam bo’lsa, hamma vaqt   	
)	(a	P Q
  mavjud, ammo bu holda  	)	(a	P Q
yagona bo’lmasligi mumkin (4.a) - chizma).
1-l e m m a. 	
Q  - qavariq yopiq to’plam, 	Q	a   bo’lsin.   U   holda,	
)	(a	P
Q
 mavjud, yagona va 	
Q	x	a	P	x	a	a	P	T						   ,0	))	(	(	)	)	(	(	0	0
                                   (2)
munosabat o’rinlidir. 
I   s   b   o   t   i .   Ixtiyoriy  	
Q	xˆ   uchun  		R	a	x	Q	x	Q					:	ˆ   to’plamni
qaraymiz,   bu   yerda  	
a	x	R			ˆ .  	Qˆ   to’plam   bo’sh   emas,   yopiq   va
chegaralangan,   ya’ni  	
nR   da   kompaktdir.   Shuning   uchun,   Veyershtrass
teoremasiga   asosan,   uzluksiz  	
a	x	x	f		)	(   funksiyaning  	Qˆ   to’plamdagi
minimum nuqtasi 	
x   mavjud. 	
Qˆ
  to’plamning   aniqlanishiga   ko’ra,   bu  	x   nuqta  	)	(x	f   funksiyaning  	Q
to’plamdagi   minimum   nuqtasi   ham   bo’ladi,   ya’ni  
a	x	a	x	Qx					
	inf .
Demak, 	
		x	a	PQ	)	( , ya’ni 	a  nuqtaning 	Q  to’plamga proyeksyaisi mavjud. 
    
     a) b)
4- chizma. Proyeksiyaning yagonaligi (2) dan  kelib chiqadi.  Haqiqatan,  faraz
qilaylik,  Q	a   nuqtaning   proyeksiyalari  	)	( 1a	P
Q
  va  	)	(2a	PQ   bo’lsin.   U   holda,
(2) dan	
			         ,0	)	(	)	(	)	(	1	2	1				a	P	a	P	a	a	P	Q	Q	
T	
Q				         ,0	)	(	)	(	)	(	2	1	2				a	P	a	P	a	a	P	Q	Q	
T	
Q
tengsizliklarga ega bo’lamiz. Bu tengsizliklarni qo’shib	
		0	)	(	)	(	)	(	)	(	2	2	2	2	1	2	1				a	P	a	P	a	P	a	P	Q	Q	Q	
T	
Q
,   yoki  	0	)	(	)	(	2	2	1			a	P	a	P	Q	Q   munosabatni
olamiz. Bundan 	
)	(	)	(	2	1	a	P	a	P	Q	Q	  kelib chiqadi. 
Endi (2) ni isbotlaymiz. Qulaylik uchun, 	
		x	a	PQ	)	(  deb belgilab va 	Q
ning qavariqligidan hamda skalyar ko’paytma xossalaridan foydalanib,
ixtiyoriy 	
		Q	x		    ,1,0	  uchun quyidagiga ega bo’lamiz:	
																						)	(	)	(	2	)	(	)	(	)	1(	2	2	2	2	x	x	a	x	a	x	x	x	a	x	a	x	x	a	x	T				
2	2	)	(				x	x	
. Bu yerdan 		1,0	   ,	   ,0	)	(	)	(	)	(2	2															Q	x	x	x	x	x	a	x	T  . Bu
munosabatda 	
0		  da limitga o’tib (2) ga ega bo’lamiz.  
          6 . 2. To’plamlarning ajralishi haqidagi t eorema .
1-   t eorema .  	
nR	Q	   -   qavariq   to’plam,  		Q	int   bo’lsin.   U   holda  	Q
to’plamni   ixtiyoriy  	
Q	y	int	     nuqtadan   ajratuvchi   gipertekislik   mavjud.
Agar    	
Q	y   (	Q -	Q   to’plamning   yopig’i)   bo’lsa,  	Q   to’plam   (	Q   -   to’plam
ham) va u nuqta kuchli ajraluvchi bo’ladi. 
Isboti . Qavariq to’plamlarning xossalariga ko’ra, 	
Q  va 	Q	int  qavariq
to’plamlardir.   Dastlab  	
Q	y   deb   faraz   qilamiz.   1-lemmaga   asosan   u
nuqtaning  	
Q   to’plamga   proyeksiyasi  	)	(y	P	z	Q	   mavjud   va   barcha  	Q	x uchun  0	)	(	)	(				z	x	y	z	T   tengsizlik bajariladi.  	y	z	c		   deb olamiz. U holda,	
0  	  	  	  )	(  	)	(  	  )	(  	)	(  	  )	(  	)	(  	  )	( 	2													c	y	z	y	z	z	x	y	z	y	x	y	z	y	x	c	T	T	T	T
, yoki	
,	2	y	c	c	y	c	x	c	T	T	T			
 	Q	x	 .   Bu   esa,  	y	c	x	c	T	T				    , ,   gipertekislik  	y
nuqtani 	
Q  to’plamdan (va demak,  	Q  to’plamdan ham) kuchli ajratishini
ko’rsatadi. 
Endi  	
y -	Q   to’plamning   chegaraviy   nuqtasi   bo’lsin.   (	Q	y ,	Q	y	int	 ).
Qavariq   to’plamlarning   xossalariga   ko’ra   chegaraviy  	
y   nuqtaga
yaqinlashuvchi  	
		Q	y k	
  ketma – ketlik mavjud. Yuqorida isbotlanganiga
ko’ra,  	
Q   to’plamni  	Q	yk   nuqtadan   kuchli   ajratuvchi	
1	    ,	    ,				k	Tk	k	k	Tk	c	y	c	x	c		
  gipertekislik   mavjud,   ya’ni  	Q	x	y	c	x	c	Tk	Tk					   ,1 .
Bolsano   –   Veyershtrass   teoremasiga   asosan,  	
		1	    ,	 kk	c	c
  ketma   –
ketlikdan biror  	
,nR	c   vektorga yaqinlashuvchi  		mkc   qismiy ketma-ketlik
ajratish   mumkin.  	
Q	x	y	c	x	c	m	m	m	k	Tk	Tk				   ,   bo’lgani   uchun,   bu   yerdan,  			m
da  	
Q	x	y	c	x	c	T	T				   ,   munosabatni   olamiz.   Bu   esa,  	 ,	    ,	y	c	z	c	T	T				
gipertekislik 	
Q  va 		y  ni ajratuvchi gipertekislik ekanligini ko’rsatadi.  
I   zo   h.   a)   Isbotlangan   teorma   ko’rsatadiki,   qavariq  	
nR	Q	
to’plamning   har   bir   chegaraviy   nuqtasidan   hyech   bo’lmaganda   bitta
tayanch gipertekislik o’tkazish mumkin. 
b)   1-   teoremani   kuchaytirish,   ya’ni   undagi  	
Q	y	int   shartni  	riQ	y
orqali almashtirish mumkin 	
4 .

Qavariq to’plamlar va ular ustida amallar.Qavariq to’plamlarning ajralishi . Reja: 1. Qavariq to’plam tushunchasi. 2. Qavariq konuslar va affin to’plamlar. 3. Qavariq to’plamlarning xossalari. 4. To’plamlarning qavariq va affin qobiqlari. 5. Nisbiy ichki nuqtalar. Chetki nuqtalar. 6. Qavariq to’plamlarning ajralishi. 7. To’plamlarning ajralishi haqidagi teoremalar. Asosiy adabiyotlar 1. Р.Габасов, Ф.М.Кириллова. Оптималлаштириш усуллари. Т. Узбекистон, 1995. Qo’shimcha adabiyotlar 2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М. Наука, 1988. 3. Галеев Е.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М: Изд МГУ. 1989. 4. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.Наука.1998. 5. Сухарев А.Г., Тимохов А.Н., Фёдоров В.В. Курс методов оптимизации. М. Наука 1988 6. Исроилов И., Отакулов С. Вариацион хисоб ва оптималлаштириш усуллари. I -кисм. Самарканд. Сам ДУ нашри, 1999, II -кисм Самарканд, СамДУ нашри, 2001

Ekstremal masalalarni o’rganishda qavariq to’plamlar va qavariq funksiyalar muhim ahamiyatga ega. Ular amaliy matematikaning o’yinlar nazariyasi, operasiyalarni tekshirish, matematik iqtisod va shu kabi boshqa sohalarda ham qo’llaniladi. 1 . Qavariq to’plam tushunchasi. Misollar . Bo’sh bo’lmagan nR Q  to’plam berilgan bo’lsin. 1-t a’ r i f . Agar Q y x   , va barcha  1,0  uchun Q y x    ) 1(   bo’lsa, Q - qavariq to’plam deyiladi. Qavariq to’plam o’zining ixtiyoriy x va y nuqtalarini tutashtiruvchi     10 ),(:,    yxyzRzyx n kesmani to’liq o’zida saqlaydi (1-chizma). a) qavariq to’plam b) qavariq bo’lmagan to’plam 1- c hizma . Ta’rifga asosan, nR - qavariq to’plamdir. Yagona elementli to ’ plam va bo ’ sh to ’ plamni ham qavariq deb qabul qilingan . nR da qavariq to’plamlarga sodda misollar sifatida quyidagilarni keltirish mumkin ( 2n uchun 2-chizmaga q.): a)    1 0 ), ( : ,          u v u x R x v u n - kesma;

b)   0 ,:),(    huxRxhul n - n Ru  nuqtadan n Rh  yo’nalishda chiquvchi nur;   1 ,:),( RhuxRxhul n    - n Ru  nuqtadan n Rh  yo’nalish bo’yicha o’tuvchi to’g’ri chiziq; v)       x u R x u H Tn : ) , ( - gipertekislik, n Ru  , 1R  ;     xuRxuH Tn :),( ,     xuRxuH Tn :),( - ) , (  u H  gipertekislik bilan hosil qilingan yarim fazolar; g)   1 , : ) ,..., ( ), ( 1 ,n i v x u R x x x v u P i i i n n       - n o’lchamli parallelepiped, n i v u ,...,v (v v u u u i i n n ,1 ), ), ,..., ( 1 1        ; d)  r d x R x r d K n     : ), ( - markazi nR d nuqtada bo’lgan radiusli shar. nR da qavariq bo’lmagan to’plamlarga quyidagilar misol bo’la oladi ( 2n uchun 3-chizmaga q.):  n i x x R x Q i n ,1 ,0 ,1 :      ;   n i n R x n i x x x R x Q           )1 ,....,1,1( , ,1 ,0 ,1 : ;   . , , : 2 1 2 1 r r r x r R x Q n      a ) b ) v ) 2- chizma

3- chizma 2- t a ’ r i f . Agar ixtiyoriy , , y x Q y x   , nuqtalar va barcha )1,0(  sonlar uchun Q y x int ) 1(      bo ’ lsa ( ya ’ ni Q y x z     ) 1(   to ’ plamning ichki nuqtasi ), Q - qat ’ iy qavariq to ’ plam deyiladi . Masalan , ), ( r d K - shar – qat ’ iy qavariq to ’ plam , n v u P ), ( o ’ lchovli parallelepiped – qat ’ iy qavariq emas (4- chizma ). Q z int  y x x  d Q z int  y a) b) 4- chizma. I z o h. Ta’rifdan ko’rinib turibdiki, nR Q  to’plamning qat’iy qavariq bo’lishi uchun,  Q int bo’lishi zarur. 2 . Qav ariq k onuslar v a affi n t o’plamlar . Qavariq konuslar va affin to’plamlar qavariq to’plamlarning muhim sinfini tashkil etadi.

3- t a’ r i f . Agar barcha 0 ,    Q x uchun Q x  bo’lsa, nR Q  - konus deyiladi. Boshqacha aytganda, agar Q - konus bo’lsa, u o’zining ixtiyoriy nuqtasidan o’tuvchi va uchi nolda bo’lgan nurni to’liq o’zida saqlaydi. Agar barcha 0 0, , ,      Q y x uchun Q y x    bo’lsa, Q - qavariq konus deyiladi. Qavariq konus, bir vaqtning o’zida, ham qavariq to’plam, ham konusdir (5-chizma). a ) b ) 5- chizma. 4-t a’ r i f. Agar Q y x   , va barcha 1 R  uchun, Q x    ) 1(   bo’lsa, nR Q  - affin to’plam deyiladi. Affin to’plam o’zining ixtiyoriy ikki nuqtasidan o’tuvchi to’g’ri chiziqni to’liq saqlaydi. Affin to’plamlar sodda tuzilishga ega. Buni quyidagi teorema tasdiqlaydi. 1- t eorema . nR Q  - affin to’plam bo’lsin. U holda: a) ixtiyoriy Q x 0 uchun 0x Q L   to’plam nR da chiziqli qism fazo bo’ladi; bunda L Q x 0 nuqtaning tanlanishiga bog’liq emas; b) Q ni quyidagicha tasvirlash mumkin:    m i b x a R x b Ax R x Q Ti n n ,1 , : :        , (1)