Qavariq to’plamlar va ular ustida amallar.Qavariq to’plamlarning ajralishi

Загружено в:

08.08.2023

Скачано:

0

Размер:

257.5673828125 KB

Скачать

Qavariq to’plamlar va ular ustida amallar.Qavariq to’plamlarning ajralishi .
Reja:
1. Qavariq to’plam tushunchasi.
2. Qavariq konuslar va affin to’plamlar.
3. Qavariq to’plamlarning xossalari.
4. To’plamlarning qavariq va affin qobiqlari.
5. Nisbiy ichki nuqtalar. Chetki nuqtalar.
6. Qavariq to’plamlarning ajralishi.
7. To’plamlarning ajralishi haqidagi teoremalar.
Asosiy adabiyotlar
1. Р.Габасов, Ф.М.Кириллова. Оптималлаштириш усуллари. Т. Узбекистон,
1995.
Qo’shimcha adabiyotlar
2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.
Наука, 1988.
3. Галеев Е.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач.
М: Изд МГУ. 1989.
4. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.Наука.1998.
5. Сухарев А.Г., Тимохов А.Н., Фёдоров В.В. Курс методов оптимизации.
М. Наука 1988
6. Исроилов И., Отакулов С. Вариацион хисоб ва оптималлаштириш
усуллари. I -кисм. Самарканд. Сам ДУ нашри, 1999, II -кисм Самарканд,
СамДУ нашри, 2001

Ekstremal masalalarni o’rganishda qavariq to’plamlar va qavariq funksiyalar
muhim ahamiyatga ega. Ular amaliy matematikaning o’yinlar nazariyasi,
operasiyalarni tekshirish, matematik iqtisod va shu kabi boshqa sohalarda ham
qo’llaniladi.
1 . Qavariq to’plam tushunchasi. Misollar . Bo’sh bo’lmagan nR Q  to’plam
berilgan bo’lsin.
1-t a’ r i f . Agar
Q y x   , va barcha  1,0  uchun Q y x    ) 1(   bo’lsa,
Q
- qavariq to’plam deyiladi.
Qavariq to’plam o’zining ixtiyoriy
x va y nuqtalarini tutashtiruvchi
   
10 ),(:,    yxyzRzyx n
kesmani to’liq o’zida saqlaydi (1-chizma).
a) qavariq to’plam b) qavariq bo’lmagan
to’plam
1- c hizma .
Ta’rifga asosan,
nR - qavariq to’plamdir. Yagona elementli to ’ plam
va bo ’ sh to ’ plamni ham qavariq deb qabul qilingan .
nR
da qavariq to’plamlarga sodda misollar sifatida quyidagilarni
keltirish mumkin (
2n uchun 2-chizmaga q.):
a)
   1 0 ), ( : ,          u v u x R x v u n - kesma;

b)   0 ,:),(   
huxRxhul n
- n
Ru 
nuqtadan n
Rh 
yo’nalishda
chiquvchi nur;

  1
,:),( RhuxRxhul n
  
- n
Ru 
nuqtadan n
Rh 
yo’nalish
bo’yicha o’tuvchi to’g’ri chiziq;
v)
      x u R x u H Tn : ) , (
- gipertekislik, n
Ru 
, 1R  ;
  

xuRxuH Tn
:),(
,    
xuRxuH Tn
:),(
- ) , (  u H  gipertekislik
bilan hosil qilingan yarim fazolar;
g)
  1 , : ) ,..., ( ), ( 1 ,n i v x u R x x x v u P i i i n n       - n o’lchamli
parallelepiped,
n i v u ,...,v (v v u u u i i n n ,1 ), ), ,..., ( 1 1        ;
d)
 r d x R x r d K n     : ), ( - markazi nR d nuqtada bo’lgan radiusli
shar.
nR
da qavariq bo’lmagan to’plamlarga quyidagilar misol bo’la
oladi (
2n uchun 3-chizmaga q.):
 n i x x R x Q i n ,1 ,0 ,1 :     
;
  n i n R x n i x x x R x Q           )1 ,....,1,1( , ,1 ,0 ,1 :
;
  . , , : 2 1 2 1 r r r x r R x Q n     

a ) b ) v )
2- chizma

3- chizma
2- t a ’ r i f . Agar ixtiyoriy , , y x Q y x   , nuqtalar va barcha )1,0( 
sonlar uchun
Q y x int ) 1(      bo ’ lsa ( ya ’ ni Q y x z     ) 1(   to ’ plamning
ichki nuqtasi ),
Q - qat ’ iy qavariq to ’ plam deyiladi .
Masalan ,
), ( r d K - shar – qat ’ iy qavariq to ’ plam , n v u P ), ( o ’ lchovli
parallelepiped – qat ’ iy qavariq emas (4- chizma ).

Q z int  y x

x  d Q z int 

y
a) b)
4- chizma.
I z o h. Ta’rifdan ko’rinib turibdiki,
nR Q  to’plamning qat’iy
qavariq bo’lishi uchun,
 Q int bo’lishi zarur.
2 . Qav ariq k onuslar v a affi n t o’plamlar .
Qavariq konuslar va affin to’plamlar qavariq to’plamlarning
muhim sinfini tashkil etadi.

3- t a’ r i f . Agar barcha 0 ,    Q x uchun Q x  bo’lsa, nR Q  -
konus deyiladi.
Boshqacha aytganda, agar
Q - konus bo’lsa, u o’zining ixtiyoriy
nuqtasidan o’tuvchi va uchi nolda bo’lgan nurni to’liq o’zida saqlaydi.
Agar barcha
0 0, , ,      Q y x uchun Q y x    bo’lsa, Q - qavariq
konus deyiladi. Qavariq konus, bir vaqtning o’zida, ham qavariq
to’plam, ham konusdir (5-chizma).
a ) b )
5- chizma.
4-t a’ r i f. Agar
Q y x   , va barcha 1
R 
uchun, Q x    ) 1(   bo’lsa,
nR Q 
- affin to’plam deyiladi. Affin to’plam o’zining ixtiyoriy ikki
nuqtasidan o’tuvchi to’g’ri chiziqni to’liq saqlaydi.
Affin to’plamlar sodda tuzilishga ega. Buni quyidagi teorema
tasdiqlaydi.
1- t eorema .
nR Q  - affin to’plam bo’lsin. U holda:
a) ixtiyoriy
Q x 0 uchun 0x Q L   to’plam nR da chiziqli qism fazo
bo’ladi; bunda
L Q x 0 nuqtaning tanlanishiga bog’liq emas;
b)
Q ni quyidagicha tasvirlash mumkin:
   m i b x a R x b Ax R x Q Ti n n ,1 , : :       
, (1)

bu yerda n m A   - o’lchovli matrisa, maa ,...,
1
- uning satrlaridan tuzilgan
vektorlar,
m m R b b b   ) ,..., (1 .
(1) tasvir ko’rsatdiki, affin to’plam chekli sondagi gipertekisliklar
kesishmasidan iborat.
0x Q L  
ga affin Q to’plamga parallel chiziqli qism fazo deyiladi.
1-teoremadan kelib chiqadiki, affin to’plam yopiqdir; agar
nR Q 
bo’lsa, affin
Q to’plam ichki nuqtalarga ega emas (  Q int ).
3. Qav ariq t o’plamlarning xossalari .
Quyida qavariq to’plamlarning bir necha xossalarini keltiramiz.
2- t eorema . Ixtiyoriy sondagi qavariq to’plamlarning kesishmasi
yana qavariq to’plamdir.
I s b o t i . IiQ
i  ,
- qavariq to’plamlar bo’lsin ( I -chekli yoki cheksiz
indekslar to’plami).
Ii iQ Q

 to ’ plamning qavariq ekanligini ko ’ rsatamiz .
a ) Q
bo ’ lsin . Bu holda teoremaning isboti o ’ z – o ’ zidan ravshan
( chunki bo ’ sh to ’ plam qavariq deb qabul qilingan );
b)
 1,0 , , ,      Q y x Q bo’lsin. To’plamlar kesishmasining
ta’rifiga asosan,
I i Q y x i    , , . IiQ
i  ,
to’plamlar qavariq bo’lganligi
uchun, IiQyxz
i  ,)1(
 
. U holda, Ii iQ z

 , ya’ni Q - qavariq
to’plamdir. 
Isbotlangan teoremaga asosan,
   m i b x a R x b Ax R x Q i Ti n n ,1 , : :       
to’plam qavariqdir (bu yerda
n m A  
- matrisa, maa ,...,
1
- uning satrlaridan tuzilgan vektorlar,
),...,(
1 mbbb 
). Chunki bu to’plam, qavariq to’plamlar bo’lgan,

 m i b x a R x b a H i Ti n i i ,1 , : ) , (      yarim fazolarning kesishmasidan
iborat.
Chekli sondagi yarim fazolarning kesishmasidan iborat bo’lgan
qavariq to’plamga poliedr deyiladi.
Qavariq to’plamlarning birlashmasi qavariq to’plam bo’lishi ham,
bo’lmasligi ham mumkin. Masalan,
) , ( ) , ( 2 1 r d K r d K Q   to’plam qavariq,
chunki
 2 1 2 1 , max ),, ( ) , ( ) , ( r r r r d K r d K r d K    ; 2121 ),,(),(      
uHuHQ 
to’plam qavariq emas.
3- t eorema . Qavariq
mQ Q Q ,..., , 2 1 to’plamlarning chiziqli
kombinasiyasi deb ataluvchi ,

          
m
i i i ii n m
i i i m i Q x x x R x Q Q
1 1
,...,1 , , :  
to’plam qavariq bo’ladi, bu yerda m
 ,...,
1
- ixtiyoriy sonlar.
Bu teoremaga asosan, qavariq
1Q va 2Q to’plamlarning algebraik
yig’indisi
 
22
1121
21 , ,: QxQxxxxxQQ 
,
ayirmasi
 
22
1121
21 , ,: QxQxxxxxQQ 
,
hamda qavariq
Q to’plamning ixtiyoriy  songa ko’paytmasi
 Q x x y y Q    , :  
,
qavariq to’plamdir.
4- t eorema . Qavariq
Q to’plamning yopig’i Q - qavariq to’plamdir.
I s b o t i.
  Q y x 1,0 , ,     uchun y x z ) 1(      nuqtani qaraymiz.
Qavariq to’plam yakkalangan nuqtalarga ega bo’lmaganligi uchun,
x

va y - Q to’plamning limitik nuqtalaridir. Shuning uchun, shunday
Q xk
va Q yk nuqtalar ketma – ketligi mavjudki,  kyyxx kk
, ,
bo’ladi.
Q to’plam qavariq bo’lganligi uchun,
,...2,1 ,)1(  kQyxz kkk
 
. U holda,
z y x y x z k
k
k
k
k
k           ) 1( lim) 1( lim lim    
. Demak, Q z , ya’ni Q - qavariq
to’plamdir. 
I z o h. a)
Q to’plamning yopig’i Q - qavariq bo’lsada, Q - qavariq
bo’lmasligi mumkin. Masalan,
 r d x R x Q n      0: - qavariq emas,
ammo
), ( r d K Q  - qavariq to’plam.
b) qat’iy qavariq to’plamning yopi ђ i qat’iy qavariq bo’lmasligi
mumkin. Masalan,

      
,n i x x R x Q i
n
i i n 1 ,0 ,1 :
1
2 - qat’iy qavariq,
ammo

      
,n i x x R x Q i
n
i i n 1 ,0 ,1 :
1
2 esa, qat’iy qavariq emas.
5- t eorema .
Q - qavariq to’plam,  Q int bo’lsin. Agar
QyQx int , 
bo’lsa,
)1,0( , int ) 1(         Q y x bo’ladi.
I s b o t i.
Q y int bo’lganligi uchun, shunday 0 mavjudki,
  . : Q y v v    
(2)
Ushbu
1 0 , ) 1(         y x u
(3)
ko’rinishdagi nuqtalarni qaraymiz.
Q u int  ekanligini ko’rsatish uchun,
u
nuqtaning Q to’plamda to’liq yotuvchi biror atrofini qurish yetarli.
  Q u z z      ) 1( :
ekanligini ko’rsatamiz.

$Qx  bo’lganligidan, Q u z x v v               ) 1( : to’plam bo’sh emas. Shuning uchun, shunday Q z 1 nuqta mavjudki,    u z x z      ) 1( 1 (4) munosabat bajariladi.     1 1 2 zz z deb olamiz. U holda, (3) va (4) dan,                    u z z x u z x u z z y z z y z ( 1 1 ) ( ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 2              )1z x munosabatni olamiz. Demak, Q z 2 ( (2) ga q.). 2z nuqtaning aniqlanishiga ko’ra, 2 1 ) 1( z z z      . Q z z 2 1, va Q qavariq bo’lganligi uchun, Q z . Shunday qilib,  ) 1(   u z shartni qanoatlantiruvchi har bir z vektorning Q ga tegishli ekanligi ko’rsatildi. Bu esa, Q u int  demakdir.  Bu teoremadan natija sifatida quyidagi tasdiqlarni olish mumkin. 6- t eorema . Agar Q - qavariq to’plam bo’lsa, Q int ham qavariq to’plam bo’ladi. 7- t eorema . Agar Q - qavariq to’plam,  Q int bo’lsa, , int Q Q , Q Q int int  , Q Q   bo’ladi (bu yerda Q Q Q int\   - Q to’plamning chegarasi). Agar Q - qavariq to’plam bo’lmasa, Q Q   tenglik o’rniga, faqat Q Q   munosabat o’rinli, xolos. Haqiqatan ham, Q Q  ekanligidan, Q Q int int  , demak, QQQQQQ  int\int\ .$

7-teoremadan foydalanib, quyidagi natijani olish mumkin: agarnR Q 
- qavariq to’plam,  Q int , Q - qat’iy qavariq bo’lsa, Q - qat’iy
qavariq to’plam bo’ladi.
nR
fazoning mx x ,...,1 nuqtalari berilgan bo’lsin.
5-t a’ r i f. Agar

  
m
i i i m i
1
1 , ,1 ,0   bo’lsa,   m
i i
i xz
1 
nuqtaga
m
xxx ,...,, 21
nuqtalarning qavariq kombinasiyasi deyiladi.
Agar faqat
  m
i i
11 
shart bajarilsa,   m
i i
i xz
1 
nuqtaga, m
xxx ,...,, 21
nuqtalarning affin kombinasiyasi deyiladi.
8- t eorema . Qavariq (affin) to’plam o’z nuqtalarining barcha
mumkin bo’lgan qavariq (affin) kombinasiyalarini o’zida saqlaydi.
I s b o t i. Teoremaning affin to’plamga tegishli qismi 1-
teoremadan kelib chiqadi ( (1) formulaga q.).
nR Q 
- qavariq to’plam bo’lsin. Ixtiyoriy ,...3,2,1 m uchun,
1 , ,1 ,0 , ,
1 1
        
m
i i i i m
i
ii m i R x x z   
(5)
shartdan,
Q z munosabat kelib chiqishini ko’rsatamiz. Matematik
induksiya usulini qo’llaymiz.
1 m uchun tasdjiqning bajarilishi o’z-
o’zidan ravshan. Faraz qilaylik,
k m  uchun tasdiq o’rinli bo’lsin. (5) da
1 k m
deb olamiz. Agar 1 1 k bo’lsa, 0 .... 2 1     k   va demak,
Q x z k   1
. Agar 1 0 1  k bo’lsa,
   


        
k
i
i
k
i k
i
k k k ii x x x x x z
1 1
1
1
1 1 1 1 , ) 1( 
   
(6)
deb yozib olamiz.
x nuqta m
xxx ,...,, 21
nuqtalarning qavariq
kombinasiyasidan iborat bo’lib, induktiv farazimizga ko’ra, Qx 
. U

holda, Q ning qavariqligini hisobga olib, (6) dan Q z ga ega bo’lamiz.

4. To’plamlarning qav ariq v a affi n qobiqlari .
6- t a’ r i f.
nR Q  to’plamni o’zida saqlovchi barcha qavariq (affin)
to’plamlarning kesishmasiga uning qavariq (affin) qobig’i deyiladi va
convQ
(
affQ )
kabi belgilanadi (6-chizma).
a) 6- chizma b)
Ixtiyoriy Q
uchun, convQ
(
affQ ) – bo’sh bo’lmagan qavariq (affin)
to’plamdir. Agar
Q - qavariq (affin) to’plam bo’lsa, Q convQ  ( QaffQ 
)
bo’ladi.
9- t eorema . Bo’sh bo’lmagan ixtiyoriy
nR Q  to’plamning qavariq
(affin) qobi ђ i
Q to’plam nuqtalarining barcha mumkin bo’lgan qavariq
(affin) kombinasiyalari to’plami bilan ustma- ust tushadi.
I s b o t i . Teoremaning qavariq qobiqqa tegishli qismini
isbotlaymiz (affin qobiq uchun o’xshash isbotlanadi).
Q
to’plam nuqtalarining barcha mumkin bo’lga qavariq
kombinasiyalari to’plamini
comQ deb belgilaylik. convQ Q 
bo’lganligidan(6-ta’rifga q.), 8-teoremaga asosan,
convQ comQ 
. (7)
comQ
to’plamning qavariqligini ko’rsatamiz.

Haqiqatan ham, 1, λ ,0 ,0 , ,
1
1
2
1
1m
1i 1 i 2 1      
    
m
i
m
i i i i ii y z x z    


2
1
1
m
i i
bo’lsin. ,0 1 1 , , 1 , 1 1 1 2 1          i m i i i m i i λ , ,m , iλ λ , ,m i y u ,m i x u
2 1 2 ,1 , , ,1 ,0 , ,1 1 m i m i m i i i m i         
deb belgilaymiz. U holda,  1,0  
uchun,

      


       
1 2 2 1
1 1 1 1 2 1 , ) 1( ) 1( ) 1(
m
i
m
i
i m m
i
i i i ii u y x z z         

      


        
1 2 2 1
1 1 1
,1 ) 1( ) 1( ) 1(
m
i
m
i i i
m m
i i i          ,0 ) 1(    i i   
21,1 mmi 
.
Demak,
comQ z z z     21 ) 1(  
. Bu esa, comQ ning qavariqligini
ko’rsatadi.
Ta’rifdan tushunarliki,
comQ Q  . Bundan esa, 6-ta’rifga ko’ra,
comQ convQ 
bo’lishi kelib chiqadi. Olingan bu munosabat va (7) dan
teoremaning isbotiga kelamiz. 
9-teoremadan foydalanib, quyidagi natijani olish mumkin.
10-t eorema . Agar
k i R Q n i ,1 ,   bo’lsa,    k
i k
i ii convQ Q conv
1 1
bo’ladi.
Qavariq analizda quyidagi teorema muhim ahamiyatga ega.
11-t eorema (Karateodori).
nR Q  bo’lsin. U Holda convQ
ning
ixtiyoriy nuqtasini
Q ning 1n tadan ko’p bo’lmagan nuqtalarining
qavariq kombinasiyasi kabi tasvirlash mumkin. (Teorema isbotini
  10,9
dan topish mumkin.)
Karateodori teoremasidan natija sifatida quyidagiga ega bo’lamiz.
12-t eorema . Agar
nR Q  - kompakt bo’lsa, convQ
ham kompakt
bo’ladi.

5. N isbiy ichk i nuqt alar. Chet k i nuqt alar .
7-t a’ r i f. nR Q x  0 bo’lsin. Agar biror 0 uchun,
QaffQxK ),( 0

munosabat bajarilsa, 0x ga Q to’plamning nisbiy ichki
nuqtasi deyiladi(7-chizma).
Q
to’plamning nisbiy ichki
nuqtalari to’plamini
riQ deb belgilaymiz. riQ Q Q r  
to’plamga
Q ning nisbiy chegaraviy nuqtalari
to’plami deyiladi. 7-
chizma.
7 – chizma.
1-m i s o l.
 0 ,1 :) , , ( 3 22 21 3 2 1      x x x x x x x Q bo’lsin. 0 2x R affQ 
bo’lgani uchun,
 0 ,1 :) , , ( 3 22 21 3 2 1      x x x x x x x riQ ,
 ,1 :) , , ( 22 21 3 2 1     x x x x x x Q r
0 3 x . Keltirilgan bu misolda Q - bittadan ko’p
elementli qavariq to’plam bo’lib,
 Q int bo’lsa-da, riQ - bo’sh
bo’lmagan qavariq to’plamdir. Quyidagi teorema ko’rsatadiki, bu
tasodifiy emas.
13- t eorema . Agar
nR Q  - bittadan ko’p elementli qavariq
to’plam bo’lsa,
riQ - bo’sh bo’lmagan qavariq to’plam bo’ladi va riQ Q  ,
Qri riQ 
, Q r Q r    tengliklar bajariladi.
6-7 – teoremalarning natijalarini umumlashtiruvchi bu
teoremaning isbotini [4,10] dan qarash mumkin.
8-t a’ r i f.
nR Q x  0 bo’lsin. Agar 0x nuqtani
, , ) 1( 2 1 2 1 0 x x x x x      
)1,0( , , 21
  QxQx
ko’rinishda tasvirlash
mumkin bo’lmasa,
0x - Q to’plamning chetki nuqtasi deyiladi.

Q to’plamning barcha chetki nuqtalari to’plamini четQ deb
belgilaymiz.
Ta’rifdan osongina kelib chiqadiki, agar
Q chekli sondagi
nuqtalardan iborat bo’lsa, четQQ 
bo’ladi.
Q Qчет   munosabat ham
ta’rifdan kelib chiqadi. Agar
Q - ochiq to’plam ( Q Q int ) bo’lsa,  четQ ,
chunki ichki nuqta chetki nuqta bo’la olmaydi.
Q yopiq bo’lganda Ham
 четQ
bo’lib qolishi mumkin. (2- misoldagi 1Q to’plamga q.)
convQ Q 
bo’lsa-da, чет чет convQ Q ) (  munosabat hamma vaqt ham
o’rinli bo’lavermaydi. Masalan,
  2 )2,0(),1,0(),0,0( R Q   uchun,
 :) , ( 2 1x x x convQ  
0 ,2 0 1 2    x x ,   Q Q convQ четчет   ,)2,0(),0,0( ) (
, ya’ni
 чет чет convQ Q ) (
.
 Q convQ
bo’lsa-da, четчет convQQ )(
bo’lishi ham mumkin ( quyida
keltirilgan 14-teoremaning f) tasdig’iga q.).
2-m i s o l.
 0 :) , ( 2 2 1 1    x x x x Q ,  1 0 ,2 :) , ( 1 2 1 2 1 2       x x x x x x Q ,
 1 ,1 :) , ( 22 21 2 1 2 1 3       x x x x x x x Q
bo’lsin (8-chizma). 8-chizmadan va 9-
ta’rifdan foydalanib,
 чет Q1 ,  )1,1(),2,1(),2,0(),0,0( 2  чет Q
,
 0 0 ,1 :) , ( 2 1 22 21 2 1 3       , x x x x x x x Q чет
ekanligini ko’rish qiyin emas.

2x 2x 2x

1Q 2Q
3Q
a)
1x b) 1x v)
1x

8- chizma
14- t eorema . Quyidagi tasdiqlar o’rinli:
a) agar
nR Q  - qavariq yopiq to’plam bo’lib, birorta ham to’ ђ ri chiziqni
saqlamasa,
 четQ bo’ladi;
b) agar
nR Q  - qavariq kompakt bo’lsa, чет convQ Q 
bo’ladi;
d) Har qanday
Q poliedr uchun  четQ , yoki четQ chekli bo’ladi;
e) agar
 b Ax R x Q n    :
- poliedr bo’lsa,  четQ bo’lishi uchun n rankA 
bo’lishi zarur va yetarlidir;
 0 , :     x b Ax R x Q n
ko’rinishdagi poliedr
uchun
esa
 четQ bo’ladi.
f) agar
nR Q  - qat’iy qavariq yopiq to’plam bo’lsa, Q Qчет  bo’ladi.
I s b o t i. Teoremaning a)-e) tasdiqlari isbotlarini adabiyotlardan,
masalan [3, 9, 10, 11] lardan topish mumkin.
f) tasdiqni isbotlaymiz.
Q z   bo’lsin. Q yopiq bo’lgani uchun, Q z
bo’ladi. Agar четQz 
deb faraz qilsak, shunday
)1,0( , , ,      y x Q y Q x
mavjudki,
Q y x z int ) 1(       . Olingan qarama- qarshilik четQ Q  

ekanligini ko’rsatadi. Endi chetki nuqta ta’rifidan kelib chiquvchiQ Qчет  
munosabatni Hisobga olib Q Qчет  tenglikka ega bo’lamiz.
6. Qav ariq t o’plamlarning ajralishi.
Qavariq to’plamlarning ajralishi haqidagi teoremalar qavariq
to’plamlarning muhim xossasini ifodalaydi. Bu teoremalar ekstremal
masalalar nazariyasida
keng qo’llaniladi.
6.1.To’plamlarning ajralishi t ushunchasi .
nR A
va nR B  to’plamlar berilganda bo’lsin.
1-t a’ r i f. Agar shunday
0 ,   c R c n
va 1R  topilib,
y c x c B y A x y c x c
T
ByT
AxTT
         sup inf ,  
(1)
munosabat bajarilsa,
A va B to’plamlar ajraluvchi deyiladi.
Agar (1) o’rniga
y c x c T
ByT
Ax
 sup inf
qat’iy tengsizlik bajarilsa,
A va B
to’plamlar kuchli ajraluvchi deyiladi.
Demak, ta’rifga ko’ra,
A va B to’plamlarning ajralishi shunday
      z c R z c H T n: ) ,(
gipertekislikning mavjudligini bildiradiki, A
to’plam shu gipertekislik bilan hosil qilingan yarim fazolarning biri
  

zcRzcH Tn
:),(
da, B esa ikkinchi yarim fazo
  

zcRzcH Tn
:),(
da yetadi. Shu ) ,( c H gipertekislik A va B
to’plamlarni ajratuvchi deb ataladi.
Quyidagi 1-2 – chizmalarda ajraluvchi to’plamlarga misollar
keltiradi (2.b)- chizmada kuchli ajraluvchi to’plamlar tasvirlangan).

a) b) c)
1- chizma
d) e)
2- chizma
2- t a’ r i f. Agar ixtiyoriy Q x uchun x cT va biror Qy 
uchun

yc T
bo’lsa,       z c R z c H T n: ) ,( gipertekislikka Q to’plamga tayanch
gipertekislik deyiladi (3- chizma).

3- chizma.
3-t a’ r i f .
nR Q  bo’lsin. n
Ra 
nuqtaning Q to’plamga
proyeksiyasi deb
Q x a x a a PQ      , ) ( , shartni qanoatlantiruvchi
Q a PQ ) (
nuqtaga aytiladi.
Boshqacha aytganda, n
Ra 
nuqtaning
Q to’plamga proyeksiyasi
Q
to’plamning a nuqtaga eng yaqin nuqtasidir:

a x Q a a a P Qx Q     inf ) , ( ) ( 
Agar
Q a bo’lsa, a a P Q ) (
bo’lishi ravshan.
Agar
Q a va Q ochiq to’plam bo’lsa, ) (a P Q
mavjud emas. Agar Q -
yopiq to’plam bo’lsa, hamma vaqt
) (a P Q
mavjud, ammo bu holda ) (a P Q
yagona bo’lmasligi mumkin (4.a) - chizma).
1-l e m m a.
Q - qavariq yopiq to’plam, Q a bo’lsin. U holda,
) (a P
Q
mavjud, yagona va
Q x a P x a a P T      ,0 )) ( ( ) ) ( ( 0 0
(2)
munosabat o’rinlidir.
I s b o t i . Ixtiyoriy
Q xˆ uchun  R a x Q x Q     : ˆ to’plamni
qaraymiz, bu yerda
a x R   ˆ . Qˆ to’plam bo’sh emas, yopiq va
chegaralangan, ya’ni
nR da kompaktdir. Shuning uchun, Veyershtrass
teoremasiga asosan, uzluksiz
a x x f  ) ( funksiyaning Qˆ to’plamdagi
minimum nuqtasi
x mavjud.
Qˆ
to’plamning aniqlanishiga ko’ra, bu x nuqta ) (x f funksiyaning Q
to’plamdagi minimum nuqtasi ham bo’ladi, ya’ni
a x a x Qx    
 inf .
Demak,
  x a PQ ) ( , ya’ni a nuqtaning Q to’plamga proyeksyaisi mavjud.

a) b)
4- chizma.

Proyeksiyaning yagonaligi (2) dan kelib chiqadi. Haqiqatan, faraz
qilaylik, Q a nuqtaning proyeksiyalari ) ( 1a P
Q
va ) (2a PQ bo’lsin. U holda,
(2) dan
   ,0 ) ( ) ( ) ( 1 2 1    a P a P a a P Q Q
T
Q    ,0 ) ( ) ( ) ( 2 1 2    a P a P a a P Q Q
T
Q
tengsizliklarga ega bo’lamiz. Bu tengsizliklarni qo’shib
  0 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 1 2 1    a P a P a P a P Q Q Q
T
Q
, yoki 0 ) ( ) ( 2 2 1   a P a P Q Q munosabatni
olamiz. Bundan
) ( ) ( 2 1 a P a P Q Q  kelib chiqadi.
Endi (2) ni isbotlaymiz. Qulaylik uchun,
  x a PQ ) ( deb belgilab va Q
ning qavariqligidan hamda skalyar ko’paytma xossalaridan foydalanib,
ixtiyoriy
  Q x  ,1,0  uchun quyidagiga ega bo’lamiz:
                      ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) 1( 2 2 2 2 x x a x a x x x a x a x x a x T    
2 2 ) (    x x 
. Bu yerdan  1,0 , ,0 ) ( ) ( ) (2 2               Q x x x x x a x T . Bu
munosabatda
0   da limitga o’tib (2) ga ega bo’lamiz. 
6 . 2. To’plamlarning ajralishi haqidagi t eorema .
1- t eorema .
nR Q  - qavariq to’plam,  Q int bo’lsin. U holda Q
to’plamni ixtiyoriy
Q y int  nuqtadan ajratuvchi gipertekislik mavjud.
Agar
Q y ( Q - Q to’plamning yopig’i) bo’lsa, Q to’plam ( Q - to’plam
ham) va u nuqta kuchli ajraluvchi bo’ladi.
Isboti . Qavariq to’plamlarning xossalariga ko’ra,
Q va Q int qavariq
to’plamlardir. Dastlab
Q y deb faraz qilamiz. 1-lemmaga asosan u
nuqtaning
Q to’plamga proyeksiyasi ) (y P z Q  mavjud va barcha Q x

uchun 0 ) ( ) (    z x y z T tengsizlik bajariladi. y z c   deb olamiz. U holda,
0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2             c y z y z z x y z y x y z y x c T T T T
, yoki
, 2 y c c y c x c T T T   
Q x  . Bu esa, y c x c T T     , , gipertekislik y
nuqtani
Q to’plamdan (va demak, Q to’plamdan ham) kuchli ajratishini
ko’rsatadi.
Endi
y - Q to’plamning chegaraviy nuqtasi bo’lsin. ( Q y , Q y int  ).
Qavariq to’plamlarning xossalariga ko’ra chegaraviy
y nuqtaga
yaqinlashuvchi
  Q y k 
ketma – ketlik mavjud. Yuqorida isbotlanganiga
ko’ra,
Q to’plamni Q yk nuqtadan kuchli ajratuvchi
1 , ,    k Tk k k Tk c y c x c  
gipertekislik mavjud, ya’ni Q x y c x c Tk Tk     ,1 .
Bolsano – Veyershtrass teoremasiga asosan,
  1 ,  kk c c
ketma –
ketlikdan biror
,nR c vektorga yaqinlashuvchi  mkc qismiy ketma-ketlik
ajratish mumkin.
Q x y c x c m m m k Tk Tk    , bo’lgani uchun, bu yerdan,   m
da
Q x y c x c T T    , munosabatni olamiz. Bu esa, , , y c z c T T    
gipertekislik
Q va  y ni ajratuvchi gipertekislik ekanligini ko’rsatadi. 
I zo h. a) Isbotlangan teorma ko’rsatadiki, qavariq
nR Q 
to’plamning har bir chegaraviy nuqtasidan hyech bo’lmaganda bitta
tayanch gipertekislik o’tkazish mumkin.
b) 1- teoremani kuchaytirish, ya’ni undagi
Q y int shartni riQ y
orqali almashtirish mumkin
4 .

Qavariq to’plamlar va ular ustida amallar.Qavariq to’plamlarning ajralishi . Reja: 1. Qavariq to’plam tushunchasi. 2. Qavariq konuslar va affin to’plamlar. 3. Qavariq to’plamlarning xossalari. 4. To’plamlarning qavariq va affin qobiqlari. 5. Nisbiy ichki nuqtalar. Chetki nuqtalar. 6. Qavariq to’plamlarning ajralishi. 7. To’plamlarning ajralishi haqidagi teoremalar. Asosiy adabiyotlar 1. Р.Габасов, Ф.М.Кириллова. Оптималлаштириш усуллари. Т. Узбекистон, 1995. Qo’shimcha adabiyotlar 2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М. Наука, 1988. 3. Галеев Е.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М: Изд МГУ. 1989. 4. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.Наука.1998. 5. Сухарев А.Г., Тимохов А.Н., Фёдоров В.В. Курс методов оптимизации. М. Наука 1988 6. Исроилов И., Отакулов С. Вариацион хисоб ва оптималлаштириш усуллари. I -кисм. Самарканд. Сам ДУ нашри, 1999, II -кисм Самарканд, СамДУ нашри, 2001

Ekstremal masalalarni o’rganishda qavariq to’plamlar va qavariq funksiyalar muhim ahamiyatga ega. Ular amaliy matematikaning o’yinlar nazariyasi, operasiyalarni tekshirish, matematik iqtisod va shu kabi boshqa sohalarda ham qo’llaniladi. 1 . Qavariq to’plam tushunchasi. Misollar . Bo’sh bo’lmagan nR Q  to’plam berilgan bo’lsin. 1-t a’ r i f . Agar Q y x   , va barcha  1,0  uchun Q y x    ) 1(   bo’lsa, Q - qavariq to’plam deyiladi. Qavariq to’plam o’zining ixtiyoriy x va y nuqtalarini tutashtiruvchi     10 ),(:,    yxyzRzyx n kesmani to’liq o’zida saqlaydi (1-chizma). a) qavariq to’plam b) qavariq bo’lmagan to’plam 1- c hizma . Ta’rifga asosan, nR - qavariq to’plamdir. Yagona elementli to ’ plam va bo ’ sh to ’ plamni ham qavariq deb qabul qilingan . nR da qavariq to’plamlarga sodda misollar sifatida quyidagilarni keltirish mumkin ( 2n uchun 2-chizmaga q.): a)    1 0 ), ( : ,          u v u x R x v u n - kesma;

b)   0 ,:),(    huxRxhul n - n Ru  nuqtadan n Rh  yo’nalishda chiquvchi nur;   1 ,:),( RhuxRxhul n    - n Ru  nuqtadan n Rh  yo’nalish bo’yicha o’tuvchi to’g’ri chiziq; v)       x u R x u H Tn : ) , ( - gipertekislik, n Ru  , 1R  ;     xuRxuH Tn :),( ,     xuRxuH Tn :),( - ) , (  u H  gipertekislik bilan hosil qilingan yarim fazolar; g)   1 , : ) ,..., ( ), ( 1 ,n i v x u R x x x v u P i i i n n       - n o’lchamli parallelepiped, n i v u ,...,v (v v u u u i i n n ,1 ), ), ,..., ( 1 1        ; d)  r d x R x r d K n     : ), ( - markazi nR d nuqtada bo’lgan radiusli shar. nR da qavariq bo’lmagan to’plamlarga quyidagilar misol bo’la oladi ( 2n uchun 3-chizmaga q.):  n i x x R x Q i n ,1 ,0 ,1 :      ;   n i n R x n i x x x R x Q           )1 ,....,1,1( , ,1 ,0 ,1 : ;   . , , : 2 1 2 1 r r r x r R x Q n      a ) b ) v ) 2- chizma

3- chizma 2- t a ’ r i f . Agar ixtiyoriy , , y x Q y x   , nuqtalar va barcha )1,0(  sonlar uchun Q y x int ) 1(      bo ’ lsa ( ya ’ ni Q y x z     ) 1(   to ’ plamning ichki nuqtasi ), Q - qat ’ iy qavariq to ’ plam deyiladi . Masalan , ), ( r d K - shar – qat ’ iy qavariq to ’ plam , n v u P ), ( o ’ lchovli parallelepiped – qat ’ iy qavariq emas (4- chizma ). Q z int  y x x  d Q z int  y a) b) 4- chizma. I z o h. Ta’rifdan ko’rinib turibdiki, nR Q  to’plamning qat’iy qavariq bo’lishi uchun,  Q int bo’lishi zarur. 2 . Qav ariq k onuslar v a affi n t o’plamlar . Qavariq konuslar va affin to’plamlar qavariq to’plamlarning muhim sinfini tashkil etadi.

3- t a’ r i f . Agar barcha 0 ,    Q x uchun Q x  bo’lsa, nR Q  - konus deyiladi. Boshqacha aytganda, agar Q - konus bo’lsa, u o’zining ixtiyoriy nuqtasidan o’tuvchi va uchi nolda bo’lgan nurni to’liq o’zida saqlaydi. Agar barcha 0 0, , ,      Q y x uchun Q y x    bo’lsa, Q - qavariq konus deyiladi. Qavariq konus, bir vaqtning o’zida, ham qavariq to’plam, ham konusdir (5-chizma). a ) b ) 5- chizma. 4-t a’ r i f. Agar Q y x   , va barcha 1 R  uchun, Q x    ) 1(   bo’lsa, nR Q  - affin to’plam deyiladi. Affin to’plam o’zining ixtiyoriy ikki nuqtasidan o’tuvchi to’g’ri chiziqni to’liq saqlaydi. Affin to’plamlar sodda tuzilishga ega. Buni quyidagi teorema tasdiqlaydi. 1- t eorema . nR Q  - affin to’plam bo’lsin. U holda: a) ixtiyoriy Q x 0 uchun 0x Q L   to’plam nR da chiziqli qism fazo bo’ladi; bunda L Q x 0 nuqtaning tanlanishiga bog’liq emas; b) Q ni quyidagicha tasvirlash mumkin:    m i b x a R x b Ax R x Q Ti n n ,1 , : :        , (1)

Qavariq to’plamlar va ular ustida amallar.Qavariq to’plamlarning ajralishi

08.08.2023

0

257.5673828125 KB

Похожие