Variatsion hisobning asosiy masalasi (birinchi variatsiyani tekshirish) Reja: 1. Masalaning qo’yilishi. Kuchli va kuchsiz lokal ekstremumlar. 2. Asosiy lemmalar (Lagranj, Dyubua-Reymon lemmalari). 3. Eyler tenglamasi, uning xususiy hollari. 4. Gilbert teoremasi. 5. Bo’lakli – silliq joyiz funksiyalar. Eylerning integro-differensial tenglamasi, natijalar.

1. Masalaning qo’yilishi. Quyidagilar berilgan bo’lsin: a) Q− R3 dagi biror ochiq to’plam (soha); b) S= {(x,y)∈R2:(x,y,z)∈Q}−Q to’plamning R2 ga proyeksiyasi; v) P0(x0,y0),P1(x1,y1)−S to’plamning belgilangan nuqtalari, x0<x1; g) F(x,y,z):Q → R1− uzluksiz funksiya. C1[x0,x1] fazoning V= {y(x)∈C1[x0,x1]: y(x0)= y0, y(x1)= y1(x,y(x), y'(x))∈Q ,x∈[x0,x1]} (1) to’plamida aniqlangan, J[y]=∫ x0 x1 F (x,y,y')dx (2) funksionalning ekstremumini topish masalasini qaraymiz. Bu masalaga variatsion hisobning asosiy masalasi deyiladi va u J[y]=∫ x0 x1 F (x,y,y')dx → min (max ), y(x0)= y0, y(x1)= y1, y(x)∈C1[x0,x1] (3) ko’rinishda belgilanadi. (1) ko’rinishdagi to’plamga (3) masalaning joyiz funksiyalari (chiziqlari) to’plami deyiladi. (3) masalada joyiz chiziqlarning uchlari berilgan P 0 va P 1 nuqtalarda mahkamlangan, ya’ni qo’zg’olmasdir. Variatsion hisobning asosiy masalasi - chegaralari qo’zg’olmas eng sodda variatsion masaladir. Qaralayotgan (3) masalaning yechimi – (2) funksionalning (1) to’plamdagi global ekstremum nuqtasidan iborat. Yechimni aniqlashda esa, lokal ekstremum tushunchasi ham muhim rol o’ynaydi, chunki ular uchun funksional variatsiyasidan foydalaniladigan zaruriy va yetarli shartlar mavjud (1-ma’ruzaga q.). (2) funksional qaralayotgan C1[x0,x1] fazoda funksiyaning nolinchi va birinchi tartibli atroflari tushunchalaridan foydalanib, lokal ekstremum nuqtalarini ham, shularga mos holda, aniqlash mumkin.

1-t a ’ r i f. y0= y0(x) – joyiz funksiya bo’lsin (y0∈V) . Agar y0 ning shunday V0(y0,ε) nolinchi tartibli ε – atrofi mavjud bo’lib, shu atrofga tegishli barcha y= y(x) joyiz funksiyalar uchun, J[y0]≤ J[y] (J [y0]≥ J[y]) munosabat bajarilsa, y0(x) funksiya - (2) funksionalning kuchli lokal minimum (maksimum) nuqtasi deyiladi. 2-t a ’ r i f. Agar y0= y0(x) joyiz funksiyaning shunday V1(y0,ε) birinchi tartibli ε - atrofi mavjud bo’lsaki, J[y0]≤ J[y] (J [y0]≥ J[y]) ∀ y∈V1(y0,ε)∩ V munosabat bajarilsa, y0(x) funksiya (2) funksionalning kuchsiz lokal minimum (maksimum) nuqtasi deyiladi. (2) funksionalning kuchli (kuchsiz) lokal ekstremum nuqtalariga variatsion hisob asosiy masalasida kuchli (kuchsiz) ekstremallar ham deyiladi. Demak, agar y0(x) -- kuchli ekstemal bo’lsa, bu funksiya, unga faqat qiymatlari bo’yicha yaqin bo’lgan barcha joyiz funksiyalar ichida, funksionalga minimal (yoki maksimal) qiymat beradi. y0(x) -- kuchsiz ekstremal bo’lganda esa, bu funksiya, unga nafaqat qiymatlari, balki hosilasining qiymatlari bo’yicha ham yaqin bo’lgan joyiz funksiyalar ichida, funksionalga ekstremal qiymat beradi. Nolinchi tartibli atrofning birinchi tartibli atrofdan kengroqligini, ya’ni V1(y0,ε)⊂V 0(y0,ε) ekanligini hisobga olsak, yuqoridagi ta’riflardan har bir kuchli ekstremalning kuchsiz ekstremal ham bo’lishi kelib chiqadi. Bu tasdiqning aksi esa, to’g’ri emas. Misol. J[y]=∫ 0 π y2(1− y'2)dx →min ¿}¿¿¿ Ravshanki, y0= y0(x)≡ 0 funksiya bu masalada kuchsiz minimal bo’ladi. Haqiqatan ham, ‖y− y0‖= ‖y‖C1[0,π]< ε (0<ε<1)

shartni qanoatlantiruvchi har bir y= y(x)∈C1[0,π] funksiya uchun [y'(x)<1,] x∈[0,π] , bo’lganligidan, J[y]=∫ 0 π y2(1− y2)dx ≥0= J[y0,] ‖y− y0‖C1[0,π]<ε, y(x)= y(π)= 0 munosabat bajariladi. Ammo y0(x) -- kuchli minimal bo’la olmaydi. Haqiqatan ham, ε<0 istalgancha kichik bo’lganda ham, yn= yn(x)= 1 √n sin nx joyiz funksiya yetarli katta n lar uchun, ‖yn− y0‖C1[0,π]<ε shartni qanoatlantiradi, ammo J(yn)= 1 n∫ 0 π sin 2nx (1− n cos 2nx )dx = 1 n∫ 0 π sin 2nx dx − − 1 n∫ 0 π sin 22nx dx = π 2n− π 8 <0= J[y0], n>4. Variatsion hisob asosiy masalasida yechimning mavjudligini tekshirishda quyidagi yetarli shartdan foydalanish mumkin. Biz bu tasdiqni isbotsiz keltiramiz. Faraz qilaylik: 1) F(x,y,z)∈C1; 2) F(x,y,z) funksiya z bo’yicha qavariq (botiq); 3) F (x,y,z)≥ Φ (z) (F (x,y,z)≤ Φ (z)), Φ (z)/z→ +∞ , z→ ∞ bo’lsin. U vaqtda, shunday y0(x) , x∈[x0,x1] absolyut uzluksiz funksiya mavjudki, u y0(x0)= y0 , y0(x1)= y1 shartlarni qanoatlantiradi va bu funksiyada (2) funksional kuchli minimum (maksimum) ga erishadi. 2. Asosiy lemmalar. Avvalgi ma’ruzamizda funksional ekstemumining zaruriy sharti – birinchi variatsiyaning ekstremum nuqtasida nolga teng bo’lishi ekanligi ko’rsatildi. Ushbu ma’ruzada shu natija asosida variatsion hisob asosiy masalasida eksremumning birinchi tartibli zaruriy sharti aniqlashtiriladi. Dastlab, variatsion hisobning asosiy lemmalari deb ataluvchi, ba’zi yordamchi tasdiqlarni keltiramiz.

1-l e m m a (Lagranj) . Agar a(x) funksiya [x0,x1] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, shu [x0,x1] da uzluksiz differensiallanuvchi hamda h(x0)= h(x1)= 0 shartni qanoatlantiruvchi barcha h(x) funksiyalar uchun, ∫ x0 x1 a(x)h(x)dx = 0 (4) tenglik bajarilsa, [x0,x1] kesmada a(x)= 0 bo’ladi. I s b o t i. Lemmaning tasdig’i o’rinli bo’lmasin, deb faraz qilamiz, ya’ni qandaydir x¿∈[x0,x1] nuqtada a(x¿)≠ 0 bo’lsin. a(x) funksiyaning uzluksizligidan foydalangan holda, x¿ nuqtani kesmaning ichki nuqtasi deb hisoblash mumkin. Aniqlik uchun, a(x¿)>0 deb olamiz. a(x) funksiyaning uzluksizlik xossasiga ko’ra, x¿ nuqtaning shunday (x¿− ε, x¿+ ε) (ε>0) atrofi topiladiki, unda a(x) funksiya o’z ishorasini saqlaydi, ya’ni musbat bo’lib qola veradi. Endi h(x) funksiyani quyidagicha aniqlaymiz: h(x)= { (ε+x¿− x)(ε− x¿+x),x∈[x¿− ε,x¿+ε] 0,x∉[x¿− ε,x¿+ε]. (5) (5) funksiya uchun, ∫ x0 x1 a(x)h(x)dx = ∫ x¿−ε x¿+ε a(x)(ε− x¿+x)dx >0 , ya’ni (4) ga zid munosabat bajariladi. Olingan qarama-qarshilik lemmani isbotlaydi. 2-l e m m a (Dyubua-Reymon). Faraz qilaylik, a0(x) va a1(x) funksiyalar [x0,x1] kesmada uzluksiz bo’lsin. Agar h(x0)=h(x1)=0 shartni qanoatlantiruvchi barcha h(x)∈C1[x0,x1] funksiyalar uchun ∫ x0 x1 [a0(x)h(x)+a1(x)h'(x)]dx =0 (6)