Variatsion hisobning predmeti, funksionalning ekstremumi .. Reja: 1. Variatsion hisobning klassik masalalari. 2. Variatsion hisob predmeti va uning rivojlanishidan qisqa tarixiy ma’lumotlar. 3. Asosiy funksional fazolar. 4. Funksionalning variatsiyalari. 5. Funksionalning ekstremumi. 6. Ekstremumning zaruriy va yetarli shartlari.

1. Variatsion hisobning klassik masalalari . Variatsion hisob predmeti . Dastlab variatsion hisob predmetini yaxshiroq anglab olishga imkon beruvchi hamda matematikada bu yo’nalishning paydo bo’lishi va rivojlanishida muhim ahamiyatga ega bo’lgan masalalardan quyidagilarni keltiramiz. Braxistoxrona haqidagi masala . 1696 yilda I.Bernulli tomonidan qo’yilgan bu masalada bir vertikal to’g’ri chiziqda yotmagan ikkita A va B nuqtalarni tutashtiruvchi shunday chiziqni topish talab qilinadiki, material nuqta o’z og’irlik kuchi ta’siri ostida shu chiziq bo’ylab harakat qilib, A nuqtadan B nuqtaga eng qisqa vaqtda yetib kelsin.(1-chizma). Masalaning nomi grekcha “braxistos” –eng qisqa, “xronos” –vaqt so’zlaridan kelib chiqqan. Braxistoxrona haqidagi masalani hozirgi zamon matematikasi tilida ifodalash uchun to’g’ri burchakli O xy kooordinatalar sistemasini 1-chizmada ko’rsatilganidek, ya’ni O y o’qni pastga yo’naltirib, qaraymiz. A nuqtani koordinata-lar boshiga joylashtiramiz. B nuqtaning koordinatalari (x 1 ,y) bo’lsin. A( 0,0 ) va В ( x 1, y 1 ) nuqtalarni ixtiyoriy y=y(x) silliq chiziq bilan tutashtiramiz. Shu chiziq bo’ylab og’irlik kuchi ta’sirida harakatlanuvchi material nuqtaning massasi m ga, t vaqt momentidagi tezligi v ga teng bo’lsin. U holda, t vaqtda harakatdagi nuqtaning kinetik energiyasi , potensial energiyasi P=- mgy bo’ladi, bu yerda g≈9.8 m/c 2 -erkin tushish tezlanishi o’zgarmasi. Fizikadan yaxshi ma’lum bo’lgan energiyaning saqlanish qonuniga ko’ra, −mgy +mv 2 2 =0 tenglikni olamiz. Bu yerdan . Endi ekanligini hisobga olsak, dt = ds v= √ 1+y'2 2gy dx bo’ladi.

Demak, y ( x ) chiziq bo’ylab A nuqtadan B nuqtaga ko’chish uchun sarflangan T=T[ y ] vaqt uchun (1) ifodaga ega bo’lamiz. (1) ko’rinishdagi T=T[ y ] miqdor y = y ( x ), x [0, x 1 ] uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar fazosida aniqlangan bo’lib, braxistoxrona haqi- dagi masala esa, T[ y ] funksionalni ng , y (0)=0, y ( x 1 )= y 1 shartlarni qanoatlantiruvchi uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar to’plamida, minimumin i topish masalasidan iboratdir. Bu masala I.Bernulli, I.Nyuton, G.Leybnislar tomonidan yechilgan bo’lib, eng tez o’tish (sirpanish) chizig’i sikloida deb ataluvchi chiziqdan iborat bo’lar ekan (bunga biz keyinroq ishonch hosil qilamiz). Geodezik chiziqlar haqidagi masala. Masala quyidagicha qo’yiladi: Berilgan S sirtda yotuvchi va sirtning A 0 va h amda A 1 nuqtalarini tutashtiruvchi eng qisqa uzunlikka ega bo’lgan chiziq topilsin (2-chizma). Bunday eng qisqa uzunlikka ega chiziqlar geodezik chiziqlar deb ataladi. Masalaning matematik modelini tuzish uchun, S sirt tenglama bilan berilgan, A 0 va A 1 nuqtalarning koordinatalari, mos ravishda, ( x 0 ,y 0, z 0 ) va ( x 1 ,y 1, z 1 ) bo’lsin, deb faraz qilamiz. Qaralayotgan nuqtalarni tutashtiruvchi ixtiyoriy y=y(x), z=z(x), x 0  x  x 1 silliq chiziqni qaraymiz. Matematik analiz kursidan yaxshi ma’lumki, bu chiziqning uzunligi (2) formula orqali topiladi. Masalaning qo’yilishiga ko’ra, y(x0)= y0,z(x0)=z0,y(x1)= y1,z(x1)=z1,ϕ(x,y(x),z(x))=0,x0≤x≤ x1 (3) munosabatlarga ega bo’lamiz. Shunday qilib, geodezik chiziqlar haqidagi masala (2) ko’rinishdagi L[y,z] o’zgaruvchi miqdorni (3) shartlarni qanoatlantiruvchi uzluksiz differensiallanuvchi, y=y(x), z=z(x), x 0  x  x 1 funksiyalar to’plamida

minimallash-tirish masalasidan iborat. Bu masala, 1968 yilda Ya.Bernulli tomonidan yechilgan. Klassik izoperimetrik masala. Bu masalada berilgan uzunlikka ega bo’lgan barcha yopiq chiziqlar ichida maksimal S yuzani chegaralovchi chiziqni topish talab qilinadi. Bunday chiziqning aylanadan iborat ekanligi qadimgi Yunonistonda ma’lum edi. Izoperimetrik masala deb ataluvchi bu masalani xozirgi zamon matematikasi tilida ifodalash uchun, yopiq chiziq x=x(t), y=y(t), t [t 0 ,t 1 ] parametrik tenglamalar bilan berilgan, deb faraz qilamiz. U holda, shu yopiq chiziq bilan chegaralangan yuza, S[x,y]=∫t0 t1 xyt'dt (4) formula orqali topiladi. Chiziq uzunligi ga tengligi va chiziqning yopiqligini hisobga olsak, (5) izoperimetrik shartga va (6) chegaraviy shartga ega bo’lamiz. Shunday qilib, qaralayotgan masala (4) ko’rinishdagi o’zgaruvchi miqdorning, (5), (6) shartlarni qanoatlantiruvchi x= x(t),y= y(t),t0≤t≤t1 uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar to’plamida, minimumini topishdan iboratdir. Yuqorida keltirilgan masalalarda (1), (2) va (4) ko’rinishdagi o’zgaruvchi miqdorlarga ega bo’ldik. Ular funksional tipidagi o’zgaruvchi miqdorlarga misol bo’la oladi. Funksionallar esa, funksional analiz kursining asosiy tushunchalaridan biri bo’lib, berilgan W funksional fazo V to’plamining har bir elementiga biror J(u) haqiqiy sonni mos qo’yuvchi akslantirishni bildiradi. Funksionallar, odatda, cheksiz o’lchovli funksional fazolarda berilgan bo’ladi. Ularning eng katta (maksimal) va eng kichik (minimal) qiymatlarini topish haqidagi masalalar cheksiz

o’lchovli ekstremal masalalar bo’lib, bunday masalalarni o’rganish variatsion hisob predmetini tashkil etadi. XVII asrning oxiridan XX asr o’rtalarigacha bo’lgan davr klassik variatsion hisobning paydo bo’lishi va rivojlanishini o’z ichiga oladi. Bu davrda dastlabki fundamental tadqiqotlar L.Eyler va J..Lagranj tomonidan bajarildi. XVIII asrning oxirlarida Eyler, Lagranj va Lejandrlarning ilmiy tadqiqotlari natijasida variatsion hisob birinchi variatsiyani tekshirish qismi bo’yicha tugallangan shaklga ega bo’ldi. XIX asrda esa, avval ma’lum bo’lgan variatsion masalalarni umumlashtirish boshlandi va variatsion hisobning tadbiqlari bo’yicha natijalar olindi (M.I.Ostrogradskiy tomonidan 1834 yilda karrali integralli variatsion masalalar uchun zaruriy shartlar olindi, variatsion hisobning mexanikaga tadbiqi qaraldi). XIX asrning ikkinchi yarmida funksionallar ekstremumlarining yetarli shartlari olindi (K.Veyershtrass tomonidan, 1879 yilda). XX asrda variatsion hisobning to’g’ri usullari yuzaga keldi. Ular variatsion masalalarni taqribiy yechish uchun, hamda ularda yechimning mavjudligini isbotlash uchun juda muhimdir. XX asrning boshlarida matematikada yangi yo’nalish – funksional analiz yuzaga keldi va aniq tabiatshunoslikning turli sohalarida, jumladan, kvant mexanikasida keng qo’llanila boshladi. Variatsion hisob «chiziqsiz» funksional analizning tarkibiy qismiga aylandi. XX asrnig ikkinchi yarmiga kelib optimal boshqaruvning matematik nazariyasiga asos solinishi va uning jadal rivojlanishi variatsion hisob taraqqiyotida yangi davrni boshlab berdi. Bu yangi yo’nalishda, sobiq Ittifoqda akademik L.S.Pontryaginning «maksimum prinsipi», amerikalik R.Bellmanning dinamik pogrammalashtirish usuli asosiy natijalar hisoblanadi. 2. Asosiy funksional fazolar. Bizga funksional analiz kursidan yaxshi ma’lum bo’lgan va variatsion hisob masalalarini o’rganishda keng foydalaniladigan eng muhim funksional fazolarni eslatib o’tamiz.