logo
Русский O'zbekcha
  1. Главная страница
  2. Презентации
  3. Общий
  4. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

Загружено в:

15.08.2023

Скачано:

6

Размер:

5.2 MB
Условия скачивания
Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika Ehtimollar nazariyasidan kerakli ma'lumotlar Ehtimollar nazariyasi - bu ba'zi tasodifiy hodisalar ehtimolligiga asoslanib, bir-biriga qandaydir tarzda bog'liq bo'lgan boshqa tasodifiy hodisalarning ehtimolliklarini topishga imkon beradigan matematik fan. 2 Boshlang'ich hodisalar va ehtimollik Eksperiment natijasi har qanday o'tkazilgan tajriba (eksperiment) natijasidir. Hodisa - muayyan talablarga javob beradigan natija yoki natijalar guruhi. 3 Hodisa  Ishonchli hodisa - har doim ko'rib chiqilayotgan tajribada yuz beradigan voqea  .Mumkin bo'lmagan hodisa - bu ko'rib chiqilayotgan tajribada hech qachon sodir bo'lmaydigan voqea.  Tasodifiy hodisa - bu tajribani takrorlash paytida sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan hodisa. 4 Hodisa ehtimoli Hodisaning ehtimolligi bu hodisaning ob'ektiv imkoniyati darajasining sonli o'lchovidir. 0 ≤ P(A) ≤ 1 Voqealarning to'liq guruhi bir nechta mumkin bo'lgan hodisalar bo'lib, ulardan biri tajriba natijasida yuzaga kelishi shart. 5 Hodisa Mos kelmaydigan hodisalar - bu birgalikda paydo bo'lmaydigan hodisalar. Teng hodisalar - ehtimoli bir-biriga teng bo'lgan hodisalar. 6 Hodisa ehtimoli uchun klassik formula A hodisasining ehtimoli - bu qulay tajriba natijalarining barcha bir xil mumkin bo'lgan nomuvofiq elementar natijalarning umumiy soniga nisbati. 7n m A P ) (bu erda m - tajriba natijalarining qulay soni, n - eksperiment natijalarining umumiy soni. 8Ehtimollar xususiyatlari 1 - x o s s a . M u a y y a n h o d i s a n i n g y u z a g a k e l i s h e h t i m o l i b i r g a t e n g 2 - x o s s a . M u m k i n b o ' l m a g a n h o d i s a n i n g e h t i m o l l i g i n o l g a t e n g 81 ) (    n n n m A P 0 0 ) (    n n m A P3-xossa. Tasodifiy hodisaning yuzaga kelish ehtimoli nol va bitta orasidagi musbat son Statistik ehtimollik Bir qator bir xil tajribalarning A hodisasining nisbiy chastotasi (statistik ehtimollik) - bu A hodisasi paydo bo'lgan tajribalar sonining amalda bajarilgan tajribalarning umumiy soniga nisbati. 9bu erda m - hodisaning sodir bo'lish soni, n - ketma-ket tajribalar soni.n m A W  ) ( Kombinatorika Kombinatorika ma'lum shartlar asosida ma'lum cheklangan to'plam elementlaridan tuzilishi mumkin bo'lgan kombinatsiyalar sonini o'rganadi. 10 Перестановка Almashtirish deganda bir xil n xil elementlarning birikmasi tushuniladi va ularning joylashish tartibida farqlanadi. Bu yerda . 11! n P n  n n      ... 3 2 1 ! 1-masala 1, 2, 3 raqamlaridan qancha uchta xonali raqamlarni hosil qilish mumkin, agar har bir raqam raqam tasvirida faqat bir marta paydo bo'lsa? Qaror. Uch xonali raqamlarning izlanayotgan soni 126 3 2 1 ! 3 3      P Joylahtirish Joylashtirish - bu m elementlarning n tarkibidagi yoki ularning tartibida farq qiladigan turli xil elementlarning birikmasi. 13)1 )...( 2 )(1 ( )! ( !        m n n n n m n n Am n 2-masala 2 tadan olingan har xil rangdagi 6 ta bayroqdan nechta signalni olish mumkin? Qaror. izlanayotgan signallar soni 1430 5 6 2 6    A Kombinatsiya Kombinatsiya - bu kamida har xil element bilan farq qiladigan m elementdan iborat bo'lgan n xil elementlardan tashkil topgan birikma. 15)!(! ! mnm n Cm n  3 -masala 10 qismdan iborat qutidan ikkita qismni necha usul bilan tanlash mumkin? Qaror.Izlanayotgan signallar soni 1645 ! 8 ! 2 ! 10 2 10    C Kombinatorikaning asosiy qoidalari Yig'indi qoidasi. Agar biron bir A ob'ekti ob'ektlar to'plamidan m usulida, yana bir B ob'ekti n usulida tanlanishi mumkin bo'lsa, u holda A yoki B yo m + n usullar bilan tanlanishi mumkin. Ko'paytirish qoidasi. Agar A ob'ekti to'plamidan m usul bilan tanlanishi mumkin bo'lsa va har bir shunday tanlovdan so'ng B ob'ekti n usulida tanlanishi mumkin bo'lsa, u holda (A, B) ko'rsatilgan juftlik moslamasi mn usulida tanlanishi mumkin. . 17 4-masala 10 qismdan iborat partiyada 7 tasi standart hisoblanadi. Tasodifiy olingan oltitadan 4 ta standart qism bo'lishi ehtimolini toping. Qaror. Sinov natijalarining umumiy soni yo'llar soniga teng Число благоприятствующих событию Izlanayotgan ehtimollik 186 10 C 2 3 4 7 C C  2 1 ) ( 6 10 2 3 4 7    C C C A P Ehtimollarni qo'shish teoremasi 19Teorema. Ikki qo'shma hodisadan birining paydo bo'lish ehtimoli, bu ularning sodir bo'lish ehtimolini hisobga olmagan holda, ushbu hodisalar ehtimoli yig'indisiga teng bo'lishining ahamiyati yo'q:) ( ) ( ) ( ) ( AB P B P A P B A P     Teorema. Ikki mos kelmaydigan hodisadan birining paydo bo'lish ehtimoli, bu qaysi hodisalar ehtimoli yig'indisiga teng bo'lishi muhim emas: Р(А + В) = Р(А) + Р(В). Natija. Bir-biriga mos kelmaydigan bir nechta hodisalardan birining ehtimoli, nima bo'lishidan qat'i nazar, ushbu hodisalar ehtimoli yig'indisiga teng: Р (А 1 + А 2 + ... + А n ) = Р (А 1 ) + Р (А 2 ) +...+Р (А n ) 20 5-masala Tasodifiy olingan ikki xonali sonning bir vaqtning o'zida 2 yoki 5 ga, ikkalasiga ko'paytma bo'lib chiqishi ehtimolini toping. Yechish. A tasodifiy olingan ikki xonali son 2 ga ko'paytirilsin, B 5 ga ko'p bo'lsin. A va B qo'shma hodisalar.Ikki xonali sonlar 10, 11 ,. ... ... , 98, 99. (Jami 90 ta). Shubhasiz, ulardan 45 tasi 2-ning ko'paytmasi (A hodisasi), 18 tasi 5-ning ko'paytmasi (V hodisasi) va nihoyat, 9 ikkala va 5-ning bir vaqtning o'zida ko'paytmalari (A va B hodisalari). Ehtimollikning klassik ta'rifiga ko'ra: Р(А) = 45/90= 0,5; Р(В) = 18/90 = 0,2; Р(АВ) = 9/90 Р(А + В) = 0,5 + 0,2 - 0,1 = 0,6. 21 Ehtimollar ko'paytmasi teoremasi Teorema. Ikki hodisaning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli, birinchi hodisa allaqachon sodir bo'lgan deb taxmin qilingan holda, ulardan birining ikkinchisining shartli ehtimoli bilan ko'paytmasiga teng: Р(АВ) = Р(А)Р A (В). Mustaqil hodisalar uchun ko'paytirish teoremasi quyidagiga ega Р (АВ) = Р (А) Р ( В ). 22 1-masala Yig'uvchida 3 ta konusning va 7 ta elliptik roliklar mavjud. Yig'uvchi bittag'altakni, keyin boshqasini oldi. Olingan g'altaklarning birinchisi konus, ikkinchisi esa elliptik bo'lishi ehtimolini toping. Yechish . Birinchi g'altakning konus shaklida bo'lish ehtimoli (voqea A), P (A) = 3/10.Ikkinchi g'altak elliptik (B hodisasi) bo'lish ehtimoli, birinchi g'altak konusning ekanligi, ya'ni PA (B) = 7/9 shartli ehtimoli asosida hisoblanadi.Ko'paytirish teoremasi bo'yicha istalgan ehtimollik Р (АВ) = Р (А) Р А (В) = (3/10) • (7/9) = 7/30. E'tibor bering, yozuvni saqlab, biz osongina topamiz : Р (В) =7/10, Р В (А) =3/9, Р (В)Р В (А) = 7/30 bu tenglikning haqiqiyligini aniq ko'rsatib beradi Р (А) Р А (В) = Р (В) Р В (А). 23 Bernulli formulasi Vazifa. N ta sinov bilan A hodisasi to'liq k marta sodir bo'lishi va n - k marta sodir bo'lmasligi ehtimolini hisoblang. Bernulli formulasi va 24! ( ) . ! ( )! k n k n n P k p q k n k       2-masala Bir kun davomida energiya sarfi belgilangan stavkadan oshmasligi ehtimoli P = 0,75 ga teng. Keyingi 6 kun ichida 4 kun ichida elektr energiyasi iste'moli me'yordan oshmasligi ehtimolini toping. Yechish. Oddiy elektr energiyasini iste'mol qilish ehtimoli doimiy va P = 0,75 ga teng.Binobarin, haddan oshish ehtimoli ham doimiy va q = 1-P = 0,25 ga teng. Bernulli formulasi bo'yicha istalgan ehtimollik quyidagicha 254 4 2 4 2 6 66 P 4 C p q 0 75 0 25 0 099 4 6 4 ! ( ) , , , . ! ( )!          Tasodifiy qiymat Tasodifiy o’lchov ( To’ ) Tajriba natijasida ma'lum bir qiymatni qabul qilishi mumkin bo'lgan miqdor va tajriba oxirigacha qaysi qiymatga ega ekanligi ma'lum emas. 26 Diskret tasodifiy miqdor Diskret tasodifiy miqdori ( DTM ) • ma'lum ehtimolliklar bilan alohida, ajratilgan qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi 27 Tarqatish qonuni Tarqatish qonuni • tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari va uning yuzaga kelish ehtimoli o'rtasidagi moslikni o'rnatadigan har qanday qoida. 28 DTM tarqatish qatori Tarqatish qatori • ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ularga mos keladigan ehtimolliklar to'plami Tarqatish ko'pburchagi • Tarqatish qatorining grafik tasviri 29x 1 x 2 ... x n p 1 p 2 ... p n1 ... 21     n p p p ) ( ii x X P p   Ehtimollikni tarqatish funktsiyasi Tarqatish funksiyasi funktsiyasi F (x), uning qiymati x nuqtada tasodifiy o'zgaruvchining X ning bu qiymatdan kichik bo'lish ehtimolligiga teng, ya'ni F (x)=P{X<x} 30   x x i i p x F ) (0 1.67 3.33 5 6.67 8.33 1000.20.40.60.8 11.2 F1 x( ) x0 2 4 6 800.20.4 y T x T 3-masala 10 ta nuqsonli buyumlar bo'lgan 100 ta buyumlar to'plamidan ularning sifatini tekshirish uchun tasodifiy beshta narsa tanlanadi. Namuna tarkibidagi nuqsonli mahsulotlarning tasodifiy X sonini bir qator taqsimotini tuzing. Yechish. Namunadagi nuqsonli mahsulotlar soni 0 dan 5 gacha bo'lgan har qanday tamsayı bo'lishi mumkinligi sababli, X tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan xi qiymatlari: . Namunada aniq k (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) nuqsonli mahsulotlar bo'lishi ehtimoli P (X = k) Tekshirish uchun tenglikdan foydalanib, biz hisob-kitoblar va yaxlitlash to'g'ri bajarilganligiga ishonch hosil qilamiz (jadvalga qarang). 31,0 1  x ,1 2  x ,23  x ,3 4  x ,4 5 x 5 6 x 5 100 5 9010 )( C CC kXP kk    1 6 1   k k p x i 0 1 2 3 4 5 p i . 0,583 0,3401 0,070 0,007 0 0 Doimiy tasodifiy o'zgaruvchi Непрерывная случайная величина (НСВ) • Случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторые конечные или бесконечные промежутки 32   X dx x f x F ) ( ) ( Плотность распределения НСВ Плотность распределения (или плотность вероятности) производная функции распределения F(x) случайной величины, обозначаемая f(x) . Кривая распределени я • График плотности распределения 33 Интегральный и дифференциальный законы распределения dx xdF x xFxxF x xxXxP xf xx )()()()( )( limlim 00           X dx x f x F ) ( ) ( Функция распределения Плотность распределения 34 Свойства функции распределения F(- ) = 0∞ F( x min ) = 0 F(+ ) = 1 ∞ F( x max ) = 1 F(x1) ≤ F(x2), при x1 < x2 P(a X < b) ≤ = = F(b) - F(a) 35 Свойства плотности распределения Плотность распределения неотрицательна: f(x) 0≥ . Условие нормировки: 36 1 ) (     dx x f 37Случайные величины Дискретная СВ Непрерывная СВ Ряд распределения Функция распределения Плотность распределенияЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Числовые характеристики СВ Математическ ое ожидание • среднее значение случайной величины 38                     . , НСВ для dx x f x ДСВ для x X P x x M m i i i x Мода и медиана Мода (Mx, Mo) • наиболее вероятное значение СВ, т.е. то значение, для которого вероятность p i (для дискретной СВ) или f(x) (для непрерывных СВ) достигает максимума. Медиана ( M e ) • значение СВ, для которого выполняется условие P ( X<Me ) = P ( X Me≥ ) 39 Начальный и центральный моменты СВ математическое ожидание s-й степени этой случайной величины: α s = M[X s ]. Начальный момент s-го порядка • отклонение СВ от математического ожидания:Центрированная СВ • момент центрированной случайной величины Центральный момент • математическое ожидание s-й степени центрированной случайной величины: Центральный момент порядка s 40x m X X   0,    s x s s m X M X M          0  Коэффициент асимметрии (или скошенности) Коэффицинет эксцесса (или островершинности)2. Числовые характеристики случайной величины 413 3    A 3 4 4     E Дисперсия Дисперсия математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины. Характеризует разброс СВ относительно среднего значения (мат. ожидания) 42                                        . ) ( , ) ( 222 222 НСВ для m dx x f x dx x f m x ДСВ для m x X P x x X P m x x D xx xi i ii i xi     2 2 x m X M X D   Вычислить дисперсию можно: Среднее квадратическое отклонение Среднее квадратическ ое отклонение (СКО) • Характеристика • характеризует ширину диапазона значений СВ. Правило 3σ • [ m - 3σ; m + 3σ ] 43    X D X x     -masala 1 Из партии численностью 25 изделий, среди которых имеется шесть нестандартных, случайным образом выбраны три изделия. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нестандартных изделий, содержащихся в выборке. Решение. По условию задачи CB X принимает следующие значения: x1=0; x2=1; x3=2; x4=3. Вероятность того, что в этой выборке окажется ровно i (i = 0, 1, 2, 3) нестандартных изделий, вычисляется по формуле 44  ,25 3 196 i ii ii C C C x X P p      x i 1 2 3 4 p i . 0, 41 0, 43 0, 11 0,0 05 Математическое ожидание Дисперсия СКО 452 2 (M[X]) - ] M[X = D[X] , 0,8 = 0,05 3 + 0,11 2 + 0,43 1 + 0,41 0 x = M[X] i       i p 1,32 = 0,05 3 + 0,11 2 + 0,43 1 + 0,41 0 x = ] M[X 2 2 2 i 2        i p 0,68. (0,8) - 1,32 = D[X] 2      82,0   X D X   Зак оны распределения ди ск ретны х слу чайны х велич ин  Зак оны распределения непреры вны х слу чайны х величи н Некоторые частные законы распределения СВ 46 Биномиальное распределение 47где 0 < p < 1, q = 1 – p , k = 0, 1, …, n , , Основные характеристики : k n k k n k q p C k P p     ) ( np X M  ) ( npq X D  ) ( npq p q A   npq pq E 6 1   , , , . Геометрическое распределение где 0 < p < 1, q = 1 – p , k = 0, 1, …, n , Функция вероятности Функция распределения Основные характеристики 48q p k P p k k    ) ( p p X M   1 ) (2 ) ( p q X D  pp A   12 p p E    1 6 2 . Пуассоновское распределение где k = 0, 1, 2, …, λ > 0 – параметр пуассоновского распределения. Функция вероятности Функция распределения Основные характеристики 49, ! ) (       e k k P pk k   ) (X M   ) (X D 21   A 1   E , , , . Законы распределения непрерывных случайных величин 50 Равномерное распределение Функция вероятности Функция распределения Основные характеристики: 51            b a x a b b a x x p , , 1 , ,0 ) (         bx bxa ab ax ax xF 1 ,0 )(  2 ) ( b a X M     12 ) ( 2 a b X D   0  A 5 6   E, , , . Экспоненциальное (показательное) распределение Функция вероятности Функция распределения Основные характеристики: Основные характеристики: 52    0, 0,0 )( xe x xp x        0,1 0,0 )( xe x xF x    1 ) (    X M 2 )(   XD 2  A 6  E , , , Нормальное распределение Функция вероятности Функция распределения Основные характеристики : 53           2 2 2 exp 2 1 ) (      x x p   ) (X M 2 ) (   X D 0  E, , , . Распределение Стьюдента Функция вероятности Функция распределения Основные характеристики : Основные характеристики : 54R x n x n Г n Г n x n p n                        , 1 2 2 1 1 ) ( 2 1 2  1,0)(  nеслиXM 2 , 2 ) (    n если n n X D 3,0  nеслиA , , , . 4 , 4 6    n если n E Математическая статистика • раздел математики, посвященный математическим методам сбора, систематизации, обработки и интерпретации статистических данных, а также использование их для научных или практических выводов. 55Математическая статистика  Первая задача — указать способы сбора и группировки статистических сведений. (описательная статистика)  Вторая задача — разработать методы анализа статистических данных: ◦ а) оценка неизвестных параметров распределения (теорию оценивания) ◦ б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен (теория проверки гипотез). Задачи математической статистики 56 К ачественн ый признак • стандартност ь детали К оличественн ый признак контролируем ый размер детали 57 Выборочная совокупность (выборка) • совокупность случайно отобранных объектов. Генеральная совокупность • совокупность объектов, из которых производится выборка. Объем совокупности (выборочной или генеральной) • число объектов этой совокупности. 58Выборочная и генеральная совокупности Повторная выборка • выборка , при которой отобранный объект возвращается в генеральную совокупность Бесповторная выборка • выборка, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращаетсяПовторная и бесповторная выборки 59 Достаточный объем выборки Репрезентативность (представительность) Репрезентативна я выборка (представительна я) • Выборка, которая правильно представляет генеральную совокупность 60 • отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. Простой случайный отбор • отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части.Типический отбор • отбор, при котором генераль ную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Механический отбор • отбор, при котором объекты отбираются из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Серийный отбор Способы отбора 61 • наблюдаемые значения х iВарианта • число наблюдений варианты.Частота, n i • отношения частоты к объему выборки W i = n i /n Относительная частота • последовательность вариант, записанных в возрастающем порядкеВариационный ряд • перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частотСтатистическое распределение выборки 62Статистическое распределение выборки x i x 1 x 2 … x l n i n 1 n 2 … n l W i W 1 W 2 … W l Дискретный вариационный ряд 1 l i i n n    1 1. l i i W   ; Возрас т, лет 20 24 29 30 32 39 42 50 51 54 55 58 59 60 Чи сло сотруд - ни к ов 3 2 1 1 3 1 8 6 1 3 2 3 4 1Данные о количестве работников определенного возраста 63 Интервальный вариационный ряд 1. x min и x max 2. Формула Стэрджеса: 3. Интервальный вариационный рядl 1 3 322 n , lg .    min max min ( 1) , , ia x i h x x h l       № интервала Границы i - го интервала Абсолютные частоты Относительные частоты 1 1 2a a  1n 1W 2 2 3a a  2n 2 W … … … … l 1 l la a   ln l W 64 Эмпирическая функция распределения Эмпирическая функция распределения (функция распределения выборки) • функция F*(x) , определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < x . Теоретическая функция распределения F(x) • функцию распределения генеральной совокупности*( ) , xn F x n    1 ) ( * ) ( lim       x F x F P n 65 Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0,1] F*(x) – неубывающая функция Если х 1 – наименьшая варианта, то F*(x) =0 при x< х 1 ; если x k –наибольшая варианта, то F*(x) = 1 при x> x k .Свойства эмпирической функции распределения 66 Полигон частот • ломаная, отрезки соединяют точки ( х 1 ; n 1 ), ( х 2 ; n 2 ), ..., (x k ; n k ). Полигон относительны х частот • ломаная, отрезки которой соединяют точки ( х 1 ; W 1 ), ( х 2 ; W 2 ), ..., (x k ; W k ). 67Полигон и гистограмма • ступенчатая фигура, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению n i /h (плотность частоты) или W i /h (плотность относительной частоты).Гистограмма частот (относительных частот) - № интервала Границы i - го интервала Абсолютные частоты Относительные частоты 1 1 2a a  1n 1W 2 2 3a a  2n 2W … … … … l 1 l la a   ln lW 68 Площадь i-гo частичного прямоугольника равна h n i /h = n i – сумме частот вариант i -го интервала. площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т. е. объему выборки . 69Площадь гистограммы Площадь i-го частичного прямоугольника равна hW i /h = W i – относительной частоте вариант, попавших в i -й интервал. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т. е. единице. Площадь гистограммы относительных частот 70 Когда ширина всех интервалов группировки одинакова, вид гистограммы не изменится, если по оси ординат откладывать не величины n i /h , а частоты интервалов n i ( относительные частоты интервалов W i ) 71

Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

Ehtimollar nazariyasidan kerakli ma'lumotlar Ehtimollar nazariyasi - bu ba'zi tasodifiy hodisalar ehtimolligiga asoslanib, bir-biriga qandaydir tarzda bog'liq bo'lgan boshqa tasodifiy hodisalarning ehtimolliklarini topishga imkon beradigan matematik fan. 2

Boshlang'ich hodisalar va ehtimollik Eksperiment natijasi har qanday o'tkazilgan tajriba (eksperiment) natijasidir. Hodisa - muayyan talablarga javob beradigan natija yoki natijalar guruhi. 3

Hodisa  Ishonchli hodisa - har doim ko'rib chiqilayotgan tajribada yuz beradigan voqea  .Mumkin bo'lmagan hodisa - bu ko'rib chiqilayotgan tajribada hech qachon sodir bo'lmaydigan voqea.  Tasodifiy hodisa - bu tajribani takrorlash paytida sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan hodisa. 4

Загрузите документ, чтобы увидеть его полностью.

Похожие

Ekonometrikada ehtimollar nazariyasi va matematik statistikaning asosiy tushunchalari
MATEMATIK TASAVURLARINI SHAKLLANTIRISH NAZARIYASI
KOMBINATORIKA MASALALARINING EHTIMOLLAR NAZARIYASI MASALALARINI YECHISHGA TADBIG‘I
KOMBINATORIKA MASALALARINING EHTIMOLLAR NAZARIYASI MASALALARINI YECHISHGA TADBIG’I
Yuqori o’lchamli statistika.