Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika
![Ehtimollar nazariyasi
va matematik
statistika](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_1.png)
![Ehtimollar nazariyasidan kerakli
ma'lumotlar
Ehtimollar nazariyasi - bu ba'zi tasodifiy hodisalar ehtimolligiga
asoslanib, bir-biriga qandaydir tarzda bog'liq bo'lgan boshqa tasodifiy
hodisalarning ehtimolliklarini topishga imkon beradigan matematik
fan.
2](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_2.png)
![Boshlang'ich hodisalar va
ehtimollik
Eksperiment natijasi har qanday o'tkazilgan tajriba (eksperiment)
natijasidir.
Hodisa - muayyan talablarga javob beradigan natija yoki natijalar guruhi.
3](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_3.png)
![Hodisa
Ishonchli hodisa - har doim ko'rib chiqilayotgan
tajribada yuz beradigan voqea
.Mumkin bo'lmagan hodisa - bu ko'rib
chiqilayotgan tajribada hech qachon sodir
bo'lmaydigan voqea.
Tasodifiy hodisa - bu tajribani takrorlash paytida
sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan
hodisa.
4](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_4.png)
![Hodisa ehtimoli
Hodisaning ehtimolligi bu hodisaning ob'ektiv imkoniyati darajasining
sonli o'lchovidir.
0 ≤ P(A) ≤ 1
Voqealarning to'liq guruhi bir nechta mumkin bo'lgan hodisalar bo'lib,
ulardan biri tajriba natijasida yuzaga kelishi shart.
5](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_5.png)
![Hodisa
Mos kelmaydigan hodisalar - bu birgalikda paydo bo'lmaydigan
hodisalar.
Teng hodisalar - ehtimoli bir-biriga teng bo'lgan hodisalar.
6](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_6.png)
![Hodisa ehtimoli uchun klassik
formula
A hodisasining ehtimoli - bu qulay tajriba natijalarining
barcha bir xil mumkin bo'lgan nomuvofiq elementar
natijalarning umumiy soniga nisbati.
7n
m
A P ) (bu erda m - tajriba natijalarining qulay soni, n - eksperiment
natijalarining umumiy soni.](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_7.png)
![8Ehtimollar xususiyatlari
1 - x o s s a . M u a y y a n h o d i s a n i n g y u z a g a k e l i s h e h t i m o l i b i r g a t e n g
2 - x o s s a . M u m k i n b o ' l m a g a n h o d i s a n i n g e h t i m o l l i g i n o l g a t e n g
81 ) (
n
n
n
m
A P
0
0
) (
n n
m
A P3-xossa. Tasodifiy hodisaning yuzaga
kelish ehtimoli nol va bitta orasidagi
musbat son](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_8.png)
![Statistik ehtimollik
Bir qator bir xil tajribalarning A hodisasining nisbiy chastotasi
(statistik ehtimollik) - bu A hodisasi paydo bo'lgan tajribalar sonining
amalda bajarilgan tajribalarning umumiy soniga nisbati.
9bu erda m - hodisaning sodir bo'lish soni, n - ketma-ket tajribalar soni.n
m
A W ) (](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_9.png)
![Kombinatorika
Kombinatorika ma'lum shartlar asosida ma'lum cheklangan to'plam
elementlaridan tuzilishi mumkin bo'lgan kombinatsiyalar sonini
o'rganadi.
10](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_10.png)
![Перестановка
Almashtirish deganda bir xil n xil elementlarning birikmasi tushuniladi
va ularning joylashish tartibida farqlanadi.
Bu yerda .
11! n P n
n n ... 3 2 1 !](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_11.png)
![1-masala
1, 2, 3 raqamlaridan qancha uchta xonali raqamlarni hosil
qilish mumkin, agar har bir raqam raqam tasvirida faqat
bir marta paydo bo'lsa?
Qaror. Uch xonali raqamlarning izlanayotgan soni
126 3 2 1 ! 3 3 P](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_12.png)
![Joylahtirish
Joylashtirish - bu m elementlarning n tarkibidagi yoki ularning
tartibida farq qiladigan turli xil elementlarning birikmasi.
13)1 )...( 2 )(1 (
)! (
!
m n n n n
m n
n
Am
n](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_13.png)
![2-masala
2 tadan olingan har xil rangdagi 6 ta bayroqdan nechta
signalni olish mumkin?
Qaror. izlanayotgan signallar soni
1430 5 6
2
6 A](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_14.png)
![Kombinatsiya
Kombinatsiya - bu kamida har xil element bilan farq qiladigan m
elementdan iborat bo'lgan n xil elementlardan tashkil topgan birikma.
15)!(! !
mnm n
Cm
n
](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_15.png)
![3 -masala
10 qismdan iborat qutidan ikkita qismni necha usul bilan
tanlash mumkin?
Qaror.Izlanayotgan signallar soni
1645
! 8 ! 2
! 10 2
10
C](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_16.png)
![Kombinatorikaning
asosiy qoidalari
Yig'indi qoidasi. Agar biron bir A ob'ekti ob'ektlar to'plamidan m usulida, yana
bir B ob'ekti n usulida tanlanishi mumkin bo'lsa, u holda A yoki B yo m + n
usullar bilan tanlanishi mumkin.
Ko'paytirish qoidasi. Agar A ob'ekti to'plamidan m usul bilan tanlanishi
mumkin bo'lsa va har bir shunday tanlovdan so'ng B ob'ekti n usulida
tanlanishi mumkin bo'lsa, u holda (A, B) ko'rsatilgan juftlik moslamasi mn
usulida tanlanishi mumkin. .
17](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_17.png)
![4-masala
10 qismdan iborat partiyada 7 tasi standart hisoblanadi.
Tasodifiy olingan oltitadan 4 ta standart qism bo'lishi
ehtimolini toping.
Qaror. Sinov natijalarining umumiy soni yo'llar soniga
teng Число благоприятствующих событию
Izlanayotgan ehtimollik
186
10 C
2
3
4
7 C C
2
1
) ( 6
10
2
3
4
7
C
C C
A P](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_18.png)
![Ehtimollarni qo'shish teoremasi
19Teorema. Ikki qo'shma hodisadan birining paydo bo'lish ehtimoli,
bu ularning sodir bo'lish ehtimolini hisobga olmagan holda, ushbu
hodisalar ehtimoli yig'indisiga teng bo'lishining ahamiyati yo'q:) ( ) ( ) ( ) ( AB P B P A P B A P ](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_19.png)
![Teorema. Ikki mos kelmaydigan hodisadan birining paydo bo'lish
ehtimoli, bu qaysi hodisalar ehtimoli yig'indisiga teng bo'lishi muhim
emas:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Natija. Bir-biriga mos kelmaydigan bir nechta hodisalardan birining
ehtimoli, nima bo'lishidan qat'i nazar, ushbu hodisalar ehtimoli
yig'indisiga teng:
Р (А
1 + А
2 + ... + А
n ) = Р (А
1 ) + Р (А
2 ) +...+Р (А
n )
20](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_20.png)
![5-masala
Tasodifiy olingan ikki xonali sonning bir vaqtning o'zida
2 yoki 5 ga, ikkalasiga ko'paytma bo'lib chiqishi
ehtimolini toping.
Yechish. A tasodifiy olingan ikki xonali son 2 ga
ko'paytirilsin, B 5 ga ko'p bo'lsin. A va B qo'shma
hodisalar.Ikki xonali sonlar 10, 11 ,. ... ... , 98, 99. (Jami
90 ta). Shubhasiz, ulardan 45 tasi 2-ning ko'paytmasi (A
hodisasi), 18 tasi 5-ning ko'paytmasi (V hodisasi) va
nihoyat, 9 ikkala va 5-ning bir vaqtning o'zida
ko'paytmalari (A va B hodisalari).
Ehtimollikning klassik ta'rifiga ko'ra:
Р(А) = 45/90= 0,5; Р(В) = 18/90 = 0,2; Р(АВ) = 9/90
Р(А + В) = 0,5 + 0,2 - 0,1 = 0,6.
21](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_21.png)
![Ehtimollar ko'paytmasi teoremasi
Teorema. Ikki hodisaning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli, birinchi
hodisa allaqachon sodir bo'lgan deb taxmin qilingan holda, ulardan
birining ikkinchisining shartli ehtimoli bilan ko'paytmasiga teng:
Р(АВ) = Р(А)Р
A (В).
Mustaqil hodisalar uchun ko'paytirish teoremasi
quyidagiga ega
Р (АВ) = Р (А) Р ( В ).
22](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_22.png)
![1-masala
Yig'uvchida 3 ta konusning va 7 ta elliptik roliklar mavjud. Yig'uvchi
bittag'altakni, keyin boshqasini oldi. Olingan g'altaklarning birinchisi
konus, ikkinchisi esa elliptik bo'lishi ehtimolini toping.
Yechish . Birinchi g'altakning konus shaklida bo'lish ehtimoli (voqea
A), P (A) = 3/10.Ikkinchi g'altak elliptik (B hodisasi) bo'lish ehtimoli,
birinchi g'altak konusning ekanligi, ya'ni PA (B) = 7/9 shartli ehtimoli
asosida hisoblanadi.Ko'paytirish teoremasi bo'yicha istalgan
ehtimollik
Р (АВ) = Р (А) Р
А (В) = (3/10) • (7/9) = 7/30.
E'tibor bering, yozuvni saqlab, biz osongina topamiz :
Р (В) =7/10, Р
В (А) =3/9, Р (В)Р
В (А) = 7/30
bu tenglikning haqiqiyligini aniq ko'rsatib beradi
Р (А) Р
А (В) = Р (В) Р
В (А). 23](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_23.png)
![Bernulli formulasi
Vazifa. N ta sinov bilan A hodisasi to'liq k marta sodir bo'lishi va n - k
marta sodir bo'lmasligi ehtimolini hisoblang.
Bernulli formulasi
va
24!
( ) .
! ( )!
k n k
n
n
P k p q
k n k
](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_24.png)
![2-masala
Bir kun davomida energiya sarfi belgilangan stavkadan oshmasligi
ehtimoli P = 0,75 ga teng. Keyingi 6 kun ichida 4 kun ichida elektr
energiyasi iste'moli me'yordan oshmasligi ehtimolini toping.
Yechish. Oddiy elektr energiyasini iste'mol qilish ehtimoli doimiy va
P = 0,75 ga teng.Binobarin, haddan oshish ehtimoli ham doimiy va
q = 1-P = 0,25 ga teng.
Bernulli formulasi bo'yicha istalgan ehtimollik quyidagicha
254 4 2 4 2
6 66
P 4 C p q 0 75 0 25 0 099
4 6 4
!
( ) , , , .
! ( )!
](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_25.png)
![Tasodifiy qiymat
Tasodifiy
o’lchov ( To’ ) Tajriba natijasida ma'lum bir qiymatni qabul
qilishi mumkin bo'lgan miqdor va tajriba
oxirigacha qaysi qiymatga ega ekanligi
ma'lum emas.
26](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_26.png)
![Diskret tasodifiy miqdor
Diskret
tasodifiy
miqdori
( DTM ) •
ma'lum ehtimolliklar bilan alohida, ajratilgan
qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lgan
tasodifiy o'zgaruvchi
27](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_27.png)
![Tarqatish qonuni
Tarqatish
qonuni •
tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari va uning
yuzaga kelish ehtimoli o'rtasidagi moslikni
o'rnatadigan har qanday qoida.
28](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_28.png)
![DTM tarqatish qatori
Tarqatish
qatori •
ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va
ularga mos keladigan ehtimolliklar to'plami
Tarqatish
ko'pburchagi •
Tarqatish qatorining grafik tasviri
29x
1 x
2 ... x
n
p
1 p
2 ... p
n1 ...
21 n p p p
) ( ii x X P p ](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_29.png)
![Ehtimollikni tarqatish
funktsiyasi
Tarqatish
funksiyasi funktsiyasi F (x), uning qiymati x nuqtada
tasodifiy o'zgaruvchining X ning bu qiymatdan
kichik bo'lish ehtimolligiga teng, ya'ni
F (x)=P{X<x}
30
x x
i
i
p x F ) (0 1.67 3.33 5 6.67 8.33 1000.20.40.60.8 11.2
F1 x( )
x0 2 4 6 800.20.4
y
T
x
T](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_30.png)
![3-masala
10 ta nuqsonli buyumlar bo'lgan 100 ta buyumlar to'plamidan ularning sifatini
tekshirish uchun tasodifiy beshta narsa tanlanadi. Namuna tarkibidagi nuqsonli
mahsulotlarning tasodifiy X sonini bir qator taqsimotini tuzing.
Yechish. Namunadagi nuqsonli mahsulotlar soni 0 dan 5 gacha bo'lgan har
qanday tamsayı bo'lishi mumkinligi sababli, X tasodifiy o'zgaruvchining
mumkin bo'lgan xi qiymatlari:
.
Namunada aniq k (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) nuqsonli mahsulotlar bo'lishi ehtimoli P
(X = k)
Tekshirish uchun tenglikdan foydalanib, biz hisob-kitoblar va
yaxlitlash to'g'ri bajarilganligiga ishonch hosil qilamiz (jadvalga qarang).
31,0 1 x ,1 2 x ,23 x ,3 4 x ,4 5 x
5
6 x
5
100 5
9010
)(
C CC
kXP kk
1
6
1
k
k p
x
i
0 1 2 3 4 5
p
i .
0,583 0,3401 0,070 0,007 0 0](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_31.png)
![Doimiy tasodifiy o'zgaruvchi
Непрерывная
случайная
величина
(НСВ) •
Случайная величина, возможные
значения которой непрерывно
заполняют некоторые конечные или
бесконечные промежутки
32
X
dx x f x F ) ( ) (](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_32.png)
![Плотность распределения НСВ
Плотность
распределения
(или плотность
вероятности) производная функции распределения F(x)
случайной величины, обозначаемая f(x) .
Кривая
распределени
я •
График плотности распределения
33](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_33.png)
![Интегральный и
дифференциальный законы
распределения
dx xdF
x xFxxF
x xxXxP
xf
xx )()()()(
)(
limlim
00
X
dx x f x F ) ( ) ( Функция распределения
Плотность распределения
34](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_34.png)
![Свойства функции распределения
F(- ) = 0∞
F( x
min ) = 0 F(+ ) = 1 ∞
F( x
max ) = 1
F(x1)
≤
F(x2), при
x1 < x2 P(a X < b) ≤
=
= F(b) - F(a)
35](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_35.png)
![Свойства плотности
распределения
Плотность
распределения
неотрицательна:
f(x) 0≥ . Условие
нормировки:
36 1 ) (
dx x f](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_36.png)
![37Случайные величины
Дискретная СВ Непрерывная СВ
Ряд
распределения Функция
распределения Плотность
распределенияЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_37.png)
![Числовые характеристики
СВ
Математическ
ое ожидание •
среднее значение случайной величины
38
.
,
НСВ для dx x f x
ДСВ для x X P x
x M m
i
i
i
x](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_38.png)
![Мода и медиана
Мода
(Mx, Mo) •
наиболее вероятное значение СВ, т.е. то
значение, для которого вероятность p
i (для
дискретной СВ) или f(x) (для непрерывных СВ)
достигает максимума.
Медиана
( M e ) •
значение СВ, для которого выполняется
условие P ( X<Me ) = P ( X Me≥ )
39](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_39.png)
![Начальный и центральный
моменты СВ
математическое ожидание s-й степени этой
случайной величины: α
s = M[X s
]. Начальный момент s-го порядка
•
отклонение СВ от математического ожидания:Центрированная СВ
•
момент центрированной случайной величины Центральный момент
•
математическое ожидание s-й степени
центрированной случайной величины: Центральный момент порядка s
40x m X X
0,
s
x
s
s m X M X M
0
](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_40.png)
![Коэффициент асимметрии (или
скошенности)
Коэффицинет эксцесса (или
островершинности)2. Числовые характеристики
случайной величины
413
3
A
3 4
4
E](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_41.png)
![Дисперсия
Дисперсия математическое ожидание квадрата
соответствующей центрированной случайной
величины. Характеризует разброс СВ
относительно среднего значения (мат.
ожидания)
42
. ) (
, ) ( 222 222
НСВ для m dx x f x dx x f m x
ДСВ для m x X P x x X P m x
x D
xx xi
i ii
i xi
2 2
x m X M X D
Вычислить дисперсию можно:](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_42.png)
![Среднее квадратическое
отклонение
Среднее
квадратическ
ое
отклонение
(СКО) •
Характеристика
•
характеризует ширину диапазона
значений СВ.
Правило 3σ •
[ m - 3σ; m + 3σ ]
43 X D X x ](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_43.png)
![-masala 1
Из партии численностью 25 изделий, среди которых имеется
шесть нестандартных, случайным образом выбраны три
изделия. Найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение нестандартных изделий,
содержащихся в выборке.
Решение. По условию задачи CB X принимает следующие
значения: x1=0; x2=1; x3=2; x4=3. Вероятность того, что в этой
выборке окажется ровно i (i = 0, 1, 2, 3) нестандартных изделий,
вычисляется по формуле
44 ,25 3
196
i ii
ii
C
C C
x X P p
x
i 1 2 3 4
p
i . 0, 41 0, 43 0, 11 0,0 05](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_44.png)
![Математическое ожидание
Дисперсия
СКО
452 2
(M[X]) - ] M[X = D[X]
, 0,8 = 0,05 3 + 0,11 2 + 0,43 1 + 0,41 0
x = M[X] i
i p
1,32 = 0,05 3 + 0,11 2 + 0,43 1 + 0,41 0
x = ] M[X
2 2
2
i
2
i p
0,68. (0,8) - 1,32 = D[X]
2
82,0 X D X ](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_45.png)
![
Зак оны распределения ди ск ретны х слу чайны х велич ин
Зак оны распределения непреры вны х слу чайны х величи н Некоторые частные законы
распределения СВ
46](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_46.png)
![Биномиальное
распределение
47где 0 < p < 1, q = 1 – p , k = 0, 1, …, n ,
,
Основные
характеристики :
k n k k
n k q p C k P p
) (
np X M ) (
npq X D ) (
npq
p q
A
npq
pq
E
6 1
,
,
,
.](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_47.png)
![Геометрическое
распределение
где 0 < p < 1, q = 1 – p , k = 0, 1, …, n ,
Функция вероятности Функция распределения
Основные характеристики
48q p k P p
k
k ) (
p
p
X M
1
) (2 ) (
p
q
X D
pp
A
12
p
p
E
1
6
2
.](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_48.png)
![Пуассоновское
распределение
где k = 0, 1, 2, …,
λ > 0 – параметр пуассоновского распределения.
Функция вероятности Функция распределения
Основные характеристики
49,
!
) (
e
k
k P pk
k
) (X M ) (X D 21
A
1 E ,
,
,
.](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_49.png)
![Законы распределения непрерывных
случайных величин
50](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_50.png)
![Равномерное распределение
Функция вероятности Функция распределения
Основные характеристики:
51
b a x
a b
b a x
x p
, ,
1
, ,0
) (
bx bxa
ab ax ax
xF
1 ,0
)(
2
) (
b a
X M
12
) (
2 a b
X D
0 A
5
6
E,
,
,
.](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_51.png)
![Экспоненциальное
(показательное) распределение
Функция вероятности Функция распределения
Основные характеристики:
Основные характеристики:
52
0, 0,0
)(
xe x
xp
x
0,1 0,0
)(
xe x
xF
x
1 ) ( X M
2
)(
XD 2 A 6 E ,
,
,](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_52.png)
![Нормальное распределение
Функция вероятности Функция распределения
Основные характеристики :
53
2
2
2
exp
2
1 ) (
x x p
) (X M 2 ) ( X D 0 E,
,
,
.](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_53.png)
![Распределение Стьюдента
Функция вероятности Функция распределения
Основные характеристики :
Основные характеристики :
54R x
n
x
n Г
n Г
n
x n p
n
, 1
2
2
1
1 ) (
2
1 2
1,0)( nеслиXM
2 ,
2
) (
n если
n
n X D 3,0 nеслиA ,
,
,
. 4 ,
4
6
n если
n
E](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_54.png)
![Математическая
статистика •
раздел математики, посвященный
математическим методам сбора,
систематизации, обработки и
интерпретации статистических данных, а
также использование их для научных или
практических выводов.
55Математическая статистика](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_55.png)
![
Первая задача — указать способы сбора и
группировки статистических сведений.
(описательная статистика)
Вторая задача — разработать методы
анализа статистических данных:
◦
а) оценка неизвестных параметров
распределения (теорию оценивания)
◦ б) проверка статистических гипотез о виде
неизвестного распределения или о величине
параметров распределения, вид которого
известен (теория проверки гипотез). Задачи математической
статистики
56](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_56.png)
![К ачественн ый
признак
•
стандартност
ь детали К оличественн
ый признак
контролируем
ый размер
детали
57](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_57.png)
![Выборочная
совокупность
(выборка) •
совокупность случайно отобранных объектов.
Генеральная
совокупность •
совокупность объектов, из которых производится
выборка.
Объем
совокупности
(выборочной или
генеральной) •
число объектов этой совокупности.
58Выборочная и генеральная
совокупности](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_58.png)
![Повторная
выборка •
выборка , при которой отобранный объект
возвращается в генеральную совокупность
Бесповторная
выборка •
выборка, при которой отобранный объект в
генеральную совокупность не возвращаетсяПовторная и бесповторная
выборки
59](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_59.png)
![Достаточный объем выборки
Репрезентативность
(представительность)
Репрезентативна
я выборка
(представительна
я) •
Выборка, которая правильно представляет
генеральную совокупность
60](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_60.png)
![•
отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей
генеральной совокупности. Простой случайный отбор
•
отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной
совокупности, а из каждой ее «типической» части.Типический отбор
•
отбор, при котором генераль ную совокупность «механически»
делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку,
а из каждой группы отбирают один объект. Механический отбор
•
отбор, при котором объекты отбираются из генеральной
совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются
сплошному обследованию. Серийный отбор Способы отбора
61](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_61.png)
![•
наблюдаемые значения х
iВарианта
•
число наблюдений варианты.Частота, n
i
•
отношения частоты к объему выборки W
i = n
i /n Относительная частота
•
последовательность вариант, записанных в возрастающем
порядкеВариационный ряд
•
перечень вариант и соответствующих им частот или
относительных частотСтатистическое распределение выборки
62Статистическое распределение
выборки
x
i x
1 x
2 … x
l
n
i n
1 n
2 … n
l
W
i W
1 W
2 … W
l](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_62.png)
![Дискретный вариационный
ряд 1
l
i
i
n n
1
1.
l
i
i
W
;
Возрас
т, лет 20 24 29 30 32 39 42 50 51 54 55 58 59 60
Чи сло
сотруд -
ни к ов 3 2 1 1 3 1 8 6 1 3 2 3 4 1Данные о количестве работников
определенного возраста
63](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_63.png)
![Интервальный вариационный
ряд
1. x
min и x
max
2. Формула Стэрджеса:
3. Интервальный вариационный рядl 1 3 322 n , lg .
min
max min
( 1) ,
,
ia x i h
x x
h
l
№ интервала Границы
i - го интервала Абсолютные
частоты Относительные
частоты
1
1 2a a
1n 1W
2
2 3a a 2n
2 W
… … … …
l
1 l la a ln
l W
64](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_64.png)
![Эмпирическая функция
распределения
Эмпирическая
функция
распределения
(функция
распределения
выборки) •
функция F*(x) , определяющую для каждого значения х
относительную частоту события X < x .
Теоретическая
функция
распределения
F(x) •
функцию распределения генеральной совокупности*( ) , xn
F x
n
1 ) ( * ) ( lim
x F x F P
n
65](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_65.png)
![Значения эмпирической функции принадлежат
отрезку [0,1]
F*(x) – неубывающая функция
Если х
1 – наименьшая варианта, то F*(x) =0 при x< х
1 ;
если x
k –наибольшая варианта, то F*(x) = 1 при x> x
k .Свойства эмпирической функции
распределения
66](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_66.png)
![Полигон
частот •
ломаная, отрезки соединяют точки ( х
1 ; n
1 ), ( х
2 ; n
2 ), ..., (x
k ;
n
k ).
Полигон
относительны
х частот •
ломаная, отрезки которой соединяют точки ( х
1 ; W
1 ), ( х
2 ;
W
2 ), ..., (x
k ; W
k ).
67Полигон и гистограмма](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_67.png)
![•
ступенчатая фигура, состоящую из прямоугольников,
основаниями которых служат частичные интервалы
длиною h, а высоты равны отношению n
i /h (плотность
частоты) или W
i /h (плотность относительной частоты).Гистограмма частот (относительных
частот) -
№ интервала Границы
i - го интервала Абсолютные
частоты Относительные
частоты
1 1 2a a
1n 1W
2
2 3a a 2n
2W
… … … …
l
1 l la a ln
lW
68](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_68.png)
![Площадь i-гo частичного прямоугольника равна h n
i /h = n
i
– сумме частот вариант i -го интервала.
площадь гистограммы частот равна сумме всех частот,
т. е. объему выборки .
69Площадь гистограммы](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_69.png)
![Площадь i-го частичного прямоугольника равна hW
i /h = W
i –
относительной частоте вариант, попавших в i -й интервал.
Площадь гистограммы относительных частот равна сумме
всех относительных частот, т. е. единице. Площадь гистограммы
относительных частот
70](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_70.png)
![Когда ширина всех интервалов группировки
одинакова, вид гистограммы не изменится,
если по оси ординат откладывать не величины
n
i /h , а частоты интервалов n
i ( относительные
частоты интервалов W
i )
71](/data/documents/95b24a54-1061-4240-98da-e43f81249ce2/page_71.png)
Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika
Ehtimollar nazariyasidan kerakli ma'lumotlar Ehtimollar nazariyasi - bu ba'zi tasodifiy hodisalar ehtimolligiga asoslanib, bir-biriga qandaydir tarzda bog'liq bo'lgan boshqa tasodifiy hodisalarning ehtimolliklarini topishga imkon beradigan matematik fan. 2
Boshlang'ich hodisalar va ehtimollik Eksperiment natijasi har qanday o'tkazilgan tajriba (eksperiment) natijasidir. Hodisa - muayyan talablarga javob beradigan natija yoki natijalar guruhi. 3
Hodisa Ishonchli hodisa - har doim ko'rib chiqilayotgan tajribada yuz beradigan voqea .Mumkin bo'lmagan hodisa - bu ko'rib chiqilayotgan tajribada hech qachon sodir bo'lmaydigan voqea. Tasodifiy hodisa - bu tajribani takrorlash paytida sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan hodisa. 4
Hodisa ehtimoli Hodisaning ehtimolligi bu hodisaning ob'ektiv imkoniyati darajasining sonli o'lchovidir. 0 ≤ P(A) ≤ 1 Voqealarning to'liq guruhi bir nechta mumkin bo'lgan hodisalar bo'lib, ulardan biri tajriba natijasida yuzaga kelishi shart. 5