Yig'indining kvadrati

Загружено в:

10.08.2023

Скачано:

0

Размер:

1353.6201171875 KB

Скачать


O`rta Osiyo xalqlari madaniyatini o`rta asrlarda
dunyo madaniyatining oldingi qatorga olib
chiqqan buyuk mutafakkirlardan biri Abu Ali
Husayn Ibn Sinoning matematikaga oid ishlarida
sonlarni kvadrat va kubga ko`tarish amallari
o`rganilgan.

Ibn Sino 980-yilda Buxoro yaqinidagi Afshona
qishlog`ida dunyoga keldi. U 18 yoshga yetganda
faqat Buxoroga emas balki butun Sharqqa
mashhur olim va tabib sifatida tanildi. Uning “Ash-
shifo” , “Hajot” kitobi, “Donishnoma” asarlarida
matematikaga oid fikrlari bayon qilingan .


Ibn Sino sonlar kvadratni 9 raqami bilan Hind
hisobi usulida tekshirish masalasini bir nechta
qoidalar bilan ifodalaydi. Masalan: agar son 9 ga
bo`linib, qoldiqda 1 yoki 8 qolsa, u holda bunday
sonlarning kvadrati 9ga bo`linib qoldiqda 1 qoladi.
Berilgan sonlar M va N bo`lsin . qoidaga ko`ra M=9
n + 1 ; M 2
=(9 n +1) 2
=81 n 2
+18 n +1=9(9 n 2
+2 n )+1 ifoda
9ga bo`inadi, qoldiq 1. N=9 k +8 ;
N 2
=(9 k +8) 2
=81 k 2
+72 k +64=81 k 2
+72+63+1=9(9 k 2
+8 k +7
)+1 ;


Biz 2 ta son yig`indisining kvadratini
(a+b) 2
ni ko`phadni ko`phadga ko`paytirish
qidasidan foydalanib , hosil qilamiz.

(a+b) 2
= (a+b)(a+b)= a 2
+ab+ab+b 2
ya`ni
(a+b) 2
= a 2
+2ab+b 2

Ik k i son y ig` indisining k v adrat i birinchi
son k v adrat i, qo` shuv birinchi son bilan
ik k inchi son k o` pay t masining
ik k ilangani qo` shuv ik k inchi son
k v adrat iga t eng .


Yig`indining kvadrati geometrik usul bilan keltirib
chiqaramiz.

(a+b) 2
= a 2
+2ab+b 2
formulani quyidagi rasmda
tasvirlangan kvadratning yuzini ko`zdan kechirib,
osongina hosil qilish mumkin, bu kvadratning
tomoni a+b ga teng demak uning yuzi (a+b) 2
ga
teng. Ikkinchi tomondan , rasmdagi kvadratning
yon tomoni a ga teng bo`lgan kvadratning yuzi
a 2
, tomoni b bo`lgan kvadratning yuzi b 2
, va
tomonlari a va b ga teng bo`lgan 2ta to`gri
to`rtburchaklar yuzlari ab larning yig`indisiga
teng.


(a+b) 2
= a 2
+2ab+b 2
formulani qo`llashga doir misollar:

1.(2m+3k) 2
=(2m) 2
+2 .
2m .
3k+(3k) 2
=4m 2
+12mk+9k 2

2.(-a-3b) 2
= ((-1) .
(a+3b)) 2
=(-1) 2.
(a+3b) 2
= (a+3b) 2
=
a 2
+2a .
3b+(3b) 2
=a 2
+6ab+9b 2


Zaruriy hisoblashlarni og`zaki bajarib, oraliq natijalarni yozmaslik
mumkin, masalan, birdaniga bunday yozish mumkin.

(5a 2
+7b 2
) 2
=25a 4
+70a 2
b 2
+49b 2
.

Ya`ni

Yig`indi yoki ayirmaning kvadrati
formulalari qisqa ko`paytirish formulalari
deyiladi va ba`zi hollarda hisoblashlarni
soddalashtirish uchun qo`llaniladi.
Masalan:
1)52 2
=(50+2) 2
=2500 +200+4=2704
2)73 2
=(70+3) 2
=
70 2
+2 .
70 .
3+3 2
=4900+420+9=5329


1.Formula.(1+a) 2
ifodaning qiy mat larini
t aqribiy hisoblashlarda ham qo` llaniladi,
a son musbat y ok i manfi y son bo` lib,
uning moduli 1 ga nisbat an k ichik bo` lsa
(masalan a=0,0032 y ok i a= - 0,0021) u
holda a 2
son y anada k ichik bo` ladi v a
shu sababli (1+a) 2
=1+2a+a 2
.


Tenglikni (1+a) 2
=1+a taqribiy tenglik bilan
almashtirish mumkin.

Masalan:

(1,002) 2
(1+0,002) 2
=1+2 .
0,002=1,004 ;

1,001 2
= (1+0,001) 2
~1+2 .
0,001=1+0,002=1,002

Yig`indining kvadrati va ayirmaning
kvadrati formulalari ko`phadni
ko`paytuvchilarga ajratishda ham
qo`llaniladi .

masalan:

x 2
+6x+9= x 2
+2 .
3x +- 3 2
= (x+3 2
)

x 2
+10x+25=x 2
+2 .
5x + 5 2
= (x+5 2
)

I V. DA RSNI MUSTA HKA MLA SH: ( 10-MI NUT)

Quyidagi “ Tushunchalar t ahlili” uslubi dan
foydalanamiz. O`quvchilarga tarqatma
materiallar beriladi.

Tushunchalar Mazmuni
1 - guruh
“ Ash shifo”, “Najot”, “Donishnoma” Ibn Sinoning matematikaga oid asarlari
(a+b) 2
=a 2
+2ab+b 2
Yig’indining kvadrati yoki ikki son yig’indisining kvadrati
2 - guruh
Qisqa ko`paytirish formulasi (a+b) 2
=a 2
+2ab+b 2
(a-b) 2
= a 2
-2ab+b 2
1-rasmdagi a 2
. Kvadratning yuzi
3 - guruh
1-rasmdagi a .
b To’g’ri to’rtburchakning yuzi
(a+b)
(a+b) Ko’phadni ko’phadga ko’paytirish


O’quvchilar quyidagi misollarni doskada bajaradilar

1-guruh

Ikkihadning kvadratini ko'phad shaklida tasvirlang:

1) (– 8p 3
+ 5p 2
) 2
.

(– 8p 3
+ 5p 2
) 2
= (– 8p 3
) 2
– 2 · 8

p 3
· 5p 2
+ (5p 2
) 2
= 64p 6
–80p 5
+25p 4
.

2) (6xy + 0,5y 2
) 2
.

(6xy + 0,5y 2
) 2
= (6xy) 2
+2 · 6xy · 0,5y 2
+(0,5y 2
) 2
= 36x 2
y 2
+6xy 3
+0,25y 4
.

Qisqa ko'paytirish formulalaridan foydalanib,
amallarni bajaring:

2-guruh

(400 + 1) 2
= 400 2
+ 2 · 400 · 1 + 1 2
= 160000 +
800 + 1 = 160801 .

9999 2
= (10000 – 1) 2
= 10000 2
– 2 · 10000 · 1 + 1 2

== 100000000 – 20000 + 1 = 99980001 .

898 2
= (900 – 2) 2
= 900 2
– 2 · 900 · 2 + 2 2
=
810000 – 3600 + 4 == 806404 .

10003 2
= (10000 + 3) 2
= 10000 2
+ 2 · 10000 · 3 +
3 2
== 100000000 + 60000 + 9 = 100060009 .

Ifodani soddalashtiring :

3-guruh

(x + y) 2
– (x – y ) 2
= (x 2
+ 2xy + y 2
) – (x 2
– 2xy + y 2
) =

= x 2
+ 2xy + y 2
– x 2
+ 2xy – y 2
= (x 2
– x 2
) + (2xy +
2xy) + (y 2
– y 2
) = 4xy .

(3a – 2b) 2
+ (3a + 2b) 2
.

(3a – 2b) 2
+ (3a + 2b) 2
=

= (3a) 2
– 2 · 3a · 2b + (2b) 2
+ (3a) 2
+ 2 · 3a · 2b +
(2b) 2
=

= ((3a) 2
+ (3a) 2
) – (2 · 3a · 2b – 2 · 3a · 2b) + ((2b) 2
+
(2b) 2
) =

= 2 · (3a) 2
+ 2 · (2b) 2
= 2 · 9a 2
+ 2 · 4b 2
= 18a 2
+ 8b 2
.


V. Darsni yakunlash va baholash.(3-minut)

Dars yakunida guruhlarning ballari
yig`ilib, g`olib guruh rag`batlantiriladi.
Guruhlarda aktiv ishtirok etgan o`quvchilar
bahosi jurnalga va o`quvchilar kundaliklariga
qo`yiladi . Guruhlarni rag`batlantirish uchun
orqasiga ruhlantiruvchi jumlalar yozilgan so’zlar
masalan: “Sizlar zukkosizlar”, “Sizlar bilimdon”,
“Sizlar chaqqonsizlar” kartochkalari beriladi.

Har bir o`quvchini nazardan chetda
qoldirmasdan adolat bilan baho qo`yib boraman.



VI. Uy ga v azifa berish.(2-
minut )

1) 367-368- misollarni yechib
kelish.

2) “BBB” usulidagi jadvalni to’ldirib
kelish.
В В В

MAVZU: YIG`INDINING KVADRATI

 O`rta Osiyo xalqlari madaniyatini o`rta asrlarda dunyo madaniyatining oldingi qatorga olib chiqqan buyuk mutafakkirlardan biri Abu Ali Husayn Ibn Sinoning matematikaga oid ishlarida sonlarni kvadrat va kubga ko`tarish amallari o`rganilgan.  Ibn Sino 980-yilda Buxoro yaqinidagi Afshona qishlog`ida dunyoga keldi. U 18 yoshga yetganda faqat Buxoroga emas balki butun Sharqqa mashhur olim va tabib sifatida tanildi. Uning “Ash- shifo” , “Hajot” kitobi, “Donishnoma” asarlarida matematikaga oid fikrlari bayon qilingan .

 Ibn Sino sonlar kvadratni 9 raqami bilan Hind hisobi usulida tekshirish masalasini bir nechta qoidalar bilan ifodalaydi. Masalan: agar son 9 ga bo`linib, qoldiqda 1 yoki 8 qolsa, u holda bunday sonlarning kvadrati 9ga bo`linib qoldiqda 1 qoladi. Berilgan sonlar M va N bo`lsin . qoidaga ko`ra M=9 n + 1 ; M 2 =(9 n +1) 2 =81 n 2 +18 n +1=9(9 n 2 +2 n )+1 ifoda 9ga bo`inadi, qoldiq 1. N=9 k +8 ; N 2 =(9 k +8) 2 =81 k 2 +72 k +64=81 k 2 +72+63+1=9(9 k 2 +8 k +7 )+1 ;

 Biz 2 ta son yig`indisining kvadratini (a+b) 2 ni ko`phadni ko`phadga ko`paytirish qidasidan foydalanib , hosil qilamiz.  (a+b) 2 = (a+b)(a+b)= a 2 +ab+ab+b 2 ya`ni (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2  Ik k i son y ig` indisining k v adrat i birinchi son k v adrat i, qo` shuv birinchi son bilan ik k inchi son k o` pay t masining ik k ilangani qo` shuv ik k inchi son k v adrat iga t eng .

 Yig`indining kvadrati geometrik usul bilan keltirib chiqaramiz.  (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 formulani quyidagi rasmda tasvirlangan kvadratning yuzini ko`zdan kechirib, osongina hosil qilish mumkin, bu kvadratning tomoni a+b ga teng demak uning yuzi (a+b) 2 ga teng. Ikkinchi tomondan , rasmdagi kvadratning yon tomoni a ga teng bo`lgan kvadratning yuzi a 2 , tomoni b bo`lgan kvadratning yuzi b 2 , va tomonlari a va b ga teng bo`lgan 2ta to`gri to`rtburchaklar yuzlari ab larning yig`indisiga teng.

Yig'indining kvadrati

10.08.2023

0

1353.6201171875 KB

Похожие