Mavzu: HODISALARNING O'Z TO'PLAMIDA BOG'LIQSIZLIGI VA JUFT-JUFTI BILAN BOG'LIQSIZLIGI ORASIDAGI MUNOSABAT BERNSHTEYN MISOLI Reja : Kirish 1. Shartli ehtimollik 2. Hodisalarning bog’liqsizligi 3. Shartli ehtimollik ustida misollar Xulosa Adabiyotlar 1

Shartli ehtimol. Hodisalarning bog`liqsizligi Agar hodisa ehtimolligini topishda kompleks shartlardan boshqa shartlar talab qilinmasa, bunday ehtimollikni shartsiz ehtimollik deyiladi Ko`pgina hollarda qandaydir tasodifiy hodisa ehtimolligini musbat ehtimolga ega bo`lgan boshqa bir B tasodifiy hodisasi ro`y berganlik shartida topishga to`g`ri keladi. Bunday ehtimollikka shartli ehtimollik deyiladi va P(A/B) kabi belgilanib, A ning B shartidagi ehtimolligi deb o`qiladi. Misol: O`yin soqqasi ikki marta tashlangan bo`lsin. B -tushgan ochkolar yig`indisi to`rtdan kichik bo`lish hodisasi, A esa birinchi tashlaganda bir tutish hodisasi bo`lsin. B hodisasi ro`y berganlik shartida A hodisasining ro`y berish ehtimolligi P(A/B) topilsin. Bu holga mos elementar hodisalar fazosi 36 ta elementdan iborat bo`ladi. ω={(i,j):i=1,6 ;j=1,6 } A va B hodisalar Ω ning qism to`plamlari: 2

A={(1,1 ),(1,2 ),(1,3 ),(1,4 ),(1,5 ),(1,6 )}; B={(1,1 ),(1,2 ),(2,1 )} A∩ B={(1,1 ),(1,2 )} . Shuning uchun ham ehtimollikning klassik ta`rifiga asosan P(A)= 6 36 =1 6 ; P(B)= 3 36 = 1 12 ; P(A∩ B)= 2 36 = 1 18 . B hodisasi ro`y berganda A hodisasi ro`y berishiga (1,1),(1,2) elementar hodisalar imkon tug`diradi , shuning uchun ham P(A/B)= 2 3= 2 36 3 36 = P(A∩ B) P(B) . Faraz qilaylik, elementar hodisalar fazosi Ω n ta bir xil imkoniyatli elementar hodisalardan tashkil topgan bo`lsin. Ulardan m tasi A hodisasiga, k tasi B hodisasiga, r tasi A∩ B hodisasiga imkon tug`dirsin, ( m≤n,k≤n,r≤m,r≤k ). Shuning uchun ham, P(B)= k n , P(A∩ B)= r n va P (A /B )= r k = r n k n = P (A∩ B ) P (B ) . Ta`rif: (Ω,F,P) -ehtimollik fazosi bo`lsin,  B( ) 0. 3

A hodisasining B hodisasi ro`y berganlik shartidagi shartli ehtimoli deb P(A/B)= P(A∩ B) P(B) (1) ga aytiladi. Ta`rifdan quyidagilar kelib chiqadi: 1) P(A/B)≥0 ; 2) P(Ω/B)=1 ; 3) P(B/B)=1 4) Agar {Ai} lar juft-jufti bilan birgalikda bo`lmagan tasodifiy hodisalar ketma-ketligi bo`lsin ( Ai∩ Aj= ∅ ,i≠ j ), u holda P(¿i=1 ∞ Ai/B)= P(¿i=1 ∞ Ai∩ B) P(B) = ∑ i=1 ∞ P(Ai∩ Bi) P(B) =∑ i=1 ∞ P(Ai∩ B) P(B) =∑ i=1 ∞ P(Ai/B) (1) dan P(A∩ B)= P(B) P(A/B) ga ega bo`lamiz . Xuddi shunday agar,  A( ) 0 bo`lsa, P(A∩ B)= P(A)P(B/A ) kelib chiqadi. Shunday qilib quyidagi teoremaga ega bo`lamiz: Teorema (ko`paytirish teoremasi) : Agar P(A)>0 , P(B)>0 bo`lsa P(A∩B)=P(B)P(A/B )=P(A)P(B/A ) (2) (2) ga ko`paytirish formulasi deyiladi. 4

A1,A2,...,An tasodifiy hodisalar uchun P(A1∩ A2∩ ...∩ An−1)>0 bo`lsa, P(intersect i=1 n Ai)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1∩ A2)...P(An/A1∩A2∩...∩An−1) bo`ladi. Ta`rif: P(A/B)=P(A) bo`lsa, A hodisasi B hodisasidan bog`liqmas deyiladi. Agar A hodisasi B hodisasidan bog`liq bo`lmasa, B hodisasi ham, A hoisasidan bog`liq bo`lmaydi. Haqiqatan ham, ko`paytirish teoremasiga asosan A hodisasi B hodisasidan bog`liqmas bo`lganligi uchun ko`paytirish teoremasiga asosan P(A∩ B)= P(A)P(B/A)=P(B)P(A) . Bundan P(B/A)=P(B) kelib chiqadi, ya`ni bog`liqmaslik o`zaro ekan. Agar A va B hodisalari bog`liqmas bo`lsalar, A va B , A va B , A va B hodisalar juftliklari ham bog`lanmagan bo`ladi. Masalan, A va B hodisalari bog`liqmaslikni ko`rsatamiz. P(A/B)+P(A/B)=1 5