IKKI O’LCHAMLI OLMOS PANJARADAGI SHREDINGER

Yuklangan vaqt:

20.11.2024

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

132.16015625 KB

Ko'chirib olish

IKKI O’LCHAMLI OLMOS PANJARADAGI
SHREDINGER
M U N D A R I J A
Kirish ……………………………………………………………………….
1. Helbert fazosida o`z-o`ziga qo`shma operatorlar nazaryasining asosiy
tushunchalari. Chiziqli operatorlarning spektri.
1.1 Hilbert fazolarida chiziqli chegaralangan operatorlar…………………….
1.2 Hilbert fazosida o`z-o`ziga qo`shma operatorlar va ularning xossalari…
1.3 Hilbert fazolarida aniqlangan operatorlarning spektri………………………
1.4 Unitar ekvivalent operatorlar………………………………………………
2. Olmos panjaradagi diskrit Shredinger operatorining spektri.
2.1 Olmos panjaradagi diskrit Shredinger operatorining koordinata va implus
ta`sviri……………………………………………………………………………….
2.2 Olmos panjaradagi diskret Shredinger operatorning muhim spektri……..
2.3 Xos qiymat va xos funksiya haqidagi teorema………………………………..
Xulosa ………………………………………………………………………..
Adabiyotlar ro`yxati …………………………………………………………

Kirish

BOB 1. Hilbert fazosida o`z-o`ziga qo`shma operatorlar
nazaryasining asosiy tushunchalari. Chiziqli operatorlarning
spektri .

Tayanch ma`lumotlar : Bu bobda Hilbert fazosida aniqlangan chiziqli
chegaralangan operatorlar ta’rifi va xossalari , Hilbert fazosida o‘ziga – o‘zi
qo‘shma operator tushunchsi , o‘z – o‘ziga qo‘shma operatorlarning xossalari,
Hilbert fazosida aniqlangan operatorlarning spektri o‘rganilgan va ularga
misollar qurilgan.
1.1 Hilbert fazolarida chiziqli chegaralangan operatorlar.
Bizga H 1 va H 2 Hilbert fazolari berilgan bo`lsin.
Ta`rif 1.1.1 . Agar
H 1 fazoning har bir elementiga H
2 fazoning yagona
elementi mos qo’yilgan bo’lsa, bu moslik operator deyiladi va
A:H 1⟶ H 2 yoki
y= Ax (x∈H 1y∈H 2)
kabi belgilanadi .
Umuman
A operator x∈H 1 ning hamma yerida aniqlangan bo`lishi shart
emas. Bu holda
Ax mavjud va Ax∈H 2 bo`lgan barcha x ∈ H
1 lar to`plami
A
operatorning aniqlanish sohasi deyiladi va D(A) bilan belgilanadi, ya`ni

D (A)={x∈H 1:Ax mavjud va Ax∈H 2 }
Biror x ∈ D ( A )
uchun
y= Ax bajariladigan y∈H 2 lar to`plami A operatorning
qiymatlar sohasi yoki tasviri deyiladi va
R(A) bilan belgilanadi.

R(A)={y∈H 2:∃x∈D (A),Ax = y}.
Misol uchun
A:l2⟶ l2,Ax =(x1,2x2,... ,nxn,...)
operatorning aniqlanish sohasi butun fazoga teng emas. Chunki bu operator

x
0 =( 1 , 1
2 , 1
3 , ... , 1
n , ... ) ∈ l
2
Vektorni A x
0 = ( 1,1,1 , ... , 1 , ... )
vektorga o’tkazadi va bu vektor
l2 fazoning elementi bo’lmaydi, ya’ni x0 bu
operatorning aniqlanish sohasiga teng emas.
Agar
H 1 va H 2 lar chiziqli fazolar bo’lib, istalgan x∈H 1 va λ∈C uchun
A(λx )= λAx
munosabat bajarilsa, A
operator bir jinsli deyiladi. Agar istalgan
x,y∈H 1
uchun A ( x + y ) = Ax + Ay
munosabat bajarilsa, u holda A operator additiv
deyiladi.
Ta'rif 1.1.2 Bir jinsli additiv operator chiziqli operator deyiladi.
Demak biror operatorni chiziqlilikka tekshirish uchun uni additivlik va
bir jinslilikka tekshirish lozim. Chiziqli operatorning ta’rifiga ekvivalent
quyidagi ta’rifni ham keltirib o’tish foydadan xoli bo’lmaydi:
Ta'rif 1.1.3. Agar ixtiyoriy
x,y∈H 1 va α,β∈C lar uchun
A(αx +βy )= αAx +βAy
Tenglik bajarilsa, u holda
A operator chiziqli deyiladi.
Lekin chiziqli operatorning aniqlanish sohasi chiziqli ko’pxillik bo’lishi
talab etiladi. Operatorning aniqlanish sohasi D ( A )
deb belgilanadi. R ( A )
deb esa
A
operatorning qiymatlar to’plamini belgilaymiz:
R(A)={y∈H 2:∃x∈D (A),Ax = y}.
Misol 1.1.1 A : l
2 ( Z d
) ⟶ l
2 ( Z d
) , ( Af ) ( x ) = v
( x ) f ( x )
operator chiziqli
operatordir. Bu operator
∥ Af ∥2= ∑x∈Zd ∨ v(x)f(x)¿2<∞

bo’ladigan f ∈ l
2 ( Z d
)
larda aniqlangan. Shuningdek, aniqlanish sohasi chiziqli
ko’pxillikdir, ya’ni agar f , g ∈ D ( A )
bo’lsa, kompleks sonning modulining
xossalariga asosan: ∥ A(αf +βg )∥2= ∑x∈Zd ∨ v(x)(αf (x)+βg (x))¿2=¿
¿
∑
x ∈ Z d ∨ αv ( x ) f ( x ) + βv ( x ) g ( x ) ¿ 2
≤
∑
x ∈ Z d ¿
≤ ∑x∈Zd 2(¿αv (x)f(x)¿2+¿βv (x)g(x)¿2)=2∥Af ∥2+2∥ Ag ∥2<∞ ,
ya’ni
αf +βg ∈D(A) . Shuningdek,
A ( αf + βg ) ( x ) = v ( x ) ( αf ( x ) + βg ( x ) ) = ¿
¿ αv ( x ) f ( x ) + βv ( x ) g ( x ) = α ( Af ) ( x ) + β ( Ag ) ( x ) ,
demak,
A−¿ chiziqli operator.
Misol 1.1.2. Xuddi shunday usul bilan
A:L2(Td)⟶ L2(Td),(Af )(x)=u(x)f(x)
Operatorning aniqlanish sohasi
D ( A ) =
{ f ∈ L
2 ( T d )
: ∥ Af ∥ 2
=
∫
T d ∨ u ( x ) f ( x ) ¿ 2
dx < ∞ }
ning chiziqli ko’pxillik ekanligi hamda A
operatorning chiziqli ekanligi isbot
qilinadi.
Misol 1.1.3. A : L
2
( T d )
⟶ L
2 ( T d )
, ( Af ) ( x ) =
∫
T d v ( x − y ) f ( y ) dy
integral
operatorni qaraymiz, bu yerda v ( ⋅ )
biror uzluksiz funksiya. Bu operatorning

aniqlanish sohasi D ( A ) = L
2 ( T d
)
. Chiziqli ekanligi esa integralning chiziqli
ekanligidan kelib chiqadi.
Chiziqli operatorlar uchun chegaralanganlik tushunchasi odatdagi
funksiyaning chegaralanganligi tushunchasidan biroz farq qiladi.
Faraz qilamiz,H 1,H 2 lar Hilbert fazolari bo’lsin.
Ta'rif 1.1.4. Agar A : H
1 ⟶ H
2 operator
H 1 dagi istalgan chegaralangan
to’plamni
H 2 dagi chegaralangan to’plamga o’tkazsa, u chegaralangan operator
deyiladi.
Demak chegaralanmagan operator biror chegaralangan to’plamni
chegaralanmagan to’plamga o’tkazadi. Chiziqli operatorlar uchun chegaralanganlik
ta’rifini quyidagicha ham berish mumkin:
Ta'rif 1.1.5. H
1 va H
2 Hilbert fazolari va A : H
1 ⟶ H
2 chiziqli operator
bo’lsin. Agar biror
M >0 son va istalgan x∈H 1 uchun
∥ Ax ∥H2≤M ∥ x∥H1
tengsizlik bajarilsa,
A chegaralangan operator deyiladi. Agar istalgan M soni
uchun shunday x
M ∈ H
1 element mavjud bo’lib, ∥ A x
M ∥
H
2 > M ∥ x
M ∥
H
1 munosabat
o’rinli bo’lsa,
A chegaralanmagan operator deyiladi.
Agar A
operator chegaralanmagan bo’lsa, uning normasi ∞
ga teng deb
qabul qilamiz.
Misol 1.1.4. A : C n
⟶ C n
, Az = ( z
1 , 2 z
2 , ... , n z
n )
operatorni qaraylik.
∥ Az ∥ 2
=
∑
k = 1n
∨ k z
k ¿ 2
≤ n 2
∑
k = 1n
∨ z
k ¿ 2
= n 2
∥ z ∥ 2

munosabatga asosan ∥ Az ∥≤n∥ z∥ . Demak, ta’rifga asosan A chegaralangan
operator.
Ta'rif 1.1.6.
H 1 va H 2 Hilbert fazolari va A:H 1⟶ H 2 chiziqli operator
bo’lsin. Istalgan x ∈ H
1 uchun
∥ Ax ∥H2≤M ∥ x∥H1 munosabat bajariluvchi M > 0
sonlarning aniq quyi chegarasi
A operatorning normasi deyiladi va u ∥ A∥ kabi
belgilanadi.
Amalda operatorning normasini topishda quyidagi teoremadan ko’proq
foydalaniladi.
Teorema 1.1.1.
A:H 1⟶ H 2 chiziqli operatorning normasi uchun quyidagi
tengliklar o’rinli:
1. ∥ A ∥ = ¿
x ≠ 0 ∥ Ax ∥
H
2
∥ x ∥
H
1 ;
2.
∥ A∥=¿∥ x∥H1<1∥ Ax ∥H2;
3.
∥ A∥=¿∥ x∥H1=1∥ Ax ∥H2.
Chiziqli chegaralangan operator xossalari:

10. Agar A:H 1⟶ H 2 va B : H
1 ⟶ H
2 chiziqli operatorlar chegaralangan
bo`lsa, u holda ularning yig`indisi
A+B operator ham chegaralangan va
‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖
bo`ladi.

20 . Agar A:H 1⟶ H 2 chiziqli operatorlar chegaralangan bo`lsa, u holda
∀ α∈C
uchun αA operator ham chegaralangan.

30. Agar A : H
1 ⟶ H
2 va B : H
1 ⟶ H
2 chiziqli operatorlar chegaralangan
bo`lsa, u holda
AB va BA operator ham chegaralangan va ‖AB ‖≤‖A‖‖B‖
bo`ladi.
Ta'rif 1.1.7. (Heine)
X va Y normalangan fazolar va A:X ⟶ Y chiziqli
operator bo’lsin. Agar
x0∈X elementga intiluvchi ixtiyoriy { x
n } ∈ X
ketma-ketlik
uchun
{Axn}∈Y ketma-ketlik Ax0∈Y elementga intilsa, A operator x0 nuqtada

$uzluksiz deyiladi. Agar A operator X fazoning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lsa u butun fazoda uzluksiz deyiladi. Ma`lumki uzluksiz funksiya chegaralangan bo’ladi. Chiziqli operatorlar uchun esa uzluksizlik va chegaralanganlik tushunchalari ekvivalent. Teorema 1.1.2. H 1 va H 2 Hilbert fazolari va A:H 1⟶ H 2 chiziqli operator bo’lsin. Quyidagi tasdiqlar ekvivalent: 1. Aoperator 0nuqtada uzluksiz ; 2. Aoperator butun X fazoda uzluksiz ; 3. A operator c h egaralangan . Misol 1.1.5. l 2 ( Z d ) fazoda quyidagi opratorni aniqlaymiz: A:l2(Zd)⟶ l2(Zd),(Af )(x)= ^ε(x)^f(x),x∈Zd,^f∈l2(Zd), bunda ^ ε ( x ) − Z d da aniqlangan biror funksiya. Ravshanki, A chiziqli operator. Bu operatorning aniqlanish sohasi D(A)={ ^f∈l2(Zd):∑ x∈Zd ∨ ^ε(x)^f(x)¿2<∞} to ’ plamdir . Quyidagi teorema o ’ rinli . Teorema 1.1.3. A operatorning aniqlanish sohasi butun l 2 ( Z d ) fazoga teng bo’lishi uchun ¿x∈Zd∨ ^ε(x)∨¿∞ bo’lishi zarur va yetarli. Misol 1.1.6. L2(Td) fazoda aniqlangan ko’paytirish operatorini qaraymiz: (Af )(x)=ε(x)f(x),f∈L2(Td),x∈Td, bunda ε(x)−Td da aniqlanga biror kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya. Ko’rinib turibdiki, A operator chiziqli. Uning aniqlanish sohasi$

D(A)={f∈L2(Td):∫
x∈Td ∨ ε(x)f(x)¿2dx <∞}. Quyidagi to’plamni kiritamiz:
X
n ( f ) = { x ∈ T d
: ∨ f ( x ) ∨ ¿ n } , f ∈ L
2 ( T d
) , n ∈ N .
Ta'rif 1.1.8. Agar biror n
natural son uchun μ ( X
n ( f ) ) = 0
bo’lsa,
f∈L2(Td)
funksiya muhim chegaralangan deyiladi, bu yerda μ ( M ) − M

to’plamning Lebeg o’lchovi.
Demak, muhim chegaralanmagan
f∈L2(Td) funksiya uchun barcha natural n
larda
μ(Xn(f))>0 shart bajariladi.
Teorema 1.1.4
A operatorning aniqlanish sohasi butun L
2 ( T d
)
fazoga
teng bo’lishi uchun
ε(x) funksiyaning muhim chegaralangan bo’lishi yetarli
va zarur.
Misol 1.1.7
L2(Td) fazoda aniqlangan quyidagi operatorni qaraymiz:
( Af ) ( t ) =
∫
T d K ( t , x ) f ( x ) dx , f ∈ L
2 ( T d
) ,
bunda K ( t , x )
funksiya
Td×Td da aniqlangan biror o’lchovli kvadrati bilan
integrallanuvchi funksiya. Integralning chiziqliligidan, bu operator chiziqli. Agar
∫
∫
T d ∨ K ( t , x ) ¿ 2
dtdx < ∞
bo’lsa, u chegaralangan operator bo’ladi (Fubini teoremasi). Bunday operator
integral operator deb ataladi.
K (t,x) funksiya esa uning yadrosi deyiladi.
Misol 1.1.8 l
2 ( Z d
)
fazoni
L2(Td) fazoga akislantiruvchi F Fourier
akislantirishini qaraymiz.

(F ^f)(x)= 1
¿¿Bunda
(x,s)=∑i=1
d
xisi . Bu operator chegaralangan.
Misol 1.1.9 Xuddi shunday,
L2(Td) fazoni l2(Zd) fazoga akislantiruvchi
teskari Fourier akislantirishi
F−1 operatorni qaraymiz:
(F−1f)(s)= 1
¿¿
Bunda ham
(s,x)=∑i=1
d
sixi . Bu operator ham chegaralangan.
1.2. Hilbert fazosida o`z-o`ziga qo`shma operatorlar va ularning
xossalari.
Ta'rif 1.2.1. H
Hilbert fazosida aniqlangan chegaralangan T
operator va
∀ x,y∈H
uchun
( Tx , y ) = ( x , T ¿
y )
Tenglikni qanoatlantiruvchi
T¿ operator T operatorning Hilbert qo’shmasi
deyiladi. Bundan buyon operatorning qo’shmasi deganda uning Hilbert qo’sh-
masini tushunamiz.
Agar T = T ¿
shart bajarilsa, T
operator o’z-o’ziga qo’shma operator deyiladi.
Lemma 1.2.1
A:H ⟶ H ,B:H ⟶ H operatorlar berilgan bo’lsin. Agar
barcha x , y ∈ H
lar uchun ( Ax , y ) = ( Bx , y )
tenglik bajarilsa, u holda A = B
bo’ladi.
Teorema 1.2.1 A
chiziqli operatorning qo’shmasi ham chiziqlidir.
Teorema 1.2.2
T:H ⟶ H operatorning qo’shmasi mavjud bo’lishi
uchun uning aniqlanish sohasi D ( T )
butun fazo H
da zich bo’lishi zarur va
yetarli. Agar bu shart bajarilsa,
T¿ operator quyidagicha aniqlanadi: y∈H

element T¿ ning aniqlanish sohasiga tegishli bo’lishi uchun shunday y¿∈H mavjud
bo’lib istalgan x ∈ D ( T )
uchun
( Tx , y ) = ( x , y ¿
)
Tenglik bajarilishi yetarli va zarur. Bu holda
T¿y= y¿ .
Misol 2.1. Yuqorida qaralgan ushbu operatorning qo’shmasini topamiz:
A : l
2 ( Z d
) ⟶ l
2 ( Z d
) , ( A
^ f ) ( n ) = ^ v ( n ) ^ f ( n ) ,
bunda
^v funksiya
Z d
da chegaralangan.
( A
^ f , ^ g ) =
∑
n ∈ Z d ( A ^ f ) ( n ) ^ g ( n ) =
∑
n ∈ Z d ^ v ( n ) ^ f ( n ) ^ g ( n ) = ¿
∑
n ∈ Z d
^ f ( n ) ^ v ( n ) ^ g ( n ) =
∑
n ∈ Z d ^ f ( n ) ( A ¿ ^
g ) ( n ) = ( ^ f , A ¿ ^
g )
munosabatlarga va oldingi teoremaga asosan
(A¿^f)(n)= ^v(n)^f(n) kabi aniqlanadi. ^v
chegaralangan funksiya ekanidan, D ( A ) = l
2 ( Z d
)
. U holda esa D ( A ¿
) = l
2 ( Z d
)
.
Ushbu misollardagi qo’shma operatorlarning aniqlanishi ham 1..1
teoremaga asoslanadi.
Misol 1.2.2
A:L2(Td)⟶ L2(Td),(Af )(x)=ε(x)f(x),f∈L2(Td) operatorni
qaraymiz , bunda
ε(x)∈L2(Td) chegaralangan funksiya. Bu operatorning
qo’shmasi
(A¿f)(x)= ε(x)f(x) .
Misol 1.2.3 A : L
2 ( T d
) ⟶ L
2 ( T d
) , ( Af ) ( x ) =
∫
T d K ( x , y ) f ( y ) , f ∈ L
2 ( T d
)
integral
operatorning qo’shmasi ham integral operator bo’ladi:
( A ¿
f ) ( x ) =
∫
T d K ( y , x ) f ( y ) ,
bu yerda
K (x,y) funksiya ¿ da aniqlangan biror chegaralangan uzluksiz funksiya.

1.3 Hilbert fazolarida aniqlangan operatorlarning spektri.
H
- Hilbert fazosi, A : H ⟶ H
biror chiziqli chegaralangan operator bo’lsin.
Ta'rif 1.3.1 Agar biror λ∈C uchun A− λI operator teskarilanuvchan bo’lsa,
u holda λ
soni A
operatorning regulyar nuqtasi , R
λ ( A ) = ¿
operator esa uning
rezolventasi deyiladi.
A
operatorning barcha regulyar nuqtalari to’plami ρ ( A )
deb belgilanadi.
σ ( A ) = C ¿ ( A )
to’plam
A operatorning spektri deb ataladi. Demak spektr nuqtalari
quyidagilardan iborat bo’lishi mumkin:
1. A − λI
operator umuman teskarilanuvchan emas. Demak ( A − λI ) x = 0
tenglama nolmas yechimga ega. Bu holda
λ soni A operatorning xos qiymati ,
nolmas x
esa xos vektori deyiladi.
2.
A− λI operatorning teskarisi mavjud, lekin chegaralanmagan. Bu holda
λ
soni A
operatorning uzluksiz spektriga tegishli deyiladi.
3.
A− λI operatorning teskarisi mavjud, chegaralangan, lekin ,A− λI ning
qiymatlar sohasi butun fazoga teng emas. Bu holda
λ soni qoldiq spektrga
tegishli deyiladi.
A
operatorning λ
xos qiymatiga mos keluvchi xos vektorlaridan hosil
qilingan fazoning o’lchami
λ xos qiymatning karraliligi deyiladi. Agar λ ning
karraliligi 1
ga teng bo’lsa, u oddiy xos qiymat , aks holda karrali xos
qiymat deb ataladi.
A operatorning chekli karrali xos qiymatlari to’plamini
diskrit spektr deb ataymiz va σ
disc ( A )
deb belgilaymiz. A
operatorning uzluksiz
spektrini
σcont (A) deb, qoldiq spektrini esa σres(A) deb belgilaymiz. Odatda
operatorning uzluksiz spektri va cheksiz karrali xos qiymatlari to’plami muhim
spektr deb ataladi va σ
ess
( A )
kabi belgilanadi. σ
ess ( A ) = σ ( A ) ¿
disc ( A )

Teorema 1.3.1 Ixtiyoriy chegaralangan A
operatorning spektri yopiq to’plam.
Lemma 1.3.1
A chegaralangan operator va ∥ A∥<1 bo’lsin. U holda I− λA
operator teskarilanuvchan.

Teoremaning isbotiga o’tamiz. Ixtiyoriy λ0∈ ρ(A) ni qaraymiz. U holda quyidagi
munosabat o’rinli:
A− λI = A− λ0I−(λ− λ0)I=(A− λ0)¿
Endi λ
ni shunday tanlash mumkinki,
¿ λ − λ
0 ∨ ∥ R
λ
0 ( A ) ∥ < 1.
U holda lemmaga asosan I − ( λ − λ
0 ) R
λ
0 ( A )
teskarilanuvchan.
λ0 ning
aniqlanishidan
A− λ0I teskarilanuvchan. U holda A− λI ham teskarilanuvchan
bo’ladi. Bu yerdan
λ0 o’zining biror atrofi bilan ρ ( A )
ga tegishli ekani, ya’ni
ning ochiq ekanini hosil qilamiz. Teorema isbotlandi.
Agar ¿ λ ∨ ¿ ∥ A ∥
bo’lsa,
∥λ−1A∥<1 bo’ladi. U holda A− λI =− λ(I− λ−1A)
ekanidan Lemmaga asosan − λ ( I − λ − 1
A )
va demak
A− λI teskarilanuvchan. Demak
bu holda λ ∈ ρ ( A )
. Shunday qilib chegaralangan A
operatorning spektri markazi
0
nuqtada bo’lgan
∥ A∥ radiusli doira ichida to’liq saqlanadi. Demak A
chegaralangan bo’lsa, ρ ( A )
chegaralanmagan.
Misol 1.3.1 Chekli o’lchamli fazolarda ixtiyoriy operator faqat diskrit
spektrga ega bo’ladi, ya’ni faqatgina xos qiymatlargagina ega.
Misol 1.3.2 A : l
2 ( Z d
) ⟶ l
2 ( Z d
) , ( Af ) ( n ) = v ( n ) f ( n ) , f ∈ l
2 ( Z d
)
operatorni qaraymiz,
bunda
v aynan nol bo’lmagan biror chegaralangan funksiya. M deb v ning
qiymatlari to’plamini belgilaymiz va
σ(A)= M bo’lishini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy
λ∈C¿M
ni qaraymiz. Bu to’plam ochiq va q = dist ( λ , M ) > 0
bo’ladi. Bu holda
∀ f∈l2(Zd)
uchun
∥ ( A − λI ) f ∥ 2
=
∑
x ∈ Z d ∨ v ( x ) − λ ¿ 2
∨ f ( x ) ¿ 2
≥ q 2
∑
x ∈ Z d ∨ f ( x ) ¿ 2
= q 2
∥ f ∥ 2
bo’lib, teoremaga asosan
A− λI teskarilanuvchan bo’ladi. Demak,

σ ( A ) ⊂ M
. Endi λ∈M bo’lsin. Af = λI tenglamani qaraymiz. Agar λ∈M
bo’lsa, u holda bu tenglama nolmas yechimga ega bo’ladi. Misol uchun, biror
x0∈Zd
uchun λ = v ( x
0 ) ni qarasak, u holda
f
x
0 ( x ) = ¿
funksiya bu tenglamaning yechimi bo’ladi. Bu yerdan
z ning xos qiymatligi va f
x
0
ning xos vektorligini topamiz. Demak λ ∈ σ ( A )
.
Endi
λ∈M ¿ bo’lsin. U holda A− λI operator teskarilanuvchan, ya’ni
Af = λf
tenglama yagona
0 yechimga ega va rezolventa
( R
λ ( A ) f ) ( x ) = f ( x )
v ( x ) − λ
kabi aniqlanadi.
λ∈M ¿ ekanidan har bir n∈N uchun shunday xn∈Zd topiladiki,
¿ v ( x
n ) − λ ∨ ¿ 1
n bo’ladi. Quyidagi funksiyalar ketma-ketligini aniqlaymiz
fn(x)=¿
U holda
∥Rλ(A)fn∥2= ∑
x∈Zd fn(x)
¿v(x)− λ¿2= fn(xn)
¿v(xn)− λ¿2>n2.
Demak
Rλ(A) chegaralanmagan operator. Ta’rifga binoan λ∈σess(A) . Demak
M ⊂σ(A)
. Bu yerdan M = σ ( A )
ekani kelib chiqadi.
H
Hilbert fazosi, A ∈ L ( A )
o’z-o’ziga qo’shma operator bo’lsin. Quyidagi
belgilashlarni kiritamiz:
M = ¿
∥ x ∥ = 1 ( Ax , x ) , m = inf
∥ x ∥ = 1 ( Ax , x ) .
M
va m sonlari mos ravishda A operatorning yuqori va quyi chegarasi deyiladi.
Teorema 1.3.2 ∥ A ∥ = max { ∨ m ∨ , ∨ M ∨ }
.

Ma’lumki, σ(A) ∥ A∥ radiusli doira ichida saqlanar edi. O’z-o’ziga qo’shma
operatorlar uchun esa bu baholash yanada aniqroq.
Teorema 1.3.3
σ(A)⊂[m ,M ] . Shuningdek, m , M ∈ σ ( A )
.
Natija 1.3.1. Har qanday chegaralangan o’z-o’ziga qo’shma operatorning
spektri bo’sh emas.
Teorema 1.3.4 A
o’z-o’ziga qo’shma operator bo’lsin. λ
soni A
operator
uchun xos qiymat bo’lishi uchun R ( A − λI ) ≠ H
bo’lishi zarur va yetarli .
Natija 1.3.2.
λ xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyalar fazosi R(A− λI ) ning
ortogonal to’ldiruvchisidan iborat.
O’z-o’ziga qo’shma operatorning spektrini quyidagicha tavsiflash ham
mumkin: agar
R(A− λI )≠R(A− λI ) bo’lsa, λ soni A operatornng uzluksiz spektriga
tegishli bo’ladi va agar
R(A− λI )≠H bo’lsa, λ soni A
operatorning nuqtali spektriga
tegishlidir.
Teorema 1.3.5 Faraz qilamiz, A − H
Hilbert fazosidagi o’z-o’ziga qo’shma
operator bo’lsin. U holda
A qoldiq spektrga ega emas.
H
Hilbert fazosi, A ∈ L ( H ) − ¿
o’z-o’ziga qo’shma operator bo’lsin.
Teorema 1.3.6 Kompakt operatorning nolmas
z xos qiymatiga mos
keluvchi
Xλ xos fazosi chekli o’lchamli.
Teorema 1.3.7 Istalgan
δ>0 son uchun kompakt operator xos
qiymatlarining moduli δ
dan katta bo’lganlari soni chekli.
Bu teoremadan shuni xulosa qilamizki, kompakt operatorning xos
qiymatlarini moduli bo’yicha kamayish tartibida joylashtirish mumkin.
Natija 1.3.1 Kompakt operatorning xos qiymatlari to’plami noldan farqli
limitik nuqtaga ega emas.

Teorema 1.3.8 (Phillips) Agar λ∈C soni A kompakt operatorning xos
qiymati bo’lsa, λ ∈ C
soni A ¿
ning xos qiymati bo’ladi.
Teorema 1.3.9
A va A¿ kompakt operatorlarning z va z xos qiymatlariga
mos keluvchi xos qism fazolarining o’lchamlari teng.
Teorema 1.3.10 A ∈ L ( H ) − ¿
kompakt operator bo’lsin. U holda
1. A
operatorning spektridagi noldan farqli ixtiyoriy nuqta xos qiymatdir;
2. Agar
H cheksiz o’lchamli bo’lsa, 0 soni operatorning spektriga tegishli.
Teorema 1.3.11 Agar A ≠ 0
o’z - o’ziga qo’shma va kompakt bo’lsa,
uning hech bo’lmaganda bitta nolmas xos qiymati bor.
1. 4 Unitar ekvivalent operatorlar.
H
1 va H
2 Hilbert fazolari bolsin.
Ta'rif 1.4.1 Agar
U :H1⟶ H 2 akslantirish barcha x,y∈H 1 lar uchun
¿
munosabatni qanoatlantirsa va
D(U )= H1 , R(U )= H 2 bo’lsa, u holda u unitar
operator deyiladi.
Unitar operatorning quyidagi ekvivalent ta’rifi ham ishlatiladi.
Ta'rif 1.4.2 Agar U : H
1 ⟶ H
2 akslantirish barcha x ∈ H
1 lar uchun
∥ Ux ∥
H
2 = ∥ x ∥
H
1
munosabatni qanoatlantirsa va D ( U ) = H
1 ,
R(U )= H 2 bo’lsa, u holda u unitar
operator deyiladi.
Faraz qilamiz, A : H
1 ⟶ H
1 va B : H
2 ⟶ H
2 bo’lsin. Agar shunday U : H
1 ⟶ H
2
unitar operator topilib,
A = U − 1
BU tenglik bajarilsa,
A va B operator unitar
ekvivalent operatorlar deyiladi.

Teorema 1.4.1 Ixtiyoriy chegaralangan unitar ekvivalent operatorlarning
spektrlari, xususan muhim spektrlari, diskret spektrlari, qoldiq spektrlari ustma-
ust tushadi.
Misol 1.4.1 ^ V : l
2 ( Z d )
⟶ l
2 ( Z d )
, ( ^ V ^ f ) ( n ) = ^ v ( n ) ^ f ( n ) , ^ f ∈ l
2 ( Z d
)
bunda ^v funksiya
chegaralangan, operatorni qaraymiz. Bu operator biror operatorga unitar
ekvivalent bo’ladimi? Unitar operator sifatida Fourier akslantirishini olamiz.
f = F
^ f = ¿
bo’lsin.
(Vf )(x)=(F ^V F−1)(x)=(F ^V ^f)(x)=¿

¿ ¿
¿ ¿
Agar

¿
yaqinlashuvchi bo’lsa, bu biror v : L
2 ( T d
) ⟶ C
funksiyani aniqlaydi, ya’ni
^v
funksiyaning Fourier almashtirishiga bo’lamiz.
v ( x − t ) = ¿
kabi belgilash kiritsak,
V operator quyidagi ko’rinishga keladi:
( Vf ) ( x ) = ¿
Demak l
2 ( Z d
)
fazodagi ko’paytirish operatori L
2 ( T d
)
fazodagi integral operatorga
unitar ekvivalent. Yuqoridagi 1.7.1 teoremaga asosan
σ(^V)=σ(V),σdisc (^V)=σdisc (V),σess(^V)=σess(V),σres(^V)=σres(V).

$BOB 2 . Olmos panjaradagi diskrit Shredinger operatorining spektri. 2.1 Olmos panjaradagi diskr et Shredinger operatorining koordinata va implus ta`sviri . Quyidagi to’plamni kiritamiz: A 2 ={ v ( n ) : v ( n) = n 1 v 1 + n 2 v 2 n = ( n 1 ; n 2 ) , n ϵ Z 2 } , bu yerda v1= (−1;0;1)v2=(0;−1;1) . 2.1.1 ta’rif. A2 to’plamga 2 o’lchamli olmos panjara deyiladi ( qarang [2]). Quyidagi to’plamni kiritamiz: Ω = A 2 ∪ ( p + A 2 ) , p = 1 3 ( − 1 ; − 1 ; 2 ) . l2(Ω) - orqali Ω da kvadrati bilan jamlanuvchi ^ f( n) = ( ^ f 1 ( n) ,^ f 2 ( n ) ) funksiyalar juftligini belgilaymiz. Bu fazo Hilbert fazosi bo‘lib, skalyar ko’paytma quydagicha aniqlangan (^f,^g)= ∑vϵA2 3^f1(n)^g1(n)+ ∑vϵ(p+A2) 3^f2(n)^g2(n). T = ( − π ; π ] . L2(2)(T2)−¿ T 2 da aniqlangan kvadrati bilan integrallanuvchi f(x)=(f1(x),f2(x)) funksiyalar juftligining Hilbert fazosi bo`lsin. Bu yerda skalyar ko’paytma quydagicha aniqlangan ( f , g ) = ( f 1 , g 1 ) + ( f 2 , g 2 )$

Bunda ( f
i , g
i ) =
∫
T 2 f
i ( x ) g
i ( x ) dx , i = 1,2.
Quydagi F : l
2
( Ω ) → L
2 ( 2 ) (
T 2 )
unitar operatorni kiritamiz:
F=(
F 0
0 F)
, (F ^f)(x)= √3
2π ∑n∈Z2 ei(x,s)^f(s).
Bu operator teskarisi F − 1
: L
2 ( 2 )
(
T 2 )
→ l
2 ( Ω )
quydagicha aniqlanadi:
F − 1
=
( F − 1
0
0 F − 1 ) , ( F − 1
f )( s) = √ 3
2 π ∫
T 2 e − i ( s , x )
f ( x ) dx .
bu yerda
( s , x ) = s
1 x
1 + s
2 x
2 .
Olmos panjaradagi diskrit Shredinger operatori
^ H
ushbu l2(Ω) fazod a
chegaralangan o‘z-o‘ziga qo‘shma operator sifatida quyidagicha aniqlanadi:
^
H = − 3 ( ∆
2 + 1 ) + ^ Q
Bunda

(−3(∆2+1)^f)(v)=((V1^f2)(n);(V2^f1)(n))
Bu yerda

(V1^f2)(n)= ^f2(n)+^f2(n− e1)+^f2(n−e2)

(V2^f1)(n)= ^f1(n)+^f1(n−e1)+^f1(n−e2)

e1,e2,nϵΩ n=(n1;n2), e1=(1;0),e2=(0;1) .

^Q - Ω
da aniqlangan zarrachalarning o‘zaro ta’sir potensiali bo‘lib, ular
quyidagi formulalar bilan aniqlanadi.
(
^ Q f ) ( n ) = (
^ Q
1 ( n ) 0
0
^ Q
2 ( n ) )(
^ f
1 ( n )
^
f
2 ( n ) ) = (
^ Q
1 ( n ) ^ f
1 ( n )
^
Q
2 ( n ) ^ f
2 ( n ) )
bunda

∑n∈A2
|^Q1(n)|<∞ , ∑n∈(p+A2)
|^Q2(n)|<∞.

^
H
operatorni koordinata ko‘rinishidan impuls tasvirga o‘tish F
almashtirishilari yordamida amalga oshiriladi [2]

H = F^ H F − 1
= F ( − 3 ( ∆
2 + 1 )) F − 1
+ F ^ Q F − 1
.
H
operator o lmos panjaradagi diskrit Shredinger operatorining impuls tasviri
bo’lib, u quydagicha aniqlanadi [2]
H = H0+Q
, (1)
bu yerda :

H 0 va Q 2×2 matritsa uchun matritsa operatorlari bo’lib, L2(2)(T2) da
quyidagicha aniqlanadi
(H ¿¿0 f)(x)=(
0 E(x)
E(x) 0 )(
f1(x)
f2(x))=(
E(x)f2(x)
E(x)f1(x))¿
,

( Qf )( x ) = ( Q
1 0
0 Q
2 )( f
1
( x )
f
2
( x )) = ¿
,
Bunda, E
( x ) − ¿
2 o`zgaruvchili kompleks qiymatli funksiya
E
( x ) = 1
3 ( 1 + e i x
1
+ e i x
2 )
, Qi− L2(T2) da aniqlangan integral operator
( Q ¿ ¿ i f ¿ ¿ i )
( x ) =
∫
T 2 Q
i ( x − t ) f
i ( t) dt . i = 1 , 2 , ¿ ¿

Qi(∙)− ¿
T2 da aniqlangan haqiqiy qiymatli biror uzluksiz, juft funksiya.
Lemma 2.1.1. H
operator L
2 ( 2 )
(
T 2 )
fazoni L
2 ( 2 ) (
T 2 )
fazoga o`tkazadi, ya`ni
H = H
0 + Q
: L
2 ( 2 )
(
T 2 )
→ L
2 ( 2 ) (
T 2 )
.
Isbot. Biz H = H
0 + Q
: L
2 ( 2 )
(
T 2 )
→ L
2 ( 2 ) (
T 2 )
. Ekanligini tekshirishdan avval Q :
L2(2)(T2)→ L2(2)(T2)
va H
0 :
L
2 2 (
T 2 )
→ L
2 2 (
T 2 )
ekanligini alohida- alohida ko`rsatib
o`tamiz.
Avval
Q : L2(2)(T2)→ L2(2)(T2) . Ekanligini ko`rsatamiz: Bizga ma`lumki bu
yerda
L2(2)(T2)−¿ orqali T2 da kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyalar
juftligini belgilagan edik. Demak biz

(Qf )( x ) = ¿
;
i = 1,2.
uchun
Q
i : L
2
( T 2 )
→ L
2 ( T 2 )
ya ∋ f
i ∈ D ( Q
i ) ,
∫
x ∈ T 2 |
∫
T 2 Q
i ( x − t ) f
i ( t) dt | 2
dx < ∞

Bo`lishini ko`rsatamiz. Bu operatorning aniqlanish sohasi
D(Qi)= L2(T2) .
Faraz qilaylik F
i
( x ) =
∫
T 2 Q
i ( x − t ) f
i ( t) dt i = 1,2.
bo`lsin. ∫
T2 |Fi(x)|2dx integralni
qaraymiz. Agar Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan foydalansak,
¿(f,g)∨¿2≤||f||2∙||g||2¿
ekanligidan
¿∫
T2 Qi(x−t)fi(t)dt ∨¿2≤∫
T2 |Qi(x−t)|2dt ∙∫
T2 |fi(t)|2dt i=1,2. ¿

Tengsizlikni hosil qilamiz. Bundan
∫
T 2
| F
i ( x ) | 2
dx =
∫
T 2 |
∫
T 2 Q
i ( x − t ) f
i ( t) dt | 2
dx ≤

≤
∫
T 2
(
∫
T 2 | Q
i ( x − t )| 2
dt ∙
∫
T 2 | f
i ( t)| 2
dt ) dx ≤

≤
∫
T 2
| f
i ( t)| 2
dt ∙
∫
T 2
∫
T 2 | Q
i ( x − t )| 2
dtdx .

Bu yerda f
i ∈ L
2 ( T 2
)
demak ∫
T 2
| f
i ( t)| 2
dt < ∞ i = 1,2.
va shartga ko`ra Qi(∙)− ¿
funksiya
T 2
da uzluksiz bundan ∫
T 2
∫
T 2
| Q
i ( x − t )| 2
dtdx < ∞
va demak Fi∈L2(T2),
ya`ni

∀ fi∈L2(T2),∫
x∈T2 |∫
T2 Qi(x−t)fi(t)dt|
2dx <∞i=1,2. Bundan xulosa
Q
: L
2 ( 2 )
(
T 2 )
→ L
2 ( 2 ) (
T 2 )
ekan .
Endigi navbatta biz H
0 : L
2 ( 2 )
(
T 2 )
→ L
2 ( 2 ) (
T 2 )
ekanligini ko`rsatamiz. Buning
uchun Q
operator uchun aytilgan mulohazadan bu yerda ham foydalanamiz.

Biz L2(2)(T2)−¿ orqali T2 da kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyalar juftligini
belgilagan edik. Demak biz
(
H
0 f )( x ) = ( ( Ef
2 )
( x )
( E f
1 )
( x )) = ( E
( x ) f
2 ( x )
E
( x ) f
1 ( x )) ;

E(x)f2(x)∈L2(T2).ya ∋∀ f2∈D(E),∫
x∈T2 |E(x)f2(x)|2dx <∞ va
E
( x ) f
1 ( x ) ∈ L
2 ( T 2 )
ya ∋ ∀ f
1 ∈ D ( E ) ,
∫
x ∈ T 2 | E ( x ) f
1 ( x )| 2
dx < ∞
Bo`lishini ko`rsatamiz. Bu operatorlarning aniqlanish sohasi ham
D (E)= D (E)= L2(T2)

Faraz qilaylik
a) U
( x ) = E ( x ) f
2 ( x )
bo`lsin. ∫
T2 |U (x)|2dx integralni qaraymiz:
∫
T 2
| U ( x ) | 2
dx =
∫
T 2 | E ( x ) f
2 ( x )| 2
dx ≤
∫
x ∈ T 2 | E ( x ) | 2
∙ | f
2 ( x )| 2
dx ≤

≤
∫
x ∈ T 2 max
x ∈ T 2
| E ( x )| 2
∙ | f
2 ( x )| 2
dx = max
x ∈ T 2 | E ( x )| 2
∫
x ∈ T 2 | f
2 ( x )| 2
dx
.
Bu yerda shartga ko`ra
f2∈L2(T2) demak ∫
T2 |f2(t)|2dt <∞ va
E
( x ) = 1
3 ( 1 + e i x
1
+ e i x
2 )
ekanligidan max
x ∈ T 2 | E ( x )| 2
< ¿ ∞ ¿
bundan esa
E
( x ) f
2 ( x ) ∈ L
2 ( T 2 )
. Ya ∋ ∀ f
2 ∈ L
2 2 (
T d )
:
∫
T 2 | E ( x ) f
2 ( x )| 2
dx < ∞

ekanligi kelib chiqadi.
b) Xuddi shunday
V (x)= E(x)f1(x) bo`lsin. ∫
T 2 | V ( x ) | 2
dx
integralni qaraymiz:
∫
T 2
| V ( x ) | 2
dx =
∫
T 2 | E ( x ) f
1 ( x )| 2
dx =
∫
T 2 | E ( x )| 2
∙ | f
1 ( x )| 2
dx ≤

≤
∫
T 2 max
x ∈ T 2
| E ( x )| 2
∙ | f
1 ( x )| 2
dx = max
x ∈ T 2 | E ( x )| 2
∫
T 2 | f
1 ( x )| 2
dx

Bu yerda shartga ko`ra f1∈L2(T2) demak ∫
T2 |f1(t)|2dt <∞ va

E(x)= 1
3(1+e−ix1+e−ix2) ekanligidan max
x ∈ T 2 | E ( x )| 2
< ¿ ∞ ¿
bundan esa
E(x)f1(x)∈L2(T2).Ya ∋∀ f1∈D (E):∫
x∈T2 |E(x)f1(x)|2dx <∞

ekanligi kelib chiqadi. Yuqoridagi a) va b) isbotlardan
∀ f∈L2(2)(T2) uchun
H 0
: L2(2)(T2)→ L2(2)(T2) ekanligini isbotlaymiz. Bu ikki natijadan esa operator
xossasiga ko`ra
H = H0+Q : L22(T2)→ L22(T2) lemma isbotlandi.
Biz
H = H0+Q operatorning spektrini o’rganishimiz dan avval bu
operatorning chiziqlilikka, chegaralanganlikka va o`z-o`ziga qo`shmalikka
tekshiramiz.
Lemma 2.1.2
H = H0+Q H: L2(2)(T2)→ L2(2)(T2) . operator chiziqli.
Isbot.
H = H0+Q operatorni chiziqlilikka tekshirish uchun H 0 va Q
operatorlarni har birini alohida chiziqlilikka tekshirishimiz yetarli. Chiziqli
operatorlar xossasiga ko`ra.
Avval H
0 chiziqlilikka tekshiramiz. 1.2.3 ta`rifga asosan, Ɐ f , g ∈ L
2 ( 2 )
(
T 2 )
va
Ɐ α , β ∈ C
uchun
H 0(αf +βg )=αH 0f+βH 0g ekanligini ko`rsaramiz.
¿
¿
α(H ¿¿0 f)(x)+β(H ¿¿0 f)(x)¿¿

ya`ni

H 0(αf +βg )=αH 0f+βH 0g
Demak H
0 chiziqli operator ekan.

Xuddi shunday ta`rifdan foydalanib, Q operatorni ham chiziqlilikka
tekshiramiz. Ɐ f , g ∈ L
2 ( 2 )(
T 2 )
va Ɐ α,β∈C uchun
Q
( αf + βg ) = αQf + βQ
ekanligini ham ko`rsatamiz.
(
Q ( αf + βg ))( x ) = ¿
α¿
ya`ni
Q
( αf + βg ) = αQf + βQ
Demak Q chiziqli operator ekan. Bundan yuqoridagi xulosaga asosan

H = H0+Q operator chiziqli ekan. Lemma isbotlandi.
Eslatma: bu yerda ( Q ¿ ¿ i f ¿ ¿ i )
( x ) =
∫
T 2 Q
i ( x − t ) f
i ( t) dt . i = 1 , 2. ¿ ¿
Chiziqli edi
(qarang 1.2.3 misol).
Lemma 2.2 . 3 H = H
0 + Q ,
H:
L2(2)(T2)→ L2(2)(T2) . operator
chegaralangan.
Isbot.
H = H0+Q operatorni chegaralanganlikka tekshirish uchun H 0 va
Q
operatorlarni har birini alohida chegaralanganlikka tekshirishimiz yetarli.
Chunki bizga chegaralangan operator 1 xossasidan ma`lumki
H 0 va Q
operatorlarni har biri chegaralangan bo’lsa,
H = H0+Q operator ham
chegaralangan.
Avval H
0 ni chegaralanganlikka tekshiramiz. 1.2.6 ta`rifga asosan, ∃ M > 0
son va
Ɐ f∈L2(2)(T2) uchun
∥ Af ∥L22≤M ∥ f∥L22
Bizga ma`lumki 1.2.11. misolga ko`ra L
2 ( 2 )
(
T 2 )
da norma

∥ f∥L22=√∫
T2 ∨ f1(x)¿2dx +∫
T2 ∨ f2(x)¿2dx .

Bundan, ∥H 0f∥L22=
√∫
T2 |E(x)f2(x)¿2dx +∫
T2 |E(x)f1(x)¿2dx =¿
¿√∫
T2 |E(x)|2¿¿

¿√∫
T2 |E(x)|2¿¿

≤
√
∫
T 2 max
x ∈ T 2 | E ( x )| 2
¿ ¿
¿
√ max
x ∈ T 2
| E ( x )| 2
∫
T 2 (| f
2 ( x ) ¿ 2
dx +
∫
T 2 | f
1 ( x ) ¿ 2 )
dx = ¿
Agar
M = √maxx∈T2|E(x)|2 desak,
¿√max
x∈T2|E(x)|2∙
√∫
T2 |f1(x)¿2dx +∫
T2 |f2(x)¿2dx = M ∥ f∥L22

Bunda E
( x ) = 1
3 ( 1 + e i x
1
+ e i x
2 )
ekanligidan
|E(x)|2= E(x)E(x)= 1
3(1+eix1+eix2)1
3(1+e−ix1+e−ix2)= 1
9(3+eix1+e−ix1+eix2+e−ix2+ei(x1−x2)+e−i(x1−x2))= 1
9¿
M =
√ max
x ∈ T 2 | E ( x )| 2
= √ max
x ∈ T 2 1
9 ¿ ¿ ¿
∥ H
0 f ∥
L
2 2 ≤ ∥ f ∥
L
2 2 M = 1 > 0
. Demak H
0 operator chegaralangan ekan.
Xuddi shunday
Q operatorni ham chegaralanganlik ta`rifi yordamida chegara-
langanlikka tekshiramiz. 1.2.6 ta`rifga asosan, ∃ C > 0
son va Ɐ f ∈ L
2 ( 2 )
(
T 2 )
uchun
∥ Q f ∥
L
2 2 =
√
∫
T 2 ¿ ¿
¿√∫
T2 ∨∫
T2 Q1(x−t)f1(t)dt ¿2dx +∫
T2¿∫
T2 Q2(x−t)f2(t)dt ¿2 dx =¿

Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan foydalansak,
¿(f,g)∨¿2≤||f||2∙||g||2¿
ekanligidan
¿∫
T2 Qi(x−t)fi(t)dt ∨¿2≤∫
T2 |Qi(x−t)|2dt ∙∫
T2 |fi(t)|2dt i=1,2. ¿

Bundan ¿√
∫
T 2 ∨
∫
T 2 Q
1 ( x − t ) f
1 ( t) dt ¿ 2
dx +
∫
T 2 ¿
∫
T 2 Q
2 ( x − t ) f
2 ( t) dt ¿ 2
dx ≤

√∫
T2 (∫
T2 ¿Q1(x−t)¿2dt ∙∫
T2 ¿f1(t)¿2dt )dx +∫
T2 (∫
T2 ¿Q2(x− t)¿2dt ∙∫
T2 ¿f2(t)¿2dt )dx =√∫
T2 ¿f1(t)¿2dt ∙∫
T2 ∫
T2 ¿Q1(x−t)¿2dtdx +∫
T2 ¿f2(t)¿2dt ∫
T2 ∫
T2 ¿Q2(x− t)¿2dtdx
Agar C 2
= max
i
ϵ { 1,2 } ∫
T 2
∫
T 2 ¿ Q
i ( x − t ) ¿ 2
dtdx .
u holda,
≤(C √∫
T2 ¿f1(t)¿2dt +∫
T2 ¿f2(t)¿2dt )=C ∥ f∥L22
Endigi navbatda biz C > 0
soni mavjudmi degan savolga javob berib
o`tamiz. Bizga ma`lumki
Qi(∙)i=1,2 aniqlanishiga ko`ra, ikkala argumenti
bo`yicha
T 2
da uzluksiz. Bundan
Qi(x−t)=Qi(x1−t1;x2−t2)i=1,2 funksiya
∀ x , t
ϵ T 2
da C2=∫
T2 ∫
T2 ¿Qi(x− t)¿2dtdx i=1,2. integral mavjud. Bundan
C 2
< ∞ va
¿Qi(x−t)¿2>0
ekanligidan esa C > 0
ekanligi kelib chiqadi. Demak

∥Q f∥L22≤C∥ f∥L22
Q − ¿
chegaralangan operatop ekan.
Bu yerda: C ni qiymati
Qi(x−t) funksiyaning berilishiga bog`liq holda
aniqlanadi.
Bundan yuqoridagi xulosaga asosan
H = H0+Q operator chegaralangan
va
∥H f∥L22≤(1+C)∥ f∥L22 . Lemma isbotlandi.
Lemma 2.2.4
H = H0+Q H: L22(T2)→ L22(T2) . o`z-o`ziga qo`shma operator.
Isbot.
H = H0+Q operatorni o`z-o`ziga qo`shmalikka tekshirish uchun H 0
va Q
operatorlarning har birini alohida o`z-o`ziga qo`shma operator ekanligiga
tekshirishimiz . O`z-o`ziga qo`shma operatorlar xossasiga ko`ra.

Avval H 0 operatorni o`z-o`zida qo`shmalikka tekshiramiz. 1.4.1 ta`rifga
asosan, chegaralangan H
0 operator va Ɐ f , g ∈ L
2 ( 2 )
(
T 2 )
uchun
(
H
0 f , g ) = ( f , H
0 ¿
g )
H 0= H0¿
munosabat bajarilsa,
H 0 o`z-o`ziga qo`shma operator deyilar edi.
2.1.3 lemma isbotiga ko`ra H
0 − ¿
chegaralangan . Bizga ma`lumki L
2 ( 2 )
(
T 2 )
− ¿
fazoda skalyar ko`paytma:

( f , g ) = ( f
1 , g
1 ) + ( f
2 , g
2 ) =
∫
T 2 f
1 ( x ) g
1 ( x ) dx +
∫
T 2 f
2 ( x ) g
2 ( x ) dx
. bundan
(H 0f,g)=(E(x)f2(x),g1(x))+(E(x)f1(x),g2(x))=¿

¿
∫
T 2 E
( x ) f
2 ( x ) g
1 ( x ) dx +
∫
T 2 E ( x ) f
1 ( x ) g
2 ( x ) dx = ¿

¿∫
T2 f2(x)E(x)g1(x)dx +∫
T2 f1(x)E(x)g2(x)dx =¿

¿(f1(x),E(x)g2(x))+(f2(x),E(x)g1(x))=¿
Agar
(H 0¿g)(x)=(
E(x)g2(x)
E(x)g1(x)) desak,
¿
( f , H
0 ¿
g )
.
Bundan
( H
0 ¿
f )( x ) = ( E ( x ) f
2
( x )
E
( x ) f
1 ( x )) va ( H
0 f )( x ) = ( E ( x ) f
2
( x )
E
( x ) f
1 ( x )) ekanligidan H 0= H0¿,
ya`ni H
0 − ¿
o`z-o`ziga qo`shma ekan.
Xuddi shu kabi
Q operatorni ham o`z-o`ziga qo`shma ekanlikka tekshiramiz,
ya`ni 1.4.1 ta`rifga asosan, Q
chegaralangan operator va Ɐ f , g ∈ L
2 ( 2 )
(
T 2 )
uchun
(
Q f , g ) = ( f , Q ¿
g )
Q=Q¿

munosabat bajarilsa, Q o`z-o`ziga qo`shma operator deyilar edi. Yuqoridagi
2.1.3 lemmaga asosan Q − ¿
chegaralangan operator .
(Qf ,g)=(Q1f1,g1)+(Q2f2,g2)=¿

¿
∫
T 2 ( Q
¿ ¿ 1 f
1 ) ( x ) g
1
( x ) dx +
∫
T 2 (
¿ Q
2 f
2 ) ( x ) g
2 ( x ) dx = ¿ ¿ ¿

¿
∫
T 2
(
∫
T 2 Q
1 ( x − t ) f
1 ( t ) dt ) g
1 ( x ) dx +
∫
T 2 (
∫
T 2 Q
2 ( x − t ) f
2 ( t ) dt ) g
2 ( x ) dx = ¿

¿
∫
T 2 dx
∫
T 2 Q
1
( x − t ) f
1 ( t) g
1 ( x ) dt +
∫
T 2 dx
∫
T 2 Q
2 ( x − t ) f
2 ( t) g
2 ( x ) dt = ¿

¿
∫
T 2 dt
∫
T 2 f
1
( t) Q
1 ( x − t ) g
1 ( x ) dx +
∫
T 2 dt
∫
T 2 f
2 ( t) Q
2 ( x − t ) g
2 ( x ) dx = ¿

∫
T 2 f
1
( t)(
∫
T 2 Q
1 ( x − t ) g
1 ( x ) dx ) dt +
∫
T 2 f
2 ( t)(
∫
T 2 Q
2 ( x − t ) g
2 ( x ) dx ) dt = ¿

Agar Q
i '
(
t − x ) = Q
i ( x − t ) i = 1,2.
Deb belgilash olsak,
∫
T 2 f
1
( t)(
∫
T 2 Q
1 ' (
t − x ) g
1 ( x ) dx ) dt +
∫
T 2 f
2 ( t)(
∫
T 2 Q
2 ' (
t − x ) g
2 ( x ) dx ) dt = ¿

∫
T2 f1(t)(Q1¿¿'g1)(t)dt +∫
T2 f2(t)(Q2¿¿'g2)(t)dt =(f1,Q1'g1)+(f2,Q2'g2)=¿¿¿

¿(f,Q¿g)
.

Qi(∙)− ¿ funksiya aniqlanishiga ko`ra haqiqiy juft funksiyalar edi, ya`ni
Q
i
( x ) = Q
i ( − x ) .
Bundan
( Q ¿ ¿ ¿ g ) ( x ) = ¿ ¿
,
(Q¿¿¿f)(x)=¿¿

Q−¿ Q=Q¿ o`z-o`ziga qo`shma operator.
Xulosa H
0 va Q
o`z-o`ziga qo`shma bundan H = Q + H
0 operator o`z-o`ziga
qo`shma ekan.
H = H¿. Lemma isbotlandi.

2.2 Olmos panjaradagi diskret Shredinger operatorning muhim spektri
Ushbu paragrafda L2(2)(T2)−¿ Hilbert fazosida (1) ko’rinishda aniqlangan
Olmos panjaradagi diskret Shredinger operatori
H = H0+Q ning muhim
spektrini o`rganamiz.
Bizga ma`lumki biror
λ∈C uchun A− λI operator teskarilanuvchan bo’lsa, u
holda
λ soni A
operatorning regulyar nuqtasi deb atalar edi va A
operatorning barcha regulyar nuqtalari to’plami ρ
( A )
kabi belgilagan edik .
Ta`rif 2.2.1
σ(A)=C ¿(A) to’plam A
operatorning spektri deb ataladi.
Ta`rif 2.2.2 λ ∈ σ
( A )
son yakkalangan, A operatorning chekli karrali xos
qiymatlari to’plami diskret spektr deb ataladi va σ
disc ( A )
deb belgilanadi.
Ta`rif 2.2.3 σ
ess
( A ) = σ ( A ) ¿
disc ( A ) ,
A muhim spektr deb ataladi .
Ushbu paragrafning asosiy teoremasi quyidagidan iborat
Teorema 2.2.1 σ
( H
0 ) = [ − 1 ; 1 ] .

Isbot . Bizga ma`lumki [Reed Simon],
H 0 2×2 matritsa operatorining
spektri quyidagi formula bilan aniqlanadi
σ
( H
0 ) = ¿ x ∈ T 2
σ ( H
0 ( x ) ) .
(*)
Bunda
H 0(x)−¿ har bir fiksirlangan x∈T2 da 2×2 sonli matritsa bo`ladi,
ya’ni
H
0 ( x ) =
( 0 E ( x )
E ( x ) 0 ) , E ( x ) = 1
3 ( 1 + e i x
1
+ e i x
2 )
.
Shuning uchun
H 0(x) ning spektri xos qiymatlaridan iborat bo’ladi, ya`ni har
bir tayinlangan
x∈T2 larda det | H
0 − λI | = 0
tenglamaning ildizlaridan iboratdir.
Bu tenglamani tuzamiz:

(H ¿¿0− λI )(x)=(
0 E(x)
E(x) 0 )−(
λ 0
0 λ)=(
− λ E(x)
E(x) − λ)¿.
det |H 0− λI|=|
− λ E(x)
E(x) − λ|= 0⟾ λ2− E(x)∙E(x)= 0⟾

λ 2
=
| E ( x ) | 2
⟾ λ
1,2 = ± | E ( x )| , x ∈ T 2
.
Bu yerda
|
E ( x )| 2
= E ( x ) E ( x ) = 1
3 ( 1 + e i x
1
+ e i x
2 ) 1
3 ( 1 + e − i x
1
+ e − i x
2 )
= 1
9 ( 3 + e i x
1
+ e − i x
1
+ e i x
2
+ e − i x
2
+ + e i ( x
1 − x
2 )
+ e − i ( x
1 − x
2 ))
= ¿
¿1
9¿
.
Shunday qilib,
σ(H 0(x))={xos qiymatlari }={−|E(x)|;|E(x)|}
.
Demak, (*) ga ko’ra
σ(H0)=¿
¿x∈T2σ(H 0(x))=¿x∈T2{−|E(x)|;|E(x)|}
¿ − Ran
{| E ( x )|} Ran {| E ( x )|}
.
Endi
¿ E
( x ) ∨ ¿ max
x ∈ T 2 1
9 ¿ ¿
va
min
x ∈ T 2
| E ( x )| = 0
ekanligidan, ushbu
− Ran {|E(x)|}=[−1;0]
va Ran {|E(x)|}=[0;1]
tengliklarni hosil qilamiz. Shunday qilib,
Demak σ
( H
0 ) = [ − 1 ; 1 ]
.

Teorema isbotlandi.
Lemma 2.2.1 Q :L2(2)(T2)→ L2(2)(T2) kompakt operator .
Isbot.
Q :L2(2)(T2)→ L2(2)(T2). operatorni ko`rinishi quydagicha edi:

( Qf )( x ) = ¿

Bunda,
( Q ¿ ¿ i f ¿ ¿ i )
( x ) =
∫
T 2 Q
i ( x − t ) f
i ( t) dt . i = 1 , 2 , μ
1 , μ
2 > 0 ¿ ¿

Biz
Q operatorni kompaktligini ko`rsatishimiz uchun har bir i ∈ { 1 , 2 }
da
Qi:L2(T2)→ L2(T2)
operatorni kompakt ekanligini ko`rsatamiz. Yuqoridagi 1.5.4
teoremadan ma`lumki, ( Q ¿ ¿ i f ¿ ¿ i )
( x ) =
∫
T 2 Q
i ( x − t ) f
i ( t) dt . ¿ ¿
operator kompakt
bo`lishi uchun
∫
T2 ∫
T2 ¿Qi(x−t)¿2dtdx <∞ bo`lishi zarur va yetarli edi.
Shartga ko`ra
Qi(∙)− ¿ ikkala o`zgaruvchi buyicha ham T2 da aniqlangan biror
uzluksiz funksiya.
Bundan ∫
T 2
∫
T 2 ¿ Q
i
( x − t ) ¿ 2
dtdx
integral mavjud va chekli. Demak
Q
i kampakt , ya`ni Q
kampakt operator.
Teorema 2.2.2 σ
ess
( H ) = σ ( H
0 ) = [ − 1,1 ]
.
Isbot. Muhum spektr turg`unligi haqidagi Veyl teoremasi ga ko`ra
H =Q+H 0
operatorning muhim spektri Q kompakt qo`zg`lishda o`zgarmaydi va
H 0
operator spektri bilan ustma-ust tushadi.

Q kampakt operator. Bu yerdan esa xulosa σess(H )=σ(H 0) .
Teorema isbotlandi.

Biz endi H = H0+Q operatorning Q= μi>0,i=1,2 holdagi xos qiymati va unga mos
xos vektorini topish masalasini ko’rib chiqamiz. Buning uchun quyidagi
belgilashlarni kiritamiz:
D
( z) = | ∆
11 ∆
12
∆
21 ∆
22 | ,
ko’rinishdagi 2x2 matritsa, bunda
{
∆11=1+zμ1∫
T2
❑ 1
|E(s)|2− z2ds ,∆12= μ2∫
T2
❑ E(s)
|E(s)|2− z2ds
∆21= μ1∫
T2
❑ E(s)
|E(s)|2− z2ds ,∆22=1+zμ2∫
T2
❑ 1
|E(s)|2− z2ds
(1)
Teorema 2.2.3
z∈R¿−1,1 ¿
soni H operatorning xos qiymati bo’lishi uchun D ( z) = 0
bo’lishi zarur
va yetarli.
Isbot(Zaruriyligi):
z
sono H
operatorning xos qiymati bo’lsin, ya’ni
Hψ = zψ
ψ= (ψ1,ψ2),ψ1,ψ2∈L2(T2)
tenglik bajarilsin.
H
operator chiziqliligidan
Hψ =(H 0+Q )ψ= H 0ψ+Qψ =(
E(x) ψ2
E(x) ψ1)+
(
∫
T2
❑
μ1ψ1(s)ds
∫
T2
❑
μ2ψ2(s)ds )
= z(
ψ1
ψ2)

Bu yerdan quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

{E
( x ) ψ
2 ( x ) + μ
1 ∫
T 2❑
ψ
1 ( s) ds = z ψ
1 ( x )
E
( x ) ψ
1 ( x ) + μ
2 ∫
T 2❑
ψ
2 ( s) ds = z ψ
2 ( x ) ( 2 )
Quyidagicha belgilash kiritamiz
C
1 =
∫
T 2❑
ψ
1
( s) ds , C
2 =
∫
T 2❑
ψ
2 ( s) ds ( 3 )
U holda ( 1 )
ga (2) ni qo’yib quyidagi sistemasiga ega bo’lamiz:
{
E
( x ) ψ
2 ( x ) + μ
1 C
1 = z ψ
1 ( x )
E
( x ) ψ
1 ( x ) + μ
2 C
2 = z ψ
2 ( x )
Bundan
{
E
( x ) ψ
2 ( x ) = − μ
1 C
1 + z ψ
1 ( x )
E
( x ) ψ
1 ( x ) = − μ
2 C
2 + z ψ
2 ( x ) ( 4 )
ni hosil qilamiz. Dastlab birinchi va ikkinchi tenglamani mos rvishda E
( x )
va E(x)
larga ko’paytiramiz:
{
|E(x)|2ψ2(x)+μ1E(x)C1= zE(x)ψ1(x)
|E(x)|2ψ1(x)+μ2E(x)C2= zE (x)ψ2(x)
Oxirgi sistemaga ( 3 )
ni qo’yamiz va quyidagi sistemani hosil qilamiz:
{
|E(x)|2ψ2(x)+μ1E(x)C1= z(− μ2C2+zψ2(x))
|E(x)|2ψ1(x)+μ2E(x)C2= z(− μ1C1+zψ1(x))
yoki
¿
|
E ( x )| 2
− z 2
≠ 0 ekanligidan ψ1,ψ2 funksiyalarga ega bo’lamiz:

{ψ
1 ( x ) = − μ
2 E
( x )
|
E ( x )| 2
− z 2 C
2 − z μ
1 |
E ( x )| 2
− z 2 C
1
ψ
2 ( x ) = − μ
1 E
( x )
|
E ( x )| 2
− z 2 C
1 − z μ
2 |
E ( x )| 2
− z 2 C
2 ( 5 )
Endi (5) ni (3) ga olib borib qo’yamiz va quyidagini hosil qilamiz:
{
C1=∫
T2
❑
(
− μ2E(s)
|E(s)|2− z2C2− zμ1
|E(s)|2− z2C1)ds
C2=∫
T2
❑
(
− μ1E(s)
|E(s)|2− z2C1− zμ2
|E(s)|2− z2C2)ds
{
C1(1+zμ1∫
T2
❑ 1
|E(s)|2− z2ds )+C2μ2∫
T2
❑ E(s)
|E(s)|2− z2ds = 0
C1μ1∫
T2
❑ E(s)
|E(s)|2− z2ds +C2(1+zμ2∫
T2
❑ 1
|E(s)|2− z2ds )= 0
Bu yerdan (1) ga ko’ra
{
C1∆11+C2∆12=0
C1∆21+C2∆22=0
ko’rinishdagi tenglamalar sistemasiga kelamiz. Bunda
ψ= (ψ1,ψ2) vektor H
operatorning xos funksiyalari bo’lganligi uchun ( C
1 , C
2 ) ≠ 0
bo’lishi lozim. Bizga
algebra kursidan ma’lumki, bir jinsli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga
ega bo’lishi uchun asosiy determinant nolga teng bo’lishi zarur. Bundan
D (z)=|
∆11 ∆12
∆21 ∆22|=0
.
Yetarliligi: Faraz qilaylik,
z∈R¿−1,1 ¿ ga D ( z) = | ∆
11 ∆
12
∆
21 ∆
22 | = 0
bo’lsin.
U holda shunday
( C
1 , C
2 ) ≠ 0
mavjudki,
{
∆11C1+∆12C2=0
∆21C1+∆22C2=0

tengliklar o’rinli bo’ladi. ψ=(ψ1,ψ2)
vektorda ψ1 va ψ2 lar quyidagi ko’rinishda bo’lsin:
ψ1(x)= − μ2E(x)
|E(x)|2− z2C2− zμ1
|E(x)|2− z2C1
ψ2(x)= − μ1E(x)
|E(x)|2− z2C1− zμ2
|E(x)|2− z2C2
ψ=(ψ1,ψ2)
ni H operatorning xos vektori ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun H
operatorning
ψ=(
ψ1
ψ2) vektorga ta’sirini qaraymiz.
Hψ =(H 0+Q )ψ=((
0 E(x)
E(x) 0 )+(
0 μ1
μ2 0))(
ψ1(x)
ψ2(x))
¿
( E
( x ) ψ
1 ( x ) + μ
1 ∫
T 2❑
ψ
1 ( s) ds
E
( x ) ψ
1 ( x ) + μ
2 ∫
T 2❑
ψ
2 ( s) ds ) =
( E
( x ) ψ
1 ( x ) + μ
1 C
1
E
( x ) ψ
1 ( x ) + μ
2 C
2 )
Bu tengliklarga (4)ni keltirib qo’yamiz:
Hψ =
( E
( x )( − μ
1 E
( x )
|
E ( x )| 2
− z 2 C
1 − z μ
2 |
E ( x )| 2
− z 2 C
2 ) + μ
1 C
1
E
( x )( − μ
2 E
( x )
|
E ( x )| 2
− z 2 C
2 − z μ
1 |
E ( x )| 2
− z 2 C
1 ) + μ
2 C
2 ) = ¿
(
− μ
1
| E ( x )| 2
|
E ( x )| 2
− z 2 C
1 + μ
1 C
1 − z μ
2 E
( x )
|
E ( x )| 2
− z 2 C
2
− z μ
1
|
E ( x )| 2
− z 2 C
1 − μ
2
| E ( x )| 2
|
E ( x )| 2
− z 2 C
2 + μ
2 C
2
) = ¿

(−
| E ( x )| 2
+ | E ( x )| 2
− z 2
|
E ( x )| 2
− z 2 μ
1 C
1 − z μ
2 E
( x )
|
E ( x )| 2
− z 2 C
2
− z μ
1
|
E ( x )| 2
− z 2 C
1 + −
| E ( x )| 2
+ | E ( x )| 2
− z 2
|
E ( x )| 2
− z 2 μ
2 C
2
) = ¿
(
− z2
|E(x)|2− z2μ1C1− zμ2E(x)
|E(x)|2− z2C2
− zμ1
|E(x)|2− z2C1− z2
|E(x)|2− z2μ2C2)
= ¿
z
(
− z
|E(x)|2− z2μ1C1− μ2E(x)
|E(x)|2− z2C2
− μ1
|E(x)|2− z2C1− z
|E(x)|2− z2μ2C2)
= z(
ψ1
ψ2)
Yoki bundan
Hψ = z(
ψ1
ψ2)
tenglikka ega bo’lamiz. Demak, ψ =
( ψ
1 , ψ
2 ) H
operatorning xos funksiyasi va z
soni
H
operatorning xos qiymati ekan.
Teorema isbot bo’ldi.
Isbotlangan teoremaga asosan, aytish mumkinki
H operatorning muhim spektri
[−1,1 ]
dan iborat, R ¿ − 1,1 ¿
da esa deskrit spektri mavjud.
Xulosa
Ushbu malakaviy bitiruv ishi Shredinger operatori, uning xossalari va
spektrini, muhim spektri va deskrit spektrlarini o’rganishga bag`ishlangan.
Malakaviy bitiruv ishida operator va uning xossalari, chiziqli, o’z-o’ziga
qo’shma va unitar operatorlarga misollar keltirilgan. Shredinger operatorining

deskrit ko’rinishi va uning impuls tasviri keltirilib, uning spektri, xos qiymat va xos
vektor haqidagi teorema va uning isboti o’rganildi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. J.I. Abdullayev, R.N. G‘anixo‘jayev, M.H. Shermatov, O.I.Egamberdiyev.
Funksional analiz. Oliy o‘quv yurtlarining fizika-matematika fakulteti
talabalari uchun o‘quv qo‘llanma. Toshkent – Samarqand – 2009. –424 bet.
2. M.I.Mo’minov, C.Lokman Finiteness of discrete spectrum of the two-
particle Sch ӧ dinger operatori on diamond lattices. Nanosystems;
physics, chemistry matematics, 2017, 8(3), P. 310-316.
3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и
функционального анализа. Москва : Наука . 1989.
4. Фаддеев Л.Д. Математические вопросы квантовой теории рассеяния
для системы трех частиц . Труды матем. инс-та. АН СССР. 1963. 122 с.
5.
6. Муминов М.Э., Хуррамов А.М. Спектральные свойства двухчастичного
гамильтониана на решетке // Теор. Мат. Физика. 2013. Т. 177, №. 3. C.
480–493.
7. Муминов М.Э., Хуррамов А.М. О кратности виртуального уровня
нижнего края непрерывного спектра одного двухчастичного
гамильтониана на решетке // Теор. Мат. Физика. 2014. Т. 180, №. 3. C.
329–341.
8. Муминов М.Э., А.М. Хуррамов А.М. Спектральные свойства
двухчастичного гамильтониана на одномерный решетке // Уфимск.
матем. журн. 2014. Т. 177, №. 4. C. 102–110.

9. S.N.Lakaev, Sh.S.Lakaev. The existence of bound states in a system of three
particles in an optical lattice // J.Phys. A: Math.Theor. 2017. 50 . 335202, 17
pp.
10. Муминов М.Э. О положительности двухчастичного гамильтониана на
решетке // Теор. Мат. Физика . 2007. Т .153, №. 3. С . 381–387.

IKKI O’LCHAMLI OLMOS PANJARADAGI SHREDINGER M U N D A R I J A Kirish ………………………………………………………………………. 1. Helbert fazosida o`z-o`ziga qo`shma operatorlar nazaryasining asosiy tushunchalari. Chiziqli operatorlarning spektri. 1.1 Hilbert fazolarida chiziqli chegaralangan operatorlar……………………. 1.2 Hilbert fazosida o`z-o`ziga qo`shma operatorlar va ularning xossalari… 1.3 Hilbert fazolarida aniqlangan operatorlarning spektri……………………… 1.4 Unitar ekvivalent operatorlar……………………………………………… 2. Olmos panjaradagi diskrit Shredinger operatorining spektri. 2.1 Olmos panjaradagi diskrit Shredinger operatorining koordinata va implus ta`sviri………………………………………………………………………………. 2.2 Olmos panjaradagi diskret Shredinger operatorning muhim spektri…….. 2.3 Xos qiymat va xos funksiya haqidagi teorema……………………………….. Xulosa ……………………………………………………………………….. Adabiyotlar ro`yxati ………………………………………………………… Kirish

BOB 1. Hilbert fazosida o`z-o`ziga qo`shma operatorlar nazaryasining asosiy tushunchalari. Chiziqli operatorlarning spektri . Tayanch ma`lumotlar : Bu bobda Hilbert fazosida aniqlangan chiziqli chegaralangan operatorlar ta’rifi va xossalari , Hilbert fazosida o‘ziga – o‘zi qo‘shma operator tushunchsi , o‘z – o‘ziga qo‘shma operatorlarning xossalari, Hilbert fazosida aniqlangan operatorlarning spektri o‘rganilgan va ularga misollar qurilgan. 1.1 Hilbert fazolarida chiziqli chegaralangan operatorlar. Bizga H 1 va H 2 Hilbert fazolari berilgan bo`lsin. Ta`rif 1.1.1 . Agar H 1 fazoning har bir elementiga H 2 fazoning yagona elementi mos qo’yilgan bo’lsa, bu moslik operator deyiladi va A:H 1⟶ H 2 yoki y= Ax (x∈H 1y∈H 2) kabi belgilanadi . Umuman A operator x∈H 1 ning hamma yerida aniqlangan bo`lishi shart emas. Bu holda Ax mavjud va Ax∈H 2 bo`lgan barcha x ∈ H 1 lar to`plami A operatorning aniqlanish sohasi deyiladi va D(A) bilan belgilanadi, ya`ni D (A)={x∈H 1:Ax mavjud va Ax∈H 2 } Biror x ∈ D ( A ) uchun y= Ax bajariladigan y∈H 2 lar to`plami A operatorning qiymatlar sohasi yoki tasviri deyiladi va R(A) bilan belgilanadi. R(A)={y∈H 2:∃x∈D (A),Ax = y}. Misol uchun A:l2⟶ l2,Ax =(x1,2x2,... ,nxn,...) operatorning aniqlanish sohasi butun fazoga teng emas. Chunki bu operator

x 0 =( 1 , 1 2 , 1 3 , ... , 1 n , ... ) ∈ l 2 Vektorni A x 0 = ( 1,1,1 , ... , 1 , ... ) vektorga o’tkazadi va bu vektor l2 fazoning elementi bo’lmaydi, ya’ni x0 bu operatorning aniqlanish sohasiga teng emas. Agar H 1 va H 2 lar chiziqli fazolar bo’lib, istalgan x∈H 1 va λ∈C uchun A(λx )= λAx munosabat bajarilsa, A operator bir jinsli deyiladi. Agar istalgan x,y∈H 1 uchun A ( x + y ) = Ax + Ay munosabat bajarilsa, u holda A operator additiv deyiladi. Ta'rif 1.1.2 Bir jinsli additiv operator chiziqli operator deyiladi. Demak biror operatorni chiziqlilikka tekshirish uchun uni additivlik va bir jinslilikka tekshirish lozim. Chiziqli operatorning ta’rifiga ekvivalent quyidagi ta’rifni ham keltirib o’tish foydadan xoli bo’lmaydi: Ta'rif 1.1.3. Agar ixtiyoriy x,y∈H 1 va α,β∈C lar uchun A(αx +βy )= αAx +βAy Tenglik bajarilsa, u holda A operator chiziqli deyiladi. Lekin chiziqli operatorning aniqlanish sohasi chiziqli ko’pxillik bo’lishi talab etiladi. Operatorning aniqlanish sohasi D ( A ) deb belgilanadi. R ( A ) deb esa A operatorning qiymatlar to’plamini belgilaymiz: R(A)={y∈H 2:∃x∈D (A),Ax = y}. Misol 1.1.1 A : l 2 ( Z d ) ⟶ l 2 ( Z d ) , ( Af ) ( x ) = v ( x ) f ( x ) operator chiziqli operatordir. Bu operator ∥ Af ∥2= ∑x∈Zd ∨ v(x)f(x)¿2<∞

bo’ladigan f ∈ l 2 ( Z d ) larda aniqlangan. Shuningdek, aniqlanish sohasi chiziqli ko’pxillikdir, ya’ni agar f , g ∈ D ( A ) bo’lsa, kompleks sonning modulining xossalariga asosan: ∥ A(αf +βg )∥2= ∑x∈Zd ∨ v(x)(αf (x)+βg (x))¿2=¿ ¿ ∑ x ∈ Z d ∨ αv ( x ) f ( x ) + βv ( x ) g ( x ) ¿ 2 ≤ ∑ x ∈ Z d ¿ ≤ ∑x∈Zd 2(¿αv (x)f(x)¿2+¿βv (x)g(x)¿2)=2∥Af ∥2+2∥ Ag ∥2<∞ , ya’ni αf +βg ∈D(A) . Shuningdek, A ( αf + βg ) ( x ) = v ( x ) ( αf ( x ) + βg ( x ) ) = ¿ ¿ αv ( x ) f ( x ) + βv ( x ) g ( x ) = α ( Af ) ( x ) + β ( Ag ) ( x ) , demak, A−¿ chiziqli operator. Misol 1.1.2. Xuddi shunday usul bilan A:L2(Td)⟶ L2(Td),(Af )(x)=u(x)f(x) Operatorning aniqlanish sohasi D ( A ) = { f ∈ L 2 ( T d ) : ∥ Af ∥ 2 = ∫ T d ∨ u ( x ) f ( x ) ¿ 2 dx < ∞ } ning chiziqli ko’pxillik ekanligi hamda A operatorning chiziqli ekanligi isbot qilinadi. Misol 1.1.3. A : L 2 ( T d ) ⟶ L 2 ( T d ) , ( Af ) ( x ) = ∫ T d v ( x − y ) f ( y ) dy integral operatorni qaraymiz, bu yerda v ( ⋅ ) biror uzluksiz funksiya. Bu operatorning

aniqlanish sohasi D ( A ) = L 2 ( T d ) . Chiziqli ekanligi esa integralning chiziqli ekanligidan kelib chiqadi. Chiziqli operatorlar uchun chegaralanganlik tushunchasi odatdagi funksiyaning chegaralanganligi tushunchasidan biroz farq qiladi. Faraz qilamiz,H 1,H 2 lar Hilbert fazolari bo’lsin. Ta'rif 1.1.4. Agar A : H 1 ⟶ H 2 operator H 1 dagi istalgan chegaralangan to’plamni H 2 dagi chegaralangan to’plamga o’tkazsa, u chegaralangan operator deyiladi. Demak chegaralanmagan operator biror chegaralangan to’plamni chegaralanmagan to’plamga o’tkazadi. Chiziqli operatorlar uchun chegaralanganlik ta’rifini quyidagicha ham berish mumkin: Ta'rif 1.1.5. H 1 va H 2 Hilbert fazolari va A : H 1 ⟶ H 2 chiziqli operator bo’lsin. Agar biror M >0 son va istalgan x∈H 1 uchun ∥ Ax ∥H2≤M ∥ x∥H1 tengsizlik bajarilsa, A chegaralangan operator deyiladi. Agar istalgan M soni uchun shunday x M ∈ H 1 element mavjud bo’lib, ∥ A x M ∥ H 2 > M ∥ x M ∥ H 1 munosabat o’rinli bo’lsa, A chegaralanmagan operator deyiladi. Agar A operator chegaralanmagan bo’lsa, uning normasi ∞ ga teng deb qabul qilamiz. Misol 1.1.4. A : C n ⟶ C n , Az = ( z 1 , 2 z 2 , ... , n z n ) operatorni qaraylik. ∥ Az ∥ 2 = ∑ k = 1n ∨ k z k ¿ 2 ≤ n 2 ∑ k = 1n ∨ z k ¿ 2 = n 2 ∥ z ∥ 2

O'xshashlar

OLMOS PANJARADAGI DISKRET SHREDINGER

IKKI O’LCHAMLI UCHBURCHAKLI PANJARALARIDA DISKRIT SHREDINGER OPERATORI SREKTRI

BIR VA IKKI O‘LCHAMLI OLMOS PANJARALARIDAGI BA’ZI DISKRET SHREDINGER OPERATORINING XOS QIYMATLARI

PANJARADAGI IKKI BOZONLI SISTEMAGA MOS SCHӦDINGER OPERATORINING XOS QIYMATLARI

Kristallarda nuqsonlar