logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. LAGRANJ TENGLAMALARINING MASSALALAR YECHISHGA TATBIQLARI

LAGRANJ TENGLAMALARINING MASSALALAR YECHISHGA TATBIQLARI

Yuklangan vaqt:

20.11.2024

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

844.583984375 KB
Ko'chirib olish
LAGRANJ TENGLAMALARINING MASSALALAR YECHISHGA TATBIQLARI Mundarija Kirish…………………………………………………………………………… Masalaning qo‘yilishi………………………………………………………….. Analitik mexanikaning asosiy elementlari…………………………………… 1-bob. LAGRANJNING 1-TUR TENGLAMALARI VA MASALALAR YECHISHGA TATBIQLARI …………………………………………………. 1.1. Lagranjning 1-tur tenglamalari…………………………………………. 1.2. Lagranjning 1-tur tenglamalarining mexanika masalalariga tatbiqlari. 2-bob. LAGRANJNING 2-TUR TENGLAMALARI VA MASALALAR YECHISHGA TATBIQLARI…………………………………………………… 2.1. Lagranjning 2-tur tenglamalari……………………………………………. 2.2. Mexanik sistemalar dinamikasini masalalarida Lagranjning 2- tur tenglamasining qo‘llanishi………………………………………………………. XULOSALAR……………………………………………………………………. ADABIYOTLAR RO‘YXATI………………………………………………....... 2 Masalaning qo‘yilishi. Mexanik sistemalarningni matematik modellashtirishda yani harakat diferensial tenglamalarini olishda Lagranj tenglamalaridan keng foydalaniladi. Lagranjning birinchi tur tenglamalaridan foydalanishida mexanik sistemaga qo‘yilgan bog‘lanishlar tenglamalarini aniqlab, Lagranjning ko‘paytuvchilar usuli bo‘yicha sistemaning differensial tenglamalari ifodalannadi. Natijada bog‘lanishlar tenglamalari bilan birgalikda keltirilgan ko‘paytuvchilarning qiymatlari va sistemaning yechimlari, izlanayotgan nomalumlar aniqlanadi. Lagranchning ikkinchi tur tenglamalaridan foydalanishda qaralayotgan mexanik sistemaning umumlashgan kordinatalari, tezliklari, kinetik va potensial energiyalari tasir etuvchi umumlashgan kuchlar aniqlanib, mexanik sistemaning harakat diferensial tenglamalari aniqlanadi. Integrallash natijalari va boshlang‘ich shartlardan foydalanib, mexanik sistemalarning harakat, dinamikasi o‘rganiladi. Ushbu bitiruv malakaviy ish Lagranjning birinchi va ikkinchi tur tenglamalari yordamida mexanik sistemalarning turli harakatlarini o‘rganishga oid masalalarni yechishga, tahlil qilishga bag‘ishlangan. 3 Analitik mexanikaning asosiy elementlari. Nuqtalarning holati va harakati o’zaro bog’liq bo’lgan moddiy nuqtalar to’plamiga mexanik sistema deyiladi. Harakati jarayonida nuqtalari orasidagi masofa o’zgarmas bo’lgan mexanik sistemaga absalyut qattiq jism deyiladi. Agarda mexanik sistemaning har bi nuqtasi fazoda istalgan vaziyatni egallay olsa va istalgan tezlikka erisha olsa sistemaga erkin sistema, aks holda erksiz sistema deyiladi. Mexanik sistema holati va harakatini chegaralovchi sabablarga bog’lanishlar deyiladi. Bog’lanishlar mexanik sistema nuqtalarining holatiga va tezligiga chek qo’yadi. Mexanik sistemaga bog’lanishlar tomonidan qo’yilgan cheklanishlar qo’shimcha kuchlanishlarni yuzaga keltirib chiqaradi. Bu kuchlarga bog’lanish reaksiyalari deyiladi. Ularning boshqa kuchlardan farqi shundaki, bu kuchlar oldindan berilgan bo’lmaydi va ular bog’lanishlarning xarakteriga, sistemaning holati hamda xarakatiga bog’liq bo’ladi. Bog’lanishlar mexanik sistema nuqtalarining koordinatalari, tezliklari va vaqt orasidagi munosabatlarni ifodalovchi tenglama yoki tengsizliklar bilan beriladi. Mexanik sistema N ta moddiy nuqtadan tashkil topgan bo’lsin. V-nuqtaning dekart koordinatalarini x v , y v , z v lar bilan belgilaymiz. Agar sistemaga bitta bog’lanish qo’yilgan bo’lsa, u analitik usulda umumiy holda, quydagicha bo’ladi. f(x1,y1,z1,x2,y2,z2....,˙x1,˙y1,˙z1,....,˙xn,˙yn,˙xn,t)≤0, (1.1) bu yerda ˙xv,˙yv,˙xv(v=1,2 ,....,N) lar v-nuqta tezligining dekart koordinata o’qlaridagi proeksiyalari , t vaqt. Agar (1.1) munosabatda tenlik belgisi qo’yilgan bo’lsa, bunday bog’lanishga ushlab tura oladigan bog’lanish, tengsizlik belgisi qo’yilgan bo’lsa bunday bog’lanishga qo’yib yuboriladigan bog’lanish deyiladi. Masalan: koordinatalari x 1 , y 1 , z 1 va x 2 , y 2 , z 2 bo’lgan ikkita sterjen vositasida bir-biriga bog’langan bo’lsin. Bu holda bog’lanish ushlab tura oladigan bog’lanish bo’ladi va uning tenglamasi quydagicha yiziladi: (x2− x1)2+(y2− y1)2+(z2− z1)2− l2= 0, yani, bu nuqtalar orasidagi masofa hamma vaqt o’zgarmas qoladi. 4 Agar sterjenni cho’zilmaydigan ip bilan almashtirsak nuqtalar bir-biriga yaqinlasha oladi, lekin bir-biridan l dan katta masofaga uzoqlasha olmaydi. Bu holga bog’lanish qo’yib yuboradigan bog’lanish bo’ladi va bo’g’lanish tenglamasi quydagicha bo’ladi: Kelgusida biz faqat ushlab tura oladigan bog’lanishlarni qaraymiz. Agar bog’lanish tenglamasi f(xv,yv,zv,˙xv,˙yv,˙zv,t)=0 (v=1,2,3 ,...,N) (1.2) Vaqt t dan oshkor ko’rinishda bog’liq bo’lsa, bunday bog’lanishga reonomli yoki nostatsionar bog’lanish deyiladi. Masalan: ikkita nuqta elastik sterjen bilan bir-biriga bog’langan va sterjen uzunligi quydagi qonun bilan o’zgarsin: l=l1+l0sin t . Bu holda bog’lanish tenglamasi quydagicha bo’ladi: (x2− x1)2+(y2− y1)2+(z2− z1)2− (l1+l2sin t)2= 0, bu yerda x 1 ,y 1 ,z 1 va x 2 ,y 2 ,z 2 lar nuqtalarning koordinatalari. Agar bog’lanish sistema nuqtalarining faqat kordinatalariga chek qo’ysa, ya’ni bog’lanish tenglmasi quydagi ko’rinishda berilgan bo’lsa, f(xv,yv,zv,t)=0 (1.3) bunday bog’lanishga geometrik yoki gonolomli bog’lanish deyiladi. (1.2) tenglama bilan berilgan bog’lanishga kinematik bog’lanish deyiladi. Agar kinematik (differensial) bog’lanish tenglamasi (1.2) ni integrallash yo’li bilan (1.3) ko’rinishga keltirish mumkin bo’lmasa, bunday bog’lanishga nogonomli (integrallanmaydigan) bog’lanish deyiladi. Agar (1.2) tenglama integrallash yo’li bilan (1.3) ko’rinishga keltirilsa, u holda bog’lanish geometrik bog’lanish bo’ladi. Masalan: bog’lanish tenglamasi ∑v=1 N (xv˙xv+yv˙yv+zv˙zv)=0 ko’rinishida berilgan bo’lsin. Bu tenglama integrallashdan so’ng quydagi ko’rinishga keladi. ∑v=1 n (xv2+yv2+zv2)= c, integrallash o’zgarmas. Demak, bog’lanish geometrik bog’lanish bo’lar ekan. 5 Agar gonolomli bog’lanish tenglamasi vaqtdan oshkor bog’liq bo’lsa, ya’ni bog’lanish tenglamasi f(xv,yv,zv)=0 (v=1,2,3 ,...,N) ko’rinishida berilgan bo’lsa, bunday bog’lanishga skleronomli statsionar bog’lanish deyiladi. Shuni ta’kidlab o’tish lozimki, nogolonomli bog’lanish tenglamasi t dan oshkor bog’liq bo’lmasa ham bog’lanish reonomli bo’lishi mumkin. Mexanik sistemaga tenglamalari quydagi ko’rinishda berigan m ta bog’lanish qo’yilgan bo’lsin, ya’ni ∑v=1 N (Aμv ˙xv+Bμv ˙yv+Cμv ˙zv)+D μv= 0 (μ=1,2 ,...,m) Bu yerda Aμv,Bμv,Cμv,Dμv lar koordinatalarining va vaqtning funksiyasi. Agar bu tenglamalar sistemasi integrallansa, bog’lanish gonolomli, aks holda nogonolomli bo’ladi. Moddiy sistemaga qo’yilgan bog’lanishlar gonolomli bo’lsa, bunday sustemaga gonolom sistewma deyiladi. Agar bog’lanishlardan hech bo’lmaganda bittasi nogonolomli bo’lsa, bunday sistemaga nogonolomli sistema deyiladi. Mexanik sistema holatini to’lasincha aniqlovchi parametrlarga, ya’ni sistemani har bir nuqtasining holatini aniqlovchi parametrlarga umumlashgan deyiladi. N ta moddiy nuqtadan tashkil topgan moddiy sistemaga k-ta geometrik bog’lanish qo’yilgan bo’lsin, ya’ni f(xv,yv,zv,t)=0 (v=1,2,3 ,...,k) (1.4) 3N ta koordinatalar k ta tenglamalar bilan bog’langan. Bu tenglamalar sistemasini echib, k ta koordinatalarni qolgan 3N-k ta koordinatalar orqali ifodalash mumkin. Bu 3N-k ta koordinatalar ixtiyoriy qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Shu koordinatalar sistema nuqtalarining holatini bir qiymatli aniqlaydi. Bu koordinatalar umumlashgan koordinatalar bo’ladi. Shunday qilib, umumlashgan koordinatalar soni n=3N-k (1.5) ga teng bo’lar ekan. Umumlashgan koordinatalar sifatida faqat dekart koordinatalarini olish shart emas, balki ihtiyoriy koordinatalarni olish mumkin. Har xil masalada har xil umumlashgan koordinatalar kritiladi. Umumlashgan koordinatalarni qulay tanlash masala yechimini osonashtiradi. 6 Moddiy nuqtaga geometrik bog’lanish qo’yilgan bo’lsin. Geometrik bog’lanish tenglamasi quydagicha yoziladi: f(x, y, z) = 0 (statsionar bog’lanish) (1.6) f(x, y, z, t) = 0 (reonomli bog’lanish) (1.7) Ushlab tura olmaydigan bog’lanish f(x, y, z)≥0 ko’rinishida bo’ladi. Buni quydagicha ham yozish mumkin: f(x, y, z) = c (1.8) bu yerda c≥0. Bu bog’lanishlar ta’sirida nuqta f(x, y, z)=0 sirt ustida turishi yoki f(x,y,z)>0 tengsizlikni qanotlantirgan holda bog’lanishni tashlab ketishi mumkin. Erksiz moddiy nuqtaning x, y, z koordinatalari ihtiyoriy paytda bog’lanish tenglamasini qanotlantirishi kerak. Shuning uchun nuqtaga bitta geometrik bog’lanish qo’yilgan bo’lsa, o’zaro bog’liq bo’lmagan koordinatalar ikkita bo’ladi va nuqtaning erkinlik darajasi ikkiga teng. Ikkita geometrik bog’lanish qo’yilgan bo’lsa, nuqta bitta erkinlik darajasiga ega bo’ladi. Uchta geometrik bog’lanish qo’yilgan bo’lsa, nuqta qaralayotgan sanoq sistemasiga nisbatan qo’zg’almas bo’ladi. Moddiy nuqtaga qo’yib yubormaydigan statsionar bog’lanish qo’yilgan bo’lsin f(x, y, z)=0. M nuqtaning koordinatalarini x, y, z bilan belgilaymiz. Nuqtaga MM 1=δ⃗r virtual ko’chish beramiz, u holda M 1 nuqtaning koordinatalari x+δx ,y+δy ,z+δz , bo’ladi. M 1 nuqtaning koordinatalari bog’lanish tenglamasini qanoatlantirishi kerak, ya’ni f(x+δx ,y+δy ,z+δz )=0 Bu ifodani darajali qatorga yozamiz. f(x,y,z)+∂f ∂xδx +∂f ∂yδy +∂f ∂zδz +ε(δx ,δy ,δz )=0, Bu yerda ε(δx ,δy ,δz ) = δx ,δy ,δz larga nisbatan yuqori tartibli kichik miqdor. f(x,y,z)=0 va yuqori tartibli kichik miqdorlarni tashlab yuborsak, quydagi tenglikka kelamiz ∂f ∂xδx +∂f ∂yδy +∂f ∂zδz =0 (1.9) Shunday qilib f(x,y,z)=0 bog’lanish bo’lgan holda nuqta koordinatalarining variatsiyalari (1.9) tenglikni qanoatlantirar ekan. 7 O’zaro bog’liq bo’lmagan varatsiyalar ikkita bo’ladi. Endi bog’lanish qo’yib yubormaydigan reonomli bo’lsin, ya’ni f(x,y,z,t)=0 M 1 nuqtaning koordinatalarini bog’lanish tenglamasiga qo’yib, uni darajali qatorga yoyamiz.f(x+δx ,y+δy ,z+δz )= f(x,y,z)+∂f ∂xδx +∂f ∂yδy +∂f ∂zδz +ε(δx ,δy ,δz )=0, f(x,y,z,)=0 va yuqori tartibli kichik miqdorlarni tashlab yuborsak, ya’ni (1.9) ga mos munosabatni hosil qilamiz, yani ∂f ∂xδx +∂f ∂yδy +∂f ∂zδz =0 (1.9) Bundan ko’rinib turibdiki, bog’lanishning reonomligi koordinatalarning variatsiyalariga hech qanday ta’sir ko’rsatmaydi, chunki vaqt variatsiyalanmaydi. Endi bog’lanish f(x,y,z)=0 bo’gan holda nuqtaning haqiyqiy ko’rinishini qaraymiz. Nuqta t paytda M holatda bo’lsin. dt vaqt oralig’ida nuqta M11 holatga o’tsin. M11 nuqtaning koordinatalari x+dx, y+dy, z+dz va haqiqiy ko’chish MM 1 1=dr bo’ladi M11 nuqtaning koordinatalari bog’lanish tenglamasini qanoatlantirishi kerak, ya’ni f(x+dx, y+dy, z+dz)=0 buni darajali qatorga yoyamiz. f(x,y,z)+∂f ∂xdx +∂f ∂ydy +∂f ∂zdz +ε(δx ,δy ,δz )=0, Bu yerda ε(δx ,δy ,δz ) - δx ,δy ,δz larga nisbatan yuqori tartibli kichik miqdor. f(x,y,z)=0 ni e’tiborga olib, yuqori tartibli kichik miqdorlarni tashlab yuborsak, quydagi munosabatni hosil qialmiz ∂f ∂xdx +∂f ∂ydy +∂f ∂zdz =0 (1.10) Demak, bog’lanish statsionar bo’lgan holda nuqta koordinatalarining variatsiyalari ham, haqiqiy ko’rinishning proeksiyalari ham bir xil shartlarni qanoatlantirar ekan, ya’ni bu holda nuqtaning haqiqiy ko’chishi mumkin bo’lgan ko’chishlar to’plamiga kirar ekan. 8 Bog’lanish reonomli bo’lsin, ya’ni f(x,y,z,t)=0. M11 nuqta koordinatalarini bog’lanish tenglamasiga qo’yib, uni darajali qatorga yoyamiz: f(x+δx ,y+δy ,z+δz )= f(x,y,z,t)+∂f ∂xdx +∂f ∂ydy +∂f ∂zdz +ε(δx ,δy ,δz )=0, Yuqori tartibli kichik miqdorlarni tashlab yuborib, hamda f(x,y,z,t)=0 ni etiborga olib, quydagi munosabatni hosil qilamiz: ∂f ∂xdx +∂f ∂ydy +∂f ∂zdz +∂f ∂tdt=0. (1.11) Bu holda (1.10) va (1.11) shartlar bir xil emas, ya’ni haqiqiy ko’chish proeksiyalari bilan mumkin bo’lgan ko’chish proeksiyalari har xil shartlarni qanoatlantiradi. Bu shuni bildiradiki, bog’lanish reonomli bo’lsa nuqtaning xaqiqiy ko’chishi mumkin bo’lgan ko’chishlar to’plamiga qarashli bo’lmaydi. Buni geometrik interpritarsiyasini qaraymiz. Vaqtning biror t paytda nuqta turg’un sirt I holatda bo’lsin. Harakatlanuvchi nuqta M holatda bo’lsin. Shu t vaqtda nuqtaning har qanday virtual ko’chishi I sirtni M nuqtasidan o’tuvchi urinma tekislikda yotadi. Nuqtaning haqiqiy ko’chishi dt vaqt oralig’ida sodir bo’ladi. Bu vaqt oralig’ida sirt II holatga o’tadi. Natijada MM 1 1=dr vektor aytilgan urima tekislikda yotmaydi, shuning uchun haqiqiy ko’chish birorta ham virtual ko’chish bilan ustma-ust tushmaydi. Endi nuqtaga ushlabtura olmaydigan statsionar bog’lanish holni karamiz, ya’ni f(x,y,z)=c bu yerda c≥0. Nuqtaga δ⃗r(δx ,δy ,δz ) virt ual ko’chish beramiz. U holda nuqtaning yangi holati uchun f(x+δx ,y+δy ,z+δz )= с+δс , bu yerda δc =0 , agar nuqta bog’lnishni tashlab ketmasa, δc ≠0, agar nuqta bog’lanishni tashlab ketsa. Oxirgi ifodani Teylor qatoriga yoyib, yuqori tartibli kichik miqdorlarni tashlab yuborsak, quydagi tenglikni hosil qilamiz: f(x,y,z)+∂f ∂xδx +∂f ∂yδy +∂f ∂zδz =с+δс 9 f(x,y,z)=c bo’lgani uchun ∂f ∂xδx +∂f ∂yδy +∂f ∂zδz =δс (1.12) (1.12) tenglik qo’yib yuboradigan bog’lanish tomonidan nuqta koordinatalari variatsiyalariga qo’yiladigan shartni ifodalaydi. Agar nuqta bog’lanishni tashlab keta olmasa, δc =0 ; va (1.12) shart (1.9) shart bilan ustma-ust tushadi. Agar nuqta bog’lanishni tashlab ketsa, δc aniq bir ishoraga bog’liq bo’ladi. Bog’lanish reonomli bo’lgan holda ham huddi shunday natijani olamiz. Olingan natijalarni boshqacha ko’rinishda ham tasvirlash mumkun. Bizga ma’lumki gradf (x,y,z)= ∂f ∂x ⃗i+∂f ∂y ⃗j+∂f ∂z ⃗k Bundan foydalanib, (1.9) va (1.12) shartlarni quydagicha yozish mumkin: gradf δ⃗r=0 (1.13) yoki ushlab tura olmaydigan bog’lanish uchun gradf δ⃗r=δc (1.14) bu yerda δc aniq bir ishoraga ega. N ta moddiy nuqtadan tashkil topgan mexanik sistemani qaraymiz. Sistemaga k ta ganolomli bog’lanish qo’yilgan bo’lsin. Qaralayotgan sistemaning holati n=3N-k ta q 1, q 2 ,…, q n o’zaro bog’liq bo’lmagan parametrlar bilan aniqlanadi. Ana shu q i (i=1,2,…,n) parametrlarga sistemaning umumlashgan koordinatalari deyiladi. Sistemaning erkinlik darajasi deb, umumlashgan koordinatalarning o’zaro bog’liq bo’lmagan variatsiyalari soniga aytiladi. Barcha 3N ta dekart koordinatalarini umumlashgan q 1, q 2 ,…, q n koordinatalar orqali ifodalash mumkin, ya’ni xv=xv(q1,q2,...,qn,t), yv=yv(q1,q2,...,qn,t),(v=1,2 ,...,N), zv=zv(q1,q2,...,qn,t), ( 1.15) (1.15) tenglmalar vektor ko’rinishida quydagicha ifodalanadi: ⃗rv= xv⃗i+yv⃗j+zv⃗k=⃗r(q1,q2,....,qn,t) (v=1,2 ,...,N) (1.16) Agar bog’lanishlar statsionar bo’lsa, (1.15) tenglamalarni shunday tasvirlash mumkinki, ularning ifodasiga vaqt oshkor ko’rinishda kirmaydi, ya’ni 10 xv=xv(q1,q2,...,qn), yv=yv(q1,q2,...,qn),(v=1,2 ,...,N), zv=zv(q1,q2,...,qn), (1.17) Bu holda systema nuqtalarining radius vektorlari ham faqat umumlashgan koordinatalarning funksiyasi bo’ladi, ya’ni ⃗rv=⃗rv(q1,q2,....,qn) (v=1,2 ,...,N) (1.18) vaqtni fiksirab olib, (1.15) funksiyalarni differennsiallaymiz: ~dxv=∑ i=1 n ∂xv ∂qi ~dqi, ~dyv=∑ i=1 n ∂yv ∂qi ~dqi, ~dzv=∑ i=1 n ∂zv ∂qi ~dqi, fμ(xv,yv,zv,t)=0(μ=1,2 ,...,n) bog’lanish tenglamalarini fiksirlangan t uchun to’la differensialini hisoblaymiz ∑v=1 N ( ∂ fμ ∂xv dx v+∂ fμ ∂yv dy v+∂ fμ ∂zv dz v)= 0 (μ=1,2 ,....,k) Endi bog’lanish tenglamalarini variatsialaymiz ∑ v=1 N ( ∂ fμ ∂xv δx v+∂ fμ ∂yv δy v+∂ fμ ∂zv δz v)= 0 Olingan oxirgi tenglamardan dx v,dy v,dz v differensiallar δx v,δyvδzv variatsialar bilan mos tushadi. Koordinatalar variatsialari statsionar bog’lanish uchun ham, quydagi formulalar bilan hisoblanadi: δx v=∑i=1 n ∂xv ∂qi δq i, δy v=∑i=1 n ∂yv ∂qi δq i, δz v=∑i=1 n ∂zv ∂qi δq i, (1.19) δq i=dq i larga umumlashgan koordinatalarning variatsialari deyiladi. Bundan tashqari xulosa qilish mumkunki, gonolomli sistemaning erkinlik darajasi umumlashgan koordinatalarning soniga teng bo’lar ekan. Nogolonomli sistema uchun bunday emas, ya’ni sistemaning erkinlik darajasi umumlashgan koordinatalar sonidan nogonolomli bog’lanishlar tenglamalari sonining ayirmasiga teng. 11 Sistema nuqtalariga ta’sir etuvchi kuchlarning mumkin bo’lgan ko’chishlarda bajargan ishlari yig’indisiga mumkin bo’lgan ish deyiladi. Mumkin bo’lgan ish quydagicha yoziladi: δA =∑v=1 N ⃗Fv⋅δ⃗rv (1.20) bu yerda: ⃗Fv sistemaning v- nuqtasiga ta’sir etuvchi barcha kuchlarning teng ta’sir etuvchisi, δ⃗rv - o’sha nuqtaning mumkin bo’lgan ko’chishi. (1.16) va (1.19) ga asosan mumkin bo’lgan ko’chish uchun quydagi ifodani yozish mumkin: δ⃗rv=∑ i=1 n ∂⃗rv ∂qi δq i, (1.21) (1.21) ni (1.20) ga qo’yamiz; δA =∑ v=1 N ⃗Fv∑ i=1 n ∂⃗rv ∂qi δq i Bu yerda yig’indi tartibini almashtiramiz δA =∑ v=1 N δq i∑ i=1 n ⃗Fv ∂⃗rv ∂qi Quydagicha belgilash kiritamiz Q=∑ ∑ i=1 n ⃗Fv ∂⃗rv ∂qi = ∑ v=1 N (Xv ∂xv ∂qi +Yv ∂yv ∂qi +Zv ∂zv ∂qi) (1.22) Q i ga q i umumlashgan koordinataga mos umumlashgan kuch deyiladi. Har bir umumlashgan koordinataga bitta umumlashgan kuch mos keladi. Natijada: δA =∑i=1 n Qiδq i= Q1δq 1+Q2δq 2+...+Qnδq n (1.23) Umumlashgan ish ifodasidagi umumlashgan koordinatalar variatsiyalari oldidagi koeffitsientlar umumlashgan kuchlarni ifodalaydi. 1.1. LAGRANJNING 1-TUR TENGLAMALARI 12 A k t i v k u c h l a r t a ’ s i r i d a g i m e x a n i k s k s t e m a n i q a raymiz. Sistemaga chekli golonomli va differensial bog’lanishlar qo’yilgan bo’lsin, N ta moddiy nuqtadan tash kil topgan mexanik sistemaning xarakat differensial tenglamalari quyidagicha bo’ladi. ( (1.1) (1,1) tenglamalarda 3 N ta dekart koordinalari, 3 N ta……. reaksiya kuchlarining proyeksiyalari, ya’ni 6 N ta noma’lum katnashadi. Sistema nuqtalariga k ta cheklifk(x,y,z,t)=0,(k=1,2 ,...,k) ( 1 .2) r ta differensial (1.3) boglanishlar qo’yilgan bo’lsin. Bu yerda …… va …… lar sistema nuqtalarining koordikatalarini va vaqtni funksiyalari. Shunday qilib; r ta differensial bog’lanishli va k ta geometrik bog’lakishli nogolonomli sistemani qaraymiz. Mexanik sistemani harakat differensial tenglamalari (1.2) va (1.3) bog’lanish tenglamalari bilan birgalikda 3 N+k+r tenglamalar sistemasini hosil qiladi. Bu tengla malardan 6 N ta nomalumlarni topishimiz kerak. Demak, noma’lumlarning soni tenglamalar sonidan 3n -(k+r) taga ko’p, ya’ni sistemaning erkinlik darajasi qadar ko’p, Bun- dan ko’rinib turibdiki, (1.2),(1.3) bog’lanish tenglamalari ni berilishi masalani dinamik aniq masalaga keltirish uchun yetarli emas. Sistema bog’lanishlariga qo’shimcha shart lar qo’yish kerak. Faraz qilaylik, sistemaga qo’yilgan hamma b og’lanishlar ideal bo’lsin. Bu xolda masala aniq masalaga keltiriladi. Bog’lanshlar ideal bo’lgan xolda dinamikaning umumiy teng lamasidan foydalanamiz, bu tenglamaga bog’lanish reaksiyala ri kirmaydi. 13 Yuqoridagi bog’lanish tekglamalarini variasiiyalab q uyidagi teng lamalarni hosil kilamiz: (1.4) va (1.5) Shunday qilib, 3 N ta δ x v , δ y v , δ z v variasiyalardan k+r tasi o’zaro bog’langan, 3K- (k+r) tasi o’zaro bog’lanmagan. (k+r) ta o’zaro bog’langan variasiyalarni (1.4) va (1.5) tengla malardan topib. Dinamikaning umumiy tenglamasiga ko’yamiz. Natijada oxirgi tekglamada faqat o’zaro bog’lanmagan variasiyalar katnashadi. Variasiyalarni o’zaro bog’liq, bo’lmaganligidan, ular oldidagi koeffitsiyntlar nolga tengligi kelib chiqadi, nat'ijada 3N-(k+r) ta tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamalarga (1.2) va (1.3) (k+r) ta bog’lanish teng lamalarini ko’shib, 3 N ta tenglamalar sistemasini hosil qi lamiz. Hosil bo’lgan tenglamalar sistemasidan 3 N ta dekart koordinatalarini topish mumkin. Demak o‘zaro bog’liq, variasiyalarni yo’qotishni Lagranjning anikmas kupaytuvchilar metodidan foydalanib bajarish osonrok. Buning uchun (1.4) tenglamalarning har birini λk(k=1,2 ,...,k) ga, (1.5) tenglamalarni har birini ga ko’paytirib, dinamikaning umumiy tenglamasi bilan hadma-had qo‘shamiz: (1.6) (1.6) tenglamada λ va μ larni shunday tanlaymizki, (k+r) ta o’zaro bog’liq variatsiyalar oldidagi koeffitsentlar nolga aylansin, qolgan variatsiyalar o’zaro bog’liqmasligidan, ularning oldidagi koeffitsentlar ham nolga teng bo’ladi. Natijada 3N ta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: ( (1.7 a ) 14 (1.7a) tenglamalarga (k+r) ta (1.7b) (1.8) bog’lanish tenglamalarni qo’shib, (3N+k+r) ta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu tenglamalar sistemasidan 3 N ta Dekart koordinatalarini va (k=r) ta Lagranj ko’paytuvchilarini topish mumkin. (1.7) tenglamalarni (1.1) tenglamalar bilan solishtirib, kuyidagi munosabatlarni hosil qilamiz: ( (1.9) Lagranj ko ’ paytuvchilaryaking mexanik ma ’ nosi statikada qanday bo ’ lsa , bu yerda ham xuddi shunday bo ’ lar ekan , ya ’ ni ular reaksiya kuchlariga proporsional buladi . (1,7) tenglamalarga Lagranjning 1-tur tenglamala ri deyiladi. 1.2. Lagranjning 1-tur tenglamalarining mexanika masalalariga tatbiqlari. 1.1-masala m massaga ega bo‘lgan nuqta va tekisliklarning kesishishidan hosil bo‘gan to‘g‘ri chiziq bo‘yicha harakatlanadi (oz-vertikal o‘q.) Nuqtaning harakat tenglamasini yozing, bog‘lanishlar reaksiyasini toping. Bog‘lanishlar tenglamasini yozamiz (1) Sistemaning erkinlik darajasi birga teng. Ushbu holda tenglamalar sistemasi quyidagicha bo‘ladi: 15 (2) (3) (4) Bog‘lanishlar reaksiyalarining teng tasir etuvchisining proeksiyalari (5) (1) Munosabatlarni differensiallab mumkin bo‘lgan tezlik va tezlanishlar tenglamalarini olamiz (6) (7) Nuqtaning tezlanishining proeksiyalari (8) Bog‘lanishlar ko’paytuvchilari (9) (9) ifodalarni (5) ga qo‘ysak quyidagiga ega bo‘lamiz (10) (8) tenglamalarni integrallash natijasida topamiz (11) Ushbu ifodalardagi o‘zgarmaslardan ikkitasi o‘zaro bog‘lanmagan , bu shartdan quyidagi munosabatlar kelib chiqadi: 16 U holda (11) tenglamalarni ikkita o‘zgarmaslar bo‘yicha quyidagicha yozish mumkin 1.2-masala m massali material nuqta markaziy tortish kuchi tasirida silliq qo‘zg‘almas ellipsoid va a,b,c yarim o‘q bo‘yicha harakatlanadi ( r-nuqtaning radius vektori , o‘zgarmas) reaksiya kuchini nuqtaning holati va tezligi funksiyasi sifatida aniqlang. Bog‘lanish tenglamasi quyidagicha bo‘ladi : Bundan topamiz (1) Nuqtaning harakat tenglamalari quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: (2) tenglamalardan larni topamiz, (1) ifodaga qo‘yamiz va bog‘lanishlarning ko‘paytuvchini aniqlaymiz yani 17 Ellipsoid riyaksiyasi uchun ega bo‘lamiz. 1.3-masala Massalari va bo‘lgan ikkita material nuqta silliq siterjen orqali ip bilan bog‘langan va vertical tekislikga harakatlanadi. Nuqtalarning tezlanishini aniqlang. 0 x Ip cho‘zilmaydigan bo‘lgani uchun geometrik bog‘lanish tenglamasini quyidagicha yozish mumkin: (1) Bu yerda sterjen kesiminingradiusi. Bu holda lagranjning birinchi tur tenglamasini yozamiz (2) (1) bog‘lanish tenglamasi bo‘yicha U holda (2) tenglamalardan ega bo‘lamiz ipning reaksiyasi . Ipning zo‘riqishi o‘qga qarama-qarshi yo‘nalgan, shuning uchun manfiy ishorali bo‘ladi. 18 1.4-masala Massalari bo‘lgan ikkita yuq cho‘zilmaydigan ipga bog‘langan. Ip qo‘zg‘almas blok orqali o‘tadi.yuklarning harakat tenglamalarini va ipning reaksiyasini aniqlang. Boshlang‘ich holatda sistema teng turadi. Iplarga ga yuklar osilgan. Yechish: Sistema ikkita qisimdan iborat, bitta bog‘lanish ikkinchi yukning og‘irlik kuchi o‘qni nuqtadan pastga yo‘naltiramiz kuchlarning o‘qga proeksiyalarini aniqlaymiz: (1) Bu holda bog‘lanish tenglamasi ipning quyidagicha bo‘ladi: (2) 19 O Bunda (2) bog‘lanish tenglamasining xususiy hosilalari (3) bo‘ladi. Lagranjning birinchi tur tenglamalarini yozamiz (4) (1) va (3) munosabatlarni hisobga olib (4) yozamiz Yoki (5) (5) differensial tenglamalar Lagaranj ko‘paytuvchi orqali ifodalangan. (5) tenglamalarning ikkinchisidan ni topamiz (6) Buni (5)-ning birinchi tenglamasiga qo‘yamiz natijada ega bo‘lamiz (7) (7) diofferensial tenglama (2) bog’lanish tenglamasi bilan birgalikga sistemani ifodalaydi. (2) tenglamani ikki marta differensiallasak (8) natijaga ega bo’lamiz (9) (9) sistemani boshlang’ich shartlarda, yani 20 larda integrallaymiz. Natijada yuklarning harakat tenglamasini olamiz: Iplarning reaksiyalarini aniqlash uchun ko’paytuvchini aniqlaymiz.(6) ifodaga (9) ning ikinchi tenglamasidan qiymatini qo’ysak (10) U holda (11) Demak, (3) va (10) natijalarga asosan (12) 2.1. Lagranjning 2-tur tenglamalari. Lagranj erksiz sistemaning harakatini bir-biriga bog’liqsiz umumlashtirilgan koordinatalar vositasi bilan tekshirganidan, koordinatalar soni sistemaning erkinlik darajasiga teng bo’ladi, shuning bilan birga harakat tenglamalarining soni ham sistemaning erkinlik darajasiga teng bo’ladi. Tajribada uchratiladigan sistemalarning erkinlik darajasi katta son bo’lmagani uchun erksiz sistemaning harakati bir necha diffrensial teng- lamalar bilan aniqlanadi. Masalan, sistema mashina yoki mexanizm bo’l- sa uning erkinlik darajasi bir-ikkitadan oshmaydi. Bazi asboblarda erkinlik darajasi ikkidan oshiq bo’lishi ham mumkin. Sistema faqat ta golonomli bog’lanishda bo’lsin. U holda sistemaning bir- biriga bog’liqsiz koordinatalari bo’ladi. Demak, sistemaning harakati ta bir-biriga bog’liqsiz umumlashtirilgan koordinatalar bilan 21 aniqlanadi. Sistemaning biror nuqtasining holati radius vektor bilan aniqlansin: . (2,1) Harakatni tekshirish uchun Dalamber-Lagranj tenglamasini olamiz yoki , Birinchi yig’indining umumlashtirilgan koordinatalar orqali ifodasi bizga ma’lum . shu formulaga muvofiq -umumlashtirilgan kuch. Sistema nuqtasining mumkin bo’lgan ko’chishini umumlashtirilgan koordinatalar orqali ifodalaymiz, buning uchun (a) dan ni aniqlaymiz: . bu formuladan foydalanib, tenglamaning ikkinchi qismini quyidagicha o’zgartirib yozamiz: Skalyar ko’paytma ) ni quyidagicha o’zgartirib yozishimiz mumkin: 22 ). ( 2.2) (1) Tenglikdan ni hisoblaymiz: . ( 2. 3) Bu ifodaga birinchi darajada kirganida, unga nisbatan xususiy hosila olsak: , (2.4) kelib chiqdiki. Undan tashqari, quyidagi tenglamani isbotlaymiz: , (2.5) Uning uchun (2.3) tenglamadan ga nisbatan hosila olamiz . Ikkinchi tomondan huddi shunday ifodani bevosita ning muvofiq ravishda ikki karra hosilasini olish bilan topishimiz mumkin, yani: . Keyingi ikki tenglamaning o’ng tomonlarini solishtirib, (2.5) formulani olamiz. Endi mana shu (2.4) va (2.5) tengliklardan foydalanib, yuqoridagi (2.2) ifodani o’zgartirib yozamiz: 23 bunda sitemaning kinetik energiyasi. Buni ko’zda tutib, ) ning qiymatini yuqoridagi kvadrat qavsga qo’ysak: kelib chiqadi. Bu ifodani ko zda tutsak, Dalamber - Lagranj tenglamasiʻ umumlashgan koordinata orqali quyidagicha yoziladi: =0 Umumlashtirilgan koordinatalarning barchasi mutlaqo ixtiyoriy son bulganidan ham ixtiyoriy sondir, shuning uchun keyingi tenglama faqat oldidagi qavslar har qaysisi alohida nulga teng bulgandagina qanoatlantirilishi mumkin, ya ni: ʼ (2.6) Bu tenglama Lagranjning ikkinchi tur tenglamasi deyiladi. Bu xildagi tenglamadan ta yozishimiz mumkin. Demak, erksiz harakat differensial tenglamasi sistemaning erkinlik darajasiga teng buldi. Lagranjning birinchi xil tenglamasida noma lumlar soni va shuning bilan birga tenglamalar soni ʼ ta edi. Kuramizki, Lagranjning ikkinchi xil tenglamasi birinchi xil tenglamasidan ta tenglamaga farq qilayapti. Bu farq, albatta, amaliy masalalarni yechishda juda ham katta ahamiyatga ega. Kinetik energiyani umumlashtirilgan koordinatalar orqali ifodalash Sistema ta material nuqtadan iborat bulib, bu nuqtalar ta golonomli boglanishda bulsa, uning erkinlik darajasi ta bulib, ta bir-biriga bog liqsiz koordinata bilan aniqlanadi. Sistemaning kinetik energiyasini mana shu ʻ umumlashtirilgan ta koordinata orqali ifodalaymiz. Uning uchun sistemaning 24 biror nuqtasining tezligini uning radius-vektori orqali quyidagicha aniqlaymiz: bundan: Bu ifodadan foydalanib, sistemaning to’la kinetik energiyasini hisoblaymiz: (2.7) bunda -umumlashtirilgan tezlikka nisbatan nol darajadagi funksiyadir: . (2.8) - umumlashtirilgan tezlikka nisbatan birinchi darajadagi (chiziqli) funksiya. , (2. 9 a ) . (2.9 b) Eng keyingi esa umumlashtirilgan tezlikka nisbatan ikkinchi darajali (kvadratik) funksiyadir: (2.10) 25 Bunda (2.11) Kinetik energiyaning umumlashtirilgan koordinatalar orqali ifodasi quyidagicha yozilad: . (2.12) Bog lanishlarning hammasi statsionar bulsa, ya ni vaqtga ochiqdan-ochiq bog liqʻ ʼ ʻ bo lmasa: ʻ buladi. Bu holda kinetik energiya ifodasi bir jinsli kvadratik funksiyaga keltiriladi: (2.13) Potensial kuch uchun Lagranj tenglamasi Sistemaga qo yilgan kuchlar potensialli bo lsa, umumlashtirilgan kuchlar potensial ʻ ʻ funksiyaning tegishli umumlashtirilgan koordinataga nisbatan olingan xususiy hosilasiga teng bo lishi bizga ma lum: ʻ ʼ Potensial funksiya o rniga potensial energiya olsak, bu tenglik manfiy ishora bilan ʻ yoziladi: . 26 Bu hol uchun Lagranj tenglamasi quyidagicha yoziladi: (2.14) Potensial energiya umumlashtirilgan tezlikka bog liq bulmaganidan foydalanib,ʻ (2.14) tenglamani boshqacharoq kurinishda yozamiz Shuning uchun yangi funksiya kiritamiz: U bulsin. Bu hol uchun (2.14) formula quyidagicha yoziladi: (2.15) Gamilton buyicha kinetik potensial yoki Lagranj funksiyasi deyiladi. Sistemaga qo yilgan kuch potensialli bulsa, Lagranj tenglamasidan foydalanish ʻ juda ham qulaylashadi. Faqat bilan ni hisoblab, (2.15) tenglamaga quysak, sistema nuqtalarining harakat tenglamasi kelib chiqadi Energiya integrali Lagranj tenglamasi ham potensial kuch uchun birinchi integralni beradi. Sistema golonomli statsionar bog lanishda bulib, erkinlik darajasi k ta bulsin; u ʻ holda harakat tenglamasi quyidagicha yoziladi: ( 2. 16) Bunda kuch funksiyasi: va 27 va vaqtga ochiqdan-ochiq bog liq emas.ʻ (2.14) tenglamaning har qaysisini ga ko paytirib, so ngra qo shsak: ʻ ʻ ʻ kelib chiqadi. Chap tomonning birinchi hadini quyidagicha o zgartirib yozamiz: ʻ Buni oldingi tenglikka ko’ysak: (2.17) kelib chiqadi. bir jinsli kvadratik funksiya bo lgani-dan, bir jinsli funksiyalar ʻ haqidagi Eyler teoremasiga muvofiq: ifodani xosil qilamiz. Undan tashkari, kuch funksiya bilan kinetik energiya vaqtga ochiqdan-ochiq bog’liq bulmaganligidan, ularning vaqtga nisbatan to la ʻ hosilasi quyidagicha ifodalanadi: , ( 2. 18) ) ( 2. 16) va ( 2. 17) ifodalarning ( 2. 18) tenglikka qo ysak: ʻ kelib chiqadi. Bundan: 28 Bu tenglamani integrallasak, energiya integrali kelib chiqadi: (2.19) Energiyaning saqlanish qonunini ifodalovchi (2.19) tenglama Lagranj tenglamasining sonini bitta kamaytirdi. Agar sistemaning erkinlik darajasi faqat bitta bulsa, u holda energiya integralining mavjudligi masalani hal qilib quyadi. 2.2. MEXANIK SISTEMALAR DINAMIKASINI MASALALARIDA LAGRANJNING 2- TUR TENGLAMASINING QO‘LLANISHI. Masala 2.1 Sistema ikki jismdan iborat bulib, biri silliq gorizontal birinchi ishqalanmasdan tekislikda jismga juda yengil sirpansin, ikkinchisi sterjen bilan biriktirilib, vertikal tekislikda tebranma harakat qilsin (2.1- Chizma). y Mana shu sistemaning harakatini tekshiramiz. Sistema tarkibiga kirgan jismlar og irlik markazining koordinatalarini tegishliʻ ravishda bilan belgilaymiz. Bu koordinatalar bilan burchak o rtasidagi munosabatni quyidagicha topamiz: ʻ 29 Sistemaning erkinlik darajasi ikkita bulib, umumlashtirilgan koordinatalar uchun bilan ni qabul qilamiz. Har qaysi jismning kinetik energiyasini hisoblash qiyin emas: + + . Sistemaning kinetik energiyasi: Shu ko’rinishda buladi. Birinchi jismning ogirligi gorizontal ko chishda ish bajarmaganidan, potensialʻ energiya ifodasi oldingi masaladagidek buladi, ya ni: ʼ Lagranj funksiyasi: dan tegishli hosilalarni tuzamiz: ; 30 Lagranj tenglamasi quyidagi ko ʻ rinishda yoziladi : . ning hammasini keltirib qo ysak, quyidagi differensial tenglamalarni olamiz:ʻ , Bu tenglamalarning integralini topish qiyin emas. Sistemaga qo yilgan kuch gorizontal yo nalishda bo lmaganidan, uning inersiya ʻ ʻ ʻ markazi faqat vertikal harakatda buladi. Shuning uchun: yoki = 0 bundan: . Bu tenglik birinchi differensial tenglikni qanoatlantirishi kurinib turibdi. Ikkinchi tenglamadan ni topamiz., 31 Kichik tebranishni tekshiramiz; buning uchun deb olamiz. va kichik son bo lganligi uchun ularning kupaytmasi ikkinchi tartibdagi kichikʻ son bulganligidan, ularni hisobga olmasak, harakat tenglamasi quyidagicha yoziladi: Bu, garmonik tebranish harakatining tenglamasi bo lib, uning davri: ʻ bulsin, u holda; bo ladi. Demak, ʻ ning og irligi ʻ ga qaraganda katta bulsa, tebranish davri oddiy tebrangich davridan kam farq qilar ekan. Masala 2.2 Rotorlarni statik muvoznatlashtirish uchun ishlatiladigan mashinada podishipniklar vertikal burchak ostida og’gan podishipnikka o’rnatilgan rotor (o’z o’qiga nisbatan) inersiya momentiga ega va o’qdan masofada joylashgan massani tashkil etadi. Rotor harakatining differensial tenglamasi yozilsin va rotor muvozanat holati atrofidagi kichik tebranishning chastotasi aniqlansin A r B mg 32 mgsinα α Lagranjning 2-tur tenglamasini yozamiz. Lagranj funksiyasi Qaralayotgan sistemaning kinetic energiyasi quyidagicha bo‘ladi: Potensial energiyasini yozamiz U holda Lagranj funksiyasi quyidagicha Xususiy hosilalarini topamiz, yani Ushbu ifodalarni Lagranjning 2-tur tenglamasiga qo‘ysak, ega bo‘lamiz 33 bo‘ganda differensial tenglamasi quyidagicha yoziladi: Bunda kichik tebranishlar chastitasi Masala 2.3. Qo ’ zg ’ almas vertikal o ’ q atrofida o ’ zgarmas burchak tezlik bilan aylanuvchi to ’ g ’ ri chiziqga moddiy nuqta og ’ irlik kuchi tasirida harakat qiladi to ’ g ’ ri chiziq gorizontal bilan burchak tashkil qiladi nuqta harakatining qonuni topilsin . B M r mg A α 2.3.chizma O konservativ sistemalar uchun Lagranjning ikkinchi tur tenglamasi quyidagicha bo‘ladi (A) nuqtaning harakati murakkab harakat bo’lgani uchun kinetik energiya 34 Bu yerda Kinetik energiyaning hosilalari quyidagicha bo‘ladi M nuqta uchun potensial energiya quyidagicha : Hosilasi aniqlaymiz: Bularni (A) tenglamaga qo’ysak, ega bo‘lamiz Yoki Differensial tenglamaning yechimi quyidagicha: (B) deb olib (B) tenglamaga qo‘ysak 35 Bundan Umumiy yechim Masala 2.3 Silliq gorizontal sterjenga kiydirilgan va bikrligi C bo‘lgan prujina bilan birlashtirilgan massalari bo’lgan ikki jisimdan iborat sistemaning harakatini aniqlang. Dastlabki paytda jisimlar tinch holatda bo’lgan va jismlar massa markazlari orasidagi masofa cho‘zilmagan prujina uzunligi dan 2 marta katta bo‘lgan. Yechish: Sistema ikkita erkinlik darajasiga ega. Chunki Sistema holatini ikkita bir-biriga bog’liq bo’lmagan parametrlari sifatida cho’zilmagan prujinaning biror C nuqtasidan jismlargacha bo’lgan masofalarni olish mumkin. Bu masofalarni umumlashgan koordinatalar sifatida qabul qilamiz: Bu holda sistemaning kinetic energiyasi quyidagicha bo’ladi . Belgilangan vaqtda prujinaning uzayishi ga teng, demak prujinaning elastiklik kuchini quyidagicha yozish mumkin: Unga mos ravishda potensial energiyani yozish mumkin. 36 Sistemaning kinetic potensiali, yani Lagranj funksiyasi Lagranj tenglamasi bo’yicha sistemaning differensial tenglamasini olish uchun hosilalarni topamiz. Natijada ega bo’lamiz : (1) Abssisasi quyidagidan aniqlanadigan massalar markazini kiritamiz: (1)- differensial tenglamalarini qo’shib, quyidagiga keltiramiz: Integrallash natijasiga ega bo’lamiz Demak, massa markazining boshlang’ich tezligi nolga tengligidan U holda va Ushbu olingan ifoda harakat tenglamasini birinchi integrali hisoblanadi. Quyidagicha belgilash kiritib hrakat tenglamasini quyidagicha yozamiz . Ikkinchi tenglamadan birinchi tenglamani ayirib, quyidagiga kelamiz: 37 (chunki Bu yerda, Demak, olingan tenglamaning umumiy integrali Shunday qilib, Boshlang’ich shartlarni hisobga olib, quyidagilarni aniqlaymiz: Demak, Endi olingan natijalarni harakat tenglamasining birinchi integrali bilan solishtirib, quyidagi oxirgi natijalarni olamiz: Masala.2.4 Har birining uzunligi ga, massalari ga teng bo’lgan ikkita bir xil tebrangich sterjenlari osilish o’qlaridan masofada bikirligi bo’lgan elastic prujina uchlari bilan birlashtirilgan. Mayatniklardan birini uning muvozanat holatidan burchakka og’dirib qo’yib yubormaydigan, sistemaning mayatniklari muvozanat holat atrofida qiladigan tebranma harakati aniqlansin; mayatniklarning boshlang’ich tezliklari nolga teng. Mayatnik sterjenlarining massalari va prujinaning massasi hisobga olinmasin. 38 Yechish: Sistemaning kinetik va potensial energiyalarini hisoblaymiz. Umumlashgan kordinatalar lardan iborat. Kinetik kinetik energiyani ifodasini yozamiz: bun yerda Demak, (1) Sistema potensial energiyasi. (2) bu yerda Agar burchaklar yetarlicha kichik bo’lsa quyidagi munosabatlar o’rinli bo’ladi: U holda potensial energiya ifodasi (3) 39 (1) va (3) ifodalarni quyidagicha yozamiz (i=1.2) Lagranj tenglamalariga qo’yamiz. Buning uchun hosilalarni hisoblaymiz Natijada Lagranj tenglamalari qyidagi ko’rinishga keladi yoki (4) (4) tenglamalar sistemasini yechimlarini quyidagi ko’rinishda axtaramiz (5) (5) yechimlarni (4) tenglamalarga qo’yib larni topish uchun quyidagi bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz (6) Bundan chastotalar tenglamasini olish uchun yoki Bu tenglamani yechib, chastotalar tenglamasining ildizlarini topamiz: 40 Natijada (4) tenglamaning ikkita chiziqli bog’lanmagan yechimlarini topamiz larni (6) tenglamalarga qo’yamiz, natijada a) birinchi bosh tebranish uchun: b) ikkinchi bosh tebranish uchun Bular uchun boshlang’ich shartlar natijada Shunday qilib Yoki Natijada bu yerda . 41 Masala.2.5 Bir jinsli ingichga uzunlikdagi sterjenning A va B uchlariga surilgichlar ulangan bo’lib, ular sterjenning og’irlik kuchi ta’sirida OD va OE yo’nalishlar bo’ylab sirpanadi(n rasim). Vertikal Oxy tekisligida joylashgan burchak DOE to’g’ri burchakdan iborat. Surilgichlarning massalarini hamda ishqalanish kuchlarini hisobga olmasdan sterjenning harakat differensial tenglamasi tuzilsin. Agar OE yo’nalish gorizontal yo’nalish bo’lsa, sterjenning burchak tezligi aniqlansin. C O B E Yechish . Sterjenning erkinlik darajasi birga teng uning holatini belgilovchi burchakni umumlashgan koordinata deb qabul qilamiz vaqtga bog’liq o’zgaradi. Shaklda og’irlik kuchini tasvirlaymiz A va B bog’lanish reaksiya kuchlarini tasvirlash shart emas, chunki ular Lagranj tenglamasiga kirmaydi. AB sterjen Oxy tekisligida harakatlanadi. Harakat tekis parallel harakatdan iborat bo’lgani uchun uning kinetik energiyasini quyidagicha yozish mumkin: Bu yerda sterjen massasi, sterjen massalar markazi nuqtaning tezligi, sterjenning C nuqtadan shakl tekisligiga perpendikulyar o’tgan o’qqa nisbatan inersiya momenti, C massalar markazining tezligini aniqlash uchun uning harakat qonunidan foydalanamiz. 42 Tengliklarni vaqt bo’yicha differensiallab, C nuqta tezligini aniqlaymiz: ning qiymtlarini kinetik energiya formulasiga qo’yib sterjenning kinetik energiyasini aniqlaymiz: yoki Endi umumlashgan kuchlarni hisoblaymiz. Sterjenga ta’sir qiluvchi og’irlik kuchi potensial kuch bo’lgani uchun potensial energiyani hisoblaymiz : Umumlashgan kuchning koordinataga mos qiymatini aniqlaymiz: kinetik energiya, burchakka bog’liq bo’lmagani uchun Topilganlarni Lagranj tenglamasi ga qo’yamiz bundan hosil bo’ladi. Bu tenglama sterjenning biz izlagan differensial tenglamasini bildiradi. Umumlashgan tezlikni aniqlash uchun differensial tenglikning ikki tomonini ga ko’paytiramiz. 43 (1) tenglikni hosil qilamiz, formulada quyidagicha shakl almashtirish Buni (1) tenglamaga qo’ysak: hosil bo’ladi, buni integrallab, toppish talab etiladi burchak tezlik aniqlanadi. Integral o’zgarmasi C sonini aniqlash uchun boshlang’ich shartlardan foydalanamiz. Aytaylik sterjin harakatinin tinch holatdan boshlagan bo’lsin va vertikal bilan burchak tashkil qilsin. U holda bo’lganda bo’ladi va kelib chiqadi. Oxirgi tenglikka C o’zgarmasning qiymatini qo’ysak, sterjinning burchak tezligi burchakning funksiyasi sifatida aniqlanadi: 44 Xulosa Ishda analitik mexanikaning asosiy elementlari haqida umumiy malumotlar bayon etiladi. Lagranjning birinchi va ikkinchi tur tenglamalari golonom va nogolonam bog’lanishli sistemalar uchun, hamda konservativ sistemalar uchun keltirilgan. Turli tipdagi mexanik sistemalarning harakatlarini o’rganish bo’yicha masalalar yechilgan. Lagranjning birinchi tur tenglamalari bo’yicha mexanik sistemalarning harakat differensial tenglamalarini va qo’yilgan bog’lanishlar tenglamalari bilan birgalikda Lagranj ko’paytuvchilari asosida yechish bir nechta masalalarda ko’rsatilgan. Lagranjning ikkinchi tur tenglamalari bo’yicha mexanik sistemalarning harakat differensial tenglamalarini keltirib chiqarishda kinetik va potensial energiyalarini, hamda umumlashgan kuchlarni aniqlash bir nechta aniq masalalar yechildi, masalalarni modellashtirish, yechish uslublari tatbiq etildi. 45 Adabiyotlar 1. O’razboev M.T. Nazariy mexanika asosiy kursi. T.O’qituvchi,1961. 2. Rashidov T.P,Shoziyotov Sh. , Mo’minov K.V. Nazariy mexanika asoslari. T. O’qituvchi, 1990. 3. Aziz-Qoriev C.Q., Yangurazov Sh.X. Nazariy mexanikadan masalalar yechishga qo’llanma. -T. O’qituvchi, 1975. 4. Dusmatov O.M, Tilavov A.T. Analitik mexanika asoslari. – Samarqand, 2004. 5. Meshcherskiy I.V.Nazariy mexanikadan masalalar to’plami. Toshkent, O’qituvchi, 1989. 6. Bat M.I., Djanelidze G.Yu., Kelzon A.C.Teoreticheskaya mexanika b primerax va zadazax.T.2, Moskva, Nauka, 1964. 7. N.V.Butenin. Bvedenie v analiticheskuyu mexaniku. Makva,Nauka,1971 46 47

LAGRANJ TENGLAMALARINING MASSALALAR YECHISHGA TATBIQLARI Mundarija Kirish…………………………………………………………………………… Masalaning qo‘yilishi………………………………………………………….. Analitik mexanikaning asosiy elementlari…………………………………… 1-bob. LAGRANJNING 1-TUR TENGLAMALARI VA MASALALAR YECHISHGA TATBIQLARI …………………………………………………. 1.1. Lagranjning 1-tur tenglamalari…………………………………………. 1.2. Lagranjning 1-tur tenglamalarining mexanika masalalariga tatbiqlari. 2-bob. LAGRANJNING 2-TUR TENGLAMALARI VA MASALALAR YECHISHGA TATBIQLARI…………………………………………………… 2.1. Lagranjning 2-tur tenglamalari……………………………………………. 2.2. Mexanik sistemalar dinamikasini masalalarida Lagranjning 2- tur tenglamasining qo‘llanishi………………………………………………………. XULOSALAR……………………………………………………………………. ADABIYOTLAR RO‘YXATI………………………………………………....... 2

Masalaning qo‘yilishi. Mexanik sistemalarningni matematik modellashtirishda yani harakat diferensial tenglamalarini olishda Lagranj tenglamalaridan keng foydalaniladi. Lagranjning birinchi tur tenglamalaridan foydalanishida mexanik sistemaga qo‘yilgan bog‘lanishlar tenglamalarini aniqlab, Lagranjning ko‘paytuvchilar usuli bo‘yicha sistemaning differensial tenglamalari ifodalannadi. Natijada bog‘lanishlar tenglamalari bilan birgalikda keltirilgan ko‘paytuvchilarning qiymatlari va sistemaning yechimlari, izlanayotgan nomalumlar aniqlanadi. Lagranchning ikkinchi tur tenglamalaridan foydalanishda qaralayotgan mexanik sistemaning umumlashgan kordinatalari, tezliklari, kinetik va potensial energiyalari tasir etuvchi umumlashgan kuchlar aniqlanib, mexanik sistemaning harakat diferensial tenglamalari aniqlanadi. Integrallash natijalari va boshlang‘ich shartlardan foydalanib, mexanik sistemalarning harakat, dinamikasi o‘rganiladi. Ushbu bitiruv malakaviy ish Lagranjning birinchi va ikkinchi tur tenglamalari yordamida mexanik sistemalarning turli harakatlarini o‘rganishga oid masalalarni yechishga, tahlil qilishga bag‘ishlangan. 3

Analitik mexanikaning asosiy elementlari. Nuqtalarning holati va harakati o’zaro bog’liq bo’lgan moddiy nuqtalar to’plamiga mexanik sistema deyiladi. Harakati jarayonida nuqtalari orasidagi masofa o’zgarmas bo’lgan mexanik sistemaga absalyut qattiq jism deyiladi. Agarda mexanik sistemaning har bi nuqtasi fazoda istalgan vaziyatni egallay olsa va istalgan tezlikka erisha olsa sistemaga erkin sistema, aks holda erksiz sistema deyiladi. Mexanik sistema holati va harakatini chegaralovchi sabablarga bog’lanishlar deyiladi. Bog’lanishlar mexanik sistema nuqtalarining holatiga va tezligiga chek qo’yadi. Mexanik sistemaga bog’lanishlar tomonidan qo’yilgan cheklanishlar qo’shimcha kuchlanishlarni yuzaga keltirib chiqaradi. Bu kuchlarga bog’lanish reaksiyalari deyiladi. Ularning boshqa kuchlardan farqi shundaki, bu kuchlar oldindan berilgan bo’lmaydi va ular bog’lanishlarning xarakteriga, sistemaning holati hamda xarakatiga bog’liq bo’ladi. Bog’lanishlar mexanik sistema nuqtalarining koordinatalari, tezliklari va vaqt orasidagi munosabatlarni ifodalovchi tenglama yoki tengsizliklar bilan beriladi. Mexanik sistema N ta moddiy nuqtadan tashkil topgan bo’lsin. V-nuqtaning dekart koordinatalarini x v , y v , z v lar bilan belgilaymiz. Agar sistemaga bitta bog’lanish qo’yilgan bo’lsa, u analitik usulda umumiy holda, quydagicha bo’ladi. f(x1,y1,z1,x2,y2,z2....,˙x1,˙y1,˙z1,....,˙xn,˙yn,˙xn,t)≤0, (1.1) bu yerda ˙xv,˙yv,˙xv(v=1,2 ,....,N) lar v-nuqta tezligining dekart koordinata o’qlaridagi proeksiyalari , t vaqt. Agar (1.1) munosabatda tenlik belgisi qo’yilgan bo’lsa, bunday bog’lanishga ushlab tura oladigan bog’lanish, tengsizlik belgisi qo’yilgan bo’lsa bunday bog’lanishga qo’yib yuboriladigan bog’lanish deyiladi. Masalan: koordinatalari x 1 , y 1 , z 1 va x 2 , y 2 , z 2 bo’lgan ikkita sterjen vositasida bir-biriga bog’langan bo’lsin. Bu holda bog’lanish ushlab tura oladigan bog’lanish bo’ladi va uning tenglamasi quydagicha yiziladi: (x2− x1)2+(y2− y1)2+(z2− z1)2− l2= 0, yani, bu nuqtalar orasidagi masofa hamma vaqt o’zgarmas qoladi. 4

Agar sterjenni cho’zilmaydigan ip bilan almashtirsak nuqtalar bir-biriga yaqinlasha oladi, lekin bir-biridan l dan katta masofaga uzoqlasha olmaydi. Bu holga bog’lanish qo’yib yuboradigan bog’lanish bo’ladi va bo’g’lanish tenglamasi quydagicha bo’ladi: Kelgusida biz faqat ushlab tura oladigan bog’lanishlarni qaraymiz. Agar bog’lanish tenglamasi f(xv,yv,zv,˙xv,˙yv,˙zv,t)=0 (v=1,2,3 ,...,N) (1.2) Vaqt t dan oshkor ko’rinishda bog’liq bo’lsa, bunday bog’lanishga reonomli yoki nostatsionar bog’lanish deyiladi. Masalan: ikkita nuqta elastik sterjen bilan bir-biriga bog’langan va sterjen uzunligi quydagi qonun bilan o’zgarsin: l=l1+l0sin t . Bu holda bog’lanish tenglamasi quydagicha bo’ladi: (x2− x1)2+(y2− y1)2+(z2− z1)2− (l1+l2sin t)2= 0, bu yerda x 1 ,y 1 ,z 1 va x 2 ,y 2 ,z 2 lar nuqtalarning koordinatalari. Agar bog’lanish sistema nuqtalarining faqat kordinatalariga chek qo’ysa, ya’ni bog’lanish tenglmasi quydagi ko’rinishda berilgan bo’lsa, f(xv,yv,zv,t)=0 (1.3) bunday bog’lanishga geometrik yoki gonolomli bog’lanish deyiladi. (1.2) tenglama bilan berilgan bog’lanishga kinematik bog’lanish deyiladi. Agar kinematik (differensial) bog’lanish tenglamasi (1.2) ni integrallash yo’li bilan (1.3) ko’rinishga keltirish mumkin bo’lmasa, bunday bog’lanishga nogonomli (integrallanmaydigan) bog’lanish deyiladi. Agar (1.2) tenglama integrallash yo’li bilan (1.3) ko’rinishga keltirilsa, u holda bog’lanish geometrik bog’lanish bo’ladi. Masalan: bog’lanish tenglamasi ∑v=1 N (xv˙xv+yv˙yv+zv˙zv)=0 ko’rinishida berilgan bo’lsin. Bu tenglama integrallashdan so’ng quydagi ko’rinishga keladi. ∑v=1 n (xv2+yv2+zv2)= c, integrallash o’zgarmas. Demak, bog’lanish geometrik bog’lanish bo’lar ekan. 5

Agar gonolomli bog’lanish tenglamasi vaqtdan oshkor bog’liq bo’lsa, ya’ni bog’lanish tenglamasi f(xv,yv,zv)=0 (v=1,2,3 ,...,N) ko’rinishida berilgan bo’lsa, bunday bog’lanishga skleronomli statsionar bog’lanish deyiladi. Shuni ta’kidlab o’tish lozimki, nogolonomli bog’lanish tenglamasi t dan oshkor bog’liq bo’lmasa ham bog’lanish reonomli bo’lishi mumkin. Mexanik sistemaga tenglamalari quydagi ko’rinishda berigan m ta bog’lanish qo’yilgan bo’lsin, ya’ni ∑v=1 N (Aμv ˙xv+Bμv ˙yv+Cμv ˙zv)+D μv= 0 (μ=1,2 ,...,m) Bu yerda Aμv,Bμv,Cμv,Dμv lar koordinatalarining va vaqtning funksiyasi. Agar bu tenglamalar sistemasi integrallansa, bog’lanish gonolomli, aks holda nogonolomli bo’ladi. Moddiy sistemaga qo’yilgan bog’lanishlar gonolomli bo’lsa, bunday sustemaga gonolom sistewma deyiladi. Agar bog’lanishlardan hech bo’lmaganda bittasi nogonolomli bo’lsa, bunday sistemaga nogonolomli sistema deyiladi. Mexanik sistema holatini to’lasincha aniqlovchi parametrlarga, ya’ni sistemani har bir nuqtasining holatini aniqlovchi parametrlarga umumlashgan deyiladi. N ta moddiy nuqtadan tashkil topgan moddiy sistemaga k-ta geometrik bog’lanish qo’yilgan bo’lsin, ya’ni f(xv,yv,zv,t)=0 (v=1,2,3 ,...,k) (1.4) 3N ta koordinatalar k ta tenglamalar bilan bog’langan. Bu tenglamalar sistemasini echib, k ta koordinatalarni qolgan 3N-k ta koordinatalar orqali ifodalash mumkin. Bu 3N-k ta koordinatalar ixtiyoriy qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Shu koordinatalar sistema nuqtalarining holatini bir qiymatli aniqlaydi. Bu koordinatalar umumlashgan koordinatalar bo’ladi. Shunday qilib, umumlashgan koordinatalar soni n=3N-k (1.5) ga teng bo’lar ekan. Umumlashgan koordinatalar sifatida faqat dekart koordinatalarini olish shart emas, balki ihtiyoriy koordinatalarni olish mumkin. Har xil masalada har xil umumlashgan koordinatalar kritiladi. Umumlashgan koordinatalarni qulay tanlash masala yechimini osonashtiradi. 6

O'xshashlar

Nochiziqli issiqlik tenglamalarining Avtomodel yechimlarining asimptotik turg’unligi
LAGRANJNING 2-TUR TENGLAMALARINING BA’ZI TEBRANUVCHI SISTEMALARDA QO'LLASH METODIKASI
Boshlang’ich sinf o’quvchilarini sodda masalalar yechishga o’rgatish
KOMBINATORIKA MASALALARINING EHTIMOLLAR NAZARIYASI MASALALARINI YECHISHGA TADBIG‘I
GRAFLAR NAZARIYASI ELEMENTLARI VA ULARNING MASALALAR YECHISHGA TADBIQLARI