LAGRANJ TENGLAMALARINING MASSALALAR YECHISHGA TATBIQLARI Mundarija Kirish…………………………………………………………………………… Masalaning qo‘yilishi………………………………………………………….. Analitik mexanikaning asosiy elementlari…………………………………… 1-bob. LAGRANJNING 1-TUR TENGLAMALARI VA MASALALAR YECHISHGA TATBIQLARI …………………………………………………. 1.1. Lagranjning 1-tur tenglamalari…………………………………………. 1.2. Lagranjning 1-tur tenglamalarining mexanika masalalariga tatbiqlari. 2-bob. LAGRANJNING 2-TUR TENGLAMALARI VA MASALALAR YECHISHGA TATBIQLARI…………………………………………………… 2.1. Lagranjning 2-tur tenglamalari……………………………………………. 2.2. Mexanik sistemalar dinamikasini masalalarida Lagranjning 2- tur tenglamasining qo‘llanishi………………………………………………………. XULOSALAR……………………………………………………………………. ADABIYOTLAR RO‘YXATI………………………………………………....... 2

Masalaning qo‘yilishi. Mexanik sistemalarningni matematik modellashtirishda yani harakat diferensial tenglamalarini olishda Lagranj tenglamalaridan keng foydalaniladi. Lagranjning birinchi tur tenglamalaridan foydalanishida mexanik sistemaga qo‘yilgan bog‘lanishlar tenglamalarini aniqlab, Lagranjning ko‘paytuvchilar usuli bo‘yicha sistemaning differensial tenglamalari ifodalannadi. Natijada bog‘lanishlar tenglamalari bilan birgalikda keltirilgan ko‘paytuvchilarning qiymatlari va sistemaning yechimlari, izlanayotgan nomalumlar aniqlanadi. Lagranchning ikkinchi tur tenglamalaridan foydalanishda qaralayotgan mexanik sistemaning umumlashgan kordinatalari, tezliklari, kinetik va potensial energiyalari tasir etuvchi umumlashgan kuchlar aniqlanib, mexanik sistemaning harakat diferensial tenglamalari aniqlanadi. Integrallash natijalari va boshlang‘ich shartlardan foydalanib, mexanik sistemalarning harakat, dinamikasi o‘rganiladi. Ushbu bitiruv malakaviy ish Lagranjning birinchi va ikkinchi tur tenglamalari yordamida mexanik sistemalarning turli harakatlarini o‘rganishga oid masalalarni yechishga, tahlil qilishga bag‘ishlangan. 3

Analitik mexanikaning asosiy elementlari. Nuqtalarning holati va harakati o’zaro bog’liq bo’lgan moddiy nuqtalar to’plamiga mexanik sistema deyiladi. Harakati jarayonida nuqtalari orasidagi masofa o’zgarmas bo’lgan mexanik sistemaga absalyut qattiq jism deyiladi. Agarda mexanik sistemaning har bi nuqtasi fazoda istalgan vaziyatni egallay olsa va istalgan tezlikka erisha olsa sistemaga erkin sistema, aks holda erksiz sistema deyiladi. Mexanik sistema holati va harakatini chegaralovchi sabablarga bog’lanishlar deyiladi. Bog’lanishlar mexanik sistema nuqtalarining holatiga va tezligiga chek qo’yadi. Mexanik sistemaga bog’lanishlar tomonidan qo’yilgan cheklanishlar qo’shimcha kuchlanishlarni yuzaga keltirib chiqaradi. Bu kuchlarga bog’lanish reaksiyalari deyiladi. Ularning boshqa kuchlardan farqi shundaki, bu kuchlar oldindan berilgan bo’lmaydi va ular bog’lanishlarning xarakteriga, sistemaning holati hamda xarakatiga bog’liq bo’ladi. Bog’lanishlar mexanik sistema nuqtalarining koordinatalari, tezliklari va vaqt orasidagi munosabatlarni ifodalovchi tenglama yoki tengsizliklar bilan beriladi. Mexanik sistema N ta moddiy nuqtadan tashkil topgan bo’lsin. V-nuqtaning dekart koordinatalarini x v , y v , z v lar bilan belgilaymiz. Agar sistemaga bitta bog’lanish qo’yilgan bo’lsa, u analitik usulda umumiy holda, quydagicha bo’ladi. f(x1,y1,z1,x2,y2,z2....,˙x1,˙y1,˙z1,....,˙xn,˙yn,˙xn,t)≤0, (1.1) bu yerda ˙xv,˙yv,˙xv(v=1,2 ,....,N) lar v-nuqta tezligining dekart koordinata o’qlaridagi proeksiyalari , t vaqt. Agar (1.1) munosabatda tenlik belgisi qo’yilgan bo’lsa, bunday bog’lanishga ushlab tura oladigan bog’lanish, tengsizlik belgisi qo’yilgan bo’lsa bunday bog’lanishga qo’yib yuboriladigan bog’lanish deyiladi. Masalan: koordinatalari x 1 , y 1 , z 1 va x 2 , y 2 , z 2 bo’lgan ikkita sterjen vositasida bir-biriga bog’langan bo’lsin. Bu holda bog’lanish ushlab tura oladigan bog’lanish bo’ladi va uning tenglamasi quydagicha yiziladi: (x2− x1)2+(y2− y1)2+(z2− z1)2− l2= 0, yani, bu nuqtalar orasidagi masofa hamma vaqt o’zgarmas qoladi. 4

Agar sterjenni cho’zilmaydigan ip bilan almashtirsak nuqtalar bir-biriga yaqinlasha oladi, lekin bir-biridan l dan katta masofaga uzoqlasha olmaydi. Bu holga bog’lanish qo’yib yuboradigan bog’lanish bo’ladi va bo’g’lanish tenglamasi quydagicha bo’ladi: Kelgusida biz faqat ushlab tura oladigan bog’lanishlarni qaraymiz. Agar bog’lanish tenglamasi f(xv,yv,zv,˙xv,˙yv,˙zv,t)=0 (v=1,2,3 ,...,N) (1.2) Vaqt t dan oshkor ko’rinishda bog’liq bo’lsa, bunday bog’lanishga reonomli yoki nostatsionar bog’lanish deyiladi. Masalan: ikkita nuqta elastik sterjen bilan bir-biriga bog’langan va sterjen uzunligi quydagi qonun bilan o’zgarsin: l=l1+l0sin t . Bu holda bog’lanish tenglamasi quydagicha bo’ladi: (x2− x1)2+(y2− y1)2+(z2− z1)2− (l1+l2sin t)2= 0, bu yerda x 1 ,y 1 ,z 1 va x 2 ,y 2 ,z 2 lar nuqtalarning koordinatalari. Agar bog’lanish sistema nuqtalarining faqat kordinatalariga chek qo’ysa, ya’ni bog’lanish tenglmasi quydagi ko’rinishda berilgan bo’lsa, f(xv,yv,zv,t)=0 (1.3) bunday bog’lanishga geometrik yoki gonolomli bog’lanish deyiladi. (1.2) tenglama bilan berilgan bog’lanishga kinematik bog’lanish deyiladi. Agar kinematik (differensial) bog’lanish tenglamasi (1.2) ni integrallash yo’li bilan (1.3) ko’rinishga keltirish mumkin bo’lmasa, bunday bog’lanishga nogonomli (integrallanmaydigan) bog’lanish deyiladi. Agar (1.2) tenglama integrallash yo’li bilan (1.3) ko’rinishga keltirilsa, u holda bog’lanish geometrik bog’lanish bo’ladi. Masalan: bog’lanish tenglamasi ∑v=1 N (xv˙xv+yv˙yv+zv˙zv)=0 ko’rinishida berilgan bo’lsin. Bu tenglama integrallashdan so’ng quydagi ko’rinishga keladi. ∑v=1 n (xv2+yv2+zv2)= c, integrallash o’zgarmas. Demak, bog’lanish geometrik bog’lanish bo’lar ekan. 5

Ko'chirib oling, shunda to'liq holda ko'ra olasiz

O'xshashlar