logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. LAPLAS TENGLAMASI UCHUN KOSHI MASALASI VA KARLEMAN FUNKSIYASI

LAPLAS TENGLAMASI UCHUN KOSHI MASALASI VA KARLEMAN FUNKSIYASI

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

962.23828125 KB
Ko'chirib olish
LAPLAS TENGLAMASI UCHUN KOSHI MASALASI VA KARLEMAN FUNKSIYASI Mundarija Kirish……….....................................................................................................3 I – BOB . Elliptik tipdagi tenglamalar va uning xossalari 1. 1-§. Laplas tenglamasi va uning fundamental yechimlari ................................ 12 1.2-§. G armonik funksiyalarning xossalar……………………………………..…17 1.3- § Grin formulalari va garmonik funksiyalarning integral munosabatlari …….21 1.4 -§. Доира ва ярим доирада Лаплас тенгламаси учун Дирихле масаласининг Грин функсиясини тузиш ……………………………………………………….28 I bobning xulosasi ………………………………………………………………..31 II - BOB.Нокоррект масалалар . Карлеман функсияси 2.1-§.Нокоррект масалалар тарихи va Adamar misoli ………………………32 2.3-§. Карлеман функсияси……………………………………………………40 III bobning xulosasi ……...………………………………………………………44 Ш -BOB. Chegaralanmagan sohada Лаплас тенгламаси uchun Koshi masalasi 3.1-§. Chegaralanmagan sohada Лаплас тенгламаси uchun Koshi masalasi нинг регуляризасияси ………………………………………………………………… 4 3.2-§. Chegaralanmagan sohada Лаплас тенгламаси uchun Koshi masalasi ечими ҳосиласининг регуляризасияси ………………………………..……………….4 III bobning xulosasi……………………………………….……………………. Xulosa…………………………………………………….. Foydalanilgan adabiyotlar…………………………………………………….... 43 KIRISH Masalaning qo’yilishi. Bu magistirlik dissertatsiyasida tekislikning chegaralanmagan sohasida Laplas tenglamasi uchun Karleman funksiyasi yordamida Koshi masalasi yechiladi hamda yechimning turg’unlik bahosi olinadi. Faraz qilamiz x=(x1,x2) va y=(y1,y2) nuqtalar R2 fazoga tegishli ikki o‘lchovli Evklid fazosidan olingan bo‘lsin. Aytaylik - soha qatlam ichida joylashgan chegaralari to’g’ri chiziq hamda silliq egri chiziqdan ibort bo’lgan chegaralanmagan soha bo’lsin. shart lar bajarilishini talab qilamiz. . Shu bilan birga biror son uchun sohaning chegarasi quyidagi shartni qanoanlantirsin. belgilashni kiritamiz. sohada quyidagi Laplas tenglamasini qaraymiz. (0 . 1) Masala ning qo‘yilishi . Qaralayotgan soha chegarasi ning qismida berilgan qiymatlariga ko‘ra garmonik bo‘lgan funksiyani topish talab qilinadi, ya’ni , (0.2) bu erda va , berilgan funksiyalar. - ga o‘tkazilgan tashqi normal bo‘yicha differensial operator. (0.1) - (0.2) – masala , Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi deyiladi. Ma vzuning dolzarbligi . Statsionar bo’lgan, ya’ni vaqtga bog’liq bo’lmagan fizik jarayonlarni, jumladan issiqlikning tarqalishi, to’lqinning harakati, maydon potensialining tortilish kuchi kabi jarayon larni tekshirish , asosan elliptik tipdagi tenglamalarga keltiriladi. Ya’ni yuqoridagi qaralgan barcha tenglamalarda qatnashayotgan noma’lum funksiya vaqt t -ga bog’liq bo’lmaydi. Ma’lumki, elliptik tipdagi tenglamalar va sistemasi uchun qo’yilgan Koshi masalasi matematik fizikaning nokorrekt qo’yilgan masalalar qatoriga kiradi. Masala yechimi mavjud, yechim yagona, lekin masalaning yechimi boshlang’ich shartlarga uzluksiz ravishda bog’liq emas, ya’ni turg’un emas. Masalani yechish uchun yechimlar sinfini kompakt to’plamgacha qisqartirish lozim. Natijada shartli korrekt masala hosil bo’ladi. Tadqiqotning ob’ekti va predmeti. Chegaralanmagan sohada berilgan Laplas tenglamasi tadqiqotning ob’ekti hisoblanib undagi Koshi masalasi yechimning oshkor ko’rinishda ifodalanishi tadqiqotning pridmeti hisoblanadi. Tadqiqotning maqsad va vazifalari. S h artli korrekt masalalarni yechishda regulyarizatsiyalashgan yechimni topishga to’g’ri keladi. Bunda chegaraning bir qismida vektor funksiyaning qiymati beriladi. Bu qiymatdan foydalanib chegaralanmagan sohaning ichida Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasini yechish dissertatsiyaning asosiy maqsadi hisoblanadi. Regulyarizatsiyalashgan yechimni tuzish esa, Karleman funksiyasini tuzishga olib keladi. Ilmiy yangiligi: Elliptik tenglamalar va sistemalar uchun chegaralangan va chegaralanmagan sohalarda qo’yilgan Koshi masalasi korrekt bo’lmagan masalalar qatoriga kiradi. Ya’ni masala yechimining turg’unlik sharti buziladi. Bunday masalalarni yechish uchun korrektlik sinfini ajratish lozim, ya’ni yechimlar sinfini kompakt to’plamgacha qisqartirish lozim. Natijada masala, shartli korrekt masala bo’ladi. Shartli korrekt masalalarni yechishda integral formuladan foydalaniladi. Koshi masalasida, Koshi shartlari sohaning bir qismida berilganligi sababli, chegaraning qolgan qismida fundamental yechimlar sistemasidan foydalanilib maxsus funksiya tuzishga to’g’ri keladi. Bunday funksiya qoyilgan masala uchun Karleman funksiyasi hisoblanib, soha chegarasining Koshi shartlari berilmagan qisimdagi integralning qiymatini cheksiz kichikka aylantirishini ta’minlaydi. Qaralayotgan sohalarda Karleman funksiyasini tuzish va bu orqali yechim va uning hosilasini regulyarizasiyarizasini tuzish, ishning yangiligi hisoblanadi. Tadqiqotning asosiy masalalari . Maxsus chegaralanmagan sohada Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi tadqiqotning asosiy masalasi hisoblanadi. Bunda noma’lum funksiyani ma’lum bir shartlarni bajarganda uni aniqlash masalasi ya’ni Koshi masalsining yechimini aniqlash va bu yechimning yagonaligi va turg’unligini ko’rsatishdan iborat. Tadqiqot mavzusi bo’yicha adabiyotlar sharxi (tahlili). Dissertatsiya ishini bajarish davomida, yordamchi ma’lumotlar to‘plash, ilmiy natijalarni asosli bajarish va bilim ko‘nikmalarni kengaytirish maqsadida ro‘yxatda keltirilgan [5,6,14,15,16,19, 20,21] adabiyotlardan keng foydalanildi. Elliptik tipdagi tenglamalar sistemasi uchun qo‘ylgan Koshi masalasi matematik fizikaning nokorrekt masalalari qatoriga kiradi. Respublikamizda, jumladan Samarqand davlat universitetida nokorrekt masalalar nazariyasining rivojlanishiga Sh. Yarmuxamedov [6-9] maktabi alohida o‘rin tutadi. Ko‘p o‘lchovli fazoda elastiklik nazariyasi tenglamalari sistemasi uchun Koshi masalasi T.Ishankulov [26], O.Maxmudov va I.Niyozov [27], umumlashgan Koshi Riman sistemasi uchun Z. Malikov , umumlashgan Moisil –Teodoresko sistemasi uchun E. Sattorov [31], Nave-Stoks tenglamalari sistemasi uchun E.Jabborov –lar tomonidan o‘rganilgan. Laplas tenglamasi va Laplas tenlamasi bilan faktorizatsiyalanuvchi birinchi tartibli elliptik tipli tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasi yechimi va yechim hosilasining regulyarizatsiyasi va shartli turg‘unlik baholari A. B. Xasanov va F.R. Tursunov [22,23,24] tomonidan o‘rganilgan. Nokorrekt masalalarni amaliy jihatdan muhim ekanligi ko‘rsatilib, mumkin bo‘lgan yechimlar sinfi kompaktga qadar toraytirilsa, bu masala turg‘un bo‘lishiga doir birinchi natijalar A.N.Tixonov [3] ishlarida keltirilgan. Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi va matematik fizikaning shu qatori boshqa nokorrekt masalalarida to‘g‘ri silindr hamda chegarasi silliq bo‘lgan ixtiyoriy fazoviy sohada M.M.Lavrent’ev [4,5] ishlarida yoritilgan. N.N.Tarxanov [28,29] ishlarida esa birinchi tartibli elliptik tipli tenglamalar sistemasi uchun Karleman formulasi o‘rganilgan. Birinchi tartibli elliptik tipdagi tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasiga A.V.Bitsadze [10], A.A.Dezin [13], V.S.Vinogradov [11,12] va boshqalarning ishlari bag‘ishlangan. Disertatsiya mavzusi bo‘yicha qo‘lga kiritilgan natijalar [2 5 -2 6 ] ishlarda chop etilgan. Tadqiqotda qo’lanilgan metodikaning tavsifi. Ishda kompleks analiz va matematik fizikaning usullari qo’llanildi. Koshi masalasi, potensiallar nazariyasi hamda analitik funksiyalarning xossalaridan foydalanildi. Ishning tuzilishining tasnifi. Magistirlik dissetatsiyasi uchta bob, 10 paragraf, xulosa qismi va adabiyotlar ro’yxatidan iborat. Teorema natija va formulalar bob, paragrapf va tartib raqami orqali nomerlangan. Birinchi bobda Elliptik tipli tenglamalar va ularning yechimlari xossalari keltirilgan. B irinchi paragrafida Laplas tenglamasi va uning fundamental yechimlari keltirilgan. Birinchi bobning ikkinchi paragrafida elliptik tipdagi tenglamalar uchun asosiy chegaraviy masalalar keltirilgan, ya’ni vaqtga bog’liq bo’lmagan statsionar chegaraviy masalalarni tekshirishda Laplas va Puasson tenglamalari Δu = 0 (0.3) Δu = f (0.4) uchun qo’yiladigan asosiy chegaraviy masalalar keltir ilgan . 1) S sirt bilan chegaralangan T sohada shunday u=u(x,y,z) funksiyani topish kerakki, natijada bu funksiya (0.3) yoki (0.4) tenglamalarni qanoatlantirib, sohaning chegarasi S sirtda u|S= f1(x,y,z) chegaraviy shartni qanoatlantirisin. Ya’ni quyidagi masalalarga kelamiz: Δu = 0¿}¿¿¿ Δu =− f¿}¿¿¿ Bu keltirgan masalalarga elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo’yilgan birinchi chegaraviy masala, yoki Dirixle masalasi deyiladi. 2) S sirt bilan chegaralangan T sohada shunday u=u(x,y,z) funksiyani topish kerakki, natijada bu funksiya (0.3) yoki (0.4) tenglamalarni hamda quyidagi chegaraviy shartni qanoatlantirsin: ∂ u ∂ n | S =f2(x,y,z) Bundagi ∂u ∂n |S=[ ∂u ∂x cos α+∂u ∂y cos β+∂u ∂z cos γ]|S t ashqi normal bo’yicha olingan hosilaning S sirtdagi qiymati, ya’ni quyidagi masalaga kelamiz: Δu = 0 ¿}¿¿¿ Δu = − f¿}¿¿¿ Bu masalalarga elliptik tipli tenglamalar uchun qo’yilgan ikkinchi chegaraviy masala yoki Neyman masalasi deyiladi. U chinchi paragrafida Grin formulalari va garmonik funksiyalarning integral munosabatlari, ya’ni ∭ Т uΔ vd τ=∬ Su∂v ∂n ¿dσ −∭ T(∇ u,∇ v)dτ ∭ Т vΔ ud τ=∬ Sv∂u ∂n ¿dσ −∭ T(∇ u,∇ v)dτ Grinning birinchi va ∭ T (uΔv −vΔu )dτ =∬ S[u∂v ∂n−v∂v ∂n]dσ ikkinchi formulalari keltirilgan. To’rtinchi paragrafida doira uchun Dirixlening ichki va tashqi masalalari keltirilgan. Ikkinchi bob korrekt va nokorrekt masalalar tarixi deb nomlanadi. Ikkinchi bobning bobning birinchi paragrafida dastlabki tushunchalar va bayon etiladigan natijalarni to‘ldirish maqsadida J. Adamar, T. Karleman [1] , G.M. Goluzin va V.I. Krilov [2] , A.N. Tixonov [3] , M.M. Lavrent’ev [4-5] , ishlaridan va Sh. Yarmuxamedovning [6-9] Karleman funksiyasini tuzish, hamda elliptik tipdagi tenglamalar va sistemalar uchun Koshi masalasining regulyarizatsiyalashgan echimini topishga bag‘ishlangan ishlaridan foydalanilgan. Laplas tenglamasi va elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo‘yilgan Koshi masalasining nokorrektligini ko‘rsatish uchun Adamar misoli keltirilgan. Ikkinchi bobning ikkinchi paragrafida esa Karleman funksiyasini tuzish konstruksiyasi keltirilgan bo‘lib, bu paragrafda Sh. Yarmuxamedov tomonidan tuzilgan Karleman funksiyasi o‘rganilgan va bu funksiya Laplas tenglamasini qanoatlantirishi ko‘rsatilgan. 1-ta’rif . Matematik fizika masalasi korekt qo‘yilgan masala deb aytiladi, agar quyidagi shartlar bajarilsa: 1)masala yechimi mavjud, 2)masala yechimi yagona, 3) masala yechimi turg‘un, ya’ne berilganlaring kichik o‘zgarishiga, echimning kichik o‘zgarishi mos kelsa. 2-ta’rif. Agar 1- ta’rifning hech bo‘lmasa bitta sharti bajarilmasa, u holda qo‘yilgan masala nokorrekt masala deb aytiladi . Qaralayotgan masala matematik fizikaning nokorrekt masalalasi hisoblanadi, ya’ne masalaning echimi boshlang‘ich shartlarda uzluksiz ravishda bog‘liq emas. Bu masalaning nokorrektligini o‘tgan asrning boshida birinchi bo‘lib J. Adamar ko‘rsatgan. Laplas tenglamasi uchun Adamar misolini keltiramiz: 1- misol. doirada Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasini qaraymiz, ya’ni: Bu erda - natural son ( , tenglamaning xarakteristikasi emas). Tekshirib ko‘rish mumkinki, bu masalaning echimi (analitik funksiyalar sinfida yagona bo‘lib), quyidagi ko‘rinishga ega: . Haqiqatan ham, to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan doiradan olingan ixtiyoriy nuqta uchun da boshlang‘ich shartlar , hattoki ixtiyoriy uchun da , bo‘lishiga qaramasdan, da echimning ekanligi kelib chiqadi. YA’ni: - ifoda chegaralanganligi uchun quyidagi baho o‘rinli . SHunday qilib, da . Bu erda turg‘unlik sharti buziladi. Nokorrekt masalalar yo‘nalishi bo‘yicha birinchi natija 1926 yilda maxsus ko‘rinishdagi sohada T. Karleman [1] tomonidan olingan. 1-lemma . (T. Karleman [1]). analitik funksiya -sohada regulyar bo‘lib, -soha to‘g‘ri chiziqlar va burchak ichida joylashgan egri chiziq bilan chegaralangan bo‘lsin. - kompleks son nuqtaga mos son bo‘lib, - nuqta burchak bissektritsasiga joylashgan nuqta, -esa bu bissektritsaning egri chiziq bilan kesishgan nuqtasi va burchak kattaligi ga teng bo‘lsin. U holda, agar va tengzizliklar bajarilsa, (0.5) bahodan, , (0.6) formula o‘rinli bo‘ladi. Bu erda - nuqtadan nuqtagacha bo‘lgan masofa, bo‘lsa - nuqtadan yoygacha bo‘lgan eng maksimal masofa, - sonli musbat parametr. G. Goluzin va V.I. Krilov [2] tomonidan (0.6) formulani umumlashtirib, ular tomonidan quyidagi (0.7) formula isbotlangan. Bu erda - funksiya chegralangan sohada regulyar funksiya bo‘lib, to‘plamda deyarli aniqlangan va quyidagi shartlarni qanoatlantiradi: 1. , to‘plamda, 2. , soha ichida. Nokorrekt masalalarni amaliy jihatdan muhim ekanligi ko‘rsatilib, mumkin bo‘lgan echimlar sinfi kompaktga qadar toraytirilsa bu masala turg‘un bo‘lishiga doir birinchi natijalar A.N. Tixonov [3] ishlarida keltirilgan. (0.6) va (0.7) formulalarga asoslab, M.M. Lavrent’ev [4-5], Karleman funksiyasi tushunchasini kiritdi. 3-ta’rif. Ikki komples o‘zgaruvchi va bitta skalyar argumentga bog‘liq bo‘lgan funksiya sohada to‘plamning Karleman funksiyasi deb aytiladi, agar 1. , da Bu erda - funksiya quyidagi xossalarga ega: a) sohada bo‘yicha analitik funksiya; v) -da chegaralangan va bo‘lakli uzluksiz; s) barcha lar uchun bo‘yicha da uzluksiz; 2. , da. Agar Karleman funksiyasi mavjud bo‘lsa, u holda quyidagi formula o‘rinli: (0.8) Bu usuldan foydalanib, Sh. Yarmuxamedov keng qo‘lamdagi elliptik operatorlar uchun soha chegarasining bir qismi konik sirtlar yoki gipersirtlar bo‘lganda Karleman funksiyasini tuzdi. M. M. Lavrentev [4]- [5], usulidan foydalanib, Sh. Yarmuxamedov [6-9] Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasini echishda Karleman funksisining tushunchasini kiritdi. 4- ta’rif. qiymatlarga aniqlangan va parametrga bog‘liq bo‘lgan funksiya sohaning , qismi uchun Karleman funksiyasi deb aytiladi, agar bu funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsa: 1. funksiya quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi: bu erda , - o‘zgaruvchi bo‘yicha da garmonik funksiya, (hatto da ham). 2. da funksiya tengsizlikni qanoatlantiradi. Bu erda -soha chegarasi ga o‘tkazilgan tashqi birlik normal, -musbat funksiya bo‘lib, da . Ikkinchi bobning ikkinchi paragrafida Karleman funksiyasining tuzish konstruksiyasi keltirilgan. Aytaylik bo‘lsin. funksiyani bo‘lganda quyidagi tenglik orqali aniqlaymiz [8] . , (0.10) Teorema 2.2.1 (0.10) tenglik orqali aniqlangan funksiya bo‘lganda quyidagi ko‘rinishda tasvirlanadi: ( 0.11) bu erd a , -funksiya bo‘yicha da garmonik funksiya. Teorema 2.2.1 dan funksiya ixtiyoriy uchun bo‘yicha Laplas tenglamasining fundamental echimi ekanligi kelib chiqadi. SHuning uchun funksiya va ixtiyoriy uchun quyidagi Grin integral formulasi o‘rinli bo‘ladi: (0.12) Magistrlik dissertatsiyaning uchinchi bobi “ Laplas tenglamasi uchun chegaralanmagan sohada Koshi masalasi ” deb nomlanadi. Bu bobning birinchi paragrafida soha chegarasi ning bir qismi silliq chiziqda berilgan qiymatlariga ko’ra, Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimini davom ettirishi qaraladi. Qaralayotgan masala, matematik fizikaning yechim boshlang’ich shartlarga uzluksiz ravishda bog’liq bo’lmagan masalalari qatoriga kiradi. Masalada yechim mavjud va biror yopiq sohada uzluksiz differensiallanuvchi, hamda Koshi shartlari aniq berilgan deb faraz qilinadi. Bu hol uchun oshkor ko’rinishda yechim iregulyarizasiyasi quriladi. Faraz qilamiz x=(x1,x2) va y=(y1,y2) nuqtalar R2 fazoga tegishli ikki o‘lchovli Evklid fazosidan olingan bo‘lsin. Bu paragrafda (0.1)-(0.2) masala y echilgan. Faraz qilamiz, o‘zining normal bo‘yicha hosilasi bilan soha chegrasi ning bir qismida chegralangan bo‘lsin, ya’ni: . (0.13) . (0.14) belgilashni kiritamiz. Teorema 3.1.1. Aytaylik funksiya soha chegarasi -ning qismida (0.2) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirib, soha chegarasi - ning qismida (0.13) tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda barcha va , (0.15) baho o‘rinli bo‘ladi. Bu erda -berilgan musbat son va . Uchinchi bobning ikkinchi paragrafida chegaralanmagan soha chegarasi ning bir qismi silliq chiziqda berilgan qiymatlariga ko’ra, Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimi hosilasini davom ettirish masalasi qaraladi. Bu hol uchun ham oshkor ko’rinishda yechimn iregulyarizasiyasi quriladi. Teorema 3.2.1. Aytaylik funksiya soha chegrasining qismida (0.2) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirib, soha chegarasining qismida (0.13) tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda barcha va , (0.16) baho o‘rinli bo‘ladi. Bu erda -berilgan musbat son va . Uchinchi bobning uchinchi paragrafida chegaralanmagan soha chegarasi ning bir qismi silliq chiziqda berilgan qiymatlariga ko’ra, Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimi va yechim hosilasining shartli turg’unlik bahosi olinadi. Olingan natijalarning qisqacha mazmuni. Ma’lumki elliptik sistemalar uchun qo‘yilgan Koshi masalasi nokorrekt masalalar qatoriga kiradi. Bunday masalalarni echish uchun echimlar sinfini kompakt to‘plamgacha qisqartirish, ya’ni korrektlik sinfini aniqlash lozim. Natijada shartli korrekt masala hosil bo‘ladi. Bunday masalalarni echish uchun, soha chegarasining Koshi shartlari berilmagan qismida regulyarizatsiya parametriga bog‘liq bo‘lgan funksiya, ya’ne Karleman funksiyasi tuziladi. Elliptik tipli tenglamalar va tenglamalar sistemasi uchun Karleman funksiyasi Sh. Yarmuxamedov tomonidan tuzilgan. Bu funksiya , (0.17) bu erda ko‘rinishga ega bo‘lib, uning yadrosi chegaralangan sohada [8] ko‘rinishda, chegaralanmagan sohada esa Sh. Yarmuxamedov [9] o‘zining doktorlik dissertatsiyasiga quyidagi ko‘rinishda keltirilgan: ( 0.18 ) ko‘rinishga ega. Magistrlik dissertatsiyada , chegaralanmagan sohada ( 0.19 ) ko‘rinishda tanlangan bo‘lib, yadroning bunday tanlanishi integrallarning yaqinlashishini ta’minlaydi. YAdroni (0.19) ko‘rinishda tanlab, (0.17)–ga ko‘ra hosil bo‘lgan funksiyaning mavhum qismini ajratib, quyidagi Karleman funksiyasini hosil qilamiz: ning bu tanlangan ko‘rinishidan foydalanib, magistrilik dissertatsiyada Laplas tenglamasi uchun chegaralanmagan sohada Koshi masalasi yechimi va yechim hosilasining regulyarizatsiyasi qurildi hamda shartli turg’unlik bahosi olinadi. Bu esa magistrlik ishning yangiligi va natijasidan iborat. II BOB. KORREKT VA NOKORREKT MASALALAR TARIXI. Magistrlik dissertatsiyaning ikkinchi bobi « Korrekt va nokorrekt masalalar tarixi » deb nomlanadi. Ikkinchi bobning bobning birinchi paragrafida dastlabki tushunchalar va bayon etiladigan natijalarni to‘ldirish maqsadida J. Adamar [26], T. Karleman [1], G.M. Goluzin va V.I. Krilov [2], A.N. Tixonov [3], M.M. Lavrent’ev [4-5], ishlaridan va Sh. Yarmuxamedovning [6-9] Karleman funksiyasini tuzish, hamda elliptik tipdagi tenglamalar va sistemalar uchun Koshi masalasining regulyarizatsiyalashgan echimini topishga bag‘ishlangan ishlaridan foydalanilgan. Laplas tenglamasi va elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo‘yilgan Koshi masalasining nokorrektligini ko‘rsatish uchun Adamar misoli keltirilgan. Ikkinchi bobning ikkinchi paragrafida esa Karleman funksiyasini tuzish konstruksiyasi keltirilgan bo‘lib, bu paragrafda Sh. Yarmuxamedov tomonidan tuzilgan Karleman funksiyasi o‘rganilgan va bu funksiya Laplas tenglamasini qanoatlantirishi ko‘rsatilgan. §1. Korrekt va nokorrekt masalalar tarixi. Adamar misoli. Elliptik tipdagi tenglamalar nazariyasida chegaraviy masalalarni o‘rganish muhim rol o‘ynaydi. Dirixle masalasi, Neyman masalasi va aralash chegaraviy masalalarni echishda o‘rganayotgan masala qaralayotgan sohaning butun chegarasiga chegaraviy shartlar beriladi. Bu chegaraviy masalalar korrekt masala hisoblanadi. 2.1.1 - ta’rif . Matematik fizika masalasi korekt qo‘yilgan masala deb aytiladi, agar quyidagi shartlar bajarilsa: 1) masala yechimi mavjud, 2) masala yechimi yagona, 3) masala yechimi turg‘un, ya’ne berilganlaring kichik o‘zgarishiga, yechimning kichik o‘zgarishi mos kelsa. 2.1.2-ta’rif. Agar 2.1.1- ta’rifning hech bo‘lmasa bitta sharti bajarilmasa, u holda qo‘yilgan masala nokorrekt masala deb aytiladi . Real amaliy masalalarda soha chegarasining bir qismida shartlar berilishi talab qilinadi. SHuning uchun soha chegarasining bir qismida shartlar berilganda, masalani o‘rganish muhim hisoblanadi. Zamonaviy elliptik chegaraviy masalalar nazariyasida Koshi masalasi, ya’ni soha chegarasining bir qismidagi qiymatiga ko‘ra elliptik tenglamalar va elliptik sistemalarning echimini davom ettirish masalasi asosiy o‘rin tutadi. Qaralayotgan masala matematik fizikaning nokorrekt masalalasi hisoblanadi, ya’ne masalaning echimi boshlang‘ich shartlarda uzluksiz ravishda bog‘liq emas. Bu masalaning nokorrektligini o‘tgan asrning boshida birinchi bo‘lib J. Adamar [26] ko‘rsatgan. Laplas tenglamasi uchun Adamar misolini keltiramiz: 2 .1. 1- misol. doirada Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasini qaraymiz, ya’ni: Bu erda - natural son ( , tenglamaning xarakteristikasi emas). Tekshirib ko‘rish mumkinki, bu masalaning yechimi (analitik funksiyalar sinfida yagona bo‘lib), quyidagi ko‘rinishga ega: . Haqiqatan ham, to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan doiradan olingan ixtiyoriy nuqta uchun da boshlang‘ich shartlar hattoki ixtiyoriy uchun da , bo‘lishiga qaramasdan, da yechimning ekanligi kelib chiqadi. Ya’ni: - ifoda chegaralanganligi uchun quyidagi baho o‘rinli . Shunday qilib, da . Bu erda turg‘unlik sharti buziladi. Nokorrekt masalalar yo‘nalishi bo‘yicha birinchi natija 1926 yilda maxsus ko‘rinishdagi sohada T. Karleman tomonidan olingan. Soha chegarasining bir qismida berilgan qiymatiga ko‘ra va soha ichida regulyar bo‘lgan - analitik funksiya chegaralangan - sohada aniqlansin. Ma’lumki, bu masalaga tekislikda Laplas tenglamasi uchun qo‘yilgan Koshi masalasi ekvivalentdir. 2.1.1-lemma . (T. Karleman [1]). analitik funksiya -sohada regulyar bo‘lib, -soha to‘g‘ri chiziqlar va burchak ichida joylashgan egri chiziq bilan chegaralangan bo‘lsin. - kompleks son nuqtaga mos son bo‘lib, - nuqta burchak bissektritsasiga joylashgan nuqta, -esa bu bissektritsaning egri chiziq bilan kesishgan nuqtasi va burchak kattaligi ga teng bo‘lsin. U holda, agar va tengzizliklar bajarilsa, (2.1.1) bahodan, , (2.1.2) formula o‘rinli bo‘ladi. Bu erda - nuqtadan nuqtagacha bo‘lgan masofa, bo‘lsa - nuqtadan yoygacha bo‘lgan eng maksimal masofa, - sonli musbat parametr. G. Goluzin va V.I. Krilov [2] tomonidan (2.1.2) formula umumlashtirib, quyidagi masala yechildi: chegaraning konturida Lebeg ma’nosida o‘lchovli berilgan qiymatlariga ko‘ra bir bog‘lomli chegralangan sohada analitik funksiya topilsin. Bu formula quyidagi ko‘rinishga ega. (2.1.3) Bu erda - funksiya chegralangan sohada regulyar funksiya bo‘lib, to‘plamda deyarli aniqlangan va quyidagi shartlarni qanoatlantiradi: 1. , to‘plamda, 2. , soha ichida. Nokorrekt masalalarni amaliy jihatdan muhim ekanligi ko‘rsatilib, mumkin bo‘lgan yechimlar sinfi kompaktga qadar toraytirilsa bu masala turg‘un bo‘lishiga doir birinchi natijalar A.N. Tixonov [3] ishlarida keltirilgan. (2.1.2) va (2.1.3) formulalarga asoslab, M.M. Lavrent’ev [5], Karleman funksiyasi tushunchasini kiritdi. 2.1.3-ta’rif. Ikki komples o‘zgaruvchi va bitta skalyar argumentga bog‘liq bo‘lgan funksiya sohada to‘plamning Karleman funksiyasi deb aytiladi, agar 1. , da Bu erda - funksiya quyidagi xossalarga ega: a) sohada bo‘yicha analitik funksiya; b) -da chegaralangan va bo‘lakli uzluksiz; v) barcha lar uchun bo‘yicha da uzluksiz; 2. , da. Agar Karleman funksiyasi mavjud bo‘lsa, u holda quyidagi formula o‘rinli: (2.1.4) Bu usuldan foydalanib, Sh. Yarmuxamedov keng qo‘lamdagi elliptik operatorlar uchun soha chegarasining bir qismi konik sirtlar yoki gipersirtlar bo‘lganda Karleman funksiyasini tuzdi. M. M. Lavrentev [4]- [5], usulidan foydalanib, Sh. Yarmuxamedov [6-9] Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasini yechishda Karleman funksisining tushunchasini kiritdi. 2.1.4- ta’rif. qiymatlarga aniqlangan va parametrga bog‘liq bo‘lgan funksiya sohaning , qismi uchun Karleman funksiyasi deb aytiladi, agar bu funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsa: 1. funksiya quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi: bu erda , - o‘zgaruvchi bo‘yicha da garmonik funksiya, (hatto da ham). 3. da funksiya tengsizlikni qanoatlantiradi. Bu erda -soha chegarasi ga o‘tkazilgan tashqi birlik normal, -musbat funksiya bo‘lib, da . §2. Karleman funksiyasining konstruksiyasi. Bu paragrafda nokorrekt masalalarning yechish uchun Karleman funksiyasini tuzish o‘rganilgan. Bu paragrafda keltirilgan teorema Sh. Yarmuxamedov [8] ga tegishli. Aytaylik bo‘lsin. funksiyani bo‘lganda quyidagi tenglik orqali aniqlaymiz. , (2.2.1) Teorema 2.2.1. (2.2.1) tenglik orqali aniqlangan funksiya bo‘lganda quyidagi ko‘rinishda tasvirlanadi: (2.2.2) bu erda , -funksiya bo‘yicha da garmonik funksiya. Teorema 2.2.1 dan funksiya ixtiyoriy uchun bo‘yicha Laplas tenglamasining fundamental echimi ekanligi kelib chiqadi. SHuning uchun funksiya va ixtiyoriy uchun quyidagi Grin integral formulasi o‘rinli bo‘ladi: (2.2.3) Isbot . Quyidagi belgilashlarni kiritamiz. , (2.2.4) , (2.2.5) . Bu belgalashlar orqali (2.2.1) tenglik qo‘yidagi ko‘rinishni oladi: . (2.2.6) Belgilashlarda , . Bu holda (2.2.5) tenglikdan (2.2.7) munosibatlarni olamiz. Laplas tenglamasi esa nuqtalar koordinatasi bo‘yicha (2.2.8) ko‘rinishni oladi. Haqiqatan ham, deb differensiallab , ekanligini topamiz. Bu erda esa, ikkita oxirgi ifodalarni qo‘shib, (2.2.18) tenglikni hosil qilamiz. Endi ekanligini hisobga olib, (2.2.7)- ni differensiallab (2.2.9) ekanligini topamiz. (2.2.7) dan hosilani topamiz. (2.2.10) (2.2.9) va (2.2.10) larni qo‘shib, (2.2.8)- ni hosil qilamiz. funksiyaning garmonikligi uchun isbotlandi. Quyidagi ayirmani qaraymiz: , bu erda . funksiya butun funksiya bo‘lib, ning haqiqiy qiymatlarida haqiqiy, u holda bu funksiyani quyidagi darajali qator ko‘rinishda tasvirlash mumkin, ya’ni: (2.2.11) (2.2.11) dan ko‘rish mumkinki hosil bo‘lgan ifodaning o‘ng tomonidagi birinchi va ikkinchi qo‘shiluvchi sinfga tegishli bo‘lib, nuqtalarning funksiyasi. Oxirgi ikki a’zo esa ko‘rinishda bo‘lib, bu ifodaning ham birinchi qismi nuqtalarning funksiyasi. Bundan quyidagi tasvirni kiritamiz: . Bunda ikki garmonik funksiyaning ayirmasi sifatida da garmonik funksiya bo‘ladi. Hamda bu funksiyani butun , da garmonik davom ettirish mumkin. Endi funksini orqali ifodalab, 2.2.1.teoremaning isbotiga kelamiz. funksiyaning mavhum qismini ajratib hosil qilamiz. SHunday qilib quyidagi ko‘rinishni oldi: (2.2.12) III BOB. LAPLAS TENGLAMASI UCHUN CHEGARALANMAGAN SOHADA KOSHI MASALASI YECHIMINING REGULYARIZASIYASI VA TURG’UNLIK BAHOSI Bu bobning birinchi paragrafida soha chegarasi ning bir qismi silliq chiziqda berilgan qiymatlariga ko’ra, Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimini davom ettirishi qaraladi. Qaralayotgan masala, matematik fizikaning yechim boshlang’ich shartlarga uzluksiz ravishda bog’liq bo’lmagan masalalari qatoriga kiradi. Masalada yechim mavjud va biror yopiq sohada uzluksiz differensiallanuvchi, hamda Koshi shartlari aniq berilgan deb faraz qilinadi. Bu hol uchun oshkor ko’rinishda yechim iregulyarizasiyasi quriladi. Uchinchi bobning ikkinchi paragrafida chegaralanmagan soha chegarasi ning bir qismi silliq chiziqda berilgan qiymatlariga ko’ra, Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimi hosilasini davom ettirish masalasi qaraladi. Bu hol uchun ham oshkor ko’rinishda yechimn iregulyarizasiyasi quriladi. §1. Laplas tenglamasi uchun chegaralanmagan sohada Koshi masalasi yechimining regulyarizasiyasi Faraz qilamiz, x=(x1,x2) va y=(y1,y2) nuqtalar R2 fazoga tegishli ikki o‘lchovli Evklid fazosidan olingan bo‘lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: Aytaylik - soha qatlam ichida joylashgan chegaralari to’g’ri chiziq hamda silliq egri chiziqdan ibort bo’lgan chegaralanmagan soha bo’lsin. shart lar bajarilishini talab qilamiz. . Shu bilan birga biror son uchun sohaning chegarasi quyidagi shartni qanoanlantirsin. belgilashni kiritamiz. sohada quyidagi Laplas tenglamasini qaraymiz. (3.1.1) Masalaning qo’yilishi. Qaralayotgan soha chegarasi ning qismida berilgan qiymatlariga ko‘ra garmonik bo‘lgan funksiyani topish talab qilinadi, ya’ni , (3.1.2) bu erda va , berilgan funksiyalar. - ga o‘tkazilgan tashqi normal bo‘yicha differensial operator. soha chegarasining qismida berilgan Koshi shartlariga ko‘ra Koshi masalasining echimini topamiz. Q aralayotgan (3.1.1) - (3.1.2) masala, matematik fizikaning nokorrekt qo‘yilgan masalaiga mansub, chunki masalaning yechimi boshlang‘ich shartlardan uzluksizravishda bog‘liq bo‘lmaydi. Nokorrekt masalalarni amaliy jihatdan muhim ekanligi ko‘rsatilib, mumkin bo‘lgan echimlar sinfi kompaktga qadar toraytirilsa, bu masala turg‘un bo‘lishiga doir birinchi natijalar A.N.Tixonov [3] ishlarida keltirilgan. Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi va matematik fizikaning shu qatori boshqa nokorrekt masalalarida to‘g‘ri silindr hamda chegarasi silliq bo‘lgan ixtiyoriy fazoviy sohada M.M.Lavrent’ev [4-5] ishlarida yoritilgan. [1]- ishda T. Karleman maxsus ko‘rinishdagi sohalarda (burchak simon sohada) Koshi Riman sistemasi echimini ifodalovchi formulani keltirdi. Karleman ideyasini kengaytirib, G. M. Goluzin va V. I. Krilov [2] ixtiyoriy soha chegarasining bir qismidagi qiymatiga ko‘ra analitik funksiyaning qiymatini aniqlovchi formulani keltirdilar. Differensial tenglamalarning fundamental echimini ifodalovchi maxsus xossalarga ega bo‘lgan formulani, ya’ni Karleman funksiyasini M.M.Lavrentev [4,5] ishlarga keltirgan. Bu ishlarda, Koshi shartlari taqribiy berilganda Karleman funksiyasining ta’rifi keltirilgan hamda , Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi echimi regulyarizatsiyasi sxemasi keltirilgan. Bu usulni qo‘llab, SH. YA. YArmuxamedov [6-9] keng qo‘lamli elliptik operatorlar uchun qo‘yilgan Koshi masalasini echishda, maxsus sohalarda Karleman funksiyasini tuzdi. [8] ishda soha chegarasining bir qismidagi berilgan Koshi boshlang‘ich qiymatlariga ko‘ra garmonik funksiyaning taqribiy tiklash masalasi va yechimning regulyarizatsisi qurilgan. Shuni ta’kidlab o‘tish joizki, amaliy masalalarni yechishda nafaqat yechimning o‘zi, balki uning hosilasini ham topish lozim. [22-24] ishlarda chegralangan sohaning silliq bir qismidagi Koshi boshlang‘ich shartlariga ko‘ra, nafaqat garmonik funksiyaning o‘zi, balki uning hosilasi ham tiklangan bo‘lib, yechim va yechim hosilasining shartli turg‘unlig bahosi keltirilgan. Bu natijalar elastiklik nazariyasida ko‘chish, deformatsiya va kuchlanishni aniqlashda qo‘llaniladi. Qaralayotgan chegaralangmagan sohada Karleman funksiyasini birinchi bo‘lib Sh. Yarmuxamedov [9] o‘zining doktorlik dissertatsiyasiga quyidagi ko‘rinishda keltirilgan: , (3.1.3) bu erda (3.1.4) (3.1.4) –formulada biz -ni quyidagicha tanlaymiz. va (3.1.4) –ga ko‘ra hosil bo‘lgan funksiyaning mavhum qismini ajratib, quyidagi Karleman funksiyasini hosil qilamiz: (3.1.5) Agar bo‘lib, quyidagi o‘sish shartini qanoatlantirsa , (3.1.6) u holda Grin integral formulasi o‘rinli bo‘ladi [9]. . (3.1.7) Faraz qilamiz, o‘zining normal bo‘yicha hosilasi bilan soha chegrasi ning bir qismida chegralangan bo‘lsin, ya’ni: . (3.1. 8 ) Bu hol uchun (3.1.6) formulada deb olinadi . . (3.1.9) belgilashni kiritamiz. Teorema 3.1.1. Aytaylik funksiya soha chegarasi -ning qismida (3.2.2) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirib, soha chegarasi - ning qismida (3.1.8) tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda barcha va uchun , (3.1.10) baho o‘rinli bo‘ladi. Bu erda -berilgan musbat son va . Isbot. orqali quyidagi ayirmani belgilaymiz: (3.1.11) (3.1.8) tensizlikni hisobga olib, (3.1.11) ni baholasak , bahoga ega bo‘lamiz. Bu erda . (3.1.10) bahoning isboti . (3.1.12) tengsizlikdan kelib chiqadi. (3.1.12) tengsizlikni baholaymiz. Avvalo funksiyani baholaymiz . (3.1.5) ga qo‘yamiz va baholab, qutb koordinatalar sistemasiga o‘tib quyidagi natijaga ega bo‘lamiz: Baholash jarayonida quyidagi tengsizliklardan foydalanildi. . (3.1.13) Endi integralni baholaymiz , bu erda . (3.1.14) Baholashda, soha chegarasi -ning -nuqtasida o‘tkazilgan tashqi birlik normalning koordinatalari, ya’ni ekanligini hisobga olib , integralni baholaymiz . Avvalo hosilani hisoblaymiz va qo‘yib, baholasak, quyidagiga ega bo‘lamiz: (3.1.15) (3.1.15) ga tegishli integrallarni baholashda ham, (3.1.13) tengsizliklardan foydalanamiz va qutb koordinatalar sistemasiga o‘tsak bahoga ega bo‘lamiz. Keltirilgan baholardan esa -ga ega bo‘lamiz. (12) tengsizlik isbotlandi. Bundan esa teorema 3.1.1 –ning isboti kelib chiqadi. Natija 3.1.1. Har bir uchun , tengliklar o‘rinli bo‘ladi. orqali to‘plamni belgilaymiz. Ko‘rish mumkinki, to‘plam kompakt to‘plamdir. Natija 3.1.2. Agar bo‘lsa, u holda funksiyalar oilasi da tekis yaqinlashadi, ya’ni . §2. Laplas tenglamasi uchun chegaralanmagan sohada Koshi masalasi yechimi hosilasining regulyarizasiyasi Teorema 3.2.1. Aytaylik funksiya soha chegrasining qismida (3.1.2) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirib, soha chegarasining qismida (3.1.8) tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda barcha va , (3.2.1) baho o‘rinli bo‘ladi. Bu erda -berilgan musbat son va Isbot. (3.2.1) bahoni isbotlaymiz. Avvalo (3.1.7) va (3.1.9) ifodalarni bo‘yicha differensiallaymiz. . orqali quyidagi hosilalar ayirmasini belgilaymiz. . Bu erda ( 3 . 1.8 ) tengsizlikdan foydalansak, , bahoni hosil qilamiz. Bunda . ( 3 . 2.2 ) ( 3 . 2.1 ) bahoni bo‘lganda ko‘rsatish uchun, quyidagi . ( 3 .2 .3 ) tengsizlikni isbotlaymiz. Buning uchun (3.1.5) tenglikni bo‘yicha differensiallab, soha chegarasi - ning qismida baholanayotganligimiz uchun qo‘yib, quyidagiga ega bo‘lamiz: (3.2.4) Endi soha chegarasining qismida (3.2.4) integrallarni baholaymiz. (3.2.5) (3.2.5) integrallarni baholash uchun quyidagi tengsizliklardan foydalanamiz va qutb koordinatalar sistemasiga, ya’ni o‘tsak, integrallarni hosil qilamiz. Bu integrallarni baholash uchun esa tengsizliklardan foydalanamiz. Natijada quyidagi bahoga ega bo‘lamiz: Y а ’ni (3.2.6) (3.1.14) o‘rinli ekanligini hisobga olib, hosilani hisoblaymiz. (3.1.14) ga ko‘ra soha chegarasi -ning -nuqtasida o‘tkazilgan tashqi birlik normalning koordinatalari, ya’ni . Bu hosilani hisoblaymiz va qo‘yib, soha chegarasi -ning -nuqtasida o‘tkazilgan tashqi birlik normalning koordinatalarini hisobga olsak, qo‘yidagini hosil qilamiz. Bu hosil bo‘lgan integralalarni yuqoridagi kabi baholaymiz va quyidagi bahoga ega bo‘lamiz. (3.2.7) Hosil qilingan (3.2.6) va (3.2.7) baholardan (3.2.3)tengsizlikning isboti kelib chiqadi. Bu erda (3.2.1) baho bo‘lganda isbotlandi. (3.2.1) bahoni bo‘lganda isbotlaymiz. Buning uchun (3.1.7) va (3.1.9) ifodalarni bo‘yicha differensiallaymiz. (3.2.8) orqali qo‘yidagi ayirmani belgilaymiz: . Bu erda (3.1.8) tengsizlikdan foydalansak, , bahoni olamiz. Bu erda . Endi . (3.2.9) tengsizlik o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun (3.1.5) tenglikni bo‘yicha differensiallab, soha chegarasi - ning qismida baholanayotganligimiz uchun qo‘yib, quyidagiga ega bo‘lamiz: (3.2.10) Y u qoridagi kabi soha chegarasining qismida (3.2.10) integrallarni baholab, quyidagi bahoga ega bo‘lamiz: (3.2.11) Shu kabi hosilani hisoblaymiz va soha chegarasining qismida baholasak, quyidagi bahoga ega bo‘lamiz: (3.2.12) (3. 2 .11) va ( 3.2.12 ) baholardan (3.2.9) tengsizlikning isboti kelib chiqadi. Teorema 3 .2. 1 isbotlandi . N atija 3.2.1 . Har bir uchun tengliklar o‘rinli bo‘ladi. N atija 3.2.2 . Agar bo‘lsa, u holda funksiyalar oilasi da tekis yaqinlashadi, ya’ni . XULOSA Magistrlik dissertatsiyada Laplas tenglamasi uchun chegaralanmagan sohada Koshi masalasi y echimining regulyarizatsiyasi qaralgan. Birinchi bob 4- ta paragrafdan iborat bo‘lib, bu bobda asosan elliptik tipdagi tenglamalar haqida ma’lumotlar, garmonik funksiyalar va ularning xossalari, Grin formulalari, hamda elliptik tipli tenglamalar uchun qo‘yilgan korrekt masalalar keltririlgan. Ikkinchi bob magistrlik dissertatsiyaning boshlang‘ich qismi hisoblanib, bu bobda korrekt va nokorrekt masalalar tarixi keltirilgan. Bu bobning birinchi paragrafida Laplas tenglamasi va elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo‘yilgan Koshi masalasining nokorrektligini ko‘rsatish uchun Adamar misoli keltirilgan. Ikkinchi bobning ikkinchi paragrafida esa Karleman funksiyasini tuzish konstruksiyasi keltirilgan bo‘lib, bu paragrafda Sh. Yarmuxamedov tomonidan tuzilgan Karleman funksiyasi o‘rganilgan va bu funksiya Laplas tenglamasini qanoatlantirishi ko‘rsatilgan. Uchinchi bob magistrlik dissertatsiyaning asosiy qismi hisoblanib, chegaralanmagan sohada Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi deb nomlanadi va ikki paragrafdan iborat. Birinchi paragrafda c hegaralanmagan sohada Laplas tenglamasi uchun qo‘yilgan Koshi masalasi y echimining regulyarizatsiyasi keltirilgan. Ikkinchi paragrafda esa chegaralanmagan sohada Laplas tenglamasi uchun qo‘yilgan Koshi masalasi yechimi hosilasining regulyarizatsiyasi qurilgan. Bu amaliy va tadbiqiy masalalarga katta ahamiyat kasb etadi. Ma’lumki elliptik sistemalar uchun qo‘yilgan Koshi masalasi nokorrekt masalalar qatoriga kiradi. Bunday masalalarni echish uchun echimlar sinfini kompakt to‘plamgacha qisqartirish, ya’ni korrektlik sinfini aniqlash lozim. Natijada shartli korrekt masala hosil bo‘ladi. Bunday masalalarni echish uchun, soha chegarasining Koshi shartlari berilmagan qismida regulyarizatsiya parametriga bog‘liq bo‘lgan funksiya, ya’ne Karleman funksiyasi tuziladi. Elliptik tipli tenglamalar va tenglamalar sistemasi uchun Karleman funksiyasi Sh. Yarmuxamedov tomonidan tuzilgan. Bu funksiya , (0.17) bu erda ko‘rinishga ega bo‘lib, uning yadrosi chegaralangan sohada [8] ko‘rinishda, chegaralanmagan sohada esa Sh. Yarmuxamedov [9] o‘zining doktorlik dissertatsiyasiga quyidagi ko‘rinishda keltirilgan: ko‘rinishga ega. Magistrlik dissertatsiyada , chegaralanmagan sohada ko‘rinishda tanlangan bo‘lib, yadroning bunday tanlanishi integrallarning yaqinlashishini ta’minlaydi. Y a droni bu ko‘rinishda tanlab, (0.17)–ga ko‘ra hosil bo‘lgan funksiyaning mavhum qismini ajratib, quyidagi Karleman funksiyasini hosil qilamiz: ning bu tanlangan ko‘rinishidan foydalanib, magistrilik dissertatsiyada Laplas tenglamasi uchun chegaralanmagan Koshi masalasi yechimi va yechim hosilasining regulyarizatsiyasi qurildi. Bu esa magistrlik ishning yangiligi va natijasidan iborat. Olingan natijalar quyidagi teoremalarning isboti sifatida keltirilgan: Teorema 3.1.1. Aytaylik funksiya soha chegarasi -ning qismida (3.2.2) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirib, soha chegarasi - ning qismida (3.1.8) tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda barcha va uchun , (3.1.10) baho o‘rinli bo‘ladi. Bu erda -berilgan musbat son va . Teorema 3.2.1. Aytaylik funksiya soha chegrasining qismida (3.1.2) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirib, soha chegarasining qismida (3.1.8) tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda barcha va , (3.2.1) baho o‘rinli bo‘ladi. Bu erda -berilgan musbat son va Natija 3.1.1. Har bir uchun , tengliklar o‘rinli bo‘ladi. orqali to‘plamni belgilaymiz. Ko‘rish mumkinki, to‘plam kompakt to‘plamdir. Natija 3.1.2. Agar bo‘lsa, u holda funksiyalar oilasi da tekis yaqinlashadi, ya’ni . N atija 3.2.1 . Har bir uchun tengliklar o‘rinli bo‘ladi. N atija 3.2.2 . Agar bo‘lsa, u holda funksiyalar oilasi da tekis yaqinlashadi, ya’ni . FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Carleman T. Les Functions quasi analytiques, Paris: 1926. 116p, 2. Голузин Г. М., Крылов. В. И. Обобщенная формула Карлемана и ее приложение к аналитическому продолжению функций // Мат. сборник, Т.40, 133, С.144-149. 3. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач. // ДАН СССР, 1943, Т.39, N 5, С.195-198. 4. М.М. Лаврентьев. О Задач e Коши для уравнения Лапласа. Изв. АН СС СР Сер. матем., 1956, том 20, выпуск 6, 819-842с. 5. М.М. Лаврентьев. О некоторых некорректных задачах математической физики. Изд. СО АН СССР Новосибирск, 1962 г. 6. Ярмухамедов Ш. О задаче Коши для уравнения Лапласа . // Дисс. докт. физ.-матем. наук, ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, (1983) . 7. Ярмухамедов Ш. О гармоническом продолжении дифференцируемых функций, заданных на куске границы.// Сибирский математический журнал, 2002, Том 43, N 1. С.228-239. 8. Ярмухамедов Ш. Представление гармонической функции в виде потенциалов и задача Коши. // Математические заметки , 2008, Том 83, выпуск 5.C.763-778. 9. Ш. Ярмухамедов. Представление гармонической функции в виде потенциалов и задача Коши. Математические заметки , Том 83, выпуск 5, 2008, 763-778 с. 10. Бицадзе А.В. Пространственный аналог интеграла типа Коши и некоторые его применения. Докл. АН СССР, 1953, Т.3, ст. 389-392. 11. Виноградов В.С. Об аналоге интеграла типа Коши для аналитических функций многих комплексных переменных. Докл. АН СССР, 1968, Т.178, 2, ст. 282-285. 12. Виноградов В.С. Об одном аналоге системы Коши Римана в четырехмерном пространстве. ДАН СССР, 1964, Т.154, №1, ст. 16-19. 13. Дезин А.А. Инвариантные дифференциальные операторы и граничные задачи. Труды математического института им. В. А. Стеклова. Изв. АН. СССР, 1962, Т.68, 53-54. 14. M. S. Salohitdinov. Matematik fizika tenglamalari. Toshkent. O’zbtkiston. 2002 yil, 346-402 15. M. S. Salohitdinov, B. I. Islomov. Matematik fizika tenglamalari fanidan masalalar to’plami. Toshkent. Mumtoz so’z. 2010 yil, 210-247 16. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики.М. Наука, 1966, ст.273-325 17. Klibanov M.V.Carleman estimates for the regularization of ill-posed Cauchy problems,Applied Numerikal Mathematics,94,2015,p.46-74. 18. Agmon S.,Douglis A.,Nirenberg L.Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions.II.Comm.Pure Appl.Math 17,1964,P.35-92 19. Кабанихин.С.И.Обратнные и некорректные задачи.Новосибирск.2009. 20. К.Б.Сабитов.Уравнения математической физики. Москва,физматлит 2013 21. A.B Hasanov. Oddiy differinsial tenglamalar nazariyasiga kirish.Toshkent,,Turon-Iqbol,,2019 22. А.Б.Хасанов,З.Маликов,Ф.Р.Турсунов.О задаче Коши для уравнения Лапласа .Научный весник СамГУ.Самарканд -2019г.№1(113)с.31-35. 23. А.Б. Хасанов, Ф.Р.Турсунов. О задаче Коши для уравнения Лапласа. // Уфимский математический журнал, 2019, Том.11, N 4, С.92-106 . (№3. Scopus IF =0,35). 24. А.Б. Хасанов, Ф.Р.Турсунов. О задаче Коши для трёхмерного уравнения Лапласа. //Известия Вузов. Математика. 20 21 , Том . 65 , N 2 , С . 56 - 73 .(№3.Scopus IF=0, 6 5). 25. Турсунов Ф.Р., Шодиев Д.С.,Тухтаева Х.Х . Регуляризация задача Коши для уравнения Лапласа в неограниченной области. Научный вестник СамГУ, №1, ст.34-39, 2021г. 26. Hadamard J. Lectures on the Cauchy Problem in Linear Partial Differential Equations. Yale University Press, New Haven, 1923 27. Ишанкулов Т. Аналитическое продолжение функций многих переменных и решений эллиптических систем: Дис. докт. физ.-мат. наук - Самарканд: СамГУ, 2007 , -165 с. 28. Махмудов О.И., Ниёзов И.Э. Регуляризация решения задачи Коши для системы уравнений теории упругости в перемещениях // Сиб. Мат. журн. 198. Т. 39. №2. С. 369-376. 29. Тарханов Н.Н. Об интегральном представлении решений систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных и некоторых его приложениях. Некоторые вопросы многомерного комплексного анализа. Красноярск –1980. -C. 147- 160. 30. Тарханов Н.Н. О матрице Карлемана для эллиптических систем // ДАН СССР. – 1985. –т.284. - №2. - С. 294-297. 31. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач.// Докл. АН СССР, - 1943, - Т. 39, - №5. - С. 195-198. 32. СатторовЭ. Об аналитическом продолжении обобщенно аналитических функций в пространственной области по его значениям на куске границы // Узб екский м ат ематический ж урн ал – 2007. - № 1.–С. 97-105. FOYDALANILGAN INTERNET SAYTLARI RO’YHATI 1. www . Ziyonet . uz 2. http://WWW. Math - net . ru 3. http//lib,mexmat.ru 4. www.allmath.ru/highermath/

LAPLAS TENGLAMASI UCHUN KOSHI MASALASI VA KARLEMAN FUNKSIYASI Mundarija Kirish……….....................................................................................................3 I – BOB . Elliptik tipdagi tenglamalar va uning xossalari 1. 1-§. Laplas tenglamasi va uning fundamental yechimlari ................................ 12 1.2-§. G armonik funksiyalarning xossalar……………………………………..…17 1.3- § Grin formulalari va garmonik funksiyalarning integral munosabatlari …….21 1.4 -§. Доира ва ярим доирада Лаплас тенгламаси учун Дирихле масаласининг Грин функсиясини тузиш ……………………………………………………….28 I bobning xulosasi ………………………………………………………………..31 II - BOB.Нокоррект масалалар . Карлеман функсияси 2.1-§.Нокоррект масалалар тарихи va Adamar misoli ………………………32 2.3-§. Карлеман функсияси……………………………………………………40 III bobning xulosasi ……...………………………………………………………44 Ш -BOB. Chegaralanmagan sohada Лаплас тенгламаси uchun Koshi masalasi 3.1-§. Chegaralanmagan sohada Лаплас тенгламаси uchun Koshi masalasi нинг регуляризасияси ………………………………………………………………… 4 3.2-§. Chegaralanmagan sohada Лаплас тенгламаси uchun Koshi masalasi ечими ҳосиласининг регуляризасияси ………………………………..……………….4 III bobning xulosasi……………………………………….……………………. Xulosa…………………………………………………….. Foydalanilgan adabiyotlar…………………………………………………….... 43

KIRISH Masalaning qo’yilishi. Bu magistirlik dissertatsiyasida tekislikning chegaralanmagan sohasida Laplas tenglamasi uchun Karleman funksiyasi yordamida Koshi masalasi yechiladi hamda yechimning turg’unlik bahosi olinadi. Faraz qilamiz x=(x1,x2) va y=(y1,y2) nuqtalar R2 fazoga tegishli ikki o‘lchovli Evklid fazosidan olingan bo‘lsin. Aytaylik - soha qatlam ichida joylashgan chegaralari to’g’ri chiziq hamda silliq egri chiziqdan ibort bo’lgan chegaralanmagan soha bo’lsin. shart lar bajarilishini talab qilamiz. . Shu bilan birga biror son uchun sohaning chegarasi quyidagi shartni qanoanlantirsin. belgilashni kiritamiz. sohada quyidagi Laplas tenglamasini qaraymiz. (0 . 1) Masala ning qo‘yilishi . Qaralayotgan soha chegarasi ning qismida berilgan qiymatlariga ko‘ra garmonik bo‘lgan funksiyani topish talab qilinadi, ya’ni , (0.2) bu erda va , berilgan funksiyalar. - ga o‘tkazilgan tashqi normal bo‘yicha differensial operator.

(0.1) - (0.2) – masala , Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi deyiladi. Ma vzuning dolzarbligi . Statsionar bo’lgan, ya’ni vaqtga bog’liq bo’lmagan fizik jarayonlarni, jumladan issiqlikning tarqalishi, to’lqinning harakati, maydon potensialining tortilish kuchi kabi jarayon larni tekshirish , asosan elliptik tipdagi tenglamalarga keltiriladi. Ya’ni yuqoridagi qaralgan barcha tenglamalarda qatnashayotgan noma’lum funksiya vaqt t -ga bog’liq bo’lmaydi. Ma’lumki, elliptik tipdagi tenglamalar va sistemasi uchun qo’yilgan Koshi masalasi matematik fizikaning nokorrekt qo’yilgan masalalar qatoriga kiradi. Masala yechimi mavjud, yechim yagona, lekin masalaning yechimi boshlang’ich shartlarga uzluksiz ravishda bog’liq emas, ya’ni turg’un emas. Masalani yechish uchun yechimlar sinfini kompakt to’plamgacha qisqartirish lozim. Natijada shartli korrekt masala hosil bo’ladi. Tadqiqotning ob’ekti va predmeti. Chegaralanmagan sohada berilgan Laplas tenglamasi tadqiqotning ob’ekti hisoblanib undagi Koshi masalasi yechimning oshkor ko’rinishda ifodalanishi tadqiqotning pridmeti hisoblanadi. Tadqiqotning maqsad va vazifalari. S h artli korrekt masalalarni yechishda regulyarizatsiyalashgan yechimni topishga to’g’ri keladi. Bunda chegaraning bir qismida vektor funksiyaning qiymati beriladi. Bu qiymatdan foydalanib chegaralanmagan sohaning ichida Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasini yechish dissertatsiyaning asosiy maqsadi hisoblanadi. Regulyarizatsiyalashgan yechimni tuzish esa, Karleman funksiyasini tuzishga olib keladi. Ilmiy yangiligi: Elliptik tenglamalar va sistemalar uchun chegaralangan va chegaralanmagan sohalarda qo’yilgan Koshi masalasi korrekt bo’lmagan masalalar qatoriga kiradi. Ya’ni masala yechimining turg’unlik sharti buziladi. Bunday masalalarni yechish uchun korrektlik sinfini ajratish lozim, ya’ni yechimlar sinfini kompakt to’plamgacha qisqartirish lozim. Natijada masala, shartli korrekt masala bo’ladi. Shartli korrekt masalalarni yechishda integral formuladan foydalaniladi. Koshi masalasida, Koshi shartlari sohaning bir qismida berilganligi sababli, chegaraning qolgan qismida fundamental yechimlar sistemasidan foydalanilib maxsus funksiya tuzishga to’g’ri keladi. Bunday

funksiya qoyilgan masala uchun Karleman funksiyasi hisoblanib, soha chegarasining Koshi shartlari berilmagan qisimdagi integralning qiymatini cheksiz kichikka aylantirishini ta’minlaydi. Qaralayotgan sohalarda Karleman funksiyasini tuzish va bu orqali yechim va uning hosilasini regulyarizasiyarizasini tuzish, ishning yangiligi hisoblanadi. Tadqiqotning asosiy masalalari . Maxsus chegaralanmagan sohada Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi tadqiqotning asosiy masalasi hisoblanadi. Bunda noma’lum funksiyani ma’lum bir shartlarni bajarganda uni aniqlash masalasi ya’ni Koshi masalsining yechimini aniqlash va bu yechimning yagonaligi va turg’unligini ko’rsatishdan iborat. Tadqiqot mavzusi bo’yicha adabiyotlar sharxi (tahlili). Dissertatsiya ishini bajarish davomida, yordamchi ma’lumotlar to‘plash, ilmiy natijalarni asosli bajarish va bilim ko‘nikmalarni kengaytirish maqsadida ro‘yxatda keltirilgan [5,6,14,15,16,19, 20,21] adabiyotlardan keng foydalanildi. Elliptik tipdagi tenglamalar sistemasi uchun qo‘ylgan Koshi masalasi matematik fizikaning nokorrekt masalalari qatoriga kiradi. Respublikamizda, jumladan Samarqand davlat universitetida nokorrekt masalalar nazariyasining rivojlanishiga Sh. Yarmuxamedov [6-9] maktabi alohida o‘rin tutadi. Ko‘p o‘lchovli fazoda elastiklik nazariyasi tenglamalari sistemasi uchun Koshi masalasi T.Ishankulov [26], O.Maxmudov va I.Niyozov [27], umumlashgan Koshi Riman sistemasi uchun Z. Malikov , umumlashgan Moisil –Teodoresko sistemasi uchun E. Sattorov [31], Nave-Stoks tenglamalari sistemasi uchun E.Jabborov –lar tomonidan o‘rganilgan. Laplas tenglamasi va Laplas tenlamasi bilan faktorizatsiyalanuvchi birinchi tartibli elliptik tipli tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasi yechimi va yechim hosilasining regulyarizatsiyasi va shartli turg‘unlik baholari A. B. Xasanov va F.R. Tursunov [22,23,24] tomonidan o‘rganilgan. Nokorrekt masalalarni amaliy jihatdan muhim ekanligi ko‘rsatilib, mumkin bo‘lgan yechimlar sinfi kompaktga qadar toraytirilsa, bu masala turg‘un bo‘lishiga doir birinchi natijalar A.N.Tixonov [3] ishlarida keltirilgan. Laplas tenglamasi

uchun Koshi masalasi va matematik fizikaning shu qatori boshqa nokorrekt masalalarida to‘g‘ri silindr hamda chegarasi silliq bo‘lgan ixtiyoriy fazoviy sohada M.M.Lavrent’ev [4,5] ishlarida yoritilgan. N.N.Tarxanov [28,29] ishlarida esa birinchi tartibli elliptik tipli tenglamalar sistemasi uchun Karleman formulasi o‘rganilgan. Birinchi tartibli elliptik tipdagi tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasiga A.V.Bitsadze [10], A.A.Dezin [13], V.S.Vinogradov [11,12] va boshqalarning ishlari bag‘ishlangan. Disertatsiya mavzusi bo‘yicha qo‘lga kiritilgan natijalar [2 5 -2 6 ] ishlarda chop etilgan. Tadqiqotda qo’lanilgan metodikaning tavsifi. Ishda kompleks analiz va matematik fizikaning usullari qo’llanildi. Koshi masalasi, potensiallar nazariyasi hamda analitik funksiyalarning xossalaridan foydalanildi. Ishning tuzilishining tasnifi. Magistirlik dissetatsiyasi uchta bob, 10 paragraf, xulosa qismi va adabiyotlar ro’yxatidan iborat. Teorema natija va formulalar bob, paragrapf va tartib raqami orqali nomerlangan. Birinchi bobda Elliptik tipli tenglamalar va ularning yechimlari xossalari keltirilgan. B irinchi paragrafida Laplas tenglamasi va uning fundamental yechimlari keltirilgan. Birinchi bobning ikkinchi paragrafida elliptik tipdagi tenglamalar uchun asosiy chegaraviy masalalar keltirilgan, ya’ni vaqtga bog’liq bo’lmagan statsionar chegaraviy masalalarni tekshirishda Laplas va Puasson tenglamalari Δu = 0 (0.3) Δu = f (0.4) uchun qo’yiladigan asosiy chegaraviy masalalar keltir ilgan . 1) S sirt bilan chegaralangan T sohada shunday u=u(x,y,z) funksiyani topish kerakki, natijada bu funksiya (0.3) yoki (0.4) tenglamalarni qanoatlantirib, sohaning chegarasi S sirtda u|S= f1(x,y,z) chegaraviy shartni qanoatlantirisin. Ya’ni quyidagi masalalarga kelamiz:

O'xshashlar

UCH O‘LCHOVLI FAZODA KOSHI-RIMAN SISTEMASI YECHIMLARI SOHA CHEGARASINING BIR QISMIDA BERILGAN QIYMATI BO’YICHA DAVOM ETTIRISH
CHEGARALANGAN UCH O‘LCHOVLI SOHADA ELLIPTIK TIPLI TENGLAMALAR SISTEMASI UCHUN KOSHI MASALASI
FUNKSIYANING BERILISH USULLARI VA UNING XOSSALARI, FRAGMEN – LINDELEF TIPIDAGI TEOREMALAR
Cheksiz zonali davriy funksiyalar sinfida yuklangan hadlarga ega bo‘lgan nochiziqli Shredinger tenglamasini integrallash
Elliptik tipdagi differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarini chekli ayirmalar usuli bilan yechish dasturlar dastasini tuzish.