UCH O‘LCHOVLI FAZODA KOSHI-RIMAN SISTEMASI YECHIMLARI SOHA CHEGARASINING BIR QISMIDA BERILGAN QIYMATI BO’YICHA DAVOM ETTIRISH
UCH O‘LCHOVLI FAZODA KOSHI-RIMAN SISTEMASI YECHIMLARI SOHA CHEGARASINING BIR QISMIDA BERILGAN QIYMATI BO’YICHA DAVOM ETTIRISH MUNDARIJA KIRISH ………………………………………………………………………….......4 I BOB. KOMPLEKS TEKISLIKDA BIR JINSLI BO‘LMAGAN KOSHI- RIMAN TENGLAMALARI SISTEMASI YECHIMI UCHUN KARLEMAN FORMULASI…………………………………………………………………….....8 § 1 .1. Birinchi tartibli chiziqli elliptik tenglamalar sistemasi uchun ikki va uch o‘lchamli fazoda matematik fizika va analizning korrekt va nokorrekt chegaraviy masalalari umumiy nazariyasidan ayrim tushuncha va ma’lumotlar ......................... .8 § 1.2. Kompleks tekislikda bir jinsli Koshi-Riman tenglamalari sistemasi uchun qo‘yilgan nokorrekt Koshi masalasini Karleman funksiyasi yordamida yechish.....12 § 1.3.Kompleks tekislikda bir jinsli bo’lmagan Koshi-Riman sistemasi yechimi uchun Koshining integral formulasi…… …………………. ……………..……….. 20 § 1.4. Burchak ko’rinishidagi sohada b ir jinsli bo’lmagan Koshi-Riman sistemasi uchun Karleman formulasi .......................................................................................2 4 Birinchi bob bo’yicha xulosa.....................................................................................2 9 II BOB. UCH O’LCHAMLI CHEGARALANGAN SOHADA KOSHI – RIMAN SISTEMASI UCHUN KOSHINING INTEGRAL FORMULASI VA NOKORREKT KOSHI MASALASINING QO’YILISHI………………..……30 § 2.1. Uch o’lchamli fazoda silliq vektor uchun Pompeyning integral formulasi………………………………………………………………………..…30 § 2.2. Uch o’lchamli fazoning chegaralangan sohasida golomorf vektor uchun Koshining umumlashgan integral formulasi……………..……………………….33 § 2.3. Uch o’lchovli f azoda Koshi – Riman sistemasi uchun Koshi masalasining qo’yilishi va Karleman matritsasi……………………………………….………..38 Ikkinchi bob bo’yicha xulosa....................................................................................42 III BOB. POTENSIAL VEKTORNI UCH O’LCHAMLI CHEGARA- LANGAN SOHADA SOHA CHEGARASINING BIR QISMIDA BERILGAN QIYMATI BO’YICHA TIKLASH....................................................................... 43 §3.1. Koshi–Riman sistemasi uchun qalpoqsimon sohada Koshi masalasining aniq yechimi ……………………………………………………………………..……43 1
§3.2. Potensial vektorni soha chegarasining bir qismida berilgan qiymati bo’yicha sohada tiklash ……………………………………………………………...…….47 Uchinchi bob bo’yicha xulosa...................................................................................57 Xulosa …………………………………………………………………………......58 Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati ……………………………………………..59 Kirish Magistrlik dissertatsiyasi mavzusining asoslanishi va uning dolzarbligi . Jahonda olib borilayotgan ko‘plab ilmiy va amaliy tadqiqotlarda bir qiymatli analitik funksiyalar, uning integral ko‘rinishi, aksariyat hollarda xususiy hosilali differensial tenglamalar va ular uchun qo’yilgan chegaraviy masalalar yechimi orqali ifodalanadi. Bunday masalalar asosan korrekt va korrekt bo‘lmagan chegaraviy masalalarni tadqiq qilishga keltiriladi. Uch o‘lchovli fazoda Koshi– Riman sistemasi uchun qo’yilgan Koshi masalasi maxsus ko‘rinishdagi sohalarda yetarli darajada to’liq yechilmaganligi sababli, ushbu nokorrekt masalalarga oid tadqiqotlarni rivojlantirishga alohida e’tibor qaratilmoqda. Uch o’lchamli fazodan olingan chegaralangan sohada Koshi-Riman tenglamalar sistemasi yechimi, ya’ni golomorf vektor uchun Koshining integral tasvir formulasini hosil qilish muhimdir. Koshi-Riman tenglamalar sistemasi uchun qo’yilgan Koshi masalasi nokorrektdir, ya‘ni masala yechimi mavjud, yagona ammo turg’un emas. Yechimning regulyarlik sohasida yaqqol ko’rinishda tasvirlash va yechimning mavjudlik kriteriyasini isbotlash masalalari alohida ahamiyat kasb etadi. Birinchi tartibli chiziqli xususiy hosilali differensial tenglamalar nazariyasidan elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo’yilgan nokorrekt Koshi masalasini korrektlik sinfiga qadar davom ettirish va hosil qilingan shartli korrekt masalaning taqribiy yechimini topish gidrodinamika, geofizika, kvant fizikasi va shu kabi boshqa sohalardagi amaliy tadqiqotlarning obyektidir. Nokorrekt masalalarni yechishda regulyarlashgan yechimlar oilasi korrektlik sinfi kompaktga qadar toraytirilganda turg’un yechimni tadqiq qilishga asos sifatida xizmat qiladi. Uch o‘lchamli fazoda Koshi-Riman tenglamalari sistemasi o’zining amaliy 2
ahamiyati jihatidan ko‘plab masalalarni o‘rganishda boshlang‘ich ob’ekt sifatida muhim o’rin egallaydi. Koshi-Riman tenglamalari sistemasi yechimini topishda yechimning mavjudlik va yagonaligi, qo’yilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantirishini tekshirish muhimdir. Bu masala soha chegarasining bir qismida berilgan qiymati bo’yicha shu soha ichida yechimni tiklashdan iborat. Yechimning mavjudligini zaruriy va yetarli shartlari, ya’ni Fok-Kuni teoremasi Karleman funksiyasi (matrisasi) ni qurish usuli orqali isbotlanadi. Ushbu magistirlik dissertatsiyasida kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasining asosiy tushunchalaridan foydalangan holda matematik fizikaning nokorrekt masalalaridan hisoblangan uch o‘lchamli fazoda Koshi–Riman tenglamalar sistemasi uchun qo’yilgan nokorrekt Koshi masalasini regurlyarlashgan taqribiy yechimini qurish bilan ifodalanadi. Tadqiqotning ob’ekti va predmeti. Uch o‘lchamli fazoning chegaralangan sohasida Koshi–Riman tenglamalar sistemasi uchun qo’yilgan nokorrekt Koshi masalasining regurlyarlashgan taqribiy yechimini qurish tadqiqotning pridmeti hisoblanadi. Tadqiqotning maqsadi va vazifalari. Magistrlik dissertatsiyasining maqsadi kompleks o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasi kursining muhim tushunchasi asosida ikki o‘lchamli tekislikda bir jinsli bo‘lmagan Koshi–Riman tenglamalar sistemasi va uch o‘lchamli fazoning qalpoqsimon ko‘rinishidagi chegaralangan sohasida qaralayotgan Koshi masalasining aniq yechimi, ya’ni Karleman formulasi va regurlyarlashgan taqribiy yechimini topishdan iboratdir. Ushbu magistrlik dissertatsiyasining asosiy vazifasi: - uch o‘lchamli qalpoqsimon ko‘rinishdagi chegaralangan soha chegarasining bir qismida berilgan qiymatiga ko‘ra Koshi–Riman sistemasi yechimi, ya‘ni golomorf vektorni shu sohada tiklash; - uch o‘lchamli fazoda Koshi-Riman tenglamalari sistemasi yechimi uchun Koshining integral formulasini hosil qilish; - fundamental yechimlar matritsasining umumlashgan ko’rinishidan iborat bo‘lgan Karleman matritsasini qurishdan iboratdir. 3
Ilmiy yangiligi . Elliptik tenglamalar va ularning sistemalari, jumladan uch o‘lchamli fazoda Koshi-Riman tenglamalari sistemasi uchun chegaralangan sohalarda qo’yilgan Koshi masalasi korrekt bo’lmagan masalalar sinfiga kiradi. Ya’ni masala yechimining turg’unlik sharti buziladi. Bunday masalalarni yechish uchun korrektlik sinfini ajratish, ya’ni yechimlar sinfini kompakt to’plamgacha qisqartirish lozim. Natijada masala, shartli korrekt masala ga aylanadi . Shartli korrekt masalalarni yechishda integral formuladan foydalaniladi. Koshi masalasida, Koshi shartlari soha chegarasining bir qismida berilganligi sababli, chegaraning qolgan qismida fundamental yechimlar sistemasidan foydalanilib maxsus funksiya tuzishga to’g’ri keladi. Bunday funksiya qo’yilgan masala uchun Karleman funksiyasi hisoblanib, soha chegarasining Koshi shartlari berilmagan qismidagi integralning qiymatini cheksiz kichikka aylantirishini ta’minlaydi. Qaralayotgan sohalarda Karleman funksiyasini tuzish va bu orqali regulyarizatsiyalashgan yechimni olish, ishning yangiligi hisoblanadi. Tadqiqotning asosiy masalalari . U ch o‘lchamli qalpoqsimon ko‘rinishdagi chegaralangan soha chegarasining bir qismida berilgan qiymatiga ko‘ra Koshi– Riman sistemasi uchun Koshi masalasi tadqiqotning asosiy masalasi hisoblanadi. Bunda noma’lum funksiyani ma’lum bir shartlarni bajarganda uni aniqlash masalasi ya’ni, Koshi masalasining yechimini aniqlash va bu yechimning yagonaligi va turg’unligini ko’rsatishdan iborat. Tadqiqot mavzusi bo’yicha adabiyotlar sharxi (tahlili). Dissertatsiya ishini bajarish davomida zarur bo‘lgan ma‘lumotlardan foydalanish , asosiy ilmiy natijalarni olish jarayonida kerakli ma’lumotlar ni to‘plash, ilmiy natijalarni asosli bajarish va bilim ko‘nikmalarni kengaytirish maqsadida adabiyotlar ro‘yxat i da keltirilgan [ 1 ] – [ 15 ] adabiyotlardan batafsil foydalanildi. Elliptik tipdagi tenglamalar sistemasi uchun qo‘ylgan Koshi masalasi matematik fizikaning nokorrekt masalalari qatoriga kiradi. Respublikamizda, jumladan, Samarqand nokorrekt masalalar maktabining asoschisi professor SH. Yarmuxamedov [27], [28], [35] ishlarida asosiy natijalar olingan. Tekislikda umumlashgan analitik funksiyalarni davom ettirish va ko‘p o‘lchovli fazoda 4
elastiklik nazariyasi, Nave-Stoks tenglamalari sistemalari uchun Koshi masalasi T.Ishankulov [29], [41] umumlashgan Koshi – Riman va Moisil –Teodoresko sistemalari uchun E.N. Sattorov [42] tomonidan o‘rganilgan. - Tadqiqot da qo‘llanilgan metodikaning tavsifi . Tadqiqot ishida haqiqiy va kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasi, sirt potensiali, xususiy hosilali differensial tenglamalar nazariyasining asosiy usullaridan foydalanilgan. Tadqiqot natijalarining nazariy va amaliy ahamiyati. Magistrlik dissertasiyasining ilmiy ahamiyati uch o’zgaruvchili bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan Koshi-Riman tenglamalar sistemasi, birinchi tartibli chiziqli elliptik tenglamalar sistemasi uchun nokorrekt masalalarni yechishda foydalanish mumkinligi bilan izohlanadi. Olingan natijalarning amaliy ahamiyati birinchi tartibli chiziqli elliptik tenglamalar sistemasi uchun qo’yilgan nokorrekt Koshi masalalari bilan ifodalanuvchi geofizik kuzatuvlarni fizik jarayon va hodisalarning modellariga tadbiq etish bilan belgilanadi. Ish tuzilishining tavsifi. Magistrlik dissertasiyasi kirish, 3 ta bob, har bir bobda paragraflar, jami 9 ta, xulosa qismi va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat. Ushbu ish 63 matnli sahifadan tashkil topgan. Har bir bob paragraflarga ajratilgan va ular o’zining nomerlanish hamda belgilanishiga ega. 5