logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. ELASTIKLIK NAZARIYASI MASALASINI ARALASH CHEKLI ELEMENTLAR METODI YORDAMIDA YECHISHNING ASOSIY MUNOSABATLARI

ELASTIKLIK NAZARIYASI MASALASINI ARALASH CHEKLI ELEMENTLAR METODI YORDAMIDA YECHISHNING ASOSIY MUNOSABATLARI

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

2770.5 KB
Ko'chirib olish
ELASTIKLIK NAZARIYASI MASALASINI ARALASH CHEKLI ELEMENTLAR METODI YORDAMIDA YECHISHNING ASOSIY MUNOSABATLARI MUNDARIJA KIRISH ………………………………………………............. 4 I-BOB. BIR O‘LCHOVLI MASALALARDA CHEM NI TAQBIQ ETISH…………………………………………………………... 9 1.1-§. Bir o‘lchovli issiqlik tarqalish masalasi…………………………. 9 1.2-§. CHEM ning asosiy g’oyasi………….………………………....... 10 1.3-§. Sohani diskretlashtirish………………………………………….. 11 1.4-§. Sohani elementlarga bo‘lish…………………………………....... 12 1.5-§. Tugunlarni no‘merlash. Simplex elementlar……………………. 13 1.6-§. Simplex elementlar: bir o‘lchovli elementlar………………….... 14 1.7-§. Ikki o‘lchovli simplex element………………………………...... 15 1.8-§. Uch o‘lchovli simplex element………………………………….. 17 I-bob bo‘yicha xulosa………………………………………….... 18 II-BOB. IKKI O‘LCHOVLI MASALALARDA CHEM NI TADBIQ ETISH…………………………………………………………... 19 2.1-§. Vektor kattaliklarni interpolyatsiyalash…………………………. 19 2.2-§. Lokal koordinatalar sistemasi…………………………………… 20 2.3-§. Alohida olingan elementni tekshirilayotgan sohaga kiritish.......... 21 2.4-§. Skalyar kattaliklar.......................................................................... 22 2.5-§. Vektor kattaliklar........................................................................... 23 2.6-§. CHEM yordamida masala yechish................................................ 24 2.7-§. Sterjenda issiqlik o‘tkazish masalasini takroriy yechish............... 30 II-bob bo‘yicha xulosa…………………………………………... 32 III-BOB. ELASTIKLIK NAZARIYASI MASALALARI UCHUN CHEM…………………………………………………...……… 33 3.1-§. Elastiklik nazariyasi masalalarini yechish usullari haqida mulohazalar……………………………………………………… 33 3.2-§. Maydon nazariyasi masalalari uchun CHEM…………………… 35 3.3-§. Matritsaviy munosabatlarni differensiallash…………………….. 38 3.4-§. Elementlar matritsasini tuzish…………………………………… 41 3.5-§. L-koordinatalar………………………………………………….. 45 3.6-§. CHEM ni kompyuterda amalga oshirish………………………... 48 3.7-§. Tenglamalar sistemasini yechish. Hisoblashlarning umumiy blok-sxemasi…………………………………………………….. 51 3.8-§. Galerkin metodi…………………………………………………. 54 3.9-§. Maydon nazariyasining ikki o‘lchamli masalasi………………... 56 3.10-§. Koshi masalasi…………………………………………………... 58 3.11-§. Birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi……………… 60 III-bob bo‘yicha xulosa………………………………………… 62 IV-BOB. CHEM NING MATRITSAVIY MUNOSABATLARI……… 63 4.1-§. Koshi formulasi va Guk qonunini matritsaviy ko‘rinishda tasvirlash………………………………………………………… 63 4.2-§. Elementning qattiqlik matritsasini aniqlash……………………... 65 4.3-§. Keltirilgan tashqi kuchlarni aniqlash……………………………. 68 4.4-§. Global koordinatalar sistemasiga o‘tish…………………………. 69 4.5-§. Chiziqli tenglamalar sistemasini shakllantirish…………………. 70 4.6-§. CHEM ni tadbiq etishning xususiyatlari………………………… 72 4.7-§. Diskret masala yechilishi haqida………………………………... 74 4.8-§. Kontinual masala 79 IV-bob bo‘yicha xulosa………………………………………… 82 ADABIYOTLAR RO‘YXATI.................................................... 83 Kirish Hisoblash mexanikasining ko‘pgina masalalarini analitik usulda yechib bo‘lmaydi. Shuning uchun ularni yechishga sonli usullar ishlatiladi xususan chekli elementlar metodi (CHEM). CHEM ning boshqa metodlardan afzalligi shundaki u universal hisoblanadi. Bu metod yordamida chegarasi murakkab geometrik shaklda va ixtiyoriy chegaraviy shartlarda ishlay oladi. Tekislikda uchburchak, fazoda tetraedr shaklidagi hisoblash to‘ri istalgan murakkab shakldagi jismni diskretlashtira oladi. Bu usulni kompyuterda amalga oshirish uchun ko‘p dasturlar ishlab chiqilgan. CHEM ni yutug’i bilan birga uning kamchiliklari ham bor. Asosiy kamchilik hosil bo‘lgan algebraik tenglamalar sistemasi juda katta tartibli bo‘ladi. Natijada matritsalar koeffitsiyentlari xotirada saqlash maxsus usul talab etadi va hosil bo‘lgan tenglamalar sistemasini yechishda ham maxsus yondashish kerak bo‘ladi. Ushbu dissertatsiyada CHEM ning ayrim nazariy asoslariga to‘xtalgan, ular sodda misollarda ko‘rsatilgan. Bugungi kunda CHEM muhandislik tahlilning ajralmas qismi bo‘lib qoldi. CHEM paketlari fanning barcha sohalarida ishlatiladi, bular qurilish konstruksiyalarining tahlili, qattiq, suyuq jismlar, hamda ularning o‘zaro ta’siri masalalarida. Bu metodning muhim xossasi shundaki metodlar yuqori aniqlik bilan tuziladi va ular ishonchli ishlashidadir. Metodning keng qo‘llanilishi bundan keyin ham uning tadbiqi yanada kengayishini bildiradi. CHEM ning tez rivojlanishi EHM ning paydo bo‘lishi bilan bog’liqdir. EHM si yordamida CHEM muhandislik ishlarida samarali qo‘llaniladi. CHEM nazariyasidan ko‘rinadiki uning ikkita xossasi muhimdir: samaraliligi va muhandislik analiziga tadbiq etilishi. Dastlab CHEM elastiklik nazariyasining va qurilish mexanikasining murakkab masalalarini yechishga bag’ishlangan edi, ma’lum bo‘ldiki u chekli ayirmalar metodidan ancha samarali ekan. Bu metod sohaning geometrik murakkab chegaraga ega bo‘lgan holda ayniqsa yaxshi samara beradi. Matematik nuqtai nazardan qaraganda bu metod Rits, Galyorkin metodlarining umulashmasidir. Shuning uchun ham bu metod xususiy hosilali tenglamalarda ko‘p ishlatiladi. Rits metodida differensial tenglama bevosita yechilmaydi, buning o‘rniga dastlabki masala ekvivalent variatsion masalaga keltiriladi, uning yechimi esa ko‘rinishda berilgan basis funksiyalarining kombinatsiyasi ko‘rinishida izlanadi. noma’lum koeffitsiyentlar masalaga tegishli bo‘lgan variatsion prinsipdan izlanadi. CHEM da basis funksiyalar bo‘lakli-polinomial bo‘lib, tugun atrofidagina noldan farqli bo‘lib, sohaning qolgan qismida esa nolga teng bo‘ladi. Bu tugun atrofida , darajasi yuqori bo‘lmagan ko‘phadlardan tuziladi, shuning uchun ham barcha hisoblashlar sodda bo‘ladi. Faraz qilaylik yechilishi kerak bo‘lgan masala variatsion shaklda berilgan bo‘lsin: shunday funksiya topilsinki bu funksiyada potensial energiya funksionali minimum qiymat olsin. Minimallashtirishning zarurligi, funksiya uchun differensial tenglamaga keladi. Bu differensial tenglamani yechish uchun taqribiy usullarni qo‘llash kerak bo‘ladi. Rits, Galyorkin metodining g’oyasi shundan iboratki chekli sondagi bazis funksiyalari tanlab olinadi, kombinatsiyalar ichidan funksionalga minimum beradigani tanlab olinadi. Bu Rits approksimatsiyasidir. Noma’lum lar differensial tenglamalardan emas, ta algebraik tenglamalar sistemasidan topiladi, ularni yechish uchun esa EHM dan foydalaniladi. Bu metodni nazariy asoslash juda oson: minimallashtirish jarayoni funksiyaga eng yaqin bo‘lgan kombinatsiyani beradi. Shunday qilib bazis funksiyalarini, potensial energiyani minimallashtirish uchun qulay qilib tanlash kerak. CHEM ning asosiy g’oyasi juda sodda. Ish sohani mayda bo‘laklarga bo‘lishdan boshlanadi. Ularning tuzilishi EHM tomonidan darhol topilishi kerak. Ular uchburchaklar yoki to‘rtburchaklar bo‘lishi mumkin. Shundan so‘ng har bir element ishida bazis funksiyasi-odatda u ko‘had bo‘ladi, uchinchi yoki to‘rtinchi darajali bo‘lishi mumkin. Chegaraviy shartlarni uchburchak yoki to‘rtburchak tomoni bo‘yicha olish qulaydir. Hisoblash aniqligi sohani kichik elementlarga ajratish orqali belgilanadi. EHM bunda ko‘proq ishlaydi ammo dastur bitta bo‘ladi. Asosiy masala noma’lum yechimni approksimatsiyalovchi bo‘lakli ko‘phadlar yordamida aniqligini tadqiqot qilishdan iborat. Matematik jihatdan xatoni baholash juda yuqori bo‘lishi kerak, yana bir matematik masala xatoning kamayishi tezligini aniqlashdan iborat (bu masalalar elementlar sonining oshishi bilan bog’liqdir). Masalaning fizik qo‘yilishi biror konstruksiyaga yuk qo‘yilishidan iboratdir. Fizik masalaning matematik modeli differensial tenglamalar sistemasiga olib keladi, bu esa masalaning matematik qo‘yilishidir. CHEM matematik masalani yechadi. CHEM sonli metod bo‘lgani uchun olingan natijaning aniqligi masalasi muhim hisoblanadi. Agar aniqlikka erishilmasa masalani qaytadan ishlashga to‘g’ri keladi, masalan parametrlarni aniqlashtirish (masalan elementlarni kichraytirish) kerak bo‘ladi, bu jarayon kerakli aniqlikka erishguncha davom ettiriladi. Muhandislik amaliyotida asosiy moment kerakli matematik modelni tanlashdadir. Matematik model shunday tanlanadiki u ishinchli va samarali bo‘lishi kerak. Umuman olganda eng to‘liq matematik model-uch o‘lchovli model bo‘lib nochiziqli hadlar hisobga olinishidir. Matematik modelning samaradorligi. Eng samarali model, yechimni kerakli aniqlikda beradi, uni topish uchun sarf harakat dastlabki berilganlardan ortiq emas. Matematik modelning ishonchliligi. Tanlangan matematik model ishonchli bo‘ladi agar uning yordamida olingan yechim aniqligi eng to‘la matematik model yordamida olingan yechim bilan ma’lum aniqlikda mos tushsa. Shuning uchun tanlangan matematik model yordamida olingan yechimni baholash uchun, masalani yanada yuqori tartibli matematik model yordamida, yanada murakkabroq hadlarni hisobga olgandagi natija bilan taqqoslash kerak bo‘ladi. Quyida ayrim faktlarni keltiramiz 1. Qanday natija olinishiga qarab matematik modelni tanlash. 2. Eng samarali matematik model-yetarlicha aniqlikdagi yechimni eng kam sarf harakat bilan topish. 3. CHEM ning natijasida olingan ma’lumot matematik modelga qo‘yilgan ma’lumotdan oshmaydi. 4. Matematik modelning ishonchliligi olinganyechim aniqligini baholash bilan bog’liq bunda eng to‘la matematik model bilan olingan natija aniqligi bahosiga taqqoslanadi. Birinchi qadamda geometrik model quriladi, buning uchun turlicha dasturlar mavjud, masalan AutoCAD, SolidWorks va boshqalar. Navbatdagi qadamda materialning xossalarini berish kerak, chegaraviy masalalarni berish kerak, yuklanishni berish kerak. Shundan so‘ng CHEM ni qo‘llash kerak bo‘ladi. Modelning geometriyasi, shu bilan birga boshqa ma’lumotlar yetarlicha murakkabligini hisobga olib, ularni soddalashtirish kerak bo‘ladi, bundan maqsad qulay matematik modelni tuzishdir. Agar masala to‘g’ri qo‘yilsa CHEM to‘g’ri yechimni beradi va to‘r yetarlicha kichik bo‘lsa yetarlicha aniqlikda yechim olinadi. CHEM ning turg’unligi deganda hisoblashlar natijalari materiallar parametrlari, chegaraviy shartlar, yuklanish parametrlaridan kichik bog’lanishi ko‘zda tutiladi. CHEM turg’unmas bo‘lsa u ishonchli emasdir. I-BOB. BIR O‘CHOVLI MASALALARDA CHEMNI TADBIQ ETISH 1.1-§. Bir o‘lchovli issiqlik tarqalish masalasi Ko‘ndalang kesimi o‘zgarmas bo‘lgan sterjen berilgan bo‘lsin. Uni bir nechta bir xil chekli elementlarga ajaratamiz va ulardan bittasini qaraymiz. Har bir element uzunligi ga ko‘ndalang kesimi ga teng. Faraz qilaylik, elementga issiqlik tashqaridan kelmaydi Element uchlarida issiqlik oqimi bor, yon sirt issiqlikdan himoyalangan, koordinatalar o‘qini 1 dan 2 ga yo‘naltiramiz. Sterjen uchlarida doimiy issiqlik deb hisoblaymiz. U holda sterjen bo‘ylab issiqlik chiziqli tarqaladi: bu yerda sterjen o‘qi bo‘lab koordinata: bu yerdan U holda lar bir o‘lchovli chiziqli forma funksiyalaridir. Ular uchun, 1 tugunda va aksincha. Bundan tashqari ular to‘lalik xossasiga ega Forma funksiyalarini matritsa ko‘rinishida yozamiz, ya’ni forma matritsasi bir o‘lchamli element uchun biz ko‘rayotgan masalada ushbu ko‘rinishga ega bo‘ladi: U holda element bo‘ylab temperatura o‘zgarishi matritsaning ustunga ko‘paytmasi ko‘rinishida ifodalanadi. bu yerda 1.2-§. CHEM ning asosiy g’oyasi Faraz qilaylik funksiya o‘qidagi kesmada aniqlangan bo‘lsin. kesmada beshta nuqtani belgilaymiz va ularni no‘merlaymiz. Ularni tugunlar deb ataymiz va ular orasidagi masofalar teng bo‘lishi shart emas. Shu beshta nuqta orqali metod g’oyasini bayon qilamiz. funksiyaning qiymati bu nuqtalarning har birida aniq bo‘lsin. Bu qiymatlarni deb belgilaymiz. Berilgan holda kesmani o‘rganamiz, kesmani bir nechta usul bilan bo‘laklarga ajratish mumkin. Birinchisi-har bir element ikkita tugun bilan chegaralangan, bu holda 4 ta elementga ega bo‘lamiz, ularning har biri ikkita tugun bilan aniqlanadi. Ikkinchi variant-sohani ikkita elemnetga ajratish, bu holda har bir elementda uchta tugun bo‘ladi. ga tegishli bo‘lgan ko‘phad element tugunlarida aniqlanadi. Agar soha 4 ta elementga ajratilsa, u holda ko‘phad chiziqli bo‘ladi. Haqiqatan ham ikkita nuqta to‘g’ri chiziqni birqiymatli ravishda aniqlaydi, uchta tugun esa-parabolani birqiymatli aniqlaydi. Bizning misolimizda to‘rtta bo‘lakli-chiziqli funksiyalar bilan approksimatsiyalanadi, ularning har biri o‘ziga tegishli elementda aniqlanadi. Ikkinchi holda esa soha ikkita elementga ajralgan bo‘lib, ularning har birida uchtadan tugun bo‘ladi, demak har birida kvadrat funksiya aniqlanadi. Natijada ikkita bo‘lakli-uzluksiz kvadratik funksiyalar to‘plami bilan aniqlanadi. Yaqinlashish bo‘lakli-uzluksiz bo‘ladi, chunki grafiklarning og’ish burchagi o‘rtadagi tugunda bir-biridan farq qilishi mumkin. Umumiy holga o‘tamiz, bunda ning taqsimlanishi oldindan noma’lum, ning qiymatini kesmaning nuqtalarida aniqlash kerak. Bu holda tugun nuqtalari topiladi, shu bilan birga o‘zgaruvchi bo‘lgan larning qiymatlari topiladi. Soha elementlarga ajratiladi, har bir elementda tegishli funksiya aniqlanadi. ning tugunlardagi qiymatlari shunday tanlanadiki, haqiqiy temperatura tarqalishiga juda yaqin bo‘lsin. Bu yaqinlashtirish bo‘layotgan jarayonni aks ettiruvchi differensial tenglamaga asoslangan jarayonni funksionalni minimallashtirish orqali bajariladi. Funksionalni minimallashtirish natijasida ning tugunlardagi qiymatlari qatnashgan algebraik tenglamalar sistemasini yechishga keltiriladi. Agar ikki o‘lchovli masala qaralsa, u holda element larga bog’liq bo‘lgan funksiyalar bilan aniqlanadi. Bunday hollarda soha uchburchak yoki to‘rtburchaklarga ajratiladi. Endi elementlar funksiyalari tekisliklar yoki sirtlardan iborat bo‘ladi. Agar elementda tugunlar soni eng kam bo‘lsa element funksiyasi tekislik bo‘ladi. Agar elementda egri chiziqli chegara bo‘lsa, tugunlar soni ko‘proq olinadi. 1.3-§. Sohani diskretlashtirish Sohani diskretlash: tugunlar soni, elementlarning o‘lchamlari, elementlarning shakli bilan aniqlanadi, ular real obyektning diskret modelida ishlatiladi. Bir o‘lchamli sohani diskretlashtirish bir o‘lchamli element orqali amalga oshiriladi. U kesma bo‘ladi, ammo ko‘ndalang kesimi yuzaga ega bo‘ladi. Kesmaning yuzi element uzunligi bo‘ylab o‘zgarishi mumkin. Bunday element bir o‘lchovli sterjenlarda, issiqlik tarqalishida ishlatiladi. Eng sodda bir o‘lchovli element ikkita tugunga ega. Yuqori tartibli bir o‘lchovli element uchta, to‘rtta tugunga ega bo‘ladi-ular kvadratik yoki kubik snlaynlar bilan xarakterlanadi. Ikki o‘lchovli masalalarda ko‘proq uchburchak va to‘rtburchak shakldagi elementlar ishlatiladi. 1.4-§. Sohani elementlarga bo‘lish Sohani diskretlashtirish ikki bosqichda bajariladi. Jismni elementlarga ajratish va tugunlar hamda elementlarni no‘merlash. Misol tariqasida tekislikdagi sohani uchburchaklarga bo‘lishni ko‘rib chiqamiz. Dastlab soha to‘rtburchaklarga bo‘linadi keyin esa uchburchaklarga bo‘linadi. Chegaralarni soha geometriyasi yoki jismning mexanik xarakteristikasi o‘zgarishiga moslash kerak. Tekislikdagi uchburchakni kichik uchburchaklarga bo‘lish quyidagicha amalga oshiriladi. Har bir tomondan tugunlar gelgilab olinadi, bu tugunlar tutashtiriladi, hosil bo‘lgan kesmalar tutashgan nuqtalar tugunlar hosil qiladi. 5-chizma a) da 9 ta uchburchak hosil bo‘ldi. Agar uchburchak chegarasi egri chiziqli bo‘lsa ular to‘g’ri chiziq kesmalari bilan almashtiriladi. To‘rtburchalli soha qarama-qarshi tomonlardagi tugunlarni tutashtirishdan hosil bo‘lgan kesmalarni kesishgan nuqtalari tugunlar bo‘ladi. (6-chizma) Agar kuchlanish konsentratsiyasi bo‘lsa yoki geometrik maxsuslik bo‘lsa, soha shunga qarab bo‘linadi. Elementlar kattaligi turlicha bo‘lsa olishi CHEM ning yutuqlaridan biridir. 1.5-§. Tugunlarni nomerlash. Simpleks elementlar Agar tugunlarning nomerlari hisoblash jarayonida ta’sir qilamaganda edi, u trivial bo‘lar edi. CHEM ni tadbiq etish natijasida chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishga to‘g’ri keladi, bu sistemada ko‘p koeffitsiyentlar nolga teng bo‘ladi. Bunda barcha nolmas va ayrim nol koeffitsiyentlar bosh diagonalga parallel bo‘lgan ikkita parallel to‘g’ri chiziqlar orasida joylashgan bo‘ladi. Bular orasida masofa yo‘lak kengligi deyiladi. (7-chizma) Yo‘lak kengligi ni hisoblash formulasini keltiramiz: bu yerda alohida elementdagi tugunlar nomerlari orasidagi ayirmaning eng kattasi, har bir elementdagi erkinlik darajasi soni. Agar ni kichikroq qilib olish kerak bo‘lsa ni kichik qilish kerak bo‘ladi. Bunga erishish uchun tugunlar nomerlarini jism o‘lchamlari kichraygan tomonga qarab olish kerak. Tugunlar nomerlarini optimal tanlash hisoblash uchun sarf bo‘ladigan mashina vaqtini ga kamatirishi mumkin. 1.6-§. Simplex elementlar: bir o‘lchovli element Chekli elementlarni ularning funksiyalari darajasiga qarab sinflash mumkin. Quyidagi tipdagi elementlar qaraladi: simplex, kompleks, multiplex. Simplex elementlar birinchi tartibli ko‘phadlar bilan aniqlanadi ularda ikkita doimiy qatnashadi. Ko‘phadda doimiylar soni fazo o‘lchovidan bittaga ortiq bo‘ladi. Bir o‘lchovli simplex element-biror uzunlikdagi kesma, kesmaning uchlarida ikkita tugun bor. (8-chizma) Tugunlarni indekslar bilan belgilaymiz, tugunlardagi qiymatlarni esa deb belgilaymiz. Sanoq sistemasi boshini elementdan tashqarida olamiz. U holda skalyar miqdor ko‘phadini (1) ko‘rinishda yozish mumkin. da da Natijada doimiylarni topish uchun: sistemani hosil qilamiz. Topilgan koeffitsiyentlarni (1) ga qo‘yib ushbuni hosil qilamiz: Buni quyidagicha qayta yozib olamiz: (2) Bu yerdagi ning chiziqli funksiyalarini forma funksiyalari deb ataymiz. Ularni orqali belgilaymiz. Bu funksiyalarning har birini tegishli tugunga mos quyi indeks bilan tasvirlaymiz: forma funksiyalaridir. (2) ni quyidagicha yozib olamiz: Bu yerda satr matritsa, bo‘lib ustun vector. ning tuzilishidan ko‘rinib turibdiki forma funksiyasi o‘z tugunida birga teng, qolgan tugunlarda esa nolga teng. 1.7-§. Ikki o‘lchovli simplex element 9-chizmada ikki o‘lchamli simplex element keltirilgan. Bu uchta uchi va uchta kesmadan iborat tomonlari bo‘lgan uchburchak. Tugunlarni ketma-ket soat strelkasiga teskari yo‘nalishda belgilaymiz. Ixtiyoriy chi tugundan boshlaymiz. Tugunlardagi qiymatlarni tugunlar koordinatalarini deb belgilaymiz. Interpolyatsion ko‘phad (3) Element tugunlarida bo‘lsa bo‘lsa bo‘lsa Bu shartlarni (2) ga qo‘ysak doimiylarni topish uchun uchta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi. Bu tenglamalar quyidagichadir: bularni yechib quyidagilarni hosil qilamiz: orqali uchburchak yuzi belgilangan, u quyidagi formuladan topiladi: (4) larning topilgan bu qiymatlarini (3) ga qo‘ysak uni quyidagicha yozish mumkin bo‘ladi: bu yerda ning tugundagi qiymatini topamiz: chunki qavs ichidagi ifoda (4) formulaga asosan ga tengdir. ning boshqa tugunlarda nolga tengligini ko‘rsatish mumkin. Misol keltiramiz. 1. Sterjenda issiqlik tarqalishi masalasini qaraydigan bo‘lsak, bir o‘lchamli simplex elementni ishlatamiz. Element tugunlarida issiqlik 120 va 90 gradus. Tugunlarning koordinata boshidan masofasi 1,5 va 6 sm. Koordinata boshidan 3 sm masofada issiqlikni toping, bundan tashqari qaralayotgan element ichida issiqlik gradiyentini toping. 2. Elementni aniqlovchi munosabatlarni toping va element ichidagi nuqtada bosim topilsin. Tugunlardagi bosimlar tegishlicha: Tugunlarning koordinatalari: 3. Oldingi masaladagi bosimga to‘g’ri keladigan daraja chig’ini toping, element uchburchak. 1.8-§. Uch o‘lchamli simplex element Uch o‘lchamli simplex element-tetraedr, 4 ta uchi, 4 ta tuguni bor. Tugunlar mos ravishda va orqali belgilanadi. Tugunlar soat strelkasiga teskari ravishda belgilanadi. tugun element uchiga tekislikdan tashqarida joylashgan bo‘ladi. Bunday element uchun interpolyatsion ko‘phad quyidagichadir: Noma’lum koeffitsiyentlar tugunlardagi shartlardan topiladi. Bu sistemani Kramer usulida yechish mumkin. Bu holda beshta to‘rtinchi tartibli determinantlarni hisoblash kerak bo‘ladi. Yuqoridagi sistemani matritsaviy ko‘rinishda ham yozish mumkin, shundan keyin koeffitsiyentlar matritsasini teskarisini topib, sistemaning yechimini quyidagicha ifodalash mumkin. bu yerda matritsaning xossasi bor. Misol. Tetraedr uchlarining koordinatalari berilgan. Forma funksiyalarini topish talab etiladi, bunda I-bob bo‘yacha xulosa Birinchi bobda bir o‘chovli masalalarda CHEM ning tadbiqi haqida fikr yuritiladi. Masala oydin bo‘lishi uchun sterjenda issiqlik tarqalishi masalasi qaralgan. Shu bobda CHEM ning asosiy g’oyasi nimadan iborat ekanligi aytilgan. Sohani diskretlash haqida mulohazalar yuritilgan. Sohani elementlarga bo‘lish ham, element shakli ahamiyati borligi aytilgan. Tugunlarni maxsus nomerlash qattiqlik matritsasi nolmas hadlari joylashuviga ta’siri ta’kidlangan. Simplex elementlar nimaligi aytilgan. Bunday elementlar forma funksiyalarini chiziqli qilib olishga imkon beradi. II-BOB. IKKI O‘LCHOVLI MASALALARDA CHEM NI TADBIQ ETISH 2.1-§. Vektor kattaliklarni interpolyatsiyalash Oldingi paragraflarda skalyar kattaliklar qaraladi. Vektor kattalillar esa uzunlik bilan birga yo‘nalishga ham ega, shuning uchun uni komponentalar orqali qarash kerak. Endi har bir tugunda bitta emas bir nechta o‘zgaruvchi bo‘ladi. Bular masalaning o‘lchamidan bog’liq. 11-chizmada simplex elementlarda vector kattaliklarni belgilash keltirilgan. Quyi indekslar o‘qlarining yo‘nalishi bo‘yicha tartiblanadi. Indeksning eng kichigi o‘qiga to‘g’ri keladi. Bir o‘lchamli element holida vector va skalyar miqdorlar belgilanishi mos tushadi-har bir tugunda faqat bitta miqdor noma’lum bo‘ladi. bu yerda bir o‘lchamli element o‘qi bo‘ylab siljishini bildiradi. Agar masala tekislikda bo‘lib va uchburchakli element qaralsa u holda gorizontal hamda vertical siljishlar qaraladi. Bu tengliklarni barcha tugunlardagi siljishlarni hisobga olib yozamiz. Bu ifodalarni matritsaviy ko‘rinishda yozamiz. Xuddi shunday formulani uch o‘lchovli hol uchun ham yozish mumkin. 2.2-§. Lokal koordinatalar sistemasi Tugunlarda izlanayotgan kattaliklarni aniqlaydigan algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilish uchun, forma funksiyalari va ularning hosilalarini element yuzasi bo‘yicha integrallash kerak bo‘ladi. Agar har bir elementga o‘zining lokal koordinatalar sistemasi kiritilsa va bu lokal koordinatalar sistemasida interpolyatsion ko‘phadlar kiritilsa integrallash osonlashadi (12-chizma). uchburchak markazining koordinatalari. forma funksiyasi global koordinatalar sistemasida quyidagicha bo‘ladi: Bu ifodada koordinatalarni lokal sistemadagi koordinatalarga almashtiramiz yoki Bu formuladan ko‘rinadiki lar yana bog’liq bo‘lmagan koordinatalar oldidagi koeffitsiyentlar bo‘lib turibdi. Biroq doimiy o‘zgardi. Agar lar uchun ifodalarni va lar uchun formulalar inobatga olinsa ni topish mumkin. Natijada forma funksiyasi lokal koordinatalar sistemasida ushbu ko‘rinishga ega bo‘ladi. Xuddi shunday usul bilan boshqa forma funksiyalari uchun ham tegishli formulalar hosil bo‘ladi: Global sistemada berilgan funksiyadan olingan integral, lokal sistemada quyidagicha hisoblanadi: bu yerda mos ravishda eski va yangi integrallash sohalari, Yakobi integrali moduli. Uning miqdori ikki koordinatalar sistemasida yuzalar miqdorlarining nisbatiga tengdir. Bizning misolimizda koordinatalar sistemalari to‘g’ri burchakli hamda ularning masshtablari bir xil bo‘lgani uchun, Bir o‘lchamli element ishlatilganda lokal sistemaga ehtiyoj qolmaydi, chunki interpolyatsion ko‘phadlar yetarlicha sodda hisoblanadi. Biroq integrallash jarayoni soddalashadi agar lokal sistema boshi tugunda olinsa. (13-chizma) Forma funksiyalari uchun quyidagi ifodalarni hosil qilamiz: Endi elementni aniqlovchi funksiyani yozamiz: 2.3-§. Alohida olingan elementni tekshirilayotgan sohaga kiritish Hozirga qadar biz alohida olingan element uchun interpolyatsoin ko‘phadni qaradik. Bunda tugunlar koordinatalarini tayinlamadik, shuning uchun element oriyentatsiyasi ixtiyoriy edi. Bu CHEM ning yutuqlaridan biridir. Endi har bir element uchun tugunlar va tugundagi qiymatlarni global koordinatalar orqali ifodalaymiz. Dastlab skalyar kattaliklarni qaraymiz, keyin esa natijalarni vector kattaliklarga umumlashtiramiz. 2.4-§. Skalyar kattaliklar Yuqorida skalyar kattaliklar uchun interpolyatsoin ko‘phadni ko‘rinishda ifodalagan edik. Bu formulaga forma funksiyalari matritsa shaklida kiritiladi, tugundagi qiymatlar esa ustun-vektor orqali ifodalanadi. Quyidagi misolda alohida olingan elementni sohaga qanday kiritilishini ko‘ramiz. Besh elementli sohani qaraylik, tugunlarni 1 dan 6 gacha nomerlaymiz. Tugunlardagi qiymatlar bo‘lsin, ular global erkinlik darajasiga ega. Tugunlar koordinatalari noma’lumlar bo‘lsin. 14-chizmada elementlar nomerlari qavs ichida ko‘rsatilgan. Birinchi element uchun tugunlar nomerini kiritamiz: Bu tenglilar elementlar indekslari bilan tugunlarning global nomerlari orasida moslik o‘rnatadi, shu orqali elementlar sohaga kiritiladi. Agar indekslarning qiymatlarini (1) ga qo‘ysak yuqorida aytilgan elementlarning tenglamalari to‘plami hosil bo‘ladi: Forma funksiyalari indekslarni forma funksiyalari uchun tenglamalarga qo‘yish orqali topiladi. forma funksiyasini belgilashlarda quyidagicha yozish mumkin: bu yerda Agar beshinchi element qaralsa va qo‘yilsa ushbuni hosil qilish mumkin: bu yerda Ko‘rinib turibdiki, va lar mutlaqo bir-biridan farq qiladi, hattoki uchburchaklar yuzlari teng bo‘lsa ham. (2) formulalar chekli elementlar qanday birlashtirilishini ko‘rsatadi va ular butun sohani yopadi, interpolyatsion funksiyalar esa global tugunlardagi qiymatlar orqali ifodalanadi, bu tugunlar global koordinatalarga ega bo‘ladi. Endi (2) ning kengaytirilgan formasini ishlatamiz: Bu forma elementlar matritsalarini differensiallash bilan bog’liq bo‘lgan minimallashtirish jarayonida ishlatiladi. Qisqartirilgan formasi esa CHEM ni EHM da amalga oshirganda ishlatiladi. 2.5-§. Vektor kattaliklar Vektor kattalilar uchun yuqoridagi mulohazalarni yuritish mumkin. 15- chizmada beshta elementga ajratilgan soha ko‘rsatilgan. Qulaylik uchun element uchun umumiy tenglamani keltiramiz: Agar to‘rtinchi element qaralsa, bo‘ladi. Qulaylik uchun element uchun umumiy tenglamani keltiramiz: Global tugunlar va tanlab olingan element tugunlari orasidagi bog’lanish skalyar kattaliklar kabi bo‘ladi. Agar 4-element qaralsa bo‘ladi va quyidagini yozamiz: Bu qisqartirilgan yozuv, kengaytirilgan yozuv esa 12 ta elementni o‘z ichiga oladi: Xulosa qilib aytganda, keltirilgan g’oya sodda va tushunarli. Uning yordamida elementlarni tekshirilayotgan sohaga kiritish mumkin, izlanayotgan miqdorni bo‘lakli-uzluksiz funksiyalar yordamida approksimatsiya qilish mumkin bo‘ladi. 2.6-§. CHEM yordamida masala yechish Oldin biz uzluksiz funksiyani approksimatsiya qilish masalasini qaradik bu alohida element uchun qaraldi. Keyin biz chekli elementlar qanday qilib butun sohani qoplashini ko‘rdik. Bo‘lakli-uzluksiz funksiyalar tugundagi qiymatlat orqali aniqlanadi. Biroq asosiy masala izlanayotgan funksiyalarning tugunlardagi qiymatlarini hosil qilishdir. Tugunlardagi bu qiymatlar izlanayotgan funksiyalarni imkoni boricha aniqroq approksimatsiya qilish kerak. CHEM ning paydo bo‘lisi bilan tugunlardagi qiymatlar biror integral ifodaning yoki funksionalni minimallashtirish orqali topiladigan bo‘ldi. Bu integral yoki funksional masalaning fizik qo‘yilishidan kelib chiqadi. Deformatsiyalanuvchi qattiq jismlar mexanikasida funksional sifatida funksiyaning potensial energiyasini olish mumkin. Minimallashtirish natijasida tugunlardagi qiymatmatlar uchun algebraik tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi. Maydon nazariyasi masalalarida esa minimallashtirilayorgan funksional shunday xossaga egaki, uni minimallashtiruvchi funksiya dastlabki differensial tenglamani qanoatlantirbgina qolmay balki chegaraviy shartlarni ham qanoatlantiradi. Keyinchalik tugunlarda izlanayotgan qiymatlar uchun tenglamalar Galyorkin va boshqa metodlardan foydalanib topildi. Bu yerda CHEM uchun tenglamalar hosil qilish jarayoni bilan tanishamiz. Bunda tegishli funksionalni minimallashtirish bilan shug’ullanamiz. Dastlab maydon nazariyasining oddiy masalasini qaraymiz. Ko‘rstamizki minimallashtirish elementlar bo‘yicha integrallashdan oldin amalga oshirilishi mumkin. Sterjenda issiqlik tarqalishi masalasini qaraylik. Sterjenning bir uchi mahkamlangan ikkinchi uchi esa erkin. Uning yon sirtida issiqlik almashuvi yo‘q. Mahkamlangan uchidan sterjenga issiqlik beriladi. Erkin uchida tashqi muhit bilan issiqlik almashishi mumkin. Issiqlik almashinuv koeffitsiyenti atrof muhit tempertursi Sterjen ichida issiqlik tarqalishi differensial tenglamasi quyidagi ko‘rinishga ega: (1) Chegaraviy shartlar: da (2) da (3) bu yerda issiqlik o‘tkazish koeffitsiyenti, issiqlik oqimi musbat agar issiqlik sterjendan chiqsa. Issiqlik o‘tkazishning bu masalasini yechishda variatsion usulni qo‘llaymiz. Bunda ushbu funksional minimum izlanadi: (4) (5) differensial tenglama va (6) chegaraviy shart qanoatlantirilishi kerak. Bular dastlabki differensial tenglama hamda erkin uchidagi chegaraviy shartdir. funksionalga minimum beruvchi ixtiyoriy issiqlik maydoni bu masalaning yechimi bo‘ladi. Berilgan masaladagi har ikkala chegaraviy shart qanoatlntiriladi chunki funksionalda sirt integrali ikki qismga ajratiladi, har ikki uchidagi sirt bo‘yicha integral olinadi. Bu funksional minimumga erishishi uchun (5), (6) shartlar bajarilishi kerak. Variatsion hisob funksionalning statsionar qiymatini topish bilan shug’ullanadi. Funksional-unga funksiya qo‘yilsa sonni beradi. Masalan ga aniq funksiya qo‘yilsa son hosil bo‘ladi. Variatsion hisobning masalasi-shunday ni topish kerakki bo‘lganda ning qiymati o‘zgarmasin. Faraz qilaylik funksional berilgan bo‘lsin, erkli o‘zgaruvchi, argumentli funksiya va uning hosilasi. funksionalning variatsiyasi funksiyani o‘zgartirish yo‘li bilan hosil qilinadi. ma’lumki Intervaldagi ikkinchi qo‘shiluvchini integrallaymiz. Agar bo‘lsa funksional statsionar qiymat oladi. Ma’lumki bo‘lsa, u holda bo‘ladi. Shu bilan birga variatsiya oraliqda ixtiyoriy bo‘lgani uchun Bundan esa yuqorida yozilgan integralning nolga tengligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik funksional ko‘p argumentli bo‘lsin Funksional variatsiyasi quyidagicha topiladi: Agar hisobga olinsa Ikkinchi integralni bo‘laklab integrallaymiz va Gauss formulasini tadbiq qilamiz: va bu yerda sirt normalining o‘qdagi proeksiyasi. Xuddi shunday boshqa qo‘shiluvchilar ham shakl alamshtiriladi. funksionalning statsionar qiymati integral ostidagi ifodalar nolga teng bo‘lgandagina olinadi. Bundan esa differensial tenglamalar va chegaraviy shartlar kelib chiqadi. Agar funksional qaralsa, u holda izlanayotgan funksiya quyidagi differensial tenglamani qanoatlantiradi. Tenglamadagi hosilalar funksionalni differensiallash orqali hosil qilinadi. Hosilalarni hisoblaymiz va tenglamaga qo‘yamiz. U holda tenglama quyidagi ko‘rinishga keladi: Bu maydon nazariyasi masalasi uchun tenglama. Sterjenda issiqlik tarqalishi masalasini qaraymiz. (5) tenglama asosiy bo‘lib, uning yordamida sterjenda issiqlik tarqalishini topamiz. (4) dagi funksional elementlardagi funksiyalar to‘plamida minimallashtiriladi. Bu funksiyalar o‘z elementlarida aniqlanadi va tugunlardagi qiymatlar orqali ifodalanadi. Tugunlardagi qiymatlar noma’lumlar bo‘lib funksional shular bo‘yicha minimallashtiriladi. CHEM ni amalga oshirishni boshlaymiz buning uchun elementlar va tugunlarni aniqlab olamiz. Sterjenni ikkita elementga ajratamiz (chiziqli). U holda tugunlardagi qiymatlarni deb belgilaymiz. Har bir element ichidagi issiqlikni quyidagi formulalar orqali ifodalaymiz: (9) Forma funksiyalari quyidagicha topiladi: Qaralayotgan masalada funksional quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: (10) bu yerda sterjen uchlari yuzalari, ularda berilgan bo‘ladi. funksionalning sonli qiymati unga funksiya qo‘yilganda hosil bo‘ladi, ya’ni tegishli integrallar hisoblangandan keyin. Dastlab sirt integralini hisoblaymiz: birinchi tugunga mos ko‘ndalang kesim yuzasi. Bu kesim yuzasida o‘zgarmas bo‘lib ga teng. Endi ikkinchi sirt integralini qaraymiz, unga issiqlik almashish koeffitsiyenti kiradi. Funksionalda hajmiy integral temperaturadan koordinata bo‘yicha hosilani o‘z ichiga oladi, bu hosilani har ikki element uchun hisoblaymiz. Hajmiy integralni hisoblashda uni ikkiga ajratish kerak, ya’ni har bir element bo‘yicha, chunki hosila umumiy hajm bo‘yicha uzilishga ega. Integralni hisoblashda har bir element ko‘ndalang kesimi yuzasi o‘zgarmas deb hisoblanadi, shuning uchun U holda integral ushbu ko‘rinishga ega bo‘ladi: Integralni bunday hisoblash har bir elementda materialning turli xossalarini hisobga olishda kerak bo‘ladi. Integrallar hisoblangandan keyin funksionalni ko‘rinishini yozamiz, bunda hisoblangan integrallarni qo‘shamiz: bu yerda tugunlardagi izlanayotgan issiqliklar, ular funksionalga minimum beradi. Bu qiymatlarni topamiz. Bu tenglamalar sistemasini matritsaviy ko‘rinishda yozamiz: yoki qattiqli matritsasi deyiladi, ushbu masalada uni issiqlik o‘tkazuvchanlik matritsasi deyiladi, chunki sterjenda issiqlik o‘tkazish masalasi yechilmoqda. ustun vector-yuklanish vektori deyiladi. Oxirgi qadamda sterjenning fizik parametrlarini berish kerak va tugunlarda temperaturalarni topish kerak. Masala parametrlari quyidagicha: 2.7-§. Sterjenda issiqlik o‘tkazish masalasini takroriy yechish Yuqorida biz funksionalni minimallashtirish natijasida algebraik tenglamalar sistemasiga keldik. Bu tenglamalar sistemasini yechib temperaturaning tugunlardagi qiymatlari topiladi. Biroq minimallashtirishning bu usuli kompyuter uchun qulay emas. EHM da hisoblash qulay bo‘lgan boshqa usul ham mavjud. Bu usulda miqdor elementlar bo‘yicha tarqatilib hisoblanadi. Bu qo‘shiluvchilar integrallar hisoblanganiga qadar minimallashtiriladi. Natijada elementlar bo‘yicha integrallash amalga oshiriladi. ni ikkita qo‘shiluvchi ko‘rinishda tasvirlaymiz: birinchi element bo‘yicha integrallar; ikkinchi element bo‘yicha integrallar. bu yerda Endi har bir qo‘shiluvchidan lar bo‘yicha hosila olamiz: Agar bularda integrallashni amalga oshirsak u holda quyidagiga ega bo‘lamiz: Ikkinchi komponenta uchun quyidagi hosilalarni olamiz: Agar integrallar hisoblansa funksional minimal qiymatga ega bo‘lishi uchun tugunlardagi qiymatlar bo‘yicha olingan hosilalar nolga teng bo‘lishi kerak: Natijada larni topish uchun tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz: Ko‘rinib turibdiki biz yana yuqorida ko‘rsatilgan algebraik tenglamalar sistemasini hosil qildik. Bu yo‘l tugundagi qiymatlarni topish uchun tenglamalar sistemasi har bir element uchun alohida yozilishi mumkin. Elementlar bo‘yicha hosilalarni yig’ish EHMda qulay amalga oshiriladi. II-bob bo‘yicha xulosa Ikkinchi bobda vector kattaliklarni interpolyatsiyalash bilan boshlanadi. Siljishlar bir, ikki va uch o‘lchovli masalalarda keltirilgan. Har bir element uchun lokal koordinatalar kiritilib, tegishli element bo‘yicha integrallash amalga oshirilgan. Alohida olingan element natijalari global matritsaga kiritiladi. Beshta element holi uchun kengaytirilgan shaklga keltirilgan. Natijada elementlarni kengaytirilgan sohaga kiritish mumkin. Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun CHEM yordamida chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilish jarayoni ko‘rsatilgan. Bu tenglamalar sistemasini yechib temperaturaning tugunlardagi qiymatlari topiladi. Integrallashni element bo‘yicha amalga oshirish yo‘li bilan algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilish EHM da hisoblash uchun qulaydir. III-BOB. ELASTIKLIK NAZARIYASI MASALALARI UCHUN CHEM 3.1-§. Elasriklik nazariyasi masalalarini yechish usullari haqida mulohazalar Elastiklik nazariyasi masalalari ikki usul bilan yechilishi mumkin. Birinchisi differensial tenglamalarni chegaraviy shartlar asosida yechish. Ikkinchi usul- potensial energiyani minimallashtirish, u kuchlanish va tashqi kuchlarning bajargan ishlaridan tashkil topadi. Biz keyingi usulni tanlaymiz. Agar masala ko‘chishlarda yechilayotgan bo‘lsa, u holda sistemaning potensial energiyasi minimallashtiriladi. Agar masala kuchlanishlarda yechilayotgan bo‘lsa, ya’ni chegarada tashqi kuchlar berilgan bo‘lsa, u holda sistemaning qo‘shimcha ishi minimallashtiriladi. CHEM da tugunlarda shunday ko‘chishlar topiladiki, ular sistemaning potensial energiyasini minimallashtiradi. Ko‘chishlar topilgandan keyin deformatsiya va kuchlanish tenzorlari topiladi. Potensial energiya haqidagi teoremani keltiramiz. Kinematik chegraviy shartlarni qanoatlantiruvchi barcha ko‘chishlardan potensial energiyaga ekstremal qiymat beruvchi ko‘chishlar muvozanat tenglamalarini qanoatlantiradi. Bu yerda ko‘chishlar chegaraviy shartlarni qanoatlantirshi kerak. Sistemaning to‘la potensial energiyasi ikki qismdan iborat-deformatsiyaning potensial energiyasi va massaviy hamda sirt kuchlarining potensial energiyasi. U holda deformatsiya energiyasi, tashqi kuchlarning potensial energiyasi. Tashqi kuchlar bajargan ish ularning potensial energiyasiga ishorasi teskari bo‘ladi, U holda sistemaning to‘la potensial energiyasi Sterjenning o‘q bo‘ylab cho‘zilishi masalasini qaraymiz. Bu misolda sistema potensial energiyasining minimumi haqidagi teoremani qaraymiz. Konsol sterjenni qaraymiz, uning bir uchi qattiq mahkamlangan, ikkinchi uchi esa erkin. Erkin uchiga o‘q bo‘ylab kuch qo‘yilgan. Sterjendagi ko‘chishlar topilsin. Bu sterjen cho‘zilishini aniqlash uchun chiziqli model tanlaymiz. Sterjenni bitta element bilan aniqlaymiz. U holda sterjenda ko‘chish quyidagicha yozilishi mumkin: Mahkamlangan uchida ko‘chish nolga teng, U holda Sterjenning potensial energiyasi quyidagicha topiladi: Birinchi qo‘shiluvchi deformatsiyaning potensial energiyasi, ikkinchi qo‘shiluvchi esa qo‘yilgan kuchning potensial energiyasi. Kuchlanish va deformatsiya orasidagi bog’lanish Guk qonuniga asosan U holda potensial energiya uchun ifoda Agar sterjen ko‘ndalang kesimi yuzi o‘zgarmas ekanligini hisobga olsak, u holda bu yerda ko‘ndalang kesim yuzasi. Deformatsiya va ko‘chish quyidagicha bog’langan: U holda ko‘chish uchun ifodani hisobga olib ni hosil qilamiz. Bu ifodani potensial energiya uchun formulaga qo‘ysak, ushbuni hosil qilamiz: Potensial energiyani minimallashtirib, tugundagi ko‘chish uchun ushbu tenglamani hosil qilamiz: bu yerdan esa ni hosil qilamiz. Hosil qilingan natija ko‘chishning nazariy qiymati bilan mos tushadi, bu masalaning chiziqli ekanligi va modelning chiziqli ekanligi bilan izohlanadi. 3.2-§. Maydon nazariyasi masalalari uchun CHEM Yuqorida sterjenda issiqlik tarqalishining bir o‘lchamli masalasini qaradik. Umumiy kvazigarmonik masalani qaraymiz, undan boshqa xusuxiy masalalarni hosil qilish mumkin. (1) Bu tenglamaga quyidagi chegaraviy shartlar qo‘shiladi: (2) va (3) Tekshirilayotgan sohaning to‘la chegarasi va birlashishidan hosil bo‘ladi. lar fazoviy o‘zgaruvchilarning funksiyalaridir, ammo ular dan bog’liq emas. sirt normalining yo‘naltiruvchi kosinuslari. (1) tenglama va (2), (3) chegaraviy shartlardan tuzilgan masala uch o‘lchovli fazoda issiqlik tarqalishini aniqlaydi. issiqlik o‘tkazuvchanlik koeffitsiyentlari, issiqlikning ichki manbai, issiqlik oqimini aniqlaydi, issiqlik almashinuvi koeffitsiyenti, maydon funksiyasi bo‘lib, jism issiqligini aniqlaydi. va larni nolga tenglashtirib bir o‘lchovli yoki ikki o‘lchovli tegishli tenglamalarni hosil qilish mumkin. Agar issiqlikdan himoyalangan bo‘lsa bo‘ladi, bu ushbu tenglikni beradi: da (4) Bundan keyin ikki o‘lchamli masalani qaraymiz, u holda va va Bularga asosan (5) (5) tenglama ko‘ndalang kesimi doiraviy bo‘lmagan elastic sterjenning buralishi masalasida ishlatiladi. Bu holda kuchlanish funksiyasi, sterjen materailining elastic doimiysi, sterjenning buralish burchagi. Tashqi burovchi kuch ta’sirida siljish kuchlanishi paydo bo‘ladi, u kuchlanish funksiyasidan o‘zgaruvchilar bo‘yicha hosila olish orqali topiladi. (1) tenglamaning yana bir muhim tadbiqi suyuqlikning uyurmasiz harakati tenglamasi deb ham qarash mumkin. U holda natijada (1) tenglama ushbu ko‘rinishga keladi. (6) Chegaraviy masala quyidagicha yoziladi: va (7) (1) tenglamaning (2), (3) chegaraviy shartlar bilan birgalikdagi masalani qaraymiz. Bu masala variatsion ko‘rinishda qo‘yilsa funksionalning minimum masalasiga keladi. (8) (8) funksionalni minimallashtirish tugunlardagi qiymatlar to‘plami da amalga oshiriladi. Funksionalni minimallashtirishni integrallarni hisoblashdan oldin bajaramiz. Bu usul elementlar paramertlarini topishda qulaydir, ushbu masala uchun bu qulay hisoblanadi. Dastlab (8) funksionalni shakl alamahstiramiz, buning uchun yangi matritsalar kiritamiz: (9) U holda funksional ushbu ko‘rinishga keladi: (10) Bizga ma’lumki dan bog’liq bo‘lgan funksiyalar berilgan sohada uzluksiz emas, shuning uchun funksiyalarni kiritamiz, ular alohida elementlarda aniqlangan bo‘ladi. (10) dagi integrallar har bir element bo‘yicha integrallarga ajraladi, shuning uchun: (11) Bu yerda barcha elementlar soni. (11) ni quyidagicha ham yozish mumkin: (12) Endi ni minimallashtirish uchun quyidagi amalni bajaramiz: (13) (12) da xususiy hosilalarni, (10) dagi integrallar tugundagi qiymatlar orqali ifodalanmasdan bajarib bo‘lmaydi. (14) ekanligini esga olamiz. U holda (9) dan ni topamiz va uni (14) bilan birga (11) funksionalga qo‘yamiz. Dastlab ni yozamiz: (15) yoki matritsaviy ko‘rinishda (16) (16) dagi forma funksiyalarining hosilalari matritsasi. Uning elementlari hali aniq emas, chunki forma funksiyalari hali aniqlanmagan. (11) dagi chekli elementlar bo‘yicha olingan integrallarni (14) va (16) formulalar yordamida yozamiz: (17) lar noma’lum koeffitsiyentlardir. Ular integral ostida qolgani sababi, ular elementlarda o‘zgarishi mumkin. (17) ni lar bo‘yicha differensiallash qiyin emas, ammo ayrim oydinlashtirishlar kiritiladi. 3.3-§. Matritsaviy munosabatlarni differensiallash Funksionalni minimallashtirishda lardan bo‘yicha hosila olish kerak bo‘ladi. Bu yerda satr-vektor, kvadrat matritsadir. Bu differensiallash sodda bajariladi, shunga qaramasdan bu masalani to‘la keltiramiz. munosabati yozamiz, bu yerda Bu yerda dan bo‘yicha hosilani hisoblaymiz, ya’ni bu hosila quyidagicha ko‘rinishga ega: Ma’lumki Agar bu munosabatni differensiallasak quyidagilarni hosil qilamiz: Bularni ga qo‘yib ushbuni hosil qilamiz: dan olingan hosila ham xuddi shu natijani beradi. Ushbu ko‘rinishdagi ko‘paytmani olamiz. Uning hosilasini olish ham qiyin emas, masalan matritsa tartibi kichikroq bo‘lsa. Ushbu simmetrik matritsani qaraylik: vector matritsaning simmetrikligi hisobga olinsa: Bu munosabatdan hosila olinsa, ushbuni hosil qilish mumkin: U holda hosila uchun oxirgi natija quyidagicha bo‘ladi: yoki Endi yuqorida aytilganidek funksionalni differensiallashni qaraymiz. (17) formuladagi qo‘shiluvchilardan hosila olamiz: Endi alohida elementning umumiy yig’indiga hissasini yozamiz: Integrallarni kompakt ko‘rinishda yozsak: bu yerda Bular asosida tugunlardagi qiymatlarni topish uchun tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: yoki bu yerda Birinchisi issiqlik o‘tkazuvchanlik matritsasi, ikkinchisi esa-yuklanish vektori. Endi ko‘ndalang kesimi doiraviy bo‘lmagan sterjenni buralishi masalasini qaraymiz. Yuqorida jismni dikretlash, bitta element uchun interpolyatsion ko‘phadni tuzish, interpolyatsion ko‘phadlarni butun diskretlashgan sohaga qo‘llash, asosiy tenglamalarni chiqardik. Bu yerda aniq masalalarda CHEM ni tadbiq etishni ko‘rib chiqamiz. Shuning uchun metodning barcha bo‘g’inlarini keltiramiz. Bu maqsadda ko‘ndalang kesimi doiraviy bo‘lmagan sterjenni burash masalasini qaraymiz. Bu masala tasodifiy olingan emas. Chunki bu holda CHEM tenglamalarini chiqarish qiyin emas. Qattiqlik matritsasini hisoblash nisbatan qiyin emas, chegaralar bo‘yicha integrallar nolga teng, izlanayotgan funksiyaning chegaradagi qiymaylari nolga teng. Agar silindrik sterjenlar qaralsa, buralganda siljishdagi kuchlanishlar quyidagi formulalardan topiladi: (1) kuchlanish funksiyasidir, u differensial tenglamadan topiladi: (2) chegaraviy shart bo‘ladi. (2) tenglamaga buralish burchagi va siljish moduli kiradi. Bu tenglamaga burovchi moment kirmaydi, uni (1) tenglamaning yechimi topilgandan keyin, quyidagi ifodadan topish mumkin: (2) tenglamani quyidagicha yozib olamiz: (3) CHEM yordamida masalani yechish uchun quyidagi funksionalni minimallashtirish kerak: (4) (4) funksionalni yuqorida aytilgandek qayta yozib olamiz: (5) bu yerda ustun vector siljish kuchlanishlari, bo‘lgani uchun birlik matritsa bo‘ladi. (5) funksionalni minimallashtirish natijasida chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: 3.4-§. Elementlar matritsalarini tuzish Ko‘ndalang kesimi kvadratdan iborat bo‘lgan sterjenni qaraymiz va unda chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi qanday tuzilishini ko‘rib chiqamiz. Bunday sterjenda 4 ta simmetriya o‘qi mavjud bo‘ladi, shuning uchun kvadratning sakkizdan bir bo‘lagini qaraymiz (18-chizma). Kvadratning bu qismini 20- chizmadagidek 4 ta elementga ajratamiz. O‘z-o‘zidan ma’lumki bunday sondagi elementlar sifatli hisob uchun yetarli emas, ammo o‘rganish uchun 4 ta element yetarli. Qaralayotgan elementlar uchun interpolyatsion ko‘phadlarni quyidagicha yozib olamiz: Bitta element uchun qattiqlik matritsasini aniqlovchi formula quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi: Formulada hisobga olingan. Birinchi elementni batafsil qaraymiz va matritsani tuzuvchilaridan hosila olamiz: U holda gradiyentlar matritsasi quyidagicha bo‘ladi: Bu element yuzasi Gradiyentlar matritsasi koeffitsiyentlarni hisoblaymiz: U holda: ko‘paytmani topamiz: Bu matritsaning integrali elementning qattiqlik matritsasini bermaydi. matritsa o‘zgarmas bo‘lgani uchun, uni integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin. Element qalinligini 1 ga teng deb olinadi. Natijada element qattiqligi matritsasini hosil qilamiz: Hajmiy integralni koordinatalardan foydalanib hisoblash mumkin. Biz bu yerda koordinatalar nazariyasi bilan shug’ullanmaymiz, shunchaki tayyor formulalardan foydalanamiz. uchta koordinatalarni kiritamiz. Hajmiy integralni koordinatalarda yozamiz: Elment qalinligini birga teng deb hisoblaymiz va quyidagi integral formuladan foydalanamiz: natijada Agar doimiylarning qiymatlari va buralish burchagi qiymatlari qo‘yilsa: U holda birinchi element uchun tenglamalar sistemasi quyidagicha bo‘ladi: yoki Xuddi shunday yo‘l bilan qolgan elementlar uchun ham tenglamalar sistemasi hosil qilinadi. Barcha elementlar uchun (ular 4 ta) tenglamalar sistemasini yozamiz. Bu sistema alohida olingan elementlar uchun tenglamalarni qo‘shish bilan hosil qilinadi. tugun qiymatlari nolga teng, chunki shu nomerli tugunlar tashqi chegarada joylashgan. Tenglamalar sistemasini shakl almashtirish va yechish mumkin. Sistemaning yechimini quyidagicha yozish mumkin: Keyingi ishimiz topilgan tugundagi qiymatlardan foydalanib boshqa kattaliklarni topishdir. Qaralayotgan masalada muhim natijalardan biri izlanayotgan funksiyadan olingan hosiladir, ya’ni siljish kuchlanishidir. Bularni topish qiyin emas, chunki har bir element uchun gradiyentlar matritsasi tuzilgan. Birinchi element uchun u quyidagi formula yordamida topiladi: Yuqoridagi hisoblanganlarni qo‘yib ushbuni olamiz: Shunday qilib, Boshqa elementlar uchun kuchlanish tenzori komponentalari xuddi shunday hisoblanadi. Alohida elementlar uchun siljish kuchlanishi o‘zgarmasligiga sabab koordinatalarga nisbatan chiziqli interpolyatsion ko‘phadlar olinganligidir. Simplex elementlarning asosiy kamchiligi element bo‘yicha o‘zgaruvchi hosila olib bo‘lmaydi. Berilgan masalada bu uch yo‘l bilan hal qilinadi. Birinchisi-tugunlar sonini ko‘paytirish orqali, bunda elementlar o‘lchami kichrayadi, kuchlanishlar uchun olingan natijalarga olib keladi bu haqiqiy kuchlanishga yaqin bo‘ladi. Ikkinchisi uchburchakda tugunlar sonini ko‘paytirish. Bunda interpolyatsion ko‘phadlar darajasi ikki yoki uch bo‘lishi mumkin. Hisoblashlar natijasida olingan gradiyentlar koordinatalarning funksiyalari bo‘ladi. Uchinchi usul-qo‘shma approksimatsiya nazariyasini tadbiq etish. 3.5-§. L-koordinatalar Uchburchakli elementlar uchun ko‘proq tabiiy koordinatalar ishlatiladi, ular uchta nisbiy koordinatalar lardir (20-chizma). Har bir aytilgan koordinata uchburchak nuqtasidan tegishli tomonigacha masofaning xuddi shu tomonga tushirilgan balandlikka nisbatiga tengdir (21-chizma). Ko‘rinib turibdiki lar oraliqdagi qiymatlarni qabul qiladi. (22- chizma) da o‘zgarmas qiymatlar qabul qiladigan chiziqlar ko‘rsatilgan. Bu chiziqlar ga tegishli tomonga parallel bo‘ladilar. Yuqorida aytilgan koordinatalar koordinatalar deyiladi. koordinatalar uchburchaklarning nisbiy munosabatlaridan olingan 23-chizmada ko‘rsatilgan koordinata uchburchak yuzining uchburchak yuziga nisbatidan olinadi. uchburchak yuzi uchburchak yuzi U holda Boshqa koordinatalar uchun Ko‘rinib turibdiki Bu tenglik koordinatalar orasidagi bog’lanishni ko‘rsatadi. Chunki tekislikda uchta koordinata erkin bo‘lmaydi, ixtiyoriy nuqta ikkita koordinata bilan aniqlanadi. Ular uchburchakli simplex element uchun forma funksiyalaridir. Haqiqatan ham, Boshqa koordinatalar uchun ham shu munosabatlar o‘rinlidir. Nuqtaning dekart koordinatalari va koordinatalar orasidagi bog’lanish quyidagicha bo‘ladi: Bularni larga nisbatan yechib, forma funksiyalariga o‘xshash munosabatlar hosil bo‘lishini ko‘ramiz. Bunday koordinatalarni tadbiq etish, quyidagi integral formulalarni qo‘llash imkonini beradi: Oxirgi munosabatlarni ko‘rinishdagi integrallarni hisoblashda qo‘llash mumkin. Bu yerda lar koordinatalarning funksiyalaridir. Bu integralni element yuzasi bo‘yicha hisoblaymiz: Bu misolda lar larga mos keladi. kirmaganligi uchun koordinata nolinchi daraja bilan kiradi. Birinchi formula koordinatalar yordamida integrallarni hisoblashda, integral element tomoni bo‘ylab olinadi. esa shu tomon uzunligini bildiradi. Hajmiy koordinatalar ham shu kabi kiritiladi. Bunda to‘rttta nisbiy koordinatalar bo‘ladi, tetraedr bilan ish olib boriladi. Uch o‘lchovli holda koordinatalar hajmiy koordinatalar deyiladi. Xuddi tekislikda bo‘lgani kabi bo‘ladi. Chiziqli tetraedr uchun forma funksiyalari hajmiy koordinatalarni ifodalaydi (24-chizma). Uch o‘lchovli holda hajmiy koordinatalar hajmiy integrallarni hisoblashda ishlatiladi. 3.6-§. CHEM ni kompyuterda amalga oshirish Yuqorida qattiqlik matritsasini tuzish, kompyuterda hisoblashlarni amalga oshirish uchun samarali emas. Buning sababi shundaki elementnik qattiqlik matritsasi tartibi global qattiqlik matritsasi tartibi bilan bir xildir. Bu matritsalarning katta qismi nollardan iborat. Yana bir noqulaylik global matritsa elementlar matritsalari yig’indisidan tashkil topadi. Shunday qilib datslab har bir element uchun elementning qattiqlik matritsasi hisoblanadi, keyin esa ular qo‘shiladi. Bu esa qo‘shiluvchi matritsalarni hisoblashda katta hajmli xotira talab qiladi. Samarali dasturlarda matritsalarni xotirada saqlashning qisqa shakli ishlatiladi. Bu holda juda yuqori tartibli va ko‘p elementlarni nollardan iborat matritsalarni xotirada saqlashdan ozod etadi. Shu metod haqida fikr yuritamiz. Bunda aniq element va uning matritsasi olinadi. Tanlangan elementga tegishli bo‘lmagan global erkinlik darajasi qaralmaydi. Forma funksiyalari tugunlar indekslari tartibiga qarab yoziladi, tugundan boshlab soat strelkasiga teskari ravishda. 26-chizmadan uchinchi elementni olamiz. 3-nomerli elementga 2,5,4 tugunlar mos keladi. Global erkinlik darajasi . Agar forma funksiyalarini tugundan boshlab tartiblasak, quyidagini hosil qilamiz: Gradiyentlar matritsasi quyidagi ko‘rinishni oladi: va koeffitsiyentlar forma funksiyalari uchun ma’lum bo‘lgan munosabatlardan topiladi. va ning topilgan qiymatlari ga qo‘yiladi. Endi topilgan elementning qattiqlik matritsasini topish formulasiga qo‘ysak ushbuni hosil qilamiz: Shunday qilib matritsa hosil bo‘ladi, matritsa emas, uning erkinlik darajasi soni uchga teng. Agar bunday prosedurani tashqi yuklanishlar vektorini aniqlovchi integralga tadbiq etsak: u holda quyidagini olamiz: Natijada tanlangan element uchun tenglama quyidagicha bo‘ladi: Hosil qilingan tenglama oldin olingan tenglamalarga o‘xshamaydi. Bu matritsa tanlangan element matritsasiga mos kelishi uchun, element matritsasini kengaytirish kerak. Bu amallar algoritmi yetarlicha soddadir. Qisqartirilgan matritsa satri va ustunlariga global erkinlik darajasini berish kerak. Nomerlash tartibi tanlangan element chap tomonda qolishi kerak, tugundan boshlab. Bizning masalada sterjenni burashda har bir tugunda faqat bitta erkinlik darajasi bor, shuning uchun forma funksiyalari global erkinlik darajasi kabi tartibda joylashadi. Bu holda elementning qattiqlik matritsasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: Bunga qarab 3-elementning qattiqlik matritsasi koeffitsiyentlari, global qattiqlik matritsasida qanday joylashganini ko‘rish mumkin. Masalan -0,5 uchinchi ustun birinchi satrdagi koeffitsiyent global matritsaning ikkinchi satr va to‘rtinchi ustunida joylashadi. -0,5 koeffitsiyent esa global matritsaning to‘rtinchi satr va beshinchi ustunida joylashadi. To‘ldirilmagan elementlar esa nollardan iborat bo‘ladi. Shunday qilib tanlangan elementning aniq qattiqlik matritsasini hosil qilamiz (26-chizma). Global matritsani tuzishni ko‘rsatilgan metodi CHEM ni EHM da amalga oshirish uchun muhim sanaladi. Bu kompyuterning yuklanishini keskin kamaytiradi. Uni qo‘llashda katta matritsalarni xotirada saqlash zarur emas, ular juda ko‘p nollarga egadir. Qisqartirilgan matritsada satr va ustunlar soni tegishli element erkinlik darajasi soni bilan mos tushadi. CHEM ni tadbiq etishda chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi, uni yechib tugunlardagi qiymatlar topiladi. Bu sistema matritsasi juda ko‘p nollarga ega ekanligini bilamiz. Tugunlar nomerlari to‘g’ri qo‘yilsa matritsa lenta tipidagi matritsa bo‘ladi. Bunday matritsada nolmas elementlar bosh diogonalga yaqin joylashgan bo‘ladi. Umumiy holda nol koeffitsiyentlar bu yo‘lak ichida ham uchraydi. Sistema matritsasi juda yaxshi bo‘ladi, agar u ushbu ikkita xossaga ega bo‘lsa: simmetriklik va musbat aniqlanganlik. Matritsaning simmetrikligi, uning koeffitsiyentlarini yarmini eslab qolmasligi bo‘lishi mumkin. Taqribiy qiymatlarni hisoblashda xatolar bo‘lishi ehtimoli kam bo‘ladi. Lenta tipidagi matritsani dasturlashda uni to‘g’ri-to‘rtburchak shaklidagi jadvalga keladi, uning kengligi yo‘lak kengligiga teng, uzunligi esa tenglamalar soniga teng. Bu yutuqning afzalligini misolda ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, 200 ta noma’lumli tenglamani yechish kerak bo‘lsin. U holda 4000 dona xotira kerak bo‘ladi. Agar bu matritsa yo‘lagi kengligi 40 ga teng bo‘lsa 200 ta satrda 8000 ta xotira kerak bo‘ladi, ya’ni 40 ta ustun har birida 200 tadan element bor. Misol shuni ko‘rsatadiki xotira yuki 80 % ga qisqaradi. CHEM ni tadbiq etganda oxirgi tenglamalar sistemasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi: Bu tenglamalar sistemasi har bir element uchun yozilgan tenglamalar yig’indisidan hosil bo‘ladi. Bu yerda ni shunday almashtiramizki, bunda ularning o‘lchovi o‘zgarmaydi. lar o‘lchovini o‘zgartirish dasturalshda muammo tug’diriadi. Agar bitta tugun qiymat aniq bo‘lsa, u holda sistemada shakl almashtirish ikki qadamda amalga oshiriladi. Masalan bizga ma’lum bo‘lsin. 1. Beshinchi satrning diogonaldagi hadidan boshqasi barchasi nolga tenglashtiriladi. Diogonal had o‘zgarishsiz qoladi. vektorning tegishli komponentasi ga almashtiriladi. 2. Qolgan barcha tenglamalar ni dan ayirish va ni qo‘yish bilan hosil qilinadi. 3.7-§. Tenglamalar sistemasini yechish. Hisoblashlarning umumiy blok-sxemasi CHEM ni tadbiq etishdan hosil bo‘lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning samarali usullaridan biri Gauss metodidir. Sistema matritsasi uchburchak shakliga keltiriladi, keyin esa yechim progonka usuli bilan topiladi. Buni oddiy misolda ko‘ramiz keyin esa yuqori tartibli tenglamani yechishni ko‘rsatamiz. Ushbu sistemani qaraylik Sistemaning matritsasi simmetrik, eng katta koeffitsiyentlar diogonalda joylashgan. ni ikkinchi va uchunchi satrlardan yo‘qotamiz. Buning uchun birinchi tenglamadan Bu ifodani ikkinchi va uchinchi tenglamalarga qo‘yamiz: bu yerdan bu yerdan U holda sistema quyidagi ko‘rinishga keladi: Xuddi shu usul bilan uchinchi tenglamadan ni yo‘qotamiz, natijada sistema quyidagi ko‘rinishni oladi: Hosil qilingan sistema teskari progonka usuli bilan yechiladi. Dastlab uchinchi tenglamadan topiladi, keyin ikkinchi tenglamadan topiladi va nihoyat larning topilgan qiymatlaridan foydalanib birinchi tenglamadan topiladi. Shunday qilib chiziqli algebraik tenglamalarni yechish ikki bosqichdan iborat: matritsani uchburchak ko‘rinishga keltirish va teskari progonka. Endi umumiyroq sistemani qaraymiz. Faraz qilaylik bu sistema matritsasi simmetrik hamda bosh hadlar diogonalda joylashgan bo‘lsin. Shu bilan birga sistema matritsasi lentali tipda bo‘lsin. ko‘rinib turibdiki yo‘lakcha kengligi uchga teng, bu yerda nol koeffitsiyentlar ko‘rsatilmagan. Gauss metodiga asosan birinchi noma’lumni yo‘qotib ushbu sistemani hosil qilamiz (kengaytirilgan matritsadan foydalanamiz): bu yerda koeffitsiyentlar quyidagicha topiladi: Yuqoridagi 1 indeks ni yo‘qotishni bildiradi. Birinchi yo‘qotishdan keyin hosil bo‘lgan koeffitsiyentlar uchun formulalarni umumiy holda quyidagicha yozish mumkin: Agar shu amalni noma’lum uchun bajarsak, u holda quyidagi munosabatlar hosil bo‘ladi: ustun vector uchun esa quyidagi ifodalarni hosil qilamiz: Bu munosabatlardan ko‘rinadiki: koeffitsiyentlarning simmetrikligi bu operatsiyadan keyin ham saqlanib qoladi. Buni ko‘rsatish qiyin emas, va larni qaraylik. Berilgan sistema matritsasi simmetriklaigidan natijada Matritsaning simmetrikligi har bir operatsiyadan keyin ham saqlanib qolaveradi, natijada ushbu munosabatni yozish mumkin: Shuning uchun ham diagonal ostidagi koeffitsiyentlarni xotirada saqlashga hojat qolmaydi. Operatsiyalarni bajarish uchun faqat diagonaldagi va diagonal ustidagi koeffitsiyentlarni bilish kifoya. Bundan tashqari lentadan tashqaridagi koeffitsiyentlarni xotirada saqlash kerak emas, chunki ular faqat nollardan iborat. 3.8-§. Galyorkin metodi Differensial tenglamalarni yechish uchun Galyorkin metodini ko‘rib chiqamiz. Bu metod differensial tenglamaning taqribiy yechimini beradi. Bunda quyidagi shartlar bajarilishi kerak: taqribiy va aniq yechim ayirmasi approksimatsiya uchun olingan funksiyalarga perpendikulyar bo‘lishi kerak. Agar differensial tenglamadan kelib chiqsak (bu yerda differensial operator) va taqribiy yechimni ko‘rinishda izlaymiz. U holda bo‘lib, xatoni bildiradi. kichik bo‘lishi kerak, buning uchun bo‘lishi zarur. Matematik til bilan aytganda, bazis funksiyalar sohada xatoga ortogonal bo‘lishi kerak. Bu metodni CHEM metodi bilan birga tadbiq etganda (1) bu yerda izlanayotgan funksiya bo‘lib, munosabat bilan approksimatsiya qilinadi. ni aniqlovchi differensial tenglama. Faraz qilaylik: u holda (1) tenglama quyidagicha bo‘ladi: yechim izlanayotgan bir o‘lchamli soha uzunligi. da hosilaning yuqori tartibli chegaralanmagan, u masalaning fizik ma’nosidan kelib chiqadi. Biroq (1) dagi eng yuqori tartibli hosila, interpolyatsion munosabatlarning uzluksizlik tartibidan bittaga ortiq. Balkaning elgilishi haqidagi masalaga Galyorkin metodini tadbiq etamiz. Balkaning elastic chizig’i differensial tenglamasini quyidagicha yozib olamiz: (2) bu bir o‘lchovli masaladir. balkaning ixtiyoriy nuqtasida eguvchi moment. elastiklik moduli, inersiya momenti, balkaning egilishi, ning ma’lum funksiyasi bo‘ladi. (2) tenglamaga Galyorkin metodini tadbiq etamiz: (3) uchun interpolyatsion funksiya har bir elementda alohida aniqlangan, shuning uchun tenglamani yig’indi ko‘rinishida yozib olamiz: (4) bu yerda elementlar soni, alohida olingan element uzunligini hisoblashga o‘tish uchun forma funksiyalarini tanlash kerak hamda (4) integralni shunday shakl almashtiramizki undagi hosila birinchi tartibdan oshmasin. uchun chiziqli modeldan foydalanamiz: moment ning funksiyasi, funksiya ham chiziqli model orqali approksimatsiya qilinadi: Quyidagi integralni bo‘laklab integrallaymiz: bu natijani (3) ga qo‘yib ushbuni hosil qilamiz: Integraldagi birinchi qo‘shiluvchi elementning koeffitsiyentlari matritsasidir Elementlar bo‘yicha yig’indi olinsa integraldagi ikkinchi qo‘shiluvchi ni beradi, integraldan tashqaridagi had esa ustun vektorga qo‘shimcha beradi, bunda elementning har bir uchida aniqlangan bo‘ladi. Birinchi integralni hisoblaymiz: Integrallash 0 dan gacha olinadi, element uzunligi. Ikkinchi integral uchun: 3.9-§. Maydon nazariyasining ikki o‘lchamli masalasi Fizika va texnikada bir qator masalalar ushbu ko‘rinishdagi tenglama bilan ifodalanadi: Bu tenglamaga Galyorkin usulini tadbiq etamiz: Tenglamani faqat birinchi tartibli hosila qatnashadigan qilib o‘zgartiramiz: Endi hajmiy integraldagi birinchi qo‘shiluvchini quyidagicha yozishimiz mumkin: Gauss-Ostrogradskiy formulasiga asosan: Xuddi shunga o‘xshash ushbu integral ham almashtiriladi: va ni hisobga olib ushbuni hosil qilamiz: Element qalinligi ni birga teng deb olamiz. Sirt integralini orqali ifodalaymiz, bu yerda sirtga tashqi normal. Bu yerda birinchi integral matritsaga hissa qo‘shadi, ikkinchi integral vektorga, uchinchi integral esa va larning har biriga hissa qo‘shadi. noma’lum funksiya ushbu munosabatdan foydalanib topiladi: U holda: va Formulalarni birinchi integralga qo‘yib bu ushbu ifodaga mos keladi, maydon nazariyasi masalasi uchun: Integral konvektiv matritsani hosil qiladi, u issiqlik o‘tkazish tenglamasiga tegishlidir. Faraz qilaylik vertical chegara bo‘ylab uchburchak elementlari joylashgan bo‘lsin (27-chizma) va bu integralni chegara bo‘ylab hisoblash kerak bo‘lsin. Chegara bo‘ylab issiqlik oqimi issiqlik yo‘qotilishiga bog’liq bu yo‘qotish konvektiv issiqlik almashinuvi bilan bog’liq. bu yerda jism chegarasidagi issiqlik, atrof muhir temperaturasi. Element ichidagi temperatura: bu yerdan sirt nuqtalari uchun ushbuga ega bo‘lamiz: chunki qaralgan chegara uchun Issiqlik oqimi uchun ushbu ifoda hosil bo‘ladi: Bu ifodani integralga qo‘ysak ushbuni hosil qilamiz: Galyorkin metodi bevosita shunday qo‘shiluvchilarga olib keladiki, funksional formulirovkada funksionalga qo‘shilishi kerak, chegaraviy shartlarni hisobga olish uchun. Galyorkin metodi ikki va uch o‘lchovli masalalarni, elastiklik nazariyasidagi masalalarni yechishda ham ishlatiladi. 3.10-§. Koshi masalasi Koshi masalasini yechish uchun Galyorkin metodidan foydalanamiz. Ushbu differensial tenglamani qaraymiz: boshlang’ich shartlar: va Bu tenglamaning yechimi Shu tenglamaga Galyorkin metodini tadbiq qilamiz: (5) Integral ikkinchi taritbli hosilani saqlagani uchun, tenglamani shakl almashtiramiz: bu yerda vaqt qadami (alohida element uzunligi). (5) tenglama quyidagicha yozilishi mumkin: (6) bunda vaqt qiymatlari, ular va tugunlarga mos keladi. elementlar soni. (6) formulani tadbiq etish chiziqli interpolyatsion ko‘phad yordamida ko‘rsatiladi. Bu munosabat mahalliy koordinatalar sistemasiga nisbatan aniqlangan, uning boshi tugunda, Bu ifodani (6) ga qo‘yamiz: Birinchi element uchun quyidagi tenglamani hosil qilamiz: Boshqa ixtiyoriy elementga quyidagi tenglama mos keladi: Alohida elementlar uchun tenglamalarni birlashtirib va elementlar uzunligini o‘zaro teng deb olib ushbuni hosil qilamiz: (7) (7) tenglamalar sistemasi quyidagicha yozilishi mumkin: bu yerda ixtiyoriy tugun. ni berilgan holda, oxirgi tenglamalardan barcha ni topish mumkin. 3.11-§. Birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi Birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasini Galyorkin metodi yordamida yechamiz: Natijada ni topish uchun matritsaviy tenglamaga kelamiz. noma’lumni topish uchun chiziqli modeldan foydalanamiz: (8) bu yerda indekslar ikkita tugun nomeri, ular orasida vaqt bo‘yicha masofa bor, tugunlarning umumiy soni. Bu munosabatlar matritsaviy ko‘rinishda quyidagicha bo‘ladi: Bu yerda tartibli ustun matritsa, forma funksiyalari. Bu ifodaga Galyorkin metodini tadbiq etsak bunda Hosil qilingan differensial munosabatlar va (8) ni oxirgi ikkita tenglamaga qo‘ysak ushbuni hosil qilamiz: Bu tenglama vaqtning bitta qadamiga mos kelib bitta element uchun yozilgan. qiymatlarni topish uchun tenglamalar sistemasi, barcha elementlar uchun yozilgan tenglamalarni qo‘shish kerak. Faraz qilaylik barcha elementlarga bir xil vaqt oralig’i to‘g’ri kelsin. Dastlabki ikki qadam uchun birlashtirib ushbuni hosil qilish mumkin: ma’lum bo‘lgani uchun, birinchi tenglamadan ni topish mumkin. Ikkinchidan boshlab barcha tenglamalar bir-biriga o‘xshash bo‘lgani uchun, qolgan tenglamalarni quyidagicha tasvirlash mumkin: Bu formulani ishlatishda ikki momentga e’tibor berish kerak, bu chekli ayirmali usuldan farq qiladi. ni hisoblash uchun va ikkita ustunni bilish kerak, yana uchta matrirsani xotirada saqlash kerak bo‘ladi. Oxirgi talab xotiraga og’irlik qiladi, bu esa yuqori tartibli tenglamalar sistemalarini yechishda qiyinchilik tug’diradi. CHEM ning asosiy tenglamalari Konstruksiyani CHEM yordamida hisoblash quyidagi bosqichlarda amalga oshiriladi: 1. Geometrik modelni yasash va uni chekli elementlarga ajratish. Ta’sir etuvchi Kuchlarni aniqlash va chegaraviy shartlarni aniqlash. Chekli-elementli modelni shakllantirish. 2. Har bir element uchun qattiqlik matritsasini tuzish, tugunlarda keltirilgan tashqi yuklarni hisoblash. 3. Hal qiluvchi tenglamalar sistemasini shakllantirish. 4. Hosil bo‘lgan tenglamalar sistemasini yechish, ko‘chishlar, deformatsiyalar, kuchlanishlarni topish. 5. Konstruksiyaning mustahkamligini baholash, xulosa, tavsiyalar. Tekis kuchlanganlik holati va uchburchakli elementni qaraymiz. III-bob bo‘yicha xulosa Bu bobda elestiklik nazariyasi masalalari ikki usul bilan amalga oshiriladi. Birinchisi differensial tenglamalarni tegishli chegaraviy shartlar asosida yechish. Ikkinchi usul potensial energiyani minimallashtirishga asoslangan. Bu yerda ushbu asosiy teorema muhim rol o‘ynaydi: Kinematik chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi barcha ko‘chishlardan potensial energiyaga extremal qiymat beruvchi ko‘chishlar muvozanat tenglamalarini qanoatlantiradi. Bu bobda kvazigarmonik masala qaralgan, undan esa boshqa xususiy masalalar kelib chiqishi ko‘rsatilgan. Xususan ko‘ndalang kesimi doiraviy bo‘lmagan elestik sterjenning buralishi masalasi ham shular jumlasida bo‘ladi. Bu bobda matritsaviy munosabatlarni differensiallash qaralgan. Jimni diskretlash, bitta element uchun interpolyatsion ko‘phadni butun diskretlash sohaga qo‘llash, asosiy tenglamalari qaraldi. Aniq masala sifatida ko‘ndalang kesimi doiraviy bo‘lmagan sterjenni burash masalasi qaralgan. Yana bir masala tariqasida ko‘ndalang kesimi kvadratdan iborat bo‘lgan sterjen qaralgan, unda chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi qanday tuzilganligi ko‘rib chiqilgan. Bunday sterjen to‘rttta simmetriya o‘qiga ega bo‘lgani uchun, uning sakkizdan bir bo‘lagini qarash mumkin. Uni to‘rtta elementga ajratib har biri uchun interpolyatsion ko‘phad tuzilgan. Uchburchalli elementlar uchun ko‘proq ishlatiladigan tabiiy koordinatalar haqida gap borgan. Nuqtani dekart koordintalari va L koordinatalar orasidagi bog’lanishlar keltirilgan. Bu bobda global matritsani tuzishni ko‘rsatilgan metodi CHEMni EHMda amalga oshirish uchun muhim sanaladi. Kompyuter yulanishini keskin kamayadi. Uni qo‘llashda katta matritsalarni xotirada saqlash shart emas, ular juda ko‘p nollarga ega bo‘ladi. CHEM ni tadbiq etishdan hosil bo‘lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning samarali usullaridan biri Gauss metodidir. Sistema matritsasini uchburchak shakliga keltiriladi, keyin esa progonka usuli bilan yechim topiladi. Bu usul sodda misolda ko‘rsatilib tegishli xulosa chiqarilgan. Operatsiyani bajarish uchun faqat diagonaldagi va diagonal ustidagi koeffitsiyentlarni bilish kifoya. Bundan tashqari lentadan boshqa koeffitsiyentlarni xotirada saqlash shart emas, chunki ular faqat nollardan iborat bo‘ladi. Bobning nihoyasida birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi Galyorkin metodi bilan yechilgan. IV-BOB. CHEMNING MATRITSAVIY MUNOSABATLARI 4.1-§. Koshi formulasi va Guk qonunini matritsaviy ko‘rinishda tasvirlash Tekis kuchlanganlik holati uchun Koshi formulasini yozamiz: Deformatsiya vektori ko‘chish vektori Differensiallovchi matritsa U holda tekis kuchlanganlik holati uchun Koshi formulasi quyidagicha yoziladi: (1) Tekis kuchlanganlik holati uchun: bularni larga nisbatan yechib olsak ushbu hosil bo‘ladi: (2) (3) (4) (2), (3), (4) larni matritsaviy ko‘rinishda yozamiz: yoki (5) Faraz qilaylik konstruksiya ta chekli elementga ajratilgan bo‘lsin, ular ta tugun bilan bog’langan. element uchun mahalliy (1-chizma) sistemani kiritamiz. Bu sistemada elementning tuguni ko‘chish vektori bo‘ladi. Tegishli ravishda tugun uchun tugun uchun Butun element uchun tugunlardagi ko‘chish vektori elementning tugunida reaksiya vektori Tegishli ravishda qolgan tugunlarda reaksiyalar vektorlari, tugun uchun tugun uchun element uchun butun reaksiya vektori Elementga hajmiy kuch va sirt kuchlari ta’sir qiladi. Ularni element tugunlariga keltirsak, tugunga ushbu tashqi kuchlar ta’sir qiladi: Tegishli ravishda va tugunlarga ham keltirilgan tashqi kuchlar vektorlari bo‘ladi. Butun elementga keltirilgan tashqi kuchlar vektori Elastiklik nazariyasiga binoan: bu yerda elementning qattiqlik mztritsasi. 4.2-§. Elementning qattiqlik matritsasini aniqlash element ichida ko‘chishlarning taqsimlanishini aniqlaymiz. U orqali elementning ixtiyoriy nuqtasidagi ko‘chish vektori buning uchun uning koordinatalari va tugunlardagi ko‘chish vektori ma’lum bo‘lishi kerak. Bu qonun matritsa ko‘rinishida berilgan bo‘lsa (7) Hisoblashlar aniqligi qabul qilingan qonun qanchalik haqiqiy ko‘chishlar bilan mos kelishiga bog’liq. Haqiqiy ko‘chishlar noma’lum bo‘lgani uchun elementlar o‘lchovini kichikroq olish kerak. (7) ni hisobga olsak (1) tenglama nuqtada ko‘chishlar uchun ushbu ko‘rinishga ega bo‘ladi: (8) nuqtada kuchlanish tenglamasi quyidagicha bo‘ladi: Deformatsiyalangan element potensial energiyasini topamiz. Birlik hajmda solishtirma energiya: bu yerda solishtirma potensial energiya. Tekis kuchlanganlik holati uchun: U holda Agar ni va tugundagi ko‘chishlar vektori ixtiyoriy nuqtaning joylashuvidan bog’liq bo‘lmasa, uni integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin: (9) Elementning ko‘chishida tugundagi reaksiyalar, hajmiy va sirt kuchlar bajargan ishlar yig’indisini olamiz: (10) Bu tenglamaga reaksiya kuchlari vektorini (6) va ixtiyoriy nuqta ko‘chish vektori (7) dan qo‘yilsa ushbuni hosil qilamiz: (11) Energiyaning saqlanish qonuniga binoan bajarilgan ish (11) potensial energiyaga teng (9)=(11). Agar quyidagi tenglik o‘rinli bo‘lsa bu tenglik aynan bajariladi: (12) (13) (12) tenglama elementning qattiqlik koeffitsiyentini hisoblashga imkon beradi. Buning uchun funksiya kerak bo‘ladi. Elementni yuzali uchta uchburchakka ajratamiz (2-chizma). Elementda ushbu koordinatalar sistemasini kiritamiz: Uchburchak yuzalarini tugunlarning koordinatalari va ixtiyoriy nuqta koordinatalari yordamida hisoblaymiz (3-chizma). Uchburchaklar o‘xshashligidan Bu yerdan esa: yoki va Xuddi shu kabi Ko ‘ chishlarni taqsimlanish qonunini quyidagicha ifoda orqali beramiz : yoki matritsaviy ko‘rinishda U holda (14) Ko‘rinib turibdiki bu ifoda o‘zgaruvchi koordinatalardan bog’liq emas. Shuning uchun (12) da uni integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin. bu yerda element qalinligi. Uchburchak shaklidagi elementning qattiqlik matritsasi o‘lchami 4.3-§. Keltirilgan tashqi kuchlarni aniqlash tugunlarga keltirilgan temperature kuchlari. tugunlarga keltirilgan hajmiy kuchlar. tugunlarga keltirilgan sirt kuchlari. ni integrallash belgisidan tashqariga chiqarish mumkin. (15) Hajmiy kuchni hisoblash uchun ni ga ko‘paytiramiz: Shunday qilib, hajmiy kuch uchta qo‘shiluvchilardan tashkil topadi, ular tugunlarga keltirilgan. tugunga keltirilgan hajmiy kuch: lar element chegaralarini aniqlovchi funksiyalar. Bu to‘g’ri chiziq tenglamalari orqali sodda topiladi (4-chizma). va tugunlarga keltirilgan hajmiy kuchlar shu kabi aniqlanadi. Xuddi shuningdek tugunlarga keltirilgan sirt kuchlaridan sirt kuchi yig’indi sifatida aniqlanadi. (16) 4.4-§. Global koordinatalar sistemasiga o‘tish Odatda lokal koordinatalar sistemasi alohida element uchun qattiqlik matritsasi va tugunlarga keltirilgan kuchlar vektorlarini hisoblashga kerak bo‘ladi. Yuqoridagi tenglamalarda koordinatalar ayirmasi bo‘lgani uchun koordinatalar boshini o‘zgartirish parallel ko‘chirishda ular o‘zgarmasdan qoladi. Biroq ularni hisoblagandan keyin global koordinatalar sistemasiga o‘tish kerak. Bu yerda koordinata o‘qlarini burish ahamiyatga ega bo‘ladi. Faraz qilaylik, lokal sistema global koordinatalar sistemasiga nisbatan burchakka burilgan bo‘lsin (5-chizma). Lokal sistemada ko‘chishlarni global sistema koordinatalariga proeksiyalaymiz. U holda global koordinatalar sistemasida ko‘chishlar hosil bo‘ladi: yoki matritsaviy ko‘rinishda yoki Xuddi shu kabi va tugunlarning ham global koordinatalar sistemasida ko‘chishlari hosil bo‘ladi. Butun element uchun yoki Xuddi shuningdek tugunlardagi reaksiya kuchlarining ham global koordinatalar sistemasida ifodasi hosil bo‘ladi: va tugunlardagi kuchlar ham paydo bo‘ladi: Element qattiqlik matritsasining ham global koordinatalar sistemasida ifodasini hosil qilish uchun (6) ni chap tomondan ga ko‘paytirish kerak, qo‘shiluvchilardan birini esa birlik matritsaga ko‘paytirish kerak. Shunday qilib, global koordinatalar sistemasiga o‘tishda qattiqlik matritsasi quyidagicha o‘zgaradi: 4.5-§. Chiziqli tenglamalar sistemasini shakllantirish Global koordinatalar sistemasida element uchun quyidagi ifodani yozamiz: bu yerda U holda (17) bu yerda matritsa matritsaning 1 va 2 satrlarini o‘z ichiga oladi. Xuddi shunday ( matritsa matritsaning 3 va 4- satrlarini o‘z ichiga oladi). ( matritsa matritsaning 5 va 6-satrlarini o‘z ichiga oladi). Faraz qilaylik, tugunda elementlar birlashgan bo‘lsin. Bu tugunda uzluksizlik buzilmagani uchun, deformatsiyalarning birgalikda bo‘lish shartlari quyidagicha bo‘ladi: Buni hisobga olsak (17) tenglama quyidagicha yoziladi: ni uchta matritsa yig’indisi ko‘rinisida yozamiz, u holda oxirgi tenglama quyidagicha yoziladi: Bu tenglama barcha tugunlarning ko‘chish vektorlarini koeffitsiyent bilan qo‘shamiz. (18) bu yerda barcha tugunlarning ko‘chish vektori. Xuddi shunday tenglamalarni barcha tugunlar uchun olamiz. Hal qiluvchi sistema konstruksiyaning muvozanatda bo‘lishi shartidan kelib chiqadi, ya’ni ixtiyoriy tugunda barcha reaksiyalar yig’indisi nolga teng bo‘lishi kerak. Bu sistema ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi bo‘lib unda ta noma’lum qatnashadi. uning matritsaviy ko‘rinishidir. Bunda matritsa matritsalardan tashkil topgan, Bu tenglamalar sistemasini yechib tugunlar ko‘chishlari vektorini hosil qilamiz, shundan so‘ng alohida elementlarga o‘tib ulardagi deformatsiya va kuchlanishlarni topish mumkin. 4.6-§. CHEM ni tadbiq etishning xususiyatlari CHEM ni amalda qo‘llashda hisoblashlarning aniqligini va hisoblash vaqti masalasiga e’tibor berish kerak. Elementlar o‘lchamlari qancha kichik bo‘lsa hisoblash shuncha aniq bo‘ladi. Juda ko‘p elementlar olinganda natija noto‘g’ri bo‘lishi mumkin, hattoki dastlabki ma’lumotlar to‘g’ri keltirilgan va dastur to‘g’ri ishlasa ham. Afsuski elementlar o‘lchamini talab etilgan aniqlikka qarab olib bo‘lmaydi. Hisoblashlarning to‘g’riligi elementlar o‘lchamlarini 20 %...30 % ga kichik qilib hisoblashlarni to‘la qayta amalga oshirish orqali ham tushirish mumkin. Agar bu ikki hisoblashlardan olingan natijalar talab etilgan aniqlikdan kichik bo‘lsa, u holda hisoblash to‘g’ri bajarilgan deyish mumkin. Fan va texnikada doimo sistemalarni hisoblash masalasi bilan duch kelamiz, ular murakkab geometric va fizik xususiyatlarga ega bo‘ladi. Kompyuterlar bunday masalalarni taqribiy usulda yechishga imkon beradi. CHEM ana shulardan biridir. Oxirgi yillarda bu usul keng tarqaldi. Bir necha sodda misollarda bu metodning mohiyatini qaraymiz. Faraz qilaylik sistema holati biror funksiya bilan aniqlangan bo‘lsin. Bu funksiya fizik qonunlarga asoslangan masalaning yagona yechimidir. Masala shundan iboratki cheksiz ko‘p funksiyalar ichidan tenglamani qanoatlantiruvchi yagona funksiyani topishdan iborat. Agar masala yetarlicha murakkab bo‘lsa uni aniq yechib bo‘lmaydi. Funksiyani izlash o‘rniga masala soddalashtiriladi. Chekli sondagi parametrlar bilan aniqlanuvchi funksiyalar oilasini qaraymiz. Odatda bu funksiyalar orasida masalaning aniq yechimi yo‘q. Biroq parametrlarni tegishli tanlash orqali tadribiy yechimni topish mumkin. Bu yondashuv ko‘pgina taqribiy usullar uchun xarakterlidir. CHEM da chekli parametrlar yordamida funksiyalar sinfini tuzishdan iborat. Faraz qilaylik funksiyalar sinfini tuzish talab etilsin. interval chekli sondagi qismlarga ajratilgan bo‘lsin (elementlarga), kesmaning uchlari va kesmalar tutashgan nuqtalar tugunlar deyiladi. Har bir elementda funksiya ko‘phad ko‘rinishda beriladi. U element uchlaridagi ya’ni tugunlardagi qiymatlar bilan aniqlanadi. Agar funksiya uzluksiz bo‘lsa har bir tugunda qo‘shni elementlarda aniqlangan funksiya qiymatlari o‘zaro teng bo‘ladi. Natijada bo‘lakli-uzluksiz chiziqli funksiyalar oilasiga ega bo‘lamiz. Shunday qilib, chekli elementlar metodi funksiyani topish masalasini, uning chekli sondagi taqribiy qiymatlarni topishga olib keladi. Masalan izlanayotgan funksiya funksional tenglamadan topish kerak bo‘lsa yoki tegishli chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi differensial tenglamaning yechimi bo‘lsa bu metod uni algebraik tenglamalar sistemasiga olib keladi. Elementlar maksimal o‘lchovi kamayishi bilan tugunlar soni ortadi va tugunlardagi noma’lumlar soni ham ortadi. Hozirgi vaqtga kelib chekli elementlar metodi bilan masala yechishda taqribiy yechimning aniq yechimga yaqinlashishi masalasida ancha ish qilingan. Chiziqli masalalarda noma’lum funksiya va uning ustida operatsiya masalaning barcha munosabatlarida faqat birinchi darajada kirsa, CHEM yetarlicha matematik asoslangan. Bu yerda faqat chiziqli masalalar qaralib uni CHEM bilan yechganda chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi. CHEMning ba’zi xossalarini keltiramiz. 1. CHEM metodi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini paydo qilishda qulaylikka ega. Oddiy polinominal funksiyalar bilan taqribiy approksimatsiyalashda barcha zaruriy operatsiyalar alohida olingan elementda bajariladi. So‘ngra elementlar birlashtiriladi va talab etilgan algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz. Alohida elementdan ularning to‘la yig’indisiga o‘tish geometric va fizik murakkab masalalarda qulaydir. 2. Har bir alohida algebraik tenglama bu metod bilan olinsa, undagi noma’lumlar soni, noma’lumlarning umumiy soniga qaraganda juda kam bo‘ladi. Boshqacha so‘z bilan aytganda algebraik tenglamalar sistemasida juda ko‘p nol koeffitsiyentlar bo‘ladi, bu esa uni yechishni osonlashtiradi. 3. CHEM boshqa metodlar qatori kontinual masalani diskret masala bilan almashtiradi. CHEM da bu prosedura oddiy fizik ma’noga ega. Bu masala yechimini aniq tasavvur qilishga imkon beradi, ko‘pgina mumkin bo‘lgan xatodan xoli bo‘ladi, olingan natijani baholash mumkin. 4. Kontinual masaladan tashqari, diskret masalalar ham CHEM yordamida samarali yechilishi mumkin. CHEMga doir birinchi ish P.Kuranga tegishlidir. Keyinchalik bu metodga doir ko‘plab maqolalar va kitoblar chop etildi. CHEM ko‘plab kompyuter dasturlarida amalga oshirilgan, ular ko‘p qo‘llanilmoqda. 4.7-§. Diskret masala Diskret masalaga qaraymiz uning yechimi chekli sondagi parametrlar bilan aniq yechiladi. Uzunligi diametridan juda katta bo‘lgan silindrik sterjenni qaraymiz. Bu sterjenni uning o‘qi bilan mos qilishga imkon beradi. Bunday uchta sterjen o‘qida joylashgan va 1, 2 nuqtalarda o‘zaro tutashgan bo‘lsin. nuqtalarda mahkamlangan (2a-chizma). Ko‘rinib turibdiki sterjen o‘qlarida nuqtalar o‘qi bo‘ylab siljiydi. Kuchlar va ko‘chishlar musbat bo‘ladi agar o‘qi yo‘nalishida bo‘lsa. Masala nuqtalarning ko‘chishini topish va bo‘ylama kuchlarni topishdan iborat. CHEM ga binoan sterjenlar sistemasini elementlar deb olamiz, ularni tugunlarda tutashgan deb hisoblaymiz. Elementlar deb alohida sterjenlarni olamiz, tugunlar esa 1 va 2 nuqtalar bo‘ladi. 2a- chizmada elementlar qavs ichida ko‘rsatilgan. Bu sistema uchun elementni olamiz. element tugunlari (2b-chizma), unga taqsimlangan kuch va tugunlardagi ko‘chishlar tugunda deb olamiz, element uzunligi bo‘lsin. Masala elementda funksiyani topishga keladi. Elementning cheksiz kichik qismiga yuklanish va bo‘ylama kuch ta’sir qiladi (2c-chizma). ning muvozanat shartidan ushbuni olamiz: yoki (1) Guk qonuniga binoan elastic sterjen uchun: (2) bo‘ylama qattiqlik va u tajribadan topiladi. (2) ni (1) ga qo‘yib ga nisbatan differensial tenglama hosil qilamiz: (3) Bizning holimizda, diskret masala holida deb qabul qilamiz, sterjenlar sistemasiga faqat to‘plangan kuchlar ta’sir qiladi va tegishli ravishda 1 va 2 tugunlarda. U holda (3) ning yechimi quyidagicha bo‘ladi: (4) (4) ga asoslanib , lar ikkita parametr bilan aniq topiladi, ya’ni tugunlarning ko‘chishlari orqali bu esa masalani diskretlashtiradi. elementning tugunlariga ta’sir qiluvchi ichki kuchalrni qaraymiz. Chiziqli masala qaralgani uchun bu kuchlar lardan chiziqli bog’liq bo‘ladi. (5) Bu yerda ichki kuch, elementga tugunda ta’sir qilib tugundagi siljishdan paydo bo‘ladi. Bunda boshqa tugundagi siljish nolga teng. 3-chizmada da kuch tasvirlangan, unda (5) munosabatni matritsaviy ko‘rinishda tasvirlash mumkin. Buning uchun ustun va matritsani kiritamiz: (6) U holda (5) ni quyidagicha yozish mumkin: (7) Elastik prujina uchun kuch va ko‘chish orasidagi proporsionallik koeffitsiyentiga prujinaning qattiqlik koeffitsiyenti deyiladi. Xuddi shunga o‘xshash ga elementning qattiqlik koeffitsiyenti deyiladi. Endi umumiy elementdan aniq elementlarga o‘tamiz. 2-element uchun 1, 2 tugunlar uchun (4)-(7) bog’lanishlarning barchasi o‘rinli, unda deb olish kerak. nuqtalar qo‘zg’almas bo‘lgani uchun, 1-element holati 1-tugun ko‘chishi bilan, 3-element holati esa 2-tugun ko‘chishi bilan aniqlanadi. (4)ga binoan 1 va 3 elementlar uchun ushbuni yozamiz: (8) (8) da 1-element uchun nuqtada koordinata nolga teng, 3-element uchun 2- tugunda koordinata nolga teng. (5) munosabatlar 2- va 3-elementlar uchun ushbu ko‘rinishni oladi: (9) Endi har bir element uchun ma’lumotlat yetarli bo‘ldi. Navbatdagi qadam elementlarni qo‘shishdan iborat bunda quyidagi shartlarni hisobga olamiz: (10) bu yerda lar sistemaning 1, 2 tugunlaridagi ko‘chishlar. Bundan ko‘rinadiki birlashtirilgan elementlar yoki sistema butunicha ko‘chishlar orqali aniqlanadi, qaralayotgan masala diskretdir. Ichki kuchlar yig’indisi bo‘lsa, ular dan chiziqli bog’liq bo‘lishi kerak: ustunlar, matritsani kiritsak: (11) (7) ga o‘xshash matritsaviy munosabat quyidagicha bo‘ladi: (12) Bu yerda qo‘shni elementlar uchun tugunda paydo bo‘ladigan kuch tugundagi ko‘chish sababli paydo bo‘ladi. Bunda boshqa tugunda ko‘chish nolga teng bo‘ladi: (13) 3-chizmada da kuchlar uchun keltirilgan. Bunda 1 element cho‘zilgan, 2 element esa siqilgan. (13) da chunki 2- tugun 1-elementga tegishli emas, 1-tugun esa 3-elementga tegishli emas. (13) dan ko‘rinadiki sistemaning qattiqlik matritsasi alohida elementlar qattiqlik koeffitsiyentlari matritsalaridan tuzilgan. Biz qarayotgan masala uchun: va (13)ga asosan elementning muvozanat shartidan agar bo‘lsa, bu yerda Cho‘zilishda siqilishda. Natijada (4) va (8) ga binoan ushbuni hosil qilamiz: matritsa ushbu ko‘rinishga ega bo‘ladi: (14) 1, 2 tugunlarning muvozanatidan yoki Bu yerda o‘rniga (12) dan uning ifodasini keltirib qo‘yilsa, algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz, larga nisbatan: yoki (15) bu yerdan lar aniqlangan, larni topish mumkin bo‘ladi, bunda (4) va (8) dan foydalaniladi. Butun sistemaning qattiqlik matritsasi alohida olingan elementlar qattiqlik matritsalari yig’indisi sifatida topiladi va u algebraik tenglamalar sistemasining matritsasi hisoblanadi, ular tugunlardagi noma’lum ko‘chishlarga nisbatan olinadi. Alohida olingan element uchun aniq yechimning borligi, ular chekli sondagi parametrlardan bog’liq-masalani diskret qiladi. CHEM chiziqli masalalarni chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga olib keladi. (16) Bu yerda noma’lumlar, berilgan ozod hadlar, noma’lumlar oldidagi koeffitsiyentlar. (11) kabi lar kvadrat matritsani hosil qiladi. Agar larni kiritsak (16) (15) ko‘rinishga o‘tadi. Bir qarashda masala hal bo‘lgandek bo‘ladi. Ammo sistemaning tartibi juda katta. Matritsa ko‘rinishi hisoblashlardagi yaxlitlashlar yechimning aniqliligiga ta’sir qiladi. (16) da qanday matritsa bo‘lgani ma’qul? Agar matritsa diagonal bo‘lsa, ya’ni U holda (16) sistema ko‘rinishga keladi. Bu hol faqat fizik sistemada tugunlar bir-biri bilan bog’liq bo‘lmasa, amalda sistema mavjud bo‘lmasa. Biroq tushunarli bo‘ldiki matritsada ko‘proq nollar bo‘lsin, diagonalga yaqin bo‘lsin, boshqacha aytganda sistemaning har bir tenglamasida noma’lumlar kam bo‘lsin. Diagonalga yaqin bo‘lgan matritsalar odatda lenta ko‘rinishidagi matritsa deyiladi, bunda barcha nolmas elementlar ba’zi nollar ham diagonalga parallel bo‘lgan ikki to‘g’ri chiziq orasida joylashadi. Masalan: (17) belgi nolmad elementni bildiradi. Lentali matritsani lentaning kengligi xarakterlaydi Berilgan matritsada Diagonal matritsada Lentali tenglamalar sistemasini yechishda faqat lentaga tegishli koeffitsiyentlar qatnashadi. Agar matritsa to‘la nolmas bo‘lsa, bunday sistemani Gauss metodi yordamida yechish uchun ta amal bajarish kerak bo‘ladi. Agar matritsa lentali bo‘lsa va bo‘lsa amallar soni dan oshmaydi. Lentali matritsaga misol tariqasida yuqorida qaralgan beshta tugun va oltita elementni olamiz. (11) ga o‘xshash matritsa koeffitsiyentlarga ega bo‘ladi. ning ma’nosiga ko‘ra, ular faqat tugunda ko‘chish tugundagi ko‘chishdan hosil bo‘ladi. Tugunlarni belgilashga asosan bu yerda va uch diagonalli matritsa bo‘ladi. CHEM ni tadbiq etganda hosil bo‘lgan matritsa lentasining kengligi tugunlar qanday nomerlanishiga bog’liq bo‘ladi. Agar tugunlar 2d-chizmadagi kabi nomerlansa, u holda matritsa (17) ko‘rinish oladi. Umuman olganda elementlar bir nechta tugun olsa, u holda da kattalik shu elementdagi tugunlar nomerlari ayirmasining eng katta qiymatiga tengdir. 2d-chizmada tugunlar nomerlanishi chap tomondan olinsa o‘ng tomondan olinsa bo‘ladi. Ba’zi hollarda masalaning qo‘yilishi noqulay bo‘lishi mumkin, bunda CHEM ham yordam bera olmaydi va uni o‘zgartirish kerak bo‘ladi. Bunda hosil bo‘lgan algebraik tenglamalar sistemasida koeffitsiyentlar yoki o‘ng tomonning kichik o‘zgarishi yechimning katta o‘zgarishiga olib keladi. Bunday sistemalar yomon shartlangan sistemalar deyiladi. Yomon shartlanganlik nima ekanligini (15) sistema misolida ko‘ramiz: (18) To‘g’ri burchakli koordinatalar sistemasida to‘g’ri chiziq tenglamasi bo‘ladi, to‘g’ri chiziq va o‘qi musbat yo‘nalishi orasidagi burchak, to‘g’ri chiziqning o‘qidan ajratgan kesmasi. (18) tenglamalar ikkita to‘g’ri chiziqni beradi, (18) ning yechimi to‘g’ri chiziqlarning kesishish nuqtasidir. Bu yerda: Agar bo‘lsa to‘g’ri chiziqlar paralleldir, bu holda (18) sistema yechimga ega emas. Agar va lar bir-biridan kam farq qilsa u holda sistema to‘g’ri chiziqlar bir-biriga juda yaqin bo‘ladi, larni ozgina o‘zgarishi to‘g’ri chiziqlarning kesishishiga keskin ta’sir qiladi. 4.8-§. Kontinual masala 3-masalada bitta element holiga qaytamiz. berilgan bo‘lsa masala kontinual deyiladi. Soddalik uchun va indeksni tushirib qoldirsak, 3-masala (19) ko‘rinishga keladi. CHEM sxemasiga binoan (0;1) intervalni tugunlar yordamida elementlarga ajratamiz (5-chizma). (19) ning yechimini parametrlar soni chekli bo‘lgan funksiyalar sinfidan izlaymiz: (20) bu yerda ma’lum bo‘lgan funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalangan, bu yerda parametrlar bo‘ladi. lar barcha lar uchun bajarilishi kerak. Bundan tashqari (19) chegaraviy shart bajarilishi uchun (20) da deb olish kerak. Bunday bazis funksiyalarni ko‘plab olish mumkin. Ko‘rinib turibdiki larni tanlash hisoblash hajmi va natijani aniqligida muhim rol o‘ynaydi. CHEM da bunday funksiyalar sifatida limit funksiyalar olinadi. Ular chekli element sohasiga yaqin joyda noldan farqli, tashqarida esa nolga teng. Aynan mana shu narsa bu metodni muhim tomonidir. o‘zining fizik ma’nosiga ko‘ra uzluksiz bo‘lgani uchun larni bo‘lakli-chiziqli qilib tanlaymiz. Ya’ni ikkita elementda noldan farqli (5-chizma). Har bir funksiya da birga teng, boshqa barcha tugunlarda esa nolga teng. Bunda (20) dagi funksiyalar to‘plami elementlarda uzluksiz bo‘lgan chiziqli funksiyalardan va o‘zining tugundagi qiymatlari bilan aniqlanadigan funksiya bo‘ladi. Interval oxirlarida nolga teng. Har bir shunday funksiyani siniq chiziq ko‘rinishida ifodalash mumkin. (20) da larni topish masalasi qoldi. Buni har xil usulda topish mumkin, (19) ni taqribiy yechimi. (19) da bor, ammo (20) da uzilishga ega (tugunlarda), u holda quyidagi usuldan foydalanamiz. (19) ning qoldig’I bo‘lsin. Aniq yechimda va natijada (21) barcha bazis funksiyalari uchun o‘rinlidir. Biz taqribiy yechim qidirmoqdamiz (20) ko‘rinishda va uning uchun (21) ning (20) asosida bajarilishi bo‘lmaydi. (21) ning bajarilishini yumshatamiz, ya’ni u faqat lar uchun bajarilsin deb hisoblaymiz. Bunday usul Galyorkin usuli deyiladi. (21) da va sharti bilan bo‘laklab integrallashni bajaramiz, u holda (21) o‘rniga (22) Endi (22) ga kiradi va unga ni (20) dan (22) ga keltirib qo‘yish mumkin, natijada chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi, bu sistema larga nisbatan bo‘lib (16) ko‘rinishga egadir, uning koeffitsiyentlari bo‘lib erkin hadlari bo‘ladi. (23) Bu yerda bo‘lib matritsa simmetrikdir, bu Galyorkin metodining o‘ziga xos xususiyatidir. Soddalik uchun elementlar uzunligini bir xil deb olamiz (5-chizma) ga binoan bu funksiyaning og’ishi bo‘lib ga teng, agar bo‘lsa, ga teng, agar bo‘lsa. B u n d a n t a s h q a r i ko‘paytma faqat dagina noldan farqli, ya’ni va funksiyalar berilgan sohalar kesishganda. Aks holda Agar bo‘lsa Xuddi shunday agar bo‘lsa. Natijada matritsa bu masalada uch diagonally bo‘lar ekan: (24) (23)ga binoan integrallash faqat ikkita qo‘shni elementlarda bajariladi. Hosil bo‘lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi larni beradi va taqribiy yechimni (20) ko‘rinishda ifoda etadi. Bundan tashqari barcha funksiyalar uzunligi bo‘lgan har xil intervallarda noldan farqli, natijada ular bir-biridan keskin farq qiladi va ular asosida (23) yordamida tuzilgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi determinant noldan farqli bo‘ladi. Buning ustiga (24) matritsa lentali bo‘lib har bir tenglama uchtadan ortiq noma’lumga ega emas. Hosil bo‘lgan (20) taqribiy yechim siniq chiziq sifatida, yetarlicha katta larda masala yechimini yaxshi approksimatsiya qiladi. Shunday qilib kontinual masalada CHEM orqali diskret masalaga o‘tiladi, bu masala esa (20) asosida chiziqli algebraik tenglamalarga keltiriladi undan esa lar topiladi. CHEM algoritmi ikki va uch o‘lchovli masalalar uchun ham tadbiq etiladi, aynan shu masalalarda uning qulayligi yaqqol ko‘rinadi. IV-bob bo‘yicha xulosa CHEM da matritsalar bilan ish olib borilgani uchun, Koshi munosabatlari, Guk qonuni bular ham matritsaviy ko‘rinishda ifodalangan. Keltirilgan tashqi kuchlarni aniqlash amalga oshirilgan. Hajmiy kuch uchta qo‘shiluvchidan tashkil topgan holda topiladi. Global koordinatalarga o‘tish uchun, lokal koordinatalarda keltirilgan munosabatlarni global koordinatalarga o‘tkazish kerak. Bu yerda koordinata o‘qlarini burish ahamiyatga ega bo‘ladi. Global koordinatalar sistemasiga o‘tishda qattiqlik matritsasi ko‘rnishi berilgan. Muvozanat tenglamalari barcha tugunlar uchun keltirilgan, ya’ni ixtiyoriy tugunda barcha reaksiyalar yig’indisi nolga teng bo‘lishi kerak. Natijada ta noma’lumli ta tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi. Bu tenglamalar sistemasini yechib tugunlar ko‘chishlari vektorlarni hosil qilamiz, shundan keyin alohida elementlarga o‘tib ulardagi deformatsiya va ko‘chishlarni topish mumkin. Muhimi shundaki CHEM ni amalga oshirishda hisoblashlarning aniqligi va hisoblash vaqti masalasiga e’tibor berish kerak. Elementlar o‘lchamlari qancha kichik bo‘lsa hisoblash shuncha aniq bo‘ladi. Juda ko‘p elementlar olinganida natija noto‘g’ri bo‘lishi mumkin, hattoki dastlabki ma’lumotlar to‘g’ri kiritilgan va dastur to‘g’ri bo‘lsa ham. Ketma-ket hisoblashlardan olingan natijalar talab etilgan aniqlikdan kichik bo‘lsa, u holda hisoblash to‘g’ri bajarilgan deyish mumkin. Foydalanilgan adabiyotlar 1. Зенкевич О., Морчан К. Конечн ые элементы и аппроксимация , Мир , 1 986, 318 с. 2. Слчерлинд Л. Применение метода конечных элементов. Мир, М., 1979, 392 с. 3. Галлачер Р. Метод конечных элементов. Основы. –М. Мир. 1984. 4. Деклу Ж. Метод конечных элементов. –М.: Мир, 1976. 5. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. –М. Мир. 1975. 6. Марчук Г. И., Ачошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. – М.: Наука, 1981. -416 с. 7. Митчелл Э., Чэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. –М.: Мир, 1981.-504 с. 8. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. –М. Физматчиз, 1970.-512 с. 9. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. –М.: Мир, 1981.-304 с. 10. Стренч Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. –М.: Мир, 1977.- 349 с. 11. Шабров Н.Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двичателей. –Л.: Машиностроение, 1983.-212 с.

ELASTIKLIK NAZARIYASI MASALASINI ARALASH CHEKLI ELEMENTLAR METODI YORDAMIDA YECHISHNING ASOSIY MUNOSABATLARI MUNDARIJA KIRISH ………………………………………………............. 4 I-BOB. BIR O‘LCHOVLI MASALALARDA CHEM NI TAQBIQ ETISH…………………………………………………………... 9 1.1-§. Bir o‘lchovli issiqlik tarqalish masalasi…………………………. 9 1.2-§. CHEM ning asosiy g’oyasi………….………………………....... 10 1.3-§. Sohani diskretlashtirish………………………………………….. 11 1.4-§. Sohani elementlarga bo‘lish…………………………………....... 12 1.5-§. Tugunlarni no‘merlash. Simplex elementlar……………………. 13 1.6-§. Simplex elementlar: bir o‘lchovli elementlar………………….... 14 1.7-§. Ikki o‘lchovli simplex element………………………………...... 15 1.8-§. Uch o‘lchovli simplex element………………………………….. 17 I-bob bo‘yicha xulosa………………………………………….... 18 II-BOB. IKKI O‘LCHOVLI MASALALARDA CHEM NI TADBIQ ETISH…………………………………………………………... 19 2.1-§. Vektor kattaliklarni interpolyatsiyalash…………………………. 19 2.2-§. Lokal koordinatalar sistemasi…………………………………… 20 2.3-§. Alohida olingan elementni tekshirilayotgan sohaga kiritish.......... 21 2.4-§. Skalyar kattaliklar.......................................................................... 22 2.5-§. Vektor kattaliklar........................................................................... 23 2.6-§. CHEM yordamida masala yechish................................................ 24 2.7-§. Sterjenda issiqlik o‘tkazish masalasini takroriy yechish............... 30 II-bob bo‘yicha xulosa…………………………………………... 32 III-BOB. ELASTIKLIK NAZARIYASI MASALALARI UCHUN CHEM…………………………………………………...……… 33

3.1-§. Elastiklik nazariyasi masalalarini yechish usullari haqida mulohazalar……………………………………………………… 33 3.2-§. Maydon nazariyasi masalalari uchun CHEM…………………… 35 3.3-§. Matritsaviy munosabatlarni differensiallash…………………….. 38 3.4-§. Elementlar matritsasini tuzish…………………………………… 41 3.5-§. L-koordinatalar………………………………………………….. 45 3.6-§. CHEM ni kompyuterda amalga oshirish………………………... 48 3.7-§. Tenglamalar sistemasini yechish. Hisoblashlarning umumiy blok-sxemasi…………………………………………………….. 51 3.8-§. Galerkin metodi…………………………………………………. 54 3.9-§. Maydon nazariyasining ikki o‘lchamli masalasi………………... 56 3.10-§. Koshi masalasi…………………………………………………... 58 3.11-§. Birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi……………… 60 III-bob bo‘yicha xulosa………………………………………… 62 IV-BOB. CHEM NING MATRITSAVIY MUNOSABATLARI……… 63 4.1-§. Koshi formulasi va Guk qonunini matritsaviy ko‘rinishda tasvirlash………………………………………………………… 63 4.2-§. Elementning qattiqlik matritsasini aniqlash……………………... 65 4.3-§. Keltirilgan tashqi kuchlarni aniqlash……………………………. 68 4.4-§. Global koordinatalar sistemasiga o‘tish…………………………. 69 4.5-§. Chiziqli tenglamalar sistemasini shakllantirish…………………. 70 4.6-§. CHEM ni tadbiq etishning xususiyatlari………………………… 72 4.7-§. Diskret masala yechilishi haqida………………………………... 74 4.8-§. Kontinual masala 79 IV-bob bo‘yicha xulosa………………………………………… 82 ADABIYOTLAR RO‘YXATI.................................................... 83

Kirish Hisoblash mexanikasining ko‘pgina masalalarini analitik usulda yechib bo‘lmaydi. Shuning uchun ularni yechishga sonli usullar ishlatiladi xususan chekli elementlar metodi (CHEM). CHEM ning boshqa metodlardan afzalligi shundaki u universal hisoblanadi. Bu metod yordamida chegarasi murakkab geometrik shaklda va ixtiyoriy chegaraviy shartlarda ishlay oladi. Tekislikda uchburchak, fazoda tetraedr shaklidagi hisoblash to‘ri istalgan murakkab shakldagi jismni diskretlashtira oladi. Bu usulni kompyuterda amalga oshirish uchun ko‘p dasturlar ishlab chiqilgan. CHEM ni yutug’i bilan birga uning kamchiliklari ham bor. Asosiy kamchilik hosil bo‘lgan algebraik tenglamalar sistemasi juda katta tartibli bo‘ladi. Natijada matritsalar koeffitsiyentlari xotirada saqlash maxsus usul talab etadi va hosil bo‘lgan tenglamalar sistemasini yechishda ham maxsus yondashish kerak bo‘ladi. Ushbu dissertatsiyada CHEM ning ayrim nazariy asoslariga to‘xtalgan, ular sodda misollarda ko‘rsatilgan. Bugungi kunda CHEM muhandislik tahlilning ajralmas qismi bo‘lib qoldi. CHEM paketlari fanning barcha sohalarida ishlatiladi, bular qurilish konstruksiyalarining tahlili, qattiq, suyuq jismlar, hamda ularning o‘zaro ta’siri masalalarida. Bu metodning muhim xossasi shundaki metodlar yuqori aniqlik bilan tuziladi va ular ishonchli ishlashidadir. Metodning keng qo‘llanilishi bundan keyin ham uning tadbiqi yanada kengayishini bildiradi. CHEM ning tez rivojlanishi EHM ning paydo bo‘lishi bilan bog’liqdir. EHM si yordamida CHEM muhandislik ishlarida samarali qo‘llaniladi. CHEM nazariyasidan ko‘rinadiki uning ikkita xossasi muhimdir: samaraliligi va muhandislik analiziga tadbiq etilishi. Dastlab CHEM elastiklik nazariyasining va qurilish mexanikasining murakkab masalalarini yechishga bag’ishlangan edi, ma’lum bo‘ldiki u chekli ayirmalar metodidan ancha samarali ekan.

Bu metod sohaning geometrik murakkab chegaraga ega bo‘lgan holda ayniqsa yaxshi samara beradi. Matematik nuqtai nazardan qaraganda bu metod Rits, Galyorkin metodlarining umulashmasidir. Shuning uchun ham bu metod xususiy hosilali tenglamalarda ko‘p ishlatiladi. Rits metodida differensial tenglama bevosita yechilmaydi, buning o‘rniga dastlabki masala ekvivalent variatsion masalaga keltiriladi, uning yechimi esa ko‘rinishda berilgan basis funksiyalarining kombinatsiyasi ko‘rinishida izlanadi. noma’lum koeffitsiyentlar masalaga tegishli bo‘lgan variatsion prinsipdan izlanadi. CHEM da basis funksiyalar bo‘lakli-polinomial bo‘lib, tugun atrofidagina noldan farqli bo‘lib, sohaning qolgan qismida esa nolga teng bo‘ladi. Bu tugun atrofida , darajasi yuqori bo‘lmagan ko‘phadlardan tuziladi, shuning uchun ham barcha hisoblashlar sodda bo‘ladi. Faraz qilaylik yechilishi kerak bo‘lgan masala variatsion shaklda berilgan bo‘lsin: shunday funksiya topilsinki bu funksiyada potensial energiya funksionali minimum qiymat olsin. Minimallashtirishning zarurligi, funksiya uchun differensial tenglamaga keladi. Bu differensial tenglamani yechish uchun taqribiy usullarni qo‘llash kerak bo‘ladi. Rits, Galyorkin metodining g’oyasi shundan iboratki chekli sondagi bazis funksiyalari tanlab olinadi, kombinatsiyalar ichidan funksionalga minimum beradigani tanlab olinadi. Bu Rits approksimatsiyasidir. Noma’lum lar differensial tenglamalardan emas, ta algebraik tenglamalar sistemasidan topiladi, ularni yechish uchun esa EHM dan foydalaniladi. Bu metodni nazariy asoslash juda oson: minimallashtirish jarayoni funksiyaga eng yaqin bo‘lgan kombinatsiyani beradi. Shunday qilib bazis funksiyalarini, potensial energiyani minimallashtirish uchun qulay qilib tanlash kerak.

CHEM ning asosiy g’oyasi juda sodda. Ish sohani mayda bo‘laklarga bo‘lishdan boshlanadi. Ularning tuzilishi EHM tomonidan darhol topilishi kerak. Ular uchburchaklar yoki to‘rtburchaklar bo‘lishi mumkin. Shundan so‘ng har bir element ishida bazis funksiyasi-odatda u ko‘had bo‘ladi, uchinchi yoki to‘rtinchi darajali bo‘lishi mumkin. Chegaraviy shartlarni uchburchak yoki to‘rtburchak tomoni bo‘yicha olish qulaydir. Hisoblash aniqligi sohani kichik elementlarga ajratish orqali belgilanadi. EHM bunda ko‘proq ishlaydi ammo dastur bitta bo‘ladi. Asosiy masala noma’lum yechimni approksimatsiyalovchi bo‘lakli ko‘phadlar yordamida aniqligini tadqiqot qilishdan iborat. Matematik jihatdan xatoni baholash juda yuqori bo‘lishi kerak, yana bir matematik masala xatoning kamayishi tezligini aniqlashdan iborat (bu masalalar elementlar sonining oshishi bilan bog’liqdir). Masalaning fizik qo‘yilishi biror konstruksiyaga yuk qo‘yilishidan iboratdir. Fizik masalaning matematik modeli differensial tenglamalar sistemasiga olib keladi, bu esa masalaning matematik qo‘yilishidir. CHEM matematik masalani yechadi. CHEM sonli metod bo‘lgani uchun olingan natijaning aniqligi masalasi muhim hisoblanadi. Agar aniqlikka erishilmasa masalani qaytadan ishlashga to‘g’ri keladi, masalan parametrlarni aniqlashtirish (masalan elementlarni kichraytirish) kerak bo‘ladi, bu jarayon kerakli aniqlikka erishguncha davom ettiriladi. Muhandislik amaliyotida asosiy moment kerakli matematik modelni tanlashdadir. Matematik model shunday tanlanadiki u ishinchli va samarali bo‘lishi kerak. Umuman olganda eng to‘liq matematik model-uch o‘lchovli model bo‘lib nochiziqli hadlar hisobga olinishidir. Matematik modelning samaradorligi. Eng samarali model, yechimni kerakli aniqlikda beradi, uni topish uchun sarf harakat dastlabki berilganlardan ortiq emas.

O'xshashlar

BIR CHETI BIKR MAHKAMLANGAN IKKINCHISI SHARNIRLI TAYANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHLARI
QISQA MUDDATLI DINAMIK YUKLANISHLAR TA’SIRIDA QOVURG`ALI ELASTIK-PLASTIK YASSI QOBIQNINIG NOCHIZIQLI DEFORMATSIYALANISHI
ELASTIK-PLASTIK SIZISH MASALALARI UCHUN TO’G’RI VA TESKARI MASALALARNI SONLI MODELLASHTIRISH
GRUNTLAR MEXANIKASINING NOCHIZIQLI MASALASI
CHETLARI SHARNIRLI MAHKAMLANGAN UCH QATLAMLI QOVUSHOQ-ELASTIK PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHI