Superpozitsiya prinsipi. Sen-Venan masalasi chozilish; buralish. Sof egilish. Egilish. Tekis elastiklik.
![σij= λθδ ij+μ(ui,j+uj,i) (5.6)
ko‘rinishda bog‘langan. Bu yerda
θ= εii= ui,i= div ⃗u
.
Ba’zi hollarda Guk qonunini (5.5) ga teskari shaklda, ya’ni
εij larga nisbatan
yechilgan ko‘rinishda ishlatishga to‘g‘ri kelishi mumkin:
εij= 1
E [(1+v)σij− vδ ij∑ ]
, (5.7)
bu yerda:
∑ = σii= σ11+σ22+σ33 .
Yuqorida sanab o‘tilgan (5.1) - (5.3), (5.5), (5.7) formulalar elastiklik nazariyasi
statik masalalarining asosiy tenglamalari deb yuritiladi. Elastiklik nazariyasi
dinamik masalalarining asosiy tenglamalari deb (5.1) - (5.2), (5.4) (5.5) va (5.7)
tenglamalarga aytiladi.
§ 5.2. Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari
Chiziqli-elastik jismning holatini uning
V hajmining ichki nuqtalarida
aniqlovchi asosiy tenglamalarga uning
S sirtidagi shartlarni qo‘shish kerak. Bu
shartlar chegaraviy shartlar deyiladi va ular tashqi berilgan
Fi sirt kuchlari bilan
yoki jism sirti nuqtalarining berilgan
ui|S ko‘chishlari bilan aniqlanadi.
Chegaraviy shartlarning berilishiga qarab elastiklik nazariyasining uch asosiy
masalalarini bir-biridan farqlaydilar.
1 0
. Birinchi tur asosiy masala.
Birinchi tur asosiy masalada
fi massaviy va Fi sirt kuchlari jismning butun
sirtida berilganda jism egallagan
V hajmning ichki nuqtalarida kuchlanish tenzori
komponentalari
σij(xk) larni hamda V - hajmning ichki nuqtalari va jism S sirti
nuqtalarida ko‘chish vektorining
ui(xk) komponentalarini aniqlash talab etiladi.
Demak, bu holda chegaraviy shartlar:
σijnj|s= Fi
(5.8)
ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda
Fi - sirt kuchi ⃗F ning komponentalari; nj−S
sirtning qaralayotgan nuqtasida tashqi normali bo‘yicha yo‘nalgan birlik
⃗n vektori
komponentalari.
Bu holda izlanayotgan to‘qqiz noma’lumlar (oltita
σij kuchlanishlar va uchta
ui
ko‘chishlar) (5.3) yoki (5.4), (5.5) tenglamalarni, hamda (5.8) chegaraviy
shartlarni qanoatlantirishlari kerak.
2 0
. Ikkinchi tur asosiy masala.](/data/documents/2d109fac-90e2-4a1f-a4f7-ebac1b371872/page_2.png)
![Elastiklik nazariyasining teskari masalasida ui=ui(xk) ko‘chishlar yoki
σij= σij(xk)
kuchlanishlar uzluksiz funksiyalar sifatida beriladi. Asosiy (5.1) (5.2),
(5.3) yoki (5.4) hamda (5.5) tenglamalardan qolgan funksiyalar va berilgan
ui
ko‘chishlarni yoki kuchlanishlarni yuzaga keltiruvchi tashqi kuchlarni aniqlash
talab etiladi.
Teskari masalani yechish to‘g‘ri masalani yechishga nisbatan ancha oson
kechadi. Agar bunda ko‘chishlar berilgan bo‘lsa masala nisbatan juda oson
yechiladi.
σij kuchlanishlar berilgan holda ui ko‘chishlarni aniqlash uchun (5.1)
tenglamalarni integrallashga to‘g‘ri keladi va
σij kuchlanishlarni (4.2) uzviylik
tenglamalari qanoatlanadigan qilib berishga to‘g‘ri keladi. Lekin baribir bunday
masalani yechish to‘g‘ri masalani yechishga nisbatan oson.
Sodda masalalar.
O‘tgan IV va V boblar doirasida kuchlanish tenzorini aniqlash masalasi statik
aniqmas masala ekanligi ta’kidlangan edi. Boshqacha aytganda, berilgan tashqi
kuchlar bo‘yicha elastik jism nuqtalaridagi
σij kuchlanishlarni aniqlash uchun
σij,j+ρf i= 0.
(6.1)
muvozanat tenglamalari yetarli emas. Shuning uchun deformatsiyalarning (5.2)
uzviylik tenglamasini jalb qilishga to‘g‘ri keladi. Bundan keyin biz shu maqsadda
(5.2) tenglamalarni ularga deformatsiyalar o‘rniga kuchlanishlarni (5.7)
tenglamalar bo‘yicha qo‘yib almashtiramiz.
Endi
σij kuchlanishlar chiziqli bo‘lgan xususiy holni, ya’ni ular jism nuqtasi
koordinatalarining birinchi darajali funksiyalari bo‘lgan yoki o‘zgarmas bo‘lgan
holni qaraymiz. Deformatsiyalar va kuchlanishlar orasidagi (5.7) formulalar
asosida deformatsiyalarning ikkinchi tartibli hosilalari doimo kuchlanishlar
ikkinchi tartibli hosilalarining chiziqli funksiyalari bo‘lishligini ko‘rish qiyin
emas, masalan:
д2ε11
дx 22 =1
E [
д2σ11
дx 22 −v(
д2σ22
дx 22 +д2σ33
дx 32 )];
д2σ23
дx 1дx 3
=1
μ
д2σ23
дx 1дx 3
va h.k.
Biz qarayotgan holda hamma
σij kuchlanishlar xi koordinatalarning chiziqli
funksiyalari bo‘lganliklari uchun, deformatsialarning hamma ikkinchi tartibli
hosilalari nolga aylanadi. Demak, (5.97) ning hamma shartlari bu holda aynan
qanoatlantiriladi. Faqat (6.1) muvozanat tenglamalarini va jism sirtida
pnj= σijnj
(6.2)](/data/documents/2d109fac-90e2-4a1f-a4f7-ebac1b371872/page_4.png)
![fi= fi
'+ fi
''massaviy kuchlar ta’siri ostida bo‘lganidagi masalaning yechimini aniqlaydi.
Yuqoridagi metodlarni amaliy masalalarni yechishda qo‘llashga doir
masalalarni quyida va keyinga boblarda keltiramiz.
§ 6.4. Jismning har tomonlama tekis siqilishi.
Shakli ixtiyoriy va ichki bo‘shliqlari bo‘lmagan jism sirtiga tekis
p bosim
qo‘yilgan bo‘lsin, massaviy kuchlar esa bo‘lmasin. Bu holda jism har tomonlama
siqiladi. Shuning uchun jismning hamma nuqtalari bir xil kuchlanganlik holatida
bo‘ladi va bu kuchlanganlik holati
σij=− pδ ij sharsimon tenzor bilan aniqlanadi,
ya’ni
σ11= σ22= σ33=− p;
σ12= σ23= σ31= 0,
(6.6)
deb faraz qilish mumkin. Haqiqatan ham, (5.97) Beltrami tenglamalari va (6.1)
muvozanat tenglama-larini (6.6) kuchlanishlar aynan qanoatlantiradi. Chegaraviy
(5.8) shartlar esa
σ11n1=− pn 1;σ22n2=− pn 2; σ33n3=− pn 3.
(6.7)
ko‘rinishni oladi va masala shartiga mos keladi. Demak, jismning berilgan
yuklanishida (6.6) yechim aniq yechimdan iborat bo‘ladi.
Endi
εij= 1
E[(1+v)σij−vδ ij∑ ]
(6.8)
formulaga asoslanib
εij larni aniqlaymiz
ε11= 1
E[(1+v)σ11−v⋅∑ ]= 1
E[−(1+v)p+3pv ]=−1−2v
E p;
xuddi shunday
ε22= ε33=−1− 2v
E p;
ε12=ε23=ε31= o.
(6.8)
Faraz qilaylik jismning koordinatalar boshi bilan ustma-ust tushuvchi (agar
boshqa nuqta qaraladigan bo‘lsa, umumiylikni kamaytirmasdan, koordinat
boshini shu nuqtaga ko‘chirish mumkin) nuqtasi bikr ko‘chishlarga ega
bo‘lmasin. U holda bu nuqta uchun](/data/documents/2d109fac-90e2-4a1f-a4f7-ebac1b371872/page_8.png)
![Brusning yuqori uchi shunday mahkamlangan bo‘lsinki, bunda uchning og‘irlik
markazi bilan ustma-ust tushuvchi M 0(0,0 ,ℓ) nuqtasi atrofining ko‘chishlari va
burilishi nolga teng, ya’ni bu nuqta atrofi ko‘chmaydi va burilmaydi deb
hisoblaymiz. U holda
x1= x2= 0,x3= ℓ bo‘lganda
ui=0
va ui,j=0. (6.25)
Koshining differensial munosabatlari va (6.10) formulalarga asosan integrallash
boshlang‘ich nuqtasini
M 0(0,0 ,ℓ) nuqtada deb olib,
u1,1 =u2,2 =−v
E ρgx 3; u3,3= ρg
E x3;
u1,2 =0;u1,3=−v
E ρgx 1; u2,1 =0;
(6.26)
u2,3=− v
E ρgx 2; u3,1 = v
E ρgx 1; u3,2 = v
E ρgx 2.
ifodalarga ega bo‘lamiz. Bu ifodalar asosida (6.13) formulalarda integrallashni
M 0(0,0 ,ℓ)
nuqtadan boshlab bajarib M (xk) ixtiyoriy nuqta ko‘chishlariga ega
bo‘lamiz:
u1=− vρg
E x1x3; u2=− vρg
E x2x3;
u3= ρg
2E [x32+v(x12+x22)−ℓ2];
(6.27)
oxirgi formuladan
x1= x2=0 bo‘lganda,
u3=− ρg
2E (ℓ2− x32),
(6.28)
ya’ni
x3 o‘qining nuqtalari faqat vertikal ko‘chishlarga ega.](/data/documents/2d109fac-90e2-4a1f-a4f7-ebac1b371872/page_16.png)
![Ixtiyoriy M (xk) nuqta radial yo‘nalishda undan x3 o‘qigacha bo‘lgan r
masofaga proporsional ravishda ko‘chadi, ammo aylanma
θ yo‘nalishida
ko‘chmaydi, chunki (6.5-chizma)
ur=u1cos α+u2sin α=−vρg
E rx 3,
uθ=u2cos α−u1sin α=0.
(6.29)
Bu yerdan shunday xulosa chiqarish mumkin: "deformatsiyagacha
x3 o‘qiga
parallel bo‘lgan "tola" (nuqtalarning geometrik o‘rni), deformatsiadan keyin bu
o‘qqa
r masofaga proporsional ravishda og‘adi. Deformatsiyadan keyin
ko‘ndalang kesimlar qiyshayib aylanish paraboloidi sirti shaklini oladi. Masalan,
x3=a
kesimning nuqtalari deformatsiadan keyin quyidagi paraboloid sirti
nuqtalarining koordinataga ega bo‘ladi:
x31= a+u3= a= ρg
2E [v(x12+x22)− (ℓ2− a2)].
(6.30)
Bu sirt brusning hamma bo‘ylama tolalariga perpendikulyar bo‘ladi. Bu tolalar
deformatsiadan keyin
x3 o‘qi ga og‘adi. Ushbu faktor burchak deformatsialari
ε12,ε13
va ε23 larning bo‘lmasligiga mos keladi. Keltirilgan xulosalar (6.6-
chizmada) sxematik tarzda tasvirlangan. Chizmada shtrix chiziqlar bilan
brusning deformatsiyadan keyingi shakli tasvirlangan.
x
2 x
2
M M
v
x
3 h x
1
c
b
a) b)
6.6-chizma o](/data/documents/2d109fac-90e2-4a1f-a4f7-ebac1b371872/page_17.png)
![uchun uning yechimi 6.5- va 6.6-§ larda keltirilgan masalalar yechimlarining
yig‘indisiga teng bo‘ladi. Demak, superpozitsiya metodiga ko‘ra masalaning
quyidagi yechimini olamiz:
1 0
. ε11=ε22=−v
E (σ+ρgx 3); ε33=1
E (σ+ρgx 3);
ε12=ε23=ε31=0 (6.31)
2 0
.
u1=− v
E x1(ρgx 3); u2=− v
E x2(σ+ρgx 3);
u3=− 1
E {σx 3+ ρg
2 [x32+v(x12+x22)− ℓ2]}. (6.32)
Bunda kuchlanishlar uchun quyidagi qiymatlar qabul qilinadi:
σ11= σ22= σ12= σ23= σ31= 0,
σ33= σ+ρgx 3.
§ 6.8. O‘zgarmas kesimli to‘g‘ri brusning sof egilishi.
Koordinat sistemasining boshini brus chap uchining og‘irlik markaziga
qo‘yamiz. Brusning o‘qi bo‘ylab
x3 o‘qini yo‘naltiramiz, x1 va x2 o‘qlarini esa
ko‘ndalang kesimning bosh o‘qlari bo‘ylab yo‘naltiramiz (6.6-chizma).
Brusning uchlariga miqdorlari teng va qarama-qarshi yo‘nalgan
M momentlar
x20x3
tekisligida ta’sir qiladi.
Materiallar qarshiligi kursidan ma’lumki, brusning bunday yuklanishi sof egilish
deyiladi va brusning ixriyoriy
K (xk) neqtasidagi kuchlanish tenzorining σij
komponentalari](/data/documents/2d109fac-90e2-4a1f-a4f7-ebac1b371872/page_19.png)
![ga teng. Bu yerda Ix1 - brus ko‘ndalang kesimining x1 bosh o‘qiga inersiya
momenti. (6.36) dan:
1
ρ
= M
EI x1
. (6.37)
Endi (6.33) ni (6.8) ga qo‘yib,
ε11= ε22=− v
E σ33=− v
ρ x2,
ε33= 1
E σ33= 1
ρ x2, ε12= ε23= ε31= 0.
(6.38)
Faraz qilaylik
О (о,о,о) nuqtaning atrofi bikr ko‘chishlarga ega bo‘lmasin. U
holda, xuddi yuqoridagi kabi, ixtiyoriy
К (хк) nuqtaning ko‘chishlari quyidagi
tengliklar bilan aniqlanadi:
u1=−v
ρx1x2,u2=− 1
2ρ[x3
2−v(x1
2−x2
2)],u3=1
ρx2x3.
(6.39)
Brus o‘qi ustidagi nuqtalar uchun
(x1= x2= 0)
u1=0,u3=0,u2=− x32
2ρ=− M
2EI x1
x32.
(6.40)
Oxirgi tenglik brus egilgan o‘qining tenglamasidan iboratdir (elastik chiziq deb
ham yuritiladi).
Brusning biror
х3=а kesimini qaraymiz. Deformatsiadan keyin bu kesim
nuqtalari
х31= а+а⋅ε33= а(1+
х2
ρ )
(6.41)
tekislikda joylashadi, ya’ni ko‘ndalang kesim sof egilishda tekisligicha qoladi va
uning
х3 o‘qiga og‘ish burchagining tangensi
tg ϑ=
dx 2
dx 3
1= ρ
a= E
Ma Jx1,
(6.42)
chunki (6.41) ga ko‘ra
dx 3
1= a⋅1
ρ⋅dx 2
Elastik (6.40) chiziqning
х3=а bo‘lgandagi burchak koeffitsienti
tg α=
du 2
dx 3
|x3=a=− μa/(EI x1).
(6.43)](/data/documents/2d109fac-90e2-4a1f-a4f7-ebac1b371872/page_21.png)
![(6.42) va (6.43) lardantg α⋅tg ϑ=− 1.
Bundan elastik chiziq deformatsiadan keyingi ko‘ndalang kesimga perpendikular
ekanligi ko‘rinadi. Boshqacha aytganda sof egilishda brusning ko‘ndalang
kesimlari elastik chiziqqa perpendikulyar tekis kesimlarga o‘tadi.
Egilishgacha brusning
х3=а ko‘ndalang kesimida b va h tomonlari х1 va х2
o‘qlariga parallel bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak ajratilgan deb tasavvur qilamiz (6.6-
chizma). Egilishdan keyin, bu to‘g‘ri to‘rtburchak
х1=± b
2 , tomonlari, to‘g‘ri
chiziqligicha qolganlari holda
x11=± b
2+u1=± b
2 (1−
vx 2
ρ )
bo‘lib, 6.6-chizmada ko‘rsatilgandek buriladi. To‘g‘ri to‘rtburchakning qolgan
ikkita
х2=± h
2 tomonlari parabola yoylariga aylanadi:
x21=± h
2+u2=± h
2− 1
2ρ [a2− v(x12− h2
4 )].
Doiraviy prizmatik brusning buralishi .
Faraz qilaylik , doiraviy prizmatik brusning chetki ko ‘ ndalang kesimlarida
momentlarining qiymatlari teng ishoralari ega qarama - qarshi bo ‘ lgan juft kuchlar
ta ’ sir etsinlar . Bu holda brus buralib deformatsialanadi. Brusning yon sirti sirt
kuchlaridan xoli
(Fi=0) va massaviy kuchlar yo‘q (fi=0) . Aniqlik uchun x3 o‘qini
brusning o‘qi bo‘ylab yo‘naltiramiz (6.7-chizma).
Materiallar qarshiligi kursida masalaning elementlar yechimini olish uchun
quyidagi farazlar kiritiladi:
1) Brusning ko‘ndalang kesimlari deformatsia jarayonida tekisligicha
qoladilar;
2) Ko‘ndalang kesimlar orasidagi deformatsiagacha bo‘lgan masofalar
o‘zgarmasdan qoladi;
3) Ko‘ndalang kesimlar deformatsia natijasida bir-birlariga nisbatan buriladilar
va ularning radiuslari o‘zgarmaydilar.
Agar shu farazlarni to‘g‘ri deb hisoblasak, brusning biror ko‘ndalang kesimi
ixtiyoriy nuqtasining ko‘chish vektori komponentalari
u1=− τx2x3, u2=τx1x3, u3= 0.
(6.44)
formulalar bilan aniqlanadi. Bu yerda-
τ brusning uzunlik
Birligidagi o‘zgarmas buralish burchagi.
x
2
x
2 K(x
k ) -M
M M
x
1 x
3
- u
1
- u
2 x
1
6.7-chizma.](/data/documents/2d109fac-90e2-4a1f-a4f7-ebac1b371872/page_22.png)
![Tekis deformatsiya haqidagi masalaning asosiy tenglamalarini umumlashgan tekis
kuchlangan holat haqidagi masalaning asosiy tenglamalari bilan solishtirish
ko‘rsatadiki, bu ikki masala matematik jihatdan bir xildir. Birinchi masala asosiy
tenglamalarida ishtirok etuvchi ui va σij(i,j=1,2 ) komponentalarni ularning (7.31)
formulalar bilan aniqlanuvchi o‘rta qiymatlari bilan almashtirib hamda
λ - Lame
koeffitsientini (9.26) formula bilan aniqlanuvchi
λ¿ o‘zgarmas bilan almashtirib
ikkinchi masalaning asosiy tenglamalarini olamiz. Ushbu mohiyati har xil bo‘lgan
ikki masala bitta bigarmonik chegaraviy masalaga keltiriladiki, u elastiklik
nazariyasining tekis masalasi deyiladi.
Yuqoridagi ikki masala uchun Guk qonuni munosabatlarini yana bir marta
yozib taqqoslash ishini amalga oshiramiz.
Tekis kuchlangan holat uchun:
∑ = σ11 + σ22 ;ε12 = 1+v
E σ12 ;
ε11 = 1
E (σ11− vσ 22 );ε22 = 1
E (σ22 − vσ 11 ).
(7.38)
Tekis deformatsia holati uchun:
∑ = σ11+σ22+σ33= (1+v)(σ11+σ22);
ε12= 1+v'
E ' σ12 ; ε11= 1
E '(σ11− v'σ22);
ε22= 1
E '
(σ22− v'σ11),
(7.39)
bu yerda
E'= E
1−v2, v'= v
1−v= v¿
1−2v; v¿= v
1+v.
(7.40)
Guk qonuni formulalarining tekis kuchlangan holat uchun (9.38) ifodasi va
tekis deformatsia uchun (9.40) ifodalarini mos ravishda quyidagi ko‘rinishlarga
keltirish mumkin:
ε11= 1
2μ [(1− v¿)σ11− v¿σ22],
ε12= 1
2μ σ12 ,ε22= 1
2μ [(1− v¿)σ22− v¿σ11].
(7.41)
va
ε11= 1
2μ[(1− v)σ11− vσ 22],
ε12= 1
2μ
σ12 ,ε22= 1
2μ[(1−v)σ22−vσ 11].
(7.42)
Paragrafning oxirida
L konturda tashqi kuchlar emas, balki ko‘chishlar berilganda
tekis masala asosiy tenglamalarini keltiramiz. Bu holda chegaraviy shartlar
quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
ui¿|L= ui(s)(i= 1,2 ).
(7.43)](/data/documents/2d109fac-90e2-4a1f-a4f7-ebac1b371872/page_32.png)
. Superpozitsiya prinsipi. Sen-Venan masalasi: chozilish; buralish. Sof egilish. Egilish. Tekis elastiklik . Eyri kuchlanish funksiyasi Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari O‘tgan boblarda elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari chiqarildi. Bu tenglamalar yopiq sistemani tashkil etadi va jismga ta’sir etgan tashqi kuchlarni hisobga olgan holda uning kuchlangan-deformatsialangan holatini aniqlashga imkon beradi. Bu tenglamalarni uch turga bo‘ladilar: geometrik, statik (dinamik) va fizik tenglamalar. 1 0 . Geometrik tenglamalar. Elastik jismning deformatsialangan holati deformatsia tenzori εij= εij(xk) komponentalari, yoki ui= ui(xk) ko‘chishlar bilan to‘lqin aniqlanadi. Deformatsia tenzori komponentalari va ko‘chishlar o‘zaro Koshining differensial munosabatlari bilan bog‘langan: εij= 1 2(ui,j+uj,i) (5.1) hamda Gen-Venanning differensial munosabatlari bilan o‘zaro bog‘langan: εik,jℓ+εjℓ,ik− εiℓ,jk− εjk,iℓ= 0. (5.2) Ma’lumki, bu munosabatlar deformatsialarning uzviylik tenglamasi deb ham yuritiladi. 2 0 . Statik (dinamik) tenglamalar. Elastik jismning kuchlanganlik holati kuchlanish tenzorining σij= σij(xk) oltita komponentasi bilan to‘liq aniqlanadi. Ushbu komponentalar uchta muvozanat differensial tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak: σij,j+ρ fi= 0 . (5.3) Agar jism harakatda bo‘lsa, simmetrik kuchlanish tenzorining olti komponentasi uchta harakat differensial tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak: σij,j+ ρf i= ρд2ui дt 2 . (5.4) Ushbu (5.3) - tenglamalar statik, (5.4) - tenglamalar dinamik tenglamalar deb yuritiladi. 3 0 . Fizik tenglamalar. Kuchlanish tenzorining σij komponentalari deformatsiya tenzorining εij komponentalari bilan Guk qonuni vositasida bog‘langan σij= λθδ ij+2με ij (5.5) yoki ui ko‘chish komponentalari bilan
σij= λθδ ij+μ(ui,j+uj,i) (5.6) ko‘rinishda bog‘langan. Bu yerda θ= εii= ui,i= div ⃗u . Ba’zi hollarda Guk qonunini (5.5) ga teskari shaklda, ya’ni εij larga nisbatan yechilgan ko‘rinishda ishlatishga to‘g‘ri kelishi mumkin: εij= 1 E [(1+v)σij− vδ ij∑ ] , (5.7) bu yerda: ∑ = σii= σ11+σ22+σ33 . Yuqorida sanab o‘tilgan (5.1) - (5.3), (5.5), (5.7) formulalar elastiklik nazariyasi statik masalalarining asosiy tenglamalari deb yuritiladi. Elastiklik nazariyasi dinamik masalalarining asosiy tenglamalari deb (5.1) - (5.2), (5.4) (5.5) va (5.7) tenglamalarga aytiladi. § 5.2. Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari Chiziqli-elastik jismning holatini uning V hajmining ichki nuqtalarida aniqlovchi asosiy tenglamalarga uning S sirtidagi shartlarni qo‘shish kerak. Bu shartlar chegaraviy shartlar deyiladi va ular tashqi berilgan Fi sirt kuchlari bilan yoki jism sirti nuqtalarining berilgan ui|S ko‘chishlari bilan aniqlanadi. Chegaraviy shartlarning berilishiga qarab elastiklik nazariyasining uch asosiy masalalarini bir-biridan farqlaydilar. 1 0 . Birinchi tur asosiy masala. Birinchi tur asosiy masalada fi massaviy va Fi sirt kuchlari jismning butun sirtida berilganda jism egallagan V hajmning ichki nuqtalarida kuchlanish tenzori komponentalari σij(xk) larni hamda V - hajmning ichki nuqtalari va jism S sirti nuqtalarida ko‘chish vektorining ui(xk) komponentalarini aniqlash talab etiladi. Demak, bu holda chegaraviy shartlar: σijnj|s= Fi (5.8) ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda Fi - sirt kuchi ⃗F ning komponentalari; nj−S sirtning qaralayotgan nuqtasida tashqi normali bo‘yicha yo‘nalgan birlik ⃗n vektori komponentalari. Bu holda izlanayotgan to‘qqiz noma’lumlar (oltita σij kuchlanishlar va uchta ui ko‘chishlar) (5.3) yoki (5.4), (5.5) tenglamalarni, hamda (5.8) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak. 2 0 . Ikkinchi tur asosiy masala.
Ikkinchi tur asosiy masalada fi massaviy kuchlar va jismning S sirtida ui(xk)|s ko‘chishlar ma’lum bo‘lganda, jism egallangan V hajm ichidagi nuqtalarda ui(xk) ko‘chishlarni va kuchlanish tenzori komponentalari σij(xk) larni aniqlash talab etiladi. Demak, bu holda chegaraviy shartlar ui= ui|s (5.9) ko‘rinishida bo‘ladi. Izlanuvchi ui(xk) va σij(xk) funksiyalar (5.3) yoki (5.4), (5.5) hamda (5.9) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak. 3 0 . Uchinchi tur asosiy masala. Chegaraviy shartlar aralash xarakterga ega bo‘lishlari mumkin. Birinchi tur asosiy masalada jismning butun sirtida kuchlanishlar, ikkinchi tur asosiy masalada jismning butun sirtida ko‘chishlar beriladi. Shunday masalalar ham uchrashi mumkinki. Bunda jism sirtining ma’lum qismida kuchlanishlar, qolgan qismida esa ko‘chishlar berilishi mumkin. bunday holda masala aralash masala deyiladi. Faraz qilaylik, jism S sirtining Sσ qismida kuchlanishlar, Su qismida esa ko‘chishlar berilgan bo‘lsin. Tabiiyki, s= sσ+ su . Uchinchi tur asosiy masalada jism sirtining Sσ qismida berilgan tashqi sirt kuchlari - Fi, va qolgan su qismida berilgan ui(xk)|su ko‘chishlar, hamda umumiy holda, berilgan fi massaviy kuchlar bo‘yicha jism egallagan V sohaning ichki nuqtalarida ui(xj) ko‘chishlarni hamda σij(xj) kuchlanishlarni aniqlash talab etiladi. Izlanayotgan to‘qqiz noma’lum funksiyalar bu holda (5.3) yoki (5.4), (5.5) tenglamalarni hamda σijnj|Sσ= F i ui|Su= ui (5.10) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak. Yuqoridagi uch asosiy masaladan tashqari, elastiklik nazariyasining to‘g‘ri va teskari masalalarini ham farqlaydilar. Elastiklik nazariyasining to‘g‘ri masalasida yuqorida keltirilgan uch asosiy masaladan birini tashqi kuchlar berilgan holda yechish, ya’ni jismning kuchlangan - deformatsialangan holatini aniqlovchi ui(xk) va σij(xk) funksialarni jism egallagan V sohaning ichki nuqtalari uchun aniqlash talab etiladi. Ammo ta’kidlash lozimki, elastiklik nazariyasining to‘g‘ri masalasini yechish juda katta matematik qiyinchiliklarga olib keladi.
Elastiklik nazariyasining teskari masalasida ui=ui(xk) ko‘chishlar yoki σij= σij(xk) kuchlanishlar uzluksiz funksiyalar sifatida beriladi. Asosiy (5.1) (5.2), (5.3) yoki (5.4) hamda (5.5) tenglamalardan qolgan funksiyalar va berilgan ui ko‘chishlarni yoki kuchlanishlarni yuzaga keltiruvchi tashqi kuchlarni aniqlash talab etiladi. Teskari masalani yechish to‘g‘ri masalani yechishga nisbatan ancha oson kechadi. Agar bunda ko‘chishlar berilgan bo‘lsa masala nisbatan juda oson yechiladi. σij kuchlanishlar berilgan holda ui ko‘chishlarni aniqlash uchun (5.1) tenglamalarni integrallashga to‘g‘ri keladi va σij kuchlanishlarni (4.2) uzviylik tenglamalari qanoatlanadigan qilib berishga to‘g‘ri keladi. Lekin baribir bunday masalani yechish to‘g‘ri masalani yechishga nisbatan oson. Sodda masalalar. O‘tgan IV va V boblar doirasida kuchlanish tenzorini aniqlash masalasi statik aniqmas masala ekanligi ta’kidlangan edi. Boshqacha aytganda, berilgan tashqi kuchlar bo‘yicha elastik jism nuqtalaridagi σij kuchlanishlarni aniqlash uchun σij,j+ρf i= 0. (6.1) muvozanat tenglamalari yetarli emas. Shuning uchun deformatsiyalarning (5.2) uzviylik tenglamasini jalb qilishga to‘g‘ri keladi. Bundan keyin biz shu maqsadda (5.2) tenglamalarni ularga deformatsiyalar o‘rniga kuchlanishlarni (5.7) tenglamalar bo‘yicha qo‘yib almashtiramiz. Endi σij kuchlanishlar chiziqli bo‘lgan xususiy holni, ya’ni ular jism nuqtasi koordinatalarining birinchi darajali funksiyalari bo‘lgan yoki o‘zgarmas bo‘lgan holni qaraymiz. Deformatsiyalar va kuchlanishlar orasidagi (5.7) formulalar asosida deformatsiyalarning ikkinchi tartibli hosilalari doimo kuchlanishlar ikkinchi tartibli hosilalarining chiziqli funksiyalari bo‘lishligini ko‘rish qiyin emas, masalan: д2ε11 дx 22 =1 E [ д2σ11 дx 22 −v( д2σ22 дx 22 +д2σ33 дx 32 )]; д2σ23 дx 1дx 3 =1 μ д2σ23 дx 1дx 3 va h.k. Biz qarayotgan holda hamma σij kuchlanishlar xi koordinatalarning chiziqli funksiyalari bo‘lganliklari uchun, deformatsialarning hamma ikkinchi tartibli hosilalari nolga aylanadi. Demak, (5.97) ning hamma shartlari bu holda aynan qanoatlantiriladi. Faqat (6.1) muvozanat tenglamalarini va jism sirtida pnj= σijnj (6.2)
shartlarnigina qanoatlantirish qoladi. Bu yerda pnj normali ⃗n bo‘lgan maydonchadagi kuchlanish vektori (II bob) komponentalari; nj - shu normalning yo‘naltiruvchi kosinuslari. Qaralgan turdagi masalalar elastiklik nazariyasining sodda masalalari deb ataladi. Ushbu bob doirasida biz shunday masalalardan bir nechtasi bilan tanishamiz. § 6.2. Sen-Venan prinsipi. Uzun prizmatik bruslarning egilishi va buralishi haqidagi tadqiqotlarida Sen- Venan 1855-yilda o‘zining mashhur prinsipini e’lon qildi: “ Prizmaning uchlarida kuchlarning qo‘yilish va taqsimot usulining uning qolgan qismlarida vujudga keluvchi effektlarga ta’siri bo‘lmaydi, ya’ni qo‘yilgan kuchlarni har doim xuddi o‘zlaridek bosh moment va teng ta’sir etuvchisiga ega bo‘lgan statik ekvivalent kuchlar bilan almashtirish mumkin. ” Bunday prinsipning paydo bo‘lishiga quyidagi muammo sabab o‘lgan. Elastiklik nazariyasining to‘g‘ri masalasini yechishda konkret chegaraviy shartlarni qanoatlantirish zaruriyati munosabati bilan katta matematik qiyinchiliklar yuzaga keladi. Shu bilan birga, fizik xarakterdagi mulohazalardan amalda jism s sirtining sirt kuchlari taqsimoti berilgan deb hisoblanuvchi ba’zi si qismlarida sirt kuchlarining aniq taqsimotini amalga oshirish mumkin bo‘lmaydi. Juda ko‘p masalalarda sirt kuchlari faqat umumiy holdagina, yoki bosh vektor va bosh momentlar sifatidagina ma’lum, sirt kuchlarining taqsimot qonuni esa faqat taqriban ma’lum yoki umuman ma’lum emas. Shunday qilib, elastiklik nazariyasi chegaraviy masalalarini yechishda matematik qiyinchiliklardan tashqari, chegaraviy shartlarni aniq ifodalash (formulirovka) muammosi ham paydo bo‘ladi. Bu qiyinchiliklar yuqoridagi Sen-Venan prinsipi asosida ancha kamayadi. Sen-Venan prinsipini boshqacharoq qilib quyidagicha ifodalash foydali: “Agar jism sirtining uncha katta bo‘lmagan qismiga bosh vektori va bosh momenti nolga teng kuchlar sistemasi qo‘yilgan bo‘lsa, u holda bunday kuchlar sistemasi, kuchlar qo‘yilgan qismdan uzoqlashib borish bilan juda tez kamayuvchi mahalliy (lokal) kuchlangan-deformatsialangan holatni vujudga keltiriladi”. Xuddi shu prinsip Sen-Veanandan o‘ttiz yil keyin 1885-yilda Bussinesk tomonidan ham taklif etilgan. Bussinesk o‘z prinsipini quyidagicha ifodalagan: “Elastik jismga qo‘yilgan muvozanatlashgan tashqi kuchlar sistemasi, sistemaning kuchlari qo‘yilgan nuqtalar biror sferaning ichida yotgan holda, sferadan hisobga olmaslik mumkin bo‘lgan, lekin sfera radiusiga nisbatan yetarli darajada katta masofalardagina, deformatsiyalarni yuzaga keltiradi”. Sen-Venan prinsipini isbotlash uchun Bussinesk, to‘plangan kuchlar tekis chegarasiga perpendikulyar yo‘nalishda qo‘yilgan yarim cheksiz jismni qaragan. Sen-Venanning o‘zi esa bu prinsipni tasdiqlovchi o‘zining kauchukdan yasalgan