MAVZU : ELASTIKLIK NAZARIYASINING SODDA MASALALARI REJA: 1. Sodda masalalar. 2. Sen-Venan prinsipi. 3. Elastik masalalarni yechish metodlari. 4. Jismning har tomonlama tekis siqilishi. 5. Prizmatik brusning o‘qi bo‘ylab cho‘zilishi. 6. Prizmatik brusning o‘z og‘irligi ta’sirida cho‘zilishi. 7. Prizmatik brusning o‘z og‘irligi va o‘qi bo‘ylab qo‘yilgan kuch ta’sirida cho‘zilishi.

1. Sodda masalalar. Statik aniqmas masalalarda, berilgan tashqi kuchlar bo‘yicha elastik jism nuqtalaridagi kuchlanishlarni aniqlash uchun (1) muvozanat tenglamalari yetarli emas. Shuning uchun deformatsiyalarning uzviylik tenglamasini jalb qilishga to‘g‘ri keladi. Bundan keyin biz shu maqsadda tenglamalarni ularga deformatsiyalar o‘rniga kuchlanishlarni tenglamalar bo‘yicha qo‘yib almashtiramiz. Endi kuchlanishlar chiziqli bo‘lgan xususiy holni, ya’ni ular jism nuqtasi koordinatalarining birinchi darajali funksiyalari bo‘lgan yoki o‘zgarmas bo‘lgan holni qaraymiz. Deformatsiyalar va kuchlanishlar orasidagi formulalar asosida deformatsiyalarning ikkinchi tartibli hosilalari doimo kuchlanishlar ikkinchi tartibli hosilalarining chiziqli funksiyalari bo‘lishligini ko‘rish qiyin emas, masalan: va h.k. Biz qarayotgan holda hamma kuchlanishlar koordinatalarning chiziqli funksiyalari bo‘lganliklari uchun, deformatsialarning hamma ikkinchi tartibli hosilalari nolga aylanadi. Demak, ( Beltrami tenglamalari ): ning hamma shartlari bu holda aynan qanoatlantiriladi. Faqat (1) muvozanat tenglamalarini va jism sirtida (2)

shartlarnigina qanoatlantirish qoladi. Bu yerda normali bo‘lgan maydonchadagi kuchlanish vektori komponentalari; - shu normalning yo‘naltiruvchi kosinuslari. Qaralgan turdagi masalalar elastiklik nazariyasining sodda masalalari deb ataladi. Ushbu bob doirasida biz shunday masalalardan bir nechtasi bilan tanishamiz. 2. Sen-Venan prinsipi. Uzun prizmatik bruslarning egilishi va buralishi haqidagi tadqiqotlarida Sen- Venan 1855-yilda o‘zining mashhur prinsipini e’lon qildi: “ Prizmaning uchlarida kuchlarning qo‘yilish va taqsimot usulining uning qolgan qismlarida vujudga keluvchi effektlarga ta’siri bo‘lmaydi, ya’ni qo‘yilgan kuchlarni har doim xuddi o‘zlaridek bosh moment va teng ta’sir etuvchisiga ega bo‘lgan statik ekvivalent kuchlar bilan almashtirish mumkin. ” Bunday prinsipning paydo bo‘lishiga quyidagi muammo sabab bo‘lgan. Elastiklik nazariyasining to‘g‘ri masalasini yechishda konkret chegaraviy shartlarni qanoatlantirish zaruriyati munosabati bilan katta matematik qiyinchiliklar yuzaga keladi. Shu bilan birga, fizik xarakterdagi mulohazalardan amalda jism sirtining sirt kuchlari taqsimoti berilgan deb hisoblanuvchi ba’zi qismlarida sirt kuchlarining aniq taqsimotini amalga oshirish mumkin bo‘lmaydi. Juda ko‘p masalalarda sirt kuchlari faqat umumiy holdagina, yoki bosh vektor va bosh momentlar sifatidagina ma’lum, sirt kuchlarining taqsimot qonuni esa faqat taqriban ma’lum yoki umuman ma’lum emas. Shunday qilib, elastiklik nazariyasi chegaraviy masalalarini yechishda matematik qiyinchiliklardan tashqari, chegaraviy shartlarni aniq ifodalash (formulirovka) muammosi ham paydo bo‘ladi. Bu qiyinchiliklar yuqoridagi Sen-Venan prinsipi asosida ancha kamayadi. Sen-Venan prinsipini boshqacharoq qilib quyidagicha ifodalash foydali: “Agar jism sirtining uncha katta bo‘lmagan qismiga bosh vektori va bosh momenti nolga teng kuchlar sistemasi qo‘yilgan bo‘lsa, u holda bunday kuchlar sistemasi, kuchlar qo‘yilgan qismdan uzoqlashib borish bilan juda tez kamayuvchi mahalliy (lokal) kuchlangan-deformatsialangan holatni vujudga keltiriladi”.

Xuddi shu prinsip Sen-Veanandan o‘ttiz yil keyin 1885-yilda Bussinesk tomonidan ham taklif etilgan. Bussinesk o‘z prinsipini quyidagicha ifodalagan: “Elastik jismga qo‘yilgan muvozanatlashgan tashqi kuchlar sistemasi, sistemaning kuchlari qo‘yilgan nuqtalar biror sferaning ichida yotgan holda, sferadan hisobga olmaslik mumkin bo‘lgan, lekin sfera radiusiga nisbatan yetarli darajada katta masofalardagina, deformatsiyalarni yuzaga keltiradi”. Sen-Venan prinsipini isbotlash uchun Bussinesk, to‘plangan kuchlar tekis chegarasiga perpendikulyar yo‘nalishda qo‘yilgan yarim cheksiz jismni qaragan. Sen-Venanning o‘zi esa bu prinsipni tasdiqlovchi o‘zining kauchukdan yasalgan sterjen bilan o‘tkazgan tajribalarini keltiradi. Lekin ta’kidlash lozimki, shu kungacha Sen-Venan prinsipining qat’iy isboti yo‘q. Elastiklik nazariyasi masalalarini yechishda Sen-Venan prinsipiga tez-tez murojaat qiladilar. Tashqi yuk qo‘yilgan joyda kuchlanish tenzorini aniqlash masalasi elastiklik nazariyasining alohida masala-larini tashkil etadi va kontakt masalalari yoki mahalliy kuchlanishlarni aniqlash masalalari deb ataladi. Ikkita statik ekvivalent kuchlar sistemasi. 1-chizmada keltirilgan: birinchisi yarim cheksiz plastinka tekis chegarasiga perpendikulyar ravishda ta’sir etuvchi to‘plangan kuch ko‘rinishida; ikkinchisi - teng ta’sir etuvchi plastinka tekis sirtiga perpendikulyar yo‘nalgan kuchiga teng, lekin yarimsilindrik sirt bo‘yicha tekis taqsimlangan kuch ko‘rinishida. Kuchlar qo‘yilgan nuqtalardan etarli uzoqlikdagi nuqtalarda kuchlanish tenzori har ikkala holda ham amalda bir xil bo‘ladi. Konsol balkaning, kuchlanish tenzori kuchlarning qo‘yilish usuliga bo‘g‘liq bo‘lgan sohalari. 2-chizmada keltirilgan va shtrixlangan holda tasvirlangan. Sen-Venan prinsipi chegaraviy shartlarni integral qanoatlantirishga, ya’ni sirt kuchlari taqsimlanishining konkret qonunini emas, balki ularning bosh vektori va bosh momentini qanoatlantirishga imkon beradi. 1-chizma. 2-chizma.

Aytilganlardan ko‘rinadiki, Sen-Venan prinsipi asosida chegaraviy shartlarni ancha yumshatish mumkin: elastik jismning uncha katta bo‘lmagan qismiga qo‘yilgan berilgan kuchlar sistemasi boshqa masalani yechish uchun qulay bo‘lgan, va jism sirtining oldingi kuchlar qo‘yilgan qismiga qo‘yilgan, statik ekvivalent kuchlar sistemasi bilan almashtiriladi. 3. Elastik masalalarni yechish metodlari. Elastiklik to‘g‘ri masalasini ko‘chishlarda yoki kuchlanishlarda yechish xususiy hosilali differensial tenglamalarni integrallashni talab etib juda katta matematik qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi. Shuning uchun ham to‘g‘ri masalalarni yechishda taqribiy metodlardan jumladan to‘rlar metodi, variatsion masalalarning to‘g‘ri metodlari (Rits, Bubnov-Galerkin, Kantorovish-Vlasov, Treffts metodlari) dan foydalaniladi. Ba’zi hollarda masalaning yechimini Sen- Venanning yarim teskari metodi deb ataluvchi metod bilan effektiv ravishda hal qilish mumkin. 1 0 . Sen-Venan yarim teskari metodi. Bu metodning mohiyati konkret masalani yechishda, masalan kuchlanishlarda, masalaning fizik xarakteridan kelib chiqqan holda, kuchlanish tenzorining ba’zi komponentalarini beradilar va ushbu , (2 * ) Beltrami-Mitchellning uzviylik shartlari bajarilganda, - chegaraviy shartlarda qolgan komponentalarni (1) muvozanat tenglamalaridan aniqlaydilar. Shunday hollar ham bo‘lishi mumkinki, bunda kuchlanish tenzorining ba’zi komponentalari to‘g‘risida qilingan farazlar muvozanat tenglamalari yoki chegaraviy shartlarga, yoki bo‘lmasa Beltrami-Mitchell uzviylik tenglamalariga qarama-qarshi bo‘ladi. Bunday hollarda kuchlanish komponentalari to‘g‘risida boshqa farazlar, masalan o‘xshash masalalarning ma‘lum yechimlaridan foydalangan holda, qilishga to‘g‘ri keladi. Shu ma’noda Sen-Venan yarimteskari metodi mukammal emas. Ammo, kuchlanishlar to‘g‘risida, yoki agar masala