ELASTIKLIK NAZARIYASINING ASOSIY TENGLAMALARI, MASALALARI VA TEOREMALARI

Yuklangan vaqt:

08.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

841 KB

Ko'chirib olish

MAVZU : ELASTIKLIK NAZARIYASINING ASOSIY TENGLAMALARI,
MASALALARI VA TEOREMALARI
REJA:
1. Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari
2. Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari .
3. Lame tenglamalari.
4. Lame tenglamalarini qanoatlantiruvchi ko‘chish vektorini Papkovich-
Neyber shaklida tasvirlash
5. Beltrami - Mitchell tenglamalari
6. Asosiy tenglamalarning silindrik sferik va dekart koordinatalar
sistemasidagi ko‘rinishlari
7. Klapeyron teoremasi, Kirxgoff teoremasi va Betti teoremasi

1. Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari
Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari uch turga bo’linadilar: geometrik,
statik (dinamik) va fizik tenglamalar.
1 0
. Geometrik tenglamalar. Elastik jismning deformatsialangan holati
deformatsia tenzori komponentalari, yoki ko‘chishlar bilan
to‘lqin aniqlanadi. Deformatsia tenzori komponentalari va ko‘chishlar o‘zaro
Koshining differensial munosabatlari bilan bog‘langan:
(1)
hamda Gen-Venanning differensial munosabatlari bilan o‘zaro bog‘langan:
(2)
Ma’lumki, bu munosabatlar deformatsialarning uzviylik tenglamasi deb ham
yuritiladi.
2 0
. Statik (dinamik) tenglamalar. Elastik jismning kuchlanganlik holati
kuchlanish tenzorining oltita komponentasi bilan to‘liq aniqlanadi. Ushbu
komponentalar uchta muvozanat differensial tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak:
. (3)
Agar jism harakatda bo‘lsa, simmetrik kuchlanish tenzorining olti komponentasi
uchta harakat differensial tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak:
. (4)
Ushbu (3) - tenglamalar statik, (4) - tenglamalar dinamik tenglamalar deb
yuritiladi.
3 0
. Fizik tenglamalar. Kuchlanish tenzorining komponentalari deformatsiya
tenzorining komponentalari bilan Guk qonuni vositasida bog‘langan
(5)
yoki ko‘chish komponentalari bilan
(6)
ko‘rinishda bog‘langan. Bu yerda

.
Ba’zi hollarda Guk qonunini (5) ga teskari shaklda, ya’ni larga nisbatan
yechilgan ko‘rinishda ishlatishga to‘g‘ri kelishi mumkin:
, (7)
bu yerda:
Yuqorida sanab o‘tilgan (1) - (3), (5), (7) formulalar elastiklik nazariyasi statik
masalalarining asosiy tenglamalari deb yuritiladi. Elastiklik nazariyasi dinamik
masalalarining asosiy tenglamalari deb (1)-(2), (4) (5) va (7) tenglamalarga aytiladi.
2. Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari
Chiziqli-elastik jismning sirtidagi shartlar chegaraviy shartlar deyiladi va
ular tashqi berilgan sirt kuchlari bilan yoki jism sirti nuqtalarining berilgan
ko‘chishlari bilan aniqlanadi.
Chegaraviy shartlarning berilishiga qarab elastiklik nazariyasining uch asosiy
masalalarini bir-biridan farqlaydilar.
1 0
. Birinchi tur asosiy masala. Birinchi tur asosiy masalada massaviy va
sirt kuchlari jismning butun sirtida berilganda jism egallagan hajmning ichki
nuqtalarida kuchlanish tenzori komponentalari larni hamda - hajmning
ichki nuqtalari va jism sirti nuqtalarida ko‘chish vektorining
komponentalarini aniqlash talab etiladi. Demak, bu holda chegaraviy shartlar:
(8)
ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda - sirt kuchi ning komponentalari; sirtning
qaralayotgan nuqtasidagi tashqi normal vektorning komponentalari.
Bu holda izlanayotgan to‘qqiz noma’lumlar (oltita kuchlanishlar va uchta
ko‘chishlar) (3) yoki (4), (5) tenglamalarni, hamda (8) chegaraviy shartlarni
qanoatlantirishlari kerak.
2 0
. Ikkinchi tur asosiy masala. Ikkinchi tur asosiy masalada massaviy
kuchlar va jismning sirtida ko‘chishlar ma’lum bo‘lganda, jism
egallangan hajm ichidagi nuqtalarda ko‘chishlarni va kuchlanish tenzori

komponentalari larni aniqlash talab etiladi. Demak, bu holda chegaraviy
shartlar
(9)
ko‘rinishida bo‘ladi. Izlanuvchi va funksiyalar (3) yoki (4), (5) hamda
(9) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak.
3 0
. Uchinchi tur asosiy masala. Chegaraviy shartlar aralash xarakterga ega
bo‘lishlari mumkin. Birinchi tur asosiy masalada jismning butun sirtida
kuchlanishlar, ikkinchi tur asosiy masalada jismning butun sirtida ko‘chishlar
beriladi. Shunday masalalar ham uchrashi mumkinki. Bunda jism sirtining ma’lum
qismida kuchlanishlar, qolgan qismida esa ko‘chishlar berilishi mumkin. Bunday
holda masala aralash masala deyiladi. Faraz qilaylik, jism sirtining qismida
kuchlanishlar, qismida esa ko‘chishlar berilgan bo‘lsin.
Izlanayotgan to‘qqiz noma’lum funksiyalar bu holda (3) yoki (4), (5)
tenglamalarni hamda
(10)
chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak.
Yuqoridagi uch asosiy masaladan tashqari, elastiklik nazariyasining to’g’ri va
teskari masalalarini ham farqlaydilar.
Elastiklik nazariyasining to’g’ri masalasida yuqorida keltirilgan uch asosiy
masaladan birini tashqi kuchlar berilgan holda yechish, ya’ni jismning kuchlangan -
deformatsialangan holatini aniqlovchi va funksialarni jism egallagan
sohaning ichki nuqtalari uchun aniqlash talab etiladi. Ammo ta’kidlash lozimki,
elastiklik nazariyasining to‘g‘ri masalasini yechish juda katta matematik
qiyinchiliklarga olib keladi.
Elastiklik nazariyasining teskari masalasida ko‘chishlar yoki
kuchlanishlar uzluksiz funksiyalar sifatida beriladi. Asosiy (1) (2), (3)
yoki (4) hamda (5) tenglamalardan qolgan funksiyalar va berilgan ko‘chishlarni
yoki kuchlanishlarni yuzaga keltiruvchi tashqi kuchlarni aniqlash talab etiladi.

Teskari masalani yechish to‘g‘ri masalani yechishga nisbatan ancha oson
kechadi. Agar bunda ko‘chishlar berilgan bo‘lsa masala nisbatan juda oson yechiladi.
kuchlanishlar berilgan holda ko‘chishlarni aniqlash uchun (1) tenglamalarni
integrallashga to‘g‘ri keladi va kuchlanishlarni uzviylik tenglamalari
qanoatlanadigan qilib berishga to‘g‘ri keladi. Lekin baribir bunday masalani yechish
to‘g‘ri masalani yechishga nisbatan oson.
3. Lame tenglamalari
Elastiklik nazariyasining to‘g‘ri masalasini, asosiy o‘zgarmaslar sifatida birinchi
navbatda, yoki ko‘chishlarni yoki larni qabul qilib yechish qulay.
To‘g‘ri masalani yechishning ana shu ikki yo‘li ko‘chishlarga nisbatan yechim
yoki kuchlanishlarga nisbatan yechim deyiladi. Bunday holatlarda asosiy tenglamalar
ham ko‘chishlarga nisbatan yoki kuchla-nishlarga nisbatan yozilishlari kerak.
Quyida biz asosiy tenglamani (muvozanat tenglamalarini) ko‘chishlarga
nisbatan keltirib chiqaramiz. Buning uchun (6) Guk qonuni yordamida (3)
kuchlanishlarga nisbatan muvozanat tenglamalaridan kuchlanish tenzorining
komponentalarini chiqarib tashlash zarur bo‘ladi.
Guk qonunining (6) ifodasidan koordinata bo‘yicha hosila olamiz:
(11)
lekin
(12)
hamda
(13)
bu yerda orqali Laplas operatori belgilangan. Endi (12) va (13)ifodalardan
foydalanib (11)- Guk qonunini quyidagicha yozish mumkin:
yoki

(14)
Lekin
,
.
yoki nihoyat:
(15)
olingan (15)ifodani (4) muvozanat tenglamalariga qo‘ysak,
(16)
elastik muvozanatning ko‘chishlarga nisbatan tenglamalariga ega bo‘lamiz. Bu
tenglamalar uchta differensial tenglamalar sistemasini aniqlaydi:
(17)
olingan (16) yoki undan kelib chiquvchi (17) tenglamalar Lame tenglamalari
deyiladi.
Lame tenglamalarini bitta vektor tenglama ko‘rinishida ishlatish ancha qulay.
Buning uchun (16) tenglamani bazis vektoriga ko‘paytirish yetarli.
lekin
hamda
bo‘lganliklari uchun
(18)
vektor tenglamaga ega bo‘lamiz. Ushbu tenglamani

ekanligini hisobga olib
(19)
kabi ba‘zida ishlatish qulay bo‘lgan shaklda yozish mumkin. Ko‘p masalalarda
massaviy kuchlarni hisobga olmaslik yoki nolga teng deb hisoblash mumkin. Bu
holda Lamening (16) tenglamalari
(20)
ko‘rinishni oladi. Bu tenglamani koordinata bo‘yicha differensiallab,
tenglamaga ega bo‘lamiz. Lekin
va
bo‘lganliklari uchun bu tenglamadan
yoki
(21)
ifodani olamiz. Bu ifoda massaviy kuchlar nolga teng yoki o‘zgarmas bo‘lganlarida
- hajmiy deformatsia Laplas tenglamasini qanoatlantirishini, va demak, garmonik
funksiya ekanligini ko‘rsatadi.
Endi (20) ga - Laplas operatori bilan ta’sir etamiz
,
lekin

bo‘lganligidan
(22)
ya’ni ko‘chish vektorining komponentalari bigarmonik funksiyasi ekan. Lekin bu
narsa ko‘chishlar ixtiyoriy bigarmonik funksiya ekanligini anglatmaydi, chunki
ular avvalo tartibi past bo‘lgan Lame tenglamalarini ham qanoatlantirishlari kerak.

Agar masala ko‘chishlarga nisbatan yechilayotgan bo‘lsa, chegaraviy shartlar
ham ko‘chishlar orqali ifodalanishi kerak. Ikkinchi tur asosiy masalada bu sohada
muammo yo‘q. Ammo birinchi tur masalada (8) chegaraviy shartlarni ko‘chishlar
orqali yozish kerak.
Bu ishni uddalash uchun yana (6) Guk qonunidan foydalanamiz. Uning ikkala
tomonini ham ga ko‘paytiramiz:
lekin
;
ya’ni ko‘paytma funksiyadan jism sirtining shu nuqtasidagi normali
bo‘yicha hosilasidan iborat bo‘lganligi uchun yuqoridagi tenglik:
ko‘rinishni oladi. U holda (8) chegaraviy shartlarni quyidagicha yozish mumkin:
(23)
Shunday qilib (16) Lame tenglamalari, birinchi tur asosiy masalada (23)
chegaraviy shartlar bilan va ikkinchi tur asosiy masalada (9) chegaraviy shartlar
bilan, ko‘chish vektorining hamma uchta komponentalarini to‘liq aniqlaydi.
Ko‘chish komponentalari lar ma’lum bo‘lgach, (1) formulalar bilan deformatsiya
tenzorining komponentalari va (6) Guk qonuni formulalari bilan kuchlanish
tenzorining hamma komponentalari hisoblanadi. Boshqacha aytganda, jism
istalgan nuqtasining kuchlangan-deformatsiyalangan holati to‘liq aniqlanadi.
Elastiklik nazariyasining uchinchi asosiy masalasi ko‘chishlarga nisbatan
yechilayotgan bo‘lsa, (10) chegaraviy shartlarni
(24)

ko‘rinishda foydalanish zarur bo‘ladi. Agar jism muvozanatda emas balki harakatda
bo‘lsa, uning harakat tenglamalari (4) ko‘rinishda bo‘ladi. Ko‘rinib turibdiki, ushbu
harakat tenglamalari ko‘chishlarga nisbatan quyidagi uch shaklda yozilishi mumkin:
(25)
Keltirilgan ushbu tenglamalarda, tabiiyki, ko‘chishlar koordinatalardan
tashqari, vaqtning ham funksiyalari bo‘lishlari, ya‘ni
bo‘lishi kerak.
Elastik jismning harakati (25) tenglamalardan biri yordamida yechilayotganda
(23), (9) yoki (24) chegaraviy shartlardan tashqari vaqtning payti uchun
boshlang‘ich shartlar ham qo‘yilishi kerak. Boshqacha aytganda, bo‘lganda
ko‘chishlar va ularning vaqt bo‘yicha birinchi tartibli hosilalari
berilgan qiymatlarga ega bo‘lishlari kerak:
. (26)
4. Lame tenglamalarini qanoatlantiruvchi ko‘chish vektorini Papkovich-Neyber
shaklida tasvirlash
Faraz qilaylik jismga ta’sir etuvchi massaviy kuchlar bo‘lmasin. U holda bu jism
muvozanati (20) tenglama bilan
kabi tavsiflanadi. Bu tenglamalarning yechimini
(27)
ko‘rinishda izlaymiz. Bu yerda - garmonik funksiyalar, ya’ni
.

va - aniqlanishi kerak bo‘lgan biror skalyar funksiya. Ushbu (27) formulaga asosan
hajmiy deformatsia
(28)
ko‘chish va hajmiy deformatsiani (20) Lame tenglamalariga qo‘yamiz:
, (29)
lekin
bo‘lganliklaridan
yoki
. (30)
Ko‘rinib turibdiki, bu tenglama aynan qanoatlantiriladi, agar - skalyar
funksiya
(31)
tenglamani qanoatlantirsa.
Yuqorida (27) yechim ko‘rinishini qabul qilishda funksiyalarning garmonik
bo‘lishligini, ya‘ni ekanligini talab qildik. U holda - hosilalar ham
garmonik funksiyalar bo‘ladi, chunki
(32)
Ushbu holni hisobga olgan holda (31) ning ikkala tomoniga ham Lamlas
operatori bilan ta’sir etamiz. U holda
bundan
(33)
ya’ni (27) yechidagi - skalyar funksiya bigarmonik funksiyadan iborat bo‘lishi
kerak ekan.
Istalgan garmonik funksiya bigarmonik funksiya ham bo‘ladi, chunki
(34)

Agar ya’ni garmonik funksiya bo‘lsa, funksiyalari bigarmonik
funksiyalar bo‘lishligini isbotlash qiyin emas. Haqiqatan ham, misol uchun
funksiyani qaraylik.
(35)
,
hamda
bo‘lganligidan
ya’ni
. (36)
U holda
(37)
shuni isbotlash talab etilgan edi. (32) yoki (37) tengliklardan garmonik funksiyaning
hosilasi ham yana garmonik funksiya bo‘lishligi kelib chiqadi. Keltirilgan
mulohazalarga asoslanib (31) tenglamaning xususiy yechimini
(38)
ko‘rinishida izlaymiz, bu yerda - o‘zgarmas. Ushbu tenglikni koordinata
bo‘yicha ketma-ket differensiallaymiz:
(39)
Endi (39) tenglamani va indekslari bo‘yicha svertkalab, ya’ni qilib olib,
ifodani olamiz. Lekin
bo‘lgani uchun bu yerdan
(40)
Endi (40) va (31) larni solishtirsak

(41)
ya’ni (38) yechimdagi o‘zgarmasni aniqlaymiz.
Bir jinsli bo‘lmagan (31) tenglamaning umumiy yechimi uning (38) xususiy
yechimi bilan ixtiyoriy garmonik funksiyalar yig‘indisiga teng bo‘lishi kerak,
ya’ni
(42)
U holda (20) Lame tenglamalarining umimiy yechimi (27) va (42) larga asosan
to‘rtta ixtiyoriy, o‘zaro bog‘lanmagan va garmonik funksiyalar orqali quyidagicha
tasvirlash mumkin:
(43)
Ma’lumki ko‘chish vektori kabi aniqlanadi. Shuning uchun ham (43)
ifoda bir jinsli izotrop jism nuqtasining (20)Lame tenglamasini qanoatlantiruvchi
ko‘chish vektorining to‘rtta garmonik funksiyalar bilan tasviridan
iboratdir. Ushbu ifoda birinchi marta P.F.Papkovich (1932) va Neyber (1934) lar
tomonidan taklif etilganligi uchun ularning nomi bilan Papkovich-Neyber tasviri deb
yuritiladi.
Ko‘pincha (43) ifoda (20) Lame tenglamalarining umumiy yechimi deb ham
yuritiladi. Bu ifodani koordinata bo‘yicha differensiallab hamda (39) ning
ikkinchi tengligini hisobga olib,
tenglikka ega bo‘lamiz. Bu ifodani va indekslar bo‘yicha svertkalab,
va ekanliklaridan
(44)
ifodani olamiz. Yuqoridagi ning ifodasida umu-miylikni kamaytirmasdan
deb hisoblash mumkin. U holda
(45)

Olingan (44) va (45) formulalarni Guk qonunining (6) ifodasiga qo‘ysak, kuchlanish
tenzori komponentalarining garmonik funksiyalar orqali ifodasiga ega
bo‘lamiz:
(46)
Ushbu ifoda kuchlanishlarning garmonik funksiyalar orqali
tasvirlanishidan iboratdir.
5. Beltrami - Mitchell tenglamalari
Bundan oldingi paragraflarda elastik jismning muvozanat tenglamalarini Lame
tenglamalariga keltirdik va ularning yechimini Papkovich-Neyber ko‘rinishida
tasvirladik, boshqacha aytganda ularning umumiy yechimlarini keltirdik. Bu
tenglamalar uchun elastiklik nazariyasi asosiy masalalaridan ikkinchi turini yechish
osonligini ta’kidladik. Chunki bu holda asosiy tenglamalar ham, chegaraviy shartlar
ham faqat ko‘chishlarga nisbatan yoziladi, ya’ni ikkinchi tur asosiy masalani
yechishda asosiy izlanuvchi noma’lum funksiyalar sifatida ko‘chishlarni qabul qilish
va ularga nisbatan Lame tenglamalarini yechish qulay.
Elastiklik nazariyasining birinchi tur asosiy masalasini yechishda izlanuvchi
noma’lum funksiyalar sifatida kuchlanish tenzorining komponentalarini olish, ya’ni
masalani kuchlanish-larda yechish qulay.
Elastik muvozanatning uchta differensial tenglamalari (3) lar tarkibida oltita
noma’lumlar qatnashadi va shuning uchun ularning yechimi bir qiymatli
bo‘lmaydi. Haqiqiy kuchlanganlik holatini aniqlovchi funksiyalar (5) Guk
qonuni orqali lar bilan bog‘langan bo‘lganliklari uchun, xuddi lar kabi
ularning uzviylik shartini ifodalovchi tenglamalarga bo‘ysunishlari kerak. Bunday
tenglamalar, yoki munosabatlarni (5) Guk qonuni yordamida (2) Sen-Venan
differensial munosabatlaridan keltirib chiqarish mumkin. Lekin ushbu
munosabatlarni (16)Lame tenglamalaridan keltirib chiqarish bir muncha osonroq.
Quyida biz shu ishni bajaramiz.
Lamening (16)tenglamalarini koordinata bo‘yicha differensiallab,
(47)

tenglamaga ega bo‘lamiz va uni va indekslar bo‘yicha svertkalab,
,
hamda
ekanliklarini hisobga olib,
(48)
tenglamani olamiz. Bu yerda bizga ma’lum bo‘lgan
tengliklarni hisobga olsak
yoki
(49)
ifodani olamiz.
Lamening (16)tenglamalarida indeks erkin indeks bo‘lgani uchun uni
ixtiyoriy, masalan, harfi bilan belgilash mumkin, ya’ni
(50)
Bu tenglamani koordinata bo‘yicha differensiallab,
(51)
ni olamiz va uni (47) bilan qo‘shamiz:
(52)
Lekin
bo‘lganligi hamda ekanligidan (52) ni

yoki
(53)
ko‘rinishga keltiramiz. Endi (53) ga (49) ni qo‘yamiz. U holda:
(54)
Olingan (54) munosabatlar kuchlanish tenzorining komponentalari orasidagi
differensial bog‘lanishlarning har biri uchta tenglamadan iborat bo‘lgan ikkita
quruhini ifodalaydi.
Birinchi guruh tenglamalaridan birinchisini bo‘lgan holda olamiz:
(55)
Ikkinchi guruh tenglamalaridan birinchisini bo‘lgan holda olamiz:
(56)
Guruh larning qolgan munosabatlari (55) va (56) lardan indekslarni doiraviy
almashtirish yo‘li bilan olinadi. Amalda uchraydigan masalalarning ko‘pchiligida
- massaviy kuchlar yo nolga teng, yoki o‘zgarmas bo‘ladi. U holda (54) tenglamani
quyidagicha yozish mumkin:
(57)
Bu tengliklar 1892 - yilda Beltrami tomonidan o‘rnatilgan quyidagi oltita
differensial bog‘lanishlarni ifodalaydi:
(58)
Yuqoridagi (55) ko‘rinishidagi uch tenglama va (56) ko‘rinishdagi yana uch
tenglama birinchi marta 1900-yilda L.Mitchell tomonidan aniqlangan. Shuning uchun

ham (54) differensial bog‘lanishlar Beltrami-Mitchell tenglamalari deb yuritiladi.
Xuddi ana shu munosabatlar kuchlanishlarga nisbatan ifodalangan uzviylik
tenglamalaridan iboratdir.
Endi (57) ni va indekslar bo‘yicha svertkalaymiz
lekin,
va bo‘lganligi uchun
bundan, (59)
ya’ni massaviy kuchlar bo‘lmaganida kuchlanish tenzorining birinchi, yoki chiziqli,
invariant - garmonik funksiya-dan iboratdir.
Endi (57) Laplas operatorini qo‘llab ligini hisobga olsak,
(60)
ya’ni massaviy kuchlar bo‘lmagani yoki o‘zgarmas bo‘lganlarida kuchlanish
tenzorining komponentalari bigarmonik funksiyalardan iboratdir.
6. Asosiy tenglamalarning silindrik sferik va dekart koordinatalar
sistemasidagi ko‘rinishlari
silindrik koordinatalar sistemasida asosiy tenglamalar
1 0
. (61)
Bunda koordinat chiziqlari bo‘lib, va to‘g‘ri chiziqlari xizmat
qiladi.
2 0
. Kochish vektori ning komponentalari orasida
(62)
munosabatlar o‘rinli.
3 0
. Deformatsia tenzori komponentalari:
(63)
4 0
. Koshining differensial bog‘lanishlari: x
2

(64)
Bu yerdan hajmiy deformatsia:
(65)
5 0
. Kichik burilish tenzori va burilish vektori komponentalari:
(66)
6 0
. Deformatsialarning uzviylik tenglamalari:
(67)
7 0
. Kuchlanish tenzori komponentalari:
(68)
8 0
. Izotrop jism uchun Guk qonuni:
(69)
9 0
. Ko‘chishlarga nisbatan muvozanat va harakat tenglamalari (Lame
tenglamalari):

(70)
10 0
. Kuchlanishlarga nisbatan muvozanat va harakat tenglamalari:
(71)
11 00
. Beltrami tenglamalari:

(72)
sferik koordinatalar sistemasida asosiy tenglamalar
1 0
.
(73)
2 0
. Ko‘chish vektori komponentlari:
(74)
3 0
. Deformatsia tenzori komponentalari:
(75)
4 0
. Ko‘chishlar va deformatsialar orasida Koshi-ning differensial munosabatlari:

(76)
5 0
. Hajmiy deformatsia quyidagicha aniqlanadi:
(77)
6 0
. Kichik burilish tenzori va burilish vektori komponentalari:
(78)
7 0
. Kuchlanish tenzori komponentalari:
(79)
8 0
. Izotrop jism uchun Guk qonuni:
(80)
9 0
. Kuchlanishlarga nisbatan muvozanat tenglamalari:
(81)
10 0
. Deformatsialarning uzviylik tenglamalari yoyib yozilganda juda katta
ko‘rinishga ega. Shuning uchun bu tenglamalarning egri chiziqli koordinatalar

sistemasidagi ko‘rinishini keltiramiz va undan zarur tenglamalarni keltirib chiqarishni
o‘quvchiga havola qilamiz:
(82)
bu yerda
(83)
- egri chiziqli koordinata.
Sferik koordinata sistemasida noldan farqli ikkinchi jins Kristoffel simvollari
quyidagi qiymatlarga ega:
(84)
11 0
. Ko‘chishlarga nisbatan muvozanat tenglamalari ham:
(85)
bu yerda Kristoffel ikkinchi jins simvollari (84) formulalar bilan, sferik koordinatalar
sistemasida metrik tenzorning kontravariant komponentalari:
(86)
formulalar bilan hisoblanadi. Bundan tashqari, bu yerda, ya’ni sferik koordinatalar
sistemasida Laplas operatori, ixtiyoriy skalyar -funksiya uchun, ushbu
(87)
ko‘rinishga ega ekanligini ham hisobga olish kerak.
Dekart koordinatalari sistemasida asosiy tenglamalar.
Bundan oldingi boblarda keltirib chiqarilgan hamma tenglama va munosabatlar
Dekart koordinatalari sistemasida tenzor usulida yozildi. Ko‘pincha ushbu
tenglamalar odatdagi belgilashlar orqali hamda tenzor usulida emas, balki
yoyilgan ko‘rinishda ishlatiladi. Quyida biz tenglamalarning shunday ko‘rinishlarini

keltirishni lozim topdik. Ushbu tenglamalarni, 5.1-§ da keltirilgan tenglamalarni
yoyib yozib, keyin almashtirib yozish yo‘li bilan osongina olish
mumkin.
1 0
. Ko‘chish vektori, deformatsia va kuchlanish tenzorlarining komponentalari
quyidagicha belgilanadi:
(88)
2 0
. Deformatsiyalar va ko‘chishlar orasidagi Koshining differensial
munisabatlari
(89)
3 0
. Hajmiy deformatsia
(90)
4 0
. Kichik burilish tenzori va burilish vektori komponentalari
(91)
5 0
. Izotrop jism uchun Guk qonuni:
(92)
6 0
. Ko‘chishlarga nisbatan muvozanat va harakat tenglamalari (Lame
tenglamalari):

(93)
- ixtiyoriy skalyar funksiya.
7 0
. Lamening vektor tenglamasi:
graddiv - rot rot (94)
bu yerda:
8 0
. Kuchlanishlarga nisbatan muvozanat va harakat tenglamalari:
(95)
9 0
. Deformatsialarning uzviylik tenglamalari (Sen-Venan tenglamalari):
;
(96)
10 0
. Kuchlanishlarning uzviylik tenglamalari (Beltrami tenglamalari):
(97)
7. Klapeyron teoremasi, Kirxgoff teoremasi va Betti teoremasi
Quyida biz elastiklik nazariyasining uchta umumiy teoremalarini qarab
chiqamiz. Bulardan birinchisi deformatsianing ishi haqidagi Klapeyron teoremasidan
iboratdir.

Faraz qilaylik, hajmga ega va sirt bilan chegaralangan elastik jism -
massaviy va -sirt kuchlari ta‘siri ostida muvozanat holatida bo‘lsin. Ushbu
kuchlarning o‘zlari vujudga keltirgan ko‘chishlarda bajargan ishi
(98)
Ikkinchi integralni Ostrogradskiy formulasiga ko‘ra
(99)
kabi hajm bo‘yicha olingan integralga o‘tkazish mumkin. Oxirgi integralni
quyidagicha almashtiramiz:
(100)
bu yerda [chunki -simmetrik, -antisimmetrik tenzorlar
bo‘lganliklari uchun] ekanligi hisobga olingan.
(100) ni (98) ga qo‘ysak,
(101)
ifodaga ega bo‘lamiz. Bu yerda muvozanat tenglamalarini va Grin formulasini
hisobga olsak,
(102)
formulani olamiz. Olingan (102) tenglik ixtiyoriy elastik jism uchun Klapeyron
teoremasi ni ifodalaydi. Bu yerda - elastik potensial va u deformatsialanish
izotermik bo‘lganda, erkin energiya bilan aniqlanadi deformatsiyaning
solishtirma ishidan iborat.
Xususiy holda agar jism Guk qonuniga bo‘ysunsa, u holda elastik potensial
larning kvadratik funksiyasidan iborat bo‘ladi. Bu holda Klapeyron formulasi
dan foydalanib (102) ni
(103)

ko‘rinishga keltiramiz. Demak, Klapeyron tenglamasiga ko‘ra chiziqli-elastik jism
uchun, deformatsia ishi tashqi kuchlarning o‘zlari vujudga keltirgan ko‘chishlarda
bajargan ishining yarmiga teng.
Klapeyron teoremasining aynan (103) ko‘rinishini quyidagi yechimning
yagonaligi haqidagi teoremani isbotlashda qo‘llaymiz.
Kirxgoff teoremasi
Kirxgoff teoremasi yechimning yagonaligini isbotlaydi.
Demak, elastik jism statikasi asosiy masalalarining yechimlari yagonadir.
Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni elastik jism statikasining asosiy uch tur
tenglamalaridan biri ikkita har xil yechimlarga ega bo‘lsin:
(104)
Ushbu yechimlar bir xil massaviy kuchlar va sirt kuchlari ta’sirida asosiy
muvozanat tenglamalarini qanoatlantiradi. Xususan, va funksiyalar
muvozanat tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak, ya’ni:
(105)
va bunda quyidagi chegaraviy shartlar bajarilishi kerak:
1 0
. Birinchi tur asosiy masala holida:
va (106)
2 0
. Ikkinchi tur asosiy masala holida:
va (107)
3 0
. Uchinchi tur asosiy masala holida:
va (108)
Mavjudligi faraz qilinayotgan ikkita yechimning ayirmalarini qaraymiz:
(109)
Endi (98) ni (103) ga qo‘yib,
(110)
Yuqoridagi (105) va (109) ifodalardan ko‘rinadiki funksiyalar
(111)

bir jinsli muvozanat tenglamalarini qanoatlantiradi. Ya’ni (105) muvozanat
tenglamalarida massaviy kuchlarni nolga teng deb hisoblash mumkin, ya’ni . U
holda (110) ifoda ancha soddalashadi:
(112)
Birinchi, ikkinchi va uchinchi tur masalalarda (109) funksialar uchun chegaraviy
shartlar quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
(113)
U holda (112) ning o‘ng tomonidagi integral hamma uch holat uchun nolga aylanadi:
(114)
chunki yoki da hamda bo‘lmasa yoki da Demak, (109)
funksialar uchun (112) dan (114) ga asosan
(115)
Lekin W elastik potensial deformatsia tenzori komponentalarining musbat
kvadratik funksiyasi bo‘lganligi uchun (115) tenglik jism egallagan sohaning
hamma nuqtalari uchun bo‘lgan holdagina bajariladi. Bu esa jismning hamma
nuqtalari uchun
va
Bu tengliklar teoremaning isbotidan iboratdir. Shunday qilib, uchala tur asosiy
masalalar yechimlarining yagonaligi haqidagi teorema elastik jism statikasi uchun
isbotlandi.
Betti teoremasi
Chiziqli-elastik jismning ikki holatini qaraymiz. Birinchi holatda jism -
massaviy va - sirt kuchlari ta’siri ostida, ikkinchi holatda - massaviy va
sirt kuchlari ta’siri ostida deformatsialansin. Birinchi holatda jismning kuchlangan-
deformatsialangan holati funksialar bilan, ikkinchi holatda-
funksialar bilan xarakterlanadi.

Betti teoremasi: birinchi holat kuchlarining ikkinchi holat ko ‘ chishlarida
bajargan ishi, ikkinchi holat kuchlarining birinchi holat ko‘chishlarida bajargan
ishiga teng.
Birinchi holat kuchlari va larning ikkinchi holat ko‘chishlari larda
bajargan ishi A
12
(116)
ga teng. Bu yerda:
(117)
tengliklarni hisobga olib, (116) ning o‘ng tomonidagi sirt bo‘yicha integralni (99)
va (100) kabi almashtirib hamda muvozanat tenglamasi asosida (5,116)
dan
(118)
ifodaga ega bo‘lamiz.
Ikkinchi holat , kuchlarining birinchi holat ko‘chishlarida bajargan
ishi ham xuddi ga o‘xshash
(119)
ekanligini topamiz. Ammo Betti formulasi (IV-bob) ga ko‘ra
bo‘lganligi uchun (118) va (119) larni taqqoslab
(120)
degan xulosaga kelamiz. Bu esa teoremaning isbotidir.

MAVZU : ELASTIKLIK NAZARIYASINING ASOSIY TENGLAMALARI, MASALALARI VA TEOREMALARI REJA: 1. Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari 2. Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari . 3. Lame tenglamalari. 4. Lame tenglamalarini qanoatlantiruvchi ko‘chish vektorini Papkovich- Neyber shaklida tasvirlash 5. Beltrami - Mitchell tenglamalari 6. Asosiy tenglamalarning silindrik sferik va dekart koordinatalar sistemasidagi ko‘rinishlari 7. Klapeyron teoremasi, Kirxgoff teoremasi va Betti teoremasi

1. Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari Elastiklik nazariyasining asosiy tenglamalari uch turga bo’linadilar: geometrik, statik (dinamik) va fizik tenglamalar. 1 0 . Geometrik tenglamalar. Elastik jismning deformatsialangan holati deformatsia tenzori komponentalari, yoki ko‘chishlar bilan to‘lqin aniqlanadi. Deformatsia tenzori komponentalari va ko‘chishlar o‘zaro Koshining differensial munosabatlari bilan bog‘langan: (1) hamda Gen-Venanning differensial munosabatlari bilan o‘zaro bog‘langan: (2) Ma’lumki, bu munosabatlar deformatsialarning uzviylik tenglamasi deb ham yuritiladi. 2 0 . Statik (dinamik) tenglamalar. Elastik jismning kuchlanganlik holati kuchlanish tenzorining oltita komponentasi bilan to‘liq aniqlanadi. Ushbu komponentalar uchta muvozanat differensial tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak: . (3) Agar jism harakatda bo‘lsa, simmetrik kuchlanish tenzorining olti komponentasi uchta harakat differensial tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak: . (4) Ushbu (3) - tenglamalar statik, (4) - tenglamalar dinamik tenglamalar deb yuritiladi. 3 0 . Fizik tenglamalar. Kuchlanish tenzorining komponentalari deformatsiya tenzorining komponentalari bilan Guk qonuni vositasida bog‘langan (5) yoki ko‘chish komponentalari bilan (6) ko‘rinishda bog‘langan. Bu yerda

. Ba’zi hollarda Guk qonunini (5) ga teskari shaklda, ya’ni larga nisbatan yechilgan ko‘rinishda ishlatishga to‘g‘ri kelishi mumkin: , (7) bu yerda: Yuqorida sanab o‘tilgan (1) - (3), (5), (7) formulalar elastiklik nazariyasi statik masalalarining asosiy tenglamalari deb yuritiladi. Elastiklik nazariyasi dinamik masalalarining asosiy tenglamalari deb (1)-(2), (4) (5) va (7) tenglamalarga aytiladi. 2. Elastiklik nazariyasining asosiy masalalari Chiziqli-elastik jismning sirtidagi shartlar chegaraviy shartlar deyiladi va ular tashqi berilgan sirt kuchlari bilan yoki jism sirti nuqtalarining berilgan ko‘chishlari bilan aniqlanadi. Chegaraviy shartlarning berilishiga qarab elastiklik nazariyasining uch asosiy masalalarini bir-biridan farqlaydilar. 1 0 . Birinchi tur asosiy masala. Birinchi tur asosiy masalada massaviy va sirt kuchlari jismning butun sirtida berilganda jism egallagan hajmning ichki nuqtalarida kuchlanish tenzori komponentalari larni hamda - hajmning ichki nuqtalari va jism sirti nuqtalarida ko‘chish vektorining komponentalarini aniqlash talab etiladi. Demak, bu holda chegaraviy shartlar: (8) ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda - sirt kuchi ning komponentalari; sirtning qaralayotgan nuqtasidagi tashqi normal vektorning komponentalari. Bu holda izlanayotgan to‘qqiz noma’lumlar (oltita kuchlanishlar va uchta ko‘chishlar) (3) yoki (4), (5) tenglamalarni, hamda (8) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak. 2 0 . Ikkinchi tur asosiy masala. Ikkinchi tur asosiy masalada massaviy kuchlar va jismning sirtida ko‘chishlar ma’lum bo‘lganda, jism egallangan hajm ichidagi nuqtalarda ko‘chishlarni va kuchlanish tenzori

komponentalari larni aniqlash talab etiladi. Demak, bu holda chegaraviy shartlar (9) ko‘rinishida bo‘ladi. Izlanuvchi va funksiyalar (3) yoki (4), (5) hamda (9) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak. 3 0 . Uchinchi tur asosiy masala. Chegaraviy shartlar aralash xarakterga ega bo‘lishlari mumkin. Birinchi tur asosiy masalada jismning butun sirtida kuchlanishlar, ikkinchi tur asosiy masalada jismning butun sirtida ko‘chishlar beriladi. Shunday masalalar ham uchrashi mumkinki. Bunda jism sirtining ma’lum qismida kuchlanishlar, qolgan qismida esa ko‘chishlar berilishi mumkin. Bunday holda masala aralash masala deyiladi. Faraz qilaylik, jism sirtining qismida kuchlanishlar, qismida esa ko‘chishlar berilgan bo‘lsin. Izlanayotgan to‘qqiz noma’lum funksiyalar bu holda (3) yoki (4), (5) tenglamalarni hamda (10) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak. Yuqoridagi uch asosiy masaladan tashqari, elastiklik nazariyasining to’g’ri va teskari masalalarini ham farqlaydilar. Elastiklik nazariyasining to’g’ri masalasida yuqorida keltirilgan uch asosiy masaladan birini tashqi kuchlar berilgan holda yechish, ya’ni jismning kuchlangan - deformatsialangan holatini aniqlovchi va funksialarni jism egallagan sohaning ichki nuqtalari uchun aniqlash talab etiladi. Ammo ta’kidlash lozimki, elastiklik nazariyasining to‘g‘ri masalasini yechish juda katta matematik qiyinchiliklarga olib keladi. Elastiklik nazariyasining teskari masalasida ko‘chishlar yoki kuchlanishlar uzluksiz funksiyalar sifatida beriladi. Asosiy (1) (2), (3) yoki (4) hamda (5) tenglamalardan qolgan funksiyalar va berilgan ko‘chishlarni yoki kuchlanishlarni yuzaga keltiruvchi tashqi kuchlarni aniqlash talab etiladi.

Teskari masalani yechish to‘g‘ri masalani yechishga nisbatan ancha oson kechadi. Agar bunda ko‘chishlar berilgan bo‘lsa masala nisbatan juda oson yechiladi. kuchlanishlar berilgan holda ko‘chishlarni aniqlash uchun (1) tenglamalarni integrallashga to‘g‘ri keladi va kuchlanishlarni uzviylik tenglamalari qanoatlanadigan qilib berishga to‘g‘ri keladi. Lekin baribir bunday masalani yechish to‘g‘ri masalani yechishga nisbatan oson. 3. Lame tenglamalari Elastiklik nazariyasining to‘g‘ri masalasini, asosiy o‘zgarmaslar sifatida birinchi navbatda, yoki ko‘chishlarni yoki larni qabul qilib yechish qulay. To‘g‘ri masalani yechishning ana shu ikki yo‘li ko‘chishlarga nisbatan yechim yoki kuchlanishlarga nisbatan yechim deyiladi. Bunday holatlarda asosiy tenglamalar ham ko‘chishlarga nisbatan yoki kuchla-nishlarga nisbatan yozilishlari kerak. Quyida biz asosiy tenglamani (muvozanat tenglamalarini) ko‘chishlarga nisbatan keltirib chiqaramiz. Buning uchun (6) Guk qonuni yordamida (3) kuchlanishlarga nisbatan muvozanat tenglamalaridan kuchlanish tenzorining komponentalarini chiqarib tashlash zarur bo‘ladi. Guk qonunining (6) ifodasidan koordinata bo‘yicha hosila olamiz: (11) lekin (12) hamda (13) bu yerda orqali Laplas operatori belgilangan. Endi (12) va (13)ifodalardan foydalanib (11)- Guk qonunini quyidagicha yozish mumkin: yoki

O'xshashlar

ELASTIKLIK NAZARIYASINING SODDA MASALALARI

GEOGRAFIYA FANINING RIVOJLANISHINI ASOSIY BOSQICHLARI VA DAVRLASHTIRISH MASALALARI

PLASTIKLIK SHARTLARIDA HOLAT TENGLAMALARI

Shartsiz va shartli ekstremum masalalari.

Muzeyshunoslikning dolzarb masalalari