logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. GRUNTLAR MEXANIKASINING NOCHIZIQLI MASALASI

GRUNTLAR MEXANIKASINING NOCHIZIQLI MASALASI

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

1389.8525390625 KB
Ko'chirib olish
GRUN TL A R MEX A N I K A SI N I N G N OCHI ZI QL I MA SA L A SI MUN DA RI J A KIRISH ........................................................................................................................................................ 2 - Bob. CHEKLI ELEMENTLAR USULINING ASOSIY TUSHUNCHALARIⅠ ....................................................... 4 1.1 Atamalar .......................................................................................................................................... 4 1.2 Chekli elementlar usulining asosiy qadamlari ................................................................................. 5 1.3 Xatoliklarning manbalari va approksimatsiya .................................................................................. 7 1.4 Chekli elementlar usuli algoritmining umumiy sxemalari ................................................................ 7 1.5 Chekli elementlar haqida tushuncha ............................................................................................... 9 1.5.1 Element atributlari ................................................................................................................. 10 1.5.2 Shaxsiy o ‘lchamlilik ................................................................................................................ 10 1.5.3 Tugun nuqtalari ...................................................................................................................... 11 1.5.4 Element geometriyasi ............................................................................................................. 11 1.5.5 Erkinlik darajasi ...................................................................................................................... 12 1.5.6 Tugun kuchlari ........................................................................................................................ 12 1.5.7 Aniqlovchi munosabatlar ........................................................................................................ 12 1.5.8 Kesim yuzalarining xususiyatlari ............................................................................................. 13 1.6 Mexanikada ishlatiladigan ChE klassifikatsiyasi ............................................................................. 13 - Bob. CHEKLI ELEMENTLAR USULIDA MASALAR YECHIMI Ⅱ .................................................................. 15 2.1 Chekli element usulining umumiy yechimi .................................................................................... 15 2.2 Potensial energiya to’liq funksionali. ............................................................................................. 19 2.3 Chekli element usulida sterjen cho'zilishi (siqilishi). ...................................................................... 20 2.4 Chekli element usulida sterjen egilishi. ......................................................................................... 25 2.5 Bikir poydevorlar tag yuzi sirtida kontakt kuchlanishlarni tarqalish qonuniyatlari. ....................... 31 2.6 Grunt modellari to‘g‘risida asosiy ma’lumotlar. ............................................................................ 33 2.7 Vinkler modeliga mansub zaminda tasmasimon poydevorlarning egilishi, grunt reaktiv bosimi va unda hosil bo‘lgan zo‘riqishlarni aniqlash nazariyasi. .......................................................................... 36 2.8 Chekli element usulida bir uchi qistirilgan, bo’ylama kuch ta’sirida ko’ndalang kesim pog’anali o’zgaruvchi sterjen masalasi ............................................................................................................... 41 Xulosa ...................................................................................................................................................... 43 Asosiy foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati ............................................................................................... 44 1 KIRISH 1. Masalaning qo ’ yilishi . Bitiruv malakaviy ishda ko ’ ndalang kesimi pog ’ anali , bo ’ ylama kuch ta ’ sir etayotgan sterjenni chekli elementlar usuli yordamida ajratilgan elementlari tugunlaridagi siljishi aniqlash maqsad qilib qo ’ yilgan . 2. Mavzuning dolzarbligi. Muhandislik konstruksiyalarida elastik sterjenli sistemalar jumladan ramalar, fermalar, arkalar, va balkalar keng qo’llaniladi. Bitiruv ishi doirasida shunday konstruksiyalar biri sifatida ko’ndalang kesimi pog’anali bir jinsli, bo’ylama kuch ta’sir sterjenning cho’zilish (siqilish) masalasini chekli elementlar usuli yordamida aniqlash dolzarbligi hisoblanadi. 3. Ishning maqsad va vazifalari. 1) Chekli elementlar usuli izlanayotgan funksiyaning tugun qiymatlariga nisbatan algebraik tenglamalar sistemasini tuzishning qulay sxemasini qurish imkonini beradi. Sodda polinomial funksiyalar yordamida yechimni taqribiy approk-simatsiyalash va barcha zaruriy operasiyalar alohida tanlangan elementlarda bajariladi. Keyin esa elementlarni birlashtirish amalga oshirilib, talab qilingan algebraik tenglamalar sistemasiga kelinadi. Alohida elementdan ularning to‘la majmuasiga o‘tishning bunday algoritmi ayniqsa geometrik va fizik murakkablikka ega tizimlar uchun juda qulay. 2) Chekli elementlar usuli yordamida olingan har bir alohida algebraik tenglama barcha tugunlar noma’lumlariga nisbatan ularning bir qisminigina o‘z ichiga oladi. Boshqacha qilib aytganda, algebraik tenglamalar sistemasining ko‘pgina koeffitsiyentlari nolga teng, bu sistemani yechishni osonlashtiradi. 3) Masalaning funksional tenglamalarni qanoatlantiruvchi funksiyalar orqali ifodalanuvchi yechimi kontinual yechim deb ataladi. Bulardan farqli ravishda, diskret masalalarning yechimi ularga mos algebraik tenglamalar sistemasini qanoatlantiruvchi chekli sondagi parametrlar orqali aniq aniqlanadi. Xuddi 2 boshqa sonli usullar kabi chekli elementlar usuli ham kontinual masalani diskret masalaga taqribiy almashtiriladi. Chekli elementlar usulida bu almashtirishning barcha proseduralari sodda fizik ma’noga ega. Bu esa masalani yechishning butun jarayoni o‘zini to‘lasincha namoyon qilishiga, mumkin bo‘lgan ko‘plab xatolardan qochishga va olingan natijalarni to‘g‘ri baholashga imkon beradi. 4) Kontinual masaladan tashqari chekli elementlar sxemasi diskret masalalarni to‘g‘ridan to‘g‘ri yechishda elementlarni birlashtirishga va algebraik tenglamalarni tuzishga ham qo‘llaniladi. Bu esa usulning qo‘llanilish sohasini kengaytiradi. 4. Ishning ilmiy tadqiqot usuli. Ilmiy tadqiqot usuli sifatida bo’ylama kuch ta’sirada bo’lgan ko’ndalang kesimi po’g’anali o’zgaruvchi sterjenni chekli elementlar usulidan foydalanib analitik usulda aniqlash maqsad qilib belgilangan. 5. Ishning ilmiy-amaliy ahamiyati. Muhandislik konstruksiyalari hisoblashda bir qancha usullardan foydalanilgan. Shunday usullardan biri chekli elementlar usuli hisoblanadi. Ushbu usulda sterjenning bo’ylama kuch ta’sirida siljishi, deformatsiyasi, kuchlanishi analitik usulda topilgan. 6. Ishning tuzulishi. Bitiruv malakaviy ishi kirish, xulosa va foydalanilgan asosiy adabiyotlar ro’yhatidan iborat bo’lib jami 43 betni tashkil etadi. 7. Olingan natijalar qisqacha mazmuni. Ko’ndalang kesimi pog’anali o’zgaruvchi, bo’ylama kuch ta’sirida sterjen tugunlarida siljishi, deformatsiyasi, kuchlanishi chekli elementlar usuli yordamida aniqlandi. 3 Ⅰ - BOB. CHEKLI ELEMENTLAR USULINING ASOSIY TUSHUNCHALARI 1.1 Atamalar Agar modelning erkinlik darajasi chekli bo‘lsa, bunday model diskret model deyiladi, aks holda uzluksiz (kontinual) model deyiladi. Chekli elementlar usuli diskretlash usullaridan biri bo‘lganligisababli chekli elementlar modelining erkinlik darajasi chekli bo‘lishikerak. Asosan barcha erkinlik darajalari U bilan belgilanuvchi va erkinlik darajasi vektori yoki holat vektori deb nomlanuvchi matrisa vektoriga yig‘iladi. Analitik mexanikada har bir erkinlik darajasiga umumlashgan kuchlar ko‘rinishidagi birgalikdagi o‘zgaruvchilar mos keladi. Nomexanik ilovalarda ham xuddi shunday, ya’ni kuchlar yoki kuch o‘zgaruvchilari deb ataluvchi birgalikdagi o‘zgaruvchilar mavjud. Bu kuchlar P bilan belgilanuvchi vektor matrisaga birlashtiriladi. U v a P orasidagi munosabatlar chiziqli hamda bir jinsli deb faraz qilinadi. Bundan kelib chiqadi-ki, agar U nolga intilsa, P ham nolga intiladi, bu holda ular orasidagi munosabat qiividagi asosiy tenglama bilan ifodalanadi: KU = P (1.1) bu yerda, K bikrlik matrisasi deyiladi. U va P vektorlarning fizikaviy ma’nosi chekli elementlar usullariniag qo’llanilish sohasiga qarab o‘zgaradi, bu 1.1-jadvalda ko‘rsatilgan. Agar kuchlar bilan ko‘chishlar orasidagi munosabat chiziqli lekin bir jinsli bolmasa, (1.1) tenglama quyidagi munosabatga umumlashtiriladi: KU = P j + P m (1.2) bu yerda, Pj — boshlang‘ich kuchlarning tugun vektori, masalan, termoelastiklik masalalarini yechishda boshlang‘ich temperatura kuchlanishlarini hisobga olishda paydo bo‘ladigan bosh!ang‘ich kuchlarning tugun vektori; Pm - mexanik kuchlarning vektori. 4 Chekli elementlar qo’lanilish sohasiga qarab U va P vektorlarning fizikaviy ma’nosi 1. 1 – jadval Qo ’ lanilish sohasi Holat vektori U Tutash vektor P Konstruksiya va qattiq jismlar niexanikasi Ko‘chish Mexanik kuch Issiqlik o‘tkazuvchanlik Issiqlik o‘tkazuvchanlik Issiqlik oqimi Potensial oqim Bosim Zarrachaning tezligi Oqimning umuiniy korinishi Tezlik Oqim Elektrostatika Elektr potensiali Zaryad zichligi Magnitostatika Magnit potensiali Magnit maydon intensivligi 1.2 Chekli elementlar usulining asosiy qadamlari Chekli elementlar usulining asosiy qadamlarini quyidagi ko‘rinishda tasvirlash mumkin:  Ideallashtirish;  Diskretlash;  Yechimi; Ideallashtirish. Ideallashtirish deganda boshlang‘ich fizikaviy sistemadan matematik modelga o‘tish jarayoni tushuniladi. Bu jarayon texnikaviy va muhandislik masalalarini echishda eng muhim qadam hisoblanadi. Bu jarayonda model tushunchasi eng asosiy o‘rinni egallaydi. Sistemaning o’zini qanday tutishini oldindan izohlab beruvchi va modellashtirish uchun tuzilgan qurilma deb model tushunchasiga simvoliktarif berish mumkin. matematik modellashtirish yoki ideallashtirish muhandisning real fizikaviy 5 sistemadan sistemaning matematik modeliga o‘tish jarayoni hisoblanadi (ideallashtirish jarayoni). Real fizikaviy sistemaga misol tariqasida ko‘ndalang kuchlar bilan ynklangan yassi plastinani ko‘rib chiqamiz. Muhandis sifatida plastinadagi kuchlanishlarni tahlil qilib chiqishimiz uchun zarur bo‘lgan sistemaning matematik modellari quyidagicha bo‘lishi mumkin: 1. Membrananing egilishi nazariyasiga asoslangan juda yupqa plastina modeli. 2. Kirxgoffning klassik nazariyasiga asoslangan o‘ta yupqa plastina modeli. 3. Mindlin-Reyssner nazariyasiga asoslangan etarli darajadagi qalin plastina modeli. 4. Uch o‘lchovli elastiklik nazariyasiga asoslangan o‘ta qalin plastina modeli. Diskretlash. Real muhandislik masalalarini echishda matematik modellashtirish jarayoni birinchi soddalashtiruvchi qadam hisoblanadi. Ammo bu fizik sistemalarning matematik modellari sodda bo‘lishi kerak degani emas. Ular ko‘pincha xususiy hosilali fazoviy koordinatalar bilan bog‘langan va vaqt bo‘yicha o’zgaruvchan hamda murakkab cliegaraviy shartlar bilan ifodalangan ko'rinishda qo'llaniladi. Bunday modellar cheksiz erkinlik darajasiga ega. Tenglamalarning echimi analitik yoki sonli bo‘lishlari mumkin. Analitik yechimlar keng ko‘lamdagi masalalarga qo‘llanilishi mumkin, chunki ular simvolik shaklda ifodalanadilar. Lekin ularni keltirib chiqarish sodda tenglamalar, muntazani maydonlar va o‘zgarmas chegaraviy shartlar bilan cheklangan. Chunki muhandis oldida turgan ko‘pgina masalalarni analitik echib bo‘lmaydi yoki juda katta mas’uliyat, vaqt va kuch talab qilinadi, shuning uchun ularni hal qilishning yagona yo‘li sonli modellashtirish va yechish usullarini tatbiq qilishdir. Sonli modellashtirishni animalda qo‘llash uchun esa ularning erkinlik darajalarini chekli qiymatlarigacha kamaytirilishi lozim. Bu jarayon diskretlash deyiladi. Diskretlash jarayonining natijasida diskret model hosil qilinadi. Murakkab muhandislik sistemalari uchun bu model ko‘p qatlamli dekompozisiyalash natijasidir. Aytib o‘tish joizki, diskiretlash fazoviy koordinatalar bo‘yicha liamda 6 vaqt bo‘yicha amalga oshiriladi, shuning uchun fazoviy va vaqt bo‘yicha diskretlash ga bo’linadi. 1.3 Xatoliklarning manbalari va approksimatsiya Sonli modellaslitirishning har bir qadami o‘ziga xos xatoliklarni beradi. Muhandislik amaliyotida fizikaviy sistemadan matematik sistemaga o‘tishdagi yo‘l qo‘yilgan xatolik muhim ahamiyatga ega bo‘lgan xatoliklardan biri hisoblanadi. Ammo bu qadamdagi x;atolikni aniqlash juda murakkab va uni baholash juda qimmatga tushadi, chunki modellami verifikasiyalash eksperimental ma’lumotlar bilan solishtirishni talab qiladi, agar ular mavjud bo‘lsa, lekin ko‘p hollarda bu ma’lumotlar mavjud bo‘lmaydi. Keyingi o‘rinda diskretlash xatoligi turadi. Diskret modellashtirish jarayoni xatoligi hisobga olinraagan holda ham olingan sonli ychimlar umumiy holda approksimatsiyalardan, ya’ni matematik niodelning taqribiy yechimlaridan iborat bo‘ladi. Bu bilan diskretlash xatosiga yoki xatolikka ega bo’lamiz. Diskret model yechimi aniqligini erkinlik darajasini oshirish orqali ta’minlashni mumkin, ya’ni erkinlik darajasi cheksizlikka intilganda diskretlash xatoligi nolga intilishini intutiv ravishda aytish mumkin. Bu tushuncha taqribiy yechimning yaqinlashislti talablarini ifodalaydi. Lekin bu tushunchani isbotlash hamma vaqt ham mumkin bo‘lavermaydi va bu muammo approksimatsiya nazariyasining muhim vazifalaridan biri bo‘lib qolaveradi. 1.4 Chekli elementlar usuli algoritmining umumiy sxemalari Chekli elementlar usuli algoritmini quyidagicha ifodalash mumkin: 1. Qaralayotgan maydon diskretizasiyasi. Qaralayotgan maydon diskretizasiyasi deb kontinual (tutash) muhitni tugunlarda chekli sondagi bog‘lanishlar orqali o‘zaro mahkamlangan, berilgan shakldagi chekli elementlar jamlamasi bilan almashtirishga aytiladi. 7 Bu bosqich ko‘rinishi soddaligiga qaramasdan muhim ahamiyatga ega. Odatda, chekli elementlar modelini yaratishda kutilayotgan yechimlarning xarakterlarini oldindan tasavvur qilishga amal qilinadi va izlanayotgan yechimning muhim gradientlari mavjud bo‘lgan joylarda chekli elementlar to‘ri zichlanadi. 2. Variatsiyalash prinsipiiti tanlash Variatsiyalash prinsipini tanlash asosiy noma’lum funksiyani aniqlaydi va uning yordamida qolgan noma’lumlar belgilanadi. Deformatsiyalanuvchi qattiq jismlar mexanikasi masalalarida quyidagi variatsiyalash prinsiplaridan foydalaniladi: Lagranj prinsipi (unga asosan ko‘cliishlar variatsiyalanadi), Kastilyano prinsipi (kuchlanishlar variatsiyalanadi; Reyssner prinsipi (ko‘chish va kuchlanish variatsiyalanadi), Xu-Vashisi prinsipi (ko‘chish, kuchlanish va deformatsiyalar variatsiyalanadi). Amaliyotda asosan Lagranj prinsipi ishlatiladi, shuning uchun keyingi tushuntirishlar uning asosida olib boriladi. 3. Approksimatsiyalovchi funksiyalarni tanlash Uzluksiz - qismli approksimatsiyalashda element ichidagi ko‘chish uning tugunlaridagi ko‘chishlar bilan ifodalanadi deb faraz qilinadi. Bu bog‘lanish funksiya shakli deb ataluvchi, element ichidagi ko‘chishning haqiqiy maydonini approksimasiya futiksiyasi bilan ifodalanadi. Yechimning aniqligi etarli darajada approksimatsiya funks iyas ini tanlashga bog‘liq. Bu funksiyalar quyidagi kriteriyalarni qanoatlantirishi shart: • to‘liqIik kriteriyasi: element o‘lchamlari nolga intilganda tanlangan sliakl funksiyasi istalgan sodda qiymatlami ta’minlashi lozim. • moslik kriteriyasi: shakl funksiyalari ko‘chishlar va ularning hosilalari uzluksizligini elementlar orasidagi chegarada (n-1) , darajasigacha ta’minlashlari zarur. Agar elementning tanlangan turi ko‘chishlar maydonining uzluksizligini ta’minlasa, unda bu elementni klassifikatsiya bo‘yicha SO-elementlar sinfiga kiradi, agarda deformasiyaning uzluksizligini ta’minlasa unda SI-elementlar sinfiga kiradi. 8 Modellashtirilayotgan konstruksiyaning chekli elementlar sonini oshirish bilan bu kriteriyalar bajarilganda, natijalar monoton ravishda aniq yechimga yaqinlashadi. Bir qator hollarda o‘zaro mos kelish kriteriyasining buzilishi yuqori aniqlikdagi maqbul natijalarga olib keladi, lekin bu holatda yaqinlashish monoton bo‘la olmaydi. 4. Variatsiyalash prinsipini amalga oshirish Bu bosqichda elementlaming bikrlik matrisalari aniqlanadi va algebraik tenglamalar sistemasi hamda kuchlar vektori global (bosh) matrisalari tuziladi. Bikrlik global matrisasi bir nechta usul bilan tuzilishi mumkin: - bikrliklarni bevosita qo‘shish usuli bilan; - kongruent qayta tashkil qilish usuli bilan; - chekli ayirmalar operatorlari yordamida. 5. Chegaraviy shartlarni hisobga olish Keltirilgan usullar asosida olingan bikrlik matrisalari buzilgan hisoblanadi, chunki berilgan sistema muvozanat tenglamalariga mos holda tenglamalarning bir qismi o‘zaro bog‘liq. Chegaraviy shartlarni hisobga olib bu matrisalarni o‘zgartirish chiziqli algebreik tenglamalarning buzilgan sistemasiga olib keladi. 6. Algebraik tenglamalar sistemasiniyechish Algebraik tenglamalar sistemasini yecliish uchun EHM larining matematik ta’minotida mavjud bo‘lgan standart progi'aminalardan foydalaniladi. 7. Deformatsiya va kuchlanishlarni aniqlash Elastiklik nazariyasining ma’lum munosabatlariga mos ravishda tugun ko‘chishlari aniqlangandan so‘ng deformatsiya va kuchlanishlar topiladi. 1.5 Chekli elementlar haqida tushuncha Ta’rif. Chekli elementlar usulining konsepsiyasining asosi - konstruksiya matematik modelining geometrik sodda o‘zaro kesishmaydigan komponentlari (maydonchalari), ya’ni chekli elementlar deb ataluvchi elementlariga ajratib chiqishdan iborat. Konstruksiya ajratib chiqilgan elementlar to‘plamini chekli elementlar to'ri deyiladi. Har bitta elementning mexanik xulqi (o‘zini tutishi) erkinlik 9 darajasining chekli soni bilan yoki tugun nuqtalari to‘plamidagi izlanayotgan funksiyalar yordamida aniqlanadi. Shunday qilib, matematik modelning o‘zini tutishi, hamma elementlarni yig‘ib chiqish yo‘Ii bilan olingan diskret modelning o‘zini tutishi approksimasiyasi bilan izohlanadi. 1.5.1 Element atributlari Chekli elementlarning asosiy turlarini va atributlari deb ataluvchi xususiyatlarini ko‘rib chiqamiz (1.1-rasm). 1.5.2 Shaxsiy o ‘lchamlilik Yechilishi kerak bo‘lgan masalalarning o'lchamliligiga qarab ChE bitta. ikkita yoki uchta fazoviy koordinatalar bilan ifodalanishi mumkin. Ichki yoki lokal koordinatalariaing mos sonlari elementning shaxsiy o‘lchamliligi deyiladi. Dinamik tahlillarda vaqt qo‘shimcha o’lchamlilik sifatida qaraladi. Shuni aytish kerakki, hisoblashlarda o‘lchamli maxsus elementlar ham ishlatiladi, bular jumlasiga massalar yoki to‘plangan elastik elementlar (prujinalar) kiradi. 101.1-rasm. Mexanikaning bir, ikki va uch o‘lchamli masalalariga mo‘ljallangan chekli elementlarning asosiy turlari 1.5.3 Tugun nuqtalari Har bitta element xarakterli nuqtalar to‘plami tugun nuqtalari deb ataladigan nuqtalar bilan ifodalanadi. Tugun elementlarning geometriyasini va fizikaviy erkinlik darajasini ifodalasli uchun xizmat qiladi. Tugunlar asosan elementlarning burchak yoki chekki nuqtalarida joylashgan bo‘ladi, lekin ular burchak tugunlari orasida va elementlar ichida joylashishlari ham niunikin. Bu cliekli elementni ta’minlab beruvchi approksimasiya darajasi bilan bog‘liq. Ta’kidlab o‘tish kerakki, ichki tugunlarga ega bo‘lgan elementlar ham mavjud. Nazariy jihatdan bunday elementlar jism geometriyasini va izlanayotgan fanksiyani juda aniq ifodalaydilar, lekin bunday elementlar kam tarqalgan. Chekli element to‘rlarining zamonaviy avtomatik generatorlari mavjudligi tufayli ko‘pincha konstruksiyani son jihatdan ko‘p bo‘lgan oddiy shakldagi chiziqli elementlarga ajratib chic[ish, to‘mi qurishda qo‘lda bajariladigan murakkab ishlarni talab qiladigan yuqori darajali elementlardan foydalanishga qaraganda qulaydir. Faqat burchak tuguniga ega bo’lgan elementlar chiziqli elementlar deyiladi va geometriya hamda funksiyaning chiziqli interpolyasiyasini ta’minlaydi. Interpolyasiya degan matematik tushunchaning ma ’nosi – biror miqdorning bir necha ma 'lum qiymatlaridan foydalanib, shular orasidagi noma’lum qiymatlarini topish amali tushuniladi. O‘zlarining chegaralarida burchak nuqtalari orasida qo‘shimcha tugunlarga ega bo‘lgan elementlar kvadrat yoki kubik interpolyasiyalaslmi ta’minlab berishlari murnkin. Birinchi holatdagi elementlar kvadrat elementlar deyiladi. Ichki tugunlarga ega bo‘lmagan elementlar serenditip oilasiga kiritiladi. 1.5.4 Element geometriyasi Elementning geometriyasi tugun nuqtalarining joylashishi orqali ifodalanadi. Hisoblashlarda qo‘llaniladigan ko‘pgina elementlar yetarlicha sodda geometrik shaklda bo’ladi. Masalan, bir o‘lchamli masalalarda asosan elementlar to‘g‘ri chiziqli kesma elementlar yoki egri chiziqli segmentlar shaklida bo‘lishlari, ikki o’lchamli holatda elementlar uch tomonli yoki to‘rt tomonli shaklda, uch 11 o‘lchamli masalalarda esa elementlar tetraedr, prizma va geksaedr kabi geometrik shakllar ko‘rinishlarida ishlatiladi (1.2-rasm). 1.5.5 Erkinlik darajasi Erkinlik darajasi elementlarning fizikaviy holatini, ya’ni elementlarni ifodalovchi fizikaviy maydonni aniqlaydi. Umumiy erkinlik darajasidan foydalanilib qo‘shni elementlarda model yig‘ish amalga oshiriladi va chekli elementlar tenglamalarining bosh sistemasi shakllantiriladi. Erkinlik darajasi sifatida noaniq funksiyaning tugun qiymatlari yoki ulaming tugunlardagi fazoviy koordinatalari bo‘yicha hosilalari olinishi mumkin. Birinchi holatda elementlari Lagranj elementlari turiga; ikkinchi holatda esa Ermit elementlar turiga kiritiladi. Masalan, sterjenning cho‘zilishi ko‘rinishidagi oddiy masalada sterjenning bo‘ylama ko'chishi noaniq funksiya hisoblanadi. Bu funksiyaning tugun qiymatlari esa erkinlik darajasi vazifasini bajaradi, demak chekli element Lagranj elementlari turiga kirar ekan. Aksincha, sterjenning egilishi masalasida, sterjen markaziy o‘qining ko‘ndalang ko'chishi noaniq funksiya, erkinlik darajasi sifatida esa ham funksiyaning tugunlardagi qiymatlari ham bo‘ylama koordinatalari bo‘yicha hosilalari qaraladi. Bu hosilaning fizikaviy ma’nosi - sterjenning ko‘ndalang kesim yuzasining burchak burilishi degani. Shunday qilib, sterjenning egilishi masalasida ishlatiladigan chekli element Ermit elementlari turiga kirar ekan. 1.5.6 Tugun kuchlari Tugun kuchlari sistemasi erkinlik darajalariga to‘laligicha mos keladi va tugun kuchlari bosh vektori orqali ifodalanadi. 1.5.7 Aniqlovchi munosabatlar Mexanik hisoblarda qo‘llaniladigan aniqlovchi munosabatlarni belgilovchi chekli elementlar konstruksiya materialining xulqini (o‘zini tutishini) ifodalaydi. Ko‘pincha aniqlovchi munosabatlar sifatida nuqtadagi deformatsiya tenzori bilan 12 kuchlanishlar tenzorini bog'lovchi Guk qonunining umumlashgan ko‘rinishida ishiatiladi. Chiziqli elastik sterjen elementi uchun E Yung moduli ko‘rinishi va temperatura kengayishi koeffitsiyentining berilishi yetarlidir. 1.5.8 Kesim yuzalarining xususiyatlari Kesim yuzalarining xususiyatlariga balka, sterjen, plastinalar kabi bir va ikki o’lchamli chekli elementlaming yuzalari va inersiya momentlari kiradi. Shuningdek, bu guruhga plastinka va qobiqlaming qalinliklari ham kiritiladi. Chekli elementlarni qurishda kesim yuza xususiyatlari berilgan bo‘ladi va elementning natijaviy bikrlik matrissasi tarkibiga kiradi. 1.6 Mexanikada ishlatiladigan ChE klassifikatsiyasi Sodda konstruksiya elementlari. Sodda konstruksiya elementlariga sterjen, balka, truba, brus, siljishga ishlaydigan panel turlari kiradi. (1.2-rasm). Bu elementlarni ifodalovchi tenglamalar materiallar qarshiligi nazariy holatlaridan, ya’ni soddalashtirilgan mexanik ifodalardan keltirilib chiqariladi. Kontinual chekli elementlar. Kontinual chekli elementlar tutash muhit (kontinuum)ning chekli hajmi yoki yuzasini ifodalaydi. Masalan, kontinual 131.2-rasm. Sodda tuzilmaviy elementlar elementlarga plastinka, o‘qqa nisbatan simmetrik elementlar, uch o‘lchovli qattiq jismli elementlar bularga misol bo‘la oladi (1.3-rasm). Ularni tavsiflovchi asosiy tenglamalar tutash muhit mexanikasining umumiy munosabatlarida, xususan, elastiklik nazariyasida, chiqarilgan. Maxsus chekli elementlar . Maxsus chekli elementlar ham konstruktiv va ham kontinual chekli elementlar xossalariga ega. Ular ham tutash muhit exanikasining asosiy tenglamalaridan chiqariladi, ammo ular yechilayotgan masalaning fizik xususiyatlaridan bog‘liq ba’zi xususiyatlarni o‘z ichiga oladi. Masalan, yemirilish mexanikasida yoriqli element; ko‘p qatlamli panel; chekli va cheksiz elementlar; tutash va jarimali elementlar; absolyut qattiq jismli elementlar va hokazo (1.4-rasm). Qism tuzilmalar. Qism tuzilmalar tuzilmaviy xususiyat-lar yoki funksiyalar bilan ifodalangan makroelementlardan tashkil topadi. Odatda, ular to‘la qurilmani funksional komponentalarga bo‘lishdan kelib chiqadi. Masalan, samolyotning qanoti va fuzelyaji; osma ko‘prikning ravog‘i va arqonlari. Shuni ta’kidlash lozimki, hamma vaqt ham to‘la urilma, qism tuzilma va makroelementlar tushunchalari orasida farq bo‘lavermaydi. 141.3-rasm. Kontinual chekli elementlar 1.4-rasm. Maxsus chekli elementlar Ⅱ - BOB. CHEKLI ELEMENTLAR USULIDA MASALAR YECHIMI 2.1 Chekli element usulining umumiy yechimi Hisoblashning birinchi bosqichida statik jihatdan aniqlanmagan sterjenlar birikmasi (majmuasi)ning asosiy tizimni tashkil qiladi. Ko'chirish usuliga kelsak, bunday tizim dastlabki hisoblash obyektini alohida elementlarga bo'lish natijasida olinadi, ular uchun siqilgan uchlarning harakatlari va qo'shimcha bog'lanishlardagi reaktsiyalar o'rtasidagi munosabatlar ma'lum - qistirib mahkamlangan harakatlari va momentlari deb ataladi. Shubhasiz, bu operatsiya yadro tizimining dizayn sxemasini, ya'ni cheklangan o'lchamlarning alohida elementlariga bo'linishni diskretlash xususiyatiga ega. Aytishimiz mumkinki, 15 harakat usuli ikki tugunli egilgan sterjenning oxirgi elementini (CHE) ko'rib chiqadi. Tugunlarning har biriga bitta erkinlik darajasi beriladi — oxirgi qismning burilish burchagi. Asosiy sxemasining maydoni ikki o'lchovli bo'lsin, ya'ni uning barcha xarakteristikalari ikki koordinataga bog'liq (rasm.). Ushbu sohaning har bir ChE muhit natijasining barcha fizik va geometrik xususiyatlarini saqlab qoladi. Soha chegarasida chegara shartlari berilgan, ya'ni kuchlar yoki harakatlarning tarkibiy qismlari. Ω sohasining kuchlanish holati muammosiga klassik yondashuv ushbu sohaning cheksiz kichik elementini tahlil qilishni o'z ichiga oladi. Agar ikki yoki uch o'lchovli soha ko'rib chiqilsa, hal qiluvchi tenglamalar differentsial va qisman hosilalar bo'ladi. Differentsial tenglamalarni yopiq shaklda yechish har doim ham mumkin emas. Texnikada differentsial tenglamalarni taxminiy yechishning turli usullari qo'llaniladi. ChE usuli boshqacha yondashuvni nazarda tutadi: cheklangan o'lchamdagi element ko'rib chiqiladi, bu kuchlanish-deformatsiya holatining cheksiz parametrlari bo'lgan tizimdan cheklangan miqdordagi parametrlarga o'tishni anglatadi. Ikki o'lchovli Ω sohasining dizayn sxemasi uchun asosiy tizim-bu cheklangan o'lchamdagi elementlarning cheklangan soni (rasm. 1). ChE umumiy nuqtalarda tugunlarda ulangan. Asosiy sxema tuguni Ω sohasining bir nechta 165 rasm. 6 rasm. kesimlari uchun umumiy bo'lishi mumkin. Tugunlarga hisoblash sxemasi qo'shimcha ulanishlar beriladi, ularning soni ko'rib chiqilayotgan muammoning xususiyatlari bilan bo'linadi masalan, elastiklik nazariyasining tekis muammosini tekislikdagi chiziqli harakatlarni istisno qiladigan ikkita mahkamlanish bilan cheklash mumkin. Shuning uchun, har bir tugunda Ω sohasining alohida ChE ga ikkita bog'lanish berilishi kerak (1.6, a rasm.). sterjenlar birikmasi (majmuasi) analitik yechimlarga o'xshash reaktsiyalar tushunchalari qo'shimcha ravishda bir- biriga bog'langan holda kiritiladi1.6, b rasm). Tugunlarning harakati natijasida yuzaga keladigan (1.6, v rasm). Rasmda ko'rsatilgandek, tugun reaktsiyalari va nuqta tugunlarining harakatlari o'rtasida paydo bo'ladi. a, b, v elastiklik nazariyasining tekis masalasi uchun: Tanlangan ChE (rasm. 1) to'rtburchaklar shakliga ega, uning tomonlari i, j, k,l tugunlariga to'g'ri keladi. Umuman olganda, tugunlar soni to'rtburchakning tomonlari sonidan ko'p bo'lishi mumkin, lekin har doim cheklangan bo'lib qoladi. Qo'shimcha bog'lanishlardagi tugun reaktsiyalari va tugun harakatlari ushbu koordinatalar tizimidagi komponentlar tomonidan aniqlanadi (rasm. 18, a). Har bir tugunda ikkita tugunni almashtirish komponenti mavjud –u, v (rasm. 18, v). Deformatsiyaning elastik bosqichida tugunlarning qo'shimcha bog'lanishidagi reaktsiyalar va tugun harakatlari o'rtasida chiziqli bog'liqlik quyudagi ko’rinishda:Rix= k11ui+k12vi+k13uj+k14vj+k15uk+k16vk+k17ul+k18ul(2.1 ) Bu yerda kij - qattiqlik koeffitsientlari. k ij qattiqlik koeffitsientining fizik ma'nosi (2.1) munosabatga nisbatdan i tugundagi kuch sifatida ko'rinadi, yo'nalish bo'yicha bitta pegemestatsiyadan kelib chiqadi, j indeksi bilan belgilanadigan, bitta yo'nalishi bo'yicha pegemestatsiyadan kelib chiqadi. (2.1) turdagi ifodalar chekli elementlar tugun kuchlarining barcha sakkizta komponenti uchun yozilishi mumkin (rasm. 2, a) . Agar Ω sohasining har qanday qisqa kontakt uchun (2.1) turdagi munosabatlar, shuningdek tashqi yukning tugunli komponentlari ma'lum bo'lsa, tugun kuchlarining muvozanat tenglamalari asosiy ko’rinishi tugunlarning harakatiga nisbatan chiziqli algebraik tenglamalarga aylanadi. (2.1) munosabat dagi ifodalar cheklangan elementlarning 17 tugun kuchlarining barcha sakkizta tarkibiy qismlari uchun yozilishi mumkin (1.6, a -rasm). Agar Ω soh asining har qa nday qisqa kontakt uchun (2.1) tenglamada gi munosabatlar, shuningdek tashqi yukning tugunli komponentlari ma'lum bo'lsa, tugun kuchlarining muvozanat tenglamalari asosiy ko’rinishi tugunlarning harakatiga nisbatan chiziqli algebraik tenglamalarga aylanadi. Agar tugun ko’chishlari va har bir tugundagi kuchlar o'rtasida munosabatlar quyidagi ko’rinishda bo’ladi: u i = δ 11 P ix + δ 12 P iy + δ 13 P jx + δ 14 P jy + … + δ 18 P ly ( 2.2 ) Bu yerda δ11 - muvofiqlik koeffitsientlari, keyin hisoblash sxemasining har bir tuguni uchun tugun ko’chishlarining mosligi tenglamalarini yozish mumkin, ya'ni kuchlar muvozanatlik sharti qo'llaniladi. Ko'chirish usulini qo'llash kuchlar usuliga qaraganda ancha samarali bo'ldi. Chekli elementlar usuli dastlab elastiklik usuli sifatida tanilganligi bejiz emas. Chekli elementlarning barcha tugun kuchlari uchun (2.1) tenglamadagi nisbatlarni matritsa shaklida yozilishi mumkin: ¿ (2.3) Matritsa belgilaridagi yozuvlarni yanada ixchamlaymiz: {R }r=[k]{q}r (2.4) Ustun matritsasi { R } r odatda ChE tugun (kuch)reaktsiyalari vektori deb ataladi. Shubhasiz, tugun reaktsiyalari vektorining tarkibiy qismlari soni ChE tugunlarining erkinlik darajalari yig'indisiga teng: { R } r = { R ix R iy … R ly } ( 2.5 ) Xuddi shu miqdor, shuningdek, harakat vektorining tarkibiy qismi bilan tartibini aniqlaydi : { q } r = { u i v i … v l } ( 2.6 ) 18 Umumiy yig’indi ko’rinishida: u r = ∑ i = 1n q i f i (2.7) 2.2 Potensial energiya to’liq funksionali. S terjenlar birikmasi (majmuasi) hisoblashda bir o'lchovli masala ko'rib chiqiladi va barcha xarakteristikalari geometrik (qalinligi), fizik (elastiklik moduli, Puosson koeffitsientlari) va kuchlanish-deformatsiya holatining tarkibiy qismlari (kuchlanish, deformatsiya) bo'lgan izotropik materialdan tayyorlangan material lar bitta argumentning funktsiyasidir. Bu shuni anglatadiki, tekis bo'limlar gipotezasi hisoblashning dastlabki sharti sifatida qabul qilingan. Biz chiziqli sistemada sterjenning kuchlanish-deformatsiyalangan holatini ko'rib chiqish bilan cheklanamiz, ya'ni kuchlanish va deformatsiyalar Gukning chiziqli bog'liqligi bilan bog'liq deb hisoblaymiz. Biz sterjenni umumiy qabul qilingan x,y,z koordinatalar tizimiga olib boramiz (7 rasm), bu yerda x o'qi: - bu sterjenning markazidan o’tuvchi o'qi, y va z o'qlari esa yordimchi o'qlar. Ixtiyoriy yuklar tizimi ta'siri ostida novda deformatsiyalanadi, kesmalarda M x,M y,Q x,Q y ichki kuchlar paydo bo'ladi. Sterjenning deformatsiyalangan holati chiziqli ( u , ν , ω ) bilan tasvirlanadi va burchak ( α,γy,γz ) harakatlari bilan x, y, z koordinata o'qlarining o'qi bo'ylab harakatlanadi. 19 7 rasm Sterjenning funktsional to'liq potentsial energiyasini quyidagi shaklda ifodalanishi mumkin: Π = 1 2 ∫ 0l ( M ¿ ¿ x η x + M z η z + M x α + Q y γ y + Q z γ z + N ε x ) dx − ¿ ∫ 0l ( p ¿ ¿ x( x ) u + p y ( x ) v + p z ( x ) ω + m x ( x ) α + m y ( x ) γ y + m z ( x ) γ z ) dx ¿ ¿ ¿ (2.8) Bu yerda ηx,ηz - xOz va xOy tekisliklaridagi elastik chiziqning egriligi ; γy,γz - tekisliklarda kesish burchaklari; α – x o'qiga nisbatan burilish burchagi; ε x - x o'qi yo'nalishi bo'yicha chiziqli deformatsiya; ¿ ¿ - x,y,z o'qlari bo'ylab taqsimlangan yuklarning intensivligi; mx(x),my(x),mz(x) , - taqsimlangan momentlarning intensivligi mos ravishda x, y, z o'qlariga to'g'ri keladi. 2.3 Chekli element usulida sterjen c ho'zilishi (siqilishi). Ushbu ko’rinishda kuchlar sterjenning to'g'ri chiziqli o'qi bo'ylab yo'naltirilgan bo’lib va kuchlanish va deformatsiyalar maydon kesimlari bo'ylab teng ravishda taqsimlanadi. Yuqorida funktsional to'liq potentsial energiyasini (2.8) quyidagi ko’rinishda yozamiz: Π = 1 2∫0 l EF du (x) dx du (x) dx dx −∫0 l p(x)udx (2.9 ) Bu yerda u ( x ) - sterjen o’qi bo’ylab ko’chishi (siljishi); du ( x ) dx = ε x - nisbiy cho'zilishning deformatsiyasi; E du ( x ) dx = σ x - kesim bo'ylab teng taqsimlangan normal kuchlanish; p ( x ) - sterjen o'qi bo'ylab yo'naltirilgan tashqi kuchlarning 208 rasm funktsiyasi.Funksional ko’rinishiga kiritilgan siljishlar funksiyasi hosilasi, mazmunan 1-darajadagi polinom siljishlar aproksimatsiyasini bildiradi. u( x ) = α 1 + α 2 x ( 2.10 ) Ushbu polinom ikkita koeffitsientni o'z ichiga olganligi sababli, ko'rib chiqilayotgan cheklangan elementlar uchun biz ikkita erkinlik darajasini tanlaymiz q1 va q2 ; quyidagilar fizik ma’nosi: q1 -1-tugunning chiziqli harakati; q2 - 2-tugunning chiziqli harakati; q 1 va q 2 erkinlik darajalarining qiymatlarini formuladagi α1 va α2 doimiy koeffitsientlari bilan bog'lash qiyin emas. ( 2.9 ) ifodani chekli element i, j nuqtalari orqali yozamiz. ui= α1; uj= α1+α2l; (2.11) (2.11) ifodan α1,α2 koeffitsiyentlarni topib o’lamiz. Bu koeffisiyentlar (2.10) ifodaga nisbatan to’g’ri chiziqli tenglamalar sistemasini tashkil etadi. α 1 = u i ; α 2 = u j − u i l (2.12) Ko’chish funksiyasilarini erkinlik darajalari q 1 , q 2 oraqali ifodalanadi. (2.12) ifodani (2.10) ga olib boramiz; u x = q 1 l − x l + q 2 x l ; (2.13) Bu yerda q1=ui;q2= uj; (2.13) ifadani (2.7) taqqoslaydigan bo’lsak, f1= l− x l , f 2 = x l (2.14) ga teng ekanligini bilib olamiz. Koordinata funktsiyalari ba'zi umumiy xususiyatlarga ega, bu ularni (2.11) va (2.12) ifodalari bilan aniqlangan algebraik tengliklarni chetlab o'tib, to'g'ridan-to'g'ri yozib olishga imkon beradi: 1. Koordinata funksiyasi fi(i=1,2 ) bir chekli element ichidagi siljishlar qonuniyatini anglatadi. Bu holda i≠0 qolganlari i=0 bo’ladi. 2. Koordinata funksiyasi fi(i=1,2 ) polinom va siljishlar aproksimatsiya funksiyasi bir xil qonuniyatda yoziladi. 3. Координата функцияси fi(i=1,2 ) tugunlardan biri birga teng bo;lsa qolganlarida fi= 0 bo’ladi. Bikrlik koeffitsientlari quyidagi formula bo'yicha aniqlanadi: 21 k ij = ∫ 0 l σ i( x ) ε i ( x ) dx = ∫ 0 l [ EF ( du dx ) i( du dx ) j] dx ( i = 1,2 ; j = 1,2 ) (2.15) Endi biz har bir nuqtalar uchun bikrlik koeffitsiyentini topib chiqamiz. k12=∫0 l EF ( −1 l )( −1 l )dx = EF l ; k12=∫0 l EF ( −1 l )( 1 l)dx = − EF l ; k21=∫0 l EF ( 1 l)( −1 l )dx = − EF l ; k22=∫0 l EF ( 1 l)( 1 l)dx = EF l ; Shunday qilib, chekli element usulida sterjen cho'zilishi (siqilishi) bikrlik koeffitsiyentiga nisbatan 2 × 2 matrissani hosil qilamiz. bikrlik koeffitsiyenti matritsasi tugun harakatlari o'rtasidagi bog'liqlikni ko’rsatadi, cheklangan element va qo'shimcha bog'lanishlardagi reaktsiyalar, qabul qilingan erkinlik darajalariga mos keladi: { R1 R2}= [ EF l − EF l − EF l EF l ]{ u1 u2}, (2.16) Bu matrissani quyidagi umumiy ko’rinishda yozib olsak ham bo’ladi: { R } = [ k ]{ q} (2.17) Bikrlik matritsasining koeffitsientlari (2.16) fizik sabablarga ko'ra olinadi. Darhaqiqat, tugun ko’chishlari ChE sohasidagi ko’chishlar va kuchlanishlarni to'liq aniqlanadi. ChE usuli dastlabki sharti bu s terjenlar birikmasi (majmuasi ) uchun bajariladi. Ko'rinib turibdiki, chekli elementlarning 1-tugunining eksenel siljishi, agar 2-tugunda eksenel siljishlar chiqarib tashlansa, ya'ni berilgan erkinlik darajasiga mos keladigan cheklov o'rnatilgan bo'lsa, chekli 229 rasm elementlarda kuchlanishlarni keltirib chiqaradi. l tuguniga tatbiq etilgan R1 konsentrlangan kuch, u2 ko’chish yo'nalishi bo'yicha bog'lanish mavjud bo'lganda, chiziqli ravishda R1 ga bog'liq bo'lgan u1 ko’chishiga olib keladi: u 1 = R 1 l EF bu formuladan R 1 = EF l u 1 (2.18) 2-tugunning qo'shimcha ulanishida, u1 siljishi mavjudligi sababli, muvozanat holatidan aniqlanadigan R 2 reaksiya kuchi paydo bo'ladi: R2=− EF l u1 (2.19) Agar 1-tugun tomonidan qabul qilingan siljish birga teng qiymatga ega bo'lsa, u holda tugundagi reaksiya kuchlari (2.18) va (2.19) ifodalari chekli elementlarning qattiqlik koeffitsientlariga aylantiriladi. Ko'chish u1 = 1 va u2 = 0 bo'lgan holatda tugun kuchlarini topish juda oson bo’lib qoladi. O'zgaruvchan ko'ndalang kesimli sterjen uchun chekli elementlarning bikrlik matritsasi elementlarini ∂ ∂qr U r(qr)=[k]r{q}r, ∂ ∂qr W r(qr)={P}r potentsial energiyaning o'zgarishi shartidan ham hisoblash mumkin. O'zgaruvchan ko'ndalang kesimli sterjen uchun quyidagi formulani kiratamiz: F(x)= F0(1− x h) Ko’rib chiqilayotgan chekli elementning bikrlik koeffitsiyenti 2 × 2 matrissasiga ega: 23 10 rasm k11= E F0∫0 l (1− x h)( −1 l )( −1 l )dx = EF0( 1 l− 1 2h); k12= k21= E F0∫0 l (1− x h)( −1 l )( 1 l)dx = E F0( − 1 l + 1 2h) ; k22= EF0∫0 l (1− x h)( 1 l)( 1 l)dx = E F0( 1 l− 1 2h) ; Topilgan ifodalarni matrissa ko’rinishda yozib olamiz: { R 1 R 2 } = E F 0 [ ( 1 l − 1 2 h ) ( − 1 l + 1 2 h ) ( − 1 l + 1 2 h ) ( 1 l − 1 2 h )] { u 1 u 2 } (2.20) Tugunlardadi har bir yukni tugunga etkazishning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik. Bir tekis taqsimlangan yuk uchun p (x) - p (25-rasm, a) 1-tugundagi tugun kuchi, taqsimlangan yukga teng. Berilgan yukni tugunga keltirishning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik. Bir tekis taqsimlangan yuk uchun p(x)= p (11-rasm, a) 1-tugundagi tugun kuchi, taqsimlangan yukga teng, P 1 = ∫ 0 l p ( x ) u 1 ( x ) dx , Bu yerda u 1 ( x ) – u (x) ko'chish funksiyasining u 1 siljishiga nisbatan o'zgarishi; jadvalning 1-qatoriga mos keladi: P 1 = ∫ 0 l p l − x l dx = pl 2 , Shu ko’rinishda, 2411 rasm P2=∫0 l px ldx = pl 2 . Agar taqsimlangan yuk uchburchak ko’rinishda bo’lsa, p ( x ) = px l (11-rasm, b) P1=∫0 l px l l− x l dx = 1 6 pl ; P 2 = ∫ 0 l px l x l dx = 1 3 pl ; x= a nuqtasida qo'llaniladigan taqsimlangan yuk uchun (11-rasm, c), P ( x ) = P δ ( x ) x = a , bu yerda δ(x)x=a - x = a dan tashqari butun intervalda u nolga teng bo'lgan funksiya, a nuqta 0<a<l oraliqda yotadi. P 1 = ∫ 0 l P δ ( x ) x = a l − x l dx = P l − a l ; P2=∫0 l Pδ(x)x=ax ldx = P a l, a=0 bo’lganda P 1 = P ; P 2 = 0 ; a=l bo’lganda P1=0;P2= P , ya’ni tugundagi yuk Pi , Agar yuk tugunlardan tashqarida uzatilayotgan bo’lsa, u holda uni tugunlarga tushurish talab etiladi. Bu qoida chekli elementlarning shakli va koordinata funksiyalarining turidan qat'i nazar, har doim to'g'ri bo'ladi. 2.4 Chekli element usulida sterjen egilishi. Prizmatik sterjenning tekis egilish muammosi ko'rib chiqamiz. Bu holda tizimning maydoni bir o'lchovli: Ω= l . (12-rasm, a) Yassi kesimlar gipotezasiga asoslanib moment integrali M y = EJ d 2 ω d x 2 va deformatsiyasini χ y = d 2 ω d x 2 yozamiz. Taqsimlangan momentlar bo'lmaganda potensial energiya to’liq funksionali (2.9)ni quyidagi shaklda yoziladi: 2512 rasm Π = 1 2∫0 l EJ d2ω(x) dx2 d2ω(x) dx2 dx −∫0 l pz(x)ω (x)dx . (2.21) (2.21) funksiyaning ko’rinishi siljishning yaqinlashuv ko'rsatkichlarini tanlab olishni belgilaydi. Funktsional 2-tartibli hosilalarni o'z ichiga olganligi sababli, uning mavjudligi uchun siljish funktsiyasi kamida 2-tartibli hadlarni o'z ichiga olishi kerak. Yaqinlashuvchi funktsiya ko'phad bilan aniqlansa, 2-tartibli ko'phad 3 ta haddan iborat bo'ladi. Ikki tugunli ChE dan foydalanilganda, yaqinlashuvchi ko'phadning doimiy koeffitsientlari soni ikkiga karrali bo'lishi maqsadga muvofiqdir.Bu borada to'rt a'zoli 3-tartibli ko'phaddan foydalanamiz: ω(x)=α1+α2x+α3x2+α4x3 (2.22) (2.22) yaqinlashish yanada tushunarli bo’ladi, chunki sterjen egilish nuqtalarining siljishlari 3-tartibli funksiyalar bilan tasvirlanganligi. Ushbu mulohazalardan kelib chiqqan holda, sterjen egilishining ChEi 2 ta tugunga ega bo'lib, ularning har biriga 2ta erkinlik darajasi mavjud (12-rasm, b). Bu holda erkinlik darajalari quyidagi fizik ma'noga ega; q 1 = ω 1 ; q 2 = ω 2 – 1- va 2- tugunlarining vertikal siljishlari; q 1 = φ 1 ; q 2 = φ 2 - 1 va 2 tugunlarning burulish burchaklari. (kij)r=∫ σjεidΩr formuladan bikrlik koeffitsientlarini olish uchun siljish funksiyasi quyidagicha ifodalanadi ω ( x ) = ∑ i = 14 q i φ i (2.23) Bu yerda f - koordinata funksiyalari ChE maydoni bo'ylab siljishlarning taqsimlanishini tavsiflaydi, bunda tugunlarning siljishlaridan biri birga, qolganlari esa nolga teng bo'ladi. Oddiy tushunishimiz uchun qulayroq bo'lgan (2.23) shaklga o'tish uchun umumiy ko'phadning (2.22) α koeffitsientlarini q i erkinlik darajalari qiymatlari bilan bog'laymiz. x=0 da koeffitsiyenti α1= q1= ω(x) , ya’ni 1-tugundagi siljish, va α2=q2= d2ω(x) dx2 , ya’ni 1-tugundagi burilish burchagi. x = l α 1 + l α 2 + + l 2 α 3 + α 4 l 3 = q 3 = ω ( x ) va α 2 + 2 α 3 l 2 + 3 α 4 l 3 = q 4 = dω ( x ) dx . Ushbu bog'liqliklar asosida qr=[c]αryoki αr=[c]−1qr turdagi tenglamalarni tuzish mumkin: 26 {q 1 q 2 q 3 q 4 } = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 l 1 l 2 l 3 2 l 3 l 2 ]{ α 1 α 2 α 3 α 4 } . Bu matrissani yechsak, quyidagi yechimlarni olamiz; α 1 = q 1 ; α 2 = q 2 ; α 3 = 1 l 2 ( 3 q 3 − 3 q 1 − 2 q 2 − lq 4 ) ; α4= 1 l3(lq4−2q3+2q1−lq2). α koeffitsientlarining qiymatlarini umumiy ko'phadning ifodasiga (2.23) almashtirib, quyidagicha yozamiz: ω ( x ) = q 1 + q 2 x + x 2 l 2 ( 3 q 3 − 3 q 1 − 2 q 2 − lq 4 ) + x 3 l 3 ( lq 4 − 2 q 3 + 2 q 1 − l q 2 ) = q 1 1 l 3 ( 2 x 3 − 3 l x 2 + 2 l 3 ) + q 2 1 l 2 ( x 3 − 2 l x 2 + l 2 x ) + q 3 1 l 3 ( 3 l x 2 − 2 x 3 ) + q 4 1 l 2 ( x 3 − l x 2 ) . Koordinata funktsiyalarining umumiy xossalaridan foydalanib, ularni to'g'ridan-to'g'ri yozish mumkin, odatda murakkab algebraik amallarni bajarmasdan, ko'phadning doimiy koeffitsientlari (2.22) erkinlik darajalari bilan bog'lash lozim. Koordinata funktsiyalarini o'rnatish muhim ko'nikmalarni talab qiladi va ko'p sonli variantlarni ko'rib chiqishni o'z ichiga oladi. Bunday tanlashni normallashtirilgan koordinatalar tizimida bajarish maqsadga muvofiqdir. 13- rasmda ko'rsatilgan ChE uchun normallashtirilgan koordinatalar tizimining kelib chiqishi x c = l 2 nuqtaga joylashtirilishi kerak (13-rasm). Normallashtirilgan koordinata ξ munosabatlar orqali eski xOy koordinatalar tizimi bilan bog'langan. 2713 rasm ξ = x − x c l 2 dξ = dx l 2 (2.24) Keyin tugun nuqtalarining koordinatalari mos ravishda -1 va +1 ga teng. ChE uchun (7-rasm) koordinata funksiyalari ko’rinishini umumlashtirilgan holda yozamiz: f i = 1 4( 1 + ξ 0 ) 2 ( 2 − ξ 0 ) (i=1,3 ) fi= 1 8ξi(ξ0+1)2(ξ0−1) ( i = 2,4 ) (2.25) Bu yerda ξ0=ξξi . f 1 = 1 4 [ 1 + ξ ( − 1 ) ] 2[ 2 − ξ ( − 1 ) ] (2.26) (2.26) ifodaga ξ 1 = − 1 , ξ1=+1 tugunlarining koordinatalari almashtirilganda f1 koordinata funksiyasi mos ravishda 1 va 0 qiymatlarini oladi. Shuni yodda tutish kerakki, f 2 va f 4 koordinata funktsiyalari uchun o'xshash shartlar ularning hosilalariga nisbatan yechiladi, chunki erkinlik darajalari o'rtasida φ ( x ) = dω ( x ) dx differensial bog'liqlik mavjud. Yuqorida aytib o'tilganidek, koordinata funktsiyalari siljishlarning biri birga, qolganlari esa nolga teng bo'lganda, egilgan sterjenda maydoni bo'ylab siljishlarning taqsimlanishini tavsiflaydi. 2814 rasm Bikrlik matritsasi koeffitsientlari( k ij ) r = ∫ σ j ε i λ Ω r ifoda bilan olinadi. k 34 koeffitsientini olish uchun hisoblash amallarini ko'rsatamiz: k34=∫0 l σ3ε4dx . (2.28) ω 2 = 1 bo’lganda, bu yerda σ 3 = M ( x ) = EJ d 2 ω ( x ) d x 2 – chekli element sohasida egilish momenti, φ 2 = 1 bo’lganda, ε 4 = d 2 ω ( x ) d x 2 – chekli element sohasidagi egriligi. ω2=1 bo’lsa; ω1=φ1=φ2=0 , (2.22) siljish funksiyasi va (2.23) ifodalar yordamida: ω ( ξ ) = 1 4 ( 1 + ξ ) 2 ( 2 − ξ ) (2.29) (2.24) ifodani xOz koordinata tizimiga o'tsak, ω ( x ) = 3 l 2 x 2 − 2 l 3 x 3 (2.30) Xuddi shunday holat uchun φ2=1;ω1= φ1=ω2=0 ω(ξ)= 1 8(1+ξ)2(ξ−1) (2.31) xOz koordinata tizimiga o'tsak, ω(x)=−1 l x2+1 l2x3. (2.32) (2.30) va (2.32) funksiyalarni (2.28) ifodaga olib borib qo’yamiz, k34=∫0 l EJ d2 dx2(3 l2x2− 2 l3x3) d2 dx2(−1 l x2+1 l2x3)dx =−6EJ l2 Xuddi shunday, bikrlik matritsasining boshqa koeffitsientlari olinadi, ularning o'lchami qabul qilingan erkinlik darajasiga muvofiq 4 x 4 ga teng. Bikrlik matritsasi qabul qilingan erkinlik darajalariga mos keladigan qo'shimcha , ChE siljishlari va reaktsiyalar o'rtasidagi munosabatni o'rnatiladi: 29 {R 1 M 1 R 2 M 2 } = EJ [ 12 l 3 6 l 2 − 12 l 3 6 l 2 6 l 2 4 l − 6 l 2 2 l − 12 l 3 6 l 2 − 6 l 2 2 l 12 l 3 − 6 l 2 − 6 l 2 4 l ] { ω 1 φ 1 ω 2 φ 2 } (2.33) R 1 va R 2 - ω 1 va ω2 chiziqli siljishlar yo'nalishidagi reaktsiyalar, M 1 va M 2 - φ 1 va φ2 aylanish burchaklari yo'nalishlari bo'yicha reaktiv momentlar (6-rasm, v). Bikrlik matritsasi koeffitsientlari (2.33) s terjenlar birikmasi (majmuasi )ni hisoblashda ko’chirish usulining an'anaviy shaklidagi qirquvch kuchlar va qirquvchi momentlari bilan bir xil fizik ma'noga ega. Shuning uchun bu koeffitsientlarni faqat s terjenlar birikmasi (majmuasi )ning strukturaviy mexanikasi tasvirlaridan foydalangan holda olish qiyin emas. Shunday qilib, masalan, R1 qiymatini aniqlash (12-rasm, v), sterjenda 1-tuguniga ω1 yo'nalishi bo'yicha bitta siljish berilishi kerak (15-rasm). Sterjenning deformatsiyalangan holati taxminan elastik chiziqli differentsial tenglama bilan tavsiflanadi: EJ d 2 ω ( x ) d x 2 = R 1 x − M 1 Differensial tenglamaning birinchi va ikkinchi integrallari quyidagi shaklga ega 3015 rasm R 1 x 2 2 − M 1 x + c 1 = EJφ( x ) ; R 1 x 3 6 − M 1 x 2 2 + c 1 x + c 2 = EJφ ( x ) ; c1va c2 o’zgarmaslarni aniqlash uchun biz chegaraviy shartlardan foydalanamiz: x=0 da φ = 0 ; x=l da ω = 0 . Ushbu chegara shartlaridan c1=0;c2=− R1l3 6+M 1l 2. R1 va M 1 aniqlash uchun quyidagi shartlardan foydalanamiz: x=0 da ω=1 ; x=l da φ = 0 . Ikki algebraik tenglamalar tizimini yechish natijasida 1-tugundagi kuchlarni ω1=1 siljishidan aniqlaymiz: R 1 = 12 EJ l 3 ; M 1 = 6 EJ l 2 . Bikrlik matritsasining qolgan elementlari (2.33) xuddi shunday aniqlanadi. Taqsimlanmagan yukni tugun yukiga keltirish P i = ∫ p f i d Ω r formula bo'yicha amalga oshiriladi. Shunday qilib, bir xil taqsimlangan yuk uchun p(x) = p, P1=∫0 l pf1dx =∫0 l p2x3−3lx2+l3 l3 dx = pl 2 ; P 2 = ∫ 0 l p f 2 dx = ∫ 0 l p x 3 − 2 l x 2 + l 2 x l 2 dx = p l 2 12 . Xuddi shunday P 3 = pl 2 ; P 4 = − p l 2 12 . Shuni yodda tutish kerakki, P 3 va P4 ChE tugunlarida qo'llaniladigan konsentrlangan momentlardir. 2.5 Bikir poydevorlar tag yuzi sirtida kontakt kuchlanishlarni tarqalish qonuniyatlari. Yuqorida zaminga tekis tarqalgan, bikir bo‘lmagan egiluvchan poydevor ostida kuchlanishlarni tarqalish qonuniyatlari bilan tanishib chiqgan edik. Lekin amalda va ko‘pchilik hollarda zaminga zo‘riqishlar bikir poydevorlar tag yuzi 31 orqali uzatiladi. Bu yuzachada kuchlanishlarni tarqalish qonuniyati bilan tanishib chiqamiz. (9.3) bo‘limida kurib o‘tilgan Businesk masalasiga binoan, elastik zaminga ta’sir etayotgan o‘q kuch ta’siridan zamin yuzidagi cho‘kishlar qo‘yidagi ifoda yordamida aniqlanadi: s = P πCR , (2.24) bunda, S=E/(1- μ ); E-grunt deformatsiya moduli. Endi faraz qilamiz, poydevor tag qismi juda bikr bo‘lganligi sababli uning yuzasi ichida joylashgan hamma nuqtalar bir xil chukadi. Bu chegaraviy holni matematik ifodasi s_i=conct bo‘ladi. U holda (7.44) tenglamani quyidagi integral tenglama ko‘rinishda yozish mumkin:s= 1 πC ∬A ❑ Pξηdξdη √(x− ξ)2+(y−η)2 , (2.35) bunda A poydevor tag yuzasi (2.35) integral tenglamasini yechimi poydevor tag yuzasi doira shaklida bo‘lsa, qo‘yidagi ko‘rinishda bo‘ladi: P xy = P m √ 1 − ( ρ r ) 2 , (2.36) Bunda Pm= ∑ P A poydevor ostidagi o‘rtacha bosim; r- doira radiusi; ρ - doira markazidan izlanayotgan nuqtagacha bo‘lgan masofa. Agar poydevor tasmasimon ko‘rinishda bo‘lsa va uning kengligi 2b ga teng bo‘lsa, u holda tutash hududidagi kuchlanishlar qo‘yidagi ifoda orqali topiladi: P xy = 2 P m π √ 1 − ( y b ) 2 , (2.37) Bunda y -poydevor markazidan izlanayotgan nuqtagacha bo‘lgan masofa. (2.36) va (2.37) dan ko‘rinib turibdiki ρ,у=0 bo‘lgan holda Pxy= min va ρ,у= r,b bo‘lgan holda P xy = mах bo‘ladi. 32 2.6 Grunt modellari to‘g‘risida asosiy ma’lumotlar. Qurilish amaliyotida gruntda o‘rnatilgan bikirligi EI ga teng bo‘lgan yuklangan poydevorlarni egilish qonuniyatini va shu jumladan ularda hosil bo‘lgan ichki zo‘riqishlarni aniqlash talab etiladi. Chunki poydevorlarni egilishini bilmay turib, ularda hosil bo‘lgan kesuvchi va moment kuchlarini aniqlab bo‘lmaydi, bu esa o‘z navbatida ularning talab etilgan kesim o‘lchamlarini topishga ruxsat bermaydi. Faraz qilaylik, egiluvchan, bikirligi EI ga teng bo‘lgan tasmasimon poydevorga intensivligi q(x,y) tashqi kuch ta’sir qilayapti. Bu holda poydevor qurilmasi ma’lum bir qonuniyat bilan egiladi va poydevor tag yuzida reaktiv kuchlanishlar P(x,y) hosil bo‘ladi. Poydevor ostida vujudga kelgan reaktiv kuchlanishlar tarqalish qonuniyati P(x,y) unga uzatilayotgantashqi kuchlar q(x,y) qonuniyatidan farq qiladi. Poydevor uzunligi bo‘ylab istalgan M(x,y) nuqtada hosil bo‘lgan bunday farq unda ichki moment M va Q kesuvchi kuchlar hosil qilishga sabab bo‘ladi. Bu esa o‘z navbatida gruntning kuchlanish va deformatsiya holatiga ta’sir ko‘rsatadi. Demak, gruntda o‘rnatilgan yuklangan poydevorning egilishi va unda hosil bo‘lgan zo‘riqishlarning tarqalish qonuniyati uning bikirligiga EI va gruntning tashqi kuchlar ta’sirida deformatsiyalanish xususiyatlariga (deformatsiya moduli – E va yon tomonga kengayish koeffitsiyenti μ -ga ) bog‘liq ekan. Nazariy mexanikaning ilk bor taraqiyoti jarayonida bunday mukammal masalalarni 331 6- rasm . Poydevor va grunt qatlami o’zaro ta’sir sxemasi. yechish albatta mumkin bo‘lmagan. Chunki elastiklik nazariyasi rivojlanish jarayonida gruntlarning mexanik xususiyatlari o‘rganilmagan edi. Gruntlarning tashqi kuchlar ta’sirida eng oddiy siqilish qonuniyatlarini birinchi bor rus olimi Fuss 1788 yilda o‘z ko‘zatuvlari natijasida kashf qilgan. Bu qonuniyatga asosan aravaning charxi gruntda qoldirgan izi (cho‘kishi) S uning og‘irligiga P to‘g‘ri proporsional ekanligini aniqladi. Keyinchalik nemis olimi Vinkler bu modelni bikirligi EI ga teng uzunchoq, gruntda yotgan va yuklangan tusin misolida ko‘rib chiqdi. Uning fikriga ko‘ra, agar gruntga tutash yotqizilgan tusin tashqi kuchlar bilan, masalan q(x,y) bilan yuklangan bo‘lsa, u holda tusin tag yuzasida vujudga kelgan gruntning reaktiv bosimi P(x,y) uning egilishiga Y to‘g‘ri proporsional ekanligini isbotlab berildi. Bu qonuniyat kelgusida Vinkler modeli deb yuritila boshlandi. Quyida bu modelning matematik ifodasi keltirilgan (10-rasm). p( x ) = ky , ( 3.1 ) bunda k - Vinkler koeffitsiyenti, y-tusinning (x) o‘qi bo‘yicha egilish qiymati. Vinkler kashf qilgan model boshqacha zamin tutash hududininng elastik modeli deb ham yuritiladi, chunki (2.154) binoan p(x)=0 bo‘lsa, egilish ham y=0 bo‘lib o‘z holatiga qaytadi. Undan tashqari yuklangan yuzadan chetrog‘da bu modelga asosan cho‘kish vujudga kelmaydi, yoki s=0 bo‘ladi deb qaraladi. Vinkler koeffitsiyenti umumlashtirilgan zamin deformatsiya moduli Е 0 va uning aktiv chuqurligiga Н с bog‘liq bo‘lib qo‘yidagi ifoda yordamida topiladi: k = E 0 H c ( 1 − 2 μ 2 ) , (3. 2 ) bu ifodadan ko‘rinib turibdiki Vinkler koeffitsiyenti qalinligi bir-birlikga ega bo‘lgan va moduli Е 0 teng elastik to‘shak modelini ifodalaydi. Boshqacha qilib aytganda, poydevor ostidagi chuqurligi Н с ga teng siqiluvchi grunt qatlami shartli moduli Е 0 ga teng elastik muhit deb qaraladi. Lekin keyingi kuzatishlar shuni ko‘rsatdiki, agar grunt tashqarida ma’lum bir yuza bo‘yicha yuklansa, unda yuklangan yuzadan tashqarida ham cho‘kishlar tarqaladi. Bu esa Vinkler modeli bo‘yicha hisoblangan poydevorlarni qo‘shimcha egilishiga sabab bo‘lishi mumkin. Bundan farqli J. Bussinesk gruntni elastik zamin deb unga o‘q kuch ta’sirida hosil bo‘lgan kuchlanish va deformatsiya 34 holatini matematik yechimini oldi. Bu model to‘g‘risida ,,Injenerlik geologiyasi va gruntlat mexanikasi” kitobimimg 7.2-7.3 bo‘limlarda batafsil to‘xtalgan . J. Bussinesk yechgan bu masala mexanikada fazoviy elastik nazariyasi deb yuritiladi (2.54-rasm). Bu usulga binoan uch o‘lchamli elastik zaminda hosil bo‘lgan cho‘kishlar quyidagi analitik ifoda ko‘rinishda yoziladi: Y = P CπR , ( 3.3 ) bunda: С= E 1− μ2 . Ko‘rinib turibdiki, yuqorida zehr qilingan hamma matematik moddellar elastik modellar hisoblanadi, lekin gruntlar ulardan farqli ko‘proq plastik-elastik, plastik ayrim hollarda esa oquvchanlik xususiyatlarni o‘zida namoyon qiladi. Bunday jiddiy farq, albatta poydevor qurilmalarni hisoblashda katta xatoliklarga olib kelishi mumkin. Shuning uchun o‘tgan asr boshlarida K. Tersagi va rus olimi M.N. Gersevanovlar poydevorlarni, zamin kuchlanganlik va deformatsya holatini hisoblashda elastik model o‘rniga gruntlar uchun chiziqli –deformatsiyalanuvchi model afzalligini isbot qilib berdilar. Gruntlarning mexanik xususichtlari xilma-xilligini hisobga olsak, hozirgi paytda juda mukkamal plastik, plastik–elastik va plastik-oquvchan modellar turlari ishlab chiqilgan. Masalan, aniq masalalar yechishda Kulon-Mor plastik yoki elastik plastik nochiziqli modellar ishlab chiqilgan. Yumshoq, juda g‘ovak gruntlar uchun esa Kem Kleyn modellari ishlatiladi. Bu xil modellar va ularning hisoblash prinsiplari maxsus geotexnika faniga tegishli adabiyotlarda ko‘rib chiqilgan [2,5,9]. Ushbu masalalrni analitik yo‘llar bilan yechishda O‘zbekiston mexanik olimlari: Rashidov T.R., Mirsaidov M.M., Shirinkulov T.Sh., Eshanxodjayev A.,Turayev H.Sh., Sultanov K.S. va boshqalarning xizmatlari katta. Yana bir masala, hisoblarda faqat poydevorning keltirilgan bikirligi hisobga olinadi. Lekin (MKE, FEM) usuli istalgan nochiziqli modellarni qo‘llab binoning to‘la bikirligini hisobga olishga ruxsat beradi. Bunday qushma (bino-poydevor- zamin) masalalarni hisoblashda albatta maxsus profesional kompyuter dasturlari 35 va texnologiyalari yordamida amalga oshirish mumkin. Hozirgi paytda bunday masalalarni yechishga asoslangan bir necha hisoblash dasturlari ishlab chiqilgan [2,9]. Ular poydevor va binoning bikirligini, gruntlarning mexanik xususiyatlarini, xilma-xil tashqi va ichki zo‘riqishlarni hisobga olgan holda, aniq yechimlarni olishga ruxsat beradi. Quyida elastik zamindagi, Vinkler nazariyasiga mos model uchun poydevorlarni egilish qonuniyatlarini va unda hosil bo‘lgan zo‘riqishlarni topish analitik yechimi bilan tanishib chiqamiz 2.7 Vinkler modeliga mansub zaminda tasmasimon poydevorlarning egilishi, grunt reaktiv bosimi va unda hosil bo‘lgan zo‘riqishlarni aniqlash nazariyasi. Bikrligi chegaralangan tusinlarning egilish differensial tenglamasi. Bu masalani yechishda tashqi kuchlar ta’sirida tusinlar neytral o‘qining egilish qonuniyatlarini bilish talab etiladi. Tusinga tashqi kuchlar ta’sir etsa u egiladi deb faraz qilamiz (17a rasm). Sterjen ko‘ndalang kesimidan qalinligi dx ga teng abcd elementini ajratib ko‘rib chiqamiz. Tekislikda deformatsiyalangan tusinning neytral o‘qning egilishi F(x,y) funksiya bilan ifodalanadi. Egilish qonuniyatini aniqlash uchun koordinata 361 7 -rasm. Tusinga ta’siretayotgan momrnt etayoystgan kuchlari ta’siridan uning ko’ndalang kesimida hosil bo’lgan bo’lgan kuchlanishlarni va zo’riqishlarni aniqlash boshidan x va x+dx masofada egilgan neytral o‘qning M 1 va M 2 nuqtalari ustidan, ikkita urinma chiziqlar o‘tkazamiz (17c rasm). Oliy matematikadan ma’lumki, M 1 va M 2 nuqtalardan o‘tkazilgan urinma F(x,y) neytral o‘q funksiyaning birinchi hosilasi hisoblanadi. M 1 va M 2 nuqtalardan o‘tkazilgan o‘rinmaga ikkita perpendikulyar chiziq o‘tkazamiz va ularni o‘zaro kesishgancha davom etamiz. Bunda AM = ρ masofa F(x,y) funksiyaning egilish radiusi deb aytiladi va u quyidagi matematik ifoda yordamida aniqlanadi: 1 ρ = d 2 y d x 2 ( 3.4 ) Keltirilgan 17c rasmga binoan am n va ff'n uchburchaklarning o‘xshashligidan foydalanib quyidagi tengalmalarni tuzamiz: ρ dx = y f ˙ f ' yoki f f ' dx = ε = у ρ . (3.5) Guk nazariyasiga muvofiq, ko‘ndalang kesim bo‘yicha vujudga kelgan kuchlanishlarni aniqlaymiz: σ= εE = у ρE. ( 3.6 ) ∑ M =0 muvozanat tenglamasini tuzamiz: M = ∫ σdFy = ∫ y 2 ρ EdF = E ρ ∫ y 2 dF = EI ρ ( 3.7 ) yoki 1 ρ = M EI (3.7) tenglamani nazarda tutib (2.157) tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozamiz: 1 ρ = М EI = d 2 y d x 2 ( 3.8 ) ( 3.8 ) tenglama zaminda yotgan, yuqoridan yuklangan tusinning neytral o‘qini differensial tenglamasi deb aytiladi. ( 3.8 ) tenglamadan ko‘rinib turibdiki, yuklangan tusin neytral o‘qining egilish miqdori, unga ta’sir etayetgan momentga M to‘g‘ri va tusin bikirligi EI ga teskari proporsional ekan. Endi moment M, kesuvchi kuchlar Q va tusinga ta’sir ko‘rsatayotgan tashqi masalan, tekis tarqalgan q ( x ) kuchlar orasidagi bog‘lanishni ko‘rib chiqamiz. Buning uchun elementar ajratib olingan elementga nisbatan muvozonat tenglamasini tuzamiz ya’ni: ∑ y=0 ва ∑ М =0 , ( 3.9 ) 37 Bunda Q + q + ( q + dq ) 2 dx −( Q + dQ ) = 0 , q = dQ dx . (3.10) ∑ M = M − ( М + dM ) + Qdx + qdx dx 2 = 0 , (3.11) yok i Q = dM dx ; (3.12) σx= σcosα nazarda tutib va πγ ( r 0 + ztgα ) 2 dz − 2 π ( r 0 + ztgα ) σ z − π ( r 0 + ztgα ) 2 dz + 2 π ( r 0 + ztgα )( σsinα ) dz cosα − 2 πτ ( r 0 + ztgα ) dz = 0 va A = 2 tgα ( 1 − ξ cosα + ξtgφ cosα ) r 0 = 2 tgα r 0 λ ; λ = 1 − ξ cosα + ξtgφ cosα yoki d σ z dx = − A dz 1 + z r 0 tgα differensial tenglamalarni yechib qo‘yidagi ifodani topamiz: q EI = d 4 y d x 4 (3.13) σz= 1 tgα [ γr0 2λ+1(1+ z r0 tgα )− c λ]+[q−( γr0 2λ+1− c λ) 1 tgα ](1+ z r0 tgα ) −2λ tenglamani tasmasimon poydevor misolida ko‘rib chiqamiz. Poydevorga tashqi q(x) va grunt tomonidan reaktiv p(x) tarqalgan kuchlar ta’sirida uning egilishi qo‘yidagi differensial tenglama orqali topiladi (10-rasm): p(x)- q(x ¿= d4y dx4 (3.14) Agar tasmasimon kengligi b ga teng poydevor Vinkler modeliga asosan egiladi deb qarasak, u holda quyidagi ko‘rinishni oladi: p(x)- q(x ¿ = EI b d 4 y d x 4 , (3.15) yoki p(x)- q(x ¿ = ky − q ( x ) = EI b d 4 y d x 4 , ; kb EI y− d4y dx4 = b q ( x ) EI (3.16) bunda S = 4 √ EI kb qabul qilsak, u holda (3.16) ifodani ixcham ko‘rinishda yozishimiz mumkin: 4 S 4 y − d 4 y d x 4 = bq(x) EI (3.17) 38 Oliy matematikadan ma’lumki (2.24) differensial tenglamaning yechimi qo‘yidagi tenglama ko‘rinishida yoziladi: у = С 1 е ζ cos ( ζ ) + С 2 е ζ sin ζ + ¿ С 3 е − ζ cos ( ζ ) + С 4 е − ζ sin ζ − q k ¿ (3.18) bunda ζ= x s,С2;С2;С3 va С 4 –integral tenglamaning o‘zgarmas koeffitsiyentlari.Ular chegaraviy shartlardan aniqlanadi. Misol, cheksiz uzun tasma ko‘rinishdagi poydevor markazida o‘q, R bilan yuklangan. Bu holda X=∞ ;Y=0 . Unda (2.25) tenglama qo‘yidagi ko‘rinishni oladi: у = С 1 е ζ cos ( ζ ) + С 2 е ζ sin ζ = 0 ; С1=С2=0 , ( 3.19) у=С3е−ζcos (ζ)+С4е−ζsin ζ ; ( 3.20) va X= 0 ; Q x = P 2 ; dy dx = 0 teng bo’ lsa , dy dx = С 3 ( − ζ ) е − ζ cos ( ζ ) + С 3 е − ζ ( ζ ) ¿ С4(−ζ)е−ζsin (ζ)+С4е−ζ(ζ)cos ζ¿¿, ( 3.21 ) bunda ζ = x s = 0 , е − ζ =1 ва С3=С4. ( 3.19) tenglama chegaraviy shartlarni hisobga olib yechilgandan so‘ng, poydevor neytral o‘qining egilish miqdorini aniqlash tenglamasini topamiz, u quyidagi ifoda ko‘rinishga ega bo‘ladi: у = С е − ζ ¿ , ( 3.21 ) va X = 0 ; Q x = P 2 ; holda ( 3.19) tenglama qo‘yidagi ko‘rinishni oladi: d 3 y d x 3 = − 4 С ( 1 s ) 3 е − ζ cos ( ζ ) = Q EI , (3.22) agar X=0; еζ=1 и cos ζ = 1 , Q= EI 4C( 1 s) 3 = P 2 (3.23) bundan 39 С = Р 8 Е I( 1 s ) 3 ( 3.23 ) ni ( 3.21 ) ga quyib , Vinkler modeliga mos , bikirligi EI va kengligi b ga teng tasmasimon poydevorning markaziga qo ‘ yilgan to ‘ plangan o ‘ q kuch ta ’ sirida neytral o ‘ qning egilish tenglamasini matematik ifodasini , y= F(x) ni topamiz : y = Р 8 Е I ( 1 s ) 3 e − ζ ¿ ( 3.24 ) ( 3.24 ) ni ketma ket differensiallab tarqalgan reaktiv p ( x ) kesuvchi kuchlarni Q va moment M kuchlarni qiymatlarini aniqlaymiz. Bu masalani xuddi shu usul bilan poydevorga moment tarqalgan kuchlar va ularning birgalikdagi ta’sir hollari uchun yechimlarini olishimiz mumkin. 12 rasmda misol tariqasida bikirligi EI ga teng tasmasimon poydevorga o‘q va tarqalgan kuchlar ta’sir etgan holar uchun undagi moment M , kesuvchi kuchlar Q va egilish Y epyuralari keltirilgan. Hozirgi paytda bunday masalalar istalgan tashqi kuchlar, istalgan geometrik shaklga ega bo‘lgan poydevorlar va har xil grunt modellariga asoslanib poydevorlar hisobi maxsus dasturlar yordamida kompyuterlarda sanoqli (chekli elementlar usuli MKE, finite element method) usulida hisoblanadi [19,22]. Quyida shu usulda, kompyuterda hisoblangan markaziy va tekis tarqalgan kuch bilan yuklangan tasmasimon poydevorlarning hisob natijalari keltirilgan (18 rasmlar). Bunday mukammal masalalarni kompyuterda hisoblashda poydevorlar 401 8 -rasm. Bikrligi EIga teng tasmasimon poydevor o’q va tarqalgan kuch ta’sir etgan holler uchun : moment М, kesuvchi kuch Q va egilish Y epyuralari ko’rinishi Hisob G.I Simvoli modeliga asosan amalga oshirilgan .P q LL/2 QM SL/2 L QM SP/2 P/2 geometrik o ‘ lchamlari , material bikirligi va uning deformatsiya ko ‘ rsatkichlari , grunt modellari va ularga mos parametrlar kattaliklarini to ‘ g ‘ ri kiritilishi lozim , aks holda noto ‘ g ‘ ri natijalar olish mumkin . Bunday informatsiyalarning eng murrakabligi zamin gruntlar matematik modelini to‘g‘ri tanlash bilan bog‘liq. Masalan, ayrim hollarda, ko‘p qatlamli gidrogeologik sharoiti murakkab bo‘lgan zaminlarda grunt xarakteristikalarini integral qiymatlarini tanlashga to‘g‘ri keladi. Bunday hollarda, javobgarligi yuqori bo‘lgan bino va inshootlarni hisoblash va loyixalashda geotexnik mutaxasislar yordamiga murojaat qilishga to‘g‘ri keladi. 2.8 Chekli element usulida bir uchi qistirilgan, bo’ylama kuch ta’sirida ko’ndalang kesim pog’anali o’zgaruvchi sterjen masalasi Bizga ko’ndalang kesimi har xil bo’lgan sterjen E = 2 ∗ 10 11 Pa , F 1 = 3 m m 2 ,F2= 2m m2 , F 3 = 1 m m 2 , q=1 kN/m, P1= 2kN , P2=1kN l1=3m ,l2=1m ,l3=1m berilgan. Bu masla yechishda sterjenni ko’ndalang kesimlari bo’yicha elementlarga ajratib olamiz. Yuqoridagi formulalardan foydalanib matrissalar tuzib olamiz. 41 [ k ij ] = [ EF l − EF l − EF l EF l ] , {u}={ u1 u2} , { F } = { ql 2 ql 2 } + { − P 1 P 2 } , [ k ij ] { u ij } = { F ij } ( i , j = 0,1,2 ) ekanligidan foydalanib quyidagini hisoblaymiz: EF l = 3 ∗ 10 − 6 ∗ 2 ∗ 10 11 3 = 2 ∗ 10 5 N m , ql 2 = 1000 ∗ 3 2 = 1500 kN / m har bir element uchun yozib chiqadigan bo’lsak: Birinchi element uchun: 2∗10 5∗[ 1 −1 −1 1 ]{ u1 u2}={ 1500 1500 }+{ R1 0} ; Ikkinchi element uchun: 4∗10 5∗[ 1 −1 −1 1 ]{ u3 u4}={ 0 0}+{ 0 −2000 } ; Uchinchi element uchun: 2 ∗ 10 5 ∗ [ 1 − 1 − 1 1 ]{ u 5 u 6 } = { 0 0 } + { 0 1000 } ; Har bir ajratilgan element tugunlari uchun quyidagilar o’rinli u 2 = u 3 , u 4 = u 5 . Bu ifodalar bizga matrissalarni qo’shish imkonini beradi. 10 5 ∗ [ 2 − 2 0 0 − 2 2 + 4 − 4 0 0 0 − 4 0 4 + 2 − 2 − 2 2 ] ∗ { u 1 u 2 u 3 u 4 } = { 1500 + R 1 1500 − 2000 1000 } , Endi chegaraviy shartlardan foydalanib nomalumlarni aniqlaymiz, sterjen qistirib mahkamlangani uchun u 1 = 0 bo’ladi. Matrissani ko’rinishi quyidagicha bo’ladi: 10 5 ∗ ( 6 − 4 0 − 4 6 − 2 0 − 2 2 ) ∗ ( u 2 u 3 u 4 ) = ( 1500 − 2000 1000 ) bu matrissani yechamiz va quyidagi natijalarga ega bo’lamiz. u2=0,0025 m ,u3=0m ,u4=0,005 m birinchi satr uchun yozadigan bo’lsak 10 5 ∗ ( − 2 ) ∗ ( 0,0025 ) = 1500 + R 1 . Bu tenglamadan R1=−2kN ekanligini olamiz. 42 XULOSA Chekli elementlar usulida ko’ndalang kesimi har xil bo’lgan, sterjen o’qiga bo’ylama va ko’ndalang kuchlar ta’sirini hisoblash uchun zarur bo’lgan ma’lumotlar keltirilgan. Sterjen uchun har xil mahkamlanish uchun chegaraviy shartlar berilgan. Chekli elementlar haqida umumiy ma’lumotlar berilgan. Ular haqida misollar keltirib tushuntilgan. Ko’ndalang kesimi har xil bo’lgan, sterjen o’qiga bo’ylama va ko’ndalang kuchlar ta’sirini hisoblash uchun chekli elementlarga ajratilgan. Sterjenda hosil bo’lgan siljish, deformatsiya va kuchlanishlar topish keltirib chiqarilgan. Sterjenning tugunlaridagi siljishlar, deformatsiya va kuchlanishlar chekli elementlar usuli yordamida aniqlangan. Bikir poydevorlar tag yuzi sirtida kontakt kuchlanishlarni tarqalishi differensial tenglamalardan foydalanib analitik yechib topilgan. Vinkler modeliga mansub zaminda tasmasimon poydevorlarning egilishi, grunt reaktiv bosimi va unda hosil bo‘lgan zo‘riqishlarni aniqlash nazariyasi o’rganilgan va unga doir masalar yechilgan. 43 ASOSIY FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YHATI 1. П.М.Варвак Метод конечних елементов. Виша школа.Kиев -1981 ( 42-53- betlar ) . 2. Зенкевич О.С., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. – М.: Мир, 1986. – 318 с. (93-150 betlar ) 3. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости.– Том 1.– М.: Мир, 1991.– 504 с. (136-212 betlar ) 4. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина /Пер. с англ. - М.: Мир, 1988. – 352 с. (106-184 betlar ) 5. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979. – 392 с. (9-56 betlar ). 6. Xasanov А .Z. Xasanov Z. А . Injenerlik geologiya va gruntlar mexanikasi. SamDU nashrieti. Samarqand.-2022. ( 211-217 b etlar) Internet saytlari 1. http:/www.edu.uz – ta’lim sayti 2. http:/www.eqworld.ru – adabiyotlar elektron variantlari 3. http:/www.ziyonet.uz – adabiyotlar elektron variantlari 44

GRUN TL A R MEX A N I K A SI N I N G N OCHI ZI QL I MA SA L A SI MUN DA RI J A KIRISH ........................................................................................................................................................ 2 - Bob. CHEKLI ELEMENTLAR USULINING ASOSIY TUSHUNCHALARIⅠ ....................................................... 4 1.1 Atamalar .......................................................................................................................................... 4 1.2 Chekli elementlar usulining asosiy qadamlari ................................................................................. 5 1.3 Xatoliklarning manbalari va approksimatsiya .................................................................................. 7 1.4 Chekli elementlar usuli algoritmining umumiy sxemalari ................................................................ 7 1.5 Chekli elementlar haqida tushuncha ............................................................................................... 9 1.5.1 Element atributlari ................................................................................................................. 10 1.5.2 Shaxsiy o ‘lchamlilik ................................................................................................................ 10 1.5.3 Tugun nuqtalari ...................................................................................................................... 11 1.5.4 Element geometriyasi ............................................................................................................. 11 1.5.5 Erkinlik darajasi ...................................................................................................................... 12 1.5.6 Tugun kuchlari ........................................................................................................................ 12 1.5.7 Aniqlovchi munosabatlar ........................................................................................................ 12 1.5.8 Kesim yuzalarining xususiyatlari ............................................................................................. 13 1.6 Mexanikada ishlatiladigan ChE klassifikatsiyasi ............................................................................. 13 - Bob. CHEKLI ELEMENTLAR USULIDA MASALAR YECHIMI Ⅱ .................................................................. 15 2.1 Chekli element usulining umumiy yechimi .................................................................................... 15 2.2 Potensial energiya to’liq funksionali. ............................................................................................. 19 2.3 Chekli element usulida sterjen cho'zilishi (siqilishi). ...................................................................... 20 2.4 Chekli element usulida sterjen egilishi. ......................................................................................... 25 2.5 Bikir poydevorlar tag yuzi sirtida kontakt kuchlanishlarni tarqalish qonuniyatlari. ....................... 31 2.6 Grunt modellari to‘g‘risida asosiy ma’lumotlar. ............................................................................ 33 2.7 Vinkler modeliga mansub zaminda tasmasimon poydevorlarning egilishi, grunt reaktiv bosimi va unda hosil bo‘lgan zo‘riqishlarni aniqlash nazariyasi. .......................................................................... 36 2.8 Chekli element usulida bir uchi qistirilgan, bo’ylama kuch ta’sirida ko’ndalang kesim pog’anali o’zgaruvchi sterjen masalasi ............................................................................................................... 41 Xulosa ...................................................................................................................................................... 43 Asosiy foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati ............................................................................................... 44 1

KIRISH 1. Masalaning qo ’ yilishi . Bitiruv malakaviy ishda ko ’ ndalang kesimi pog ’ anali , bo ’ ylama kuch ta ’ sir etayotgan sterjenni chekli elementlar usuli yordamida ajratilgan elementlari tugunlaridagi siljishi aniqlash maqsad qilib qo ’ yilgan . 2. Mavzuning dolzarbligi. Muhandislik konstruksiyalarida elastik sterjenli sistemalar jumladan ramalar, fermalar, arkalar, va balkalar keng qo’llaniladi. Bitiruv ishi doirasida shunday konstruksiyalar biri sifatida ko’ndalang kesimi pog’anali bir jinsli, bo’ylama kuch ta’sir sterjenning cho’zilish (siqilish) masalasini chekli elementlar usuli yordamida aniqlash dolzarbligi hisoblanadi. 3. Ishning maqsad va vazifalari. 1) Chekli elementlar usuli izlanayotgan funksiyaning tugun qiymatlariga nisbatan algebraik tenglamalar sistemasini tuzishning qulay sxemasini qurish imkonini beradi. Sodda polinomial funksiyalar yordamida yechimni taqribiy approk-simatsiyalash va barcha zaruriy operasiyalar alohida tanlangan elementlarda bajariladi. Keyin esa elementlarni birlashtirish amalga oshirilib, talab qilingan algebraik tenglamalar sistemasiga kelinadi. Alohida elementdan ularning to‘la majmuasiga o‘tishning bunday algoritmi ayniqsa geometrik va fizik murakkablikka ega tizimlar uchun juda qulay. 2) Chekli elementlar usuli yordamida olingan har bir alohida algebraik tenglama barcha tugunlar noma’lumlariga nisbatan ularning bir qisminigina o‘z ichiga oladi. Boshqacha qilib aytganda, algebraik tenglamalar sistemasining ko‘pgina koeffitsiyentlari nolga teng, bu sistemani yechishni osonlashtiradi. 3) Masalaning funksional tenglamalarni qanoatlantiruvchi funksiyalar orqali ifodalanuvchi yechimi kontinual yechim deb ataladi. Bulardan farqli ravishda, diskret masalalarning yechimi ularga mos algebraik tenglamalar sistemasini qanoatlantiruvchi chekli sondagi parametrlar orqali aniq aniqlanadi. Xuddi 2

boshqa sonli usullar kabi chekli elementlar usuli ham kontinual masalani diskret masalaga taqribiy almashtiriladi. Chekli elementlar usulida bu almashtirishning barcha proseduralari sodda fizik ma’noga ega. Bu esa masalani yechishning butun jarayoni o‘zini to‘lasincha namoyon qilishiga, mumkin bo‘lgan ko‘plab xatolardan qochishga va olingan natijalarni to‘g‘ri baholashga imkon beradi. 4) Kontinual masaladan tashqari chekli elementlar sxemasi diskret masalalarni to‘g‘ridan to‘g‘ri yechishda elementlarni birlashtirishga va algebraik tenglamalarni tuzishga ham qo‘llaniladi. Bu esa usulning qo‘llanilish sohasini kengaytiradi. 4. Ishning ilmiy tadqiqot usuli. Ilmiy tadqiqot usuli sifatida bo’ylama kuch ta’sirada bo’lgan ko’ndalang kesimi po’g’anali o’zgaruvchi sterjenni chekli elementlar usulidan foydalanib analitik usulda aniqlash maqsad qilib belgilangan. 5. Ishning ilmiy-amaliy ahamiyati. Muhandislik konstruksiyalari hisoblashda bir qancha usullardan foydalanilgan. Shunday usullardan biri chekli elementlar usuli hisoblanadi. Ushbu usulda sterjenning bo’ylama kuch ta’sirida siljishi, deformatsiyasi, kuchlanishi analitik usulda topilgan. 6. Ishning tuzulishi. Bitiruv malakaviy ishi kirish, xulosa va foydalanilgan asosiy adabiyotlar ro’yhatidan iborat bo’lib jami 43 betni tashkil etadi. 7. Olingan natijalar qisqacha mazmuni. Ko’ndalang kesimi pog’anali o’zgaruvchi, bo’ylama kuch ta’sirida sterjen tugunlarida siljishi, deformatsiyasi, kuchlanishi chekli elementlar usuli yordamida aniqlandi. 3

Ⅰ - BOB. CHEKLI ELEMENTLAR USULINING ASOSIY TUSHUNCHALARI 1.1 Atamalar Agar modelning erkinlik darajasi chekli bo‘lsa, bunday model diskret model deyiladi, aks holda uzluksiz (kontinual) model deyiladi. Chekli elementlar usuli diskretlash usullaridan biri bo‘lganligisababli chekli elementlar modelining erkinlik darajasi chekli bo‘lishikerak. Asosan barcha erkinlik darajalari U bilan belgilanuvchi va erkinlik darajasi vektori yoki holat vektori deb nomlanuvchi matrisa vektoriga yig‘iladi. Analitik mexanikada har bir erkinlik darajasiga umumlashgan kuchlar ko‘rinishidagi birgalikdagi o‘zgaruvchilar mos keladi. Nomexanik ilovalarda ham xuddi shunday, ya’ni kuchlar yoki kuch o‘zgaruvchilari deb ataluvchi birgalikdagi o‘zgaruvchilar mavjud. Bu kuchlar P bilan belgilanuvchi vektor matrisaga birlashtiriladi. U v a P orasidagi munosabatlar chiziqli hamda bir jinsli deb faraz qilinadi. Bundan kelib chiqadi-ki, agar U nolga intilsa, P ham nolga intiladi, bu holda ular orasidagi munosabat qiividagi asosiy tenglama bilan ifodalanadi: KU = P (1.1) bu yerda, K bikrlik matrisasi deyiladi. U va P vektorlarning fizikaviy ma’nosi chekli elementlar usullariniag qo’llanilish sohasiga qarab o‘zgaradi, bu 1.1-jadvalda ko‘rsatilgan. Agar kuchlar bilan ko‘chishlar orasidagi munosabat chiziqli lekin bir jinsli bolmasa, (1.1) tenglama quyidagi munosabatga umumlashtiriladi: KU = P j + P m (1.2) bu yerda, Pj — boshlang‘ich kuchlarning tugun vektori, masalan, termoelastiklik masalalarini yechishda boshlang‘ich temperatura kuchlanishlarini hisobga olishda paydo bo‘ladigan bosh!ang‘ich kuchlarning tugun vektori; Pm - mexanik kuchlarning vektori. 4

Chekli elementlar qo’lanilish sohasiga qarab U va P vektorlarning fizikaviy ma’nosi 1. 1 – jadval Qo ’ lanilish sohasi Holat vektori U Tutash vektor P Konstruksiya va qattiq jismlar niexanikasi Ko‘chish Mexanik kuch Issiqlik o‘tkazuvchanlik Issiqlik o‘tkazuvchanlik Issiqlik oqimi Potensial oqim Bosim Zarrachaning tezligi Oqimning umuiniy korinishi Tezlik Oqim Elektrostatika Elektr potensiali Zaryad zichligi Magnitostatika Magnit potensiali Magnit maydon intensivligi 1.2 Chekli elementlar usulining asosiy qadamlari Chekli elementlar usulining asosiy qadamlarini quyidagi ko‘rinishda tasvirlash mumkin:  Ideallashtirish;  Diskretlash;  Yechimi; Ideallashtirish. Ideallashtirish deganda boshlang‘ich fizikaviy sistemadan matematik modelga o‘tish jarayoni tushuniladi. Bu jarayon texnikaviy va muhandislik masalalarini echishda eng muhim qadam hisoblanadi. Bu jarayonda model tushunchasi eng asosiy o‘rinni egallaydi. Sistemaning o’zini qanday tutishini oldindan izohlab beruvchi va modellashtirish uchun tuzilgan qurilma deb model tushunchasiga simvoliktarif berish mumkin. matematik modellashtirish yoki ideallashtirish muhandisning real fizikaviy 5

O'xshashlar

Ryukzak masalasi
Shturm-Liuvill MASALASI
Nochiziqli issiqlik tenglamalarining Avtomodel yechimlarining asimptotik turg’unligi
DOIRAVIY SILINDRIK ELASTIK STERJENNING NOCHIZIQLI BURALMA TEBRANISHI
O‘ZBEKISTON XOTIN-QIZLAR MASALASI