logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. Shturm-Liuvill MASALASI

Shturm-Liuvill MASALASI

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

104.9794921875 KB
Ko'chirib olish
Shturm-Liuvill MASALASI Mundarija Kirish ………………………………………………………………… 3 I bob. Chekli oraliqda berilgan Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi 1.1 § Xos qiymatlarning va xos funksiyalarning sodda xossalari……………. 1.2 § Shturm-Liuvill tenglamasi uchun qo‘yilgan Koshi masalasi…………… 1.3 § Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi uchun yoyilma teoremasi………… va Parseval tengligi…………………………………………………….. II bob. Yarim o‘qda berilgan Shturm-Liuvill operatori uchun to‘g‘ri masalalar 2.1 § Y arim o‘qda berilgan Shturm- Liuvill chegaraviy masalasi uchun Parseval tengligi............................................................................... 2.2 § Yarim o‘qda berilgan Shturm- Liuvill chegaraviy masalasi uchun yoyilma haqidagi teorema ......................................................................... 2.3 § Veyl doirasi va nuqtasi haqida .................................................................. 2.4 § Veyl doirasi va nuqtasi haqida teoremalar. .............................................. III bob yarim o‘qda berilgan Shturm-Liuvill operatori uchun qo‘yilgan to‘g‘ri masalaning Veyl-Titchmarsh funksiyasi va spektral funksiyasi xossalari 3.1 § Rezolventa uchun integral tasvir……………………………………… 3.2 § Veyl-Titchmarsh funksiyasi va spektral funksiya orasidagi bog‘lanishlar…………………………………………………………… 3.3 § Spektral funksiyalarni topishga doir misollar. ………………………… Xulosa .............................................................................................................. Foydalanilgan adabiyotlar…………………………………………………… K i r i sh 1. Masalaning qo‘yilishi. Ushbu dissertatsiya ishida yarim o‘qda berilgan Shturm- Liuvill operatori uchun qo‘yilgan to‘g‘ri masalani o‘rgani sh masalasi qaralgan . Quyidagi L ≡ − d 2 dx 2 + q( x ) , − ∞ < x < ∞ operatorga Shturm-Liuvill operatori deyiladi. Shturm-Liuvill operatori matematika va fizikaning ko‘pgina masalalarini o‘rganishda keng qo‘llaniladi. q ( x ) funksiyaga Shturm-Liuvill operatorining potensiali deyiladi. Berilgan potensial bo‘yicha bu operatorning spektral xarakteristikalarini o‘rganish to‘g‘ri masala deyiladi. Bunday xarakteristikalar spektrlar, spektral funksiya, berilgan sochilishlar va boshqalar bo‘lishi mumkin. Differensial operatorlar regulyar va singulyar operatorlarga bo‘linadi. Agar uning berilish sohasi chekli va koeffitsiyentlari uzluksiz bo‘lsa operator regulyar deyiladi. Agar uning berilish sohasi cheksiz yoki koeffitsiyentlari summalanuvchi bo‘lmasa operator singulyar deyiladi. Shuning uchun, yarim o‘q holida Shturm - Liuvill operatori uchun to‘g‘ri masalalarni o‘rganish masalasi nazariy va amaliy ahamiyatga egadir. 2. Mavzuning dolzarbligi. Matematikaga l 2 fazoning va Gilbert fazolarining kiritilishi, bu fazoda o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli operatorlarning spektral nazariyasining rivojlanishiga yo‘l ochib berdi. Ma’lumki, differensial operatorlarda spektral yoyilmani mos tenglamaning yechimlari orqali tasvirlash mumkin bo‘ladi. Bu esa differensial operatorlarning spektral nazariyasini o‘rganish dolzarb ekanligini ta’kidlaydi. 3. Tadqiqot obyekti va predmeti. Tadqiqot obyekti chekli ora;iqda va yarim o‘qda berilgan Shturm-Liuvill operatori. 4. Ishning maqsad va vazivalari. Dissertasiya ishining asosiy maqsadi shundan iboratki, yarim o‘qda berilgan Shturm - Liuvill operatori uchun qo‘yilgan to‘g‘ri masala yechi sh usullarini o‘rganish va Shturm-Liuvill chegaraviy masalalarining Veyl-Titchmarsh funksiyasi va spektral funksiyalarini topishga doir misollar qarash dan iborat. 5. Ilmiy tadqiqot metodlari. Ishni bajarishda funksional analiz, chiziqli operatorlar spektral nazariyasi va differensial tenglamalar usullari qo‘llaniladi. 6. Tadqiqotning ilmiy yangiligi. Ushbu magistrlik dissertatsiya ishi ilmiy xarakterga ega bo‘lib, unda Shturm-Liuvill operatori uchun qo‘yilgan to‘g‘ri masalani yechishning Gelfand-Levitan usuli to‘liq o‘rganilib, bir nechta nazariy ahamiyatga ega bo‘lgan misollar yechilgan. 7. Tadqiqot natijalarining ilmiy va amaliy ahamiyati. Dissertasiya ishi nazariy xarakterga ega. Ushbu magistrlik dissertatsiyasi ishida keltirilgan usul va natijalar kelgusida Shturm-Liuvill operatorining spektral nazariyasi rivojlanishida qo‘llanilishi mumkin. Shuningdek, ular kvant fizikasi, elektronika, chiziqli va nochiziqli xususiy xosilali tenglamalar nazariyasi, mexanika, kristallografiya, geologo-razvedka masalalarini o‘rganishda kerakli bo‘lishi mumkin. 8. Ishning tuzilishi. Dissertasiya ishi kirish, uch ta bob va xulosadan iborat. I bob Chekli oraliqda berilgan Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi haqida bo‘lib, 1. 1- §da xos qiymatlarning va xos funksiyalarning sodda xossalari haqida, 1. 2- §da Shturm-Liuvill tenglamasi uchun qo‘yilgan Koshi masalasi, 1. 3- §da Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi uchun yoyilma teoemasi va Parseval tengligi haqidagi kerakli ma’lumotlar keltirilgan. II bob Yarim o‘qda berilgan Shturm- Liuvill operatori uchun to‘g‘ri masala haqida bo‘lib, 2. 1 §-da yarim o‘qda berilgan Shturm- Liuvill chegaraviy masalasi uchun Parseval tengligi, 2.2§-da yarim o‘qda berilgan Shturm- Liuvill chegaraviy masalasi uchun yoyilma haqidagi teorema isbotlangan, 2.3§-da Veyl doirasi va nuqtasi haqida va 2.4§ -da Veyl doirasi va nuqtasi haqida teoremalar isbotlangan. III bob yarim o‘qda berilgan Shturm-Liuvill operatori uchun qo‘yilgan to‘g‘ri masalaning Veyl-Titchmarsh funksiyasi va spektral funksiyasi xossalari haqida. 3.1§ -da rezolventa uchun integral tasvir, 3.2§-da Veyl-Titchmarsh funksiyasi va spektral funksiya orasidagi bog‘lanishlar, 3.3§- da spektral funksiyalarni topishga doir masalalar qaraladi. Natijalarning joriy qilinishi. Dissertatsiyada o‘rganilgan asosoiy natijalar va usullar matematik va funksional analiz, matematik fizika tenglamalarida, shunindek tabiiy fanlarning boshqa sohalarida qo‘llanilishi mumkin. Dissertatsiya tuzilishi va hajmi. Dissertasiya ishi kirish qismi , uch ta bob , xulosa va 16 yoki 18 nomdagi foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati dan iborat. Dissertatsiya 100 matnli sahifadan tashkil topgan. Har bir bob paragraflarga ajratilgan bo‘lib, o‘zining nomerlanishi va belgilanishiga ega. Misol uchun, 1.1.1-teorema yozuvi bu teoremaning 1-bobda 1-paragrafning 1-teoremasi tartib bilan yoki (2.2.2) yozuv formulaning 2-bobda 2-paragrafning 2-formulasini tartib bilan belgilanishini anglatadi. Olingan natijalarning qisqacha mazmuni. Dissertasiya ishida olingan natijalar nazariy xarakterga ega bo‘lib, singulyar Shturm-Liuvill operatorlari ushun to‘g‘ri masala lar ni yeshishda qo‘llash mumkin bo‘ladi. I bobning asosiy natijalari quyidagilardan iborat: 1-Teorema. (1.2.1-Teorema.) Agar q( x ) ∊ C [ 0 , π ] funksiya haqiqiy bo‘lib, y0,y1 ixtiyoriy haqiqiy sonlar bo‘sa, u holda (1.2.1)+(1.2.2) Koshi masalasining [0,π] kesmada aniqlangan φ(x,λ) yechimi mavjud va yagona bo‘lib, u x o‘zgaruvchining har bir tayinlangan qiymatida ?????? bo‘yicha 1 2 tartibdagi butun funksiyadir, ya’ni tayinlangan x da φ ( x , λ ) funksiya kompleks tekislikning ixtiyoriy chegaralangan soxasida kompleks manoda differensiallanuvchidir. 2-Teorema. (1.3.1-Teorema.) Nol soni ushbu { − y''+q(x)y= λy , y(0)cos α+y'(0)sin α=0, y(π)cos β+y'(π)sin β=0, (1) Shturm-Liuvill masalasining xos qiymati bo‘lmasa, u holda ushbu { − y ' ' + q ( x ) y = λy + f ( x ) , y ( 0 ) cos α + y ' ( 0 ) sin α = 0 , y ( π ) cos β + y ' ( π ) sin β = 0 , ( 2 ) chegaraviy masala quyidagi integral tenglamaga ekvivalent bo‘ladi: y(x)= λ∫0 π G (x,t)y(t)dt +∫0 π G (x,t)f(t)dt .(3) Bu yerda G ( x , t ) funksiya (1.3.1) masalaning λ = 0 qiymatga mos keluvchi Grin funksiyasi. 3-Teorema 3. ( 1.3.2-Teorema.) Nol soni (1.3.1) chegaraviy masalaning xos qiymati bo‘lmasa, u holda quyidagi integral tenglama cheksiz ko‘p xos qiymatlarga ega bo‘ladi: u(x)= λ∫0 π G (x,t)u(t)dt . 4-Teorema 4. ( 1.3.3-Teorema.) Nol soni (1.3.1) chegaraviy masalaning xos qiymati bo‘lmasa, uning Grin funksiyasi uchun ushbu G ( x , t ) = ∑ n = 0∞ υ n ( x ) υ n ( t) λ n , ( 4 ) tasvir o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda λ n orqali (1.3.1) masalaning xos qiymatlari va υn(x) orqali esa ularga mos ortonormallangan xos funksiyalari belgilangan. 5-Teorema. (1.3.4-Teorema. (Yoyilma haqida) ) Agar f ( x ) ϵ C 2[ 0 , π ] funksiya { f(0)cos α+f'(0)sin α=0, f(π)cos β+f'(π)sin β=0, (5) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy funksiya bo‘lsa, u holda quyidagi f ( x ) = ∑ n = 0∞ a n u n ( x ) , ( 7 ) tasvir o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda u n ( x ) funksiyalar (1.3.1) chegaraviy masalaning ortonormallangan xos funksiyalari bo‘lib, an koeffitsiyentlar ushbu a n = ∫ 0π f ( t) u n ( t) dt , ( 9 ) tenglik bilan aniqlanadi. (1.3.19) qator tekis va absolyut yaqinlashuvchi bo‘ladi. 6-Teorema 6. (1.3.5-Teorema. (Parseval tengligi) ) Ixtiyoriy f ( x ) ∊ L 2 [ 0 , π ] funksiya uchun quyidagi tenglik o‘rinli bo‘ladi: ∫ 0π f 2 ( x ) dx = ∑ n = 0∞ a n2 . ( 11 ) Bu yerda, an koeffitsiyentlar ushbu a n = ∫ 0π f ( t ) u n ( t) dt , ( 12 ) tenglik bilan aniqlanib, un(x) funksiyalar (1.3.1) chegaraviy masalaning ortonormallangan xos funksiyalaridir. II bobning asosiy natijalari quyidagilardan iborat: Quyidagi − y''+q(x)y= λy ,0≤x≤∞ ,(2.1 .1) y( 0) cos α + y ' ( 0) sin α = 0 ( 2.1 .2 ) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasini ko‘rib chiqamiz. Bu yerda q ( x ) ∈ C ¿ haqiqiy funksiya, α berilgan haqiqiy son va λ komplek parameter. 1-Teorema. (2.1.1-Teorema (Veyl).) (2.1.1)+(2.1.2) chegaraviy masala uchun butun o‘qda aniqlangan, monoton o‘suvchi, chapdan uzliksiz, ρ(− 0)= 0 shart bilan normallangan shunday ρ ( λ ) funksiya mavjudki, L 2 ( 0 , ∞ ) fazodan olingan ixtiyoriy f(x) funksiya uchun ∫0 ∞ f2(x)dx = ∫−∞ ∞ F2(λ)dρ(λ), tenglik bajariladi. Bu yerda F ( λ ) funksiya F n ( λ) = ∫ 0 n f n ( x ) φ ( x , λ ) dx , ketma-ketlikning Lρ(λ) 2 (− ∞ ,∞) fazodagi limitini bildiradi. 2-Teorema. (Teorema 2.2.1.) ( Yoyilma haqida ). Agar f ( x ) ∈ L 2 ( 0 , ∞ ) funksiya uzluksiz bo‘lib, ∫−∞ ∞ F(λ)φ(x,λ)dρ(λ),(2.2 .2) integral absolyut va har bir chekli oraliqda tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda f ( x ) funksiya uchun f(x)= ∫−∞ ∞ F(λ)φ(x,λ)dρ(λ),(2.2 .3) munosabat bajariladi. 3-Teorema. ( 2.3.1-Teorema.) Agar m ( λ ) - Veyl nuqtasi yoki D∞(λ) Veyl doirasiga tegishli bo‘lgan biror nuqta bo‘lsa, u holda ixtiyoriy λ∈C¿ kompleks son uchun (2.3.1) tenglamaning ψ(x,λ)=θ(x,λ)+m(λ)φ(x,λ) yechimi L 2 ( 0 , ∞ ) fazoga tegishli bo‘ladi, hamda quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi:∫0 ∞ |ψ(x,λ)|2dx ≤− ℑm(λ) ℑλ .(2.3 .22 ) 4-Teorema. (2.3.2-Teorema.) D ∞ ( λ ) - Veyl doirasi bo‘lsin, u holda ℑ λ≠0 bo‘lganda, (2.3.1) tenglamaning barcha yechimlari L 2 ( 0 , ∞ ) fazoga tegishli bo‘ladi va D∞(λ) doiraning radiusi R ∞ uchun R ∞ = ( 2 | ℑ λ | ∙ ∫ 0∞ | φ ( x , λ )| 2 dx ) − 1 tenglik bajariladi. 5-Teorema. (2.4.1-Teorema.) Agar biror λ 0 kompleks son uchun − y''+q(x)y= λ0y, tenglamaning barcha yechimlari L 2 ( 0 , ∞ ) fazoga tegishli bo‘lsa, ixtiyoriy ?????? kompeks son uchun − y ' ' + q ( x ) y = λy , tenglamaning ham yechimlari L 2 ( 0 , ∞ ) fazoga tegishli bo‘ladi. 6-Teorema. (2.4.2-Teorema.) Agar biror k musbat son uchun q ( x ) ≥ − k x 2 tengsizlik bajarilsa, u holda Ly ≡− y''+q(x)y Shturm-Liuvill operatori uchun Veyl nuqtasi holi o‘rinli, ya’ni parametrning kompleks qiymatida − y ' ' + q ( x ) y = λy tenglamaning L 2 ( 0 , ∞ ) fazoga tegishli yechimlari o‘zaro proporsionaldir. III bobning asosiy natijalari quyidagilardan iborat 1-Teorema. ( 3.1.1- Teorema. (Rezolventa uchun integral tasvir.) ) Ixtiyoriy f(x)∈L2(0,∞) haqiqiy funksiya va ixyiyoriy z haqiqiy bo‘lmagan son uchun quyidagi tasvir o‘rinli: Rzf(x)=∫−∞ ∞ φ(x,λ)F(λ) z− λ dρ(λ).(3.1 .26 )Bu yerda F(λ)= limn→∞∫0 n f(x)φ(x,λ)dx . 2-Teorema. (3.2.1-Teorema.) Agar ( a , b ) oraliqning chetki nuqtalari ρ ( λ ) spektral funksiyaning uzluksizlik nuqtalaridan iborat bo‘lsa, u holda ρ(b)− ρ(a)= −1 π ∫a b ℑ¿¿¿ tenglik o‘rinli bo‘ladi. 1-Natija. (3.2.3-Natija. ) Veyl doirasi holida m ( λ ) funksiya ?????? parametrning qutb nuqta bo‘lmagan haqiqiy qiymatlarida uzluksiz bo‘lib, haqiqiy qiymatlar qabul qilganligi uchun natija 3.2.1 ga asosan ρ ' ( λ ) = − 1 π lim υ → + 0 ℑ ¿ ¿ ¿ tenglik o‘rinli bo‘ladi. Demak, bu holda uzluksiz spektr bo‘lmaydi va spektr faqat xos qiymatlardan iborat bo‘ladi. I bob. Chekli oraliqda berilgan Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi 1.1- §. Xos qiymatlarning va xos funksiyalarning sodda xossalari Quyidagi masalaga Ly ≡ − y ' ' + q ( x ) y = λy , x ∈ [ 0 , π ] , ( 1.1 .1 ) { y ( 0 ) cos α + y ' ( 0 ) sin α = 0 , y ( b ) cos β + y ' ( b ) sin β = 0 , ( 1.1 .2 ) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi deyiladi. Bu yerda q ( x ) ∈ C 2 [ 0 , π ] haqiqiy funksiya, α , β lar berilgan haqiqiy sonlar va λ komplek parametr. (1.1.1) tenglamaning q ( x ) koeffitsiyentiga (1.1.1)+(1.1.2) Shturm-Liuvill masalasining potensiali deyiladi. Ushbu Ly ≡ − y ' ' + q( x ) y = λy , x ∈ [ 0 , π ] , { y ( 0) = 0 , y ( π ) = 0 , chegaraviy masalaga Dirixle masalasi deyiladi va Ly ≡ − y ' ' + q ( x ) y = λy , x ∈ [ 0 , π ] , { y ' ( 0) = 0 , y ' ( π ) = 0 , chegaraviy masalaga esa Neyman masalasi deyiladi. Ta’rif 1.1.1. Agar parametrning biror λ= λ0 qiymatida (1.1.1)+(1.1.2) chegaraviy masala noldan farqli y(x,λ0)≢0 yechimga ega bo‘lsa, λ0 songa (1.1.1)+(1.1.2) chegaraviy masalaning xos qiymati deyiladi, y ( x , λ 0 ) yechimga esa λ0 xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyasi deyiladi. (1.1.1)+(1.1.2) Shturm-Liuvill masalasining barcha xos qiymatlari to‘plamiga uning spektri deyiladi. 1-xossa. y1(x,λ) va y2(x,λ) funksiyalar (1.1.1) tenglamaning ixtiyoriy yechimlari bo‘lsin. U holda ulardan tuzilgan W { y 1 ( x , λ ) , y 2 ( x , λ ) } = | y 1 ( x , λ ) y 2 ( x , λ ) y 1' ( x , λ ) y 2' ( x , λ ) | , Vronskiy determinant x o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lmaydi. Isbot. Buning uchun quyidagi tenglikning bajarilishini ko‘rsatish yetarli: dW dx ≡ 0. dW dx ≡( y 1 y 2' − y 1' y 2 ) ' = y 1 y 2' ' − y 1' ' y 2 = y 1 [ q ( x ) y 2 − λ y 2 ] − ¿ − y2[q(x)y1− λy1]= 0. 2-xossa. (1.1.1) tenglamaning ikki yechimi chiziqli bog‘liq bo‘lishi uchun ulardan tuzilgan Vronski determinant nolga teng bo‘lishi zarur va yetarli. Isbot. Ushbu d dx { y 1 ( x , λ ) y 2 ( x , λ )} = y 1' ( x , λ ) y 2 ( x , λ ) − y 1 ( x , λ ) y 2' ( x , λ ) y 22 ( x , λ ) = ¿ ¿− 1 y22(x,λ)W {y1(x,λ),y2(x,λ)} ayniyatdan quyidagi y1(x,λ) y2(x,λ)= const munosabatning o‘rinli ekanligidan W { y 1 ( x , λ ) , y 2 ( x , λ ) } = 0 munosabat bajarilishining zarur va yetarli ekanligiga kelamiz. 3-xossa. (Grin ayniyati). Ixtiyoriy q ( x ) , z ( x ) ∈ C 2 [ 0 , π ] funksiyalar uchun ∫ 0π Ly ∙ z dx = W π { y , z } − W 0 { y , z } + ∫ 0π y ∙ Lz dx , aqyniyat bajariladi. Isbot. ∫0 π (Ly z− yLz )dx =∫0 π {z[− y''+q(x)y]− y[− z''+q(x)z]}dx =¿ ¿ ∫ 0π ( z ' ' y − y ' ' z ) dx = ∫ 0π ( z ' y − y ' z ) ' dx = ¿ ¿| y ( x ) z ( x ) y ' ( x ) z ' ( x ) || 0π = W π { y , z } − W 0 { y , z } . 4-xossa. Ixtiyoriy q ( x ) , z ( x ) ∈ C 2 [ 0 , π ] funksiyalar uchun quyidagi tenglik bajariladi: ∫ 0π Ly ∙ z dx = [ y ( 0 ) cos α + y ' ( 0 ) sin α ] ∙[ z ( 0) sin α − z ' ( 0 ) cos α ] − ¿ − [ y ( 0) sin α − y ' ( 0) cos α ] ∙[ z ( 0) cos α + z ' ( 0 ) sin α ] + ¿ + [ y ( π ) cos β + y ' ( π ) sin β ] ∙[ − z ( π ) sin β − z ' ( π ) cos β ] + ¿ +[y(π)sin β− y'(π)cos β]∙[− z(π)cos β+z'(π)sin β]+∫0 π y∙Lz dx ,(1.1 .3). Isbot. Grin ayniyatidagi W π{y,z}−W 0{y,z} ifodani kerakli ko‘rinishda yozamiz. Buning uchun quyidagi sistemani tuzib olamiz: { y ( 0) cos α + y ' ( 0) sin α = U 1 , y ( 0 ) sin α − y ' ( 0 ) cos α = U 2 , y ( π ) cos β + y ' ( π ) sin β = U 3 , y ( π ) sin β − y ' ( π ) cos β = U 4 , va bu sistemadan quyidagi tengliklarni hosil qilamiz: { y(0)=U 1cos α+U 2sin α, y'(0)=U 1sin α−U 2cos α, y(π)=U 3cos β+U 4sin β y'(π)=U 3sin β−U 4cos β, Bularni Grin ayniyatiga qo‘ysak, (1.3) tenglik hosil bo‘ladi. 1.1.1-Natija. Agar q ( x ) , z ( x ) ∈ C 2 [ 0 , π ] bo‘lib, y ( x ) funksiya (1.1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsa, u holda ∫ 0π Ly ∙ z dx = ∫ 0π y ∙ Lz dx , tenglik bajarilishi uchun z(x) funksiya ham (1.1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishi zarur va yetarlidir. Yuqoridagi natija, (1.1.1)+(1.1.2) chegaraviy masala yordamida aniqlangan L chiziqli operator L 2 ( 0 , π ) Gilbert g‘fazosida o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorni ifodalashini ko‘rsatadi. 5-xossa. (1.1.1)+(1.1.2) Shturm-Liuvill masalasining xos qiymatlari haqiqiylardir. Isbot. λ=u+iυ ,i=√−1,(υ≠0) son (1.1.1)+(1.1.2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymati bo‘lsin deb faraz qilaylik va unga mos keluvchi xos funksiyani y ( x ) bilan belgilaylik. U holda λ = u − iυ son ham shu chegaraviy masalasining xos qiymati bo‘ladi va unga y(x) xos funksiya mos keladi. Quyidagi (λ− λ)∫0 π |y(x)|2dx =∫0 π (λ− λ)y(x)y(x)dx =∫0 π [(λy )y− y(λy)]dx =¿ ¿∫0 π {y[− y''+q(x)y]− y[− y''+q(x)y]}dx =∫0 π (y''y− y''y)dx = ¿¿ ¿ ∫ 0π ( y ' y − y ' y ) ' dx = | y ( π ) y ( π ) − y ( π ) ctgβ − y ( π ) ctgβ | − ¿ −| y(0) y(0) − y(0)ctgα − y(0)ctgα |=0 tenglikdan λ= λ ekanligi kelib chiqadi. Bu esa farazimizga zid. 1.1.2-Natija. Xos funksiyani haqiqiy qilib tanlash mumkin. Chunki xos qiymat haqiqiy ekanligidan qaralayotgan tenglamaning haqiqiyligi kelib chiqadi. Chegaraviy shartlar esa doimo haqiqiy. 6-xossa. (1.1.1)+(1.1.2) Shturm-Liuvill masalasining turli xos qiymatlariga mos keluvchi xos funksiyalari o‘zaro ortogonaldir, ya’ni λ 1 ≠ λ 2 xos qiymatlarga mos keluvchi y 1 ( x ) , y 2 ( x ) xos funksiyalar uchun ushbu quyidagi tenglik o‘rinli bo‘ladi: ∫0 π y1(x)∙y2(x)dx =0,(1.1 .4) Isbot. (λ¿¿1− λ2)∫0 π y1(x)∙y2(x)dx =∫0 π [(λ1y1)y2–y1(λ2y2)]dx =¿¿ ¿ ∫ 0π { y 2 [ − y 1 ' ' + q ( x ) y 1 ] − y 1 [ − y 2 ' ' + q ( x ) y 2 ]} dx = ∫ 0π ( y 2 ' ' y 1 − y 1' ' y 2 ) dx = ¿ ¿∫0 π (y2'y1− y1'y2)'dx =| y1 y2 y1' y2'||0 π = 0, ayniyatda λ1≠λ2 bo‘lganligi uchun (1.4) munosabatning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. 7-xossa. (1.1.1)+(1.1.2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymatlari oddiy (karrasiz), ya’ni bitta xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyalar br-biriga proporsionaldir. Isbot. λ xos qiymatga y1(x),y2(x) chiziqli erkli xos funksiyalar mos keladi deb faraz qilaylik. U holda W { y 1 , y 2 } = lim x → 0 W { y 1 , y 2 } = | y 1 ( 0 ) y 2 ( 0) y 1' ( 0 ) y 2' ( 0)| = ¿ ¿ | y 1 ( 0 ) y 2 ( 0 ) − y 1 ( 0) ctgα − y 2 ( 0) ctgα | = 0 , bo‘lganligi uchun, y 1 ( x ) , y 2 ( x ) xos funksiyalar chiziqli bog‘liq bo‘ladi. bu esa farazimizga zid. 8-xossa. Agar { − y ' ' + q ( x ) y = λy , y ( 0 ) cos α + y ' ( 0 ) sin α = 0 , y ( π ) cos β + y ' ( π ) sin β = 0 , chegaraviy masalaning xos qiymatlari λ0,λ1,λ2,… va xos funksiyalari y 0 ( x ) , y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , … bo‘lsa, u holda { − y ' ' + [ q ( x ) + c ] y = λy , y ( 0 ) cos α + y ' ( 0 ) sin α = 0 , y ( π ) cos β + y ' ( π ) sin β = 0 , ( 1.1 .5 ) chegaraviy masalaning xos qiymatlari λ 0 + c , λ 1 + c , λ 2 + c , … va xos funksiyalari y0(x),y1(x),y2(x),… bo‘ladi. bu yerda c o‘zgarmas son. (1.1.1) differensial tenglamaning φ ( 0 , λ ) = − sin α , φ ' ( 0 , λ ) = cos α boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini φ(x,λ) orqali belgilaymiz. Xuddi shunday (1.1.1) tenglamaning ψ ( π , λ ) = − sin β , ψ ' ( π , λ ) = cos β boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini ψ ( x , λ ) orqali belgilaymiz. Bu yerda φ ( x , λ ) yechim (1.1.2) chegaraviy shartlardan birinchisini, ψ ( x , λ ) yechim esa ikkinchisini qanoatlantiradi. Bu φ ( x , λ ) va ψ ( x , λ ) yechimlarni mos ravishda (1.1.2) chegaraviy shartlardan ikkinchisiga va birinchisiga qo‘yib quyidagi tenglamalarni hosil qilamiz: △ ( λ ) ≡ φ ( π , λ ) cos β + φ ' ( π , λ ) sin β = 0 , ~ △ ( λ ) ≡ ψ ( 0 , λ ) cos α + ψ ' ( 0 , λ ) sin α = 0 , Bu tenglamalarga (1.1.1)+(1.1.2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xarakteristik tenglamalari deyiladi. Shturm-Liuvill tenglamasining φ ( x , λ ) va ψ ( x , λ ) yechimlaridan tuzilgan quyidagi vronskiy determinantini qaraymiz: ω(λ)=W {φ(x,λ),ψ(x,λ)}≡| φ(x,λ) ψ(x,λ) φ'(x,λ) ψ'(x,λ)|, Biz yuqorida bu determinant x o‘zgaruvchiga bog‘liq emasligini ko‘rsatgan edik.shuning uchun quyidagi tengliklarni yozishimiz mumkin: ω( λ ) = W { φ ( x , λ ) , ψ ( x , λ )} = lim x → 0 W { φ ( x , λ ) , ψ ( x , λ )} = ¿ lim x → π W { φ ( x , λ ) , ψ ( x , λ )} . Bu tengliklardan ω ( λ ) = △ ( λ) = − ~ △ ( λ ) munosabat kelib chiqadi. Bu yerdagi ω ( λ ) , △ ( λ ) ,~ △ ( λ ) funksiyalar λ o‘zgaruvchining butun funksiyalari bo‘lib, sanoqlita {λn}n=0 ∞ nollarga ega ekanligi keyinchalik ko‘rsatamiz. △ ( λ ) = 0 xarakteristik tenglamaning λn,n=0,1,2,… ildizlari Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymatlari, φ(x,λn) va ψ(x,λn) funksiyalar esa uning xos funksiyalari bo‘ladi va quyidagi tenglik o‘rinli bo‘ladi: ψ ( x , λ n ) = c n φ ( x , λ n ) , c n ≠ 0 ( 1.1 .6 ) Haqiqatan ham, λ= λn soni ∆ ( λ) = 0 tenglamaning ildizi bo‘lsa, u holda ω(λn)=0 bo‘lgani uchun (1.1.6) tenglik o‘rinli bo‘ladi. φ ( x , λ n ) va ψ ( x , λ n ) funksiyalar (1.1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, bundan esa λ= λn son xos qiymat hamda φ ( x , λ n ) va ψ ( x , λ n ) funksiyalar Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos funksiyalari ekanligi kelib chiqadi. Izoh 1.1.2. Odatda, agar (1.1.2) chegaraviy shartlardan birinchisi ushbu y ' ( 0) − hy ( 0 ) = 0 ko‘rinishda bo‘lsa, u holda φ ( x , λ ) yechim φ ( 0 , λ ) = 1 , φ ' ( 0 , λ ) = h boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradigan qilib olinadi, agar (1.1.2) chegaraviy shartlardan birinchsi y ( 0) = 0 ko‘rinishda bo‘lsa, u holda φ ( x , λ ) yechim φ ( 0 , λ ) = 0 , φ ' ( 0 , λ ) = 1 boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradigan qilib olinadi. Agar λ= λ0 soni Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymati bo‘lib, y(x,λ0) unga mos keluvchi xos funksiya bo‘lsa, u holda y(0,λ0) va y'(0,λ0) qiymatlardan kamida bittasi noldan farqli bo‘ladi, aks holda yechimning yagonaligi haqidagi Koshi teoremasidan y ( x , λ 0 ) ≡ 0 ekanligi kelib chiqadi. Bu esa xos funksiya ta’rifiga ziddir. Xuddi shuningdek, y(π,λ0) va y'(π,λ0) qiymatlardan kamida bittasi noldan farqli bo‘lishi ko‘rsatiladi. Quyidagi αn=√∫0 π φ2(x,λn)dx ,n=0,1,2 ,… sonlarga (1.1.1)+(1.1.2) chegaraviy masalaning normallovchi o‘zgarmaslari deyiladi. (1.1.1)+(1.1.2) masalaning ortonrmallangan xos funksiyalari quyidagi tengliklardan topiladi: un(x)= 1 αn φ(x,λn),n= 0,1,2,… 1.1.2-Ta’rif. Ushbu {λn}n=0 ∞ ,{αn}n=0 ∞ sonli ketma-ketliklar juftligiga Shturm- Liuvill chegaraviy masalasining spektral berilganlari (spektral xarakteristikalari) deyiladi. 1.1.3- Ta’rif. Monoton o‘suvchi, chapdan uzluksiz bo‘lgan quyidagi ρ(λ)= { 0,λ=0, − ∑λ≤λn<0 1 αn2,λ<0, ∑0<λn<λ 1 αn2,λ>0, (1.1 .9) funksiyaga Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektral funksiyasi deyiladi. Misol. { − y''= λy ,0≤x≤π y(0)=0, y(π)=0, Ushbu − y''= λy , differensial tenglamaning umumiy yechimi y(x)=c1cos √λx+c2sin √λx √λ , tenglik bilan beriladi. φ( 0 , λ ) = 0 , φ ' ( 0 , λ ) = 1 , φ(x,λ)= sin √λx √λ . Bu yechim birinchi chegaraviy shartni qanoatlantiradi. Bu yechimni ikkinchi chegaraviy shartga qo‘yib, quyidagi xarakteristik tenglamani keltirib chiqaramiz: sin √λπ √λ =0, sin √ λ π = 0 , λ=n2,n=1,2,3,… φ ( x , λ n ) = sin nx n , n = 1 , 2 , 3 , … αn2=∫0 π φ2(x,λn)dx =∫0 π ( sin nx n ) 2 dx = 1 n2∫0 π sin 2(nx )dx = ¿ ¿1 n2∫0 π ( 1−cos 2nx 2 )dx = 1 2n2(x− sin 2nx 2n )|0 π = π 2n2,n=1,2,3,… Ortonormallangan xos funksiyalari: u n ( x ) = 1 α n φ ( x , λ n ) = 1 π 2 n 2 ∙ sin nx n = 2 n π sin nx , n = 1 , 2 , 3 , … . ρ ( λ ) = { 0 , λ = 0 − ∑ λ < λ n < 0 2 n 2 π , λ < 0 ∑ 0 < λ n < λ 2 n 2 π , λ > 0 . 1.3-§. Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi uchun yoyilma teoremasi va Parseval tengligi 1.3.1-Teorema. Nol soni ushbu { − y''+q(x)y= λy , y(0)cos α+y'(0)sin α=0, y(π)cos β+y'(π)sin β=0, (1.3 .1) Shturm-Liuvill masalasining xos qiymati bo‘lmasa, u holda ushbu { − y''+q(x)y= λy + f(x), y(0)cos α+y'(0)sin α=0, y(π)cos β+y'(π)sin β=0, (1.3 .2) chegaraviy masala quyidagi integral tenglamaga ekvivalent bo‘ladi: y ( x ) = λ ∫ 0π G ( x , t ) y ( t) dt + ∫ 0π G ( x , t ) f ( t) dt . ( 1.3 .3 ) Bu yerda G ( x , t ) funksiya (1.3.1) masalaning λ=0 qiymatga mos keluvchi Grin funksiyasi. Isbot. Nol soni (1.3.1) masalaning xos qiymati bo‘lmagani uchun G ( x , t ) Grin funksiyasi mavjud va yagona bo‘ladi. (1.3.2) masalada F(x)= λy (x)+ f(x)(1.3 .4) kabi belgilash kiritsak, hosil bo‘lgan masalaning yechimi quyidagicha formula bilan beriladi: y ( x ) = ∫ 0π G ( x , t ) F ( t) dt . ( 1.3 .5 ) (1.3.4) belgilashni inobatga olsak, (1.3.5) formuladan (1.3.3) integral tenglama kelib chiqadi. Teorema isbotlandi. (1.3.3) tenglama Fredgolmning ikkinchi tur integral tenglamasidir. 1.3.1-Natija. Nol soni { − y''+q(x)y= λy , y(0)cos α+y'(0)sin α=0, y(π)cos β+y'(π)sin β=0, (1.3 .6) Shturm-Liuvill masalasining xos qiymati bo‘lmasa, bu chegaraviy masala quyidagi integral tenglamaga ekvivalentdir: y ( x ) = λ ∫ 0π G ( x , t ) y ( t) dt . ( 1.3 .7 ) 1.3.1-Lemma. Agar H ( x , t ) funksiya [0,π]×[0,π] kvadratda haqiqiy uzluksiz, simmetrik va noldan farqli bo‘lsa, ushbu u(x)= λ∫0 π H (x,t)u(t)dt .(1.3 .8) integral tenglama xos qiymatga ega, ya’ni λ parametrning shunday λ0 - Isbot. L 2 [ 0 , π ] Gilbert fazosida quyidagi integral tenglamani ko‘rib chiqamiz: Au (x)=∫0 π H (x,t)u(t)dt . Bu yerdagi integral operatorning yadrosi H ( x , t ) ushbu [0,π]×[0,π] kvadratda uzluksiz va simmetrik H ( x , t ) = H ( t , x ) funksiya bo‘lganligi uchun A o‘z-o‘ziga qo‘shma va kompakt operator bo‘ladi. A operator o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lgani uchun uning normasi quyidagi formula orqali topiladi: ‖ A ‖ = ¿ ‖ u ‖ = 1 |( Au , u )| . Aniq yuqori chegaraning ta’rifiga ko‘ra, shunday { u n ( x ) } ketma-ketlik mavjudki, bunda ‖u‖=1 bo‘lib, (Aun,un)→ μ0,(n→ ∞), bo‘ladi. Bu yerda μ0=‖A‖ yoki μ0=−‖A‖. Quyidagi munosabatlar o‘rinli:‖ A u n , μ 0 u n ‖ 2 = ( A u n − μ 0 u n , A u n − μ 0 u n ) = ¿ ¿ ‖ A u n ‖ 2 − 2 μ 0 ( A u n , u n ) + μ 02 ‖ u n ‖ ≤ ≤‖A‖2‖u‖2−2μ0(Aun,un)+μ02‖un‖= 2μ02−2μ0(Aun,un). Bundan Aun− μ0un→ 0,(n→ ∞),(1.3 .9) kelib chiqadi. A kompakt operator bo‘lgani uchun {Aun} ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi { A u n k } qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin, ya’ni Aunk→ υ0,(k→ ∞)(1.3 .10 ) (1.3.9) va (1.3.10) ga asosan μ0unk→ υ0,(k→ ∞), va A u n k → 1 μ 0 A υ 0 , ( k → ∞ ) , ( 1.3 .11 ) kelib chiqadi. (1.3.10) va (1.3.11) ga asosan quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz: A υ 0 = μ υ 0 . Bu yerda υ 0 ≠ 0 , chunki ‖ υ ‖ = lim k → ∞ ‖ μ 0 u n k ‖ = ¿ | μ 0 | = ‖ A ‖ ≠ 0. ¿ Shunday qilib, μ0≠0 son A operatorning xos qiymati va υ ( x ) funksiya bu xos qiymatga mos keluvchi xos funksiya ekan: ∫0 π H (x,t)υ0(t)dt =υ0(x)dx . Bunga ko‘ra λ 0 = 1 μ 0 son (1.3.8) integral tenglamaning xos qiymati bo‘ladi, υ(x) funksiya esa unga mos xos funksiya bo‘ladi. Lemma isbotlandi . 1.3.2-Teorema. Nol soni (1.3.1) chegaraviy masalaning xos qiymati bo‘lmasa, u holda quyidagi integral tenglama cheksiz ko‘p xos qiymatlarga ega bo‘ladi: u ( x ) = λ ∫ 0π G ( x , t ) u ( t) dt . Isbot. L 2 [ 0 , π ] Gilbert fazosida quyidagi integral operatorni ko‘rib chiqamiz: Ru (x)= λ∫0 π G (x,t)u(t)dt . Bu yerdagi integral operatorning G ( x , t ) yadrosi ushbu [ 0 , π ] × [ 0 , π ] kvadratda haqiqiy, uzluksiz va simmetrik G ( x , t ) = G ( t , x ) funksiya bo‘lgani uchun R o‘z- o‘ziga qo‘shma va kompakt operator bo‘ladi. Lemma 1.3.1 ga ko‘ra R operatorning μ0≠0 xos qiymati mavjud va unga υ(x) xos funksiya mos keladi. Bundan tashqari | μ 0 | = ‖ R ‖ ,‖ υ 0 ( x )‖ = 1 deb hisoblaymiz. Endi R1u(x)= λ∫0 π G1(x,t)u(t)dt ,(1.3 .12 ) operatorni ko‘rib chiqamiz. Bu yerda G1(x,t)=G (x,t)− μ0υ0(x)υ0(t). (1.3.12) tenglik yordamida aniqlangan R1 operator ham o‘ziga qo‘shma va kompakt operator bo‘ladi. Lemma 1.3.1 ga ko‘ra R 1 operatorning μ 1 ≠ 0 xos qiymati va υ1(x)ϵL2[0,π] xos funksiyasi mavjud bo‘lishini, hamda quyidagi tenglikning bajarilishini ko‘rsatish mumkin: | μ 1 | = ‖ R 1 ‖ . Bu yerda ‖ υ 1 ( x )‖ = 1 deb hisoblaymiz. Topilgan υ 0( x ) , υ 1 ( x ) ϵ L 2 [ 0 , π ] funksiyalar o‘zaro ortoganal bo‘ladi. Haqiqatan ham, ixtiyoriy u ( x ) ϵ L 2 [ 0 , π ] funksiya uchun ( R 1 u , υ 0 ) = ∫ 0π ( ∫ 0π G 1 ( t , s ) u ( s) ds ) υ 0 ( t) dt = ¿ ¿ ∫ 0π ∫ 0π G ( t , s ) u ( s) υ 0 ( t) dsdt − μ 0 ∫ 0π ∫ 0π υ 02 ( t) υ 0 ( s) u ( s) dsdt = ¿ ¿ ∫ 0π u ( s)( ∫ 0π G ( s , t ) υ 0 ( t) dt ) ds − ¿ μ 0 ( ∫ 0π υ 02 ( t) dt )( ∫ 0π u ( s) υ 0 ( s) ds ) = ¿ ¿ ¿ ( u , R υ 0 ) − μ 0 ( u , υ 0 ) = ( u , μ 0 υ 0 ) − μ 0 ( u , υ 0 ) = 0 , bo‘lishidan, xususiy holda (υ1,υ0)=0 tenglik kelib chiqadi. Shuning uchun quyidagicha tenglik o‘rinli bo‘ladi: Rυ1= R1υ1+μ0υ0(x)∫0 π υ0(t)υ1(t)dt= R1υ1+μ1υ1, ya’ni μ 1 son R operator uchun ham xos qiymat bo‘ladi va unga υ1(x) xos funksiya mos keladi. Topilgan xos funksiyalar uchun esa quyidagicha tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi: | μ 1 | = |( R 1 υ 1 , υ 1 )| = | R υ 1 , υ 1 | ≤ ‖ R ‖ = | μ 0 | , ya’ni | μ 0 | ≥ | μ 1 | . Bu jarayonni yanada davom qildiramiz. Buning uchun esa quyidagi integral operatorni tuzib olamiz: R2u(x)= λ∫0 π G2(x,t)u(t)dt . Bu yerda G2(x,t)=G1(x,t)− μ1υ1(x)υ1(t). Yuqorida ta’kidlaganimizdek R2 operator ham o‘ziga qo‘shma va kompakt operator bo‘ladi. Shuning uchun shunday υ2(x)ϵL2[0,π] funksiya topilib, |μ2|=‖R2‖,‖υ2(x)‖=1. O‘z navbatida υ2(x) funksiya R operator uchun ham xos funksiya bo‘ladi,ya’ni Rυ2= R2υ2= μ2υ2. Topilgan xos qiymatlar uchun |μ0|≥|μ1|≥|μ2|, tengsizliklar o‘rinli ekanligini ko‘rsatish mumkin. υ0(x) , υ1(x) va υ2(x) xos funksiyalar esa ortoganaldir. Agar ‖ R m ‖ ≠ 0 , m N ϵ bo‘lsa, bu jarayonni cheksiz davom qildirish mumkin. Natijada { υ n ( x )} ortonormallangan xos funksiyalar mavjudligi va ularga mos keluvchi xos qiymatlar uchun quyidagi tengsizliklarning bajarilishi kelib chiqadi: | μ 0 | ≥ | μ 1 | ≥ | μ 2 | ≥ ⋯ . Endi ‖ R m ‖ ≠ 0 , m N ϵ ekanini isbotlaymiz. Teskarisidan faraz qilamiz, ya’ni ‖ R m ‖ = 0 bo‘lsin. Bu holda R m operatorning yadrosi quyidagicha ko‘rinishda bo‘ladi: Gm(x,t)=G (x,t)−∑n=0 m μnυn(x)υn(t). Bu tenglikning ikkala tomonini f ( t ) ϵ L 2 [ 0 , π ] funksiyaga ko‘paytirib, [0,π] oraliqda integrallasak quyidagi tenglik hosil bo‘ladi: R m f ( x ) = Rf ( x ) − ∑ n = 0m μ n υ n ( x ) ( f , ¿ υ n ) . ¿ Bu tenglikning ikkala tarafiga L operatorni ta’sir qildirib, L ( Rf ) = f , R = L − 1 va L υ n = 1 μ n υ n ekanligini e’tiborga olsak, 0 = f( x ) − ∑ n = 0m μ n L υ n ( x ) ( f , ¿ υ n ) , ¿ ya’ni f(x)=∑n=0 m μnLυn(x)(f,¿υn),¿ bo‘lishini topamiz. Bu esa f ( x ) ϵ L 2 [ 0 , π ] ixtiyoriy funksiya ekanligiga ziddir. Shunday qilib, R operatorning | μ 0 | ≥ | μ 1 | ≥ | μ 2 | ≥ ⋯ ≥ | μ m | ≥ … , cheksiz ko‘p xos qiymatlari va υ 0 ( x ) , υ 1 ( x ) , … , υ m ( x ) , … , cheksiz jo‘p xos funksiyalari mavjud ekan. Teorema isbotlandi. Yuqoridagi mulohazalardan (1.12.1) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining cheksiz ko‘p λ n = 1 μ n xos qiymatlari mavjud bo‘lib, ular uchun quyidagi tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi: |λ0|≤|λ1|≤|λ2|≤⋯≤|λm|≤… . 1.3.3-Teorema. Nol soni (1.3.1) chegaraviy masalaning xos qiymati bo‘lmasa, uning Grin funksiyasi uchun ushbu G (x,t)=∑n=0 ∞ υn(x)υn(t) λn ,(1.3 .13 ) tasvir o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda λ n orqali (1.3.1) masalaning xos qiymatlari va υn(x) orqali esa ularga mos ortonormallangan xos funksiyalari belgilangan. Isbot. Quyidagi H ( x , t ) = G ( x , t ) − ∑ n = 0∞ u n ( x ) u n ( t) λ n , ( 1.3 .14 ) yordamchi funksiyani kiritib olamiz. Bu yerdagi funksional qator Veyershtrass alomatiga ko‘ra tekis va absolyut yaqinlashadi, chunki ortonormallangan xos funksiyalar n ga bog‘liq bo‘lmagan o‘zgarmas son bilan chegaralangan va xos qiymatlar uchun quyidagi asimptotik formula o‘rinli: λ n = n 2 + c 0 + γ n , { γ n } ϵ l 2 . Bu qatorning har bir hadi uzluksiz funksiya bo‘lganligi uchun uning yig‘indisi ham uzluksiz funksiya bo‘ladi. Demak, H ( x , t ) funksiya uzluksiz ekan. H ( x , t ) simmetrik bo‘lishi Grin funksiyasining simmetrikliligidan kelib chiqadi. H ( x , t ) ≡ 0 ekanligini isbotlaymiz. Teskaridan faraz qilamiz, ya’ni yuqoridagi lemmaga asosan shunday ~λ son mavjudki u ( x ) = ~ λ ∫ 0π H ( x , t ) u ( t) dt , integral tenglama noldan farqli u ( x ) ≢ 0 yechimga ega bo‘ladi. (1.3.1) masalaning xos funksiyalari uchun ((1.3.7) integral tenglamaga ko‘ra) quyidagi tenglik bajariladi: ∫ 0π G ( x , t ) u n ( t) dt = u n ( x ) λ n , ( 1.3 .15 ) Bunga ko‘ra ∫0 π H (x,t)un(t)dt =∫0 π {G (x,t)−∑k=0 ∞ uk(x)uk(t) λk }un(t)dt =¿ ¿∫0 π G (x,t)un(t)dt −∑k=0 ∞ uk(x) λk ∫0 π uk(t)un(t)dt =¿ ¿1 λn un(x)− 1 λn un(x)=0,(1.3 .16 ) bo‘ladi. (1.3.16) dan foydalanib, u ( x ) funksiya u n ( x ) , n = 0,1,2 , … xos funksiyalarga ortogonal bo‘lishini ko‘rsatamiz. ∫0 π u(x)un(x)dx =∫0 π { ~λ∫0 π H (x,t)u(t)dt }un(x)dx =¿¿ ~ λ ∫ 0π { ∫ 0π H ( x , t ) u n ( x ) dx } u ( t) dt = 0. ( 1.3 .17 ) Demak, u ( x ) funksiya un(x),n=0,1,2 ,… funksiyalarga ortogonal ekan. Endi u ( x ) funksiyaning o‘zi ham (1.3.1) chegaraviy masalaning xos funksiyasi bo‘lishini ko‘rsatamiz. Buning uchun u ( x ) funksiya quyidagi integral tenglamani qanoatlantirishini ko‘rsatish yetarli: u(x)=~λ∫0 π G (x,t)u(t)dt . u(x)=~λ∫0 π H (x,t)u(t)dt =~λ∫0 π {G (x,t)−∑n=0 ∞ un(x)un(t) λn }u(t)dt =¿ ¿~λ∫0 π G (x,t)u(t)dt −~λ∑n=0 ∞ un(x) λn ∫0 π un(t)u(t)dt =~λ∫0 π G (x,t)u(t)dt . u ( x ) funksiya (1.3.1) chegaraviy masalaning xos funksiyasi bo‘lgani uchun, u un(x),n=0,1,2 ,… xos funksiyalardan biriga proporsional, ya’ni u ( x ) = C u n 0 ( x ) bo‘ladi. u ( x ) funksiya u n 0 ( x ) xos funksiyaga orthogonal bo‘lgani uchun ∫ 0π u ( x ) u n 0 ( x ) dx = 0 , C ∫ 0π u 02 ( x ) dx = 0 , C = 0 , u ( x ) ≡ 0 , bo‘ladi. Bu esa farazimizga zid. Demak, H ( x , t ) ≡ 0 ekan. Bundan G ( x , t ) = ∑ n = 0∞ u n ( x ) u n ( t) λ n , kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi. 1.3.1-Izoh. (1.3.13) funksional qator absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo‘lib, uning yig‘indisi [0,π]×[0,π] kvadratda uzluksiz funksiya bo‘lganligi uchun, quyidagi tenglik o‘rinli bo‘ladi: G (x,x)=∑n=0 ∞ un2(x) λn . Oxirgi tenglikning ikkala tarafini [0,π] oraliqda integrallab, quyidagi ifodaga ega bo‘lamiz: ∫0 π G (x,x)dx =∑n=0 ∞ 1 λn .(1.3 .17 ') Bu formulaga G ( x , t ) Grin yadrosining izi deyiladi. Misol. Ushbu Ly ≡− y''= λ, y ( 0) = 0 , y ( π ) = 0 , chegaravy masalaning Grin yadrosining izini hisoblang. Berilgan chegaraviy masalaning xos qiymatlari λn= n2,n=1,2,3,… va ortonormallangan xos funksiyalari un(x)=√ 2 πsin nx ekanligini topish mumkin. Berilgan chegaraviy masalaning Grin funksiyasi quyidagicha ko‘rinishda bo‘ladi: G ( x , t ) = 1 π { x ( π − t ) , ∧ x ≤ t t ( π − x ) , ∧ x ≥ t . Endi Grin funksiyasining izi uchun topilgan (1.3 .17 ') formulani tekshiramiz: ∑n=1 ∞ 1 λn =∑n=1 ∞ 1 n2=∫0 π G (x,x)dx = 1 π∫0 π x(π− x)dx = π2 6 . Shunday qilib ( 1.3 .17 ' ) formula quyidagi ko‘rinishni oladi: ∑ n = 1∞ 1 n 2 = π 2 6 . 1.3.4-Teorema. (Yoyilma haqida) Agar f ( x ) ϵ C 2[ 0 , π ] funksiya { f ( 0 ) cos α + f ' ( 0 ) sin α = 0 , f ( π ) cos β + f ' ( π ) sin β = 0 , ( 1.3 .18 ) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy funksiya bo‘lsa, u holda quyidagi f ( x ) = ∑ n = 0∞ a n u n ( x ) , ( 1.3 .19 ) tasvir o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda un(x) funksiyalar (1.3.1) chegaraviy masalaning ortonormallangan xos funksiyalari bo‘lib, a n koeffitsiyentlar ushbu an=∫0 π f(t)un(t)dt ,(1.3 .20 ) tenglik bilan aniqlanadi. (1.3.19) qator tekis va absolyut yaqinlashuvchi bo‘ladi. Isbot. Quyidagi belgilashni kiritib olamiz: − f ' ' ( x ) + q ( x ) f ( x ) = g ( x ) . ( 1.3 .21 ) Grin funksiyasining xossasiga ko‘ra (1.3.21)+(1.3.18) chegaraviy masalaning yechimi ushbu f ( x ) = ∫ 0π G ( x , t ) g ( t ) dt , ( 1.3 .22 ) tenglik bilan beriladi. Grin funksiyasi uchun teorema 1.3.3 da olingan yoyilmani (1.3.22) tenglikka qo‘yamiz: f(x)=∫0 π {∑n=0 ∞ un(x)un(t) λn }g(t)dt =∑n=0 ∞ { 1 λn∫0 π g(t)un(t)dt }un(x).(1.3 .23 ) a n = 1 λ n ∫ 0π g ( t) u n ( t) dt = 1 λ n ∫ 0π Lf ( t) u n ( t) dt = ¿ ¿1 λn∫0 π f(t)Lu n(t)dt =∫0 π f(t)un(t)dt .(1.3.19) qatorning tekis va absolyut yaqinlashishi uning (1.3.23) ko‘rinishda yozilishidan va xos qiymatlar asimptotikasidan kelib chiqadi . (1.3.20) tengliklar bilan aniqlangan a n , n = 0 , 1 , 2 , … sonlarga f ( x ) funksiyaning Furye koeffitsiyentlari deyiladi. 1.3.5-Teorema. (Parseval tengligi). Ixtiyoriy f ( x ) ∊ L 2 [ 0 , π ] funksiya uchun quyidagi tenglik o‘rinli bo‘ladi: ∫ 0π f 2 ( x ) dx = ∑ n = 0∞ a n2 . ( 1.3 .24 ) Bu yerda, an koeffitsiyentlar ushbu a n = ∫ 0π f ( t ) u n ( t) dt , ( 1.3 .25 ) tenglik bilan aniqlanib, u n ( x ) funksiyalar (1.3.1) chegaraviy masalaning ortonormallangan xos funksiyalaridir. Isbot. 1) f(x)∊C2[0,π] bo‘lsin va u (1.3.18) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin. U holda yoyilma haqidagi teoremaga ko‘ra f ( x ) = ∑ n = 0∞ a n u n ( x ) , bo‘ladi. Bu tenglikning ikkala tomonini ham f(x) funksiyaga ko‘paytirib, [0,π] oraliqda integrallasak, ∫0 π f2(x)dx =∑n=0 ∞ an∫0 π f(x)un(x)dx =∑n=0 ∞ an2, 2) f ( x ) ∊ L 2 [ 0 , π ] ixtiyoriy funksiya bo‘lsin, u holda quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi f n ( x ) funksiyalar mavjud: a¿fn(x)∊C2[0,π], b¿f(x) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, c¿limn→∞∫0 π (f(x)− fn(x))2dx =0. fn(x) funksiyalar uchun birinchi bandga binoan Parseval tengligi bajariladi: ∫ 0π f n2 ( x ) dx = ∑ k = 0∞ ( a k ( n)) 2 . ( 1.3 .25 ' ) Bu yerda a k ( n) = ∫ 0π f n ( x ) u k ( x ) dx . Xususan f n ( x ) − f m ( x ) funksiyalar uchun ham Parseval tengligi bajariladi, ya’ni ∫ 0π [ f n ( x ) − f m ( x )] 2 dx = ∑ k = 0∞ ( a k( n) − a k ( m)) 2 . ( 1.3 .26 ) Quyidagi belgilashni kiritib olamiz: a ( n) = ( a 0( n) , a 1 ( n) , … ) , n = 1 , 2 , … . f n ( x ) ketma-ketlikning L 2 [ 0 , π ] fazoda fundamental ekanligidan, (1.3.26) tenglikka asosan Demak, a ( n) vektorlar ketma-ketligi l 2 fazoda fundamental ekan. Bu yerda ushbu ‖∙‖ belgi l2 fazodagi normani bildiradi. l2 fazo to‘la bolgani uchun a ( n) ketma-ketlik biror a=(a0,a1,… )∊l2 vektorga yaqinlashadi. Normaning |‖x‖−‖y‖|≤‖x− y‖ xossasidan foydalanib, quyidagi baholashlarga ega bo‘lamiz: |√ ∫ 0π f n2 ( x ) dx − √ ∫ 0π f 2 ( x ) dx | ≤ √ ∫ 0π [ f n ( x ) − f ( x )] 2 dx , |√∑ k = 0∞ ( a k( n)) 2 − √ ∑ k = 0∞ a k2 | ≤ √ ∑ k = 0∞ [ a k( n) − a k ] 2 . Bu baholashlarga tayanib, f n ( x ) funksiyalar uchun yozilgan ( 1.3 .25 ' ) Parseval tengligida n→ ∞ da limitga o‘tsak, f ( x ) uchun (1.3.24) Parseval tengligi kelib chiqadi. ∎ 1.3.1-Natija. Agar f(x),g(x)∊L2[0,π] ixtiyoriy funksiyalar bo‘lsa, u holda f ( x ) + g ( x ) va f ( x ) − g ( x ) funksiyalar uchun Parseval tengligi mos ravishda quyidagi ko‘rinishlarda bo‘ladi: ∫ 0π [ f ( x ) + g ( x ) ] 2 dx = ∑ k = 0∞ [ a k + b k ] 2 , ∫0 π [f(x)− g(x)]2dx =∑k=0 ∞ [ak− bk]2, ko‘rinishda bo‘ladi. Bularni bir-biridan ayirib, 4 ga bo‘lsak, quyidagi tenglik kelib chiqadi: ∫ 0π f ( x ) g ( x ) dx = ∑ k = 0∞ a k b k . ( 1.3 .27 ) Bu tenglikka Parseval tengligining umumlashmasi deyiladi. Ushbu { − y ' ' + q ( x ) y = λy , y ( 0) = − sin α , y ' ( 0 ) = cos α , Koshi masalasining yechimini φ ( x , λ ) orqali belgilaylik. Quyidagi monoton o‘suvchi ρ(λ)= { 0,λ=0, − ∑λ≤λn<0 1 αn2,λ<0, ∑0≤λn<λ 1 αn2,λ>0, funksiyaga (1.3.1) chegaraviy masalaning spektral funksiyasi deyiladi. Bu yerda α n2 = ∫ 0π φ 2( x , λ n ) dx . (1.3.24) Parseval tengligini spektral funksiya va Stiltes integrali yordamida quyidagicha yozish mumkin: ∫0 π f2(x)dx = ∫−∞ ∞ F2(λ)dρ(λ). Bu yerda F(λ)=∫0 π f(t)φ(t,λ)dt . Parseval tengligining umumlashmasi esa, spektral funksiya yordamida quyidagi tarzda yoziladi: ∫ 0π f ( x ) g ( x ) dx = ∫ − ∞∞ F ( λ ) G ( λ ) dρ ( λ ) , bu yerda G (λ)=∫0 π g(t)φ(t,λ)dt . 1.3.6-Teorema. (Rezolventa uchun yoyilma formulasi). (1.3.1) chegaraviy masalaning ortonormallangan xos funksiyalari un(x),n=0,1,2,… bo‘lib, ushbu an=∫0 π f(t)un(t)dt ,n=0,1,2,… , sonlar f(x) funksiyaning Furye koeffitsiyentlari bo‘lsin. Agar ?????? son (1.3.1) chegaraviy masalaning xos qiymati bo‘lmasa, u holda { − y ' ' + q ( x ) y = λy + f ( x ) , y ( 0 ) cos α + y ' ( 0 ) sin α = 0 , y ( π ) cos β + y ' ( π ) sin β = 0 , ( 1.3 .28 ) chegaraviy masalaning yechimi uchun ushbu y( x , λ ) = ∑ n = 0∞ a n λ n − λ u n ( x ) , ( 1.3 .29 ) tasvir o‘rinli bo‘ladi. Isbot. λ son xos qiymat bo‘lmagani uchun (1.3.28) chegaraviy masalaning yechimi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: y ( x , λ ) = ∫ 0π G ( x , t , λ ) f ( t) dt . ( 1.3 .30 ) (1.3.28) chegaraviy masala yechimining yoyilmasi y ( x , λ ) = ∑ n = 0∞ b n u n ( x ) , ( 1.3 .31 ) ko‘rinishda bo‘lsin. U holda bn=∫0 π y(x,λ)un(x)dx = 1 λn∫0 π y(x,λ)Lu n(x)dx = 1 λn∫0 π Ly (x,λ)un(x)dx =¿ ¿ 1 λ n ∫ 0π [ − y ' ' ( x , λ ) + q ( x ) y ( x , λ )] u n ( x ) dx = ¿ ¿1 λn∫0 π [λy (x,λ)+f(x)]un(x)dx = λ λn bn+ 1 λn an, bo‘ladi. Bundan quyidagi kelib chiqadi: λ n b n = λb n + a n , b n = a n λ n − λ . Bu ifodani (1.3.31) tenglikka qo‘yib, (1.3.29) tasvirni hosil qilamiz. ∎ 1.3.2-Natija. (1.3.29) yoyilmaga an koeffitsiyentning (1.3.25) formuladagi ifosdasini qo‘ysak, quyidagi tenglik kelib chiqadi: y(x,λ)=∑n=0 ∞ 1 λn− λ{∫0 π f(t)un(t)dt }un(x)=¿ ¿∫0 π {∑n=0 ∞ un(x)un(t) λn− λ }f(t)dt .(1.3 .32 ) Bu tenglikni y( x , λ ) = ∫ 0π G ( x , t , λ ) f ( t) dt formula bilan tenglashtirib, f(t) funksiyaning ixtiyoriy ekanligini inobatga olsak, quyidagi yoyilma hosil bo‘ladi: G ( x , t , λ ) = ∑ n = 0∞ u n ( x ) u n ( t) λ n − λ . ( 1.3 .33 ) 1.3.2-Izoh. Teorema 1.3.3 dagi (1.3.13) yoyilma, (1.3.33) yoyilmaning xususiy holidir. Shunday bo‘lsa ham, (1.3.33) yoyilmani (1.3.13) formuladan keltirib chiqarish mumkin. (1.3.33) yoyilmada t = x deb, hosil bo‘lgan tenglikni [0,π] oraliqda integrallasak va xos funksiyalarnig normallanganligini etiborga olsak, Grin yadrosining izi uchun quyidagi tenglik kelib chiqadi: ∫0 π G (x,x,z)dx =∑n=0 ∞ 1 λn− z.(1.3 .34 ) Quyidagi funksiyani kiritib olamiz: N (λ)= ∑λn≤λ 1. N ( λ ) ning qiymati λ sondan oshmaydigan xos qiymatlar sonini bildiradi. Bu funksiya yordamida (1.3.34) tenglikni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin: ∫ 0π G ( x , x , z ) dx = ∫ − ∞∞ dN ( λ ) λ − z . Bu formulaga Karleman formulasi deyiladi. 1.3.3-Izoh. (1.3.33) formulaga Parseval tengligini qo‘llasak ∫ 0π | G ( x , t , λ )| 2 dt = ∑ n = 0∞ u n2 ( x ) ( λ n − λ ) 2 , tenglik kelib chiqadi. Bu tenglikning ikkala tarafini [0,π] oraliqda integrallasak, quyidagi tenglikka kwlamiz: ∫ 0π ∫ 0π | G ( x , t , λ )| 2 dtdx = ∑ n = 0∞ 1 ( λ n − λ ) 2 . ( 1.3 .35 ) Demak bundan ko‘rinadiki, Shturm-Liuvill differesial operatoriga teskari bo‘lgan integral operatorning yadrosi Gilbert-Shmidt shartini qanoatlantirar ekan. Misol. Ushbu Ly ≡− y''= λ, y ( 0) = 0 , y ( π ) = 0 , chegaravy masalaning Grin funksiyasi uchun (1.3.35) tenglikning bajarilishini tekshiring. Berilgan Dirixle chegaraviy masalaning barcha xos qiymatlari λn= n2,n=1,2,3,… , bo‘lib, λ=0 nuqta xos qiymat bo‘lmaydi. Shuning uchun λ=0 bo‘lganda (1.3.35) tenglik quyidagi ko‘rinishni oladi: ∫ 0π ∫ 0π | G ( x , t )| 2 dxdt = ∑ n = 1∞ 1 λ n2 , ( 1.3 .36 ) Bu yerda G (x,t)= 1 π{ x(π− t),∧ x≤t t(π− x),∧ x≥t. Endi (1.3.36) tenglikni tekshiramiz: ∑n=1 ∞ 1 λn2=∑n=1 ∞ 1 n4=∫0 π ∫0 π |G (x,t)|2dxdt =∫0 π [∫0 x |G (x,t)|2dt +¿ + ∫ xπ | G ( x , t )| 2 dt ] dx = 1 π 2 ∫ 0π [ ∫ 0x t 2 ( π − x ) 2 dt + ∫ xπ x 2 ( π − t ) 2 dt ] dx = π 4 90 Demak, (1.3.36) tenglik quyidagi ko‘rinishga keladi:∑n=1 ∞ 1 n4= π4 90 . 1.3.4-Izoh. { − y ' ' + q ( x ) y = λy , y ' ( 0 ) − hy ( 0) = 0 , y ' ( π ) + Hy ( π ) = 0 , ( 1.3 .37 ) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasini qaraylik. Bu yerda q ( x ) ∊ C [ 0 , π ] haqiqiy uzluksiz funksiya bo‘lib, ∫0 π q(x)dx = 0, shartni qanoatlantirsin. Bu yerda h va H chekli haqiqiy sonlar. (1.3.37) chegaraviy masalaning Grin funksiyasini G ( x , t , λ ) va xos qiymatlarini {λn}n=0 ∞ orqali belgilaylik. (1.3.37) chegaraviy masalada q ( x ) ≡ 0 bo‘lsa, u holda { − y ' ' = λy , y ' ( 0 ) − hy ( 0 ) = 0 , y ' ( π ) + Hy ( π ) = 0 , ( 1.3 .38 ) chegaraviy masalaning Grin funksiyasini G0(x,t,λ) va xos qiymatlari ketma- ketligini {λn0}n=0 ∞ orqali belgilasak, quyidagi lemma o‘rinli bo‘ladi. 1.3.2-Lemma (Gelfand-Levitan). Quyidagi tengliklar o‘rinli bo‘ladi: ∑n=0 ∞ (λn− λn0)=¿limλ→+∞λ2 [∑n=0 ∞ ( 1 λ+λn0− 1 λ+λn)],(1.3 .39 )¿ ∑ n = 0∞ ( λ n − λ n0 ) = ¿ lim λ → + ∞ λ 2 [ ∫ 0π G 0 ( x , x , λ ) dx − ∫ 0π G ( x , x , λ ) dx ] . ( 1.3 .40 ) ¿ Isbot. (1.3.39) tenglikning bajarilishi o‘z-o‘zidan ravshan. Endi (1.3.34) formulani (1.3.37) va (1.3.38) chegaraviy masalalar Grin funksiyalarining izlari uchun yozib olamiz: ∫ 0π G( x , x , λ ) dx = ∑ n = 0∞ 1 λ n − λ , ( 1.3 .41 ) ∫0 π G0(x,x,λ)dx =∑n=0 ∞ 1 λn0− λ.(1.3 .42 ) Quyidagi limitni hisoblaymiz: lim λ → + ∞ λ 2 [ ∫ 0π G 0 ( x , x , λ ) dx − ∫ 0π G ( x , x , λ ) dx ] = ¿ ¿ lim λ → + ∞ λ 2 [ ∑ n = 0∞ 1 λ n0 − λ − ∑ n = 0∞ 1 λ n − λ ] = ∑ n = 0∞ [ lim λ → + ∞ λ 2 ( 1 λ n0 − λ − 1 λ n − λ )] = ¿ ¿∑n=0 ∞ [ limλ→+∞λn− λn0 ( λn0 λ−1)( λn λ−1)] =∑n=0 ∞ (λn− λn0).∎ II bob. Yarim o‘qda berilgan Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi. 2.1- §. Parseval tengligi. Ushbu − y''+q(x)y= λy ,0≤x≤∞ ,(2.1 .1) y ( 0) cos α + y ' ( 0) sin α = 0 ( 2.1 .2 ) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasini ko‘rib chiqamiz. Bunda q ( x ) ∈ C ¿ funksiya haqiqiy bo‘lib, α berilgan haqiqiy son va λ kompleks parametr. φ(x,λ) orqali (2.1.1) tenglamaning y(0)=sin αy'(0)=− cos α,(2.1 .3) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini belgilaymiz. f(x)∈L2(0,∞) ixtiyoriy haqiqiy funksiya va b - ixtiyoriy musbat son bo‘lsin. Quyidagi regulyar chegaraviy masalaning − y''+q(x)y= λy ,(0≤x≤b),(2.1 .4) y ( 0) cos α + y ' ( 0) sin α = 0 ( 2.1 .5 ) y ( b) cos β + y ' ( b) sin β = 0 , ( 2.1 .6 ) xos qiymatlari va xos funksiyalarini mos ravishda λn,b va φ n , b ( x ) = φ ( x , λ n , b ) , n = 0,1,2 , … orqali belgilaymiz. Normallovchi o‘zgarmaslar ketma – ketligi quyidagi α n , b2 = ∫ 0b φ n , b2 ( x ) dx , n = 0,1,2 , … , ( 2.1 .7 ) tengliklardan topiladi. Chekli oraliqdagi (2.1 .4)−(2.1 .6) chegaraviy masala uchun Parseval tengligi ∫0 b f2(x)dx =∑n=0 ∞ 1 αn,b2 {∫0 b f(x)φn,b(x)dx } 2 ,(2.1 .8) ko ‘ rinishda bo ‘ ladi . Yuqoridagi yig ‘ indini Stiltes integrali orqali ifodalash uchun quyidagi funksiyani kiritamiz : ρb(λ)= { − ∑λ<λn,b≤0 1 αn,b2 ,λ≤0 ∑0<λn,b≤λ 1 αn,b2 ,λ>0 (2.1 .9) Stiltes integralining ta’rifiga ko‘ra, (2.1.8) tenglik quyidagi ko‘rinishga keladi: ∫0 b f2(x)dx = F2(λ)dρb(λ),(2.1 .10 )bu yerda F(λ)=∫0 b f(x)φ(x,λ)dx ,(2.1 .11 ) belgilash kiritilgan. (2.1.10) tenglikda cheksizlikka intiluvchi bk ketma-ketlik bo‘yicha limitga o‘tish mumkinligini ko‘rsatamiz. Buning uchun avval quyda bir nechta lemmalarni isbotini keltiramiz. 2.1.1-Lemma. P= {(x,λ)|0≤x≤a,− N ≤λ≤N } bo‘lsin. U holda ∀ ε>0 , ∃h= hN(ε) 0≤x≤h,|λ|≤N shartlarni qanoatlantiruvchi barcha (x,λ) nuqtalar uchun | φ ( x , λ ) − sin α | < ε , | φ ' ( x , λ ) + cos α | < ε , ( 2.1 .12 ) tengsizliklar bajariladi. Isbot. φ ( x , λ ) va φ ' ( x , λ ) funksiyalar P to‘g‘ri to‘rtburchakda tekis uzluksiz, ya’ni ∀ ε>0 son uchun, shunday h= hN(ε) son topiladiki, barcha ( x , λ ) ,(~ x , ~ λ) ∈ P , | x − ~ x| ≤ h , | λ − ~ λ| ≤ h nuqtalar uchun |φ(x,λ)− φ(~x,~λ)|<ε,|φ'(x,λ)+φ'(~x,~λ)|<ε tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu tengsizliklarda x = ~ x , λ = ~ λ deb boshlang‘ich shartlarni inobatga olsak lemma isbotlanadi. 2.1.1-Natija. Agar sin α ≠ 0 bo‘lsa , u holda shunday h = h N > 0 son topiladiki, bunda quyidagi tengsizlik bajariladi: ( 1 h ∫ 0h φ ( x , λ ) dx ) 2 > 1 4 sin 2 α . ( 2.1 .13 ) Haqiqatan ham, sin α>0 bo‘lgan holda lemma 2.1.1 da ε = 1 2 sin α deylik. U holda − ε < φ ( x , λ ) − sin α < ε , −1 2 sin α<φ(x,λ)−sin α<1 2sin α, φ ( x , λ ) > 1 2 sin α , 1 h∫0 h φ(x,λ)dx >1 2sin α>0, munosabatlarning o‘rinli ekanligidan (2.1.13) tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. 2.1.2-Natija. Agar sin α= 0 bo‘lsa, u holda shunday h= hN>0 mavjud bo‘lib, ( 1 h 2 ∫ 0h φ ( x , λ ) dx ) 2 > 1 16 , ( 2.1 .14 ) tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Haqiqatan ham, lemma 2.1.1 da ε = 1 2 deb olsak, u holda − 1 2 < φ ' ( x , λ ) + 1 < 1 2 , − φ ' ( x , λ ) > 1 2 , φ ' ( x , λ )( x − h ) > 1 2 ( h − x ) , ∫0 h φ'(x,λ)(x− h)dx >1 2∫0 h (h− x)dx , ∫0 h (x−h)dφ(x,λ)>1 2(hx − x2 2)|0 h , (x− h)φ(x,λ)|0 h−∫0 h φ(x,λ)dx >1 4h2, −1 h2∫0 h φ(x,λ)dx >1 4, munosabatlarning bajarilishidan (2.1.14) tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. 2.1.2-Lemma. Ixtiyoriy musbat N soni uchun b ga bog‘liq bo‘lmagan A= A(N )>0 soni topilib, ¿ − N ¿ N { ρ b ( λ)} = ¿ ∑ − N < λ n , b ≤ N 1 α n , b2 = ¿ ρ b ( N ) − ρ b ( − N ) < A , ¿ ¿ tengsizlik bajariladi, ya’ni ρ b ( λ ) funksiyalarning o‘zgarishi b ga nisbatan tekis chegaralangan bo‘ladi. Isbot. Ikkita holni qarab chiqamiz: sin α≠0 bo‘lganda (2.1.10) Parseval tengligini quyidagi funksiyaga qo‘llaymiz, f ( x ) = f ( x ) = { 1 h , ∧ 0 ≤ x ≤ h , 0 , ∧ x > h , bu yerda h soni natija 2.1.1 dan olingan: ∫0 h f2(x)dx = ¿∫0 h 1 h2dx = 1 h=∫−∞ ∞ { 1 h∫0 h φ(x,λ)dx } 2 dρb(λ)≥¿ ∫ − NN { 1 h ∫ 0h φ ( x , λ ) dx } 2 d ρ b ( λ) ≥ 1 4sin 2α∫−N N dρb(λ)= 1 4sin 2α[ρb(N )− ρb(− N )], ya’ni quyidagi ρ b ( N ) − ρ b ( − N ) ≤ 4 h sin 2 α , baholash o‘rinli. sin α = 0 bo‘lganda (2.1.10) Parseval tengligini quyidagi funksiyaga qo‘llaymiz, f( x ) = f ( x ) = { 1 h 2 , ∧ 0 ≤ x ≤ h , 0 , ∧ x > h , bu yerda h soni natija 2.1.2 dan olingan: ∫ 0h f 2 ( x ) dx = ¿ ∫ 0h 1 h 4 dx = 1 h 3 = ∫ − ∞∞ { 1 h 2 ∫ 0h φ ( x , λ ) dx } 2 d ρ b ( λ ) ≥ ¿ ∫−N N { 1 h2∫0 h φ(x,λ)dx } 2 dρb(λ)≥ 1 16 ∫ − NN d ρ b ( λ ) = 1 16 [ ρ b ( N ) − ρ b ( − N )] , ya’ni quyidagi ρ b ( N ) − ρ b ( − N ) ≤ 16 h 3 , baholash o‘rinli. 2.1.3-Natija. {ρb(λ)} funksiyalar to‘plami [–N ,N ] kesmada b ga nisbatan tekis chegaralangan to‘plam. Haqiqatan ham, ρ b ( λ) − ρ b ( − λ ) ≤ A ( N ) , λ ∈ [ 0 , N ] , bo‘lganligidan 0 ≤ ρ b ( λ ) ≤ A ( N ) + ρ b ( − λ ) ≤ A ( N ) , tenglik o‘rinli bo‘ladi. λ∈[− N ,0] bo‘lsa –ρ(λ)≤ ρ(− λ)− ρ(λ)≤A(N ) bo‘lgani uchun − A ( N ) ≤ ρ ( λ ) ≤ 0 bo‘ladi. 2.1.1-Teorema. (Xellining birinchi teoremasi.) Chegaralangan kesmada aniqlangan tekis chegaralangan funksiyalar sinfining variatsiyalari ham tekis chegaralangan bo‘lsa, bu sinfdan yaqinlashuvchi funksiyalar ketma-ketligini tanlash mumkin. Natija 2.1.4. Lemma 1.2 va uning natijasiga ko‘ra ρ( λ ) , λ ∈ [ − N , N ] funksiyalar sinfidan ρ b k ( λ ) → ρ ( λ ) yaqinlashuvchi ketma-ketlik tanlash mumkin. 2.1.2-Teorema. (Xellining birinchi teoremasi.) Chegaralangan kesmada aniqlangan yaqinlashuvchi funksiyalar ketma-ketligining variatsiyalari ham tekis chegaralangan bo‘lsa, u holda limitik funksiyaning variatsiyasi chegaralangan bo‘ladi va har qanday F ( λ ) uzluksiz funksiya uchun limk→∞∫−N N F(λ)dρbk(λ)= ∫−N N F(λ)dρ (λ), tenglik o‘rinli bo‘ladi. 2.1.3-Lemma. Quyidagi fn(x)∈C2[0,∞),fn(x)≡0,x>n,(n<b), f n ( 0) cos α + f n ' ( 0 ) sin α = 0 , shartlarni qanoatlantiruvchi har qanday fn(x) funksiya uchun |∫0 n fn2(x)dx − ∫−N N Fn2(λ)dρb(λ)|≤ 1 N2∫0 n [fn''(x)− q(x)fn(x)] 2dx ,(2.1 .15 ) tengsizlik bajariladi. Isbot. (2.1.10) Parseval tengligiga binoan ∫0 n fn2(x)dx = ∫−∞ ∞ Fn2(λ)dρb(λ),(2.1 .16 ) bu yerda Fn(λ)=∫0 n fn(x)φ(x,λ)dx . Bo‘laklab integrallash natijasida Fn(λ)= −1 λ ∫0 n fn(x)[φ''(x,λ)−q(x)φ(x,λ)]dx =¿ −1 λ ∫0 n φ(x,λ)[fn''(x)− q(x)fn(x)]dx ,(2.1 .17 )tenglik hosil bo‘ladi. (2.1.16) va (2.1.17) tengliklarga ko‘ra |∫0 n fn2(x)dx − ∫−N N Fn2(λ)dρb(λ)|=|∫ |λ|>N ❑ Fn2(λ)dρb(λ)|=¿ ¿|∫|λ|>N ❑ 1 λ2{∫0 b φ(x,λ)[fn''(x)−q(x)fn(x)]dx } 2 dρb(λ)|≤ ≤ 1 N 2∫ |λ|>N ❑ {∫0 b φ(x,λ)[fn''(x)−q(x)fn(x)]dx } 2 dρb(λ)≤ ≤ 1 N 2 ∫ − ∞∞ { ∫ 0b φ ( x , λ )[ f n' ' ( x ) − q ( x ) f n ( x )] dx } 2 d ρ b ( λ ) = ¿ ¿ 1 N2∫0 n [fn''(x)− q(x)fn(x)] 2dx .∎ Xellining ikkinchi teoremasiga ko‘ra, (2.1.15) tengsizlikda b k → ∞ ketma- ketlik bo‘yicha limitga o‘tish mumkin: | ∫ 0n f n2 ( x ) dx − ∫ − NN F n2 ( λ ) d ρ b ( λ )| ≤ 1 N 2 ∫ 0n [ f n' ' ( x ) − q ( x ) f n ( x )] 2 dx . ( 2.1 .18 ) (2.1.18) tengsizlikda N → ∞ limitga o‘tsak , ∫0 n fn2(x)dx = ∫−∞ ∞ Fn2(λ)dρ(λ),(2.1 .19 ) tenglik kelib chiqadi. (2.1.19) tenglik ixtiyoriy f(x)∈L2(0,∞) funksiya uchun o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. Funksiyalar nazariyasi kursidan ma’lumki, ixtiyoriy f(x)∈L2(0,∞) funksiya uchun quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi f n ( x ) ∈ C 2 ¿ ketma-ketlik topiladi: 1 ¿ f n( x ) ≡ 0 , x > 0 , 2¿fn(0)cos α+ fn'(0)sin α=0, 3¿limn→∞∫0 ∞ [fn(x)− f(x)]2dx = 0. Ushbu fn(x)− fm(x) funksiyalar uchun (2.1.19) tenglikni yozamiz: ∫−∞ ∞ [Fn(λ)− Fm(λ)]2dρ(λ)=∫0 ∞ [fn(x)− fm(x)]2dx .(2.1 .20 ) (2.1 .20 ) tenglikdan limn→∞ m→∞ ∫−∞ ∞ [Fn(x)− Fm(x)]2dρ(λ)=0(2.1 .21 ) kelib chiqadi, ya’ni Fn(λ) ketma-ketlik Lρ(λ) 2 (− ∞ ,∞) fazoda fundamental ekan. Ushbu fazo to‘la bo‘lganligi uchun Fn(λ) ketma-ketlikning F ( λ ) limiti mavjud bo‘ladi. Quyidagi |√∫0 ∞ fn2(x)dx −√∫0 ∞ f2(x)dx |≤√∫0 ∞ [fn(x)− f(x)]2dx , |√ ∫ − ∞∞ F n2 ( λ ) d ρ ( λ ) − √ ∫ − ∞∞ F 2 ( λ ) d ρ ( λ)| ≤ √ ∫ − ∞∞ [ F n ( λ ) − F ( λ)] 2 d ρ ( λ ) , tengsizliklarni ishlatib, (2.1.19) tenglikda n→ ∞ da limitga o‘tsak, ∫ 0∞ f 2 ( x ) dx = ∫ − ∞∞ F 2 ( λ ) d ρ ( λ ) , ( 2.1 .22 ) tenglik kelib chiqadi. ρb(λ) funksiyalar monoton o‘suvchi bo‘lganligidan, ρ ( λ ) funksiyaning monoton o‘suvchi ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib biz quyidagi teoremani isbot qildik. 2.1.3 - Teorema (Veyl). (2.1.1)+(2.1.2) chegaraviy masala uchun butun o‘qda aniqlangan, monoton o‘suvchi, chapdan uzliksiz, ρ( − 0 ) = 0 shart bilan normallangan shunday ρ ( λ ) funksiya mavjudki, L 2 ( 0 , ∞ ) fazodan olingan ixtiyoriy f(x) funksiya ucun ∫0 ∞ f2(x)dx = ∫−∞ ∞ F2(λ)dρ(λ), tenglik bajariladi. Bu yerda F ( λ ) funksiya F n ( λ) = ∫ 0 n f n ( x ) φ ( x , λ ) dx , ketma-ketlikning Lρ(λ) 2 (− ∞ ,∞) fazodagi limitini bildiradi. (2.1.22) tenglikka yarim o‘qda berilgan Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi uchun Parseval tengligi deyiladi, ρ ( λ ) funksiyaga esa (2.1.1)+(2.1.2) chegaraviy masalaning spektral funksiyasi deyiladi, F ( λ ) funksiyaga esa f(x) funksiyaning φ(x,λ) funksiyalar bo‘yicha Fur’e almashtirishi deyiladi va quyidagicha belgilanadi: F(λ)= limn→∞∫0 n f(x)φ(x,λ)dx . Parseval tengligini isbotlashning bunday usuliga B.M.Levitan usuli deyiladi. 2.1.1-Ta’rif. ρ ( λ ) spektral funksiya biror λ0 nuqtaning kichik atrofida o‘zgarmas bo‘lsa, λ0 regulyar nuqta deyiladi, regulyar bo‘lmagan nuqtalar to‘plamiga esa spektr deyiladi va E harfi bilan belgilanadi. Spektral funksiyaning uzilish nuqtalariga chegaraviy masalaning xos qiymatlari deyiladi. Spektrning ajralgan nuqtalari to‘plamiga spektrning diskret qismi deyiladi. Qolgan nuqtalar to‘plamiga uzluksiz spektr deyiladi. Ravshanki, Shturm-Liuvill regulyar masalasining spektri xos qiymatlardan iborat. Biz qarayorgan yarim o‘qda berilgan Shturm-Liuvill chegaraviy masalasida esa xos qiymatlar spektrning biror qismi bo‘ladi. Hattoki xos qiymatlar mavjud bo‘lmasligi ham mumkin. Izoh. Umuman olganda spektral funksiya yagona emas. (2.1.1)+(2.1.2) chegaraviy masalaning spektral funksiyasini topish masalasiga to‘g‘ri masala deyiladi. Misol . Ushbu { − y''= λy ,0≤x<∞ , y(0)=0 chegaraviy masalaning spektral funksiyasini topamiz. Dastlab, { − y''= λy ,0≤x≤b, y(0)=0, y(b)=0, regulyar chegaraviy masalaning xos qiymatlari va ortonormallangan xos funksiyalarini topamiz. Ma’lumki berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimining ko‘rinishi quiydagicha bo‘ladi: y ( x ) = c 1 cos √ λ x + c 2 sin √ λ x √ λ . Ushbu φ ( 0 , λ ) = 1 , φ ' ( 0 , λ ) = 0 boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechim ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi: φ(x,λ)= sin √λx √λ . Bu yechim y(0)= 0 boshlang‘ich shartni qanoatlantiradi. y(b)=0 shartdan quyidagi xarakteristik tenglama kelib chiqadi va bu xarakteristik tenglamadan berilgan differensial tenglamaning xos qiymatlarini topamiz: sin √λb √λ =0,λ≠0 sin √ λ b = 0 , λn=( πn b ) 2 ,n=1,2,3,… . Endi normallovchi o‘zgarmaslarni topamiz: αn2=∫0 b φ2(x,λn)dx = 1 λn∫0 b sin 2πn b xdx = 1 λn∫0 b ( 1 2− 1 2cos 2πn b x)dx =¿ ¿ 1 λ n ( 1 2 x − 1 2 ∙ b 2 πn sin 2 πn b x )| 0b = 1 λ n ∙ b 2 = b 2 ∙ b 2 ( πn ) 2 , n = 1 , 2 , 3 , … . Demak, ortonormallangan xos funksiyalar quyidagicha bo‘ladi: u n ( x ) = 1 α n φ ( x , λ n ) = √ 2 b √ λ n ∙ sin √ λ n x √ λ n = √ 2 b sin √ λ n x , n = 1 , 2 , 3 , … . Agar sn,b=√λn belgilash kiritsak, u holda s n + 1 , b − s n , b = π b bo‘ladi. f ( x ) ∊ L 2 ( 0 , ∞ ) ixtiyoriy funksiya bo‘lsin. U holda Parseval tengligiga ko‘ra quyidagicha yozamiz: ∫0 b f2(xdx )= ∑n=−∞ ∞ sn,b2 b Fb2(sn,b2 )= 1 π ∑ −∞≤sn,b≤∞ sn,b2 Fb2(sn,b2 )△sn,b. Bu tenglikdan b→ ∞ limitga o‘tsak, quyidagi tenglik kelib chiqadi: ∫ 0∞ f 2 ( xdx ) = 1 π ∫ − ∞∞ s 2 F 2 ( s) ds = 2 π ∫ 0∞ s 2 F 2 ( s) ds = ¿ ¿ 2 3π∫0 ∞ F2(s2)d(s3)= 2 3π∫0 ∞ F2(λ)d√λ3. Demak, berilgan chegaraviy masalaning spektral funksiyasi ρ ( λ ) = { 2 3 π √ λ 3 , λ > 0 , 0 , λ ≤ 0 , bo‘lib, spektri E= ¿ to‘plamdan iborat bo‘ladi. λ∊E=¿ bo‘lganda berilgan tenglamaning kamida bitta noldan farqli, chegaralangan yechimi mavjud bo‘lib, bu yechim L 2 ( 0 , ∞ ) fazoga qarashli emas, ya’ni bu holda spektr uzluksiz, xos qiymat yo‘q. 2.2- § . Yoyilma haqidagi teorema Ushbu paragafda avvalo Parsevalning umumlashgan tengligi deb ataluvchi ayniyatni ko‘rib chiqamiz, so‘ngra bu tenglikdan foydalanib, yoyilma haqidagi teoremani isbotlaymiz. Kvadrati bilan jamlanuvchi f ( x ) , g ( x ) ∈ L 2 ( 0 , ∞ ) haqiqiy funksiyalar berilgan bo‘lib, F ( λ ) = ∫ 0n f ( x ) φ ( x , λ ) dx , G ( λ) = ∫ 0 n g ( x ) φ ( x , λ ) dx , bo‘lsin. U holda f ( x ) + g ( x ) va f ( x ) − g ( x ) funksiyalarning φ(x,λ) funksiya bo‘yicha Fur’e almashtirishlari mos ravishda F(λ)+G (λ) va F ( λ ) − G ( λ ) bo‘ladi. Parseval tengligiga ko‘ra ∫ 0∞ [ f ( x ) + g ( x )] 2 dx = ∫ − ∞∞ [ F ( λ) + G ( λ )] 2 d ρ ( λ ) , ∫0 ∞ [f(x)− g(x)]2dx =∫−∞ ∞ [F(λ)−G (λ)]2dρ(λ), tengliklar kelib chiqadi. Bu tengliklarning birinchisidan ikkinchisini ayirsak, ∫ 0∞ f ( x ) g ( x ) dx = ¿ ∫ − ∞∞ F ( λ ) G ( λ ) d ρ ( λ ) , ( 2.2 .1 ) ¿ ayniyat hosil bo‘ladi. (2.1) ayniyatga umumlashgan Parseval tengligi deyiladi. (2.1) ayniyat f ( x ) ≡ g ( x ) bo‘lgan holda oddiy Parseval tengligiga keladi. 2.2.1-Teorema. ( Yoyilma haqida ). Agar f ( x ) ∈ L 2 ( 0 , ∞ ) funksiya uzluksiz bo‘lib, ∫−∞ ∞ F(λ)φ(x,λ)dρ(λ),(2.2 .2)integral absolyut va har bir chekli oraliqda tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda f ( x ) funksiya uchun f(x)= ∫−∞ ∞ F(λ)φ(x,λ)dρ(λ),(2.2 .3) tasvir o‘rinli bo‘ladi. Isbot. (2.2.1) tenglikdagi g(x) funksiya [0,∞¿ da uzluksiz bo‘lib, [0,n] kesmadan tashqarida aynan nolga teng bo‘lsin. U holda ∫ 0∞ f ( x ) g ( x ) dx = ¿ ∫ − ∞∞ F ( λ ){ ∫ 0n g ( x ) φ ( x , λ ) dx } d ρ ( λ) , ( 2.2 .4 ) ¿ tenglikdagi integral absolyut yaqinlashuvchi bo‘lgani uchun integrallash tartibini almashtirish mumkin: ∫0 ∞ f(x)g(x)dx =∫0 n {∫−∞ ∞ F(λ)φ(x,λ)dρ(λ)}g(x)dx , ∫ 0n { f ( x ) − ∫ − ∞∞ F ( λ ) φ ( x , λ ) d ρ ( λ)} g ( x ) dx = 0. ( 2.2 .5 ) (2.2.2) integral tekis yaqinlashuvchi bo‘ganligi uchun u x ga nisbatan uzluksiz bo‘ladi. (2.2.5) tenglikda qavs ichidagi ifoda uzluksiz bo‘lganligi va g ( x ) funksiya ixtiyoriy ekanligidan f ( x ) − ∫ − ∞∞ F ( λ ) φ ( x , λ ) d ρ ( λ) = 0 , tenglik kelib chiqadi , ya’ni (2.2.3) tasvir o‘rinli bo‘ladi . Misol. Ushbu { − y ' ' = λy , 0 ≤ x < ∞ , y ( 0) = 0 chegaraviy masala uchun yoyilma teoremasini yozamiz. Bu masala uchun oldingi bandda φ( x , λ ) = sin √ λ x √ λ , ρ ( λ ) = { 2 3 π √ λ 3 , λ > 0 , 0 , λ ≤ 0 , bo‘lishini ko‘rsatgan edik. f ( x ) ∊ L 2 ( 0 , ∞ ) ixtiyoriy uzluksiz finit funksiya bo‘lsin. U holda F(λ)=∫0 ∞ f(x)sin √λx √λ dx bo‘lib, f(x)=∫0 ∞ F(λ)sin √λx √λ d( 2 3π√λ3 ) bo‘ladi. Oxirgi tenglikni quyidagi ko‘rinishda yozib olish mumkin: f(x)= 2 3π∫0 ∞ {∫0 ∞ f(t)sin pt p dt } sin px p dp . Oxirgi tenglikdan f(x)=√ 2 3π∫0 ∞ H (p)sin px p dp . kelib chiqadi. Bu yerda H (p)=√ 2 3π∫0 ∞ f(t)sin pt p dt , Furyening sinus almashririshidir. 2.3-§. Veyl doirasi va nuqtasi Quyidagi Ly ≡ − y ' ' + q( x ) y = λy , 0 ≤ x ≤ ∞ , ( 2.3 .1 ) y ( 0) cos α + y ' ( 0) sin α = 0 , ( 2.3 .2 ) chegaraviy masala yordamida hosil bo‘lgan L operatorni ko‘rib chiqamiz. Bu yerda q ( x ) ∈ C ¿ haqiqiy uzluksiz funksiya. Bu paragrafda (2.3.1) tenglamaning L 2 ( 0 , ∞ ) fazoga tegishli yechimlarini o‘rganamiz. 1) Agar F ( x ) va G ( x ) funksiyalar (3.1) tenglamaning λ= λ1 va λ= λ2 qiymatlarga mos keluvchi biror yechimlari bo‘lsa, u holda (λ− λ1)∫0 b F(x)G (x)dx =¿∫0 b [G ∙(λ1F)− F(λ2G)]dx =¿¿ ¿ ∫ 0b [ G ( − F ' ' + qF ) − F ( − G ' ' + qG ) ] dx = ¿ ¿∫0 b (FG''−G F'')dx = (FG'−G F')|0 b= W b{F ,G }−W 0{F ,G }, ya’ni (λ− λ1)∫0 b F(x)G (x)dx =¿W b{F ,G }−W 0{F ,G },(2.3 .3)¿ tenglik o‘rinli bo‘ladi. 2) Agar (3.3) munosabatda λ1=u+iυ ,λ2=u−iυ bo‘lib, G= F bo‘lsa, u holda (3.3) tenglikni quyidagicha yozish mumkin 2iυ∫0 b |F(x)|2dx =W b{F ,F}−W 0{F ,F}. Bu tenglikdan 2υ∫0 b |F(x)|2dx =iW b{F ,F}−iW 0{F ,F}(2.3 .4) kelib chiqadi. 3) θ ( x , λ ) va φ(x,λ) funksiyalar orqali (3.1) tenglamaning {θ ( 0 , λ ) = cos α θ ' ( 0 , λ ) = sin α va { φ(0,λ)=sin α φ'(0,λ)=−cos α (2.3 .5) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini belgilaylik va uning y ( b) cos β + y ' ( b) sin β = 0 , ( 2.3 .6 ) shartni qanoatlantiruvchi quyidagi yechimlarini ko‘rib chiqaylik: ψ ( x , λ ) = θ ( x , λ ) + lφ ( x , λ ) , ( 2.3 .7 ) ψ ( x , λ ) yechimni (3.6) shartga qo‘yib l ni topsak, l= −θ(b,λ)cos β+θ'(b,λ)sin β φ(b,λ)cos β+φ'(b,λ)sin β , tenglik hosil bo‘ladi. Bundan esa l= −θ(b,λ)ctg β+θ'(b,λ) φ(b,λ)ctg β+φ'(b,λ),(2.3 .8) ekanligi lelib chiqadi. Bu yerda x=ctg β,β∈R1 belgilashni olib, −θ(b,λ)x+θ'(b,λ) φ(b,λ)x+φ'(b,λ) haqiqiy argumentli ratsional funksiyani tuzib olamiz va uni z = x + iy , i = √ − 1 o‘zgaruvchiga nisbatan kompleks tekislikka davom ettirib ushbu l ( z) ≡ − θ ( b , λ ) z + θ ' ( b , λ ) φ ( b , λ ) z + φ ' ( b , λ ) ( 2.3 .9 ) kasr-chiziqli akslantirishni hosil qilamiz. Bu kasr-chiziqli akslantirish haqiqiy o‘qni aylana yoki to‘g‘ri chiziqqa o‘tkazishi mumkin. Dastlab kompleks analizda uchraydigan quyidagi tastiqni isbotsiz keltirib o‘tamiz. 2.3.1- Lemma. Agar Q P− PQ ≠0 bo‘lsa, u holda f(z)= Mz +N Pz +Q ,MQ − PN ≠0(2.3 .10 ) fo‘rmula bilan berilgan f : C → C kasr-chiziqli akslantirish, haqiqiy o‘qni aylanaga akslantiradi. Bu aylananing radiusi va markazi mos ravishda R = NP − MQ Q P − P Q , ( 2.3 .11 ) ω0= f¿ fo‘rmulalar yordamida topiladi. Bu tastiqni isbotlash uchu f(x)−ω0= R ayniyatning bajarilishini ko‘rsatish yetarli. 2.3.2-Lemma. Agar ℑ λ ≠ 0 bo‘lsa, u holda (3.9) tenglik bilan aniqlangan l ( z ) funksiya haqiqiy sonlar o‘qini Cb aylanaga akslantiradi. Bu aylananing radiusi va markazi mos ravishda quiydagicha formulalar yordamida aniqlanadi: Rb=(2|ℑλ|∙∫ 0 b |φ(x,λ)|2dx ) −1 ,ω0= −W b{θ,φ} W b{φ,φ}(2.3 .13 ) Isbot. Yuqoridagi kasr-chiziqli l ( z ) akslantirishga lemma 2.3.1 ni qo‘llaymiz. Buning uchun esa dastlab MQ − PN ≠0 va Q P− PQ ≠0 shartlarning bajarishini ko‘rsatamiz: bu holda M = − θ ( b , λ ) , N = − θ ' ( b , λ ) , P = φ ( b , λ ) , Q = φ ' ( b , λ ) . Bu ifodalardan MQ − PN = W b{φ,θ}=W 0{φ,θ}=0 va Q P− PQ=W b{φ,φ} kelib chiqadi. (2.3.4) ifodada F( x ) = φ ( x , λ ) deb olib, W 0 { φ , φ } = 0 tenglikdan foydalansak, W b { φ , φ } = 2 iυ ∫ 0b | φ ( x , λ )| 2 dx ( 2.3 .13 ' ) fo‘rmula hosil bo‘ladi. Demak, υ= ℑ λ≠0 bo‘lganligi uchun Q P− PQ ≠0 bo‘ladi. Endi (2.3.11) fo‘rmuladan foydalanib, quyidagi hisoblashlarni bajaramiz: R b ≡ R = | MQ − PN | Q P − P Q = | θ ( b , λ ) φ ' ( b , λ ) − θ ' ( b , λ ) φ ( b , λ )| | φ ( b , λ ) φ ' ( b , λ ) − φ ' ( b , λ ) φ ( b , λ )| = ¿ ¿ | W b { θ , φ }| | W b { φ , φ }| = 1 | W b { φ , φ }| . Bu yerda (2.3.13 ' ) va W b{θ,φ}=−1 tengliklardan foydalansak, (2.3.13) formulalardan birinchisi kelib chiqadi. Cb aylananing markazini topish uchun (2.3.12)formuladan foydalanamiz: ω 0 = l ( − φ ' ( b , λ ) φ ( b , λ ) ) = − | θ ( b , λ ) φ ' ( b , λ ) − θ ' ( b , λ ) φ ( b , λ )| | φ ( b , λ ) φ ' ( b , λ ) − φ ' ( b , λ ) φ ( b , λ )| = − W b { θ , φ } W b { φ , φ } . ∎ Haqiqiy sonlar o‘qi kompleks tekislikni yuqori va pastki yarim tekisliklarga ajratadi. Shu bois (2.3.9) tenglik bilan aniqlangan l ( z) akslantirishning uzluksizligidan yuqori yoki pastki yarim tekisliklarning bittasi D b doira ichiga, ikkinchisi esa Db doira tashqarisiga akslanishi kelib chiqadi. Db doiraning markaziga z 0 nuqta akslanadi. Bu yerda z0= φ'(b,λ) φ(b,λ) . Bu kompleks sonning mavhum qismini hisoblaymiz: ℑ z0= ℑ{ −φ'(b,λ) φ(b,λ)}= i 2{ φ'(b,λ) φ(b,λ)− φ'(b,λ) φ(b,λ)}=¿ ¿ i 2 ∙ φ ' ( b , λ ) φ ( b , λ ) − φ ' ( b , λ ) φ ( b , λ ) | φ ( b , λ )| 2 = − i 2 W b { φ , φ } | φ ( b , λ )| 2 . ( 2.3 .15 ) Bu tenglikni (2.3.13 ' ) fo‘rmuladan foydalanib, ushbu ℑ z0= ℑ{ −φ'(b,λ) φ(b,λ)}= υ |φ(b,λ)|2∫0 b |φ(x,λ)|2dx ≠0(2.3 .16 )ko‘rinishda yozish mumkin. Shunday qilib, doiraning markaziga o‘tadigan z0 nuqta uchun ℑ z 0 = υ | φ ( b , λ )| 2 ∫ 0b | φ ( x , λ )| 2 dx ≠ 0 ( 2.3 .17 ) o‘rinli bo‘ladi. 4¿υ=ℑ λ>0 bo‘lsin. U holda (2.3.16) tenglikka ko‘ra ℑ z0= ℑ{ −φ'(b,λ) φ(b,λ)}>0(2.3 .18 ) bo‘ladi. Bundan esa z 0 = φ ' ( b , λ ) φ ( b , λ ) nuqtaning yuqori yarim tekislikda joylashganligi kelib chiqadi. Ushbu z 0 = φ ' ( b , λ ) φ ( b , λ ) nuqta l ( z) akslantirish natijasida ∞ nuqtaga o‘tadi, ya’ni doira tashqarisiga o‘tadi. Demak, ℑ z0>0 yuqori yarim tekislik doira tashqarisiga o‘tadi. Xuddi shuningdek, (2.3.17) tenglikdan ℑ z 0 = ℑ { − φ ' ( b , λ ) φ ( b , λ )} < 0 kelib chiqadi. Bundan esa, ℑ z<0 quyi yarim tekislikning doira ichiga akslanishi ko‘rinadi. 5 ¿ l ( z) akslantirish natijasida kelib chiqqan doirani D b bilan belgilaylik. υ= ℑ λ>0 bo‘lgan holda l∈Db bo‘lishi uchun ℑ z≤0 bo‘lishi zarur va yetarlidir, ya’ni i ( z − z ) ≤ 0 . (2.3.9) formuladan z = θ ' ( b , λ ) + l φ ' ( b , λ ) θ ( b , λ ) + lφ ( b , λ ) ifodani topamiz va ℑ z ni hisoblaymiz: 2 ℑ z = i( z − z ) = − i θ ' ( b , λ ) + l φ ' ( b , λ ) θ ( b , λ ) + l φ ( b , λ ) + i θ ' ( b , λ ) + l φ ' ( b , λ ) θ ( b , λ ) + lφ ( b , λ ) = ¿ ¿−i|l|2W b{φ,φ}+lW b{φ,θ}+lW b{θ,φ}+W b{θ,θ} |θ(b,λ)+lφ (b,λ)|2 =¿ ¿ − i W b { θ + lφ , θ + lφ } | θ ( b , λ ) + lφ ( b , λ )| 2 . Demak, υ= ℑ λ>0 bo‘lgan holda l∈Db bo‘lishi uchun i W b { θ + lφ , θ + lφ } ≥ 0 tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli ekan. Xuddi shunga o‘xshash υ= ℑ λ>0 bo‘lgan holda l∈Db bo‘lishi uchun quyidagi tengsizlik bajarilishining zarur va yetarli ekanligini ko‘rsatish mmumkin: iW b{θ+lφ ,θ+lφ }≤0 Bu band uchun quyidagicha umumiy xulosa aytish mumkin: Agar ℑ λ ≠ 0 bo‘lsa, u holda l ∈ D b bo‘lishi uchun ushbu i ℑ λ W b { θ + lφ , θ + lφ } ≥ 0 ( 2.3 .19 ) tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir. Endi (2.3.19) shartga teng kuchli bo‘lgan quyidagi tasdiqni keltiramiz. 2.3.3-Lemma. agar υ= ℑ λ≠0 bo‘lsa, u holda l nuqta Db doiraga tegishli bo‘lishi uchun quyidagi tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir: ∫0 b |θ(x,λ)+lφ (x,λ)|2dx ≤ ℑl υ (2.3 .20 ). Isbot. (2.3.4) tenglikda F ( x ) = θ ( x , λ ) + lφ ( x , λ ) deb olsak, u holda 2υ∫0 b |θ(x,λ)+lφ (x,λ)|2dx =iW 0{θ+lφ ,θ+lφ }−W b{θ+lφ ,θ+lφ } ( 2.3 .21 ) tenglik bajariladi. Bu yerda W 0 ni hisoblaymiz: W 0{θ+lφ ,θ+lφ }=W 0{θ,θ}+lW 0{φ,θ}+lW 0{θ,φ}+|l|2W 0{φ,φ}.(2.3.5) boshlang‘ich shartlardan foydalanib, W 0{θ,θ}=W 0{φ,φ}=0, W 0 { θ , φ } = − 1 , W 0 { φ , θ } = 1 tengliklarni topamiz. Bulardan W 0 { θ + lφ , θ + lφ } = l − l = 2 i m l tenglik kelib chiqadi. Bundan foydalanib, (2.3.21) munosabatni quyidagicha yozish mumkin: − 2 ℑ l υ − 2 ∫ 0b | θ ( x , λ ) + lφ ( x , λ )| 2 dx = i υ W b { θ + lφ , θ + lφ } . Bu yerda (2.3.19) tengsizlikni qo‘llasak, (3.20) tengsizlik kelib chiqadi. ∎ 2.3.4-Lemma. Agar b'>b bo‘lsa, u holda D b ' doira D b doiraning ichida yotadi. Isbot. Faraz qilaylik, l nuqta D b ' doirada yotsin. U holda lemma 2.3.3 ga ko‘ra quyidagi tengsizlik bajariladi: ∫ 0 b' |θ(x,λ)+lφ (x,λ)|2dx ≤− ℑl υ . b'>b bo‘lganligi uchun quyidagi munosabat bajariladi: ∫ 0 b |θ(x,λ)+lφ (x,λ)|2dx <∫ 0 b' |θ(x,λ)+lφ (x,λ)|2dx ≤− ℑl υ . Oxirgi munosabat va lemma 2.3.3 ga ko‘ra l∈Db kelib chiqadi. ∎ Demak, { D b } doiralar ichma-ich joylashgan ekan. Bu holda {Db} doiralarning kesishmasi D ∞ ( λ ) doiradan yoki m ( λ ) nuqtadan iborat bo‘ladi. Bu limitik D ∞ ( λ ) doiraga Veyl doirasi , limitik m ( λ ) nuqtaga esa Veyl nuqtasi deyiladi . 2.3.1-Teorema. Agar m ( λ ) - Veyl nuqtasi yoki D ∞ ( λ ) Veyl doirasiga tegishli bo‘lgan biror nuqta bo‘lsa, u holda ixtiyoriy λ∈C¿ kompleks son uchun (2.3.1) tenglamaning ψ(x,λ)=θ(x,λ)+m(λ)φ(x,λ) yechimi L 2 ( 0 , ∞ ) fazoga tegishli bo‘ladi, hamda quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi: ∫ 0∞ | ψ ( x , λ )| 2 dx ≤ − ℑ m ( λ ) ℑ λ ( 2.3 .22 ) Isbot. Bu m ( λ ) nuqta doiralarning barchasiga tegishli bo‘ganligi uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘ladi: ∫0 b |θ(x,λ)+m(λ)φ(x,λ)|2dx ≤− ℑm(λ) υ ,υ= ℑ λ m ( λ ) son b ga bog‘liq emasligini inobatga olib, bu yerda b → ∞ da limitga o‘tsak, (2.3.22) munosabatni olamiz. ∎ 2.3.1-Ta’rif. ψ ( x , λ ) = θ ( x , λ ) + m ( λ ) φ ( x , λ ) yechimga Veyl yechimi , m ( λ ) funksiyaga esa Veyl-Titchmarsh funksiyasi deyiladi. 2.3.2-Teorema. D∞(λ) - Veyl doirasi bo‘lsin, u holda ℑ λ≠0 bo‘ganda, (2.3.1) tenglamaning barcha yechimlari L 2 ( 0 , ∞ ) fazoga tegishli bo‘ladi va D∞(λ) doiraning radiusi R∞ uchun R ∞ = ( 2 | ℑ λ | ∙ ∫ 0∞ | φ ( x , λ )| 2 dx ) − 1 tenglik bajariladi. Isbot. (2.3.13) formulada b→ ∞ da limitga o‘tib, (2.3.23) tenglikka ega bo‘lamiz. Xususan, (2.3.23) formulaga ko‘ra ℑ λ ≠ 0 bo‘lganda φ(x,λ)∈L2(0,∞) bo‘ladi. Ushbu ψ(x,λ)=θ(x,λ)+m(λ)φ(x,λ) tenglikdan θ ( x , λ ) ∈ L 2 ( 0 , ∞ ) ekanligi kelib chiqadi. (2.3.1) tenglamaning barcha yechimlari θ ( x , λ ) va φ ( x , λ ) yechimlar orqali chiziqli ifodalanganligi sababli, (2.3.1) tenglamaning barcha yechimlari L 2 ( 0 , ∞ ) fazoga tegishli bo‘lishi kelib chiqadi. XULOSA Ushbu magistrlik dissertatsiya ishida yarim o‘qda berilgan Shturm-Liuvill operatori uchun qo‘yilgan to‘g‘ri masalani o‘rganishga bag‘ishlangan. Shunday qilib, dissertatsiyaning asosiy natijalaridan quyidagi xulosalar kelib chiqadi: 1) Xos qiymatlar va xos funksiyalarning xossalari o‘rganilgan; 2) Yarim o‘qda berilgan Shturm-Liuvill operatori uchun Parseval tengligi keltirib chiqarilgan va yoyilma haqidagi teorema isbotlangan; 3) Veyl doirasi va nuqtasi haqidagi teoremalar isbotlangan; 4) Rezolventa uchun integral tasvir o‘rganilgan; 5) Veyl-Titchmarsh funksiyasi va spektral funksiya orasidagi bog‘lanishlar o‘ranilgan; 6) Spektral funksiyalarni topishga doir misollar qaralgan. Olingan natijalar chiziqli operatorlar spektral nazariyasida, matematik fizikada uchraydigan ayrim nochiziqli evolyutsion tenglamalarni integrallashda, kvant mexanikasi va tabiiy fanlarnig boshqa sohalarida qo‘llanilishi mumkin. Adabiyotlar 1. Амбарцумян В . А . “Uber eine Frage der Eigenwertteorie.-Zeitschr”, Fur Physik, 1929. Bd. 53, s. 690-695. 2. Бойкузиев К.Б., “Дифференциал тенгламалар”, Тошкент 1983. 3. Л е витан Б.М., Саргсян И.С. “Введение в спектральную теорию”, М.: Наука, 1970, 672с. 4. Левитан Б.М., Саргсян И.С. “Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака”, М.: Наука, 1988. 5. Марченко В.А. “Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения”, Киев: Наукова думка, 1977, 332 с. 6. Марченко В.А. “Восстановление потенциальной энерги по фазам рассеянных волн”, - ДАН СССР, 1955, 104, с. 695-698. 7. Салохиддинов М.С., Насриддинов Ғ.Н. “Оддий дифференциал тенгламалар”, Тошкент, 2009-йил. 8. Титчмарш Э.Ч., “Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка” : В 2-х т. - М.: ИЛ, 1961, т. 2. 9. Шабат Б.П. “Введение в комплексный анализ”, М.: «Наука», 1969. 10. Hasanov A.B., “Shturm – Liuvill chegaraviy masalalari nazariyasiga kirish”, I-qism, «Fan» nashriyoti, Toshkent - 2011. 11. Madatova F.A., “Rangi birga teng bo‘lgan umumlashgan Friedrichs modelining ba’zi spektral xossalari”: “XXI asr - intellektual avlod asri” hududiy ilmiy-amaliy konferensiyasi materiallari Samarqand, 2016 yil 2-3 iyun. 12. Неъматов А.Б., Мадатова Ф.А., “Теорема разложения для оператора Штурма-Лиувилля в классе потенциалов разлqным конечнозонным поведением при x → ± ∞ ” , ICNAA (International conference on nonlinear analesis and applications) September 19-21, 2016. 13. Нематов А.Б., Мадатов Ф.А., “Ярим ўқда берилган Штурм-Лиувилл оператори учун тўғри масалалар ” “Долзарб муаммолар ва ривожланm тенденциялари” Республика илмий - амалий анжумани материаллари 1- қисм. Жиззах 2017 йил. 14. www.lib.math.msu.ru internet sahifasi(Rossiya). 15. www.mathlinks.ro internet sahifasi(Ruminiya). 16. www.zaba.ru internet sahifasi(Rossiya).

Shturm-Liuvill MASALASI Mundarija Kirish ………………………………………………………………… 3 I bob. Chekli oraliqda berilgan Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi 1.1 § Xos qiymatlarning va xos funksiyalarning sodda xossalari……………. 1.2 § Shturm-Liuvill tenglamasi uchun qo‘yilgan Koshi masalasi…………… 1.3 § Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi uchun yoyilma teoremasi………… va Parseval tengligi…………………………………………………….. II bob. Yarim o‘qda berilgan Shturm-Liuvill operatori uchun to‘g‘ri masalalar 2.1 § Y arim o‘qda berilgan Shturm- Liuvill chegaraviy masalasi uchun Parseval tengligi............................................................................... 2.2 § Yarim o‘qda berilgan Shturm- Liuvill chegaraviy masalasi uchun yoyilma haqidagi teorema ......................................................................... 2.3 § Veyl doirasi va nuqtasi haqida .................................................................. 2.4 § Veyl doirasi va nuqtasi haqida teoremalar. .............................................. III bob yarim o‘qda berilgan Shturm-Liuvill operatori uchun qo‘yilgan to‘g‘ri masalaning Veyl-Titchmarsh funksiyasi va spektral funksiyasi xossalari 3.1 § Rezolventa uchun integral tasvir……………………………………… 3.2 § Veyl-Titchmarsh funksiyasi va spektral funksiya orasidagi bog‘lanishlar…………………………………………………………… 3.3 § Spektral funksiyalarni topishga doir misollar. ………………………… Xulosa .............................................................................................................. Foydalanilgan adabiyotlar……………………………………………………

K i r i sh 1. Masalaning qo‘yilishi. Ushbu dissertatsiya ishida yarim o‘qda berilgan Shturm- Liuvill operatori uchun qo‘yilgan to‘g‘ri masalani o‘rgani sh masalasi qaralgan . Quyidagi L ≡ − d 2 dx 2 + q( x ) , − ∞ < x < ∞ operatorga Shturm-Liuvill operatori deyiladi. Shturm-Liuvill operatori matematika va fizikaning ko‘pgina masalalarini o‘rganishda keng qo‘llaniladi. q ( x ) funksiyaga Shturm-Liuvill operatorining potensiali deyiladi. Berilgan potensial bo‘yicha bu operatorning spektral xarakteristikalarini o‘rganish to‘g‘ri masala deyiladi. Bunday xarakteristikalar spektrlar, spektral funksiya, berilgan sochilishlar va boshqalar bo‘lishi mumkin. Differensial operatorlar regulyar va singulyar operatorlarga bo‘linadi. Agar uning berilish sohasi chekli va koeffitsiyentlari uzluksiz bo‘lsa operator regulyar deyiladi. Agar uning berilish sohasi cheksiz yoki koeffitsiyentlari summalanuvchi bo‘lmasa operator singulyar deyiladi. Shuning uchun, yarim o‘q holida Shturm - Liuvill operatori uchun to‘g‘ri masalalarni o‘rganish masalasi nazariy va amaliy ahamiyatga egadir. 2. Mavzuning dolzarbligi. Matematikaga l 2 fazoning va Gilbert fazolarining kiritilishi, bu fazoda o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli operatorlarning spektral nazariyasining rivojlanishiga yo‘l ochib berdi. Ma’lumki, differensial operatorlarda spektral yoyilmani mos tenglamaning yechimlari orqali tasvirlash mumkin bo‘ladi. Bu esa differensial operatorlarning spektral nazariyasini o‘rganish dolzarb ekanligini ta’kidlaydi. 3. Tadqiqot obyekti va predmeti. Tadqiqot obyekti chekli ora;iqda va yarim o‘qda berilgan Shturm-Liuvill operatori.

4. Ishning maqsad va vazivalari. Dissertasiya ishining asosiy maqsadi shundan iboratki, yarim o‘qda berilgan Shturm - Liuvill operatori uchun qo‘yilgan to‘g‘ri masala yechi sh usullarini o‘rganish va Shturm-Liuvill chegaraviy masalalarining Veyl-Titchmarsh funksiyasi va spektral funksiyalarini topishga doir misollar qarash dan iborat. 5. Ilmiy tadqiqot metodlari. Ishni bajarishda funksional analiz, chiziqli operatorlar spektral nazariyasi va differensial tenglamalar usullari qo‘llaniladi. 6. Tadqiqotning ilmiy yangiligi. Ushbu magistrlik dissertatsiya ishi ilmiy xarakterga ega bo‘lib, unda Shturm-Liuvill operatori uchun qo‘yilgan to‘g‘ri masalani yechishning Gelfand-Levitan usuli to‘liq o‘rganilib, bir nechta nazariy ahamiyatga ega bo‘lgan misollar yechilgan. 7. Tadqiqot natijalarining ilmiy va amaliy ahamiyati. Dissertasiya ishi nazariy xarakterga ega. Ushbu magistrlik dissertatsiyasi ishida keltirilgan usul va natijalar kelgusida Shturm-Liuvill operatorining spektral nazariyasi rivojlanishida qo‘llanilishi mumkin. Shuningdek, ular kvant fizikasi, elektronika, chiziqli va nochiziqli xususiy xosilali tenglamalar nazariyasi, mexanika, kristallografiya, geologo-razvedka masalalarini o‘rganishda kerakli bo‘lishi mumkin. 8. Ishning tuzilishi. Dissertasiya ishi kirish, uch ta bob va xulosadan iborat. I bob Chekli oraliqda berilgan Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi haqida bo‘lib, 1. 1- §da xos qiymatlarning va xos funksiyalarning sodda xossalari haqida, 1. 2- §da Shturm-Liuvill tenglamasi uchun qo‘yilgan Koshi masalasi, 1. 3- §da Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi uchun yoyilma teoemasi va Parseval tengligi haqidagi kerakli ma’lumotlar keltirilgan. II bob Yarim o‘qda berilgan Shturm- Liuvill operatori uchun to‘g‘ri masala haqida bo‘lib, 2. 1 §-da yarim o‘qda berilgan Shturm- Liuvill chegaraviy masalasi uchun Parseval tengligi, 2.2§-da yarim o‘qda berilgan Shturm- Liuvill chegaraviy masalasi uchun

yoyilma haqidagi teorema isbotlangan, 2.3§-da Veyl doirasi va nuqtasi haqida va 2.4§ -da Veyl doirasi va nuqtasi haqida teoremalar isbotlangan. III bob yarim o‘qda berilgan Shturm-Liuvill operatori uchun qo‘yilgan to‘g‘ri masalaning Veyl-Titchmarsh funksiyasi va spektral funksiyasi xossalari haqida. 3.1§ -da rezolventa uchun integral tasvir, 3.2§-da Veyl-Titchmarsh funksiyasi va spektral funksiya orasidagi bog‘lanishlar, 3.3§- da spektral funksiyalarni topishga doir masalalar qaraladi. Natijalarning joriy qilinishi. Dissertatsiyada o‘rganilgan asosoiy natijalar va usullar matematik va funksional analiz, matematik fizika tenglamalarida, shunindek tabiiy fanlarning boshqa sohalarida qo‘llanilishi mumkin. Dissertatsiya tuzilishi va hajmi. Dissertasiya ishi kirish qismi , uch ta bob , xulosa va 16 yoki 18 nomdagi foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati dan iborat. Dissertatsiya 100 matnli sahifadan tashkil topgan. Har bir bob paragraflarga ajratilgan bo‘lib, o‘zining nomerlanishi va belgilanishiga ega. Misol uchun, 1.1.1-teorema yozuvi bu teoremaning 1-bobda 1-paragrafning 1-teoremasi tartib bilan yoki (2.2.2) yozuv formulaning 2-bobda 2-paragrafning 2-formulasini tartib bilan belgilanishini anglatadi. Olingan natijalarning qisqacha mazmuni. Dissertasiya ishida olingan natijalar nazariy xarakterga ega bo‘lib, singulyar Shturm-Liuvill operatorlari ushun to‘g‘ri masala lar ni yeshishda qo‘llash mumkin bo‘ladi. I bobning asosiy natijalari quyidagilardan iborat: 1-Teorema. (1.2.1-Teorema.) Agar q( x ) ∊ C [ 0 , π ] funksiya haqiqiy bo‘lib, y0,y1 ixtiyoriy haqiqiy sonlar bo‘sa, u holda (1.2.1)+(1.2.2) Koshi masalasining [0,π] kesmada aniqlangan φ(x,λ) yechimi mavjud va yagona bo‘lib, u x o‘zgaruvchining har bir tayinlangan qiymatida ?????? bo‘yicha 1 2 tartibdagi butun

funksiyadir, ya’ni tayinlangan x da φ ( x , λ ) funksiya kompleks tekislikning ixtiyoriy chegaralangan soxasida kompleks manoda differensiallanuvchidir. 2-Teorema. (1.3.1-Teorema.) Nol soni ushbu { − y''+q(x)y= λy , y(0)cos α+y'(0)sin α=0, y(π)cos β+y'(π)sin β=0, (1) Shturm-Liuvill masalasining xos qiymati bo‘lmasa, u holda ushbu { − y ' ' + q ( x ) y = λy + f ( x ) , y ( 0 ) cos α + y ' ( 0 ) sin α = 0 , y ( π ) cos β + y ' ( π ) sin β = 0 , ( 2 ) chegaraviy masala quyidagi integral tenglamaga ekvivalent bo‘ladi: y(x)= λ∫0 π G (x,t)y(t)dt +∫0 π G (x,t)f(t)dt .(3) Bu yerda G ( x , t ) funksiya (1.3.1) masalaning λ = 0 qiymatga mos keluvchi Grin funksiyasi. 3-Teorema 3. ( 1.3.2-Teorema.) Nol soni (1.3.1) chegaraviy masalaning xos qiymati bo‘lmasa, u holda quyidagi integral tenglama cheksiz ko‘p xos qiymatlarga ega bo‘ladi: u(x)= λ∫0 π G (x,t)u(t)dt . 4-Teorema 4. ( 1.3.3-Teorema.) Nol soni (1.3.1) chegaraviy masalaning xos qiymati bo‘lmasa, uning Grin funksiyasi uchun ushbu G ( x , t ) = ∑ n = 0∞ υ n ( x ) υ n ( t) λ n , ( 4 ) tasvir o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda λ n orqali (1.3.1) masalaning xos qiymatlari va υn(x) orqali esa ularga mos ortonormallangan xos funksiyalari belgilangan.

O'xshashlar

IZOSPEKTRIAL SHTURM LIUVILL OPERATORLARI
Ryukzak masalasi
GRUNTLAR MEXANIKASINING NOCHIZIQLI MASALASI
O‘ZBEKISTON XOTIN-QIZLAR MASALASI
Matematik masalalarni vizuallashtirish. Silindr masalasi.