logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. IZOSPEKTRIAL SHTURM LIUVILL OPERATORLARI

IZOSPEKTRIAL SHTURM LIUVILL OPERATORLARI

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

1735 KB
Ko'chirib olish
IZOSPEKTRIAL SHTURM LIUVILL OPERATORLARI MUNDARIJA KIRISH………………………………………………………………. 3 I BOB Shturm-Liuvill operatori uchun teskari spektral masalalar 10 1.1§ L(q(x),h,H) ko’rinishdagi Shturm-Liuvill operatori uchun teskari spektral masalalar 1.2§ L(q(x),∞ ,H) ko ’rinishidagi Shturm-Liuvill operatori uchun teskari spektral masalalar II BOB L=L(q(x),h,H) ko’rinishidagi Izospektral SHturm-Liuvill chegaraviy masalalar 2.1§ Bir parametrga bog’liq izospektral SHturm-Liuvill chegaraviy masalasini qurish algoritmi 2.2§ Ikki parametrga bog’liq izospektral SHturm-Liuvill chegaraviy masalasini qurish algoritmi 2.3§ k parametrga bog’liq izospektral SHturm-Liuvill chegaraviy masalasini qurish algoritmi III BOB L(q(x), ∞ , H) ko’rinishdagi izospektral va qisman- izospektral SHturm- Liuvill chegaraviy masalalar 3.1§ L(q(x), ∞ , H) ko’rinishdagi izospektral chegaraviy masalalarni tiklash algoritmi 3 .2§ L(q(x,a), ∞ ,H(a)) ko’rinishidagi qisman- izospektral SHturm- Liuvill chegaraviy masalalar oilasini tiklash algoritmi XULOSA Foydalanilgan adabiyotlar 1 KIRISH Masalaning qo yilishi. ʻ Mazkur magistrlik dissertatsiyasi ishda 1. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi spe k tral berilgan lar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalar i oilasini tiklash; 2. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi spe k tral berilgan lar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalar i oilasini tiklash; 3. Quyidagi ; shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash; 4. Quyidagi 2 shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash; 5. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash; 6. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm- Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash; 7. Quyidagi 3 , , , , , shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash; 8. Quyidagi , , , , , shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash masalasi o rganilgan.ʻ Mavzuning dolzarbligi: Spektral analizning teskari masalalari turli sohalarda , jumladan kvant mexanikasida, radiotexnikada, fizika, elektronika, metereologiya, yer ichki qatlamlari elektrik xossalarini o’rganishda muhim o‘rin tutadi. Ushbu yo‘nalishda va ko’rinishdagi Shturm- Liuvill hamda operatorlari uchun izospektral va qisman-izospektral masalalarga oid tadqiqotlarni rivojlantirish dolzarb vazifalardan hisoblanadi. Hozirgi kunda teskari masalalar oddiy differensial operatorlarning ayrimlari uchungina yetarlicha to’liq o’rganilgan. Bu operatorlar orasida eng soddasi Shturm-Liuvill operatoridir. Bu operator uchun qo’yilgan teskari masalalar V.A.Ambarsumyan [59], G.Borg[73], A.N.Tixonov[74], N.Levinson[72], V.A.Marchenko [1], I.M.Gelfand, B.M.Levitan [2,4], M.G.Gasimov [8], Z.L.Leybenzon[77], L.A.Saxnovich[76], I.G.Xachatryan[78], X.Xoxshtadt B.Liberman[79], V.A.Yurko[21], I.S.Frolov[63], M.Ablovits, X.Sigur, T.V.Misyura[67,68], E.Korotyaev[64,65,66], S.Albeverio, R.Xruniv, Ya.Mukutyuk [52], A.B.Xasanov[69], A.B.Xasanov, A.B.Yaxshimuratov[70], A.B.Yaxshimuratov[71] va boshqa olimlar tomonidan o’rganilgan. Teskari masalalar nazariyasining rivojiga muhim turtki bo’lgan ilk natija 1929-yilda V.A.Ambarsumyan tomonidan olingan. 1946-yilda G.Borg Shturm- 4 Liuvill chegaraviy masalasi uchun teskari spektral masalani o’zgacha qo’yishni taklif qilgan. Jumladan, u Shturm-Liuvill operatori faqat bitta chegaraviy sharti bilan farq qiluvchi ikki Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektrlari yordamida yagona tarzda aniqlanishini ko’rsatib bergan. Borgning yagonalik teoremasi 1949-yilda L.A.Chudov tomonidan chegaraviy shartlar ancha umumiyroq bo’lgan holda o’rganilgan. 1949-yilda A.N.Tixonov yarim o’qda berilgan Shturm-Liuvill operatorini “impedans” funksiyasi (ya’ni Veyl- Titchmarshning funksiyasi) yordamida yagona tarzda qurish mumkinligi haqidagi teoremani isbotlashga muvaffaq bo’ldi. Veyl-Titchmarshning , ya’ni impedans funksiyasi bo’yicha chiziqli oddiy differensial operatorni qurish algoritmi V.A.Yurko tomonidan batafsil o’rganilgan. Spektral analizning teskari masalasini yechishda almashtirish operatorlari ilk bor V.A.Marchenko, so’ngra I.M.Gelfand va B.M.Levitan tomonidan qo’llanilgan. 1950-yilda V.A.Marchenko Shturm-Liuvill operatori o’zining spektral funksiyasi, ya’ni xos qiymatlar va , normallovchi o’zgarmaslar orqali, yagona aniqlanishini ko’rsatib berdi. V.A.Marchenko yagonalik teoremasi e’lon qilingandan keyin spektral funksiya, ya’ni spektral berilganlar bo’yicha Shturm-Liuvill operatorini tiklash masalasi dolzarb bo’lib qolgan. Bu masala 1951-yilda I.M.Gelfand va B.M.Levitan tomonidan yechilgan. So’ngra teskari masalani yechishning Gelfand-Levitan usuli B.M.Levitan, M.G.Gasimov va N.Levinsonlar tomonidan takomillashtirilgan. Hozirgi kunga kelib teskari masalani yechishning bir nechta usullari bor. Bu usullar orasida Gelfand-Levitan usuli muhim o’rin egallaydi. Bu usulda almashtirish operatori asosiy rolni o’ynaydi. Usulning asosiy bosqichlaridan biri almashtirish operatorining yadrosiga nisbatan olingan chiziqli integral tenglamadir. Keyingi teskari masala G.Borg yagonalik teoremasi isbotlangandan keyin hosil bo’lgan teskari masaladir. Bu teskari masalani yechish algoritmi ilk bor M.G.Kreyn tomonidan ishlab chiqildi. So’ngra bu algoritm berilgan spektrlar tilida 5 1964-yilda B.M.Levitan va M.G.Gasimovlar tomonidan takomillashtirildi. 1978- yilda X.Xoxshtadt va B.Libermanlar agar Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymatlar ketma-ketligi va koeffisiyenti oraliqda berilgan bo’lsa, u holda oraliqda potensial va sonlar yagona aniqlanishini isbotlashga muvaffaq bo’ldilar. Bu yo’nalishdagi masalalar L.Saxnovich, R.O.Griniva, Y.V.Mykytyuk, O.Martinyuk, V.Pivovarchik, S.A.Buterin, F.Geshtezi, B.Saymon, M.Xorvat va boshqa olimlarning ilmiy ishlarida umumlashtirilgan. Hozirgi kunda chekli oraliqda berilgan o’z-o’ziga qo’shma matritsaviy koeffisiyentli Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi uchun teskari spektral masalalarni yechish algoritmi V.A.Yurko, B.M.Levitan, M.Jodeit, N.P.Bondarenko va ularning o’quvchilari tomonidan o’rganilmoqda. Tadqiqotning maqsad va vazifasi. Shturm-Liuvill operatorlari uchun qo’yilgan izospektral va qisman-izospektral chegaraviy masalalar oilasini tiklashdan iborat. Tadqiqot usullari . Dissertatsiya ishida matematik tahlil, matematik fizika, differensial operatorlarning spektral nazariyasi, funksional analiz, kompleks o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasi, chiziqli algebra hamda oddiy differensial tenglamalarni yechish usullaridan foydalanildi. Ishning ilmiy ahamiyati . Tadqiqot natijalarining ilmiy ahamiyati zamonaviy matematik fizikaning Shturm-Liuvill izospektral va qisman-izospektral chegaraviy masalalar oilasini tiklash bilan izohlanadi. Dissertatsiya tuzilishining tasnifi. Magistrlik dissertatsiyasi uch bob, yeti paragraf, xulosa va adabiyotlar ro yxatidan iborat. ʻ Birinchi bob “ Shturm-Liuvill operatori uchun teskari spektral masalalar ” deb nomlanib, u qo yilgan masalani yechishda qo llaniladigan ta’rif va ʻ ʻ teoremalarni o z ichiga olgan quyidagi ikkita paragrafni o z ichiga olgan: ʻ ʻ 6 1. L(q(x),h,H) ko’rinishdagi Shturm-Liuvill operatori uchun teskari spektral masalalar; 2. L(q(x),∞ ,H) ko ’rinishidagi Shturm-Liuvill operatori uchun teskari spektral masalalar. Ikkinchi bob “ L(q(x),h,H) ko’rinishidagi izospektral SHturm-Liuvill chegaraviy masalalar ” deb nomlanib, bu bob uchta paragrafdan iborat. Ikkinchi bobning birinchi paragrafida bir parametrga bog’liq izospektral SHturm-Liuvill chegaraviy masalasini tiklash algoritmi qurilgan. Ikkinchi bobning ikkinchi paragrafida ikki parametrga bog’liq izospektral SHturm-Liuvill chegaraviy masalasini tiklash algoritmi qurilgan. Ikkinchi bobning uchinchi paragrafida k parametrga bog’liq izospektral SHturm-Liuvill chegaraviy masalasini tiklash algoritmi qurilgan. Uchinchi bob “ L(q(x),∞ , H) ko’rinishdagi izospektral va qisman- izospektral SHturm- Liuvill chegaraviy masalalar ” deb nomlanib, bu bob ikkita paragrafdan iborat. Uchinchi bobning birinchi paragrafida bir parametrga bog’liq L(q(x), ∞ , H) ko’rinishdagi izospektral SHturm-Liuvill chegaraviy masalasini tiklash algoritmi qurilgan. Uchinchi bobning ikkinchi paragrafida L(q(x,a), ∞ ,H(a)) ko’rinishidagi qisman- izospektral SHturm-Liuvill chegaraviy masalalar oilasini tiklash algoritmi qurilgan. 7 I BOB. SHTURM-LIUVILL OPERATORI UCHUN TESKARI SPEKTRAL MASALALAR 1.1-§. ko’rinishdagi Shturm-Liuvill operatori uchun teskari spektral masalalar Ta’rif-1.1.1. Quyidagi , , (1.1.1) va , , (1.1.2) har xil Shturm – Liuvill chegaraviy masalalarining spektrlari uchun tenglik bajarilsa, ularga izospektral chegaraviy masalalar deyiladi. Ta’rif-1.1.2. Agar (1.1.1) va (1.1.2) chegaraviy masalalarda quyidagi munosabatlar bajarilsa bo’lganda ; bo’lganda , ularga qisman-izospektral chegaraviy masalalar deyiladi. Bu yerda - haqiqiy uzluksiz funksiya, - kompleks parametr, va chekli haqiqiy sonlar. Ushbu chegaraviy masalani qaraymiz: , (1.1.3) (1.1.4) . (1.1.5) 8 Bunda - haqiqiy uzluksiz funksiya, - kompleks parametr, va chekli haqiqiy sonlar. (1.1.3) tenglamaning ushbu (1.1.6) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini orqali belgilaymiz. Ma’lumki ([3], 12-bet) (1.1.3), (1.1.6) masalaning yechimi mavjud, yagona va har bir fiksirlangan da bo’yicha butun funksiya bo’ladi. Shuningdek, ushbu integral tasvir o’rinli ([3], 118-bet): , (1.1.7) . (1.1.8) Ko’rinib turibdiki, funksiya barcha larda (1.1.4) chegaraviy shartni qanoatlantiradi. (1.1.3)-(1.1.5) chegaraviy masalaning , xos qiymatlari ushbu , (1.1.9) tenglamaning ildizlaridan iborat bo’ladi. , funksiyalar esa ularga mos keluvchi xos funksiyalardir. Ushbu (1.1.10) sonlarga (1.1.3)-(1.1.5) chegaraviy masalaning normallovchi o’zgarmaslari deb ataladi. Ushbu ketma-ketliklar juftligiga (1.1.3)-(1.1.5) chegaraviy masalaning spektral berilganlari deyiladi. 9 Teorema-1.1.1. ([3], 14-18 betlar) (1.1.3)-(1.1.5) chegaraviy masalaning spektral berilganlari uchun quyidagi , (1.1.11) (1.1.12) tengliklar bajariladi. Ma’lumki, har xil xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyalar o’zaro ortogonal va ixtiyoriy funksiya uchun (1.1.13) tasvir o’rinli. Bundan ushbu , (1.1.14) tenglikni olamiz. Bu yerda - Dirakning delta funksiyasi. Xususan, bo’lganda, ushbu , (1.1.15) ayniyat o’rinli. Bu yerda (1.1.16) 10 Teorema-1.1.2. (V.A.Marchenko, [1]). (1.1.3)-(1.1.5) chegaraviy masalaning potensiali va , koeffisiyentlari spektral berilganlar orqali yagona aniqlanadi. Lemma-1.1.1. ([2]). Ushbu (1.1.17) ayniyat o’rinli. Teorema-1.1.3. (I.M.Gelfand, B.M.Levitan, [2]). (1.1.7) almashtirish operatorining yadrosi quyidagi integral tenglamani qanoatlatiradi: . (1.1.18) Bu yerda . (1.1.19) Teorema-1.1.4. (I.M.Gelfand, B.M.Levitan, [2]). haqiqiy sonlar ketma-ketliklari (1.1.3)-(1.1.5) ko’rinishdagi biror Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spectral berilganlari (xarakteristkalari) bo’lishi uchun (1.1.11) shartlarning bajarilishi zarur va yetarli. Aytaylik, ketma-ketliklar juftligi (1.1.11) shartlarni qanoatlantirsin. U holda (1.1.19) formula orqali funksiyani aniqlaymiz va (1.1.18) integral tenglamani yechib ni topamiz. Teorema-1.1.5. ( I.M.Gelfand, B.M.Levitan, [2] ) Har bir fiksirlangan da (1. 1 .1 8 ) integral tenglama yagona yechimga ega. 11 (1.1.18) tenglamani yechib ni aniqlaymiz va (1.1.7) formuladan funksiyani topamiz. T opilgan funksiya quyidagi differensial tenglamani (1.1.20) va ushbu , (1.1.21) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradi ([2]) . B unda potensial ushbu , (1.1.22) tenglikdan, soni esa quyidagi (1.1.23) formula orqali topiladi. 1.2-§. ko’rinishdagi Shturm-Liuvill operatori uchun teskari spektral masalalar Ta’rif-1.2.1. Quyidagi , (1.2.1) va , (1.2.2) har xil Shturm – Liuvill chegaraviy masalalarining spektrlari uchun 12 tenglik bajarilsa, ularga izospektral chegaraviy masalalar deyiladi. Bu yerda - haqiqiy uzluksiz funksiya, - kompleks parametr, chekli haqiqiy son. Ushbu chegaraviy masalani qaraymiz: , (1.2.3) (1.2.4) . (1.2.5) Bu yerda - haqiqiy uzluksiz funksiya, - kompleks parametr, chekli haqiqiy son. (1.2.3) tenglamaning (1.2.6) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini orqali belgilaymiz. Ma’lumki ([3],18-21 bet), (1.2.3), (1.2.6) masalaning yechimi mavjud, yagona va har bir fiksirlangan da bo’yicha butun funksiya bo’ladi. Shuningdek, ushbu integral tasvir o’rinli ([3], 210-bet): , (1.2.7) . (1.2.8) 13 Ko’rinib turibdiki, funksiya barcha larda (1.2.4) chegaraviy shartni qanoatlantiradi. (1.2.3)-(1.2.5) chegaraviy masalaning , xos qiymatlari , (1.2.9) tenglamaning ildizlaridan bo’ladi. , funksiyalar esa ularga mos keluvchi xos funksiyalardir. Ushbu (1.2.10) sonlar ketma-ketligiga (1.2.3)-(1.2.5) chegaraviy masalaning normallovchi o’zgarmaslari deb ataladi. ketma-ketliklar juftligiga (1.2.3)-(1.2.5) chegaraviy masalaning spektral berilganlari deyiladi. Teorema-1.2.1. ([3], 18-21 betlar). (1.2.3)-(1.2.5) chegaraviy masalaning spektral berilganlari uchun quyidagi (1.2.11) tengliklar bajariladi. Ma’lumki, har xil xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyalar o’zaro ortogonal va ixtiyoriy funksiya uchun (1.2.12) tasvir o’rinli. Bundan ushbu 14 , (1.2.13) tenglikni olamiz. Bu yerda - Dirakning delta funksiyasi. Xususan, bo’lganda, ushbu , (1.2.14) ayniyat o’rinli. Bu yerda . (1.2.15) Teorema-1.2.2. (V.A.Marchenko, [1]). (1.2.3)-(1.2.5) chegaraviy masalaning potensiali va koeffisiyenti spektral berilganlar orqali yagona aniqlanadi. Lemma-1.2.1. ([2]). Ushbu (1.2.16) ayniyat o’rinli. Teorema-1.2.3. (I.M.Gelfand, B.M.Levitan, [2]). (1.2.7) almashtirish operatorining yadrosi quyidagi integral tenglamani qanoatlatiradi . (1.2.17) Bu yerda . (1.2.18) 15 Teorema-1.2.4. (I.M.Gelfand, B.M.Levitan, [2]). haqiqiy sonlar ketma-ketliklari (1.2.3)-(1.2.5) ko’rinishdagi biror Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektral berilganlari (xarakteristkalari) bo’lishi uchun (1.2.11) shartlarning bajarilishi zarur va yetarli. Faraz qilaylik, ketma-ketliklar juftligi (1.2.11) shartni qanoatlantirsin. U holda (1.2.18) formula orqali funksiyani aniqlaymiz va (1.2.17) integral tenglamani yechib ni topamiz. Teorema-1.2.5. ( I.M.Gelfand, B.M.Levitan, [2]) Har bir fiksirlangan da ( 1.2.17 ) integral tenglama yagona yechimga ega. (1. 2.17 ) tenglamani yechib ni aniqlaymiz va (1. 2.7 ) formuladan funksiyani topamiz. Topilgan funksiya , (1.2.19) quyidagi differensial tenglamani va ushbu , (1.2.20) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradi . Bu nda potensial ushbu (1.2.21) formula orqali topiladi. ( 1.2.5 ) chegaraviy shartdagi o’zgarmas soni esa (1.2.22) quyidagi tenglikdan aniqlanadi. 16 ІІ BOB. ko rinishdagi Izospektral Shturm-ʻ Liuvill chegaraviy masalalar 2.1-§. Bir parametrga bog’liq izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalasini qurish algoritmi 2.1.1-ta’rif. Quyidagi har xil ; ; ; , Shturm – Liuvill chegaraviy masalalarining spektrlari uchun tenglik bajarilsa, ularga izospektral chegaraviy masalalar deyiladi. Bu yerda -berilgan haqiqiy uzluksiz funksiya, - kompleks parametr, va berilgan chekli haqiqiy sonlar. Mazkur paragrafda spektri ko‘rinishdagi musbat sonlardan iborat bo‘lgan barcha Shturm – Liuvill chegaraviy masalalarini qurish algoritmini bayon qilamiz. Bu turdagi masalalarni o‘rganishda teskari spektral masalani yechishning Gelfand – Levitan usulidan foydalanish maqsadga muvofiq. 1. Faraz qilaylik, haqiqiy sonlar ketma-ketliklari ushbu (2.1.1) ko‘rinishda bo‘lsin. Bu yerda berilgan musbat son bo‘lib, . 17 Yuqoridagi algoritm yordamida, berilgan ketma-ketliklarga mos keluvchi Shturm-Liuvill chegaraviy masalasini tuzish bilan shug‘ullanamiz. Ko‘rinib turibdiki, berilgan (2.1.1) ketma-ketliklar oldingi mavzudagi 3-teoremaning, ya’ni (3.1.3) shartlarni qanoatlantiradi. Shuning uchun spektral xarakteristkalari bo‘ladigan oldingi mavzudagi (2.2.1), (2.2.2) ko‘rinishdagi ; yagona Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi mavjud. Gelfand-Levitan algoritmidan foydalanib, va noma’lumlarni topamiz: 1. funksiyani quyidagicha aniqlaymiz: Chunki, 2. Gelfand-Levitan integral tenglamasini tuzib olamiz va uni yechamiz: Ushbu 18 belgilashni kiritib, quyidagi tenglamani hosil qilamiz: Buni belgilashga qo‘yib, ni topamiz: . Bunga ko‘ra, 3. koeffisiyent va sonlarni hamda yechimni quyidagicha aniqlaymiz: Chunki, larning aniqlanishiga ko‘ra . Endi oldingi mavzudagi (2.2.10) formuladan foydalanib -yechimni aniqlaymiz: . Bunda Shunday qilib, ushbu 19 ko‘rinishdagi Shturm-Liuvill chegaraviy masalasini topishga muvaffaq bo‘ldik. Shuni takidlash joizki, biz tuzgan Shturm-Liuvill chegaraviy masalalar oilasining spektri, berilgan to‘plamdan iborat bo‘ladi. Xususan, bo‘lgan holda bo‘lib, bo‘ladi, ya’ni biz chegaraviy masalaga ega bo‘lamiz. Ravshanki, bunda 1. Xususan ushbu , , o’zgaruvchan koeffisiyentli xususiy hosilali differensial tenglamaning xos qiymatlari , xos funksiyalari , va yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi: 20 . Bu yerda , , . 2. Xususan ushbu , , o’zgaruvchan koeffisiyentli xususiy hosilali differensial tenglamaning xos qiymatlari , xos funksiyalari , va yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi: . Bu yerda . 21 2.2-§. Ikki parametrga bog’liq izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalasini qurish algoritmi Aytaylik, haqiqiy sonlar ketma-ketliklari ushbu (2.2.1) ko‘rinishda bo‘lsin. Bu yerda - berilgan musbat sonlar. Spektral xarakteristkalari (2.2.1) ko‘rinishda bo‘lgan Shturm-Liuvill chegaraviy masalasini qurish bilan shug‘ullanamiz. Ko‘rinib turibdiki, (2.2.1) tengliklar bilan aniqlangan haqiqiy sonlar ketma-ketliklari oldingi mavzudagi 3-teoremaning shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun koeffisiyentlari ko‘rinishda bo‘lgan yagona Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi mavjud. Bu chegaraviy masalani ko‘rinishda belgilasak, uning spektri uchun munosabat bajariladi. Demak ikki parametrli chegaraviy masalalari oilasining spektri berilgan to‘plam bilan ustma-ust tushar ekan. Endi, yuqoridagi (2.2.2) (2.2.3) chegaraviy masalaning va koeffisiyentlarni topish bilan shug‘ullanamiz. Buning uchun, avvalo (2.2.1) spektral xarakteristikalar yordamida funksiyani tuzib olamiz: 22 1. (2.2.4) Bu yerda (2.2.5) funksiyaning (2.2.4) ko‘rinishidan foydalanib, (2.2.5) chegaraviy shartlarning birinchisidagi sonini topish mumkin: . (2.2.6) 2. Gelfand-Levitan integral tenglamasini tuzamiz va uni yechimga ega ekanligini ko‘rsatamiz: (2.2.7) Bu tenglamaning yechimga ega ekanligini ko‘rsatish uchun, uning bir jinsli qismi faqat nol yechimga egaligini isbotlash yetarli. Ushbu belgilashni kiritaylik. U holda (2.2.7) tenglamaning bir jinsli qismi ko‘rinishni oladi. Bu tenglamaning faqat nol yechimga ega ekanligi xuddi oldingi mavzudagi 1-lemmadagidek isbotlanadi. Endi funksiyaning (2.2.4) ko‘rinishidan va (2.2.7) integral tenglamadan foydalanib, funksiyani hisoblaymiz: 23 ya’ni (2.2.8) Bu yerda (2.2.9) Agar funksiya Gelfand-Levitan integral tenglamasining yechimi bo‘lsa, u holda ushbu (2.2.10) funksiya quyidagi differensial tenglamani va boshlang‘ich shartlarni hamda munosabatni qanoatlantirar edi. Yuqoridagi (2.2.10) formulada deb quyidagi 24 ifodani topamiz. Bu tenglikda va deb quyidagi (2.2.11) munosabatlarni olamiz. Endi va hosilalarni hisoblaymiz: (2.2.12) Yuqoridagi(2.2.11), (2.2.12) tengliklarda deb va larni qiymatlarini topamiz: Endi ushbu tenglikdan foydalanib ni hisoblaymiz: 25 . Shu tarzda (2.2.2) tenglamaning koeffisiyentini ham topish mumkin: 3§. k parametrga bog’liq izospekral Shturm-Liuvill chegaraviy masalasini qurish algoritmi Spektral xarakteristikalari ushbu ; (2.3.1) ko‘rinishda bo‘lgan Shturm – Liuvill chegaraviy masalasini tuzish bilan shug‘ullanamiz. Bu yerda - berilgan musbat sonlar. Ko‘rinib turibdiki, (2.3.1) formulalar bilan aniqlangan - haqiqiy sonlar ketma – ketliklari oldingi mavzudagi 3-teoremaning shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun , , koeffitsiyentli (2.2.1)-(2.2.2) ko‘rinishdagi ta parametrli yagona Shturm – Liuvill chegaraviy masalasi mavjud. Bu holda chegaraviy masalalar oilasining spektri uchun 26 munosabat o‘rinli bo‘ladi. Endi ushbu , (2.3.2) , (2.3.3) ko‘rinishidagi ta parametrli Shturm – Liuvill chegaraviy masalasining , , koeffisiyentlarini topish jarayonini bayon qilamiz. Buning uchun avvalo (2.2.7) formuladan va (2.3.1) ko‘rinishdagi spektral xarakteristikalardan foydalanib, funksiyani tuzib olamiz: . (2.3.4) Bu yerda , So‘ngra (2.2.9) integra tenglamadan va (2.3.4) formuladan foydalanib, funksiyani hisoblaymiz: ya’ni , (2.3.5) bunda . (2.3.6) 27 (2.2.10) formulaga ko‘ra, (2.3.2) differensial tenglamaning (2.3.7) koeffitsiyentini va (2.2.11) tenglikdan (2.3.3) chegaraviy shartlarning birinchisini topamiz: . (2.3.8) Endi (2.3.6) tasvirni (2.3.5) formuladan foydalanib, ushbu (2.3.9) ko‘rinishda yozish mumkin. Bundan foydalanib hosilani hisoblaymiz: (2.3.10) Nihoyat, (2.3.9) va (2.3.10) formulalardan foydalanib, , ifodalarning qiymatlarini topamiz: . (2.3.11) Xuddi shuningdek, (3.3.10) tasvirda deb noma’lumlarning qiymatlarini aniqlaymiz: 28 , ya’ni (2.3.12) Oxirgi (2.3.12) tenglikni (2.3.11) formuladan foydalanib quyidagicha yozish mumkin: (2.3.13) Ushbu chegaraviy shartdan (2.3.14) tenglik kelib chiqadi. 29 ІІІ BOB. ko rinishdagi izospektral va qisman-ʻ izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalar 3.1-§. ko’rinishdagi izospektral chegaraviy masalalarni tiklash algoritmi Teorema-3.1.1. Aytaylik, haqiqiy sonlar ketma-ketliklari (1.2.1)- (1.2.2) chegaraviy masalaning spektral berilganlari bo’lsin. U holda quyidagi (3.1.1) tengliklar orqali aniqlangan ketma-ketliklar biror Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektral berilganlari bo’ladi. Isbot. Buning uchun (3.1.1) tengliklar bilan aniqlangan ketma- ketliklar (1.2.11) shartlarni qanoatlantirishini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham: , . Ushbu tengliklardan foydalanib, ya’ni ekanligini topamiz. 30 Nihoyat ushbu tenglikdan ekanligini aniqlaymiz. Shuning uchun, spektri ushbu , to’plamdan koeffisiyentlari , lardan iborat bo’lgan (1.2.1)-(1.2.2) ko’rinishdagi yagona Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi mavjud: , (3.1.2) , (3.2.3) Endi bu chegaraviy masalani va ko’effisiyentlarini toppish bilan shug’ullanamiz. Buning uchun teskari spectral masalani yechishning Gelfand- Levitan usulidan foydalanamiz. (1.2.18) va (3.1.1) formulalardan foydalanib, funksiyani quyidagicha aniqlaymiz: , ya’ni . (3.1.4) 31 Bunda (1.2.15) formuladan aniqlanadi. Yuqoridagi (1.2.17) integral tenglamaga (3.1.4) ifodani qo’yib, quyidagi , ya’ni (3.1.5) munosabatni olamiz. Bu yerda (3.1.6) belgilashni kiritib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz: . (3.1.7) Buni (2.2.6) belgilashga qo‘yib, ni topamiz: . (3.1.8) (3.1.8) ni (3.1.7) tenglikka qo’yib, yechimni quyidagicha aniqlaymiz: . (3.1.9) va koeffisiyentlarni quyidagicha aniqlaymiz: 32 , (3.1.10) , (3.1.11) Avvalo (3.1.8) tenglikda deb quyidagi , (3.1.12) ifodani topamiz. So’ngra (3.1.8) tenglikni -o’zgaruvchi bo’yicha differensiallaymiz: , Bunda deb ushbu (3.1.13) munosabatni topamiz. (3.1.11) formuladan kelib chiqadi. 33 Shunday qilib, ushbu (3.1.14) (3.1.15) ko‘rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalar oilasini tikladik. Shuni alohida ta’kidlash joizki, biz tuzgan Shturm-Liuvill chegaraviy masalalar oilasining spektri, ushbu to‘plamdan iborat bo‘ladi. Xususan, bo‘lgan holda bo‘lib, bo‘ladi, ya’ni biz chegaraviy masalaga ega bo‘lamiz. Ravshanki, bunda . 1. Xususan ushbu , , 34 o’zgaruvchan koeffisiyentli xususiy hosilali differensial tenglamaning xos qiymatlari , xos funksiyalari va yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi: . Bu yerda , . 1. Xususan ushbu , , o’zgaruvchan koeffisiyentli xususiy hosilali differensial tenglamaning xos qiymatlari , xos funksiyalari va yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi: 35 . Bu yerda . Teorema-3.1.2. Aytaylik, haqiqiy sonlar ketma-ketliklari (1.2.1)- (1.2.2) chegaraviy masalaning spektral berilganlari bo’lsin. U holda quyidagi (2.2.16) tengliklar orqali aniqlangan ketma-ketliklar ham biror Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektral berilganlari bo’ladi. Bu yerda -berilgan musbat sonlar. Isbot. Avvalo (3.1.16) tengliklar bilan aniqlangan ketma- ketliklar (1.2.11) shartlarni qanoatlantirishini xuddi oldingi teoremadagi kabi ko’rsatamiz. Shuning uchun, spektri ushbu to’plamdan, koeffisiyentlari lardan iborat bo’lgan (1.2.1)- (1.2.2) ko’rinishdagi yagona Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi mavjud: , (3.1.17) (3.1.18) Endi bu chegaraviy masalaning koeffisiyentlarini toppish bilan shug’ullanamiz. Buning uchun teskari spectral masalani yechishning Gelfand-Levitan usulidan foydalanamiz. (1.2.18) formula va (3.1.16) spektral xarakteristikalar yordamida funksiyani tuzib olamiz: 36 . (3.1.19) Bu yerda (3.1.20) Endi funksiyaning (3.1.19) ko‘rinishidan va yuqoridagi (1.2.17) integral tenglamadan foydalanib funksiyani hisoblaymiz: (3.1.21) Bu yerda , (3.1.22) . (3.1.23) koeffisiyent quyidagi formuladan aniqlanadi: . (3.1.24) (3.1.21) ifodani (3.1.22) va (3.1.23) tengliklarga qo’yib quyidagi (2.2.25) munosabatlarni olamiz. (3.1.25) dan va hosilalarni hisoblaymiz: 37 (3.1.26) . (3.1.27) Yuqoridagi (3.1.25)-(3.1.27) tengliklarda deb , , va larni qiymatlarini topamiz: , (3.1.28) , (3.1.29) , (3.1.30) . (3.1.31) Endi ushbu (3.1.32) munosabatdan foydalanib, koeffisiyentni hisoblaymiz: . (3.1.33) 38 (3.1.19) tenglamaning potensialini quyidagicha aniqlaymiz: Teorema-3.1.3. Aytaylik, haqiqiy sonlar ketma-ketliklari (1.2.1)- (1.2.2) chegaraviy masalaning spektral berilganlari bo’lsin. U holda quyidagi (3.1.34) tengliklar orqali aniqlangan ketma-ketliklar ham biror Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektral berilganlari bo’ladi. Bu yerda -berilgan musbat sonlar. Isbot. Avvalo (3.1.34) tenglik bilan aniqlangan ketma-ketliklar (1.2.11) shartlarni qanoatlantirishini xuddi oldingi teoremadagi kabi ko’rsatamiz. Shuning uchun, spektri ushbu to’plamdan, koeffisiyentlari , lardan iborat bo’lgan, (1.2.1)- (1.2.2) ko’rinishdagi yagona Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi mavjud: , (3.1.35) . (3.1.36) Endi bu chegaraviy masalaning - koeffisiyentlarini toppish bilan shug’ullanamiz. Buning uchun teskari spectral 39 masalani yechishning Gelfand-Levitan usulidan foydalanamiz. (1.2.18) va (3.1.34) formulalardan foydalanib, ni aniqlaymiz: . (3.1.37) Bu yerda . (3.1.38) (3.1.37) ni yuqoridagi (1.2.17) integral tenglamaga qo’yib, ushbu , (3.1.39) munosabatni olamiz. Bu yerda . (3.1.40) (3. 1 . 39 ) ifodani (3. 1 .40) tasvirga qo’yib, ushbu (3.1.41) ketma-ketlikni topamiz. (3.1. 41 ) formulani o’zgaruvchi bo’yicha differensiallab, quyidagi (3.1.42) 40 ifodaga ega bo’lamiz. Yuqoridagi (3.1.41) va (3.1.42) formulalarda deb, quyidagi , (3.1.43) (3.1.44) tengliklarni olamiz. (3.1.44) ni o’ng tomoniga (3.1.43) ni qo’yib, ushbu (3.1.45) ketma-ketlikni topamiz. (3.1.43) va (3.1.45) lardan (3.1.36) chegaraviy shartlarning ikkinchisidan ushbu tenglikni topamiz. Bundan (3.1.46) formula kelib chiqadi. Yuqoridagi (1.2.20) formuladan foydalanib, (3.1.35) tenglamani koeffisiyentini topamiz: . (3. 1 .47) Bu yerda funksiya (3.1.41) formuladan topiladi. 41 3.2 §. ko’rinishdagi qisman-izospektral Shturm- Liuvill chegaraviy masalalar oilasini tiklash algoritmi Teorema-3.2.1. Aytaylik, haqiqiy sonlar ketma-ketliklari (1.2.1)- (1.2.3) chegaraviy masalaning spektral berilganlari bo’lsin . U holda quyidagi , , , , , (3.2.1) tengliklar orqali aniqlangan ketma-ketliklar ham biror Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektral berilganlari bo’ladi. Isbot. (3.2.1) tenglik bilan aniqlangan , ketma-ketliklar (1.1.11) shartlarni qanoatlantiradi. Shuning uchun, spektri ushbu to’plamdan, koeffisiyentlari , lardan iborat bo’lgan (1.2.1)-(1.2.3) ko’rinishdagi yagona Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi mavjud: , (3.2.2) (3.2.3) Endi bu chegaraviy masalani , -koeffisiyentlarini toppish bilan shug’ullanamiz. Buning uchun teskari spectral masalani yechishning Gelfand- Levitan usulidan foydalanamiz. (1. 2.18 ) va (3.2.1) formulalardan ni aniqlaymiz: (3.2.4) Yuqoridagi (1.2.17) integral tenglamaga (3.2.4) ni qo’yib quyidagi ifodaga ega bo’lamiz: 42 , (3.2.5) bu yerda , (3.2.6) . (3.2.7) (3.2.5) ifodani (3.2.6) va (3.2.7) tengliklarga qo’ib, ushbu (3.2.8) , (3.2.9) (3.2.10) . (3.2.11) tengliklarni olamiz. Bu yerda . (3.2.8) va (3.2.9) larni bo’yicha differensiallaymiz: , (3.2.12) 43 (3.2.13) va (3.2.14) (3.2.15) tengliklarga ega bo’lamiz. Bu yerda , , . (3.2.10) va (3.2.14) ifodalarda deb, quyidagi tengliklarga ega bo’lamiz: , (3.2.16) . (3.2.17) (3.2.3) chegaraviy shartdagi ikkinchi chegaraviy shartdan ni topamiz: 44 . (3.2.18) (1.2.21), (3.2.10) va (3.2.11) formulalardan, ni aniqlaymiz: (3.2.19) da limitga o’tib, chegaraviy shartlarga ega bo’lamiz, ya’ni . 1. Xususan ushbu , , o’zgaruvchan koeffisiyentli xususiy hosilali differensial tenglamaning xos qiymatlari , xos funksiyalari va yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi: . Bu yerda 45 , . 2. Xususan ushbu , , o’zgaruvchan koeffisiyentli xususiy hosilali differensial tenglamaning xos qiymatlari , xos funksiyalari va yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi: . Bu yerda . Teorema-3.2.2. Aytaylik, haqiqiy sonlar ketma-ketliklari (1.2.1)- (1.2.3) chegaraviy masalaning spektral berilganlari bo’lsin . U holda quyidagi (3.2.20) tengliklar orqali aniqlangan ketma-ketliklar ham biror Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektral berilganlari bo’ladi. 46 Isbot. (3.2.20) tengliklar bilan aniqlangan, ketma-ketliklar (1.2.11) shartlarni qanoatlantiradi. Shuning uchun, spektri ushbu to’plamdan, koeffisiyentlari , lardan iborat bo’lgan (1.2.1)-(1.2.3) ko’rinishdagi yagona Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi mavjud: , (3.2.21) (3.2.22) Endi bu chegaraviy masalaning , -koeffisiyentlarini toppish bilan shug’ullanamiz. Buning uchun teskari spectral masalani yechishning Gelfand- Levitan usulidan foydalanamiz. (1. 2.18 ) va (3.2.20) formularda ni topamiz: . (3.2.23) Yuqoridagi (1.2.17) integral tenglamaga (3.2.23) ni qo’yamiz va ushbu ifodani olamiz: (3.2.24) bu yerda , . (3.2.25) (3.2.24) ifodani (3.2.25) ga qo’yamiz , (3.2.26) 47 (3.2.27) va larni topamiz: (3.2.28) . (3.2.29) (3.2.26) va (3.2.27) larni bo’yicha differensiallaymiz: (3.2.30) 48 (3.2.31) va larni topamiz: (3.2.32) (3.2.33) (3.2.28), (3.2.29), (3.2.32) va (3.2.33) larda deb, quyidagilarni topamiz: 49 (3.2.34) , (3.2.35) (3.2.36) (3.2.37) (3.2.22) chegaraviy shartdagi koeffisiyentni aniqlaymiz: 50 . (3.2.38) (1.2.21), (3.2.28), (3.2.29), (3.2.32) va (3.2.33) lardan foydalanib, aniqlaymiz: (3.2.39) 1. Xususan ushbu , , o’zgaruvchan koeffisiyentli xususiy hosilali differensial tenglamaning xos qiymatlari , , xos funksiyalari va yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi: + Bu yerda , . 2. Xususan ushbu 51 , , o’zgaruvchan koeffisiyentli xususiy hosilali differensial tenglamaning xos qiymatlari , , xos funksiyalari va yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi: + Bu yerda . 52 XULOSA Dissertatsiya ishi Sh turm-Liuvill operatorlari uchun teskari spektral masalalarni o‘rganishga bag‘ishlangan. Asosiy tadqiqot natijalari quyidagilardan iborat: 1. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi spe k tral berilgan lar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalar i oilasini tiklash algoritmi qurildi ; 2. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi spe k tral berilgan lar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalar i oilasini tiklash algoritmi qurildi ; 3. Quyidagi ; 53 shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash algoritmi qurildi; 4. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash algoritmi qurildi; 5. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash algoritmi qurildi; 6. Quyidagi 54 shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm- Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash algoritmi qurildi; 7. Quyidagi , , , , , shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash algoritmi qurildi; 8. Quyidagi , , , , , shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash algoritmi qurildi; 55 Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati 1. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка.//Труды Москва.Матем.Об.ва.1952.Т1.с.327-420. 2. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. «Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции». – Изв. АН СССР, сер.мат. -1951, т.15. -с.309-360. 3. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988. 4. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. «Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка» // ДАН СССР. -1953. -т.88.-с.593-596. 5. Левитан Б.М. «Об определении дифференциального уравнения Штурма-Лиувилля по двум спектром» // Изв. АН СССР , сер . мат .-1964, т .28, №1, с .63-78. 6. Poschel J., Trubowitz E. Inverse spektral theory. // Academic Press, New York, 1987. 7. Jodeit M., Levitan B.M. The isospectrality problem for the classical Sturm-Liouville equation. // Advances in differential equations. 1997, v.2, № 2, p. 297-318. 8. M.Jodeit, B.M.Levitan. “The izospektrality problem fo some vektor boundray problems”// Russian journal of mathematical physics, vol.6, No.4, 1999, pp.375-393. 9. A.B.Hasanov. Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari nazariyasiga kirish. I. “Fan”. Toshkent – 2011. 10. A.B.Hasanov. Oddiy differensial tenglamalar nazariyasiga kirish. “ Turon - iqbol ”. Toshkent – 2019. 11. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007, 284 с 56 12. Namig J Guliyev . Inverse eigenvalue problems for Sturm-Liouville equations with spektral parameter linearly contained in one of the boundary conditions// arXiv:0803.0566v1 [math.SP] 4 Mar 2008. 13. Isaacson E.L., Trubowitz E. The inverse Sturm-Liouville problem I. // Comm. Pure Appl. Math, 1983, v. 36, p.767-783. 14. Isaacson E.L., McKean H.P., Trubowitz E. The inverse Sturm-Liouville problem II. // Comm. Pure Appl. Math. 1984, v. 37, p. 1-11. 15. Dahlberg B.E., Trubowitz E. The inverse Sturm-Liouville problem III. // Comm. Pure Appl . Math , 1984, v .37, p . 255-267. 16. Савчук А.М., Шкаликов А.А. О свойствах отображений, связанных с обратными задачами Штурма-Лиувилля. // Тр. МИАИ, 2002, Т. 260., с. 227- 247. 17. Ashrafyan Y.A., Harutyunyan T.N. Inverse Sturm-Liouville problems with fixed boundary conditions. // Electronic Journal of differential equations, (2015), v. 2015, №27, p.1-8. 18. Мирзаев О.Э., Хасанов А.Б. О семействах изоспектральных краевых задач Штурма-Лиувилля . Уфимский математический журнал. Том 12. №2(2020). с. 28-34. 19. О.Э. Мирзаев, А.Б. Хасанов. Изоспектралные операторы Штурма- Лиувилля на конечном отрезке. ДАН РУз. 2020, № 3, 3-9. 20. Мирзаев О.Э., Муродов Ф.М. Изоспектралные операторы Штурма- Лиувилля на конечном отрезке. Научный вестник СамГУ, 2020, № 3(121), 50- 55. 21. Амбарцумян В.А. Über eine Frage Eigenwerttheorie. Zeitschr , f ü r Physik , 53,1929, pp .690-695. 22. Алимов Ш.А. О работах А.Н.Тихонова по обратным задачи для уравнения Штурма-Лиувилля. УМН, 6(192), 1976, 84-88. 23. В.А.Марченко. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев «Наукова Думка» 1977. 57 24. Namig J Guliyev . Essentially isospectral transformations their applications. // Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923-)(2020)199:1621- 1648. 25. Levinson, Norman. The inverse Sturm-Liouville problem. Mat. Tidsskr. B , 1949 (1949), 25–30. 26. G.Borg . Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe: Bestimmung der Differentialgleichung durch die Eigenwerte. Acta Math .78:1-96, (1946). 27. А. Н. Тихонов. О единственности решения задачи электроразведки, ДАН 69:б: (1949), 797—800 28. Sakhnovich L. Half-inverse problem on the finite interval // Inverse Problems. 2001. Vol . 17, no . 3. P . 527-532. 29. И. Г. Хачатрян, О востановлении дифференциального уравнения по спектру, Функц. анализ и его прил., 1976, том 10, выпуск 1, 93-94. 30. Hochstadt H., Lieberman B. An inverse Sturm-Liouville problem with mixed given data // SIAM J. Appl. Math. 1978. Vol. 34, no. 4. P. 676-680. 58

IZOSPEKTRIAL SHTURM LIUVILL OPERATORLARI MUNDARIJA KIRISH………………………………………………………………. 3 I BOB Shturm-Liuvill operatori uchun teskari spektral masalalar 10 1.1§ L(q(x),h,H) ko’rinishdagi Shturm-Liuvill operatori uchun teskari spektral masalalar 1.2§ L(q(x),∞ ,H) ko ’rinishidagi Shturm-Liuvill operatori uchun teskari spektral masalalar II BOB L=L(q(x),h,H) ko’rinishidagi Izospektral SHturm-Liuvill chegaraviy masalalar 2.1§ Bir parametrga bog’liq izospektral SHturm-Liuvill chegaraviy masalasini qurish algoritmi 2.2§ Ikki parametrga bog’liq izospektral SHturm-Liuvill chegaraviy masalasini qurish algoritmi 2.3§ k parametrga bog’liq izospektral SHturm-Liuvill chegaraviy masalasini qurish algoritmi III BOB L(q(x), ∞ , H) ko’rinishdagi izospektral va qisman- izospektral SHturm- Liuvill chegaraviy masalalar 3.1§ L(q(x), ∞ , H) ko’rinishdagi izospektral chegaraviy masalalarni tiklash algoritmi 3 .2§ L(q(x,a), ∞ ,H(a)) ko’rinishidagi qisman- izospektral SHturm- Liuvill chegaraviy masalalar oilasini tiklash algoritmi XULOSA Foydalanilgan adabiyotlar 1

KIRISH Masalaning qo yilishi. ʻ Mazkur magistrlik dissertatsiyasi ishda 1. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi spe k tral berilgan lar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalar i oilasini tiklash; 2. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi spe k tral berilgan lar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalar i oilasini tiklash; 3. Quyidagi ; shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash; 4. Quyidagi 2

shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash; 5. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash; 6. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm- Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash; 7. Quyidagi 3

, , , , , shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash; 8. Quyidagi , , , , , shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash masalasi o rganilgan.ʻ Mavzuning dolzarbligi: Spektral analizning teskari masalalari turli sohalarda , jumladan kvant mexanikasida, radiotexnikada, fizika, elektronika, metereologiya, yer ichki qatlamlari elektrik xossalarini o’rganishda muhim o‘rin tutadi. Ushbu yo‘nalishda va ko’rinishdagi Shturm- Liuvill hamda operatorlari uchun izospektral va qisman-izospektral masalalarga oid tadqiqotlarni rivojlantirish dolzarb vazifalardan hisoblanadi. Hozirgi kunda teskari masalalar oddiy differensial operatorlarning ayrimlari uchungina yetarlicha to’liq o’rganilgan. Bu operatorlar orasida eng soddasi Shturm-Liuvill operatoridir. Bu operator uchun qo’yilgan teskari masalalar V.A.Ambarsumyan [59], G.Borg[73], A.N.Tixonov[74], N.Levinson[72], V.A.Marchenko [1], I.M.Gelfand, B.M.Levitan [2,4], M.G.Gasimov [8], Z.L.Leybenzon[77], L.A.Saxnovich[76], I.G.Xachatryan[78], X.Xoxshtadt B.Liberman[79], V.A.Yurko[21], I.S.Frolov[63], M.Ablovits, X.Sigur, T.V.Misyura[67,68], E.Korotyaev[64,65,66], S.Albeverio, R.Xruniv, Ya.Mukutyuk [52], A.B.Xasanov[69], A.B.Xasanov, A.B.Yaxshimuratov[70], A.B.Yaxshimuratov[71] va boshqa olimlar tomonidan o’rganilgan. Teskari masalalar nazariyasining rivojiga muhim turtki bo’lgan ilk natija 1929-yilda V.A.Ambarsumyan tomonidan olingan. 1946-yilda G.Borg Shturm- 4

Liuvill chegaraviy masalasi uchun teskari spektral masalani o’zgacha qo’yishni taklif qilgan. Jumladan, u Shturm-Liuvill operatori faqat bitta chegaraviy sharti bilan farq qiluvchi ikki Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektrlari yordamida yagona tarzda aniqlanishini ko’rsatib bergan. Borgning yagonalik teoremasi 1949-yilda L.A.Chudov tomonidan chegaraviy shartlar ancha umumiyroq bo’lgan holda o’rganilgan. 1949-yilda A.N.Tixonov yarim o’qda berilgan Shturm-Liuvill operatorini “impedans” funksiyasi (ya’ni Veyl- Titchmarshning funksiyasi) yordamida yagona tarzda qurish mumkinligi haqidagi teoremani isbotlashga muvaffaq bo’ldi. Veyl-Titchmarshning , ya’ni impedans funksiyasi bo’yicha chiziqli oddiy differensial operatorni qurish algoritmi V.A.Yurko tomonidan batafsil o’rganilgan. Spektral analizning teskari masalasini yechishda almashtirish operatorlari ilk bor V.A.Marchenko, so’ngra I.M.Gelfand va B.M.Levitan tomonidan qo’llanilgan. 1950-yilda V.A.Marchenko Shturm-Liuvill operatori o’zining spektral funksiyasi, ya’ni xos qiymatlar va , normallovchi o’zgarmaslar orqali, yagona aniqlanishini ko’rsatib berdi. V.A.Marchenko yagonalik teoremasi e’lon qilingandan keyin spektral funksiya, ya’ni spektral berilganlar bo’yicha Shturm-Liuvill operatorini tiklash masalasi dolzarb bo’lib qolgan. Bu masala 1951-yilda I.M.Gelfand va B.M.Levitan tomonidan yechilgan. So’ngra teskari masalani yechishning Gelfand-Levitan usuli B.M.Levitan, M.G.Gasimov va N.Levinsonlar tomonidan takomillashtirilgan. Hozirgi kunga kelib teskari masalani yechishning bir nechta usullari bor. Bu usullar orasida Gelfand-Levitan usuli muhim o’rin egallaydi. Bu usulda almashtirish operatori asosiy rolni o’ynaydi. Usulning asosiy bosqichlaridan biri almashtirish operatorining yadrosiga nisbatan olingan chiziqli integral tenglamadir. Keyingi teskari masala G.Borg yagonalik teoremasi isbotlangandan keyin hosil bo’lgan teskari masaladir. Bu teskari masalani yechish algoritmi ilk bor M.G.Kreyn tomonidan ishlab chiqildi. So’ngra bu algoritm berilgan spektrlar tilida 5

O'xshashlar

Shturm-Liuvill MASALASI
Adsorbsiyani hisobga olib fraktal tuzilishli g`ovak muhitlarda modda ko`chishi jarayonlarini matematik modellashtirish
Iogann Volfgang fon Gyotening hayoti va ijodi.
Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning tadbiqi
USMONIYLAR DAVLATI. TURKLARNING YEVROPAGA HARBIY YURISHLARI.