Panjaradagi bir zarrachali Schr¨odinger operatori spektri va unga mos giperbolalar oilasi

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

491.37890625 KB

Ko'chirib olish

MUNDARIJA
1 Hilbert fazolarida o'z-o'ziga qo'shma operatorlarning ba'zi xossalari 4 1.1 Ichki ko'paytmali Vektor fazolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.2 Hilbert fazolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.2.1 Hilbert fazosida qism to'plamlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.2.2 Chekli va cheksiz o'lchamli Hilbert fazolari . . . . . . . . . . . . . .13
1.2.3 Hilbert fazosining qism fazosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
1.3 Hilbert fazosida chiziqli operatorlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
1.4 O'z-o'ziga qo'shma operatorlarning xossalari . . . . . . . . . . . . . . . . .26
1.5 Musbat operatorlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
1.6 Kompakt operatorlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
1.7 Hilbert fazolarida aniqlangan operatorlarning spektri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
1.8 Unitar ekvivalent operatorlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
2 Panjaradagi ikki zarrachali sistemaga mos diskret Schr�odinger operatori 38
2.1 Koordinata tasviri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
2.2 Impuls tasviri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
3 H
�� (
k ) operatorning xos qiymatlari soni va ularning joylashgan o'rni 45
3.1 H
�� (
k ); k 2T operatorning muhim spektri. . . . . . . . . . . . . . . . .45
3.2 H
�� (
k ); k 2T operatorga mos Fredgolm determinanti. . . . . . . . . . .46
3.2.1 D(�; � ;k; z ) determinantning nollari soni va joylashgan o'rni . . .51
3.3 Asosiy natijalar bayoni va ularning isbotlari. . . . . . . . . . . . . . . . . .58

Kirish
Masalaning qo'yilishi. Bir o'lchamliZpanjarada ^ v
�� ; �; �
2R;
potensial yordamida tasirlashuvchi ikki zarrachali sistema energiya oper-
atoriga mos diskret b
H �� (
k ) = b
H 0(
k ) + b
V �� Schr�odinger operatorlarining
keng sin�ni tadqiq qilish. Bir o'lchamli panjaradagi ikki zarrachali b
H �� (
k ) Schr�odinger operatori
tashqi ta'sir energiyasi �; �2R parametrlar orqali berilganda har bir
k 2 T uchun uning �
ess (b
H �� (
k )) muhim spektridan tashqaridagi xos qiy-
matlarining aniq sonini va joylashgan o'rnini topishga doir teoremalarni
isbotlash. Mavzuning dolzarbligi. Ikki zarrachali diskret Schr�odinger operator-
larining spektral xossalari keyingi yillarda faol o'rganilmoqda (masalan [1],
[7], [8], [14], [21]larni qarang). Uzluksiz Schr�odinger operatori muhim spektrning chapida yotuvchi disk-
ret spektri (xos qiymatlari)ning mavjudligi faqat zarrachalar ta'sir ener-
giyasi �b
V ; � > 0 ga bog'liq bo'ladi ([3]-[5]).
Ammo, ikki zarrachali diskret Schr�odinger operatorlari uchun xos qiy-
matlarning mavjudligi va soni faqatgina ta'sir potentsiali �b
V ga bog'liq
bo'lmasdan balki sistema kvazi-impulsiga ham bog'liqdir.
O'lchami d� 3 bo'lgan panjarada ikkita ixtiyoriy zarrachali sistemaga
mos diskret Schr�odinger operator b
H (k ) ning diskret spektri mavjudligi sis-
tema kvazi-impulsining barcha qiymatlari uchun [1] da o'rganilgan. Uch o'lchamli panjaradagi Schr�odinger operatorlari uchun xos qiymat-
larning mavjudligi va xos qiymatlar o'rnining kontakt va qo'shni tugun-
larda juft-jufti bilan o'zaro ta'sirlashuvchi potentsialga bog'liqligi [20] da
keltirilgan. Schr�odinger operatori b
H (k ) ning xos qiymatlari soni uchun chegaralar
[3] va [4] maqolalarda keltirilgan. Xususan, b
H (k ) operatorning muhim
spektridan chapda xos qiymatlarning mavjudligi ko'rsatilgan. Dissertatsiya ishining maqsadi va vazifalari. Ushbu magistrlik dis-
sertatsiya ishida bir o'lchamli panjaradagi ikki zarrachali b
H �� (
k ) Schr�odinger
operatori tashqi ta'sir energiyasi �; �2R parametrlar orqali berilganda
2

har bir
k2 T uchun uning �
ess (b
H �� (
k )) muhim spektridan tashqaridagi
xos qiymatlarining aniq sonini va joylashgan o'rnini topish haqida teore-
malarni isbotlash. Ilmiy yangiligi. Bir o'lchamli panjaradagi ikki zarrachali b
H �� (
k ) Schr�odinger
operatori tashqi ta'sir energiyasi �; �2R parametrlar orqali berilganda
har bir k2 T uchun uning �
ess (b
H �� (
k )) muhim spektridan tashqaridagi
xos qiymatlarining aniq sonini va joylashgan o'rnini topish haqida teore-
malar isbotlangan. Tadqiqot usullari. Matematik �zika va funksional analiz usullaridan
foydalanildi. Dissertatsiyaning tuzilishi. Magistrlik dissertatsiyasi kirish, uchta
bob, xulosa va adabiyotlar ro'yxatidan tashkil topgan. Kirish qismida masalaning qo'yilishi, qo`yilgan masalaning dolzarbligi
va olingan natijalarning ilmiy yangiligi asoslangan. Birinchi bobda asosiy natijalarni olishda zarur bo'lgan tushuncha, ta'rif
va teoremalar, jumladan chiziqli fazo, ichki ko`paytmali fazo, Hilbert fazo-
lari hamda, Hilbert fazolarida aniqlangan chiziqli chegaralangan, o'z-o'ziga
qo'shma operatorlarning ba'zi xossalari keltirilgan. Ikkinchi bobda bir o'lchamli Zpanjarada ^ v
�� ; �; �
2R;potensial yor-
damida ta'sirlashuvchi ikki zarrachali sistema energiya operatoriga mos
diskret b
H �� (
k ) = b
H 0(
k ) + b
V �� Schr�odinger operatorining koordinata va
impuls ko'rinishlari keltirilgan, hamda uning `2
;e
(Z ) Hilbert fazosida chiz-
iqli chegaralangan, o'z-o'ziga qo'shma operator ekanligi ko'rsatilgan.
Uchinchi bobda bir o'lchamli panjaradagi ikki zarrachali b
H �� (
k ) Schr�odinger
operatori tashqi ta'sir energiyasi �; �2R parametrlar orqali berilganda
har bir k2 T uchun uning �
ess (b
H �� (
k )) muhim spektridan tashqaridagi
xos qiymatlarining aniq sonini va joylashgan o'rnini topish haqida teore-
malar keltirilgan va isbotlangan.
3

BOB 1
Hilbert fazolarida o'z-o'ziga qo'shma
operatorlarning ba'zi xossalari
1.1 Ichki ko'paytmali Vektor fazolar
Faraz qilamiz, Vto'plamda elementlarni qo'shish va kompleks (haqiqiy)
songa ko'paytirish amallari kiritilgan bo'lsin. Agar Vto'plamda kiritilgan qo'shish amali uchun ushbu
1.Yopiqlik: 8x; y 2V uchun, x+ y2 V,
2.Kommutativlik: 8x; y 2V uchun, x+ y= y+ x,
3.Assotsiativlik: 8x; y; z 2V uchun, ( x+ y) + z= x+ ( y+ z) ,
4.Neytral yoki nol element mavjudligi: 9� 2V :8x 2 V ; x + � =
� + x= x,
5.Qarama-qarshi element mavjudligi: 8x 2 V uchun 9�x2 V :x +
( � x) = � , va ko'paytirish amali uchun
1.Yopiqlik: 8� 2 C(R ) va 8x 2 V uchun �x2V,
2.Assotsiativlik: 8�; � 2C(R ) va 8x 2 V uchun �(� x ) = ( ��)x ,
3.1 x= x; 8x 2 V,
4.( �+ �)x = �x +� x; 8�; � 2C(R ) va 8x 2 V,
5. �(x + y) = �x+� y; 8� 2 C(R ) va 8x; y 2V
munosabatlar ba jarilsa, Vto'plam vektor fazo yokichiziqli fazo deb
ataladi. Sonlar maydonining kompleks Cyoki Rhaqiqiy bo'lishiga qarab,
vektor fazolar mos ravishda kompleksyokihaqiqiy vektor fazolar deb
yuritiladi.
4

Misol 1.1.1.
Z1
� butun sonlar to'plami yordamida Zd
= Z1
� Z1
� � � Z1
| {z }
d marta
ya'ni uning dmarta o'z-o'ziga Dekart ko'paytmasini aniqlaymiz. Bu to'plam
d o'lchamli butun qiymatli panjara deyiladi. Demak,
Z d
= fs = ( s
1; s
2; :::; s
d) :
s
k 2
Z1
; k = 1 ; :::d g:
Z d
panjarada selementning moduli deb js j = d
P
k =1 j
s
kj
songa aytiladi.
Quyidagi shartni qanoatlantiruvchi barcha f:Z d
! Cfunksiyalar fazosini
qaraymiz: X
s 2 Zd j
f (s )jp
< 1;
bunda pbiror tayinlangan musbat son. Ushbu fazoda qo'shish va songa
ko'paytirish amallarini quyidagicha kiritamiz: 1.8f ; g uchun
(f + g)( x) = f(x ) + g(x );
2. 8� 2 C va fuchun
(�f )(x) = �f(x ):
Nol element �(x) � 0:f (�) ga qarama-qarshi element �f(�) kabi aniqlanadi.
Hosil bo'lgan fazo `
p(
Z d
) kabi belgilanadi va chiziqli fazo bo'ladi.
Darhaqiqat, agar f2 `
p(
Z d
) bo'lsa, yaqinlashuvchi qatorning xossalariga
binoan ixtiyoriy �2 C uchun �f2`
p(
Z d
) bo'ladi. 8f ; g 2`
p(
Z d
) uchun
f + g2 `
p(
Z d
) ekanligi Minkovskiy tengsizligiga asoslanadi. Demak `
p(
Z d
)
fazo qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nisbatan yopiq.
Misol 1.1.2. Faraz qilamiz, T1
= ( ��; � ]bo'lsin. T1
da qo'shish va
songa ko'paytirish amallarini haqiqiy sonlarni 2� modul bo'yicha qo'shish
va songa ko'paytirish sifatida kiritamiz, masalan
� 2
+
�= 3
� 2
=
�� 2
(
mod 2� );
6 �� 5
= 2
�� 4
� 5
=
�4
� 5
(
mod 2� ):
Ushbu to'plam bir o'lchamli tor deb ataladi.Td
bilan do'lchamli tor,
ya'ni Td
= T1
� T1
� � � T1
| {z }
d marta
ni belgilaymiz.
5

d
o'lchamli tor Td
da aniqlangan, Haar ma'nosida o'lchovga ega va
Z
T d j
f (q )jp
dq < 1
shartni qanoatlantiruvchi barcha f:T d
! Cfunksiyalarning chiziqli fa-
zosini qaraymiz, bunda integralda o'lchov Haar ma'nosida olinadi va p
tayinlangan musbat son. Elementlarni qo'shish va songa ko'paytirish odatdagi
funksiyalarni qo'shish va songa ko'paytirish kabi, ya'ni 1.1.7 misoldagidek
kiritiladi. Hosil bo'lgan fazo L
p(
T d
) kabi belgilanadi. Demak, bu fazoning
elementlari Rd
da aniqlangan va har bir o'zgaruvchisi bo'yicha 2� davrga
ega bo'lgan funksiyalardir. Bu yerda ham ushbu fazo qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nis-
batan yopiq: agar f2 Td
bo'lsa, integralning xossalariga ko'ra ixtiyoriy
8 � 2 C uchun �f2L
p(
T d
) bo'ladi. 8f ; g 2L
p(
T d
) uchun f+ g2 L
p(
T d
)
ekanligi esa Minkovskiyning integral tengsizligidan kelib chiqadi. Nol ele-
ment �(x) � 0kabi, f(�) ga qarama-qarshi element �f(�) kabi aniqlanadi.
Demak, L
p(
T d
) ham chiziqli fazo bo'ladi.
Misol 1.1.3. [a; b ]da aniqlangan va shu segmentdagi hamma kritik nuq-
talari aynimagan bo'lgan funksiya Morse funksiyasideyiladi.[a; b ]da
aniqlangan Morse funksiyalari to'plami M[a; b ]kabi belgilanadi. Biroq,
qo'shish va songa ko'paytirish amallari odatdagidek kiritilsa, M[a; b ]chiz-
iqli fazo bo'lmaydi. Xususan, M[� 1;1] da x2
va �x2
funksiyalar Morse
funksiyalari bo'ladi, ammo uning yig'indisi x2
+( �x2
) = 0 Morse funksiyasi
emas.
Vchiziqli fazo bo'lsin. Agar p:V ! Rakslantirish
1. p(x ) � 0; 8x 2 V va p(x ) = 0 !x= 0 ,
2. p(�x ) = j� jp (x ); 8 x 2 V va 8� C ,
3. p(x + y) � p(x ) + p(y ); 8x; y 2V
munosabatlarni qanoatlantirsa, unga Vfazoda aniqlangan normadey-
iladi. Norma aniqlangan fazolar normalangan fazolardeyiladi. Bitta
chiziqli fazo normaning aniqlanishiga ko'ra bir necha xil normalangan fa-
zolarga aylantirilishi mumkin. Odatda norma k � kkabi belgilanadi.
Misol 1.1.4. `1
1 (
Z d
); `
0(
Z d
) va `
p(
Z d
); p > 0fazolarda normani
k f k = sup
x2 Zd j
f (x )j
funksional yordamida kiritish mumkin.
6

Misol 1.1.5.
`
p(
Z d
) fazoda norma
kf k
p =
p
s X
x 2 Zd j
f (x )jp
kabi kiritiladi.
Misol 1.1.6. L
p(
T d
); p > 0fazoda normani quyidagicha kiritish mumkin:
k f k
p =
p
v
u
u
t Z
T d j
f (q )jp
dq:
V chiziqli fazo bo'lsin.
Ta'rif 1.1.1. Agar(�; �) : V�V ! Cfunksional 8x; y; z 2V va8� 2 C
uchun ushbu munosabatlarni qanoatlantirsa:
1. (x; x )� 0;(x; x ) = 0 !x= 0 ;
2. (x + y; z ) = ( x; z) + ( y; z);
3. (�x; y ) =�(x; y );
4. (x; y ) = (
y; x ),
u holda Vvektor fazo ichki(skalyar) ko'paytmali fazo deyiladi.(�; �)
funksional esa ichki ko'paytma yokiskalyar ko'paytma deyiladi.
Misol 1.1.7. Rn
da
(x; y ) = n
X
k =1 x
ky
k
funksional ichki ko'paytmani aniqlaydi.
Misol 1.1.8. Cn
da
(x; y ) = n
X
k =1 x
k y
k
funksional ichki ko'paytmani aniqlaydi.
Misol 1.1.9. `
2(
Z d
) da ichki ko'paytma quyidagicha kiritiladi:
(f ; g ) = X
s 2 Zd f
(s ) g
(s ):
7

Misol 1.1.10.
L
2(
T d
) da ichki ko'paytma quyidagicha kiritiladi:
(f ; g ) = Z
T d f
(p ) g
(p )dp:
Izoh 1.1.1. AgarTd
da Haar o'lchovidan boshqa biror sanoqli-additiv �
o'lchov kiritilgan bo'lsa, hosil bo'lgan fazo L
2(
T d
; d� )kabi belgilanadi.
Ichki ko'paytma kiritilgan fazolarda xva yelementlar uchun ( x; y) = 0
tenglik ba jarilsa, ular ortogonal elementlar deyiladi. AgarVichki
ko'paytmali fazoda fx
�g �
Vvektorlar sistemasi ( x
�; x
�) = 1 va (
x
�; x
�) =
0 ; � 6
= � munosabatlarni qanoatlantirsa, u holda bu sistema ortogonal
normalangan sistema (qisqacha ONS) deyiladi.
Ushbu belgilashni kiritamiz: kx k = p (
x; x ) .
Teorema 1.1.1 (Pythagoras teoremasi ). Faraz qilamiz, fx
ng N
n =1 �
V ichki
ko'paytmali Vfazodagi ONS bo'lsin. U holda istalgan xuchun
k x k2
= N
X
n =1 j
( x; x
n)
j2
+ kx � N
X
n =1 (
x; x
n)
x
nk 2
tenglik o'rinli.
Isbot 1. xni quyidagicha yozib olamiz:
x = N
X
n =1 (
x; x
n)
x
n + (
x� N
X
n =1 (
x; x
n)
x
n) =
y+ z:
Ichki ko'paytmaning xossalari va sistemaning ONS ekanidan
( y; z ) = ( N
X
n =1 (
x; x
n)
x
n; x
� N
X
n =1 (
x; x
n)
x
n) = N
X
n =1 j
( x; x
n)
j2
� N
X
n =1 j
( x; x
n)
j2
= 0 ;
ya'ni yva zo'zaro ortogonal ekanini ko'ramiz. Shuning uchun
k x k2
= ( x; x ) = ( y+ z; y +z) = ( y; y) + ( z; z) = ky k2
+ kzk 2
:
f x
ng N
n =1 ONS ekanidan (
y; y) = N
P
n =1 j
( x; x
n)
j2
tenglikni hosil qilamiz. Teo-
rema isbotlandi. N
Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.
8

Natija 1.1.1
(Bessel tengsizligi ). Faraz qilamiz fx
ng N
n =1 �
V ONS bo'lsin.
U holda istalgan x2 V uchun
kx k2
� N
X
n =1 j
( x; x
n)
j2
tengsizlik o'rinli.
Natija 1.1.2 (Schwartz tengsizligi ). ichki ko'paytmali fazodagi istalgan x
va yvektorlar uchun
j( x; y )j � k xkk yk
tengsizlik o'rinli.
Isbot 2. Agary= 0 bo'lsa tenglik o'rinli, aks holda y=ky k vektor ortonor-
mal sistema hosil qiladi. Bessel tengsizligiga binoan
kx k2
� j (x; y= ky k)j2
= j
( x; y )j2 k
y k2 :
Bu yerdan j( x; y )j � k xkk yk .N
Teorema 1.1.2. Istalgan ichki ko'paytmali Vfazo kx k = p (
x; x )norma
yordamida normalangan fazo bo'ladi.
Isbot 3. Ichki ko'paytmaning xossalaridan normaning 1-2 shartlari ba jaril-
ishi kelib chiqadi. 3-shartning ba jarilishini isbotlaymiz. Aytaylik, x; y2V.
U holda Schwartz tengsizligiga ko'ra:
kx + yk2
= ( x+ y; x +y) = ( x; x) + ( x; y) + ( y; x) + ( y; y) =
= ( x; x ) + 2 Re(x; y ) + ( y; y)�
� (x; x ) + 2 j( x; y )j + ( y; y )�
( x; x ) + 2( x; x)1
=2
(y; y )1
= 2
+ ( y; y ) =
= ( kx k + ky k)2
:
Demak, kx + yk � k xk + ky k: N
Ushbu teoremadan ichki ko'paytmali fazoda kiritilgan ichki ko'paytmadan
foydalanib, normani aniqlash mumkin ekanligi kelib chiqadi. Normalangan
fazolarda esa kiritilgan normadan foydalanib, ichki ko'paytmani aniqlash
masalasi quyidagi ayniyatga asoslanadi:
kx + yk2
+ kx � yk2
=( x+ y; x +y) + ( x� y; x �y) = (1.1.1)
=2( x; x) + 2( y; y) = 2 kx k2
+ 2 ky k2
:
Bu tenglik paral lelogramm ayniyati deyiladi.
9

Teorema 1.1.3.
Normalangan fazoda ichki ko'paytmani berilgan norma
orqali kiritish uchun parallelogram ayniyatining bajarilishi zarur va yetarli;
bu holda ichki ko'paytma norma orqali quyidagicha ifodalanadi:
�kompleks normalangan fazolar uchun
(x; y ) = 1 4
f
(k x + yk2
� k x� yk2
) � i( k x + iyk2
� k x� iyk2
)g
� haqiqiy normalangan fazolar uchun
(x; y ) = 1 4
(
k x + yk2
� k x� yk2
)
Faraz qilamiz, Vnormalangan vektor fazo bo'lsin.
Ta'rif 1.1.2. Agarfx
ng 1
n =1 �
V ketma-ketlik uchun Cauchiy sharti ba-
jarilsa, yani 8" > 0uchun 9n
0 2
N mavjud bo'lib, 8n; m > n
0lar uchun
k x
n �
x
m k
< " tengsizlik bajarilsa, u holda bu ketma-ketlik fundamental
ketma-ketlik yokiCauchiy ketma-ketligi deb ataladi.
Yuqorida zikr etilgan Cauchiy ketma-ketligi ta'ri� quyidagi ta'rifga ekvi-
valentdir: 8" > 09n
0 2
N mavjud bo'lib, 8n > n
0va
8p 2 N uchun
k x
n+ p�
x
nk
< " munosabat ba jarilsa fx
ng
ketma-ketlik Cauchiy ketma-
ketligi deyiladi.
Ta'rif 1.1.3. Agarfx
ng
ketma-ketlik uchun shunday x
0 2
H element
topilib,
lim
n !1 k
x
n �
x
0k
= 0
munosabat bajarilsa, bu ketma-ketlik x
0 elementga yaqinlashuvchi
(yoki
oddiygina yaqinlashuvchi ) ketma-ketlik deyiladi.
Ta'rif 1.1.4. AgarVfazodagi istalgan fundamental ketma-ketlik yaqin-
lashuvchi bo'lsa, u to'la fazodeyiladi.
Odatda to'la normallangan fazolrni Banach fazolarideb ataydilar.Q
Banach fazosi emas. Biroq ko'rsatish mumkinki, Rva Cfazolar Banach
fazolari bo'ladi.
1.2 Hilbert fazolari
Ta'rif 1.2.1. Ichki ko'paytma kiritilgan va uning yordamida aniqlangan
normaga nisbatan to'la chiziqli normallangan fazo Hilbert fazolaridey-
iladi.
Yuqorida aniqlangan Rn
;C n
; ` 2(
Z d
); L
2(
T d
) fazolar Hilbert fazolaridir.
10

1.2.1 Hilbert fazosida qism to'plamlar
Faraz qilamiz, H- Hilbert fazosi bo'lsin. Ushbu
B (x
0; r
) = fx 2 H :kx � x
0k
< r g
to'plam Hdagi markazi x
0 nuqtada va radiusi
rga teng bo'lgan ochiq
shar deyiladi. Xuddi shunday
B[x
0; r
] = fx 2 H :kx � x
0k �
rg
to'plam Hdagi markazi x
0 nuqtada va radiusi
rga teng bo'lgan yopiq
shar deyiladi. x
0 2
H nuqtaning atro� deganda markazi shu nuqtada
bo'lgan ixtiyoriy ochiq sharni tushunamiz. x
0 2
H nuqtaning "atro�
deganda esa B(x
0; "
) sharni tushunamiz.
Ta'rif 1.2.2. AgarM�H to'plam biror B(x
0; r
) sharda saqlansa, u
chegaralangan to'plam deyiladi.
Ta'rif 1.2.3. Mto'plam Hning biror qism to'plami bo'lsin. Agar har bir
x 2 M nuqta biror atro� bilan Mga tegishli bo'lsa, bu to'plam Hfazoda
ochiq to'plam deyiladi.
Agar x
0 2
H nuqtaning istalgan atro�da Mning biror elementi mavjud
bo'lsa, u holda bu nuqta Mning urinish nuqtasi deyiladi.Mto'plam-
ning barcha urinish nuqtalari to'plami uning yopig'ideb ataladi va [ M]
kabi belgilanadi. Tushunarliki, M�[M ] .
Ta'rif 1.2.4. AgarM= [M]bo'lsa, Myopiq to'plam deyiladi.
Faraz qilamiz, H� Hilbert fazosi, MvaNuning qism to'plamlari bo'lsin.
Agar M�[N ] munosabat ba jarilsa, Nto'plam Mda zich deyiladi. Misol
uchun irratsional sonlar to'plami ratsional sonlar to'plamida zich. Xususan,
agar M= [H] bo'lsa, Mto'plam Hda zich deyiladi. Agar Mto'plam
H dagi birorta ham sharda zich bo'lmasa bu to'plam Hning hech qay-
erida zich emas deyiladi. Misol uchun butun sonlar to'plami Z1
haqiqiy
sonlar fazosi R1
ning hech qayerida zich emas.
Ta'rif 1.2.5. Agar Hilbert fazosida hamma yerda zich sanoqli to'plam
mavjud bo'lsa, u separabel Hilbert fazosi deyiladi.
Misol 1.2.1. L
2(
T d
) separabel Hilbert fazosi bo'ladi. Bu fazoda qiymatlari
to'plami chekli yoki sanoqli bo'lgan kompleks qiymatli funksiyalar to'plami
11

zich. Haqiqatan ham haqiqiy qiymatli
g(x ) funksiya uchun barcha x2 Td
larda g(x ) � 1 n
�
[
ng (x )] n
�
g(x )
va demak lim
n !1 [
ng (x )] n
=
g(x )
munosabatlar bajariladi, bunda [q ]� q ning butun qismi. Endi agar istalgan
f 2 L
2(
T d
) uchun
fn(
x ) = [
nRef (x )] n
+
i[
nI mf (x )] n
ketma-ketlikni aniqlasak, bu ketma-ketlikning qiymatlari to'plami chekli yoki
sanoqli va shuningdek, f
n(
x ) ! f(x ); n ! 1 . Qiymatlari chekli yoki
sanoqli bo'lgan funksiyalar odatda sodda funksiyalardeyiladi. Sodda
funksiyalar esa sanoqlidir.
Demak, L
2(
T d
) separabel Hilbert fazosi bo'ladi.
Misol 1.2.2. `
2(
Z d
) ham Hilbert fazosidir. Bu fazoda ushbu to'plamni
aniqlaymiz:
Pn =
f^
f 2 `
2(
Z d
) : ^
f (s ) = 0 ;agar js j > n g;
bunda nchekli natural son.
U= [
n 2 N ;n< 1P
n
bo'lsin. Tushunarliki, U`
2(
Z d
) da zich. Chunki ixtiyoriy " >0va istalgan
^
f 2 `
2(
Z d
) uchun shunday n
0 2
N mavjudki, 8n > Nlarda
X
s 2 Zd
;j s j>n j
^
f (s )j2
< "
munosabat bajariladi. Bundan foydalanib, ^
f n(
s ) = �
^
f (s ); agar js j � 0;
0 ; agar js j > n:
funksiyalar ketma-ketligini qursak, u holda ^
f n 2
U va
lim
n !1 k
^
f n � ^
f k = 0
ya'ni, Uning `
2(
Z d
) da zichligi kelib chiqadi. Agar U
q deb
Udagi rat-
sional qiymatli funksiyalar to'plamini belgilasak, unda U
q to'plam
Uda
va demak `
2(
Z d
) da zich. U
q to'plam sanoqli ekanligidan
`
2(
Z d
) ning sep-
arabel ekanligi kelib chiqadi.
12

Misol 1.2.3.
Faraz qilaylik, H
1 va
H
2 Hilbert fazolari bo'lsin. Birinchi
elementi H
1 dan va ikkinchi elementi
H
2 dan olingan, mumkin bo'lgan
barcha juftliklar to'plamini qaraymiz:
fhx; y i:x 2 H
1; y
2H
2g
:
Bu to'plamda qo'shish va songa ko'paytirish kompleks sonlarda aniqlan-
ganidek aniqlanadi:
�hx
1; y
1i
+ �hx
2; y
2i
= h�x
1+
� x
2; �y
1+
� y
2i
:
Agar ichki ko'paytmani (h x
1; y
1i
; hx
2; y
2i
) = ( x
1; x
2)
H 1+ (
y
1; y
2)
H 2
kabi kiritsak, hosil bo'lgan fazo Hilbert fazosi bo'ladi va u H
1va
H
2Hilbert
fazolarning to'g'ri yig'indisi deyiladi hamdaH
1�
H
2 kabi belgilanadi.
Izoh 1.2.1. Bu ta'rifdan chekli yoki sanoqli sondagi Hilbert fazolarining
to'g'ri yig'indisini kiritishda ham foydalanish mumkin.
1.2.2 Chekli va cheksiz o'lchamli Hilbert fazolari
Chiziqli fazoning o'lchami odatda unda mavjud bo'lgan chiziqli bog'lan-
magan elementlarning maksimal soni bilan aniqlanadi. Agar biror n2 N
uchun Vchiziqli fazoda nta chiziqli erkli vektor topilib, istalgan n+ 1 ta
vektor chiziqli bog'langan bo'lsa, u holda bu fazoni no'lchamli chiziqli
fazo deymiz. Agar istalgan natural nuchun Vda nta chiziqli erkli
vektor mavjud bo'lsa, bu vektor fazo cheksiz o'lchamlideyiladi. Misol
uchun Cn
fazo no'lchamli (chekli o'lchamli) Hilbert fazosi, L2
(T ) esa
cheksiz o'lchamli chunki unda
f1;cos t;sin t;cos 2 t;sin 2 t; : : : g
vektorlar sistemasi chiziqli bog'lanmagan. Ma'lumki, no'lchamli fazoda ix-
tiyoriy chiziqli bog'lanmagan nta vektor yordamida shu fazoning bazisini
qurish mumkin. Bunda bazisdeganda shunday vektorlar sistemasi tushuni-
ladiki, sistema chiziqli erkli va fazoning istalgan elementini shu sistema ele-
mentlarining chiziqli kombinatsiyasi sifatida ifodalanadi. Cheksiz o'lchamli
Hilbert fazolari ham bunday xossaga egami? Quyida shu savolga javob
beramiz.
13

Teorema 1.2.1
(Gram-Schmidtning ortogonallashtirish jarayoni ). Faraz
qilamiz, f1; f
2; : : : ; f
n; : : :
(1.2.1)
H Hilbert fazosidagi chiziqli bog'lanmagan(erkli) elementlar sistemasi bo'lsin.
U holda Hda shunday
�1; �
2; : : : ; �
n; : : :
(1.2.2)
sistema topiladiki, u ushbu munosabatlarni qanoatlantiradi:
1. (1.2.2) sistema ortonormal;
2.har bir �
n vektor ushbu
f
1; f
2; : : : ; f
nvektorlarning chiziqli kombinat-
siyasidan iborat:
�n =
a
n1f
1 +
a
n2f
2 +
: : : +a
nn f
n; a
nn6
= 0;
3.har bir f
n vektor ushbu
�
1; �
2; : : : ; �
nvektorlarning chiziqli kombi-
natsiyasidan iborat:
fn =
b
n 1�
1 +
b
n 2�
2 +
: : : +b
nn �
n; b
nn6
= 0;
bu yerda a
nk va
b
nk ; k
= 1;2 ; : : : ; n lar haqiqiy sonlar. (1.2.2)ning har
bir elementi 1-3 shartlar asosida �1 ko'paytuvchi aniqligida bir qiymatli
aniqlanadi.
(1.2.1) sistemadan (1.2.2) sistemaga o'tish Shmidtning ortogonallashtirish
jarayoni deyiladi. Ravshanki, bu sistemalar yordamida hosil qilgan (sis-
temalardan tug'ilgan) fazolar ustma-ust tushadi. Shuning uchun ular bir
vaqtda to'la yoki to'la emas.
Separabel va separabel bo'lmagan Hilbert fazolarinig farqi nimada? Bunga
ushbu teorema oydinlik kiritadi.
Teorema 1.2.2. Har qanday separabel HHilbert fazosida chekli yoki sanoqli
ortogonal normalangan bazis (ONB) mavjud.
Bu teorema Shmidtning ortogonallashtirish haqidagi teoremasining nati-
jasidir. Haqiqatan ham agar
1;
2; : : :
sistema Hda zich sanoqli to'plam
bo'lsa, u holda bu sistemadan to'la sistemani a jratib olish mumkin. Buning
uchun
n vektorlar orasida

i; i < n
elementlarning chiziqli kombinat-
siyasi shaklida yozish mumkin bo'lganlarini chiqarib tashlash kifoya. Hosil
qilingan sistemani ortogonallashtirib, to'la ONS ga ega bo'lamiz.
14

Aslida istalgan Hilbert fazosida ONB mavjud. Lekin separabel Hilbert
fazolarida bu ONB elementlari soni chekli yoki sanoqli bo'ladi. Faraz qilamiz fx
ng
vektorlar sistemasi Hseparabel Hilbert fazosidagi
biror ONS bo'lsin. Bessel tengsizligiga ko'ra 8x 2 H uchun kx k2
�
P
n j
( x; x
n)
j2
: c n= (
x; x
n) deb belgilash kiritamiz. Ushbu
c
1; c
2; : : : ; c
n; : : :
sonlar xelementning fx
ng
sistema bo'yicha Fourier koe�tsiyentlari
deyiladi. Bessel tengsizligiga ko'ra, ushbu X
n j
c
n j2
(1.2.3)
yig'indi chekli.
Ta'rif 1.2.6. Agarfx
ng
sistemani o'zida saqlovchi eng kichik qism fazo
H ga teng bo'lsa, u holda fx
ng
sistema to'ladeyiladi.
Misol uchun feint
gn2 Z1
sistema L2
(T 1
) da to'la sistema bo'ladi.
Ta'rif 1.2.7. Agar8x 2 H uchun
k x k2
= X
n j
( x; x
n)
j2
(1.2.4)
tenglik bajarilsa, u holda fx
ng
sistema yopiqdeyiladi. (1.2.4)tenglik esa
Parseval{Steklov tengligi deyiladi.
Yopiq va to'la sistemalar orasida quyidagicha bog'lanish bor:
Teorema 1.2.3. Separabel Hilbert fazosida har qanday to'la ortogonal nor-
malangan sistema yopiq va aksincha har qanday yopiq ortogonal normalan-
gan sistema to'la.
Yuqorida ko'rdikki, separabel Hilbert fazosining istalgan elementining
Fourier koe�tsiyentlaridan tuzilgan (1.2.3) qator yaqinlashuvchi. Bu tas-
diqning teskarisi ham o'rinli ekanini ushbu teorema ko'rsatadi:
Teorema 1.2.4 (Riesz Lemmasi ). Faraz qilamiz, f�
ng
sistema Hsepa-
rabel Hilbert fazosidagi ONB bo'lsin va fc
n g
ketma-ketlik uchun ushbu
X
n j
c
n j2
< 1 (1.2.5)
shart bajarilsin. U holda yagona f2 H mavjudki,
c k = (
f ; �
k)
15

va
X
n j
c
n j2
= ( f ; f ) = kf k2
tengliklar bajariladi. Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija 1.2.1. Separabel Hilbert fazosi Hda biror fx
ng
ortonormal sis-
tema to'la bo'lishi uchun Hfazoda uning hamma elementlariga ortogonal
bo'lgan elementning faqat nol bo'lishi yetarli va zarur.
Hilbert fazolarida bazislarga misollar keltiramiz.
Misol 1.2.4. L2
(T d
) fazoda
� n(
x ) = 1 (2
�)d=
2ei
( n;x )
; x 2Td
; n 2Zd
; (n; x ) = d
X
k =1 x
kn
k
ortonormal sistema bazis tashkil qiladi. Ixtiyoriy f(x ) 2 L2
(T d
) funksiyan-
ing ushbu bazisdagi Fourier koe�tsiyentlari quyidagicha hisoblanadi:
^
f (n ) = 1 (2
�)d=
2Z
T d e
�
i( n;x )
f (x )dx: N
Misol 1.2.5. `2
(Z d
) fazoda quyidagi
� s(
n ) = (
1; agar n= s
0 ; agar n6
= s; s
2Zd
(1.2.6)
funksiyalardan iborat ONS bazis tashkil qiladi. N
1.2.3 Hilbert fazosining qism fazosi
Faraz qilamiz, HHilbert fazosi va M� uning biror qism to'plami bo'lsin.
Agar Mto'plam Hda kiritilgan qo'shish, songa ko'paytirish va ichki
ko'paytmaga nisbatan Hilbert fazosini hosil qilsa, u Hning qism fazosi
deyiladi. Biz bundan buyon qism fazo deganda faqat yopiq qism fazolarni
tushunamiz.
Misol 1.2.6. L
2(
T d
) da f(x ) = f(� x) munosabatni qanoatlantiruvchi
barcha funksiyalar to'plami bu fazoda yopiq qism fazoni tashkil qiladi. Biz
uni juft funksiyalar fazosi deb ataymiz va Lc
2 (
T d
) deb belgilaymiz. Xuddi
shunday, toq funksiyalar to'plami
Lo
2 (
T d
) = ff 2 L
2(
T d
) : f(x ) = �f(� x)g
ham L
2(
T d
) da qism fazo hosil qiladi.
16

Misol 1.2.7.
L
2(
T d
) da biror L2 Td
uchun f(x ) = f(L � x) munosabatni
qanoatlantiruvchi barcha funksiyalar to'plami ham bu fazoda yopiq qism
fazoni tashkil qiladi. Biz uni L
2(
T d
) fazodagi L� juft funksiyalar fazosi deb
ataymiz va Lc
2 ;L (
T d
) deb belgilaymiz. Xuddi shunday, L� toq funksiyalar
to'plami Lo
2 ;L (
T d
) = ff 2 L
2(
T d
) : f(x ) = �f(L � x)g
ham L
2(
T d
) da qism fazo hosil qiladi.
Misol 1.2.8. `
2(
Z d
)( L
2(
T d
)) da o'zgaruvchilarni o'rnini almashtirishga
nisbatan invariant funksiyalar fazosini `sym
2 (
Z d
)( Lsym
2 (
T d
)) deb belgilaymiz.
Ko'rsatish mumkinki, bu fazo ham qism fazodir. Bu fazoning elementiga
misol sifatida L
2(
T 3
) da
f (x
1; x
2; x
3) =
eix
1
+ eix
2
+ eix
3
funksiyani olishimiz mumkin.
Misol 1.2.9. Xuddi shunday, `
2(
Z d
)( L
2(
T d
)) da antisimmetrik funksiyalar,
ya'ni o'zgaruvchilari o'rnini almashtirish juft inversiyaga ega bo'lganda qiy-
mati o'zgarmas, toq bo'lganda esa ishorasi teskariga almashinuvchi funksiya-
lar fazosini `anti
2 (
Z d
)( Lanti
2 (
T d
)) deb belgilaymiz. Ko'rsatish mumkinki, bu
fazo ham qism fazodir. L
2(
T 2
) da
f (x
1; x
2) =
eix
1
� eix
2
funksiyani olishimiz mumkin. Bu funksiya uchun f(x
1; x
2) =
�f(x
2; x
1)
munosabat bajariladi.
1.3 Hilbert fazosida chiziqli operatorlar
Agar H
1 fazoning har bir elementiga
H
2 fazoning yagona elementi mos
qo'yilgan bo'lsa, bu moslik operatordeyiladi va A:H
1 �!
H
2 yoki
y = Ax kabi belgilanadi. Agar H
1va
H
2lar chiziqli fazolar bo'lib, istalgan
x 2 H
1 va
�2 C uchun A(�x ) = �Ax munosabat ba jarilsa, Aoperator
bir jinsli deyiladi. Agar istalgan x; y2H
1 uchun
A(x + y) = Ax+Ay
munosabat ba jarilsa, u holda Aoperator additivdeyiladi.
Ta'rif 1.3.1. Bir jinsli additiv operator chiziqli operator deyiladi.
Demak biror operatorni chiziqlilikka tekshirish uchun uni additivlik va
bir jinslilikka tekshirish lozim. Chiziqli operatorning ta'ri�ga ekvivalent
quyidagi ta'rifni ham keltirib o'tish foydadan xoli bo'lmaydi:
17

Ta'rif 1.3.2.
Agar ixtiyoriy x; y2H
1 va
�; � 2C lar uchun
A (�x +� y ) = �Ax +� Ay
tenglik bajarilsa, u holda Aoperator chiziqli deyiladi.
Chiziqli operator butun fazoda aniqlangan yoki uning aniqlanish sohasi
butun fazoning biror qismi bo'lishi mumkin. Misol uchun
A:`
2�!
`
2; Ax
= (x
1;
2 x
2; :::; nx
n; :::
)
operatorning aniqlanish sohasi butun fazoga teng emas. Chunki bu opera-
tor
x0 = �
1; 1 2
;
1 3
; :::;
1 n
; ::: �
2`
2
vektorni Ax0= (1
;1 ;1 ; :::; 1; ::: )
vektorga o'tkazadi va bu vektor `
2 fazoning elementi bo'lmaydi, ya'ni
x
0
bu operatorning aniqlanish sohasiga teng emas.
Lekin chiziqli operatorning aniqlanish sohasi chiziqli ko'pxillik bo'lishi
talab etiladi. Operatorning aniqlanish sohasi D(A ) deb belgilanadi. R(A )
deb esa Aoperatorning qiymatlar to'plamini belgilaymiz:
R(A ) = fy 2 H
2:
9 x 2 D(A ); Ax =yg:
Osongina ko'rsatish mumkinki, chiziqli operatorning qiymatlar sohasi ham
chiziqli ko'pxillikdir.
Misol 1.3.1. A:`
2(
Z d
) �! `
2(
Z d
); (Af )(x) = v(x )f (x ) operator chiziqli
operatordir. Bu operator
kAf k2
= X
x 2 Zd j
v (x )f (x )j2
< 1
bo'ladigan f2 `
2(
Z d
) larda aniqlangan. Shuningdek, aniqlanish sohasi
chiziqli ko'pxillikdir, ya'ni agar f ; g2D(A ) bo'lsa, kompleks sonning mod-
ulining xossalariga asosan:
kA (�f +� g )k 2
= X
x 2 Zd j
v (x )( �f (x ) + � g(x )) j2
=
= X
x 2 Z d j
�v (x )f (x ) + � v(x )g (x )j2
� X
x 2 Zd(
j�v (x )f (x )j + j� v (x )g (x )j) 2
�
18

�
X
x 2 Z d 2(
j�v (x )f (x )j2
+ j� v (x )g (x )j2
) = 2 kAf k2
+ 2 kAg k2
< 1;
ya'ni �f+� g 2D(A ). Shuningdek,
A (�f +� g )(x) = v(x )( �f (x ) + � g(x )) =
= �v (x )f (x ) + � v(x )g (x ) = �(Af )(x) + �(Ag )(x);
demak, A� chiziqli operator.
Misol 1.3.2. Xuddi shunday usul bilan
A :L
2(
T d
) �! L
2(
T d
); (Af )(p) = u(p )f (p )
operatorning aniqlanish sohasi
D(A ) = 8
<
: f
2 L
2(
T d
) : kAf k2
= Z
T d j
u (p )f (p )j2
dp < 19
=
;
ning chiziqli ko'pxillik ekanligi hamda Aoperatorning chiziqli ekanligi isbot
qilinadi.
Misol 1.3.3. A:L
2(
T d
) �! L
2(
T d
); (Af )(p) = R
T d v
(p � q)dq integral
operatorni qaraymiz, bu yerda v(�) biror uzluksiz funksiya. Bu operatorning
aniqlanish sohasi D(A ) = L
2(
T d
) . Chiziqli ekanligi esa integralning chiziqli
ekanligidan kelib chiqadi.
Chiziqli operatorlar uchun chegaralanganlik tushunchasi odatdagi funksi-
yaning chegaralanganligi tushunchasidan biroz farq qiladi. Faraz qilamiz, H
1; H
2lar Hilbert fazolari bo'lsin.
Ta'rif 1.3.3. AgarA:H
1�!
H
2 operator
H
1 dagi istalgan chegaralan-
gan to'plamni H
2 dagi chegaralangan to'plamga o'tkazsa, u
chegaralan-
gan operator deyiladi.
Demak chegaralanmagan operator biror chegaralangan to'plamni chegar-
alanmagan to'plamga o'tkazadi. Chiziqli operatorlar uchun chegaralangan-
lik ta'ri�ni quyidagicha ham berish mumkin:
Ta'rif 1.3.4. H
1 va
H
2 Hilbert fazolari va
A:H
1�!
H
2 chiziqli opera-
tor bo'lsin. Agar biror M >0son va istalgan x2 H
1 uchun
k Ax k
H 2 �
Mkx k
H 1
19

tengsizlik bajarilsa,
Achegaralangan operator deyiladi. Agar istalgan
M soni uchun shunday x
M 2
H
1 element mavjud bo'lib,
kAx
Mk
H 2 >
M kx
M k
H 1 munosabat o'rinli bo'lsa,
Achegaralanmagan operator dey-
iladi.
Agar Aoperator chegaralanmagan bo'lsa, uning normasi 1ga teng
deb qabul qilamiz.
Misol 1.3.4. A:C n
�! Cn
; Az = (z
1;
2 z
2; :::; nz
n)
operatorni qaraylik.
k Az k2
= n
X
k =1 j
kz
kj2
� n2 n
X
k =1 j
z
kj2
= n2
k zk 2
munosabatga asosan kAz k � nkzk . Demak, ta'rifga asosan Achegaralan-
gan operator.
Ta'rif 1.3.5. H
1 va
H
2 Hilbert fazolari va
A:H
1�!
H
2 chiziqli oper-
ator bo'lsin. Istalgan x2 H
1 uchun
kAx k
H 2 �
Mkx k
H 1 munosabat bajar-
iluvchi M >0sonlarning aniq quyi chegarasi Aoperatorning normasi
deyiladi va u kA k kabi belgilanadi.
Amalda operatorning normasini topishda quyidagi teoremadan ko'proq
foydalaniladi.
Teorema 1.3.1. A:H
1 �!
H
2 chiziqli operatorning normasi uchun
quyidagi tengliklar o'rinli:
1. kA k = sup
x6
=0 k
Ax k
H
2 k
x k
H
1 ;
2. kA k = sup
kx k
H
1<
1k
Ax k
H 2;
3. kA k = sup
kx k
H
1=1 k
Ax k
H 2:
Ta'rif 1.3.6.(Heine) Xva Ynormalangan fazolar va A:X �!
Y chiziqli operator bo'lsin. Agar x
0 2
X elementga intiluvchi ixtiyoriy
f x
ng 2
Xketma-ketlik uchun fAx
ng 2
Yketma-ketlik Ax
02
Y ele-
mentga intilsa, Aoperator x
0 nuqtada uzluksiz
deyiladi. AgarAopera-
tor Xfazoning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lsa u butun fazoda uzluksiz
deyiladi.
Chiziqli operatorning bu ta'ri�ga ekvivalent Cauchy ta'ri�ni ham keltirib
o'tamiz:
20

Ta'rif 1.3.7.
Xva Ynormalangan fazolar va A:X �! Ychiziqli
operator bo'lsin. Agar x
0 2
X element uchun kx � x
0k !
0bo'lgan x2 X
lar uchun kAx �Ax
0k !
0munosabat bajarilsa, Aoperator x
0 nuqtada
uzluksiz deyiladi.
Malumki uzluksiz funksiya chegaralangan bo'ladi. Chiziqli operatorlar
uchun esa uzluksizlik va chegaralanganlik tushunchalari ekvivalent.
Teorema 1.3.2. H
1 va
H
2 Hilbert fazolari va
A:H
1 �!
H
2 chiziqli
operator bo'lsin. Quyidagi tasdiqlar ekvivalent:
(i) A operator 0nuqtada uzluksiz ;
(ii) A operator butun X f azoda uzluksiz ;
(iii) A operator chegaralangan:
Misol 1.3.5. `
2(
Z d
) fazoda quyidagi opratorni aniqlaymiz:
A :`
2(
Z d
) �! `
2(
Z d
); (Af )(x) = ^ "(x ) ^
f (x ); x 2Zd
; ^
f 2 `
2(
Z d
);
bunda ^
" (x ) � Zd
da aniqlangan biror funksiya.Ravshanki, Achiziqli oper-
ator. Bu operatorning aniqlanish sohasi
D(A ) = (
^
f 2 `
2(
Z d
) : X
x 2 Zd j
^
" (x ) ^
f (x )j2
< 1)
to'plamdir. Quyidagi teorema o'rinli.
Teorema 1.3.3. Aoperatorning aniqlanish sohasi butun `
2(
Z d
) fazoga
teng bo'lishi uchun sup
x 2 Zd j
^
" (x )j < 1
bo'lishi zarur va yetarli.
Teorema 1.3.4. Aoperator HHilbert fazosida aniqlangan va D(A ) = H
bo'lsin. Agar Hda aniqlangan shunday Boperator mavjud bo'lib, D(B ) =
H va 8x; y 2H uchun
(Ax; y ) = (x; By )
munosabat bajarilsa, Aoperator chegaralangan bo'ladi.
Teorema 1.3.5. Ushbu tasdiqlar ekvivalent:
( i) D(A ) = `
2(
Z d
);
( ii ) A chegaralangan operator ;
( iii ) sup
x2 Zd j
^
" (x )j < 1:
21

Misol 1.3.6.
L
2(
T d
) fazoda aniqlangan ko'paytirish operatorini qaraymiz:
( Af )(x) = "(x )f (x ); f 2L
2(
T d
); x 2Td
;
bunda "(x )� Td
da aniqlanga biror kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya.
Ko'rinib turibdiki, Aoperator chiziqli. Uning aniqlanish sohasi
D (A ) = 8
<
: f
2 L
2(
T d
) : Z
x 2 T d j
" (x )f (x )j2
dx < 19
=
; :
Quyidagi to'plamni kiritamiz: Xn(
f ) = fx 2 Td
: jf (x )j > n g; f 2L
2(
T d
); n 2N:
Ta'rif 1.3.8. Agar birornnatural son uchun �(X
n(
f )) = 0 bo'lsa,f2
L 2(
T d
) funksiya muhim chegaralangan deyiladi, bu yerda�(M )� M
to'plamning Lebeg o'lchovi.
Demak, muhim chegaralanmagan f2 L
2(
T d
) funksiya uchun barcha
natural nlarda �(X
n(
f )) >0 shart ba jariladi.
Teorema 1.3.6. Aoperatorning aniqlanish sohasi butun L
2(
T d
) fazoga
teng bo'lishi uchun "(x ) funksiyaning muhim chegaralangan bo'lishi yetarli
va zarur.
Misol 1.3.7. L
2(
T d
) fazoda aniqlangan quyidagi operatorni qaraymiz:
( Af )(t) = Z
T d K
(t; s )f (s )ds; f 2L
2(
T d
);
bunda K(t; s )funksiya Td
� Td
da aniqlangan biror o'lchovli kvadrati bilan
integrallanuvchi funksiya. Integralning chiziqliligidan, bu operator chiziqli.
Agar Z Z
Td j
K (t; s )j2
dtds < 1
bo'lsa, u chegaralangan operator bo'ladi (Fubini teoremasi). Bunday ope-
rator integral operator deb ataladi. K(t; s )funksiya esa uning yadrosi dey-
iladi.
Misol 1.3.8. `
2(
Z d
) fazoni L
2(
T d
) fazoga akislantiruvchi FFourier ak-
islantirishini qaraymiz.
(F ^
f )( x) = 1 (2
�)d=
2X
s 2 Zd e
i
( x;s )
^
f (s ):
22

Bunda
(x; s ) = d
P
i =1 x
is
i. Bu operator chegaralangan.
Misol 1.3.9. Xuddi shunday, L
2(
T d
) fazoni `
2(
Z d
) fazoga akislantiruvchi
teskari Fourier akislantirishi F�
1
operatorni qaraymiz:
( F �
1
f )( s) = 1 (2
�)d=
2Z
T d e
�
i( s;x )
f (x )dx:
Bunda ham (s; x ) = d
P
i =1 s
ix
i. Bu operator ham chegaralangan.
Teskari operatorlar
H 1 va
H
2 Hilbert fazolari bo'lsin.
Aoperator H
1 fazoda aniqlanib,
H
2
fazoda qiymatlar qabul qilsin, ya'ni A:H
1�!
H
2 .
Ta'rif 1.3.9. Agar istalgan y2 R(A ) uchun Ax=ytenglama yag-
ona yechimga ega bo'lsa, Aoperator teskarilanuvchan deyiladi. Agar
A teskarilanuvchan bo'lsa, har bir y2 R(A ) ga Ax =ytenglamaning
yagona yechimi x2 D(A ) ni mos qo'yuvchi akslantirish Aoperatorning
teskarisi deyiladi va A�
1
kabi belgilanadi.
Teorema 1.3.7. Agar chiziqli operator teskarilanuvchan bo'lsa, unga teskari
operator ham chiziqlidir.
Teorema 1.3.8. A:H
1�!
H
2 chiziqli operator teskarilanuvchan bo'lishi
uchun Ax= 0 tenglama yagona x= 0 yechimga ega bo'lishi zarur va
yetarli.
Teorema 1.3.9.(Teskari operatorlar haqida Banach teoremasi)
Faraz qilamiz, A� H
1 Hilbert fazosini
H
2 Hilbert fazosiga o'zaro bir
qiymatli akslantiruvchi chiziqli chegaralangan operator bo'lsin. U holda u
teskarilanuvchan va teskari operator A�
1
ham chegaralangan.
Ta'rif 1.3.10. AgarA:X �! Yteskarilanuvchan operator, R(A ) = Y
va teskari A�
1
operator chegaralangan bo'lsa, u holda Auzluksiz teskar-
ilanuvchan deb ataladi. Bundan keyin biz teskarilanuvchanlik va uzluksiz
teskarilanuvchanlik tushunchalari bir xil deb hisoblaymiz.
Teorema 1.3.10. A:H
1 �!
H
2 chiziqli operator bo'lsin. U holda
A
teskarilanuvchan bo'lishi uchun R(A ) = H
2 va shunday
m >0soni top-
ilib, ixtiyoriy x2 H
1 uchun
kAx k
H 2 �
mkx k
H 1 munosabatlarning bajaril-
ishi yetarli va zarur.
23

Teorema 1.3.11.
A2L(H ) operator uchun kA k < 1tengsizlik o'rinli
bo'lsa, A� Ioperator teskarilanuvchan bo'ladi va
k(I � A)�
1
k � 1 1
� k Ak
va kI � (I � A)�
1
k � k
A k 1
� k Ak
baholar o'rinli.
Lemma 1.3.1. AgarA; B2L(H ) operatorlar teskarilanuvchan bo'lsa,
u holda ABham teskarilanuvchan bo'ladi va (AB )�
1
= B�
1
A �
1
tenglik
o'rinli bo'ladi.
Misol 1.3.10. L
2(
T d
) fazoda aniqlangan ko'paytirish operatorini qaraymiz:
( Af )(x) = "(x )f (x ); f 2L
2(
T d
); x 2Td
;
bunda "(x ) 2 L
2(
T d
) . A � zI operatorni qaraymiz, bunda z2 C va I�
ayniy operator. �(" ) � "ning qiymatlar sohasining yopig'i bo'lsin. Isbot
qilamizki, agar z2 Cn�(" ) bo'lsa, A� zI teskarilanuvchan. Haqiqatan,
" (x ) 2 L
2(
T d
) bo'lsa, shunday d >0son topiladiki, 8x 2 Td
uchun jz �
" (x )j > d bo'ladi. U holda
k (A � zI )f k2
= Z
T d j
( " (t) � z)f (t) j2
dt �d2 Z
T d j
f (t) j2
dt =d2
k f k2
ekanidan 1.4.4 teoremaga asosan A� zI teskarilanuvchan. Osongina
ko'rsatish mumkinki,
((A � zI )�
1
f )( x) = f
(x ) "
(x ) � z:
Demak, teskari operator ham ko'paytirish operatori ekan. 8x 2 Td
uchun
j z � "(x )j > d ekanidan 1 "
(x )� z funksiya muhim chegaralangan va yuqoridagi
teoremaga asosan
D(A � zI )�
1
= R(A � zI ):
Shuningdek, k(A � zI )�
1
f k2
� 1 d
2k
f k2
munosabatga ko'ra, A� zI teskarilanuvchan. Shuni ko'rsatmoqchi edik.
24

Qo'shma operatorlar
Ta'rif 1.3.11. HHilbert fazosida aniqlangan chegaralangan Toperator
va 8x; y 2H uchun
(T x; y ) = (x; T�
y )
tenglikni qanoatlantiruvchi T�
operator Toperatorning Hilbert qo'shmasi
deyiladi. Bundan buyon operatorning qo'shmasi deganda uning Hilbert qo'sh-
masini tushunamiz.
Lemma 1.3.2. A:H �! H; B :H �! Hoperatorlar berilgan bo'lsin.
Agar barcha x; y2H lar uchun (Ax; y ) = ( Bx; y)tenglik bajarilsa, u
holda A= B bo'ladi.
Tasdiq 1.3.1. Achiziqli operatorning qo'shmasi ham chiziqlidir.
Teorema 1.3.12. T:H �! Hoperatorning qo'shmasi mavjud bo'lishi
uchun uning aniqlanish sohasi D(T ) butun fazo Hda zich bo'lishi zarur
va yetarli. Agar bu shart bajarilsa, T�
operator quyidagicha aniqlanadi:
y 2 H element T�
ning aniqlanish sohasiga tegishli bo'lishi uchun shunday
y �
2 H mavjud bo'lib istalgan x2 D(T ) uchun
( T x; y ) = (x; y�
)
tenglik bajarilishi yetarli va zarur. Bu holda T�
y = y�
.
Misol 1.3.11. Yuqorida qaralgan ushbu operatorning qo'shmasini topamiz:
A :`
2(
Z d
) �! `
2(
Z d
); (A ^
f )( n) = ^ v(n ) ^
f (n );
bunda ^
v funksiya Zd
da chegaralangan.
( A ^
f ; ^
g ) = X
n 2 Zd(
A ^
f )( n) ^
g (n ) = X
n 2 Zd ^
v (n ) ^
f (n ) ^
g (n ) =
X
n 2 Zd ^
f (n ) ^
v (n )^g (n ) = X
n 2 Zd ^
f (n ) (
A �
^
g )( n) = ( ^
f ; A �
^
g )
munosabatlarga va oldingi teoremaga asosan (A �
^
f )( n) = ^
v (n ) ^
f (n ) kabi
aniqlanadi. ^
v chegaralangan funksiya ekanidan, D(A ) = `
2(
Z d
) . U holda
esa D(A �
) = `
2(
Z d
) .
Ushbu misollardagi qo'shma operatorlarning aniqlanishi ham 1.5.1 teo-
remaga asoslanadi.
25

Misol 1.3.12.
A:L
2(
T d
) �! L
2(
T d
); (Af )(x) = "(x )f (x ); f 2L
2(
T d
)
operatorni qaraymiz, bunda "(x ) 2 L
2(
T d
) chegaralangan funksiya. Bu
operatorning qo'shmasi (A �
f )( x) = "
(x )f (x ).
Misol 1.3.13. A:L
2(
T d
) �! L
2(
T d
); (Af )(x) = R
T d K
(x; y )f (y ); f 2
L 2(
T d
) integral operatorning qo'shmasi ham integral operator bo'ladi:
(A �
f )( x) = Z
T d K
(y; x )f (y );
bu yerda K(x; y )funksiya (T d
)2
da aniqlangan biror chegaralangan uzluk-
siz funksiya.
Ta'rif 1.3.12. AgarA2L(H )operator barcha x; y2H lar uchun
( Ax; y ) = (x; Ay )
munosabatni qanoatlantirsa, u o'z-o'ziga qo'shma operator deyiladi.
Misol 1.3.14. A:`
2(
Z d
) �! `
2(
Z d
); (A ^
f )( n) = ^ v(n ) ^
f (n ) , operator
qanday ^
v funksiyalar uchun o'z-o'ziga qo'shma bo'lisini topamiz, bunda
^
v chegaralangan. 1.5.1 misolga ko'ra (A �
^
f )( n) = ^
v (n ) ^
f (n ). Endi A=
A �
ekanidan ^
v (n ) = ^
v (n ) ,8 n 2 Zd
kelib chiqadi. Demak Ao'z-o'ziga
qo'shma bo'lishi uchun ^
v chegaralangan funksiya haqiqiy qiymatli funksiya
bo'lishi yetarli va zarur.
Misol 1.3.15. Xuddi shunday A:L
2(
T d
) �! L
2(
T d
); (Af )(x) = "(x )f (x );
f 2 L
2(
T d
) operator o'z-o'ziga qo'shma bo'lishi uchun "(x ) funksiyaning
haqiqiy qiymatli funksiya bo'lishi yetarli va zarur, bunda "(x ) 2 L
2(
T d
)
chegaralangan funksiya.
Misol 1.3.16. Chegaralangan K(x; y )yadroli integral operator o'z-o'ziga
qo'shma bo'lishi uchun K(x; y ) = K
(y; x )bo'lishi yetarli va zarur.
Teorema 1.3.13. A� H Hilbert fazosida aniqlangan chiziqli operator va
D (A ) = Hbo'lsin. Agar biror Bchiziqli operator D(B ) = Hva 8x; y 2
H uchun (Ax; y ) = ( x; By)munosabatlarni qanoatlantirsa, Aoperator
chegaralangan.
1.4 O'z-o'ziga qo'shma operatorlarning xossalari H - Hilbert fazosi bo'lsin.
26

Teorema 1.4.1.
A; B2L(H )� o'z-o'ziga qo'shma operatorlar, �; ��
haqiqiy sonlar bo'lsin. U holda �A+� B ham Hdagi o'z-o'ziga qo'shma
operator bo'ladi.
Teorema 1.4.2. AgarA= A�
bo'lsa, ixtiyoriy x2 H uchun (Ax; x )
haqiqiy son bo'ladi.
Darhaqiqat, teorema shartiga va ichki ko'paytmaning xossalariga binoan
(Ax; x ) = (x; A�
x ) = ( x; Ax ) = (
Ax; x )
va demak, ( Ax; x)2 R .
Teorema 1.4.3. AgarAoperator o'z-o'ziga qo'shma bo'lsa, u holda
k A k = sup
kx k� 1j
( Ax; x )j:
Bu teoremadan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
Natija 1.4.1. Ao'z-o'ziga qo'shma operator bo'lsin. U holda barcha x2
H lar uchun (Ax; x ) = 0 bo'lishi uchun A= 0 bo'lishi zarur va yetarli.
Natija 1.4.2. Ao'z-o'ziga qo'shma operator bo'lsin. U holda barcha x; y2
H lar uchun
(Ax; y ) =1 4
f
(A (x + y); x +y) + ( A(x � y); x �y)g�
� 1 4
if
(A (x + iy); x +iy) + ( A(x � iy); x �iy)g
tenglik bajariladi.
Quyidagi teorema o'z-o'ziga qo'shma operatorlar va haqiqiy qiymatli
kvadratik formalar orasidagi munosabatni ifodalaydi.
Teorema 1.4.4. H� kompleks Hilbert fazosi bo'lsin. Agar ixtiyoriy x2 H
da (Ax; x )haqiqiy qiymatli bo'lsa, u holda A� o'z-o'ziga qo'shma operator
bo'ladi.
Shuni aytib o'tamizki, Aoperator haqiqiy Hilbert fazolarida aniqlan-
gan bo'lsa, umumiy holda, ( Ax; x) = 0 ekanligidan Aning o'z-o'ziga
qo'shmaligi va A= 0 ekanligi kelib chiqmaydi.
27

1.5 Musbat operatorlar
H Hilbert fazosi, A2L(H ) bo'lsin. 1.6.2 teoremaga ko'ra ( Ax; x) kvadratik
forma haqiqiy qiymatlar qabul qiladi. Bundan foydalanib, musbat operator
tushunchasini kiritish mumkin.
Ta'rif 1.5.1. Agar 1)A= A�
, 2) 8x 2 H uchun (Ax; x )� 0munos-
abatlar o'rinli bo'lsa, Aoperator noman�y operator deyiladi. AgarA
noman�y operator va barcha 06
= x2 H uchun (Ax; x )> 0bo'lsa, A
musbat operator deyiladi.
Teorema 1.5.1. AB2L(H )� noman�y operatorlar, �; �noman�y son-
lar bo'lsa, u holda �A+� B operator ham noman�ydir.
Bu teoremaning isboti skalyar ko'paytmaning xossalari va noman�y op-
eratorning ta'ri�dan kelib chiqadi:
((�A +� B )x; x ) = �(Ax; x ) +�(Bx; x )� 0:
Lemma 1.5.1. Anoman�y operator bo'lsin. U holda quyidagi umumlash-
gan Cauchy-Bunyakovskiy tengsizligi o'rinli:
j( Ax; y )j � p (
Ax; x )p (
Ay; y ):
Misol 1.5.1. A:`
2(
Z d
) �! `
2(
Z d
); (A ^
f )( n) = ^ v(n ) ^
f (n ); operator mus-
bat bo'lishi uchun ^
v haqiqiy qiymatli va 8n 2 Zd
da ^
v (n ) > 0bo'lishi
yetarli va zarur. Darhaqiqat agar biror ^
v (n
0)
< 0uchun,
f n0(
n ) = �
1; agar n= n
0;
0 ; agar n6
= n
0:
funksiya uchun (Af
n0; f
n0) = ^
v(n
0)
< 0munosabat bajariladi. Bu Amus-
bat emasligini ko'rsatadi.
Misol 1.5.2. A:L
2(
T d
) �! L
2(
T d
); (Af )(x) = "(x )f (x ); f 2L
2(
T d
);
" (x ) 2 L
2(
T d
) operator musbat bo'lishi uchun "funksiyaning deyarli haqiqiy
qiymatli va noman�y bo'lishi yetarli va zarur. Haqiqatan ham agar biror
X �T nolmas o'lchovli to'plam uchun "(x ) < 0bo'lsa,
f 1(
x ) = �
1; agar x2 X;
0 ; agar x 2
X
funksiya uchun
(Af
1; f
1) = Z
T d "
(x )f
1(
x ) f
1(
x )dx =Z
X "
(x )dx < 0
tengsizlik bajariladi. Bu esa Amusbat emasligini ko'rsatadi.
28

1.6 Kompakt operatorlar
Faraz qilamiz, H
1; H
2�
Hilbert fazolari, A:H
1�!
H
2 chiziqli chegar-
alangan operator bo'lsin.
Ta'rif 1.6.1. AgarAoperator H
1fazodagi ixtiyoriy chegaralangan to'plam-
ni H
2 fazodagi nisbiy kompakt to'plamga o'tkazsa, u
kompakt operator
deyiladi.
Boshqacha aytganda, H
1 fazodagi ixtiyoriy chegaralangan to'plamning
operator ta'siridagi aksi nisbiy kompakt bo'lsa, bu operator kompaktdey-
iladi.
Teorema 1.6.1. AgarH
1 yoki
H
2 chekli o'lchamli Hilbert fazosi bo'lsa,
u holda ixtiyoriy A2L(H
1; H
2)
operator kompaktdir.
Misol 1.6.1. H
1; H
2Hilbert fazolari bo'lsin. Yuqorida ko'rdikki,
A:H
1�!
H 2 chiziqli operatorning qiymatlar sohasi
R(A ) chiziqli ko'pxillik bo'ladi.
Agar R
(A ) fazo chekli o'lchamli bo'lsa, u holda Aoperator chekli o'lchamli
operator deyiladi. Chekli o'lchamli fazolarda har qanday chegaralangan to'p-
lam nisbiy kompakt ekanidan ixtiyoriy chekli o'lchamli operator kompakt.
Misol 1.6.2. A:`
2(
Z d
) �! `
2(
Z d
); (Af )(n) = v(n )f (n ); f 2`
2(
Z d
)
operatorni qaraymiz, bunda supjv j < 1 .v funksiya qanday shartlarni
qanoatlantirsa, Aoperator kompakt bo'lishini o'rganamiz.
Teorema 1.6.2. Aoperator kompakt bo'lishi uchun
lim
n !1 sup
s 2 Z d
;js j>n j
v (s )j = 0
bo'lishi yetarli va zarur.
Isbot 4. Yetarliligi. Faraz qilamiz,
lim
n !1 sup
s 2 Z d
;js j>n j
v (s )j = 0
tenglik ba jarilsin. Biz birlik shar Ining aksi nispiy kompakt ekanini ko'rsatsak,
yetarli. Ixtiyoriy 8" > 0 son olamiz. nsonini sup
s2 Zd
;j s j>n j
v (s )j < "= 2 bo'ladigan
qilib tanlaymiz. Har bir f2 A(I ) ga
f �
(s ) = �
(Af )(s); agar js j � n;
0 ; agarjs j > n
29

elementni mos qo'yamiz. Barcha
f�
to'plamini I�
deb belgilaylik. Ko'rsa-
tish mumkinki, bu to'plam A(I ) uchun "=2 to'r tashkil etadi. Haqiqatdan
ham shartga binoan
kf �
� Af k= s X
s 2 Z d j
( AF )(s) � f�
(s )j2
= s X
s 2 Zd
;js j>n j
v (s )f (s )j2
�
� sup
s 2 Zd
;j s j>n f
v (s )gk fk < "= 2:
Aniqlanishiga ko'ra I�
chekli o'lchamli. U holda uning chekli "=2 to'ri
mavjud. Bu to'r A(I ) uchun ham chekli "to'rni hosil qiladi. Demak A(I )
nisbiy kompakt. Zarurligi. Aytaylik, Akompakt bo'lsin. `2
(Z d
) dagi ONS ni qaraymiz:
� n(
s ) = �
1; agar n= s;
0 ; agar n6
= s
Agar lim
n !1 X
s 2 Z d
;js j>n j
v (s )j 6 = 0
bo'lsa, shunday "
0 >
0 mavjudki, cheksiz ko'p slar uchun
X
s 2 Zd
;j s j>n j
v (s )j > "
0
tengsizlik ba jariladi. U holda o'sha shartni qanoatlantiruvchi k6
= n larda
k A�
n�
A�
kk
= p j
v (n )j2
+ jv (k )j2
> " 0>
0
munosabat o'rinli. Bu yerda fA�
ng
sistema chegaralangan ketma-ketlik
bo'lishiga qaramay undan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik a jratib bo'l-
maydi degan xulosaga kelamiz. Bu Aning kompaktligiga zid. Teorema
isbotlandi.
Misol 1.6.3. A:L
2(
T d
) �! L
2(
T d
); (Af )(x) = "(x )f (x ); f 2L
2(
T d
)
operatorni qaraymiz, bunda "(x ) 2 L
2(
T d
) . Bu operator qanday "larda
kompakt bo'lishini tekshiramiz.
Teorema 1.6.3. Aoperator hech qanday "(x ) 2 L
2(
T d
) n f 0g uchun kom-
pakt bo'la olmaydi.
Misol 1.6.4. Yuqorida ko'rdikki, cheksiz o'lchamli Hilbert fazolarida birlik
shar nisbiy kompakt emas. Bu esa birlik operator Ining kompakt emasligini
ko'rsatadi.
30

Teorema 1.6.4.
HHilbert fazosi bo'lsin. Agar Akompakt, Bchegaralan-
gan operator bo'lsa, u holda ABvaBA operatorlar kompakt bo'ladi.
Bu teorema Ava Boperatorlar har xil fazolarda aniqlanib, AByoki
BA mavjud bo'lgan holda ham o'rinlidir.
Natija 1.6.1. Cheksiz o'lchamli fazolarda har qanday chegaralangan kom-
pakt operator chegaralangan teskariga ega bo'la olmaydi.
Teorema 1.6.5. Achegaralangan chiziqli operator kompakt bo'lishi uchun
A �
A operatorning kompakt bo'lishi yetarli va zarur.
Natija 1.6.2. Achiziqli, chegaralangan operator bo'lsin. Agar A�
A kom-
pakt bo'lsa, u holda AA�
ham kompaktdir.
Natija 1.6.3. Musbat kompakt operatorning kvadrat ildizi ham kompaktdir.
Darhaqiqat, Amusbat ekanligidan A1
=2
mavjud va A1
=2
= ( A1
= 2
)�
.
Lemmaga asosan A= A1
=2
(A 1
=2
)�
kompakt. 1.8.5 teoremaga ko'ra esa
A 1
=2
ham kompakt.
Teorema 1.6.6. Achiziqli chegaralangan operator bo'lsin. Aoperator
kompakt bo'lishi uchun A�
operatorning kompakt bo'lishi yetarli va zarur.
1.7 Hilbert fazolarida aniqlangan operatorlarning spektri
H - Hilbert fazosi, A:H �! Hbiror chiziqli chegaralangan operator
bo'lsin.
Ta'rif 1.7.1. Agar birorz2 C uchun A� zI operator teskarilanuvchan
bo'lsa, u holda zsoni Aoperatorning regulyar nuqtasi ,R
z(
A ) = ( A�
zI )�
1
operator esa uning rezolventasideyiladi.
A operatorning barcha regulyar nuqtalari to'plami �(A ) deb belgi-
lanadi. �(A ) = Cn�(A ) to'plam Aoperatorning spektrideb ataladi.
Demak spektr nuqtalari quyidagilardan iborat bo'lishi mumkin: 1.A� zI operator umuman teskarilanuvchan emas. Demak ( A� zI )x =
0 tenglama nolmas yechimga ega. Bu holda zsoni Aoperatorning xos
qiymati , nolmas xesa xos vektori deyiladi.
2. A� zI operatorning teskarisi mavjud, lekin chegaralanmagan. Bu
holda zsoni Aoperatorning uzluksiz spektriga tegishli deyiladi.
31

3.
A� zI operatorning teskarisi mavjud, chegaralangan, lekin A� zI
ning qiymatlar sohasi butun fazoga teng emas. Bu holda zsoni qoldiq
spektrga tegishli deyiladi.
A operatorning zxos qiymatiga mos keluvchi xos vektorlaridan hosil
qilingan fazoning o'lchami zxos qiymatning karraliligideyiladi. Agar z
ning karraliligi 1 ga teng bo'lsa, u oddiy xos qiymat, aks holdakarrali
xos qiymat deb ataladi.Aoperatorning chekli karrali xos qiymatlari
to'plamini diskret spektr deb ataymiz va�
disc (
A ) deb belgilaymiz. A
operatorning uzluksiz spektrini �
cont (
A ) deb, qoldiq spektrini esa �
res (
A )
deb belgilaymiz. Odatda operatorning uzluksiz spektri va cheksiz karrali
xos qiymatlari to'plami muhim spektrdeb ataladi va�
ees (
A ) kabi bel-
gilanadi.
Teorema 1.7.1. Ixtiyoriy chegaralangan Aoperatorning spektri yopiq to'plam.
Lemma 1.7.1. .A chegaralangan operator va kA k < 1bo'lsin. U holda
I � A operator teskarilanuvchan.
Teoremaning isbotiga o'tamiz. Ixtiyoriy z
0 2
�(A ) ni qaraymiz. U holda
quyidagi munos-abat o'rinli:
A� zI =A� z
0I
� (z � z
0)
I = ( A� z
0)(
I� (z � z
0)
R
z0 (
A )) :
Endi zni shunday tanlash mumkinki,
jz � z
0jk
R
z0 (
A )k < 1:
U holda lemmaga asosan I� (z � z
0)
R
z0 (
A ) teskarilanuvchan. z
0 ning
aniqlanishidan A� z
0I
teskarilanuvchan. U holda A� zI ham teskari-
lanuvchan bo'ladi. Bu yerdan z
0 o'zining biror atro� bilan
�(A ) ga tegishli
ekani, ya'ni ning ochiq ekanini hosil qilamiz. Teorema isbotlandi.
Agar jz j > kA k bo'lsa, kz�
1
A k < 1 bo'ladi. U holda A� zI =�z(I �
z �
1
A ) ekanidan Lemmaga asosan �z(I � z�
1
A ) va demak A� zI teskar-
ilanuvchan. Demak bu holda z2 �(A ) . Shunday qilib chegaralangan A
operatorning spektri markazi 0 nuqtada bo'lgan kA k radiusli doira ichida
to'liq saqlanadi. Demak Achegaralangan bo'lsa, �(A ) chegaralanmagan.
Misol 1.7.1. Chekli o'lchamli fazolarda ixtiyoriy operator faqat diskret
spektrga ega bo'ladi, ya'ni faqatgina xos qiymatlargagina ega.
Misol 1.7.2. A:`
2(
Z d
) �! `
2(
Z d
); (Af )(n) = v(n )f (n ); f 2`
2(
Z d
)
operatorni qaraymiz, bunda vaynan nol bo'lmagan biror chegaralangan
funksiya. Mdeb vning qiymatlari to'plamini belgilaymiz va �(A ) = M
32

bo'lishini ko'rsatamiz. Ixtiyoriy
z2 Cn M
ni qaraymiz. Bu to'plam ochiq
va q= dist (z; M
)> 0bo'ladi. Bu holda 8f 2 `
2(
Z d
) uchun
k (A � zI )f k2
= X
x 2 Zd j
v (x ) � zj2
jf (x )j2
� q2 X
x 2 Zd j
f (x )j2
= q2
k f k2
bo'lib, 1.4.4 teoremaga asosan A� zI teskarilanuvchan bo'ladi. Demak,
� (A ) � M
. Endi z2 M
bo'lsin. Af=zI tenglamani qaraymiz. Agar
z 2 M bo'lsa, u holda bu tenglama nolmas yechimga ega bo'ladi. Misol
uchun, biror x
0 2
Zd
uchun z= v(x
0)
ni qarasak, u holda
f x0(
x ) = �
1; agar x= x
0;
0 ; aks holda :
funksiya bu tenglamaning yechimi bo'ladi. Bu yerdan zning xos qiymatligi
va f
x0 ning xos vektorligini topamiz. Demak
z2 �(A ).
Endi z2 M
nM bo'lsin. U holda A� zI operator teskarilanuvchan,
ya'ni Af=zf tenglama yagona 0yechimga ega va rezolventa
( R
z(
A )f )( x) = f
(x ) v
(x ) � z
kabi aniqlanadi. z2 M
nM ekanidan har bir n2 N uchun shunday
x n 2
Zd
topiladiki, jv (x
n)
� zj < 1 n
bo'ladi. Quyidagi funksiyalar ketma-
ketligini aniqlaymiz
fn(
x ) = �
1; agar x= x
0;
0 ; aks holda :
U holda
kR
z(
A )f
nk 2
= X
x 2 Z d f
n(
x ) j
v (x ) � zj2 = f
n(
x
n) j
v (x
n)
� zj2 > n 2
:
Demak R
z(
A ) chegaralanmagan operator. Ta'rifga binoan z2 �
ess (
A ) .
Demak M
��(A ). Bu yerdan M
=�(A ) ekani kelib chiqadi.
O'z-o'ziga qo'shma operatorning spektri H Hilbert fazosi, A2L(A ) o'z-o'ziga qo'shma operator bo'lsin. Quyidagi
belgilashlarni kiritamiz:
M= sup
kx k=1 (
Ax; x ); m = inf
kx k=1 (
Ax; x ):
M vamsonlari mos ravishda Aoperatorning yuqori va quyi chegarasi
deyiladi.
33

Teorema 1.7.2.
kA k = max fjm j; jM jg.
Ma'lumki, �(A ) kA k radiusli doira ichida saqlanar edi. O'z-o'ziga qo'shma
operatorlar uchun esa bu baholash yanada aniqroq.
Teorema 1.7.3. �(A )� [m; M ]. Shuningdek, m; M2�(A ) .
Natija 1.7.1. Har qanday chegaralangan o'z-o'ziga qo'shma operatorning
spektri bo'sh emas.
Teorema 1.7.4. O'z-o'ziga qo'shma operatorning har xil xos qiymatlariga
mos keluvchi xos vektorlari ortogonal.
Teorema 1.7.5. Ao'z-o'ziga qo'shma operator bo'lsin. zsoni Aoperator
uchun xos qiymat bo'lishi uchun R
(A � zI )6
= H bo'lishi yetarli va zarur.
Natija 1.7.2. zxos qiymatga mos keluvchi xos funksiyalar fazosi R(A �
zI )ning ortogonal to'ldiruvchisidan iborat.
O'z-o'ziga qo'shma operatorning spektrini quyidagicha tavsi ash ham
mumkin: agar R(A � zI)6
= R
(A � zI ) bo'lsa, zsoni Aoperatornng
uzluksiz spektriga tegishli bo'ladi. Va agar R
(A � zI )6
= H bo'lsa, zsoni
A operatorning nuqtali spektriga tegishlidir.
Teorema 1.7.6. Faraz qilamiz,A2L(H )� o'z-o'ziga qo'shma operator,
M �H ning biror qism fazosi. Agar A(M )� M bo'lsa, u holda
� H (
A ) = �
M (
A )[ �
M ?
(A ):
Bu yerda �
X (
A ) A :X �! Xoperatorning spektri.
Teorema 1.7.7. Faraz qilamiz,A� H Hilbert fazosidagi o'z-o'ziga qo'shma
operator bo'lsin. U holda Aqoldiq spektrga ega emas.
Kompakt operatorning spektri
H Hilbert fazosi, A2L(H )� o'z-o'ziga qo'shma operator bo'lsin.
Teorema 1.7.8. Kompakt operatorning nolmas zxos qiymatiga mos kelu-
vchi X
z xos fazosi chekli o'lchamli.
Teorema 1.7.9. Istalgan� >0son uchun kompakt operator xos qiymat-
larining moduli �dan katta bo'lganlari soni chekli.
Bu teoremadan shuni xulosa qilamizki, kompakt operatorning xos qiy-
matlarini moduli bo'yicha kamayish tartibida joylashtirish mumkin.
34

Natija 1.7.3.
Kompakt operatorning xos qiymatlari to'plami noldan farqli
limitik nuqtaga ega emas.
Teorema 1.7.10.(Phillips) Agarz2 C soni Akompakt operatorning
xos qiymati bo'lsa, z
2 C soni A�
ning xos qiymati bo'ladi.
Teorema 1.7.11. Ava A�
kompakt operatorlarning zva z
xos qiymat-
lariga mos keluvchi xos qism fazolarining o'lchamlari teng.
Teorema 1.7.12. A2L(H )� kompakt operator bo'lsin. U holda
1. Aoperatorning spektridagi noldan farqli ixtiyoriy nuqta xos qiymatdir;
2.Agar Hcheksiz o'lchamli bo'lsa, 0soni operatorning spektriga te-
gishli.
Teorema 1.7.13. AgarA6
= 0 o'z - o'ziga qo'shma va kompakt bo'lsa,
uning hech bo'lmaganda bitta nolmas xos qiymati bor.
Teorema 1.7.14.(Hilbert-Shmidt) HHilbert fazosidagi har qanday
o'z-o'ziga qo'shma kompakt Aoperator uchun uning nolmas z
n xos qiymat-
lariga mos keluvchi
n xos vektorlaridan tuzilgan shunday ONS mavjudki,
ixtiyoriy x2 H ni yagona ravishda
x= X
k c
k
k +
x0
kabi ifodalash mumkin, bunda x0
2 K erA , ya'ni Ax0
= 0 . Bu holda
Ax =X
k c
kz
k
k:
Agar
n sistema cheksiz bo'lsa,
lim
n !1 z
n = 0
:
1.8 Unitar ekvivalent operatorlar H 1 va
H
2 Hilbert fazolari bolsin.
Ta'rif 1.8.1. AgarU:H
1�!
H
2akslantirish barcha
x; y2H
1lar uchun
( U x; U y )
H 2 = (
x; y )
H 1
munosabatni qanoatlantirsa va D(U ) = H
1,
R(U ) = H
2 bo'lsa, u holda u
unitar operator deyiladi.
35

Unitar operatorning quyidagi ekvivalent ta'ri� ham ishlatiladi.
Ta'rif 1.8.2. AgarU:H
1�!
H
2 akslantirish barcha
x2 H
1 lar uchun
k U x k
H 2 =
kx k
H 1
munosabatni qanoatlantirsa va D(U ) = H
1,
R(U ) = H
2 bo'lsa, u holda u
unitar operator deyiladi.
Faraz qilamiz, A:H
1�!
H
1 va
B:H
2�!
H
2 bo'lsin. Agar shunday
U :H
1�!
H
2 unitar operator topilib,
A= U�
1
BU tenglik ba jarilsa, A
va Boperator unitar ekvivalent operatorlar deyiladi.
Teorema 1.8.1. Ixtiyoriy chegaralangan unitar ekvivalent operatorlarning
spektrlari, xususan muhim spektrlari, diskret spektrlari, qoldiq spektrlari
ustma-ust tushadi.
Misol 1.8.1. ^
V :`
2(
Z d
) �! `
2(
Z d
); (^
V ^
f )( n) = ^ v(n ) ^
f (n ); ^
f 2 `
2(
Z d
)
bunda ^
v funksiya chegaralangan, operatorni qaraymiz. Bu operator biror
operatorga unitar ekvivalent bo'ladimi? Unitar operator sifatida Fourier
akslantirishini olamiz.
f= F^
f = (2 �)�
d= 2X
s 2 Zd ^
f (s )e i
( p;s )
bo'lsin. (V f )(p) = ( F^
V F�
1
)( p) = ( F^
V ^
f )( p) = (2 �)�
d= 2X
s 2 Zd ^
v (s ) ^
f (s )e i
( p;s )
=
= (2 �)�
d= 2X
s 2 Zd ^
v (s ) 8
<
: (2
�)�
d= 2Z
T d f
(q )e �
i( q;s )
dq 9
=
; e
i
( p;s )
=
= (2 �)�
d= 2Z
T d (
(2 �)�
d= 2X
s 2 Zd ^
v (s )e i
( p � q;s ))
f(q )dq:
Agar (2�)�
d= 2X
s 2 Zd ^
v (s )e i
( p � q;s )
yaqinlashuvchi bo'lsa, bu biror v:L
2(
T d
) �! Cfunksiyani aniqlaydi, ya'ni
^
v funksiyaning Fourier almashtirishiga bo'lamiz.
v(p � q) = (2 �)�
d= 2X
s 2 Zd ^
v (s )e i
( p � q;s )
36

kabi belgilash kiritsak,
Voperator quyidagi ko'rinishga keladi:
( V f )(p) = (2 �)�
d= 2Z
T d v
(p � q)f (q )dq:
Demak `
2(
Z d
) fazodagi ko'paytirish operatori L
2(
T d
) fazodagi integral
operatorga unitar ekvivalent. Yuqoridagi 1.12.1 teoremaga asosan
� (b
V ) = �(V ); �
disc(b
V ) = �
disc (
V ); �
ess(b
V ) = �
ess (
V ); �
res(b
V ) = �
res (
V ):
37

BOB 2
Panjaradagi ikki zarrachali sistemaga
mos diskret Schr�odinger operatori
2.1 Koordinata tasviri
Faraz qilaylik Z-bir o'lchamli panjara va `2
(Z ) kvadrati bilan jamlanu-
vchifunksiyalarning Hilbert fazosi hamda `2
;e
(Z ) - kvadrati bilan jamlanu-
vchi juft funksiyalarning qism fazosi bo'lsin. Ikkita kvant zarrachaning ^ vpotensial maydondagi o'zaro ta'sirini ifo-
dalovchi ikki zarrachali Hamiltonian b
H �� (
k ) ning koordinata tasviri `2
;e
(Z )
fazoda quyidagicha aniqlangan:
b
H �� (
k ) = b
H 0(
k ) + b
V �� ; �; �
2R; k 2T (2.1.1)
bu yerda (b
H 0(
k ) ^
f )( x) = X
s 2 Z ^
E k(
x � s) ^
f (s ); ^
f 2 `2
;e
(Z ); (2.1.2)
hamda ^
E k(
x ) = [ ei(
k 2
x
)
+ e�
i( k 2
x
)
] ^" (x ); k 2T; x 2Z (2.1.3)
va ^ "(�) quyidagicha
^
" (s ) = 8
<
: 1
; js j = 0 ;
� 1 2
;
js j = 1 ;
0 ; js j > 1: (2.1.4)
Bu yerda b
V �� (
k ) operator ^ v
�� (
x ) funksiyaga ko'paytirish operatori sifatida
aniqlangan,ya'ni (b
V �� ^
f )( x) = ^ v
�� (
x ) ^
f (x ); (2.1.5)
^
v
�� (
�) funksiya quyidagicha
38

^
v
�� (
s ) = 8
<
: �;
js j = 0 ;
� 2
;
js j = 1 ;
0 ; js j > 1; (2.1.6)
Lemma 2.1.1. b
H �� (
k ) operator, `2
;e
(Z )da chiziqli, chegaralangan va o'z-
o'ziga qo'shma operatordir.
Proof. 1)b
H �� (
k ) operator chiziqli operator, ya'ni 8�; � 2C va 8^
f ; ^
g 2
` 2
;e
(Z ) lar uchun
( b
H �� (
k )( � ^
f + �^
g ))( x) = X
s 2 Z ^
E k(
x � s)( � ^
f + �^
g )( s) + ^ v
�� (
x )( � ^
f + �^
g )( x) =
= �X
s 2 Z ^
E k(
x � s) ^
f (s ) + �X
s 2 Z ^
E k(
x � s)^g (s ) + �^
v (x ) ^
f (x ) + �^
v
�� (
x )^g (x ) =
= �
X
s 2 Z ^
E k(
x � s) ^
f (s ) + ^ v
�� (
x ) ^
f (x )!
+
+ �
X
s 2 Z ^
E k(
x � s)^g (s ) + ^ v
�� (
x )^g (x )!
=
= �(b
H �� (
k ))( ^
f )( x) + �(b
H �� (
k ))(^ g)( x)
tenglik o'rinli.
2) Endi bu operatorni chegaralanganlikka tekshiramiz. Dastlab quyidagi
tengsizlikni isbotlaymiz. Agar K(�) 2 `p
(Z ); 1� p� 1 vag2 `1
(Z )
bo'lsa, u holda ( K�g)( x) := P
y 2 Z K
(x � y)g (y ); ` p
(Z ) fazoda yotadi hamda
quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi:
kK �gk
p � k
Kk
pk
g k
1:
(2.1.7)
39

Faraz qilaylik 1
�p < 1bo'lsin. U holda,
k K �gk
p =
X
x 2 Z j
( K �g)( x)jp !
1 p
=
= 0
@ X
x 2 Z �
�
�
�
�
� X
y 2 Z K
(x � y)g (y )�
�
�
�
�
� p
1
A 1 p
�
� X
y 2 Z
X
x 2 Z j
K (x � y)jp
jg (y )jp !
1 p
=
= X
y 2 Z j
g (y )j
X
x 2 Z j
K (x � y)jp !
1 p
= kK k
pk
g k
1:
k b
H �� (
k ) ^
f k
`2
(Z ) =
X
x 2 Z �
�
� ( b
H �� (
k ) ^
f )( x)�
�
� 2
!
1 2
=
= 0
@ X
x 2 Z �
�
�
�
� X
s 2 Z ^
E k(
x � s) ^
f (s )�
�
�
�
� 2
1
A 1 2
�
� 0
@ X
x 2 Z
jX
s 2 Z ^
E k(
x � s) ^
f (s ) j!
21
A 1 2
x � s= talmashtirishni kiritamiz. Bundan quyidagiga kelamiz:
0
@ X
x 2 Z
jX
t 2 Z ^
E k(
t) ^
f (x � t) j!
21
A 1 2
�
� X
t 2 Z
X
x 2 Z �
�
� ^
E k(
t) �
�
� 2
�
�
� ^
f (x � t) �
�
� 2
!
1 2
=
= X
t 2 Z �
�
� ^
E k(
t) �
�
�
X
x 2 Z �
�
� ^
f (x � t) �
�
� 2
!
1 2
= k^
E kk
`1
(Z )k ^
f k
`2
(Z ):
k b
H �� (
k ) ^
f k2
= X
x 2 Z j
^
v
�� (
x ) ^
f (x )j2
40

^
v 2 `1
(Z ) ekanligidan ^ vfunksiya Zda chegaralangan bo'ladi, ya'ni
9 M > 0;8 x 2 Z! j ^
v (x )j < M bo'ladi, u holda
k b
H �� (
k ) ^
f k2
� M2X
x 2 Z j
^
f (x )j2
= M 2
k ^
f k2
` 2
(Z )
Bundan b
H �� (
k ) operatorning chegaralanganligi kelib chiqadi.
3) b
H �� (
k ) operatorni o'z-o'ziga qo'shma operator ekanligini ko'rsatamiz.
8 f ; g 2`2
(Z ) bo'lsin. U holda
(b
H �� (
k ) b
f ; b
g )
`2
(Z ) = X
s 2 Z (
b
H �� (
k ) b
f )( x) b
g (x ) =
= X
x 2 Z
X
s 2 Z ^
E k(
x � s) ^
f (s ) + ^ v(x ) ^
f (x )! ^
g (x ) =
= X
x 2 Z X
s 2 Z ^
E k(
x � s) ^
f (s ) ^
g (x ) + X
x 2 Z ^
v (x ) ^
f (x ) ^
g (x ) =
bu yerda birinchi qo'shiluvchida xva sjoylarini almashtiramiz
X
x 2 Z ^
f (x )X
s 2 Z ^
E k(
x � s)^g (s ) + X
x 2 Z ^
f (x ) ^
v
�� (
x )^
^
g (x ) =
= X
x 2 Z ^
f (x ) X
s 2 Z ^
E k(
x � s)^g (s ) + ^ v
�� (
x )^g (x ) = ( ^
f ; b
H �� (
k )^g )
tenglikka asosan b
H �� (
k ) o'z-o'ziga qo'shma operator ekan. 41

2.2 Impuls tasviri
Faraz qilaylik, T; bir-o'lchamli tor bo'lsin, ya'ni, ( ��; � ] - qarama-qarshi
chegaralari bitta nuqtani ifodalovchi kub, va L2
(T ); Tda kvadrati bilan
integrallanuvchi funksiyalarning Hilbert fazosi bo'lsin hamda L2
;e
(T ); T da
kvadrati bilan integrallanuvchi juft funksiyalarning qism fazosi bo'lsin. Faraz qilaylik,
F:`2
;e
(Z )! L2
;e
(T ); (F ^
f )( p) = 1 (2
�)1 2
X
x 2 Z e
i(
p;x )
^
f (x )
odatdagi Fourier almashtirishi va F�
1
esa uning teskarisi bo'lsin:
F �
1
:L 2
;e
(T )! `2
;e
(Z ); (F �
1
f )( x) = 1 (2
�)1 2
Z
T e
�
i(p;x )
f (p )� (d p):
Fur'e almashtirishi yordamida mahkamlangan k2 T uchun H
�� (
k ) =
F b
H �� (
k )F �
1
Schr�odinger operatorining L2
;e
(T ) fazoda impuls tasvirini
quyidagicha aniqlaymiz:
H�� (
k ) = H
0(
k ) + V
�� :
(2.2.1)
Bu yerda, H
0(
k ) := Fb
H 0(
k )F �
1
operator funksiyaga ko'paytirish oper-
atori sifatida aniqlanadi:
(H
0(
k )f )( p) = E
k(
p )f (p ); f 2L2
;e
(T );
bu yerda E
k(
p ) = 2(1 �cos k 2
cos
p):
Integral operator V
�� :=
Fb
V �� F�
1
quyidagicha aniqlanadi:
( V
�� f
)( p) = � 2
� Z
T f
(t) dt + � 2
� Z
T cos
pcos tf(t) dt; f 2L2
;e
(T ):
Yuqoridagi H
0(
k ) := Fb
H 0(
k )F �
1
operatorni quyidagicha hosil qilamiz:
42

(
H
0f
)( p) = ( Fb
H 0(
k )F �
1
f )( p) = 1 p
2
� X
s 2 Z e
i
( p;s )
( b
H 0(
k ) ^
f )( s) =
1 p
2
� X
s 2 Z e
i
( p;s )X
s 2 Z ^
E k(
s � x) ^
f (x ) =
1 p
2
� X
s 2 Z e
ips X
s 2 Z h
ei
k 2
(
s � x)
+ e�
ik 2
(
s � x)i
^
E (s � x) ^
f (x ) =
1 p
2
� X
s 2 Z e
ips h
2 ^
f (s ) � 1 2
(
e i
k 2
+ e�
ik 2
) ^
f (s + 1) �1 2
(
e �
ik 2
+ ei
k 2
) ^
f (s � 1)i
=
2 p
2
� X
s 2 Z e
ips
^
f (s ) � 1 p
2
� X
s 2 Z e
ips
cos k 2
^
f (s + 1) �1 p
2
� X
s 2 Z e
ips
cos k 2
^
f (s � 1) =
2 f (p ) � cos k 2
1 p
2
� X
s 2 Z e
ipz
^
f (z )e �
ip
� cos k 2
1 p
2
� X
s 2 Z e
ipt
^
f (t) e ip
=
2 f (p ) � cos k 2
f
(p )( e�
ip
+ eip
) = 2 f(p ) � 2 cos k 2
cos
pf(p ) =
2(1 �cos k 2
cos
p)f (p ) = E
k(
p )f (p ):
Demak H
0(
k ) = E
k(
p )f (p ) ko'paytirish operatori bo'lar ekan.
Yuqoridagi V
�� :=
Fb
V �� F�
1
operatorni quyidagicha hosil qilamiz:
( V
�� f
)( p) = ( Fb
V �� F�
1
f )( p) = ( Fb
V �� ^
f )( p) = 1 p
2
� X
s 2 Z e
ips
^
v
�� (
s ) ^
f (s ) =
1 p
2
� �
^
f (0) + 1 p
2
� (
e ip
� 2
^
f (1) + e�
ip � 2
^
f (� 1)) =
� 1 p
2
� 1 p
2
� Z
T e
�
iq 0
f (q )dq + 1 p
2
� � 2
e
ip
1 p
2
� Z
T e
�
iq
f(q )dq +
1 p
2
� � 2
e
�
ip 1 p
2
� Z
T e
iq
f(q )dq =
� 2
� Z
T f
(q )dq +� 2
1 2
� Z
Z e
i
( p � q)
f (q )dq +� 2
1 2
� Z
Z e
�
i( p � q)
f (q )dq =
� 2
� Z
T f
(q )dq +� 2
1 2
� Z
Z 2 cos
pcos qf(q )dq =
� 2
� Z
T f
(q )dq + � 2
� Z
Z cos
pcos qf(q )dq =
1 2
� Z
T(
� + �cos pcos q)f (q )dq
43

BOB 3
H �� (
k ) operatorning xos qiymatlari
soni va ularning joylashgan o'rni
3.1 H
�� (
k ); k 2T operatorning muhim spektri.
H 0(
k ); k 2T operator Tda aniqlangan uzluksiz haqiqiy qiymatli E
k(
p )
funksiyaga ko'paytirish operatori bo'lganligi uchun uning spektri faqat
muhim spektrdan iborat bo'ladi:
�(H
0(
k )) = �
ess (
H
0(
k )) = [ E
min (
k ); E
max (
k )] ; (3.1.1)
bu yerda Emin (
k ) := min
q2 T d E
k(
q ) = 2(1 �cos k 2
)
� 0;
E max (
k ) := max
q2 T d E
k(
q ) = 2(1 + cos k 2
)
� 4:
Qo'zg'alish operatori V
�� ning rangi ko'pi bilan ikkiga teng bo'lganligi
uchun Weyl teoremasiga ko'ra H
�� (
k ) operatorning �
ess (
H
�� (
k )) muhim
spektori H
0(
k ) operatorning �
ess (
H
0(
k )) muhim spektori bilan ustma-ust
tushadi, yani: �ess (
H
�� (
k )) = �
ess (
H
0(
k )) :
45

3.2
H
�� (
k ); k 2T operatorga mos Fredgolm deter-
minanti.
Ixtiyoriy ( �; �)2 R2
va k2 T, uchun L2
;e
(T ) da Birman-Schuinger
operatorini quyidagicha aniqlaymiz
B�� (
k; z ) = �V
�� R
0(
k; z ); (3.2.1)
bu yerda R
0(
k; z ) = ( H
0(
k ) � zI )�
1
; yani H
0(
k ) operatorning
z 2 Cn[E
min (
k ); E
max (
k )] nuqtadagi rezolventasi.
Quyidagi tenglamasini qaraylik
(B
�� (
k; z ) )( p) = (p )
Berilganlarga ko'ra V�� R
0(
k; z ) = � : (3.2.2)
Operator aniqlanishiga ko'ra tenglamani quyidagi ko'rinishda yozamiz 1 2
� Z
T �
� + �cos pcos t�
(t) E
k(
t) � zdt
=� (p ): (3.2.3)
2L2
;e
(T ) ning Fur'e qatori quyidagicha aniqlangan
(p ) = a
0 + 1
X
n =1 a
n cos
np;
bu yerda a
n = 1 �
�
R
� �
(t) cos ntdt Furye koe�senti. Natijalarni (3.2.3) teng-
likdagi ning o'rniga qo'yib quyidagilarni hosil qilamiz;
1 2
� Z
T �
+ �cos pcos t E
k(
t) � z �
a 0 + 1
X
n =1 a
n cos
nt�
dt =�a
0 � 1
X
n =1 a
n cos
np;
yanada soddalashtirsak quyidagi ko'rinishga keladi: a0 2
� Z
T �
+ �cos pcos t E
k(
t) � z dt
+
1 2
� 1
X
n =1 a
n�
� Z
T cos
nt E
k(
t) � zdt
+�cos pZ
T cos
tcos nt E
k(
t) � zdt �
=
46

�
a
0 � 1
X
n =1 a
n cos
np:
Tenglamaning chap tomoni uchun f1;cos pg bazis. Shuning uchun n=
1 dan boshqa koe�sentlarni e'tiborsiz qoldirish mumkin va tenglama quyidagi
ko'rinishga keladi:
a0�
� 2
� Z
T dt E
k(
t) � z+
�
cos p 2
� Z
T cos
t E
k(
t) � zdt �
+ a
1�
� 2
� Z
T cos
t E
k(
t) � zdt
+�
cos p 2
� Z
T cos
2
t E
k(
t) � zdt �
= �a
0 �
a
1 cos
p:
Soddalik uchun quyidagi belgilashlarni kiritaylik a(k; z ); b (k; z ) va c(k; z )
a (k; z ) := 1 2
� Z
T dt E
k(
t) � z;
b (k; z ) := 1 2
� Z
T cos
tdt E
k(
t) � z;
c (k; z ) := 1 2
� Z
T cos
2
tdt E
k(
t) � z; z
2Cn[E
min (
k ); E
max (
k )] :
1 va cos plarning chiziqli bog'langan ekanligini hisobga olsak, a
0 va
a
1
nomalum koe�tsentlar uchun quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini hosil
qilamiz �
a0(1 +
�a(k; z )) + a
1�b
(k; z ) = 0
a 0�b
(k; z ) + a
1(1 +
�c(k; z )) = 0 : (3.2.4)
Ixtiyoriy �; �2R uchun B
�� (
k; z ) operatorga mos determinantni quyidagicha
aniqlaymiz:
D(�; � ;k; z ) = �
�
�
� 1 +
�a(k; z )�b(k; z )
�b (k; z ) 1 + �c(k; z )�
�
�
� (3.2.5)
Quyidagi lemma D(�; � ;k; z ) determinantning nollari va H
�� (
k ) oper-
atorning xos qiymatlari orasidagi bog'liqlikni ifodalaydi .
Lemma 3.2.1. Ixtiyoriy�; �2R va k2 T uchun z2 Cn[E
min (
k ); E
max (
k )]
soni H
�� (
k ) operatorning xos qiymati bo'lishi uchun
D(�; � ;k; z ) = 0 : (3.2.6)
bo 0
lishi zarur va yetarli
47

Proof.Zaruriyligi.
Faraz qilaylik, ixtiyoriy �; �2R va k2 T uchun
z 2 Cn[E
min (
k ); E
max (
k )] soni H
�� (
k ) operatorning xos qiymati bo'lsin,
ya'ni
H�� (
k )f = zf
tenglama L2
;e
(T ) fazoda noldan farqli yechimga ega bo'lsin.
U holda quyidagi munosabatlar o'rinli:
"k(
p )f (p ) + 1 2
� Z
T(
� + �cos pcos q)f (q )dq =zf (p );
( "
k(
p ) � z)f (p ) = �� 2
� Z
T f
(q )dq ��
cos p 2
� Z
T cos
qf(q )dq;
( "
k(
p ) � z)f (p ) = ��C
1�
�cos pC
2;
bu yerda C1= 1 2
� Z
T f
(q )dq;
C 2= 1 2
� Z
T cos
qf(q )dq:
Yuqoridagi tengliklardan quyidagiga ega bo'lamiz:
f(p ) = �
�C
1�
�C
2cos
p "
k(
p ) � z
Ushbu funksiya z2 Cn[E
min (
k ); E
max (
k )] xos qiymatga mos xos funksiya
boladi. C16
= 0 va C
26
= 0 ekanligidan quyidagilar kelib chiqadi:
C 1= 1 2
� Z
T f
(q )dq = 1 2
� Z
T �
�C
1�
�C
2cos
q "
k(
q ) � z dq
=
� �C
1 2
� Z
T dq "
k(
q ) � z�
�C
2 2
� Z
T cos
qdq "
k(
p ) � z;
bundan quyidagi tengliklarga ega bo'lamiz:
C1(1 + � 2
� Z
T dq "
k(
p ) � z) +
�C
2 2
� Z
T cos
qdq "
k(
p ) � z= 0
;
C 1(1 +
�a(k; z )) + �C
2b
(k; z ) = 0 : (3.2.7)
48

C
2 ning aniqlanishiga ko'ra quyidagilarga ega bo'lamiz:
C2= 1 2
� Z
T cos
qf(q )dq = 1 2
� Z
T cos
q�
�C
1�
�cos pC
2 "
k(
p ) � z =
� �C
1 2
� Z
T cos
qdq "
k(
p ) � z�
�C
2 2
� Z
T cos
2
qdq "
k(
p ) � z:
Yuqoridagi tenglikga ekvivalent bo'lgan quyidagi tengliklarga ega bo'lamiz: �C1 2
� Z
T cos
qdq "
k(
p ) � z+
C
2(1 + � 2
� Z
T cos
2
qdq "
k(
p ) � z) = 0
;
�C 1b
(k; z ) + C
2(1 +
�C
2(
k; z )) = 0 : (3.2.8)
(3.2.7) va (3.2.8) tengliklardan quyidagi sistemaga ega bo'lamiz: (C1(1 +
�a(k; z )) + �C
2b
(k; z ) = 0
�C 1b
(k; z ) + C
2(1 +
�C
2(
k; z )) = 0
Yuqoridagi tenglamalar sistemasida C
1 va
C
2 lar noldan farqli yechimlar
bo'lishi uchun uning asosiy determinanti nolga teng bo'lishi zarur va yetarli,
ya'ni
D(�; � ;k; z ) = �
�
�
� 1 +
�a(k; z )�b(k; z )
�b (k; z ) 1 + �c(k; z )�
�
�
� = 0 (3.2.9)
Bu yerdan (1 +�a(k; z ))(1 + �b(k; z ))� ��b 2
(k; z ) = 0
ekanligi kelib chiqadi. Yetarliligi. Faraz qilaylik, z2 Cn[E
min (
k ); E
max (
k )] soni uchun
D (�; � ;k; z ) = 0 (3.2.10)
tenglik ba jarilsin. U holda, shunday
f(p ) = �
�C
1�
�C
2cos
p "
k(
p ) � z 6
= 0
funksiyani tanlaymizki, bu funksiya berilgan H
�� (
k ) operatorning zxos
qiymatiga mos xos funksiyasi bo'ldimi? Ushbu savolga javob beramiz.
(H
�� (
k ) � z)f = 0 )
49

(
"
k(
p ) � z)f (p ) + � 2
� Z
T f
(q )dq +�
cos p 2
� Z
T cos
qf(q )dq = 0 )
( "
k(
p ) � z)�
�C
1�
�C
2cos
p "
k(
p ) � z +
+ � 2
� Z
T �
�C
1�
�C
2cos
q "
k(
q ) � z dq
+
+ �
cos p 2
� Z
T cos
q�
�C
1�
�C
2cos
q "
k(
q ) � z dq
= 0 )
� �C
1�
�C
2cos
p� �
2
C 1 2
� Z
T dq "
k(
q ) � z�
��C
2 2
� Z
T cos
q "
k(
q ) � zdq
� ��C
1cos
p 2
� Z
T cos
q "
k(
q ) � zdq
��
2
C 2cos
p 2
� Z
T cos
2
q "
k(
q ) � zdq
= 0
Yuqoridagi belgilashlarni hisobga olsak, oxirgi tenglik quyidagi ko'rinishga
keladi:
��C
1�
�C
2cos
p� �2
C 1a
(k; z )� ��C
2b
(k; z )
� ��C
1cos
pb(k; z )� �2
C 2cos
pd(k; z ) = 0 :
Bu tenglikni quyidagicha tasvirlashimiz mumkin. ��C
1(1 +
�a(k; z ))� ��C
2b
(k; z )�
�C 2cos
p(1 + �c(k; z ))� ��C
1cos
pb(k; z ) = 0 :
Bundan quyidagini hosil qilamiz: ��[C
1(1 +
�a(k; z )) + �C
2b
(k; z )]�
� cos p[C
2(1 +
�c(k; z )) + �C
1b
(k; z )]) = 0
50

U holda yuqoridagi tenglamadan quyidagi sistemani hosil qilamiz.
(C1(1 +
�a(k; z )) + �C
2b
(k; z ) = 0
C 1�b
(k; z ) + C
2(1 +
�c(k; z )) = 0 :
Bu yerda C
1 6
= 0 va C
2 6
= 0 ekanligidan D(�; � ;k; z ) = 0 ga kelamiz.
Demak zsoni H
�� (
k ) operator uchun xos qiymat bo'lar ekan va unga mos
xos funksiya
f(p ) = �
�C
1�
�C
2cos
p "
k(
p ) � z
ko'rinishda bo'lar ekan. 3.2.1
D(�; � ;k; z )determinantning nollari soni va joylashgan
o'rni
Quyidagi lemmalar a; b; cfunksiyalar va D(�; � ;k; z ) determinantning
aniqlanishini to'g'ridan to'g'ri natijasidir.
Lemma 3.2.2. Ixtiyoriy�; �2R va z2 Cn[E
min (
k ); E
max (
k )] uchun
D (�; � ;k; z )funksiya quyidagicha ifodalanadi
D (�; � ;k; z ) = 8
<
: (1 +
�a(k; z ))(1 + �c(k; z ))� ��b 2
(k; z ); k 6
= �
(1 + �a(� ;z ))(1 + � c
(
� ;z )) ; k =�:
Lemma 3.2.3. Ixtiyoriyk2 T uchun a(k ;�) ; b (k ;�) ; c (k ;�) funksiyalar.
( i) Cn[E
min (
k ); E
max (
k )] da regular bo'ladi.
( ii)( E
max (
k ); + 1 )oraliqda man�y va monoton o'suvchi bo'ladi.
( iii)( �1;E
min (
k )) oraliqda musbat va monaton o'suvchi bo'ladi.
Proof. (i) Ixtiyoriy k2 T uchun a(k ;�) ; b (k ;�) ; c (k ;�) funksiyalarning
C n[E
min (
k ); E
max (
k )] da regulyarligi bu funksiyalarning berilishidan ko'rinib
turibdi. (ii) Berilgan
a(k; z ) := 1 2
� Z
T dt E
k(
t) � z;
b (k; z ) := 1 2
� Z
T cos
tdt E
k(
t) � z;
51

c
(k; z ) := 1 2
� Z
T cos
2
tdt E
k(
t) � z;
funksiyalar z2 (E
max (
k ); + 1 ) bo'lganligi uchun ushbu oraliqda man�y
bo'ladi. Ixtiyoriy k2 T uchun a(k ;�) ; b (k ;�) ; c (k ;�) funksiyalarning zbo'yicha
hosilalaridan ko'rinadiki, ushbu funksiyalar ( E
max (
k ); + 1 ) oraliqda mono-
ton o'suvchi bo'ladi. Lemmaning (iii) -tasdig'i xuddi yuqoridagidek isbotlanadi. Lemma 3.2.4.
a(k ;�) ; b (k ;�) ; c (k ;�) funksiyalar uchun E
min (
k ) nuqtan-
ing chapida assimtotik yoyilmalarni quyidagicha olamiz quyidagicha olamiz
a(k; z ) = 1 2
q cos
k 2
(
E
min (
k ) � z)�
1 2
+ o(1) ; as z %E
min (
k );
b (k; z ) = 1 2
q cos
k 2
(
E
min (
k ) � z)�
1 2
� 1 2 cos
k 2
+
o(1) ; as z %E
min (
k );
c (k; z ) = 1 2
q cos
k 2
(
E
min (
k ) � z)�
1 2
� 1 2 cos
k 2
+
o(1) ; as z %E
min (
k )
hamda E
max (
k ) nuqtaning o'ngida quyidagicha
a (k; z ) = � 1 2
q cos
k 2
(
z � E
max (
k )) �
1 2
+ o(1) ; as z &E
max (
k );
b (k; z ) = � 1 2
q cos
k 2
(
z � E
max (
k )) �
1 2
+ 1 2 cos
k 2
+
o(1) ; as z &E
max (
k );
c (k; z ) = � 1 2
q cos
k 2
(
z � E
max (
k )) �
1 2
+ 1 2 cos
k 2
+
o(1) ; as z &E
max (
k ):
Shuningdek, ixtiyoriy �; �2R lar uchun
lim
z !�1 D
(�; � ;k; z ) = 1 :
ga ega bo'lamiz
Proof. a(k; z ) = 1 2
� Z
T dq 2
� 2 cos k 2
cos
q� z=
52

1
2
� Z
T dq 2
� 2 cos k 2
cos
q� 2(1 �cos k 2
) +
m(k ) � z;
bu yerda m(k ) = E
min (
k ) = 2(1 �cos k 2
)
:
Yuqoridagi tenglikdan quyidagilarni hosil qilamiz:
a(k; z ) = 1 2
� Z
T dq 2 cos
k 2
(1
�cos q) + m(k ) � z=
1 2
� 1 2 cos
k 2
Z
T dq (1
�cos q) + m
(k )� z 2 cos
k 2
:
Bu ifodada A= m
(k ) � z 2 cos
k 2
>
0
deb belgilash olsak, quyidagilarga ega bo'lamiz: 1 2
� 1 2 cos
k 2
Z
T dq (1
�cos q) + A:
Quyidagicha almashtirish olamiz: t= eiq
;
dt =ieiq
dq dq =dt it
;
cos q= t
2
+ 1 2
t :
Bu almashtirishlarni hisobga olsak, yuqoridagi integral quyidagi ko'rinishga
keladi:
1 2
� 1 2 cos
k 2
Z
jt j=1 dt it
(1 �t
2
+1 2
t +
A) =
1 4
� cos k 2
Z
2dt i
( � t2
+ 2( A+ 1) t� 1) =
� 1 2
�i cos k 2
Z
jt j=1 dt (
t2
� 2Bt + 1) ;
bu yerda B=A+ 1 >1:
Yuqoridagi integralostidagi ifodaning maxra jidagi ko'phadning nollarini
topsak,
t1 =
B�p B
2
� 1; t
2=
B+p B
2
� 1
53

j
t
1 j
< 1
tengliklarga ega bo'lamiz. Bundan kelib chiqadiki, yuqoridagi integral quyidagi
ko'rinishga keladi:
1 2
�i cos k 2
2
�i 1 2
p B
2
� 1=
1 2 cos
k 2
1 p
B
2
� 1=
1 2 cos
k 2
1 p
(
B �1)( B+ 1) =
1 2 cos
k 2
1 p
A
(A + 2) =
1 2 cos
k 2
1 q
m
(k )� z 2 cos
k 2
(
m
(k )� z 2 cos
k 2
+ 2) =
1 q
2 cos
k 2
1 p
m
(k ) � z(
1 p
2
+
o(1)) =
1 2
q cos
k 2
(
m (k ) � z)�
1 2
+ o(1) :
Demak, z% m(k ) da quyidagiga ega bo'lamiz:
a (k; z ) = 1 2
q cos
k 2
(
m (k ) � z)�
1 2
+ o(1) :
Endi ikkinchi integralni z% m(k ) da asimptotikasini hisoblaymiz.
b (k; z ) = 1 2
� Z
T cos
qdq "
k(
q ) � z=
1 2
� Z
T cos
qdq 2 cos
k 2
(1
�cos q) + m(k ) � z=
1 2
� 1 2 cos
k 2
Z
T cos
qdq (1
�cos q) + m
(k )� z 2 cos
k 2
;
bu yerda A= m
(k )� z 2 cos
k 2
belgilashni olsak, quyidagiga ega bo'lamiz:
1 4
� cos k 2
Z
T cos
qdq �
cos q+ A+ 1 =
1 4
� cos k 2
Z
T cos
qdq B
�cos q;
bunda B=A+ 1 :
54

�
1 4
� cos k 2
Z
T B
�cos q� B B
�cos q dq
=
� 1 4
� cos k 2
Z
T dq
+ B 4
� cos k 2
Z
T dq B
�cos q=
� 1 2 cos
k 2
+
Ba (k; z ) =
� 1 2 cos
k 2
+ (
A+ 1) a(k; z ) =
� 1 2 cos
k 2
+ (
m
(k ) � z 2 cos
k 2
+ 1)
a(k; z ) =
� 1 2 cos
k 2
+
m
(k ) � z 2 cos
k 2
a
(k; z ) + a(k; z ):
Bundan kelib chiqadiki,
b(k; z ) = � 1 2 cos
k 2
+
1 2
q cos
k 2
(
m (k ) � z)�
1 2
+ o(1) :
c (k; z ) = 1 2
� Z
T cos
2
qdq "
k(
q ) � z=
1 2
� Z
T cos
2
qdq 2 cos
k 2
(1
�cos q) + m(k ) � z=
1 4
� cos k 2
Z
T cos
2
qdq B
�cos q=
� 1 4
� cos k 2
Z
T B
2
� cos 2
q � B2 B
�cos q dq
=
� 1 4
� cos k 2
Z
T (
B + cos q)dq + B
2 4
� cos k 2
Z
T dq B
�cos q=
� B 2 cos
k 2
+
B2
a (k; z ) =
� A
+ 1 2 cos
k 2
+ (
A+ 1) 2
a (k; z ):
Oxirgi ifodadan z% m(k ) da quyidagiga kelamiz:
55

�
1 2 cos
k 2
+
a(k; z ):
Demak, quyidagiga ega bo'lamiz:
c(k; z ) = � 1 2 cos
k 2
+
1 2
q cos
k 2
(
m (k ) � z)�
1 2
+ o(1) :
a (k; z ); b (k; z ); c (k; z ) integrallarni z& M(k ) da asimptotikalari yuqoridag-
ilarga o'xshash hosil qilinadi. Yuqoridagi munosabatlardan quyidagi natija to'g'ridan-to'g'ri natija ke-
lib chiqadi
Natija 3.2.1. Har bir(�; � )uchun quyidagi assimtotikalar o'rinli
( i)
D(�; � ;k; z ) = 1 8 cos
k 2
q cos
k 2
C
�
� 1 2
(
�; � ;k )( E
min (
k ) � z)�
1 2
+ 1 8 cos
2
k 2
C
�
0 (
�; � ;k ) + o(1) ; as z %E
min (
k );
bu yerda C�
� 1 2
(
�; � ;k ) = ��+ 2 �cos k 2
+ 4
�cos k 2
;
C �
0 (
�; � ;k ) = ��+ 2 �cos k 2
�
8 cos 2
k 2
:
( ii)
D(�; � ;k; z ) = 1 8 cos
k 2
q cos
k 2
C
+
� 1 2
(
�; � ;k )( z� E
max (
k )) �
1 2
+ 1 8 cos
2
k 2
C
+
0 (
�; � ;k ) + o(1) ; as z &E
max (
k );
bunda C+
� 1 2
(
�; � ;k ) = ��2� cos k 2
�
4� cos k 2
;
C +
0 (
�; � ;k ) = �� + 2 �cos k 2
+ 8 cos
2
k 2
:
56

Quyida
�; �2R uchun H
�0(
k ) va H
0� (
k ) operatorlarning xos qiymat-
lari mavjudligi va ularning joylashgan o'rni uchun bazi natijalarni keltirib
o'tamiz.
Lemma 3.2.5. (i) Ixtiyoriy �6
= 0 vak2 T lar uchun H
�0(
k ) operator
yagona xos qiymatga ega:
agar � >0, bo'lsa, �+
(�; k ); xos qiymat (E
max (
k ); + 1 )da yotadi,
agar � <0, bo'lsa, ��
(�; k ),xos qiymat (�1 ;E
min (
k )) da yotadi.
( ii) Ixtiyoriy �6
= 0 vak2 T lar uchun H
0� (
k ) operator yagona xos
qiymatga ega:
agar � >0, bo'lsa, �+
(�; k ), xos qiymat (E
max (
k ); + 1 )da yotadi,
agar � <0, bo'lsa, ��
(�; k )xos qiymat (�1 ;E
min (
k )) da yotadi.
Proof. (i) Ixtiyoriy � >0 va k2 T lar uchun H
�0(
k ) operatorga mos
Fredgolm determinantining ko'rinishi quyidagicha:
D(0 ; � ;k; z ) = 1 + �a(k; z ):
Budan kelib chiqadiki, lim
z ! +1 D
(0 ; � ;k; z ) = 1 :
Ikkinchi tomondan Lemma 2.3.3 ga ko'ra D(0 ; � ;k; z ) funksiya zbo'yicha
( E
max (
k ); + 1 ) oraliqda uzluksiz va monoton o'suvchi. Shuning ilan birga-
likda Lemma 2.3.4 ga ko'ra
lim
z & E
max (
k ) D
(0 ; � ;k; z ) = �1 :
Demak, D(0 ; � ;k; z ) Fredgolm determinantining ( E
max (
k ); + 1 ) oraliqda
yagona noli mavjud va bundan kelib chiqadiki, Lemma 2.3.1 ga ko'ra
H �0(
k ) operator ( E
max (
k ); + 1 ) oraliqda yagona �+
(�; k ) xos qiymatga
ega bo'ladi. Lemmaning qolgan tasdiqlari xuddi yuqoridagiga o'xshash isbotlanadi. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
� +
min (
�; � ;k ) = min f� +
(�; k ); � +
(�; k )g ; � +
max (
�; � ;k ) = max f� +
(�; k ); � +
(�; k )g ;
� �
min (
�; � ;k ) = min f� �
(�; k ); � �
(�; k )g ; � �
max (
�; � ;k ) = max f� �
(�; k ); � �
(�; k )g :
57

3.3 Asosiy natijalar bayoni va ularning isbotlari.
Fikserlangan k2 Tn f �g uchun, Natija 3.2.1 da aniqlangan C�
� 1 2
(
�; � ;k ) =
0 va C+
� 1 2
(
�; � ;k ) = 0 egri chiziqlar (giperbolalar) �-� -tekslikni bir nechta
qismlarga a jratadi (Fig. 3.1). Biz bu qismlarni quyidagicha belgilab olamiz
G +
2 (
k ); G +
1 (
k ) , G+
0 (
k ) va G�
2 (
k ); G �
1 (
k ) , G�
0 (
k ) quyidagicha
G +
2 (
k ) = f(�; � )2 R2
: C +
� 1 2
(
�; � ;k ) > 0; � > 4cos k 2
g
;
G +
1 (
k ) = f(�; � )2 R2
: C+
� 1 2
(
�; � ;k ) < 0g ;
G +
0 (
k ) = f(�; � )2 R2
: C+
� 1 2
(
�; � ;k ) > 0; � < 4cos k 2
g
va
G�
2 (
k ) = f(�; � )2 R2
: C �
� 1 2
(
�; � ;k ) > 0; � < �4cos k 2
g
;
G �
1 (
k ) = f(�; � )2 R2
: C�
� 1 2
(
�; � ;k ) < 0g ;
G �
0 (
k ) = f(�; � )2 R2
: C�
� 1 2
(
�; � ;k ) > 0; � > �4cos k 2
g
:
Eslatma 3.3.1. Ixtiyoriy�; ��0(mos ravishda �; ��0) uchun H
�� (
k )
operatorning xos qiymatlari (E
max (
k ); + 1 )(mos ravishda (�1 ;E
min (
k )) )
intervalda yotadi.
Operatorning xos qiymatlari soni quyi indeksga mos kelishini ko'rsatamiz.
Shuningdek C�
� 1 2
(
�; � ;k ) = 0 (mos ravishda C+
� 1 2
(
�; � ;k ) = 0 ) tenglamalar
bilan berilgan giperbolaning pastki va ustki qismlarini � �
1 (
k ) va � �
2 (
k )
(mos ravishda � +
1 (
k ) va � +
2 (
k ) ) kabi belgilaymiz.
Quyidagi teorema barcha �; �2R larda H
�� (
k ) operatorning xos qiy-
matlari soni va ularning joylashgan o'rnini ifodalaydi. Bundan tashqari
parametr ( �; �) giperbolaning bog'liq komponentalari �� tekislik bo'ylab
siljitilganida, ba'zi �; �2T larda H
�� (
k ) operatorning rezonansi yani
faqat va faqat muhim spektorning quyi bo'sag'asidan xos qiymatlar a jralib
chiqishini ko'rsatamiz.
Teorema 3.3.1. Tayinlangank2 T; k 6
= � berilgan bo'lsin.
( i) Ixtiyoriy (�; � )2 G
20(
k ) = G�
2 (
k ) da H
�� (
k ) operatorning (�1 ;E
min (
k ))
da quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi ikkita z
1(
�; � ;k ) va z
2(
�; � ;k )
xos qiymatlari mavjud
z1(
�; � ;k ) < � �
min (
�; � ;k ) � ��
max (
�; � ;k ) < z
2(
�; � ;k ) < E
min (
k ):
58

$( ii) Ixtiyoriy (�; � )2 G 10( k ) = G� 1 ( k ) \ G+ 0 ( k ) da H �� ( k ) operatorning ( �1 ;E min ( k )) da yotuvchi yagona z 1( �; � ;k ) xos qiymati mavjud. ( iii) Ixtiyoriy (�; � )2 G 11( k ) = G� 1 ( k ) \ G+ 1 ( k ) da H �� ( k ) opertorn- ing z 1( �; � ;k ) < E min ( k ) va z 2( �; � ;k ) > E max ( k ) shartlarni qanoat- lantiruvchi ikkita xos qiymati mavjud. ( iv) Ixtiyoriy (�; � )2 G 01( k ) = G� 0 ( k ) \ G+ 1 ( k ) da H �� ( k ) operatorning ( E max ( k ); + 1 )da yotuvchi yagona z 1( �; � ;k ) xos qiymat mavjud. ( v) Ixtiyoriy (�; � )2 G 02( k ) = G+ 2 ( k ) da H �� ( k ) operatorning quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi ikkita z 1( �; �; k )va z 2( �; � ;k ) xos qiy- matlari mavjud Emax ( k ) < z 2( �; � ;k ) < � + min ( �; � ;k ) � �+ max ( �; � ;k ) < z 1( �; � ;k ): Proof. (i)Faraz qilaylik, ( �; �)2 G 20( k ) = G� 2 ( k ) bo'lsin, u holda �; � <0 bo'lganligi uchun Lemma 2.3.5 ga ko'ra D(�; � ;k; � � min ( �; � ;k )) <0 va D(�; � ;k; � � max ( �; � ;k )) < 0 bo'ladi. Bundan tashqari Lemma 2.3.4 ga ko'ra ixtiyoriy �; �2R lar uchun lim z !�1 D (�; � ;k; z ) = 1 : bo'lganligi uchun quyidagi xulosalarga ega bo'lamiz. Yuqoridagilardan hamda D(�; � ;k; z ) funksiyaning ( �1;E min ( k )) oraliqda uzluksizligidan va monotonligidan shunday z 1( �; � ;k ) 2 (�1 ; �� min ( �; � ;k )) mavjudki, D(�; � ;k; z 1( �; � ;k )) = 0 bo'ladi. Shuning bilan birgalikda lim z % E min ( k ) D (�; � ;k; z ) = + 1: bo'lganligi uchun shunday z 2( �; � ;k ) 2 (� � max ( �; � ;k ); E min ( k )) soni mavjudki, 59$

D
(�; � ;k; z
2(
�; � ;k )) = 0
bo'ladi. Bulardan kelib chiqadiki, Lemma 2.3.1 ga ko'ra H
�� (
k ) operatorning
( �1 ;E
min (
k )) oraliqda quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi ikkita z
1(
�; � ;k )
va z
2(
�; � ;k ) xos qiymatlari mavjud ekan
z 1(
�; � ;k ) < � �
min (
�; � ;k ) � ��
max (
�; � ;k ) < z
2(
�; � ;k ) < E
min (
k ):
Teoremaning qolgan qismlari yuqoridagiga o'xshash isbotlanadi. Quyidagilar
k= � va barcha ( �; �)2 R2
bo'lganda teoremaning nati-
jasi.
Natija 3.3.1. k= �2 T. da ixtiyoriy (�; � )2 R2
, uchun H
�� opera-
torning ikkita z
1 :=
z
1(
�; � )va z
2 :=
z
2(
�; � )xos qiymatlari mavjud va
quyidagi xossalar o'rinli
(i) z
1 > z
2>
E
max (
� ) Agar �; � > 0bo'lsa,
( ii) z
1 >
E
max (
� ) va z
2 <
E
min (
� ) agar � >0and � <0bo'lsa,
( iii) z
1 <
E
min (
� ) va z
2 >
E
max (
� ) agar � <0va � > 0bo'lsa,
( iv) z
1 < z
2<
E
min (
� ) agar �; � < 0bo'lsa.
60

XULOSA
Ushbu magistrlik dissertatsiya ishida bir o'lchamli Zpanjarada ikki
zarrachali sistema energiya operatoriga mos diskret b
H �� (
k ) = b
H 0(
k ) + b
V ��
Schr�odinger operatorlarining keng sin� tadqiq qilingan. Ikki zarrachali sis-
temaga mos bir o'lchamli panjaradagi ikki zarrachali b
H �� (
k ) Schr�odinger
operatori tashqi ta'sir energiyasi �; �2R parametrlar orqali berilganda
har bir k2 T uchun uning �
ess (b
H �� (
k )) muhim spektridan tashqaridagi
xos qiymatlarining aniq sonini va joylashgan o'rnini topish haqida teore-
malar keltirilgan va isbotlangan. Magistrlik dissertatsiyasining natijalarini olishda funksional analiz, ma-
tematik analiz, kompleks o'zgaruvchining funksiyalari nazariyasi, chiziqli
operatorlar spektral nazariyasi fanlari metodlaridan, hamda Birman-Schwin-
ger printsipidan foydalanilgan. Ushbu magistrlik dissertatsiyasida olingan natijalar ilmiy xarakterga
ega bo'lib, bu natijalar Schr�odinger operatorlarining spektral nazariyasiga
qo'shilgan hissa bo'ladi. Magistrlik dissertatsiyasida olingan natijalardan talabalar, magistrant-
lar va ilmiy xodimlar kvant mexanikasi va qattiq jismlar �zikasidagi ba'zi
masalalarni yechishda foydalanishlari mumkin.
61

FOYDALANILGAN
ADABIYOTLAR
[1] S. Albeverio, S. N. Lakaev, K. A. Makarov, Z. I. Muminov: The Threshold E�ects
for the Two-particle Hamiltonians on Lattices, Comm.Math.Phys. 262(2006), 91{115
[2] V. Bach, W. de Siqueira Pedra, S. Lakaev: Bounds on the Pure Point Spectrum of
Lattice Schr�odinger Operators, Preprint mp-arc/c/11/11-161.
[3] Faria da Veiga P. A., Ioriatti L., and O'Carroll M.: Energy-momentum spectrum
of some two-particle Hamiltonians, Phys. Rev. E (3) 66, 016130, 9 pp. (2002). Poincar�e
Phys. Theor. 67, 91{107 (1997).
[4] Klaus M. andB.Simon: Coupling constants thresholds in non-relativistic quantum me-
chanics. I. Short range two body case. Ann. Phys. 130, 251{281 (1980).
[5] A.A.Pankov: Lecture notice operators on Hilbert space. New York: Nova Science Publish-
ers, 2007.
[6] M.Reed andB.Simon: Methods of modern mathematical physics. IV: Analysis of Oper-
ators, Academic Press, New York, 1979.
[7]S.N.Lakaev, S.X.Abduxakimov: Panjaradagi ikki fermionli sistemaga mos diskret Schr�odinger operatori xos qiymatlari mavjudligi, SamDU ilmiy axborotnomasi.3, (2017).
[8]S.N.Lakaev, A.T.Boltayev: Threshold phenomena in the spectrum of the two-patricle Schr�odinger operator on a lattice, Theoretical and Mathematical Physics, . 1983, 2019,
pp.363-375.
[9]J.I. Abdullayev, S.N. Lakaev. Asymptotics of the discrete Spectrum of the three-particle
Schr�odinger di�erence operator on a lattice // Theor. and Math. Phys.136:3, 231{245
(2003).
[10]S. Albeverio, F. Gesztesy, R. H�egh-Krohn. The low energy expansion in nonrelativistic
scattering theory // Ann. Inst. H. Poincar�e sect. A. 37:1, 1{28 (1982).
[11]S. Albeverio, R. H�egh-Krohn, T.T. Wu. A class of exactly solvable three-body quantum
mechanical problems and universal low energy behavior // Phys. Lett. A.83:1, 25{27 (1971).
[12]S. Albeverio, S.N. Lakaev, Z.I. Muminov. Schr�odinger operators on lattices. The E�mov
e�ect and discrete spectrum asymptotics // Ann. Henri Poincar�e.5, 743{772 (2004).
[13]S. Albeverio, S.N. Lakaev, A.M. Khalkhujaev. Number of eigenvalues of the three-particle
Schr�odinger operators on lattices // Markov Proc. Relat. Fields.18:3, 387{420 (2012).
[14]V. Bach, W. de Siqueira Pedra, S.N. Lakaev. Bounds on the discrete spectrum of lattice
Schr�odinger operators // J. Math. Phys.59:2, 022109 (2017).
62

[15]P.A. Faria da Veiga, L. Ioriatti, M. O'Carroll.
Energy-momentum spectrum of some two-
particle Hamiltonians // Phys. Rev. E.66:3, 016130 (2002).
[16]M. Klaus. On the bound state of Schr�odinger operators in one dimension // Ann. Phys.
108 :2, 288{300 (1977).
[17]Yu.G. Kondratiev, R.A. Minlos. One-particle subspaces in the stochastic X Ymodel // J.
Statist. Phys. 87:3-4, 613{642 (1997).
[18]S.N. Lakaev. The E�mov e�ect in a system of three identical quantum particles // Funct.
Anal. Appl. 27:3, 15{28 (1993).
[19]S.N. Lakaev, Sh.M. Tilavova. Merging of eigenvalues and resonances of a two-particle
Schr�odinger operator // Theor. and Math. Phys. 101:2, 235{252 (1994).
[20]S.N. Lakaev, I.N. Bozorov. The number of bound states of a one-particle Hamiltonian on a
three-dimensional lattice // Theor. and Math. Phys. 158:3, 425{443 (2009).
[21]S.N. Lakaev, Sh.U. Alladustov. Positivity of eigenvalues of the two-particle Schr�odinger
operator on a lattice // Theor. and Math. Phys. 178:3, 390{402 (2014).
[22]D.C. Mattis. The few-body problem on a lattice // Rev. Modern Phys.58, 361{379 (1986).
[23]R.A. Minlos, Y.M. Suhov. On the spectrum of the generator of an in�nite system of inter-
acting di�usions Comm. Math. Phys. 206, 463{489 (1999).
[24]A. Mogilner. Hamiltonians in solid state physics as multi-particle discrete Schr�odinger op-
erators : Problems and results. Many{Particle Hamiltonians: Spectra and Scattering , Ad-
vances in Soviet Mathematics, 5, eds. R. A. Minlos, AMS, Providence, RI, 139{194 (1991).
[25]Yu.N. Ovchinnikov, I.M. Sigal. Number of bound states of three-particle systems and E�-
mov's e�ect // Ann. Phys. 123, 274{295 (1989).
[26]M. Reed, B. Simon. Methods of modern mathematical physics. IV: Analysis of Operators ,
Academic Press, New York, 1979.
[27]B. Simon. The bound state of weakly coupled Schr�odinger operators in one and two dimen-
sions // Ann. Phys. 97, 279{288 (1976).
[28]A.V. Sobolev. The E�mov e�ect. Discrete spectrum asymptotics // Comm. Math. Phys.
156 :1, 101{126 (1993).
[29]H. Tamura. The E�mov e�ect of three-body Schr�odinger operators: Asymptotics for the
number of negative eigenvalues // Nagoya Math. J.130, 55{83 (1993).
[30]V. Hoang, D. Hundertmark, J. Richter, S. Vugalter. Quantitative bounds versus existence
of weakly coupled bound states for Schr�odinger type operators // arXiv:1610.09891v2 [math-
ph], 22 May (2017).
[31]D.R. Yafaev. On the theory of the discrete spectrum of the three-particle Schr�odinger oper-
ator // Math. USSR-Sb. 94(136):4(8), 567{593 (1974).
[32]P.R. Xalmosh. Gilbertovo prostranstvo v zadachax , Izd. Mir. MOskva, (1979).
[33]G.M. Fixtengols. Kurs di�erensialnogo i integralnogo ischisleniya. II , Nauka, Moskva,
(1968).
63

MUNDARIJA 1 Hilbert fazolarida o'z-o'ziga qo'shma operatorlarning ba'zi xossalari 4 1.1 Ichki ko'paytmali Vektor fazolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.2 Hilbert fazolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 1.2.1 Hilbert fazosida qism to'plamlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 1.2.2 Chekli va cheksiz o'lchamli Hilbert fazolari . . . . . . . . . . . . . .13 1.2.3 Hilbert fazosining qism fazosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 1.3 Hilbert fazosida chiziqli operatorlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 1.4 O'z-o'ziga qo'shma operatorlarning xossalari . . . . . . . . . . . . . . . . .26 1.5 Musbat operatorlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 1.6 Kompakt operatorlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 1.7 Hilbert fazolarida aniqlangan operatorlarning spektri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 1.8 Unitar ekvivalent operatorlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 2 Panjaradagi ikki zarrachali sistemaga mos diskret Schr�odinger operatori 38 2.1 Koordinata tasviri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 2.2 Impuls tasviri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 3 H �� ( k ) operatorning xos qiymatlari soni va ularning joylashgan o'rni 45 3.1 H �� ( k ); k 2T operatorning muhim spektri. . . . . . . . . . . . . . . . .45 3.2 H �� ( k ); k 2T operatorga mos Fredgolm determinanti. . . . . . . . . . .46 3.2.1 D(�; � ;k; z ) determinantning nollari soni va joylashgan o'rni . . .51 3.3 Asosiy natijalar bayoni va ularning isbotlari. . . . . . . . . . . . . . . . . .58

Kirish Masalaning qo'yilishi. Bir o'lchamliZpanjarada ^ v �� ; �; � 2R; potensial yordamida tasirlashuvchi ikki zarrachali sistema energiya oper- atoriga mos diskret b H �� ( k ) = b H 0( k ) + b V �� Schr�odinger operatorlarining keng sin�ni tadqiq qilish. Bir o'lchamli panjaradagi ikki zarrachali b H �� ( k ) Schr�odinger operatori tashqi ta'sir energiyasi �; �2R parametrlar orqali berilganda har bir k 2 T uchun uning � ess (b H �� ( k )) muhim spektridan tashqaridagi xos qiy- matlarining aniq sonini va joylashgan o'rnini topishga doir teoremalarni isbotlash. Mavzuning dolzarbligi. Ikki zarrachali diskret Schr�odinger operator- larining spektral xossalari keyingi yillarda faol o'rganilmoqda (masalan [1], [7], [8], [14], [21]larni qarang). Uzluksiz Schr�odinger operatori muhim spektrning chapida yotuvchi disk- ret spektri (xos qiymatlari)ning mavjudligi faqat zarrachalar ta'sir ener- giyasi �b V ; � > 0 ga bog'liq bo'ladi ([3]-[5]). Ammo, ikki zarrachali diskret Schr�odinger operatorlari uchun xos qiy- matlarning mavjudligi va soni faqatgina ta'sir potentsiali �b V ga bog'liq bo'lmasdan balki sistema kvazi-impulsiga ham bog'liqdir. O'lchami d� 3 bo'lgan panjarada ikkita ixtiyoriy zarrachali sistemaga mos diskret Schr�odinger operator b H (k ) ning diskret spektri mavjudligi sis- tema kvazi-impulsining barcha qiymatlari uchun [1] da o'rganilgan. Uch o'lchamli panjaradagi Schr�odinger operatorlari uchun xos qiymat- larning mavjudligi va xos qiymatlar o'rnining kontakt va qo'shni tugun- larda juft-jufti bilan o'zaro ta'sirlashuvchi potentsialga bog'liqligi [20] da keltirilgan. Schr�odinger operatori b H (k ) ning xos qiymatlari soni uchun chegaralar [3] va [4] maqolalarda keltirilgan. Xususan, b H (k ) operatorning muhim spektridan chapda xos qiymatlarning mavjudligi ko'rsatilgan. Dissertatsiya ishining maqsadi va vazifalari. Ushbu magistrlik dis- sertatsiya ishida bir o'lchamli panjaradagi ikki zarrachali b H �� ( k ) Schr�odinger operatori tashqi ta'sir energiyasi �; �2R parametrlar orqali berilganda 2

har bir k2 T uchun uning � ess (b H �� ( k )) muhim spektridan tashqaridagi xos qiymatlarining aniq sonini va joylashgan o'rnini topish haqida teore- malarni isbotlash. Ilmiy yangiligi. Bir o'lchamli panjaradagi ikki zarrachali b H �� ( k ) Schr�odinger operatori tashqi ta'sir energiyasi �; �2R parametrlar orqali berilganda har bir k2 T uchun uning � ess (b H �� ( k )) muhim spektridan tashqaridagi xos qiymatlarining aniq sonini va joylashgan o'rnini topish haqida teore- malar isbotlangan. Tadqiqot usullari. Matematik �zika va funksional analiz usullaridan foydalanildi. Dissertatsiyaning tuzilishi. Magistrlik dissertatsiyasi kirish, uchta bob, xulosa va adabiyotlar ro'yxatidan tashkil topgan. Kirish qismida masalaning qo'yilishi, qo`yilgan masalaning dolzarbligi va olingan natijalarning ilmiy yangiligi asoslangan. Birinchi bobda asosiy natijalarni olishda zarur bo'lgan tushuncha, ta'rif va teoremalar, jumladan chiziqli fazo, ichki ko`paytmali fazo, Hilbert fazo- lari hamda, Hilbert fazolarida aniqlangan chiziqli chegaralangan, o'z-o'ziga qo'shma operatorlarning ba'zi xossalari keltirilgan. Ikkinchi bobda bir o'lchamli Zpanjarada ^ v �� ; �; � 2R;potensial yor- damida ta'sirlashuvchi ikki zarrachali sistema energiya operatoriga mos diskret b H �� ( k ) = b H 0( k ) + b V �� Schr�odinger operatorining koordinata va impuls ko'rinishlari keltirilgan, hamda uning `2 ;e (Z ) Hilbert fazosida chiz- iqli chegaralangan, o'z-o'ziga qo'shma operator ekanligi ko'rsatilgan. Uchinchi bobda bir o'lchamli panjaradagi ikki zarrachali b H �� ( k ) Schr�odinger operatori tashqi ta'sir energiyasi �; �2R parametrlar orqali berilganda har bir k2 T uchun uning � ess (b H �� ( k )) muhim spektridan tashqaridagi xos qiymatlarining aniq sonini va joylashgan o'rnini topish haqida teore- malar keltirilgan va isbotlangan. 3

BOB 1 Hilbert fazolarida o'z-o'ziga qo'shma operatorlarning ba'zi xossalari 1.1 Ichki ko'paytmali Vektor fazolar Faraz qilamiz, Vto'plamda elementlarni qo'shish va kompleks (haqiqiy) songa ko'paytirish amallari kiritilgan bo'lsin. Agar Vto'plamda kiritilgan qo'shish amali uchun ushbu 1.Yopiqlik: 8x; y 2V uchun, x+ y2 V, 2.Kommutativlik: 8x; y 2V uchun, x+ y= y+ x, 3.Assotsiativlik: 8x; y; z 2V uchun, ( x+ y) + z= x+ ( y+ z) , 4.Neytral yoki nol element mavjudligi: 9� 2V :8x 2 V ; x + � = � + x= x, 5.Qarama-qarshi element mavjudligi: 8x 2 V uchun 9�x2 V :x + ( � x) = � , va ko'paytirish amali uchun 1.Yopiqlik: 8� 2 C(R ) va 8x 2 V uchun �x2V, 2.Assotsiativlik: 8�; � 2C(R ) va 8x 2 V uchun �(� x ) = ( ��)x , 3.1 x= x; 8x 2 V, 4.( �+ �)x = �x +� x; 8�; � 2C(R ) va 8x 2 V, 5. �(x + y) = �x+� y; 8� 2 C(R ) va 8x; y 2V munosabatlar ba jarilsa, Vto'plam vektor fazo yokichiziqli fazo deb ataladi. Sonlar maydonining kompleks Cyoki Rhaqiqiy bo'lishiga qarab, vektor fazolar mos ravishda kompleksyokihaqiqiy vektor fazolar deb yuritiladi. 4

Misol 1.1.1. Z1 � butun sonlar to'plami yordamida Zd = Z1 � Z1 � � � Z1 | {z } d marta ya'ni uning dmarta o'z-o'ziga Dekart ko'paytmasini aniqlaymiz. Bu to'plam d o'lchamli butun qiymatli panjara deyiladi. Demak, Z d = fs = ( s 1; s 2; :::; s d) : s k 2 Z1 ; k = 1 ; :::d g: Z d panjarada selementning moduli deb js j = d P k =1 j s kj songa aytiladi. Quyidagi shartni qanoatlantiruvchi barcha f:Z d ! Cfunksiyalar fazosini qaraymiz: X s 2 Zd j f (s )jp < 1; bunda pbiror tayinlangan musbat son. Ushbu fazoda qo'shish va songa ko'paytirish amallarini quyidagicha kiritamiz: 1.8f ; g uchun (f + g)( x) = f(x ) + g(x ); 2. 8� 2 C va fuchun (�f )(x) = �f(x ): Nol element �(x) � 0:f (�) ga qarama-qarshi element �f(�) kabi aniqlanadi. Hosil bo'lgan fazo ` p( Z d ) kabi belgilanadi va chiziqli fazo bo'ladi. Darhaqiqat, agar f2 ` p( Z d ) bo'lsa, yaqinlashuvchi qatorning xossalariga binoan ixtiyoriy �2 C uchun �f2` p( Z d ) bo'ladi. 8f ; g 2` p( Z d ) uchun f + g2 ` p( Z d ) ekanligi Minkovskiy tengsizligiga asoslanadi. Demak ` p( Z d ) fazo qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nisbatan yopiq. Misol 1.1.2. Faraz qilamiz, T1 = ( ��; � ]bo'lsin. T1 da qo'shish va songa ko'paytirish amallarini haqiqiy sonlarni 2� modul bo'yicha qo'shish va songa ko'paytirish sifatida kiritamiz, masalan � 2 + �= 3 � 2 = �� 2 ( mod 2� ); 6 �� 5 = 2 �� 4 � 5 = �4 � 5 ( mod 2� ): Ushbu to'plam bir o'lchamli tor deb ataladi.Td bilan do'lchamli tor, ya'ni Td = T1 � T1 � � � T1 | {z } d marta ni belgilaymiz. 5

O'xshashlar

Panjaradagi bir zarrachali sistema energiyasi taqsimotining sonli xarakteristikalari

PANJARADAGI IKKI BOZONLI SISTEMAGA MOS SCHӦDINGER OPERATORINING XOS QIYMATLARI

OLMOS PANJARADAGI DISKRET SHREDINGER

Tanlash operatori va unga doir dastular tuzish

IKKI O’LCHAMLI UCHBURCHAKLI PANJARALARIDA DISKRIT SHREDINGER OPERATORI SREKTRI