SONLI TENGSIZLIKLAR VA ULARNING XOSSALARI. TENGSIZLIKLARNI ISBOTLASH.
8 -MAVZU . SONLI TENGSIZLIKLAR VA ULARNING XOSSALARI. TENGSIZLIKLARNI ISBOTLASH. Reja. 1. Sonli tengsizliklar 2. Sonli tengsizlik larning asosiy xossalari 3. O’rtacha qiymatlar va ular orasidagi munosabatlar 4. Umumlashgan Koshi tengsizligi. 5. Umumlashgan Yung tengsizligi 6. Gel’der tengsizligi. Kalit so ’zlar : Sonli tengsizlik , o’rtacha qiymatla r, Koshi tengsizligi , Yung tengsizligi , Gel’der tengsizligi 1. Sonli tengsizliklar va ularning asosiy xossalari Sonlarni taqqoslash amaliyotda keng qo’llaniladi. Masalan, iqtisodchi rejada ko’zda tutilgan ko’rsatkichlarni amaldagi ko’rsatkichlar bilan taqqos -laydi, shifokor bemorning haroratini sog’lom kishining harorati bilan taqqos laydi, chilangar yo’nayotgan buyumining o’lchamlarini andaza bilan taqqos -laydi. Bu uchala holda qandaydir sonlar o’zaro taqqoslanadi. Sonlarni taqqos -lash natijasida sonli tengsizliklar hosil bo’ladi. 1.1.1 -Ta’rif. Agar � − � ayirma musbat bo’lsa, u holda � son � sondan katta deyiladi. Agar � − � ayirma manfiy bo’lsa, u holda � son � sondan kichik deyiladi. Agar � son � sondan katta bo’lsa, bu � > � kabi; agar � son � sondan kichik bo’lsa, bu � < � kabi yoziladi. Shunday qilib, � > � tengsizlik � − � ayirma musbat, ya’ni � − � > 0 ekanini bildiradi, � < � tengsizlik esa � − � < 0 ekanini bildiradi.
2. Sonli tengsizlik larning asosiy xossalari
1.1 -m iso l. Agar � � to’g’ri kasr bo’lsa, u holda � � < �+1 �+1 bo’lishini isbotlang. ∆ � � kasr � < � bo’lganda (n va m – natural sonlar) to’g’ri kasr deb ata lishini eslatib o’tamiz. Ushbu � � − �+1 �+1= �(�+1)−�(�+1) �(�+1) = �−� �(�+1) ayirma noldan kichik , chunki � − � < 0,� > 0,� + 1 > 0. Binobarin, � � < �+1 �+1 .▲ 1. 2-m iso l. Agar � ≠ � bo’lsa, u holda �2+ �2 > 2�� bo’lishini isbotlang. ∆ �2+ �2− 2�� ayirma musbat ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatan ham, �2+ �2− 2�� = (� − �)2 > 0, chunki � ≠ � . ▲ 1. 1-teorema . Agar � > � va � > � bo’lsa, u holda � > � bo’ladi. Δ Shartga ko’ra � > � va � > �. Bu � − � > 0 va � − � > 0 ekanini bildiradi. � − � va � − � musbat sonlarni qo’shib, (� − �)+ (� − �)> 0 ni hosil qilamiz, ya’ni � − � > 0. Demak, � > �. ▲
1.2 -teorema. Agar tengsizlikning ikkala qismiga ayni bir son qo’shilsa, u holda tengsizlik ishorasi o’zgarmaydi. Δ � > � bo’lsin . Bu holda ixtiyoriy � son uchun � + � > � + � teng -sizlikning bajarilishini isbotlash talab qilinadi. Ushbu (� + �)− (� + �)= � + �− � − � = � − �ayirmani qaraymiz. Bu ayirma musbat, chunki masalaning shartiga ko’ra � > �. Demak, � + � > � + �. ▲ 1.1 -Natija. Istalgan qo’shiluvchini tengsizlikning bir qismidan ikkinchi qis -miga shu qo’shiluvchining ishorasini qarama -qarshisiga almashtirgan holda ko’chirish mumkin. Δ � > � + � bo’lsin . Bu tengsizlikning ikkala qismiga – � sonni qo’shib, � − � > � + � − � ni hosil qilamiz, ya’ni � − � > � ▲ 1. 3-teorema. Agar tengsizlikning ikkala qismi ayni bir musbat songa ko’ paytrilsa, u holda tengsizlik ishorasi o’zgarmaydi. Agar tengsizlikning ikkala qismi ayni bir manfiy songa ko’paytrilsa,u holda tengsizlik ishorasi qarama -qarshisiga o’zgaradi. Δ 1) � > � va � > ?????? bo’lsin . �� > �� ekanini isbotlaymiz. Shartga ko’ra � − � > 0 va � > 0. Shuning uchun (� − �)� > 0, ya’ni �� − �� > 0. Demak, �� > �� . 2) � > � va � < ?????? bo’lsin . �� < �� ekanini isbotlaymiz. Shartga ko’ra � − � > 0 va � < 0. Shuning uchun (� − �)� < 0, ya’ni �� − �� < 0. Demak, �� < �� . ▲ 1. 2-Natija. Agar tengsizlikning ikkala qismi ayni bir musbat songa bo’linsa, u holda tengsizlik ishorasi o’zgarmaydi. Agar tengsizlikning ikkala qismi ayni bir manfiy songa bo’linsa,u holda tengsizlik ishorasi qarama -qarshisiga o’zga -radi.