logo
  1. Bosh sahifa
  2. Referatlar
  3. Umumiy
  4. DETERMINANTLAR VA ULARNING XOSSALARI

DETERMINANTLAR VA ULARNING XOSSALARI

Yuklangan vaqt:

08.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

175.0732421875 KB
Ko'chirib olish
DETERMINANTLAR VA ULARNING XOSSALARI Reja 1. Algebra va uning rivojlanish tarixidan. 2. 2, 3-tartibli determinantlar. 3. Determinantlarning xossalari. 4. Minor va algebraik to‘ldiruvchilar. 5. n - tartibli determinantlar. 1.Algebra va uning rivojlanish tarixidan. Algebra matematikaning bir qismi va u turli miqdorlar ustida amallarni hamda shu amallar bilan bog‘liq tenglamalarni yechishni o‘rganadi. Kengroq ma’noda algebrada ixtiyoriy tabiatli to‘plamning elementlari ustida sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish kabi odatdagi amallarni umumlashtiruvchi amallarni o‘rganuvchi fan tushuniladi. Uch og‘aynning yoshlari 30, 20, 6 da. Necha yildan keyin eng kattasining, yoshi ikkala qolgan yoshlarining yig‘indisiga teng bo‘ladi.30 +x=(20 +x)+(6+x), x=4. Bunday tenglamalar eramizdan avval 2 minginchi yillarda qadimgi Misrda ma’lum edi. Lekin ular harflardan foydalanmagan. Eramizdan avvalgi 2 minginchi yil boshida qadimgi bobilliklar yanada murakkabroq masalalarni yechishgan. III asrda yashagan iskandariyalik olim Diofant geometrik bayonni rad etib harfiy ifodalardan foydalanadi. Unda manfiy ko‘rsatkichli darajalar, manfiy sonlar, musbat va manfiy sonlarni ko‘paytirish qoidalarini yozish uchun qisqacha belgilar bor edi. Algebraning keyingi rivojiga Diofant o‘rgangan algebraik tenglamalar kuchli ta’sir ko‘rsatgan. VI asrdan boshlab matematik tadqiqotlar markazi Hindiston, Xitoy, Yaqin Sharq va O‘rta Osiyo mamlakatlariga ko‘chdi. Xitoylik olimlar chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini topishda noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotish usulini topishgandi. Ammo algebra, tenglamalarni yechish masalalariga bog‘liq muammolarni bayon etuvchi matematikaning maxsus tarmog‘i Yaqin Sharq va O‘rta Osiyo olimlari ishlarida shakllandi. IX asrda o‘zbek matematigi va astranomi Muhammad ibn Muso al Xorazmiy (783-850) «Al-jabr val muqobala» asarini yozdi. Bu asarda Xorazmiy chiziqli tenglamalarni yechishning umumiy qoidasini berdi va kvadrat tenglamalarni sinflarga ajratib, har bir sinf uchun yechish yo‘llarini ko‘rsatdi. Al-jabr (tiklash) so‘zi tenglamadagi manfiy hadlarni uning ikkinchi qismiga ishorasini o‘zgartirib o‘tkazishni bildirgan. Yangi fan « Algebra » ni ng n omi o‘sha «Al-jabr» so‘zidan olingan. Qisqacha, al-Xorazmiy to‘g‘risida ma’lumotlarni qaraganda Xorazmiy o‘qish, yozish va sanashni mahalliy diniy maktab, madrasada oldi. U ilmiy masalalarni o‘z o‘qituvchilaridan yaxshiroq tushunar, juda ko‘p o‘qir, o‘z ustida tinimsiz ishlar, madrasaning majburiy darsliklari bilan chegaralanib qolmas edi. Xorazmiyning yoshlik davri Xorazmni arablar zabt etgan davrga to‘g‘ri keladi. Beruniyning yozishicha, arab istilochilari Xorazmning milliy madaniyatini yo‘q qilib yuborgani, kitoblarning kuydirilganini, olimlarni o‘zlari bilan olib ketganini, bo‘ysunmaganlarini o‘ldirganini yozadi. Shu sabab bo‘lsa kerak, VIII asr oxirida Xorazmiy Bag‘dodga keladi. Bu asr o‘rtalarida davlat boshiga abbosiylar kelgan va Sharqiy arab xalifaligida hayot o‘z iziga tusha boshlagan edi. Bag‘dodda turli kasb egalari, olimlar to‘plana boshlaydi. Fanning rivojlanishi Xorun ar-Rashid (786-809) va uning o‘g‘li Al-Ma’mun xalifalik qilgan (813-833) davrga to‘g‘ri keladi. Al-Ma’mun Bag‘dodda «Bayt al-hikmat» (Donishmandlar uyi)ni qurdiradi. Bunda yaxshi rasadxona, boy kutubxona bor edi. Uni o‘z davrining Akademiyasi desa bo‘lar edi. Xorazmiy Bag‘dodga kelib ilmiy ishlar bilan shug‘ullanadi. Tez orada Xorazmiy matematika, astronomiya, geografiya, tarix va tabobat ilmi bo‘yicha butun O‘rta Sharqda shuhrat qozondi. U «Donishmandlar uyi»da ilmiy ishlarga, kutubxonaga, rasadxonaga rahbarlik qildi. Uni Fanlar Akademiyasining birinchi prezidenti deyish mumkin. Xorazmiyning matematikaga qo‘shgan hissasi beqiyos. Uning «Hind hisobi» nomli asari o‘nli sistema raqamlari 0, 1, 2, . . . , 9 ga bag‘ishlangan. Ularni soddalashtiradi va birinchi marta arab tilida bayon etadi. Bu raqamlar Xorazmiy asari orqali arablarga, keyin Yevropaga o‘tadi. Matematikadagi algoritm termini ham Xorazmiyning nomi bilan bog‘liq, Al-Xorazmiy lotincha al-goritm deyilgan va shu so‘zdan kelib chiqqan. Xorazmiy o‘rta asr Sharqida yaratilgan birinchi matematik-astronomik jadvallarning muallifi. Amerikalik sharqshunos olim Sorton Xorazmiyni «barcha zamonlarning eng buyuk matematiklaridan biridir» deb ta’riflaydi. 2. 2, 3 - tartibli determinantlar. Determinantlarni hisoblashga keltiriladigan ushbu masalani qaraylik. Masala.A va B mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun 2 turdagi xom ashyodan foydalaniladi. Bitta A mahsulotni ishlab chiqarish uchun 5 birlik, 1-tur va 4 birlik 2-tur xom ashyo sarflanadi,bitta B mahsulotni ishlab chiqarish uchun esa, 3 birlik, 1-tur va 5 birlik 2-tur xom ashyo ishlatiladi. 1-tur xom ashyo 62 birlik, 2-tur xom ashyo 73 birlikda berilgan bo‘lsa, eng katta foyda olinadigan ishlab chiqarishni rejalashtirish uchun xom ashyo sarfi modelini tuzing. Bu masalaning matematik modelini tuzish maqsadida x1 bilan ishlab chiqarilishi kerak bo‘lgan A mahsulot miqdorini, x2 bilan esa ishlab chiqarilishi kerak bo‘lgan B mahsulot miqdorini belgilaylik. Bu holda 5x1 A mahsulotni ishlab chiqarish uchun sarflangan 1-tur xom ashyo miqdorini, 3x2 esa B mahsulotni ishlab chiqarish uchun sarflangan 1-tur xom ashyo miqdorini ifodalaydi. 5x1+3x2 A va B mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun sarflanadigan 1-tur xom ashyo jami sarfi miqdorini ifodalaydi, bu xom ashyo chegaralangan bo‘lib, 62 birlikda mavjud, demak 5 x1+3 x2= 62 tenglama kelib chiqadi. Xuddi shunday qilib, 2-tur xom ashyo sarfi uchun 4 x1+ 5 x2= 73 tenglamani hosil qilish mumkin. Shunday qilib, { 5x1+3x2= 62 , 4x1+5x2= 73 ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qildik. Bu tenglamalar sistemasi berilgan A va B mahsulotlarni ishlab chiqarishda, xom ashyo sarfining matematik modelini ifodalaydi. Biz yuqorida eng od d iy iqtisodiy masalani ko‘rdik, hamda uning modeli ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasiga keltirilishini ko‘rsatdik. Fan va texnikaning juda ko‘p masalalarining matematik modellari chiziqli tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi. Bu holatlar chiziqli tenglamalar nazariyasini umumiy holda qarashimiz lozimligini ko‘rsatadi. Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin: {a11 x1+a12 x2= b1¿¿¿¿ (1) a11 a22 − a12 a21 ≠ 0 bo‘lsa, (1) tenglamalar sistemasi yagona x1= b1a22 − b2a12 a11 a22 − a12 a21 ,x2= b2a11− b1a21 a11 a22 − a12 a21 (2) yechimga ega bo‘ladi. (2) formuladagi sur’at va mahrajdagi ifodalar 2- tartibli determinant (aniklovchi)lar deyiladi. 2-tartibli determinantni a11a22−a12a21=¿ |a11 aalignl ¿12¿¿¿¿|¿ ¿ ¿¿ bilan belgilanadi. a11,a12 ,a21 ,a22 larga determinantning elementlari deyiladi. Shunday qilib, (2) formulalarni determinantlar yordamida x 1 = |b 1 a 12 ¿|¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ (3) ko‘rinishda yozish mumkin. Δ = a 11 ¿ |a 22 a 23 ¿ | ¿ ¿ ¿ (4) ifodaga 3- tartibli determinant deyiladi va Δ=¿ |a11a12a13¿||a21a22a23¿|¿ ¿ ¿¿ bilan belgilanadi. a11,a22 ,a33 elementlar bosh diagonalni , a13 ,a22 ,a31 yordamchi diagonalni ifodalaydi. (4) tenglikda 2- tartibli determinantlarni kattaliklari bilan almashtirsak | a 11 a 12 a 13 ¿ || a 21 a 22 a 23 ¿ | ¿ ¿ ¿ ¿ − а11а23 а32 (5) bo‘ladi. (5) formulani esda saqlash uchun uchburchak qoidasidan foydalanish mumkin. Elementlarni nuqtalar bilan belgilasak, quyidagi sxema hosil bo‘ladi : +  (+) ishora bilan, (-) ishora bilan olinadi. 3. Minor va algebraik to‘ldiruvchilarΔ=¿ |a11a12a13¿||a21a22a23¿|¿ ¿ ¿¿ determinantda i - satrni va j - ustunni o‘chirishdan 2- tartibli determinant hosil bo‘ladi, bunga aij elementga mos minor deyiladi va M ij bilan belgilanadi. Masalan, M 21 = ¿|a 12 a 13 ¿|¿ ¿ ¿ ¿ va boshqalar . aij elementning algebraik to ‘ ldiruvchisi deb unga mos minorning musbat yoki manfiy ishora bilan olingan kattaligiga aytiladi , bunda i+ j juft bo ‘ lsa , musbat ishora bilan i+ j , toq bo ‘ lsa manfiy ishora olinadi . aij elementning algebraik to‘ldiruvchisini Aij bilan belgilanadi . Demak, А 21 = − М 21 = − ¿ |а 12 а 13 ¿|¿ ¿ ¿ ¿ bo‘ladi va boshqalar. 4 . Determinantlarning xossalari. Determinantlar quyidagi xossalarga ega: 1. Determinantning barcha satridagi elementlarini mos ustunelementlari bilan almashtirilsa, uning kattaligi o‘zgarmaydi, ya’ni |a11a12a13¿||a21a22a23 ¿|¿ ¿ ¿¿ . 1-misol. ¿ |2 − 1 0 ¿||1 3 − 2 ¿|¿ ¿ ¿ bo‘lib, bu determinantda barcha satrlarini mos ustunlar bilan almashtirsak , ¿ | 2 1 − 3 ¿||− 1 3 0 ¿|¿ ¿ ¿ bo‘ladi. Bundan ko‘rinadiki, ikkala holda ham bir xil kattalik hosil bo‘ldi, bu birinchi xossaning to‘g‘riligini ko‘rsatadi. 2. Ikkita satr (ustun)ni o‘zaro almashtirilsa determinant kattaligining ishorasi teskarisiga o‘zgaradi; haqiqatan ham 1- misoldagi determinantda 1- satrini 3-satri bilan o‘zaro almashtirsak, ¿ | − 3 0 4 ¿ || 1 3 − 2 ¿|¿ ¿ ¿ bo‘lib, bu 2-xossaning o‘rinli ekanligini ko‘rsatadi. 3. Ikkita bir xil satr (ustun)li determinant kattaligi no‘lga teng; ikkita satri bir xil bo‘lgan determinantni hisoblasak, ¿ | − 3 0 4 ¿|| 1 3 − 2 ¿|¿ ¿ ¿ bo‘ladi, bu esa 3-xossaning to‘g‘riligini ko‘rsatadi. 4. Determinantning biror satr (ustun) hamma elementlarini m  0 songa ko‘paytirilsa, uning kattaligi shu ning m songa ko‘payadi. Haqiqatan ham, 1-xossada keltirilgan determinantning 2-satri elementlarini 2 ga ko‘paytirsak, ¿ |2 − 1 0 ¿||2 6 − 4 ¿|¿ ¿ ¿bo‘lib, bu xossaning ham to‘g‘riligi ko‘rinadi. 5. Determinantning ikkita satri (ustuni) elementlari o‘zaro proporsional (mutanosib) bo‘lsa, uning kattaligi no‘lga teng, misol uchun, ¿ |2−11¿||6−33¿|¿ ¿ ¿ determinant berilgan bo‘lsin. Bu determinantning 1 va 2-satri elementlari o‘zaro proporsional, uni hisoblasak ¿ |2 − 1 1 ¿||6 − 3 3 ¿|¿ ¿ ¿ bo‘lib, bu esa 5-xossaning to‘g‘riligini ko‘rsatadi. 6. Determinantning kattaligi, biror satri (ustuni) elementlarini unga mos algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytirib qo‘shilganiga teng. 1-xossada keltirilgan misolni qaraymiz: ¿ |2−10¿||13−2¿|¿ ¿ ¿ bu determinantni 3-satr elementlari bo‘yicha yoyib yozsak, ¿ | 2 − 1 0 ¿ || 1 3 − 2 ¿ | ¿ ¿ ¿ kelib chiqadi, bu esa 6-xossaning ham o‘rinli ekanligini ko‘rsatadi. 7. Determinant biror satri (ustuni)ning har bir elementi ikkita qo‘shiluvchidan iborat bo‘lsa, u holda bu determinant ikkita determinant yig‘indisiga teng bo‘ladi, ya’ni ((a11 + b1)a12 a13 ¿)((a21 + b2)a22 a23 ¿)¿ ¿ ¿¿ . Ushbu determinantni ¿ |2 1−3¿||−13 0¿|¿ ¿ ¿ quyidagicha almashtiramiz: | 2 1 − 3 − 1 3 0 − 2+2 − 1− 1 3+1 |=| 2 1 − 3 − 1 3 0 − 2 − 1 3 |+| 2 1 − 3 − 1 3 0 2 − 1 1 | keyingi ikkita determinantni hisoblasak, | 2 1 − 3 − 1 3 0 − 2 − 1 3 |= 18 +0− 3− 18 +3− 0= 0; | 2 1 − 3 − 1 3 0 2 − 1 1 |= 6+0− 3+18 +1− 0= 22 ; 1-xossadagi misoldan ma’lumki, u 22 ga teng edi, keyingi ikki determinant yig‘indisi ham 22ga teng bo‘ladi,bu esa 7-xossaning o‘rinli ekanligini ko‘rsatadi. 8. Determinantning biror ustini (satri) elementlariga boshqa ustini(satri)ning mos elementlarini istalgan umumiy ko‘paytuvchiga ko‘paytirib qo‘shilsa, uning kattaligi o‘zgarmaydi, ya’ni: (a11 a12 a13 ¿)(a 21 a 22 a 23 ¿)¿ ¿ ¿ ¿ . M isol uchun , | 2 −1 0 1 3 − 2 −3 0 4 | determinantning 2-ustun elementlarini 2 ga ko‘paytirib, 1-ustunning mos elementlariga qo‘shib, hosil bo‘lgan determinantni hisoblasak: | 0 − 1 0 7 3 − 2 − 3 0 4 |= 0⋅|3 − 2 0 4 |− (− 1)⋅|7 − 2 − 3 4 |+0⋅| 7 3 − 3 0 |= | 7 − 2 − 3 4 |= 28 − 6= 22 bo‘ladi. Bu determinantning kattaligi 1- misolda hisoblaganimizdek 22 ga teng edi, bu esa 8-xossaning ham to‘g‘riligini ko‘rsatadi; Determinantlarning xossalaridan foydalanish ko‘p hollarda qulay hisoblashlarga olib keladi. Ushbu misolni qaraymiz. 2-misol. Δ= | 12314 6157 513 16536 8268 689 20537 10268 126 | determinantning kattaligini hisoblang. Yechish. Bu determinantni uchburchak qoidasi bilan hisoblash ko‘p xonali sonlar bo‘lganligi uchun ancha noqulayliklarga olib keladi. Shuning uchun bu determinantni hisoblashda uning xossalaridan foydalanishga urinamiz. Ikkinchi satr elementlarini -2 ga ko‘paytirib, 1-satr mos elementlariga qo‘shamiz, bu holda ushbu determinant hosil bo‘ladi: Δ= | 0 6157 513 0 8268 689 1 10268 126 |;hosil bo‘lgan determinantni 1- satr elementlari bo‘yicha yoyib,ushbuni Δ= 0⋅| 8268 689 10268 126 |+ 0⋅| 6157 513 10268 126 |+1⋅| 6157 513 8268 689 |=| 6157 513 8268 689 | (− 12 ) olamiz. Oxirgi determinant 2-satr elementlarini (-12) ga ko‘paytirib 1-satr mos elementlariga qo‘shib , ushbu natijaga ega bo‘lamiz: |6157 513 8268 689 |= | 1 513 0 689 |= 1⋅689 − 0⋅513 = 689 . Bu misoldan ko‘rinadiki, determinantlarni hisoblashda uning xossalaridan foydalanish ancha qulayliklarga olib keladi. 3 –tartibli determinantni diagonallar usuli deb ataluvchi quyidagi usul bilan ham hisoblash mumkin: ¿ ¿ ¿ ¿ 1-misoldagi determinantni diagonal usulidan foydalanib hisoblasak, | 2 − 1 0 − 1 3 − 2 − 3 0 4 |= 24 − 6+ 0+0+ 0+4= 22 bo‘ladi. 5. n - tartibli determinantlar haqida. Ko‘pgina masalalarni yechishda 2 va 3- tartibli determinantlardan tashqari yanada yuqori tartibli determinantlar ham uchraydi. Masalan, 4-tartibli determinant ushbu ko‘rinishda bo‘ladi: Δ=| a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 | Umumiy holda n -tartibli determinant |a 11 a 12 … a 1n¿||a 21 a 22 … a 2n¿||… … … … … ¿|¿ ¿ ¿¿ ko‘rinishda bo‘ladi. Bunda A11 ,A12 ,… ,A1n mos ravishda a11,a12 ,… ,a1n elementlarning algebraik to‘ldiruvchilaridir. Ma’lumki, algebraik to‘ldiruvchilar A11 ,A12 ,… ,A1n ning tartiblari (n− 1) bo‘ladi. Determinantlarning hamma xossalari n -tartibli determinant uchun ham o‘rinlidir. Yuqori tartibli determinantlarni hisoblashda determinantlarning 6- xossasidan foydalanib, uning tartibini pasaytirish bilan 3 yoki 2-tartibli determinantlarga keltirib hisoblanadi. Masalan, 4-tartibli determinantni 1-satr elemenlari bo‘yicha yoysak ushbu ko‘rinishda bo‘ladi: Δ=| a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 |= = a11| a22 a23 a24 a32 a33 a34 a42 a43 a44 |− a12| a21 a23 a24 a31 a33 a34 a41 a43 a44 |+a13| a21 a22 a24 a31 a32 a34 a41 a42 a44 |− a14| a21 a22 a23 a31 a32 a33 a41 a42 a43 |.Bundan yuqori tartibli determinantlarning ham kattaligi yuqoridagiga o‘xshash hisoblanadi. Masalan, 6-tartibli determinantning kattaligini hisoblash kerak bo‘lsa, uni biror satri yoki ustuni elementlari bo‘yicha yoyib 5-tartibli determinantlarga, keyin o‘z navbatida 5-tartibli determinanatlarni ham biror satri yoki ustuni elementlari bo‘yicha yoyib, 4-tartibli determinantlarga keltiriladi va hokazo. Determinantlarning yuqorida ko‘rsatilgan xossalari hamma tartibli determinantlar uchun ham to‘g‘ri. Endi yuqori tartibli determinantlarni hisoblashga misol qaraymiz. Ushbu determinantning kattaligini hisoblang. | 2 0 3 0 − 1 3 2 4 − 2 4 0 3 0 2 1 1 | Yechish. Berilgan determinantni 1-satr elementlari bo‘yicha yoyib hisoblaymiz: | 2 0 3 0 − 1 3 2 4 − 2 4 0 3 0 2 1 1 |= 2⋅| 3 2 4 4 0 3 2 1 1 |− 0⋅| − 1 2 4 − 2 0 3 0 1 1 |+3⋅| − 1 3 4 − 2 4 3 0 2 1 |− 0⋅| − 1 3 2 − 2 4 0 0 2 1 |= 2[3⋅|0 3 1 1 |− 2⋅|4 3 2 1 |+4⋅|4 0 2 1 |] +3⋅[(− 1)⋅|4 3 2 1 |− 3⋅|− 2 3 0 1 |+4⋅|− 2 4 0 2 |]= = 2(− 9+4+16 )+3(2+6− 16 )= 22 − 24 = − 2. Determinantlarni hisoblashda uning biror satri yoki ustunlarida no‘llar ko‘proq bo‘lsa, o‘sha satr yoki ustun elementlari bo‘yicha yoyib hisoblash ancha qulaylik keltiradi, masalan, yuqoridagi misolda 1-satr elementlari bo‘yicha yoyganimiz uchun, ya’ni unda 2 ta no‘l element bo‘lgani uchun 2 ta 3- tartibli determinantlarni hisoblab chiqishga hojat qolmadi. Bunday satr yoki ustunlar bo‘lmasa determinantlarning 8-xossasidan foydalanib, uni bunday satrga yoki ustunga ega bo‘ladigan qilib o‘zgartirish mumkin, misol uchun ushbu | 1 − 2 − 5 4 0 3 1 − 3 1 − 2 2 4 3 1 − 2 1 | determinantni hisoblaylik. Buning uchun 1-ustun elementlarini oldin 2 ga, keyin mos ravishda 5 ga, -4 ga ko‘paytirib, 2,3 va 4- ustunlarning mos elementlariga qo‘shamiz, bu holda: | 1 0 0 0 0 3 1 − 3 1 0 7 0 3 7 13 − 11 |= 1⋅| 3 1 − 3 0 7 0 7 13 − 11 | bo‘lib, keyingi 3-tartibli determinantni 2-satr elementlari bo‘yicha yoysak: | 3 1 − 3 0 7 0 7 13 − 11 |= 7⋅|3 − 3 7 − 11 |= 7⋅(− 33 + 21 )= 7⋅(− 12 )= − 84 bo‘ladi. M u s t a q i l b a j a r i s h u c h u n t o p s h i r i q l a r 1 . Q u y i d a g i d e t e r m i n a n t l a r n i b i r i n c h i u s t u n e l e m e n t l a r i b o ‘ y i c h a y o y i b h i s o b l a n g : 1 )| 2 3 4 5 −2 1 1 2 3 | ; 2 ) | a 1 a −1 a 1 a −1 a | ; 3 ) | 1 2 5 0 5 7 0 − 4 8 | . 2 . Q u y i d a g i d e t e r m i n a n t l a r i n o l l a r e n g k o ‘ p b o ‘ l g a n s a t r e l e m e n t l a r i b o ‘ y i c h a y o y i b h i s o b l a n g : 1 ) | 1 b 1 0 b 0 b 0 − b | ; 2 ) | 1 2 5 0 5 7 0 − 4 8 | 3 ) | 0 0 1 2 5 6 7 8 9 | . 3 . Q u y i d a g i d e t e r m i n a n t l a r h i s o b l a n g : 1 ) | 1 4 6 2 5 7 3 −1 8 | ; 2 ) | 1 1 1 2 2 2 3 3 3 | ; 3 ) | − x 1 x 0 − x −1 x 1 − x | ; 4 ) | 3 −1 − 2 5 6 7 8 9 10 | ; 5 ) | −1 2 5 2 0 6 4 0 7 | ; 6 ) | 1 7 −1 2 6 2 1 1 4 | . 4 . U s h b u d e t e r m i n a n t l a r n i t a r t i b i n i p a s a y t i r i s h u s u l i d a n f o y d a l a n i b h i s o b l a n g : 1 ) | 1 − 4 0 3 − 4 3 2 − 3 − 2 3 − 1 4 3 2 5 0 | ; 2 ) | 2 − 1 0 5 − 1 − 3 2 − 4 4 2 − 1 3 3 0 − 4 − 2 | ; 3 ) | 3 −1 0 3 5 1 4 −7 5 −1 0 2 1 −8 5 3 | ; 4 ) | 6 −3 4 2 −1 0 4 5 2 7 3 4 0 −5 −1 3 | . 5 . Ushbu 1) |1110¿||1101¿||1011¿|¿ ¿ ¿¿ , 2) |35436 46343 22429 ¿||17718 23171 11214 ¿|¿ ¿ ¿¿ determinantlarning kattaligini hisoblang.

DETERMINANTLAR VA ULARNING XOSSALARI Reja 1. Algebra va uning rivojlanish tarixidan. 2. 2, 3-tartibli determinantlar. 3. Determinantlarning xossalari. 4. Minor va algebraik to‘ldiruvchilar. 5. n - tartibli determinantlar.

1.Algebra va uning rivojlanish tarixidan. Algebra matematikaning bir qismi va u turli miqdorlar ustida amallarni hamda shu amallar bilan bog‘liq tenglamalarni yechishni o‘rganadi. Kengroq ma’noda algebrada ixtiyoriy tabiatli to‘plamning elementlari ustida sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish kabi odatdagi amallarni umumlashtiruvchi amallarni o‘rganuvchi fan tushuniladi. Uch og‘aynning yoshlari 30, 20, 6 da. Necha yildan keyin eng kattasining, yoshi ikkala qolgan yoshlarining yig‘indisiga teng bo‘ladi.30 +x=(20 +x)+(6+x), x=4. Bunday tenglamalar eramizdan avval 2 minginchi yillarda qadimgi Misrda ma’lum edi. Lekin ular harflardan foydalanmagan. Eramizdan avvalgi 2 minginchi yil boshida qadimgi bobilliklar yanada murakkabroq masalalarni yechishgan. III asrda yashagan iskandariyalik olim Diofant geometrik bayonni rad etib harfiy ifodalardan foydalanadi. Unda manfiy ko‘rsatkichli darajalar, manfiy sonlar, musbat va manfiy sonlarni ko‘paytirish qoidalarini yozish uchun qisqacha belgilar bor edi. Algebraning keyingi rivojiga Diofant o‘rgangan algebraik tenglamalar kuchli ta’sir ko‘rsatgan. VI asrdan boshlab matematik tadqiqotlar markazi Hindiston, Xitoy, Yaqin Sharq va O‘rta Osiyo mamlakatlariga ko‘chdi. Xitoylik olimlar chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini topishda noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotish usulini topishgandi. Ammo algebra, tenglamalarni yechish masalalariga bog‘liq muammolarni bayon etuvchi matematikaning maxsus tarmog‘i Yaqin Sharq va O‘rta Osiyo olimlari ishlarida shakllandi. IX asrda o‘zbek matematigi va astranomi Muhammad ibn Muso al Xorazmiy (783-850) «Al-jabr val muqobala» asarini yozdi. Bu asarda Xorazmiy chiziqli tenglamalarni yechishning umumiy qoidasini berdi va kvadrat tenglamalarni sinflarga ajratib, har bir sinf uchun yechish yo‘llarini ko‘rsatdi. Al-jabr (tiklash) so‘zi tenglamadagi manfiy hadlarni uning ikkinchi qismiga ishorasini o‘zgartirib o‘tkazishni bildirgan. Yangi fan « Algebra » ni ng n omi o‘sha «Al-jabr» so‘zidan olingan.

Qisqacha, al-Xorazmiy to‘g‘risida ma’lumotlarni qaraganda Xorazmiy o‘qish, yozish va sanashni mahalliy diniy maktab, madrasada oldi. U ilmiy masalalarni o‘z o‘qituvchilaridan yaxshiroq tushunar, juda ko‘p o‘qir, o‘z ustida tinimsiz ishlar, madrasaning majburiy darsliklari bilan chegaralanib qolmas edi. Xorazmiyning yoshlik davri Xorazmni arablar zabt etgan davrga to‘g‘ri keladi. Beruniyning yozishicha, arab istilochilari Xorazmning milliy madaniyatini yo‘q qilib yuborgani, kitoblarning kuydirilganini, olimlarni o‘zlari bilan olib ketganini, bo‘ysunmaganlarini o‘ldirganini yozadi. Shu sabab bo‘lsa kerak, VIII asr oxirida Xorazmiy Bag‘dodga keladi. Bu asr o‘rtalarida davlat boshiga abbosiylar kelgan va Sharqiy arab xalifaligida hayot o‘z iziga tusha boshlagan edi. Bag‘dodda turli kasb egalari, olimlar to‘plana boshlaydi. Fanning rivojlanishi Xorun ar-Rashid (786-809) va uning o‘g‘li Al-Ma’mun xalifalik qilgan (813-833) davrga to‘g‘ri keladi. Al-Ma’mun Bag‘dodda «Bayt al-hikmat» (Donishmandlar uyi)ni qurdiradi. Bunda yaxshi rasadxona, boy kutubxona bor edi. Uni o‘z davrining Akademiyasi desa bo‘lar edi. Xorazmiy Bag‘dodga kelib ilmiy ishlar bilan shug‘ullanadi. Tez orada Xorazmiy matematika, astronomiya, geografiya, tarix va tabobat ilmi bo‘yicha butun O‘rta Sharqda shuhrat qozondi. U «Donishmandlar uyi»da ilmiy ishlarga, kutubxonaga, rasadxonaga rahbarlik qildi. Uni Fanlar Akademiyasining birinchi prezidenti deyish mumkin. Xorazmiyning matematikaga qo‘shgan hissasi beqiyos. Uning «Hind hisobi» nomli asari o‘nli sistema raqamlari 0, 1, 2, . . . , 9 ga bag‘ishlangan. Ularni soddalashtiradi va birinchi marta arab tilida bayon etadi. Bu raqamlar Xorazmiy asari orqali arablarga, keyin Yevropaga o‘tadi. Matematikadagi algoritm termini ham Xorazmiyning nomi bilan bog‘liq, Al-Xorazmiy lotincha al-goritm deyilgan va shu so‘zdan kelib chiqqan. Xorazmiy o‘rta asr Sharqida yaratilgan birinchi matematik-astronomik jadvallarning muallifi. Amerikalik sharqshunos olim Sorton Xorazmiyni «barcha zamonlarning eng buyuk matematiklaridan biridir» deb ta’riflaydi.

2. 2, 3 - tartibli determinantlar. Determinantlarni hisoblashga keltiriladigan ushbu masalani qaraylik. Masala.A va B mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun 2 turdagi xom ashyodan foydalaniladi. Bitta A mahsulotni ishlab chiqarish uchun 5 birlik, 1-tur va 4 birlik 2-tur xom ashyo sarflanadi,bitta B mahsulotni ishlab chiqarish uchun esa, 3 birlik, 1-tur va 5 birlik 2-tur xom ashyo ishlatiladi. 1-tur xom ashyo 62 birlik, 2-tur xom ashyo 73 birlikda berilgan bo‘lsa, eng katta foyda olinadigan ishlab chiqarishni rejalashtirish uchun xom ashyo sarfi modelini tuzing. Bu masalaning matematik modelini tuzish maqsadida x1 bilan ishlab chiqarilishi kerak bo‘lgan A mahsulot miqdorini, x2 bilan esa ishlab chiqarilishi kerak bo‘lgan B mahsulot miqdorini belgilaylik. Bu holda 5x1 A mahsulotni ishlab chiqarish uchun sarflangan 1-tur xom ashyo miqdorini, 3x2 esa B mahsulotni ishlab chiqarish uchun sarflangan 1-tur xom ashyo miqdorini ifodalaydi. 5x1+3x2 A va B mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun sarflanadigan 1-tur xom ashyo jami sarfi miqdorini ifodalaydi, bu xom ashyo chegaralangan bo‘lib, 62 birlikda mavjud, demak 5 x1+3 x2= 62 tenglama kelib chiqadi. Xuddi shunday qilib, 2-tur xom ashyo sarfi uchun 4 x1+ 5 x2= 73 tenglamani hosil qilish mumkin. Shunday qilib, { 5x1+3x2= 62 , 4x1+5x2= 73 ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qildik. Bu tenglamalar sistemasi berilgan A va B mahsulotlarni ishlab chiqarishda, xom ashyo sarfining matematik modelini ifodalaydi. Biz yuqorida eng od d iy iqtisodiy masalani ko‘rdik, hamda uning modeli ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasiga keltirilishini ko‘rsatdik. Fan va texnikaning juda ko‘p masalalarining matematik modellari chiziqli tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi. Bu holatlar chiziqli tenglamalar nazariyasini umumiy holda qarashimiz lozimligini ko‘rsatadi.

Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin: {a11 x1+a12 x2= b1¿¿¿¿ (1) a11 a22 − a12 a21 ≠ 0 bo‘lsa, (1) tenglamalar sistemasi yagona x1= b1a22 − b2a12 a11 a22 − a12 a21 ,x2= b2a11− b1a21 a11 a22 − a12 a21 (2) yechimga ega bo‘ladi. (2) formuladagi sur’at va mahrajdagi ifodalar 2- tartibli determinant (aniklovchi)lar deyiladi. 2-tartibli determinantni a11a22−a12a21=¿ |a11 aalignl ¿12¿¿¿¿|¿ ¿ ¿¿ bilan belgilanadi. a11,a12 ,a21 ,a22 larga determinantning elementlari deyiladi. Shunday qilib, (2) formulalarni determinantlar yordamida x 1 = |b 1 a 12 ¿|¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ (3) ko‘rinishda yozish mumkin. Δ = a 11 ¿ |a 22 a 23 ¿ | ¿ ¿ ¿ (4) ifodaga 3- tartibli determinant deyiladi va Δ=¿ |a11a12a13¿||a21a22a23¿|¿ ¿ ¿¿ bilan belgilanadi. a11,a22 ,a33 elementlar bosh diagonalni , a13 ,a22 ,a31 yordamchi diagonalni ifodalaydi. (4) tenglikda 2- tartibli determinantlarni kattaliklari bilan almashtirsak

O'xshashlar

QO‘ZG‘ALUVCHAN TO‘QIMALAR VA ULARNING XOSSALARI
Sellyuloza asosida olinadigan materallar va ularning xossalari
TUPROQNING AGROFIZIK XOSSALARI VA ULARNING DEHQONCHILIKDAGI AHAMIYATI
O`rtacha kattaliklarni hisoblash usullari va ularning xossalari.
Qavariq funksiyalar va ularning xossalari. Funksiyalarning qavariqlik kriteriyalari. Qavariq funksiyalarning ekstremumlari.