YUQORI TARTIBLI MOMENTLAR
![Tasodifiy miqdorining taqsimot qonuni har doim ham (2.2) jadval bilan
berilavermasligi mumkin. Masalan, uzluksiz tasodifiy miqdor uchun uning barcha
mumkin bo‘lgan qiymatlarini sanab chiqish mumkin emas.
8- ta’rif. Har bir x∈]− ∞ ,+∞ [ uchun X tasodifiy miqdorning x dan kichik
qandaydir qiymat qabul qilish ehtimolligi beradigan
F (x)= P (X < x)
funksiya
X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi yoki integral taqsimot
funksiyasi deb ataladi.
Agar
X tasodifiy miqdorni Ox o‘qda tajriba natijasida u yoki bu vaziyatni
egallaydigan tasodifiy nuqta deb qaralsa, u holda
F(x) taqsimot funksiyasi x ning
har bir aniq qiymati uchun tajriba natijasida
X tasodifiy nuqtaning x nuqtadan
chapga tushish ehtimolligi bildiradi.
Ta’rifdan yana taqsimot funksiyasi uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun ham, diskret
tasodifiy miqdorlar uchun ham mavjudligi kelib chiqadi.
Yendi uzluksiz tasodifiy miqdorning aniq ta’rifini beramiz.
9- ta’rif. Agar
X tasodifiy miqdorining taqsimot funksiyasi hamma erda uzluksiz,
bu funksiyaning hosilasi esa istalgan chekli oraliqdagi chekli sondagi nuqtalarni
istisno etganda, barcha nuqtalarda uzluksiz bo‘lsa,
X uzluksiz tasodifiy miqdor deb
ataladi.
Taqsimot funksiyasining umumiy xossalarini ko‘rib chiqamiz.
1– xossa.
F(x) taqsimot funksiyasi manfiymas funksiya bo‘lib, uning qiymatlari nol
va bir orasida joylashgan:
0≤F(x)≤1 .
Bu istalgan
x qiymat uchun F(x) funksiya biror ehtimolligini aniqlashdan
kelib chiqadi.
2– xossa.
X tasodifiy miqdorning oraliqqa tushish ehtimolligi
taqsimot funksiyasining bu oraliqdagi ortirmasiga teng, ya’ni
P(α≤ X <β)= F(β)− F (α)
.
3 – xossa.
F(x) taqsimot funk s iyasi −∞ da 0 ga teng, +∞ da 1 ga teng, ya’ni
F (−∞ )=0, F (+∞ )=1.
X uzluksiz tasodifiy miqdor bo‘lsin.
10-ta’rif.
X tasodifiy miqdor ehtimollik taqsimotining differensial
funksiyasi deb , ushbu
f(x)= F '(x)
(2.3)
formula bilan aniqlanadigan
f(x) funksiyaga aytiladi.
( 6.3 ) formuladan
f(x)= limΔx→0
F (x+Δx )− F (x)
Δx = limΔx→0
P (x≤ X ≤ x+Δx )
Δx](/data/documents/dafa8a0d-2b64-4272-b286-dbf1ca55540d/page_20.png)
![kelib chiqadi. P(x≤ X≤ x+Δx ) surat X tasodifiy miqdor [x,x+Δx ] oraliqda yotgan
qiymatni qabul qilish ehtimolligi «massasini» bildiradi.
Demak,
P(x≤ X≤ x+Δx )
Δx ehtimollikning [x,x+Δx ] oraligida o‘rtacha zichligini,
f(x)= limΔx→0
P (x≤ X ≤ x+Δx )
Δx
esa X tasodifiy miqdorning x nuqtadagi ehtimollik
zichligini bildiradi. Shu munosabat bilan taqsimot differensial funksiyasini taqsimot
zichligi, uning garafigini esa taqsimot egri chizig‘i deyiladi.
Taqsimot zichligining asosiy xossalarini keltiramiz:
1-xossa. Taqsimot zichligi manfiymas funksiya, ya’ni
f(x)≥0 .
2-xossa.
F(x) taqsimot funksiyasi ma’lum bo‘lgan f(x) taqsimot zichligidan
F(x)=∫−∞
x
f(t)dt
formula bo‘yicha topish mumkin.
3- xossa. Ushbu formulaga o‘rinli:
P(α≤ X≤ β)=∫
α
β
f(x)dx .
4- xossa. Ushbu formula o‘rinli
∫
−∞
+∞
f(x)dx =1 .
2. Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari
Matematik kutilish. Ushbu diskret tasodifiy miqdor berilgan bo‘lsin:
X={
x1
p1
|
x2
p2
|...
...
|
xn
pn
|
11– ta’rif.
X diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi (M (X ) yoki
mx
bilan belgilanadi) deb , X miqdorning mumkin bo‘lgan qiymatlarini mos
ehtimolliklarga ko‘paytmalari yig‘indisiga teng songa aytiladi, ya’ni
M (X )= x1p1+ x2p2+...+xnpn= ∑
k=1
n
xkpk ( 2.4 )
X
tasodifiy miqdorning mumkin bo‘lgan qiymatlari soni cheksiz, ya’ni X miqdor
X={
x1
p1
|
x2
p2
|...
...|
xn
pn
|...
...
taqsimotga ega bo‘lgan holda uning matematik kutilishi
M (X )= x1p1+x2p2+...+xnpn+...= ∑
k=1
∞
xkpk
( 2 .5)
formula bilan aniqlanadi. Bunda ( 2. 5) qator absolyut yaqinlashadi deb faraz qilinadi.
Aks holda bu tasodifiy miqdor matematik kutilishga ega bo‘lmaydi.
1 2– ta’rif. Mumkin bo‘lgan qiymatlari
(a,b) intervalga tegishli bo‘lgan X
uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi deb](/data/documents/dafa8a0d-2b64-4272-b286-dbf1ca55540d/page_21.png)
![keladi. Shuning uchun ko‘pincha boshqacha yo‘l tutiladi, ya’ni chetlanish
kvadratining o‘rtacha qiymati hisoblanadi va uni odatda dispersiya deyiladi.
14-ta’rif. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi (tarqoqligi) deb ,
tasodifiy miqdorni o‘zining matematik kutilishidan chetlanishi kvadratning
matematik kutilishiga aytiladi.D(X)= M [X−M (X)]2.
15-ta’rif. X tasodifiy miqdorning o‘rtacha kvadrat chetlanishi deb,
dispersiyadan olingan kvadrat ildiziga aytiladi:
σ(X)=√D(X )
Dispersiyaning o‘lchamligi tasodifiy miqdor o‘lchamining kvadratiga tengligini
ko‘rsatish qiyin emas. O‘rtacha kvadrat chetlanish dispersiyadan olingan kvadrat
ildiziga teng bo‘lgani uchun
σ(X )=√D(X ) ning o‘lchamligi X ning
o‘lchamligi bilan bir xil bo‘ladi. Shu sabali tarqoqlik bahosi o‘lchamligi tasodifiy
mikdor o‘lchamligi bilan bir bo‘lishi maksadga muvofik bo‘lgan hollarda dispersiya
emas, balki o‘rtacha kvadratik chetlanish hisoblanadi. Masalan, chiziq metrlarda
o‘lchansa, u xolda
σ(X )=√D(X ) ham chiziqli metrlarda o‘lchanadi. D(X) esa
kvadrat metrlarda o‘lchanadi.
Dispersiyani hisoblash uchun ko‘pincha ushbu formuladan foydalanish qulay
bo‘ladi:
D (X )= M (X 2)− M 2(X ),
ya’ni dispersiya tasodifiy miqdor kvadrati matematik kutilishi bilan uning
matematik kutilishi kvadrati orasidagi ayirmaga teng.
Isbot.
D (X )= M (X − M (X ))2= M (X 2− 2 X⋅M (X )+ M 2(X ))=
= M (X 2)− M (2X⋅M (X ))+M (M 2(X ))= M (X 2)−
− 2⋅M 2(X )+ M 2(X )= M (X 2)− M 2(X ).
Isbotda biz matematik kutilishining xossalaridan hamda
M (X ) va M 2(X )
ning o‘zgarmas sonlar ekanligidan foydalandik.
4. Misol.
X tasodifiy miqdorning dispersiyasini formula bo‘yicha hisoblang:
X = {
− 2
0,3
| 4
0,2
| 6
0,5
Ye chish.
M (X )=− 2⋅0,3 +4⋅0,2 +6⋅0,5 = 3,2 ,
M (X 2)= 4⋅0,3 +16 ⋅0,2 +36 ⋅0,5 = 22 ,4,
D (X )= M (X 2)− M 2(X )= 22 ,4− 10 ,24 = 12 ,16 .
Dispersiyaning xossalari.
1– xossa. O‘zgarmas miqdorning dispersiyasi nolga teng, ya’ni
D (C )= 0
2– xossa. O‘zgarmas ko‘paytuvchini kvadratiga ko‘tarib dispersiya belgisidan
tashqariga chiqish mumkin, ya’ni ushbu formulaga o‘rinli:](/data/documents/dafa8a0d-2b64-4272-b286-dbf1ca55540d/page_23.png)
![Aniq formula bo‘yicha hisoblash 0,1959 ni beradi, demak, Pausson
formulasini qo‘llanishdagi xatolik 0,0007 bo‘ladi. Laplas lakl formulasi bo‘yicha
hisoblash bilan esa 0,2000 ni hosil qilamiz, demak xatolik 0,0051 bo‘ladi, ya’ni
Puasson formulasidan foydalanilganidan ko‘ra 6 marta ortiq bo‘ladi.
Asosiy sonli xarakteristikalari .M (X)=∑
k=0
∞
P(X=k)=∑
k=1
∞
k⋅λk
k!e−λ=λe−λ∑
k=1
∞ λk−1
(k−1)!
=
=λe−λeλ=λ
M (X2)= ∑
k=0
∞
k2⋅P(X=k)= ∑
k=1
∞
k2⋅λk
k!⋅e−λ=
¿λe −λ∑
k=1
∞
k⋅λk−1
(k−1)!
= λe −λ∑
k=1
∞
((k−1)+1)λk−1
(k−1)!
=
¿λe −λ
(∑
k=2
∞
(k−1)λk−1
(k−1)!
+∑
k=1
∞ λk−1
(k−1)!)= λe −λ
(∑
k=2
∞ λk− 2
(k−2)!
+eλ
)=
λe −λ(λe λ+eλ)= λ2+λ.
D (X)= M (X2)− M 2(X )=(λ2+λ)− λ2= λ,σ(X )= √λ
.
Shunday qilib,
M (X )= λ, D (X )= λ, σ(X )= √λ .
Puasson taqsimotida tasodifiy miqdorning dispersiyasi uning matematik
kutilishiga teng.
Tekis taqsimot . Tekis taqsimlangan
X uzluksiz tasodifiy miqdor deb zichligi
biror
[a,b] kesmada o‘zgarmas va 1/(b− a) ga tang, bu kesmadan tashqari esa
nolga teng, ya’ni
f(x)=¿{0,агар x <a булса, ¿
{
1
b-a
,агар a≤x≤bбулса, ¿¿¿¿
bo‘lgan tasodifiy miqdorga aytiladi.
∫
−∞
+∞
f(x)dx =1
ekanligini tekshirish oson. Haqiqattan,
∫−∞
+∞
f(x)dx = ∫
a
b 1
b− a dx = 1
b− a⋅x|a
b= 1
b− a⋅(b− a)= 1.
Tekis taqsimot uchun
F(x) taqsimot funksiyasini topamiz. Agar a≤ x≤ b
bo‘lsa, u holda
F (x)= ∫−∞
x
f(t)dt = ∫
a
x 1
b− a dt = 1
b− at|a
x= x− a
b− a .
Ravshanki,
x<a da F (x)= 0,x>b da F(x)= 1 . Shunday qilib,](/data/documents/dafa8a0d-2b64-4272-b286-dbf1ca55540d/page_26.png)
![M (X )= ∫
−∞
+∞
x f(x)dx =
1
σ√2π
∫
−∞
+∞
xe −(x−a)2/2σ2
dx =
=|(x− a)/σ= t,xσ t+a,dx = σ dt|=
=
1
σ√2π
⋅∫
−∞
+∞
(σ t+a)e−t2/2dt =
σ
√2π
∫
−∞
+∞
te−t2/2dt +
+
a
√2π
∫
−∞
+∞
e−t2/2dt =
1
√2π
(σ⋅0+a√2π)= aShunday qilib,
M (X )= a
So‘ngra
D (X )= 1
σ√2π
∫−∞
+∞
(x− a)2e−(x−a)2σ2
dx = σ2
Biz bu yerda
D (X) ni hisoblashni keltirmasdan, uni mustaqil mashq sifatida
qoldirdik.
σ(X )= √D (X )
bo‘lganligi uchun σ(X )= σ , ya’ni X normal tasodifiy
miqdorning o‘rtacha kvadratik chetlanishi
σ parametrga teng.
Normal taqsimlangan
X tasodifiy miqdoraning [α,β] integraldagi qiymatini qabul
qilish ehtimolligini hisoblamiz:
P (α≤ X ≤ β)= ∫
α
β
f(x)dx = 1
σ √2π∫
α
β
e
−(x−a)2
2σ2
dx =
=|x− a
σ
= t, x= σ t+a,dx = σ dx = σ dt x
t
|α
(α− a)
|β
(β− a)/σ
|=
= 1
√2π ∫
α−a
σ
β−α
σ
e− t2/2dt = 1
√2π ∫
(α−a)/σ
0
e−t22dt +
+1
√2π ∫
0
(β−a)/a
e−t2/2dt = 1
√2π ∫
0
(β−a)/σ
et2/2dt − 1
√2π ∫
0
(x−a)/σ
e−t2/2dt .
Uzil – kesil quyidagiga egamiz:
P (α≤ X ≤ β)= Φ (
β− a
σ )− Φ (
α− a
σ ),
bu yerda
Φ (x)− ( ** ) formula bilan aniqlanadigan Laplas funksiyasi.
Mavzuni o‘zlashtirish darajasini tekshirish va mustahkamlash (10
daqiqa). Mavzu bo‘yicha asosiy tushunchalar va tasdiqlar o‘z ifodasini topgan o‘z –
o‘zini tekshirish savollari va muammoli topshiriqlardan ba’zilari taklif etiladi va](/data/documents/dafa8a0d-2b64-4272-b286-dbf1ca55540d/page_30.png)
![talabalarning javoblari eshitiladi, so‘ngra, mavzu bo‘yicha o‘z– o‘zini tekshirish
savollariga javoblar yozish va muammoli topshiriqlarni bajarish talabalarga uyga
vazifa sifatida beriladi (ular ma’ruza matnining oxirida keltirilgan).
1 -misol . Quyidagi
1)xi
-4 6 10
pi
0, 2 0, 3 0, 5
2)
xi
0,21 0,54 0,61
pi
0, 1 0, 5 0, 4
taqsimot q o nun ga ega
X diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishini toping.
Ye chilishi . 1) Matematik kutilish
X ning barcha mumkin bo‘lgan
qiymatlarini ularning ehtimollariga ko‘paytmalari yig‘indisiga teng:
M (X )= − 4⋅0,2 +6⋅0,3 +10 ⋅0,5 = 6.
Javobi. 2)
M (X )=0,535 .
2 -misol. Agar
X va Y ning matematik kutilishi ma’lum bo‘lsa, Z tasodifiy
miqdorning matematik kutilishini toping.
1) Z= X +2Y , M (X )= 5, M (Y )= 3;
2) Z= 3X +4Y , M (X )= 2, M (Y )= 6.
3)Z= 5X − 3Y , M (X )= 4, M (Y )= 3.
Ye chilishi .1) Matematik kutilishning xossalaridan foydalanib (yig‘indining
matematik kutilishi qo‘shiluvchilarining matematik kutilishlari yig‘indisiga teng;
o‘zgarmas ko‘paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish
mumkin), quyidagini hosil qilamiz:
M (Z)= M (X +2Y )= M (X )+M (2Y )=
= M (X )+2M (Y )= 5+2⋅3= 11 .
Javobi.
2)M (Z)=30 . 3)M (Z)=11 .
3 - m isol.
X tasodifiy miqdorning dispersiyasini formula bo‘yicha hisoblang:
xi
-2 4 6
pi
0, 3 0, 2 0, 5
Echi li sh i .
M (X )=− 2⋅0,3 +4⋅0,2 +6⋅0,5 = 3,2 ,
M (X 2)= 4⋅0,3 +16 ⋅0,2 +36 ⋅0,5 = 22 ,4,
D (X )= M (X 2)− M 2(X )= 22 ,4− 10 ,24 = 12 ,16 .
4 -misol.
X1,X2,...,Xn tasodifiy miqdorlar erkli musbat va bir xil
taqsimlangan bo‘lsa, u holda
M [
X 1
X 1+ X 2+...+ X n]= 1
n
yekanligini isbotlang.](/data/documents/dafa8a0d-2b64-4272-b286-dbf1ca55540d/page_31.png)
![Ye chilishi. Ushbu tasodifiy miqdorlarni kiritamiz:Y1=
X 1
X 1+ X 2+...+ X n
, Y 2=
X 2
X 1+ X 2+...+ X n
, ...,
Y n=
X n
X 1+ X 2+...+ X n
.
(*)
Bu kasrlarning maxrajlari nolga teng bula olmaydi, chunki
Xi(i=1,n) miqdorlar
musbat.
Shunga ko‘ra
Xi miqdorlar bir xil taqsimlangan, shu sababli Yi miqdorlar
ham bir xil taqsimlangan, demak, ular bir xil sonli xarakteristikalarga, jumladan, bir
xil matematik kutilishlarga ega:
M (Y1)= M (Y2)= ...= M (Yn)
. (**)
Sungra
Y1+Y2+...+Y n= 1
yekanligini k o‘ rish oson, demak,
M (Y1+Y 2+...+Y n)= M (1)= 1
.
Yig‘indining matematik kutilishi qo‘shiluvchilarning matematik kutilishlari
yig‘indisiga teng, shuning uchun
M (Y1)+ M (Y 2)+...+M (Y n)= 1
(**) ga asoan
nM (Y1)=1
.
Bundan
M (Y1)= 1
n
.
(*) ni e’tiborga olgan holda, uzil – kesil quyidagini hosil qilamiz:
M [
X 1
X 1+ X 2+...+ X n]= 1
n
.
5-misol.
X va Y erkli tasodifiy miqdorlar. Agar D (X )= 5, D (Y )= 6
ekanligi ma’lum bo‘lsa,
Z= 3X +2Y tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping.
Ye chilishi.
X va Y miqdorlar erkli b o‘ lgani uchun 3X va 2Y miqdorlar
ham erkli. Dispersiyaning xossalaridan foydalanib (erkli tasodifiy miqdorlar
yi g‘ indisining dispersiyasi qo‘ shiluvchilarning dispersiyalari yi g‘ indisiga teng.
O‘zgarmas k o‘ paytuvchini kvadratga oshirib, dispersiya belgisidan tash q ariga
chi q arish mumkin), q uyidagini h osil q ilamiz:
D (Z)= D (3X +2Y )= D (3x)+D (2Y )=
= 9D (X )+4D (Y )= 9⋅5+4⋅6= 69 .
6-misol.
A hodisaning har bir sinovda ro‘y berish ehtimoli 0,2 ga teng. X
diskret tasodifiy miqdor-
A hodisaning beshta erkli sinovda ro‘y berish sonining
dispersiyasini toping.](/data/documents/dafa8a0d-2b64-4272-b286-dbf1ca55540d/page_32.png)
![Ye chilishi. Hodisaning erkli sinovlarda ro‘y berish sonining dispersiyasi ( har
bir sinovda hodisaning ehtimoli bir xil bo‘lganda) sinovlar sonini hodisaning ro‘y
berish va ro‘y bermaslik ehtimollariga ko‘paytirilganiga teng: D (X )= npq . Shartga
ko‘ra
n= 5; p= 0,2 ; q= 1− p= 0,8 .
Demak, dispersiya:
D (X )= npq = 5⋅0,2 ⋅0,8 = 0,8 .
7-misol. X diskret tasodifiy miqdor faqat ikkita mumkin bo‘lgan
x1 va x2
qiymatga ega b o‘ lib,
1 2 x x . X ning x1 qiymatini qabul qilish ehtimoli 0,6 ga
teng. Matematik kutilishi va dispersiya ma’lum: M ( X ) = 1,4; D ( X ) = 0,24. X
miqdorning taqsimot qonunini toping.
Ye chilishi. Diskret tasodifiy miqdorinng barcha mumkin bo‘lgan
qiymatlarining ehtimollari yig‘indisi birga teng, shuning uchun X ning
x2 qiymatni
qabul qilish ehtimoli 1 0,6 = 0,4 ga teng.
X ning taqsimot qonuni ni yozamiz:
xi x1 x2
ip
0, 6 0, 4
( 1 )
x1
va x2 ni topish uchun bu sonlarni o‘zaro boglaydigan ikkita tenglama
tuzish lozim. Shu maqsadda biz ma’lum matematik kutilish va dispersiyani
x1 va x2
orqali ifodalaymiz.
M ( X ) ni topamiz:
M ( X ) = 0,6
x1 + 0,4 x2 .
Shartga ko‘ra M ( X ) = 1,4, demak,
0,6
x1 + 0,4 x2 = 1,4. (2)
x1
va x2 ni boglaydigan bitta tenglamani hosil qildik. Ikkinchi tenglamani hosil
qilish uchun bizga ma’lum dispersiyani
x1 va x2 orqali ifodalaymiz.
X2
ning taqsimot qonuni ni yozamiz:
xi2 x12 x22
pi
0, 6 0, 4
M (X 2)
ni topamiz:
M (X 2)= 0,6 x12+0,4 x22
.
Dispersiyani topamiz:
D (X )= M (X 2)− [M (X )]2= 0,6 x12+0,4 x22− 1,4 2
.
Bunga D ( X ) = 0,24 ni quyib, elementar almashtirishlardan sung](/data/documents/dafa8a0d-2b64-4272-b286-dbf1ca55540d/page_33.png)
![0,6 x1
2+0,4 x2
2= 2,2 (3)
ni hosil qilamiz.
(2) va (3) ni birlashtirib, ushbu tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
{
0,6 x1+0,4 x2= 1,4
0,6 x1
2+0,4 x2
2= 2,2
bu sistemani yechib, ushbu ikkita yechimni hosil qilamiz:
x
1 = 1; x
2 = 2; va x
1 = 1,8; x
2 = 0,8.
Shartga ko‘ra x
2 > x
1 , shuning uchun masalani faqat birinchi yechim:
x
1 = 1; x
2 = 2 (4)
qanaotlantiradi.
(4) ni (1) ga quyib, izlanayotgan taqsimot qonunini hosil qilamiz:
xi
1 2
pi
0, 6 0, 4
2.2 YUQORI TARTIBLI MOMENTLAR
Reja.
1. Diskret tasodifiy miqdorlarning y uqori tartibli momentlar .
2. Uzluksiz tasodifiy miqdorlarning y uqori tartibli momentlar .
1. Diskret tasodifiy miqdorlarning y uqori tartibli momentlar .
X tasodifiy miqdorning k – tartibli boshlangich mommenti deb,
Xk miqdorning
matematik kutilishiga aytiladi:
νk= M (X k)
.
Jumladan, birinchi tartibli boshlangich moment matematik kutilishga teng:
ν1= M (X )
.
X tasodifiy miqdorning k – tartibli markaziy momenti deb,
[X− M (X )]k
miqdorning matematik kutilishiga aytiladi:](/data/documents/dafa8a0d-2b64-4272-b286-dbf1ca55540d/page_34.png)
![μk= M [X − M (X )]k.Jumladan, birinchi tartibli markaziy moment nolga teng:
μ1= M [X − M (X )]= 0.
Ikkinchi tartibli markaziy moment dispersiyasiga teng:
μ2= M [X − M (X )]2= D (X ).
Markaziy momentlarni ularni boshlangich momentlar bilan boglaydigan
formulalardan foydalanib, hisoblash maqsadga muvofiqir:
μ2= ν2− ν1
2;
μ3= ν3− 3ν1ν2+2ν13;
μ4= ν4− 4ν1ν3+6ν2ν12− 3ν14.
1-ta’rif: agar
ξ diskret tasodifiy miqdor bo’lsa,
αk= Mξ k= ∑
i=1
∞
xikP {ξ= xi}
ga, uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lsa,
αk= Mξ k= ∫
−∞
∞
xkpξ(x)dx
ga uning k-tartibli boshlang’ich momenti deyiladi
Ta’rifga asosan
α1= Mξ ya’ni matematik kutilma bu birinchi tartibli boshlang’ich
moment ekan.
2-ta’rif:
ξ tasodifiy miqdorning k-tartibli absalyut boshlang’ich momenti
deb, diskret tasodifiy miqdorlar uchun
mk= M |ξ|k=∑
i=1
∞
|xi|kP{ξ= xi}
ifodaga, uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun
mk= M |ξ|k=∫
−∞
∞
|x|kpξ(x)dx
ifodaga aytiladi.
3-ta’rif:
ξ tasodifiy miqdorning k-tartibli markaziy momenti deb, diskret
tasodifiy miqdorlar uchun
νk= M (ξ− Mξ )k=∑
i=1
∞
(xi− Mξ )kP(ξ= xi)
ifodaga, uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun
νk= M (ξ− Mξ )k= ∫
−∞
∞
(x− Mξ )kpξ(x)dx
ifodaga aytiladi.
Agar
Mξ = 0 bo’lsa, νk=ak , ya’ni markaziy moment boshlang’ich momentga
teng bo’ladi.
Ta’rifdan ko’rinadiki,
ν2 moment ξ tasodifiy miqdorning dispersiyasi bo’ladi.
4-ta’rif:
ξ tasodifiy miqdorning k-tartibli markaziy absalyut momenti deb,
diskret tasodifiy miqdorlar uchun](/data/documents/dafa8a0d-2b64-4272-b286-dbf1ca55540d/page_35.png)
![(M |ξ|t)
1
t≤(M |ξ|τ)
1
τ≤(M |ξ|k)
1
ktengsizlik o’rinli bo’ladi.
Gyoldyer tengsizligi .
ξ≥ 0 , η≥0 va p,q sonlar uchun
p>1, q>1, 1
p +1
q=1
munosabatlar o’rinli bo’lsin. Agar
Mξ p<∞ va Mη q<∞ bo’lsa,
M ξη ≤ (Mξ p)
1
p⋅(Mη q)
1
q
(2.8)
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Isboti:
ξ1= ξ
(Mξ p)
1
p ,
η1= η
(Mη q)
1
q (2.9)
belgilashlarni kiritamiz.
ln x
funksiyaning qavariq bo’lganligi uchun ixtiyoriy x1,x2 uchun
ln [x1(1− y)+x2y]≥(1− y)⋅ln x1+yln x2=ln (x11−y⋅x2y)
bo’ladi.
ln x
o’suvchi funksiya bo’lganligi uchun
x1(1− y)+x2y≥ x11−y⋅x2y
tengsizlik o’rinli bo’laladi. Oxirgi tengsizlikda
x1=ξ1
p, x2=η1
q, y= 1
q, 1− y= 1
p
deb olsak,
ξ1η1≤ 1
pξ1
p+1
qη1
q
ga ega bo’lamiz. Oxirgi tengsizlikning ikkala tomonidan matematik kutilma olsak,
Mξ 1η1≤ 1
pMξ 1
P+1
qMη 1
q
(2.10)
tengsizlik ega bo’lamiz.
Mξ 1p= Mη 1q= 1
,
bo’lganligi uchun
Mξ 1η1≤1. oxirgi tengsizlikdan (2.9) belgilahlarni hisobga olsak
(2.8) ga ega bo’lamiz.
Gyoldyer tengsizligidan
p= q= 2 bo’lganda, Koshi – Bunyakovskiy tengsizligi
kelib chiqadi.
Ehtimollar nazariyasi va uning tadbiqlarida tasodifiy miqdorlarning quyidagi
xarakteristikalari kyerak bo’ladi.
4-ta’rif: Uzluksiz taqsimlangan
ξ tasodifiy miqdorning modasi deb, p(x)
zichlik funksiya maksimumga yerishadigan nuqtalarga aytiladi va
M kabi
belgilanadi.
Agar maksimum nuqtasi bitta bo’lsa,
p(x) funksiyani unimodal, ikkita
bo’lsa, bimodal, agar bir nechta bo’lsa, polimodal deyiladi.Agar
p(x) zichlik
funksiya maksimumga ega bo’lmasa uni antimodal deyiladi.
5-ta’rif:
F(x)= p
tenglamaning yechimi
ξ tasodifiy miqdorning p - tartibli kvantili deyiladi.](/data/documents/dafa8a0d-2b64-4272-b286-dbf1ca55540d/page_37.png)
![Agar p= 1
2 bo’lsa, bunday kvantil taqsimotning medianasi deyiladi va Me
kabi belgilanadi. Demak,
F(x) taqsimotning medianasi x argumentning shunday
x= Me
qiymatiki, uning uchun
F(Me −0)≤ 0,5 ≤ F(Me +0)
bajariladi.
Tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi mavjud bo’lmasa ham uning
medianasi doimo mavjud bo’lishi mumkin.
6-ta’rif.
ν= σ
α1 ga ξ tasodifiy miqdorning variatsiya koeffisiyenti deyiladi
Variatsiya koeffisiyenti tasodifiy miqdorning o’zgaruvchanligini xaraktyerlaydi
hamda prsentlarda ifodalanadi. Nosimmetrik tasodifiy miqdorlarni xaraktyerlash
uchun o’lchamsiz miqdor –asimmetriya koeffisiyenti tushunchasi kiritiladi.
7-ta’rif.
ξ tasodifiy miqdorning asimmetriya koeffisiyenti deb γ1= ν3
σ3 ga
aytiladi, bu yerda
ν3= M [(ξ−a1)3]
.
8-ta’rif.
ξ tasodifiy miqdorning ekssessiya koeffisiyenti deb
γ2= ν4
σ4− 3
ga aytiladi, bu yerda
ν4= M [(ξ−a1)4].
Normal taqsimot uchun
ν4
σ4= 3 , shuning uchun ν4=0.
2. Uzluksiz tasodifiy miqdorlarning y uqori tartibli momentlar .
Tasodifiy miqdorlarning boshqa sonli xarakteristikalariga ham to‘xtalib
o‘tamiz. Bunday xarakteristikalar sifatida ko‘p hollarda yuqori tartibli momentlar
ishlatiladi.
Agar tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi F ( x ) bo‘lsa,
integral tasodifiy miqdorning k-tartibli momenti yoki k - tartibli boshlang‘ich
momenti deyiladi. Т ushunarliki , agar](/data/documents/dafa8a0d-2b64-4272-b286-dbf1ca55540d/page_38.png)
![P (X = 0)=
C 3
0C 1
3
C 10
3 = 35
120 , P (X = 1)=
C 3
1C 7
2
C 10
3 = 63
120 ;
P= Cm
mC N−m
n−m
C Nn , P(X= 2)= C32C71
C103 =21
120 , P(X= 3)= C33C70
C103 = 1
120 .
Endi
X miqdorning taqsimot qatorini yozishimiz mumkin:
0 1 2 3
Tekshirish:
35
120 +63
120 +21
120 + 1
120 =1 .
Matematik kutilishi:
Dispersiyasi:
k – tartibli boshlangich mommenti :
νk= M (X k) ,
, , ,
, ,
k – tartibli markaziy momenti:
μk= M [X − M (X )]k.
μ1= M [X − M (X )]= 0.
, μ2= M [X − M (X )]2= D (X ).
, ,
.](/data/documents/dafa8a0d-2b64-4272-b286-dbf1ca55540d/page_41.png)
![.
.μk= M [X − M (X )]k.
Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar
1. Matematik kutilishning xossalaridan foydalanib:
1)
M (X − Y)= M (X )− M (Y ) tenglikni; 2) X− M (X ) chetlanishning matematik
kutilishi nolga tengligini isbotlang.](/data/documents/dafa8a0d-2b64-4272-b286-dbf1ca55540d/page_42.png)
![T asodifiy miqdor - Tajriba natijasida oldindan ma’lum mumkin bo‘lgan
qiymatlaridan birini qabul qiladigan miqdor tasodifiy miqdor deb ataladi.
Diskret tasodifiy miqdor deb mumkin bo‘lgan qiymatlari chekli yoki
cheksiz sonli ketma – ketligidan iborat miqdorga aytiladi.
Uzluksiz tasodifiy miqdor deb, mumkin bo‘lgan qiymatlari son o‘qining
biror (chekli yoki cheksiz) oralig‘ining butunlay to‘ldiradigan miqdorga aytiladi.
Taqsimot qonuni - Tasodifiy miqdorning qiymatlari bilan ularning
ehtimolliklari orasidagi bog‘lanishini tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni deb
ataladi.X
diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi deb , X miqdorning
mumkin bo‘lgan qiymatlarini mos ehtimolliklarga ko‘paytmalari yig‘mndisiga teng
songa aytiladi, ya’ni
M (X )= x1p1+ x2p2+...+xnpn= ∑
k=1
n
xkpk
Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi (tarqoqligi) deb , tasodifiy
miqdorni o‘zining matematik kutilishidan chetlanishi kvadratining matematik
kutilishiga aytiladi.
D(X)= M [X−M (X)]2.
T aqsimot funksiya.
F (x)= P (X < x)
funksiya
X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi yoki integral taqsimot
funksiyasi deb ataladi.
Taqsimot zichligi funksiyasi.
f(x)= F'(x)
(6.3)
formula bilan aniqlanadigan
f(x) funksiyaga aytiladi.
Binomial taqsimot. Agar
X diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni
X={
0
qn| 1
npq n−1|...
...| k
Cn
kpkqn−k|...
...|n
pn
ko‘rinishda bo‘lsa,
X binomial qonun bo‘yicha taqsimlangan deyiladi.
Puasson taqsimoti. Agar
X tasodifiy miqdor 0, 1, 2, ….., k,... qiymatlarini
pk= P (X = k)= λk
k!
e−λ(λ>0)
ye htimolliklar bilan qabul qilsa, ya’ni uning taqsimoti
X={0¿
e−λ¿
¿
¿|1¿
λe−λ¿
¿
¿|
2...
λ2
2!
|...¿
....¿
¿
|
k...
λk
k!
e−λ
|
...
....
¿
ko‘rinishda bo‘lsa, u Puasson qonuni bo‘yicha taqsimlangan deb ataladi.](/data/documents/dafa8a0d-2b64-4272-b286-dbf1ca55540d/page_46.png)
![Tekis taqsimot. Tekis taqsimlangan X uzluksiz tasodifiy miqdor deb zichligi
biror
[a,b] kesmada o‘zgarmas va 1/(b− a) ga tang, bu kesmadan tashqari esa
nolga teng, ya’ni
f(x)=¿{0,агар x <a булса, ¿
{
1
b-a
,агар a≤x≤bбулса, ¿¿¿¿
bo‘lgan tasodifiy miqdorga aytiladi.
Ko‘rsatkichli taqsimot. Taqsimot zichligi
f(x)=¿{λe
−λx
,агар x≥0 булса ,¿¿¿¿
ko‘rinishda bo‘lgan
X tasodifiy miqdor ko‘rsatgichli taqsimotga ega deyiladi, bu
yerda
λ− biror tayin musbat son.
Normal taqsimot (Gauss taqsimoti) .
X tasodifiy miqdorning taqsimot zichligi
f(x)= 1
σ√2πe
−(x−a)2
2σ2(σ>0)
( *)
ko‘rinishda bo‘lsa, u normal qonun bo‘yicha taqsimlangan deb ataladi.](/data/documents/dafa8a0d-2b64-4272-b286-dbf1ca55540d/page_47.png)
“ YUQORI TARTIBLI MOMENTLAR ” MUNDARIJA Kirish ..................................................................................................................... 1- BOB. OLIY MATEMATIKA. EHTIMOLLAR NAZARIYASI VA MATEMATIK STATISTIKA FANINI O‘QITIShNING NAZARIY MASALALARI 1.1. Oliy matematika fani taraqqiyotining ustivor yo‘nalishlari........................... 1.2. Oliy matematika fanini o‘qitishdagi innovatsiyalar va ilg‘or xorijiy tajribalar.......................................................................................................... ...... 2- BOB. OLIY MATEMATIKA. EHTIMOLLAR NAZARIYASI VA MATEMATIK STATISTIKA FANIDAN ELEKTRON O‘QUV MODULI IShLANMASI 2.1. Tasodifiy miqdorlar va ularning sonli xarakteristikalari . ...... .......................... 2.2. Yuqori tartibli momentlar……………… ........................... ............................. 2.3.Nazorat topshiriqlari va mustaqil ta’lim yuzasidan ko‘rsatmalar...... ............... 2.5. Adabiyotlar................................................................................................... ...
KIRISh Hozirgi paytda zamonaviy ta’lim tizimining shakllanish jarayonida o‘quv- tarbiya jarayonining pedagogik nazariyasi va amaliyotida jiddiy o‘zgarishlar sodir bo‘lmoqda. Axborot uzatishning an’anaviy usullari o‘z o‘rnini axborot- kommunikatsiya texnologiyalaridan foydalanishga bo‘shatib bermoqdaBunday sharoitda o‘qituvchi innovatsiyali texnologiyalar, g‘oyalar, yo‘nalishlarning turli xilma-xilligini yaxshi ajrata bilishi zarur. Darslarda aqliy zo‘riqishning ortishi ta’lim oluvchilarda butun mavzuni o‘rganish mobaynida o‘rganilayotgan materialga qiziqishini, ularning faolligini qanday qilib so‘ndirmaslik haqida o‘ylashni taqozo etadi. Shu munosabat bilan ta’lim oluvchilarning fikrlashini faollashtiradigan, ularni bilimlarni mustaqil egallashga undaydigan ta’limning yangi samarali uslublari va uslubiy vositalarni izlash ishlari olib borilmoqda. .Shaxsni shakllantirish keng qamrovli tushuncha xisoblanib,unga bevosita ta’lim va tarbiya masalasi xam o‘rin olgan. Zamonaviy oliygoxning asosiy vazifasi – yangi metodika va texnologiyalar asosida talabalarni o‘qitish sifatini oshirishdir. Oliy ta’lim muassasalarining ta’lim va tarbiya jarayonlarini tashkil etishda quyidagi: ta’lim to‘g‘risidagi qonun xujjatlari, qonun osti xujjatlari jumladan farmonlar, farmoyishlar, qarorlar va buyruqlar kabi tashkiliy huquqiy xujjatlar qo‘llanilmoqda. Yuqorida qayd etilgan normativ xujjatlar bilan amalga kiritilgan o‘quv dasturi, huquqshunoslik fanining nazariy va amaliy muammolari, huquqshunoslik fanini o‘qitishdagi innovatsiyalar, o‘quv dasturi, ma’ruza matnlari, huquqshunoslik fanidan tayyorlanayotgan keyslar, amaliy topshiriqlar, nazorat savollari shu kunga qadar oliy ta’lim muasasalari professor-o‘qituvchilari tomonidan lozim darajada o‘rganilmagan. Bu xolatlar oliy ta’lim muasasalarida qo‘llaniladigan ta’lim va tarbiya jarayonlarini tashkiliy-huquqiy xujjatlarini va ular asosida ishlab chiqiladigan lokal xujjatlarni xar tomonlama nazariy va amaliy jixatdan o‘rganish va taxlil etishni dolzarbligidan dalolat beradi. Bugungi eng samarali o‘qitish metodikasi modul texnologiyasini ishlatish va bu texnologiyaga talabalar va pedagoglarni tayyorlashdir. Ta’limda modulli yondoshuvning dolzarbligi Modulli o‘qitish tizimi boshqa o‘qitish tizimlari bilan solishtirilganda ta’lim maqsadi va mazmuni,shakl va metodlari xamda o‘qituvchi va talaba o‘rtasidagi o‘zaro munosabat usullari kabi umumiy parametrlarining o‘ziga xosligiga ko‘ra farq lanadi. Blok-modulli texnologiya ta’lim oluvchilarning darsdagi bilish faolligi va mustaqilligini rivojlantiradi, o‘qishga ongli munosabatni kuchaytiradi. Ta’lim oluvchining uning keyingi o‘qishida muhim ahamiyat kasb etuvchi o‘quv fanining mazmunini o‘zlashtirishga intilishi asta-sekin birinchi o‘ringa chiqib bormoqda. Keyingi bosqich sifatida darslarda muvaffaqiyatga erishish vaziyatining paydo bo‘lishi maydonga chiqadi, bu o‘qishga motivatsiya vujudga kelishini va, demak, ta’lim oluvchi qobiliyatlarining yanada ochilishini taqozo etadi. Har bir ta’lim
oluvchiga murakkablik darajasi bo‘yicha alohida yondashuv bo‘lishi lozim. Natijada o‘quvchi unga muhim bo‘lgan bilimlar miqdorini egallaydi. Darsning har bir bosqichida nazoratning turli usullari qo‘llaniladi: o‘qituvchi tomonidan nazorat, o‘zaro nazorat, o‘z-o‘zini nazorat qilish. Bularning hammasi ta’lim oluvchilarning faollashishiga ko‘maklashadi. Yangidan yaratilayotgan tizim hech narsani buzmagan holda ilgari foydalanilgan didaktik tamoyillarni, induktiv va deduktiv yondashuvlarni, ta’lim oluvchilar mustaqil mehnatlarining umumiy va maxsus ko‘nikma va malakalarini ratsional tarzda uyg‘unlashtiradi. Har bir blok tizimlilik va yaxlitlik, vaqt o‘tishi bilan barqarorlik va xotirada tezda namoyon bo‘lish xususiyatlariga egadir. Blok ning tuzilmasi quyidagicha : – nazariy material modul i; – nazariy bilimlarni mustahkamlash va kengaytirish modul i; – amaliy tatbiq modul i; – maslahat modul i; – dastlabki nazorat modul i; – nazorat modul i. Modul li o‘qitish texnologiya si ta’lim oluvchining o‘qish jarayoniga muammoli yondashuvi va ijodiy munosabati bilan nazariya va amaliyotni o‘rganish bo‘yicha kompleks faoliyatini mujassamlantiradi . Undan foydalanish ta’lim oluvchilarda mustahkam, anglangan bilim va ko‘nikmalarni shakllantirishga, bilish qobiliyatlarini rivojlantirishga imkon beradi . Modul – bu muayyan o‘quv predmeti bo‘yicha maqsadli va mantiqan tarkiblashtirilgan dasturning tayanch o‘quv birligidir.U o‘zida ma’ruza va amaliy mashg‘ulotlarining mantiqan va didaktik yakunlangan mustaqil bilimlarini,shuningdek, o‘quv – texnologik xaritalar, adabiyotlar, nazorat bloklari va xisobot shakllarini mujassamlashtiradi. Modulda kasbiy – amaliy yaxlitlangan muammolar, OTMning xususiyati xamda davlat ta’lim standarti talablaridan kelib chiqqan xolda belgilangan maqsadlar o‘z ifodasini topadi. Bitiruv loyiha ishining maqsadi. Oliy matematika fanini o‘qitishning nazariy va amaliy masalalarini tadqiq etish, tanlangan mavzu yuzasidan elektron o‘quv moduli ishlanmasini shakllantirish hamda o‘qitishni takomillashtirish bo‘yicha xulosalar va tavsiyalar ishlab chiqishdan iborat. Bitiruv loyiha ishi maqsadidan kelib chiqib quyidagi vazifalar belgilab olindi: Birinchidan, oliy ta’lim muassasalarida o‘qitilayotgan “Oliy matematika” fanini o‘qitishining ustivor yo‘nalishlarini nazariy va amaliy tahlil qilish; Ikkinchidan, “Oliy matematika” fanini o‘qitishda innovatsion ta’lim texnologiyalari va ilg‘or xorijiy tajribalardan foydalanish yo‘llarini yoritish; Ikkinchidan, “Oliy matematika” fani o‘quv dasturi mazmun mohiyatini ochib berish; Uchinchidan, “Oliy matematika” fanidan tanlangan mavzu bo‘yicha elektron o‘quv moduli ishlanmasini tayyorlash ; To‘rtinchidan, oliy ta’lim muassasalarida “Oliy matematika” fanini o‘qitishni yanada takomillashtirish yuzasidan taklif va tavsiyalar ishlab chiqish. Tadqiqot predmeti va ob’ekti.
Ushbu bitiruv loyixa ishining predmeti fizika fani o‘qitilishida zamonaviy modulli o‘qitish texnologiyasi bilan tanishish va dars jarayoniga qo‘llash. Tadqiqot ob’ekti sifatida “ Yuqori tartibli momentlar” mavzusi tanlandi. Tadqiqotning amaliy axamiyati Bitiruv loyixa ishini bajarish yakunida oliy matematika fanining “Tasodifiy miqdorlar va ularning sonli xarakteristikalari” mavzusi bo‘yicha tizimlashtirilgan elektron ishlanma yaratiladi. Elektron ishlanmadan talabalarning istalgan vaqtda foydalanishlari uchun imkoniyat yaratilsa va talaba bilan o‘qituvchi muloqoti amalga oshirilsa, mavzuning talabalar tomonidan o‘zlashtirilishi ta’minlanadi.Talabalarning darsga tayyorlanishlari uchun ishlanmaning mavjudligi xisobidan ularning darsga oldindan tayyorlanib kelishi dars jarayonida o‘qitishning interaktiv usullaridan foydalanish imkoniyatlarini kengaytiradi. Bitiruv loyiha ishi kirish, ikki bob, besh paragraf va foydalanilgan adabiyotlardan iborat holda yoritib berilgan.
1-BOB. OLIY MATEMATIKA FANINI O‘QITIShNING NAZARIY MASALALARI 1.1. Oliy matematika fani taraqqiyotining ustivor yo‘nalishlari Bugun jamiyatimizda qanday yutuq va marralarga erishgan bo‘lsak, ularning zamirida biz tanlagan va butun dunyo e’tirof etgan, “O‘zbek modeli” deb nom olgan taraqqiyot yo‘li turibdi. Ana shu yo‘lning ajralmas qismi bo‘lgan, yoshlarimizning ongu tafakkurini, hayotga bo‘lgan munosabatini tubdan o‘zgartirgan Kadrlar tayyorlash Milliy Dasturi ta’lim-tarbiya sohasi rivoji, har tomonlama yetuk avlodni tarbiyalash, yuqori malakali kadrlar tayyorlashda muhim ahamiyat kasb etmoqda. “ Bizning e ng katta tayanchimiz va suyanchimiz, hal qiluvchi kuchimiz yoshlar” degan shior hayotimizda tobora o‘zining yaqqol o‘z ifodasini topmoqda. XXI asr O‘zbekistonda madaniyat, iqtisodiyot, fan va texnika, ijtimoiy-siyosiy innovatsiyalar asri sifatida boshlandi va ana shunday sharoitda barkamol shaxs, yuqori malakali mutaxassislarni tayyorlash nafaqat pedagogik, balki ijtimoiy zaruratga aylandi. Bu zarurat Kadrlar tayyorlash milliy dasturida belgilangan “ta’lim oluvchilarning ma’naviy va axloqiy fazilatlarini rivojlantirish” masalasiga e’tibor qaratishni talab etdi. Matematika fanlarni o‘qitish ta’lim-tarbiya birligiga asoslanib, ushbu fanlar o‘sib kelayotgan yosh avlodda siyosiy, g‘oyaviy, ma’naviy-axloqiy, jismoniy fazilatlarni, yuksak ong va madaniyatni shakllantiradi. Demak, yosh avlod, bo‘lajak mutaxassislarning, umuman, millatning qanday siyosiy, g‘oyaviy, axloqiy, g‘oyaviy tamoyillar asosida yashashi va mehnat qilishi bugungi kunda yurtimizda amalga oshirilayotgan uzluksiz ta’lim-tarbiya tizimi samaradorligiga bevosita bog‘liq. Bugungi kunda yoshlarning dunyoqarashini boyitish, ularda Vatanga sadoqat, uning taraqqiyotiga daxldorlik hissi, milliy g‘ururni shakllantirish, ularni milliy va umuminsoniy qadriyatlar ruhida kamol toptirish, hozirgi zamondagi keskin intellektual-ma’naviy raqobatga javob bera oladigan, mustaqil qarorlar qabul qilishga qodir bo‘lgan yuksak malakali mutaxassislar etib tarbiyalash oliy ta’lim tizimida o‘qitilayotgan matematika fanlar oldida turgan muhim vazifalardan biri bo‘lib qolmoqda. Ma’naviy-ma’rifiy va ta’lim-tarbiya sohasidagi o‘zgarishlar, dunyoda kechayotgan globallashuv jarayonlari yoshlarning dunyoqarashi va tafakkurini shakllantirishda muhim o‘rin tutadigan, ma’naviy dunyosini boyitadigan, ularning ongida ma’naviy bo‘shliq yuzaga kelishiga yo‘l qo‘ymaydigan mantiqiy fikrlashga o‘rgatuvchi matematika fanlarini mazmunan takomillashtirish hamda ta’lim samaradorligini yanada oshirishni talab etadi. O‘tgan davr mobaynida oliy ta’lim tizimida matematika fanlarning me’yoriy hujjatlari, o‘quv-uslubiy majmuasini takomillashtirish va ularni o‘qitish samaradorligini oshirishga qaratilgan ko‘plab ishlar amalga oshirildi.