Determenantlar 2 va 3 tartibli matritsa va determinatlar

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Determenantlar 2 va 3 tartibli matritsa va
determinatlar
R e j a:
1. Ikki noma’lumli chizikli tenglamalar sistemasi va ikkinchi tartibli
determinantlar.
2. 3 noma’lumli chizikli tenglamalar sistemasi va 3-tartibli
determinantlar.
3. Urniga kuyishlar gruppasi.
4. Juft va tok urniga kuyishlar.

1. Faraz etaylik bizga
a
11 x
1 ka
12 x
2 k b
1 (1) a
21 a
22

a
21 x
1 ka
22 x
2 k b
2 -a
11 - a
12
chizikli tenglamalar sistemasi berilgan bulsin. (1) ni x
1 va x
2 ga nisbatan yechsak
b
1 a
22 - b
2 a
12 b
2 a
11 - b
1 a
21
x
1 k  , x
2 k  (2)
a
11 a
22 - a
12 a
21 a
11 a
22 - a
12 a
21
lar xosil kilamiz. Bu yerda maxraj

dk a
11 a
22 -a
12 a
21 k|a11 a12
a21 a22
|
(3)
kurinishda belgilanib (3)ga ikkinchi tartibli determinant deyiladi. Demak, ikkinchi
tartibli determinantni xisoblash uchun uning bosh diagonalidagi elementlari
kupaytmasidan ikkinchi diagonalidagi elementlari kupaytmasini ayirish kerak
ekan. (2) ning suratidagi ifodalarni xam ikkinchi tartibli determinant kurinishda
yozish mumkin:
d
1 k b
1 a
22 - b
2 a
12 k
|b1 a12
b2 a22
| , d
2 k b
2 a
11 - b
1 a
21 k |a11 b1
a21 b2
|

Bulardan foydalanib (2) ni
x
1 k d
1 / d , x
2 k d
2 / d (4)
kurinishda yozish mumkin. (4) ga (1) sistemani yechish uchun Kramer formulasi
deyiladi.
Misol.

{3x1+2x2= 5¿¿¿¿ sistemani Kramer formulalari yordamida yeching.
Bu yerda
d=|3 2
1 −1
|; d1=|5 2
0 −1
|; d2=|3 5
1 0
| .
Demak, (4) ga kura x
1 k -5 /( -5) k 1 va x
2 k -5 / (-5) k1 .
Javobi: x
1 k 1 va x
2 k 1 .
2.Endi faraz kilaylik 3 ta noma’lumli

{a11x1+a12 x2 +a13 x3= b1¿{a21x1+a22 x2 +a23 x3= b2 (5)¿¿¿¿chizikli tenglamalar sistemasi berilgan bulsin. (5)ni x
1 ,x
2 , x
3 larga nisbatan
yechamiz. Buning uchun uning birinchi tenglamasini a
22 a
33 - a
23 a
31 ga
ikkinchisini a
13 a
32 - a
12 a
33 ga va uchinchisini a
12 a
23 - a
13 a
22 ga kupaytirib
ksshamiz. U xolda
b
1 a
22 a
33 k b
2 a
13 a
32 k b
3 a
12 a
23 - b
3 a
13 a
22 - b
2 a
12 a
33 - b
1 a
23 a
32
x
1 k
 . (6)
a
11 a
22 a
33 k a
21 a
13 a
32 k a
31 a
12 a
23 - a
31 a
13 a
22 - a
21 a
12 a
33 - a
11 a
23 a
32
Buning maxrajini
dk a
11 a
22 a
33 k a
21 a
13 a
32 k a
31 a
12 a
23 - a
31 a
13 a
22 - a
21 a
12 a
33 - a
11 a
23 a
32 k
k
|a11a12a13¿||a21a22a23¿|¿
¿
¿¿
deb belgilab olsak , (7) ga 3- tartibli determinant deyilali. (7) ning chap tomonidan
uni xisoblash koidasi kelib chikadi:
|
¿ ¿ ¿
¿ ¿ ¿
¿ ¿ ¿
|
+
+|
¿ ¿ ¿
¿ ¿ ¿
¿ ¿ ¿
|
−

|a
11
a
12
a
13¿||a
21
a
22
a
23¿|¿
¿
¿¿
¿
¿
|a11a12a13¿||a21a22a23¿|¿
¿
¿¿
¿
¿
Osonlik bilan kurish mumkinki, agar (7) da 1-ustun elementlari a
11 , a
21 ,a
31 ni mos
ravishda b
1 ,b
2 ,b
3 lar (ozod xadlar ustuni) bilan almashtirsak (6) ning surati xosil
buladi, ya’ni (7) dan
b
1 a
12 a
13
d
1 k b
2 a
22 a
23 k b
1 a
22 a
33 k b
2 a
13 a
3 2 kb
3 a
12 a
23 - b
3 a
13 a
22 - b
2 a
12 a
33 -
b
3 a
32 a
33 - b
1 a
23 a
32 . (8)

(7) va (8) ga asosan (6) ni kuyidagicha yoza olamiz: x
1 k d
1 / d . Xuddi shuningdek,
(5) ni x
2 va x
3 ga nisbatan yechsak x
2 k d
2 / d , x
3 k d
3 / d larni xosil kilamiz. Bu
yerda
a
11 b
1 a
13 a
11 a
12 b
1
d
2 k a
21 b
2 a
23 , d
3 k a
21 a
22 b
2

a
31 b
3 a
33 a
31 a
32 b
3
.
Misolar. 1). d=|
2 3 1
4 0 1
1 1 1
|=0+4+3− 0−12 −2=−7.
2).
{x+y+z=1¿{x−y+z=0¿¿¿¿ chizikli tenglamalar sistemasini yeching.
d=|
1 1 1
1 −1 1
1 −1 −1
|= 1−1+1+1+1+1= 4, d1=|
1 1 1
0 −1 1
1 −1 −1
|=1−0+1+1+0+1= 4, d2=|
1 1 1
1 0 1
1 1 −1
|=
0+1+1+0+1−1= 2, d3=|
1 1 1
1 −1 0
1 −1 1
|=−1−1+0+1−1+0=−2,
Shuning uchun xam x k4/4k1, y k2/4k1/2; z k2/4k-1/2.
Javobi: (1, 1/2, 1/2).
3.Urniga kuyishlar gruppasi. Faraz etaylik, bizga n ta elementga ega bulgan
A tuplam berilgan bulsin. Bu tuplam elementlarini 1,2,...,n lar bilan nomerlab
chikaylik. U xolda A ni Ak{ 1,2,3,...,n} deb yozish mumkin.
1 - ta’rif . A tuplamni uziga biyektiv (uzaro bir kiymatli) akslantirishga urniga
kushish deyiladi.
Tushunarliki karalayotgan tuplamda n! ta urniga kuyish mavjud. Bundan keyin
biz s urniga kuyishda 1, 2, 3, ... , n elementlarning mos ravishda i
1 ,i
2 , ... , i
n
elementlarga utishini
s=¿(1 2 3 ⋯ n ¿)¿
¿
¿¿ kurinishda
belgilaymiz. Agar
s=¿(1 2 3 ⋯ n ¿)¿
¿
¿¿ va t=¿(1 2 3 ⋯ n ¿)¿
¿
¿¿ urniga

kuyishlar berilgan bulib i
k k j
k (kk 1,2,..., n) tenglik bajarilsa s va t urniga
kuyishlarga teng deyiladi va sk t kurinishda yoziladi. e=¿(1 2 3 ⋯ n ¿)¿
¿
¿¿ ga
ayniy urniga kuyish deyiladi.
n ta elementdan tuzilgan A tuplamdagi barcha urniga kuyishlar tuplamini S
n bilan
belgilaymiz. S
n dagi ikkita s va t urniga kuyishning kupaytmasi deb avvalo s keyin
esa t urniga kuyishni bajarish natijasida xosil bulgan urniga kuyishga aytishga
kelishamiz.
Masalan:
s = ¿ (1 2 3 4 ¿ )¿
¿
¿ ¿ bulsin.
U xolda
st = ¿ (1 2 3 4 ¿ )¿
¿
¿ ¿ buladi.
1 - teorema .
 S
n ;  - multiplikativ gruppa buladi.
Isboti. Gruppa ta’rifidagi shartlarning bajarilishini tekshiraylik.
1)
 s,t  S
n  s  t  S
n bajariladi;
2)
 s,t,l  S
n  s  (t  l)k(s  t)  l buladi, chunki agar
s = ¿ (m ¿ )¿
¿
¿ ¿
bulsa, bu tenglik
( m ¿ ) ¿
¿
¿ ¿ bulib, uning chap tomoni
( m ¿ ) ¿
¿
¿ ¿
ung tomoni xam
¿ ¿
dan iborat
3)
e=¿(1 2 3 ⋯ n ¿)¿
¿
¿¿ bulib
 s  S
n uchun s  eks bajariladi.
4)
s=¿(1 2 3 ⋯ n ¿)¿
¿
¿¿ ga teskarisi s−1=¿(i1 i 2 i3 ⋯ in¿)¿
¿
¿¿ buladi,
chunki s  s -1
k e.
Shunday kilib gruppa ta’rifidagi barcha shartlar bajariladi.
 S
n ; 
 gruppaga n-tartibli simmetrik gruppa deb yuritiladi.

Agar s=¿(1 2 3 ⋯ n ¿)¿
¿
¿¿ urniga kuyishda i
1 < i
2 < i
3 < . . .< i
n bulsa, u
inversiyaga ega emas deyiladi, aks xolda inversiyaga ega deyiladi.
Masalan:
s=¿(1 2 3 4¿)¿
¿
¿¿ da inversiyalar soni 1 uchun 1 ta, 2 uchun 2 ta , 3 uchun 1
ta, 4 uchun 0 ta, jami 4 ta inversiya bor.
Berilgan urniga kuyishdagi inversiyalar soni juft bulsa, unga juft urniga
kuyish, agarda inversiyalar soni tok bulsa , u xolda tok urniga kuyish deyiladi .
Urniga kuyishdagi istalgan 2 ta elementning urnini almashtirishga transpozisiya
deyiladi.
Agar i
k va i
l larning urni almashtirilsa, u ( i
k , i
l ) kurinishda belgilanadi.
2- teorema . Transpozisiya natijasida urniga kuyishlarning juft-tokligi uzgaradi.
Isboti.

s=¿(1 2 3 ⋯ k⋯ l⋯ n ¿)¿
¿
¿¿ , t=¿(1 2 3 ⋯ k⋯ l⋯ n ¿)¿
¿
¿¿
transpozisiya natijasida xosil kilingan bulsin. U xolda i
k ni i
l dan oldinga utkazish
uchun l-(k-1) ta inversiya bajarish kerak. Undan keyin i
l ni joyiga (ya’ni i
l-1 dan
keyingi joyga ) kuyish uchun l-(k-1)-1 ta inversiya, jami l-kk1kl-kk1-1k2(l-k)k1 ta
inversiya bajarish kerak.
3-teorema . n! ta urniga kuyishlarning yarmi n! / 2 tasi juft va kolgan yarmi
n!/2 tasi tok buladi.
Isboti . Agar n! ta urniga kuyishlardagi juftlari soni p, toklari soni q bilan
belgilasak, pkqkn! buladi. Endi agar barcha n! ta urniga kushishlarda transpozisiya
bajarsak, u xolda juftlar toklarga,toklari esa juftlarga utadi, ya’ni pkq, demak,
pkn!/2 va qkn!/2 .
4 - teorema . Juft urniga kushishlar tuplami S*
n kupaytirishga nisbatan gruppa
xosil kiladi.
Buning isboti kat’iy keltirishni talabalarga xavola kilamiz.< S*
n ; . > da birlik
element ayniy kushish buladi. t ga teskarisi t -1

S*
n buladi.

Natija . Tok urniga kushishlar tuplami kupaytirishga nisbatan gruppa
bulmaydi.
Bunda birlik element mavjud emas.
Misol . S 3 = ¿ ¿
ni karaylik . S
3 k{ f
0 , f
1 , f
2 , f
3 , f
4 , f
5 } deb belgilab olsak, kuyidagi jadvalga ega
bulamiz. Bu jadvalda birlik element ek f
0 , f
1 ga teskarisi f
2 ; f
2 ga teskarisi f
1 ; f
3
ga teskarisi f
3 ; f
4 ga teskarisi f
4 ; f
5 ga teskarisi f
5 . Shuningdek gruppaning barcha
shartlari bajariladi, ya’ni  S
3 ;   - multiplikativ gruppa buladi.

. f
0 f
1 f
2
f
3 f
4 f
5
f
0 f
0 f
1 f
2
f
3 f
4 f
5
f
1 f
1 f
2 f
0 f
4 f
5 f
3
f
2
f
2 f
0 f
1 f
5 f
3 f
4
f
3 f
3 f
5 f
4 f
0 f
2 f
1
f
4 f
4 f
3 f
5 f
1 f
0 f
4
f
5
f
5 f
4 f
3 f
2 f
1 f
0

Determenantlar 2 va 3 tartibli matritsa va determinatlar R e j a: 1. Ikki noma’lumli chizikli tenglamalar sistemasi va ikkinchi tartibli determinantlar. 2. 3 noma’lumli chizikli tenglamalar sistemasi va 3-tartibli determinantlar. 3. Urniga kuyishlar gruppasi. 4. Juft va tok urniga kuyishlar.

1. Faraz etaylik bizga a 11 x 1 ka 12 x 2 k b 1 (1) a 21 a 22 a 21 x 1 ka 22 x 2 k b 2 -a 11 - a 12 chizikli tenglamalar sistemasi berilgan bulsin. (1) ni x 1 va x 2 ga nisbatan yechsak b 1 a 22 - b 2 a 12 b 2 a 11 - b 1 a 21 x 1 k  , x 2 k  (2) a 11 a 22 - a 12 a 21 a 11 a 22 - a 12 a 21 lar xosil kilamiz. Bu yerda maxraj dk a 11 a 22 -a 12 a 21 k|a11 a12 a21 a22 | (3) kurinishda belgilanib (3)ga ikkinchi tartibli determinant deyiladi. Demak, ikkinchi tartibli determinantni xisoblash uchun uning bosh diagonalidagi elementlari kupaytmasidan ikkinchi diagonalidagi elementlari kupaytmasini ayirish kerak ekan. (2) ning suratidagi ifodalarni xam ikkinchi tartibli determinant kurinishda yozish mumkin: d 1 k b 1 a 22 - b 2 a 12 k |b1 a12 b2 a22 | , d 2 k b 2 a 11 - b 1 a 21 k |a11 b1 a21 b2 | Bulardan foydalanib (2) ni x 1 k d 1 / d , x 2 k d 2 / d (4) kurinishda yozish mumkin. (4) ga (1) sistemani yechish uchun Kramer formulasi deyiladi. Misol. {3x1+2x2= 5¿¿¿¿ sistemani Kramer formulalari yordamida yeching. Bu yerda d=|3 2 1 −1 |; d1=|5 2 0 −1 |; d2=|3 5 1 0 | . Demak, (4) ga kura x 1 k -5 /( -5) k 1 va x 2 k -5 / (-5) k1 . Javobi: x 1 k 1 va x 2 k 1 . 2.Endi faraz kilaylik 3 ta noma’lumli

{a11x1+a12 x2 +a13 x3= b1¿{a21x1+a22 x2 +a23 x3= b2 (5)¿¿¿¿chizikli tenglamalar sistemasi berilgan bulsin. (5)ni x 1 ,x 2 , x 3 larga nisbatan yechamiz. Buning uchun uning birinchi tenglamasini a 22 a 33 - a 23 a 31 ga ikkinchisini a 13 a 32 - a 12 a 33 ga va uchinchisini a 12 a 23 - a 13 a 22 ga kupaytirib ksshamiz. U xolda b 1 a 22 a 33 k b 2 a 13 a 32 k b 3 a 12 a 23 - b 3 a 13 a 22 - b 2 a 12 a 33 - b 1 a 23 a 32 x 1 k  . (6) a 11 a 22 a 33 k a 21 a 13 a 32 k a 31 a 12 a 23 - a 31 a 13 a 22 - a 21 a 12 a 33 - a 11 a 23 a 32 Buning maxrajini dk a 11 a 22 a 33 k a 21 a 13 a 32 k a 31 a 12 a 23 - a 31 a 13 a 22 - a 21 a 12 a 33 - a 11 a 23 a 32 k k |a11a12a13¿||a21a22a23¿|¿ ¿ ¿¿ deb belgilab olsak , (7) ga 3- tartibli determinant deyilali. (7) ning chap tomonidan uni xisoblash koidasi kelib chikadi: | ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ | + +| ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ | − |a 11 a 12 a 13¿||a 21 a 22 a 23¿|¿ ¿ ¿¿ ¿ ¿ |a11a12a13¿||a21a22a23¿|¿ ¿ ¿¿ ¿ ¿ Osonlik bilan kurish mumkinki, agar (7) da 1-ustun elementlari a 11 , a 21 ,a 31 ni mos ravishda b 1 ,b 2 ,b 3 lar (ozod xadlar ustuni) bilan almashtirsak (6) ning surati xosil buladi, ya’ni (7) dan b 1 a 12 a 13 d 1 k b 2 a 22 a 23 k b 1 a 22 a 33 k b 2 a 13 a 3 2 kb 3 a 12 a 23 - b 3 a 13 a 22 - b 2 a 12 a 33 - b 3 a 32 a 33 - b 1 a 23 a 32 . (8)

(7) va (8) ga asosan (6) ni kuyidagicha yoza olamiz: x 1 k d 1 / d . Xuddi shuningdek, (5) ni x 2 va x 3 ga nisbatan yechsak x 2 k d 2 / d , x 3 k d 3 / d larni xosil kilamiz. Bu yerda a 11 b 1 a 13 a 11 a 12 b 1 d 2 k a 21 b 2 a 23 , d 3 k a 21 a 22 b 2 a 31 b 3 a 33 a 31 a 32 b 3 . Misolar. 1). d=| 2 3 1 4 0 1 1 1 1 |=0+4+3− 0−12 −2=−7. 2). {x+y+z=1¿{x−y+z=0¿¿¿¿ chizikli tenglamalar sistemasini yeching. d=| 1 1 1 1 −1 1 1 −1 −1 |= 1−1+1+1+1+1= 4, d1=| 1 1 1 0 −1 1 1 −1 −1 |=1−0+1+1+0+1= 4, d2=| 1 1 1 1 0 1 1 1 −1 |= 0+1+1+0+1−1= 2, d3=| 1 1 1 1 −1 0 1 −1 1 |=−1−1+0+1−1+0=−2, Shuning uchun xam x k4/4k1, y k2/4k1/2; z k2/4k-1/2. Javobi: (1, 1/2, 1/2). 3.Urniga kuyishlar gruppasi. Faraz etaylik, bizga n ta elementga ega bulgan A tuplam berilgan bulsin. Bu tuplam elementlarini 1,2,...,n lar bilan nomerlab chikaylik. U xolda A ni Ak{ 1,2,3,...,n} deb yozish mumkin. 1 - ta’rif . A tuplamni uziga biyektiv (uzaro bir kiymatli) akslantirishga urniga kushish deyiladi. Tushunarliki karalayotgan tuplamda n! ta urniga kuyish mavjud. Bundan keyin biz s urniga kuyishda 1, 2, 3, ... , n elementlarning mos ravishda i 1 ,i 2 , ... , i n elementlarga utishini s=¿(1 2 3 ⋯ n ¿)¿ ¿ ¿¿ kurinishda belgilaymiz. Agar s=¿(1 2 3 ⋯ n ¿)¿ ¿ ¿¿ va t=¿(1 2 3 ⋯ n ¿)¿ ¿ ¿¿ urniga

kuyishlar berilgan bulib i k k j k (kk 1,2,..., n) tenglik bajarilsa s va t urniga kuyishlarga teng deyiladi va sk t kurinishda yoziladi. e=¿(1 2 3 ⋯ n ¿)¿ ¿ ¿¿ ga ayniy urniga kuyish deyiladi. n ta elementdan tuzilgan A tuplamdagi barcha urniga kuyishlar tuplamini S n bilan belgilaymiz. S n dagi ikkita s va t urniga kuyishning kupaytmasi deb avvalo s keyin esa t urniga kuyishni bajarish natijasida xosil bulgan urniga kuyishga aytishga kelishamiz. Masalan: s = ¿ (1 2 3 4 ¿ )¿ ¿ ¿ ¿ bulsin. U xolda st = ¿ (1 2 3 4 ¿ )¿ ¿ ¿ ¿ buladi. 1 - teorema .  S n ;  - multiplikativ gruppa buladi. Isboti. Gruppa ta’rifidagi shartlarning bajarilishini tekshiraylik. 1)  s,t  S n  s  t  S n bajariladi; 2)  s,t,l  S n  s  (t  l)k(s  t)  l buladi, chunki agar s = ¿ (m ¿ )¿ ¿ ¿ ¿ bulsa, bu tenglik ( m ¿ ) ¿ ¿ ¿ ¿ bulib, uning chap tomoni ( m ¿ ) ¿ ¿ ¿ ¿ ung tomoni xam ¿ ¿ dan iborat 3) e=¿(1 2 3 ⋯ n ¿)¿ ¿ ¿¿ bulib  s  S n uchun s  eks bajariladi. 4) s=¿(1 2 3 ⋯ n ¿)¿ ¿ ¿¿ ga teskarisi s−1=¿(i1 i 2 i3 ⋯ in¿)¿ ¿ ¿¿ buladi, chunki s  s -1 k e. Shunday kilib gruppa ta’rifidagi barcha shartlar bajariladi.  S n ;   gruppaga n-tartibli simmetrik gruppa deb yuritiladi.

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