logo
Русский O'zbekcha
  1. Bosh sahifa
  2. Referatlar
  3. Umumiy
  4. Funksiya limiti tushunchasi. Funksiya limitining xossalari

Funksiya limiti tushunchasi. Funksiya limitining xossalari

Yuklangan vaqt:

05.03.2025

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

226.3 KB
Ko'chirib olish shartlari
Funksiya limiti tushunchasi. Funksiya limitining xossalari Reja: 1 .         Funksiya limiti ,  limitlar  haqida  teoremalar. 2.         Ajoyib  limitlar. 3.         Funksiyaning  uzluksizligi . 4.   Funksiya  limiti  ta’riflari  va  ekvivalentligi. 5.      Limitga  ega  bo‘lgan  funksiyalarning  xossalari. 1. Funksiya limiti , limitlar haqida teoremalar Ta’rif . Agar  har   bir     son   uchun   shunday     son topilsaki,     bajarilganda     (1)   ham bajarilsa,   x   argument   a   ga  intilganda  funksiya   A   songa  teng   limitga ega   deyiladi  va  quyidagicha  belgilanadi:   funksiyaning   limiti   qaralayotganda   a   nuqta   funksiyaning aniqlanish   sohasiga   kirishi   yoki   kirmasligi   ham   mumkin. Funksiyaning   a   nuqtadagi  limiti  topilganda     deb  qaraladi. Quyidagi  uch  holni  qarab  o ` tamiz: 1-hol.                   A  – chekli 2-hol.   a   –  chekli,   3-hol.   1-hol.  Avvaldan  berilgan  har  qanday  cheksiz  kichik     son  uchun shunday   son  topilsinki,     bo`lganda     bo`lsin ; 2-hol.  Avvaldan  berilgan  har  qanday  istalgancha  katta     son uchun   shunday     topilsinki,     bo`lganda     bo`lsin:   3-hol.  Avvaldan  berilgan  har  qanday  istalgancha  katta     son uchun   shunday     son   topilsinki,     bo`lganda     kelib chiqsin.   . O ` zgarmas  funksiyaning  limiti  shu  o ` zgarmas  songa  teng. Isboti.   berilgan   bo`lsin.   Unda   har   qanday     uchun     ni  yoza  olamiz. Demak, ixtiyoriy   a   uchun     Limitlar haqidagi teoremalar   Funksiyaning   limiti   haqidagi   asosiy   teoremalar   (yig ` indi, ko`paytma,  bo ` linma  haqidagi)  ketma-ketlik  limitlarining  teoremalariga o ` xshash  funksiyaning  limitini  hisoblashni  ham  osonlashtiradi. 1-teorema. Funksiyalar  yig ` indisining  (ayirmasining)  limiti  shu funksiyalar  limitlarining  yig ` indisiga(ayirmasiga)  teng : 2-teorema. Funksiyalar  ko`paytmasining  limiti  shu  funksiyalar limitlarining  ko`paytmasiga  teng : Natija. O ` zgarmas   ko`paytuvchini   limit   ishorasining   oldiga chiqarish  mumkin 3-teorema .  Funksiyalar  bo ` linmasining  limiti  shu  funksiyalar limitlarining  bo ` linmasiga  teng,  qachonki,  bo ` luvchi  funksiyaning  limiti noldan  farqli  bo`lganda : , 4-teorema. Agar     va     funksiyalari uchun   a   nuqtaning  biror  oralig ` ida     tengsizliklar bajarilib,     bo`lsa   u  holda     bo`ladi . 1-misol.   ni  hisoblang. Yechish.   Funksiyaning limitlari  haqidagi  teoremalardan  foydalanib, quyidagilarni  topamiz: 2-misol .   ni  hisoblang. Ye chish .   Maxrajning  limitini  topamiz: S h uning  uchun  3-teoremadan  foydalanamiz:   2. Ajoyib limitlar Yoy  sinusining  shu  yoyga  nisbatining  limiti:   Bu  tenglik   birinchi  ajoyib  limit   deb  yuritiladi. Bunday  tenglik  yordamida  trigonometrik  funksiyalar  qatnashgan ko`pchilik  limitlar  hisoblanadi. 1-teorema.   o ` zgaruvchi  miqdor     da  2 bilan  3 orasida yotuvchi  limitga  ega. Ta’rif.   o ` zgaruvchi   miqdorning     dagi   limiti   e   soni deyiladi. ;     e   soni  irratsional  son:   e =2,  7182818284... 2-teorema. x   cheksizlikka  intilganda     funksiya   e   limitga intiladi,  ya’ni   . 3. Funksiyaning uzluksizligi   Fаrаz  qilаylik,  bizgа   Х   sоhаdа  аniqlаngаn   y=f(x)   funksiya  bеrilgаn bo`lsin.  Аgаr   y=f(x)   funksiyaning  аrgumеnti   х=х 0   nuqtаdа  аniqlаngаn bo`lib,  ungа  birоr    х   оrttirmа  bеrsаk,  u hоldа  shu  nuqtаgа  mоs  kеlgаn funksiyaning  оrttirmаsi  hаm   y+  y=f(x 0 +  x)   bo`ladi.  Bizgа  bеrilgаn funksiyani   x=x 0   nuqtаdаgi    x   оrttirmаsigа   mоs   kеlgаn    y   оrttirmаni tоpаdigаn  bo`lsak,  y=f(x 0 +  x)-f(x) bo`ladi. Tа’rif.   y=f(x)   funksiyaning  аrgumеnti   x  x 0   dа  funksiyaning  o`zi shu  nuqtаdаgi  uning  хususiy  qiymаtigа  intilsа,  ya’ni   f(x)  f(x 0 )   bo`lsa,  u hоldа   y=f(x)   funksiyasi   Х   to`plаmni   x=x 0   nuqtаsidа   uzluksiz   dеyilаdi  vа limit   quyidagicha   yozilаdi.   f(x)=f(x 0 ) Tа’rifdаn   ko`rinаdiki,   y=f(x)   funksiya   birоr   x=x 0   dа   uzluksiz bo`lishi  uchun  quyidаgi  shаrtlаr  bаjаrilishi  kеrаk: 1.   y=f(x)   funksiya   x=x 0   nuqtаdа  аniqlаngаn 2.   y=f(x)   funksiyaning   x=x 0   nuqtаdаgi  limit  qiymаti  mаvjud   f(x) 3.   y=f(x)   funksiyaning   x=x 0   dаgi limit  qiymаti  uning  shu  nuqtаdаgi хususiy  qiymаtigа  tеng  , ya’ni   f(x)=f(x 0 ) Yuqоridа   аytib   o`tilgаn   uchtа   shаrt bаjаrilgаndа   y=f(x)   funksiya   x=x 0   nuqtаdа  uzluksiz  funksiya  dеyilаdi, аks  hоldа  esа   y=f(x)   funksiya   x=x 0   nuqtаdа   uzulishgа  egа   dеyilаdi.       Misоl .   y=2x+1           funksiyasini   x=2   nuqtаdаgi   uzluksizligi ko`rsаtilsin Yechish .   (2x+1)=5;       f(2)=5 Uzluksizlik   tushunchаsigа      vа      tilidа   quyidаgi   tа’rif bеrilgаn.                                                     1-ta’rif   (Koshi  ta’rifi).         >     0  son  uchun  shunday      =    (  )>0  son topilsaki,   funksiya   argumenti   x   ning   | x - x 0 |<    tengsizlikni qanoatlantiruvchi   barcha   qiymatlarida   | f ( x )- f ( x 0 )|<    tengsizlik bajarilsa,   f (x)  funksiya  x 0   nuqtada  uzluksiz  deyiladi,     f(x)=f(x 0 ). 1-misol .   Ushbu   f ( x )=   funksiyaning   x 0 =5   nuqtada   uzluksiz ekanini  ko ` rsating. Yechish.         >   0  son  olib,  bu      songa  ko`ra      >0  soni        = 4    bo`lsin  deb  qaralsa,  u holda  | x -5|<      bo`lganda bu  esa  qurilayotgan  funksiyaning   x 0 =5  nuqtada  uzluksiz  ekanini bildiradi. 2-ta’rif   (Geyne  ta’rifi).   Agar   X   to`plamning  elementlaridan  tuzilgan va   x 0   ga  intiluvchi  har  qanday  { x n }  ketma-ketlik  olinganda  ham  funksiya qiymatlaridan  tuzilgan   mos   { f ( x n )}   ketma-ketlik   hamma   vaqt yagona   f ( x 0 )  ga  intilsa,   f ( x )  funksiya   x 0   nuqtada  uzluksiz  deb  ataladi. Agar     munosabat   o`rinli   bo`lsa, ushbu   munosabat  ham  o`rinli  bo`ladi. Odatda   x - x 0   ayirma   argument   orttirmasi,   f ( x )- f ( x 0 )   esa funksiyaning   x 0   nuqtadagi   orttirmasi   deyiladi.   Ular   mos ravishda    x   va    y   (  f ( x 0 ))   kabi   belgilanadi,   ya’ni:    x = x - x 0 ,    y =  f ( x 0 )= f ( x )- f ( x 0 ). Demak,   x = x 0 +  x ,    y = f ( x 0 +  x )- f ( x )   natijada,     munosabat     ko`rinishga  ega  bo’ladi. Shunday  qilib,   f ( x )  funksiyaning   x 0   nuqtada  uzluksizligi  bu  nuqtada argumentning  cheksiz  kichik  orttirmasiga  funksiyaning  ham  cheksiz kichik  orttirmasi  mos  kelishi  sifatida  ham  ta’riflanishi  mumkin. T а ’rif .   y=f(x)   funksiyasining   а rgum е nt   о rttirm а si    x  0   d а   ung а   m о s   k е luvchi   funksiya   о rttirm а si    y  0   bo`lsa,   u h о ld а   y=f(x)   funksiya   x=x 0   da   uzluksiz   d е yil а di   v а  y=0   kabi yozil а di.             x=x 0 +  x,        x=x-x 0 ,          y=f(x 0 +  x)-f(x 0 ),          y=f(x)-f(x 0 )  y= (f(x 0 +  x)-f(x 0 ))= (f(x 0 +x- х 0 )-f(x 0 ))= (f(x)- f(x 0 ))=0   Mis о llar 1)   y=2x+1   funksiyaning  uzluksizligi  ko`rs а tilsin. y+  y=2(x+  x)+1,     ayirmani  topamiz    y=2x+2  x+1-2x-1,    y=2  x  y= 2  x  =0 2)   y=x 3 y+  y=(x+  x) 3             y=x 3 +3x 2  x+3x(  x) 2 +  x 3                                  y=x 3 +3x 2  x+3x  x 2 +  x 3 -x 3  y=  x(3x 2 +3x  x+  x 2 )                  y=   (3x 2 +3x  x+  x 2 )  x=0. 3)   f ( x )=cos x   funksiyaning    x 0  R   nuqtada   uzluksiz   bo`lishini ko`rsating. Yechish .    x 0  R   nuqtani   olib   unga    x   orttirma   beraylik. Natijada   f ( x )=cos x   ham   ushbu    y =cos( x 0 +  x )-cos x 0   orttirmaga   ega bo`lib,va  - <  x <      bo`lganda |  y |  = |cos( x 0 +  x )  - cos x 0 |= munosabatga  ega  bo`lamiz.  Bundan  esa    x  0  da    y  0  bo`lishi  kelib chiqadi. Aytaylik,   y = f ( x )   funksiya   x  R   to`plamda   aniqlangan bo`lib,   x 0 ( x 0  X )  to`plamning  (o’ng  va  chap)  limit  nuqtasi  bo`lsin. Bunda   x  x 0   da   f ( x )  funksiya  uchun  quyidagi  uch  holdan  bittasigina bajariladi: 1)                               chekli   f ( x 0 -0),   f ( x 0 +0)  chap  va  o`ng  limitlar  mavjud  va f ( x 0 -0)= f ( x 0 +0)= f ( x 0 )  tenglik  o`rinli.  Bu  holda   f ( x )  funksiya   x = x 0   da uzluksiz  bo`ladi; 2)   f ( x 0 -0),   f ( x 0 +0)  lar  mavjud,  lekin   f ( x 0 -0)= f ( x 0 +0)= f ( x 0 )  tengliklar bajarilmaydi,  u holda   f ( x )  x = x 0   nuqtada  bir  tur  uzilishga  ega  deyiladi; 3)   f ( x 0 -0),   f ( x 0 +0)  larning  birortasi  cheksiz  yoki  mavjud  emas.   Bu holda  x 0   nuqtada  2 tur  uzilishga  ega  deyiladi; 4)   f ( x 0 -0)= f ( x 0 +0)  f ( x 0 )  bo`lsa  bunday  uzilish,  bartaraf  qilish mumkin  bo`lgan  uzilish  deyiladi. Misol . Ushbu   f ( x )=[ x ]  funksiyaning   x 0 =2  nuqtada  birinchi  tur uzulishga  ega  ekanligini  ko`rsating. Yechish .   Demak,   [ x ]=1,     =2 Bundan  esa  berilgan  funksiyaning   x 0 =2  nuqtada  birinchi  tur uzulishga  ega  ekanligi  kelib  chiqadi. To‘plamning limit nuqtasi. Aytaylik,  biror     to‘plam  va     nuqta  berilgan  bo‘lsin. 1-ta’rif.     Agar     nuqtaning  ixtiyoriy ,   atrofida     to‘plamning     nuqtadan  farqli  kamida  bitta  nuqtasi  bo‘lsa,  ya’ni bo‘lsa,     nuqta     to‘plamning  limit  nuqtasi  deyiladi. Misollar. 1.     to‘plamning  har  bir  nuqtasi  shu  to‘plamning  limit  nuqtasi  bo‘ladi. 2.     to‘plamning  har  bir  nuqtasi  va     nuqtalar  shu  to‘plamning  limit   nuqtalari  bo‘ladi. 3.     to‘plamning  limit  nuqtasi     bo‘ladi. 4.     to‘plam  limit  nuqtaga  ega  emas. 2-ta’rif.   ([2],  p. 82.  Item  3.3.3)   Agar     nuqtaning  ixtiyoriy     o‘ng  atrofida  (chap  atrofida)     to‘plamning  kamida  bitta  nuqtasi  bo‘lsa,     nuqta     to‘plamning  o‘ng (chap)  limit  nuqtasi deyiladi. 3-ta’rif.   Agar  ixtiyoriy     uchun to‘plamda     to‘plamning  kamida  bitta  nuqtasi  bo‘lsa,       to‘plamning  limit  “nuqta”si  deyiladi. Agar  ixtiyoriy     uchun to‘plamda     to‘plamning kamida  bitta  nuqtasi  bo‘lsa,       to‘plamning  limit  «nuqta»si   deyiladi. Keltirilgan  ta’rif  va  misollardan  ko‘rinadiki,  to‘plamning  limit  nuqtasi  shu  to‘plamga  tegishli   bo‘lishi  ham,  bo‘lmasligi  ham  mumkin  ekan. 1-teorema.   Agar     nuqta     to‘plamning  limit  nuqtasi  bo‘lsa,  u holda     nuqtaning  har  qanday   atrofida     to‘plamning  cheksiz  ko‘p  nuqtalari  bo‘ladi.   Aytaylik,     nuqta     to‘plamning  limit  nuqtasi  bo‘lsin.  Teorema  tasdig‘ining  teskarisini  faraz qilaylik:     nuqtaning  biror     atrofida     to‘plamning  chekli  sondagi     nuqtalarigina  bo‘lsin.   U  holda deb  olinsa,     nuqtaning     atrofida     to‘plamning     dan  farqli  bitta  ham  nuqtasi  bo‘lmaydi. Bu  esa     nuqta     to‘plamning  limit  nuqtasi  bo‘lishiga  ziddir. 2-teorema.   ([1],  p. 216,  Th.  9.1.24)   Agar     nuqta     to‘plamning  limit  nuqta-si  bo‘lsa,  u holda  shunday  sonlar  ketma-ketligi     topiladiki, 1)     da   ,   ; 2)     da   ; bo‘ladi. 2. Funksiya limiti ta’riflari va ekvivalentligi. Faraz  qilaylik,     funksiya     to‘plamda  berilgan  bo‘lib,     nuqta     to‘plam-ning   limit  nuqtasi  bo‘lsin.     nuqtaga  intiluvchi  ixtiyoriy   :   ketma-ketlikni  olib,  funksiya  qiymatlaridan  iborat   : ketma-ketlikni  hosil  qilamiz. 3-ta’rif.   (Geyne). Agar     da       bo‘ladigan  ixtiyoriy     ketma-ketlik  uchun     da     bo‘lsa,     ga     funksiyaning     nuqtadagi   limiti   deyiladi  va     da     yoki kabi  belgilanadi. Eslatma.   Agar     da     va     bo‘ladigan  turli   ,     ketma-ketliklar  uchun     da   ,   bo‘lib,     bo‘lsa     funksiya     da  limitga  ega  emas  deyiladi. 1-misol .   Ushbu funksiyaning     nuqtadagi  limiti  topilsin.   Quyidagi   :   ketma-ketlikni  olaylik.  Unda bo‘lib,     da     bo‘ladi.  Demak,   4-ta’rif.   (Koshi).  ([1],  p. 221,  Def.  9.3.6)   Agar     son  olinganda  ham   shunday     topilsaki,     uchun tengsizlik  bajarilsa,     soni     funksiyaning     nuqtadagi  limiti deyiladi: . Bu  ta’rifni  qisqacha  quyidagicha  ham  aytish  mumkin: ,   ,   :   bo‘lsa,   . 5-ta’rif. ([2], p. 81,  Def.  3.21)   Agar     son  olinganda  ham  shunday     son   topilsaki,     uchun     tengsizlik  bajarilsa,     funksiyaning     nuqtadagi  limiti     deb  ataladi  va kabi  belgilanadi. Masalan, ,   funksiya  uchun bo‘ladi. Aytaylik,     funksiya     to‘plamda  berilgan  bo‘lib,     nuqta     to‘plamning limit  nuqtasi  bo‘lsin. 6-ta’rif.     Agar     son  olinganda  ham  shunday     topilsaki,       uchun tengsizlik  bajarilsa,     soni     funksiyaning     dagi  limiti deyiladi  va kabi  belgilanadi. 7-misol.   Aytaylik,   ,   ,     bo‘lsin.   U  holda bo‘ladi.   Haqiqatan  ham,     sonnni  olaylik.  Ravshanki,     uchun . Demak,     deyilsa, unda     uchun bo‘ladi. 7-ta’rif.     Agar bo‘lsa,     son     funksiyaning     nuqtadagi  chap  limiti   deyiladi  va kabi  belgilanadi. Faraz  qilaylik,     funksiya     to‘plamda  berilgan,     nuqta     ning   o‘ng  limit  nuqtasi  bo‘lib,   bo‘lsin. 8-ta’rif.     Agar bo‘lsa,     son     funksiyaning     nuqtadagi  o‘ng  limiti  deyiladi  va kabi  belgilanadi. Masalan, funksiyaning  0 nuqtadagi  o‘ng  limiti  1, chap  limiti  –1  bo‘ladi. 3. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari. Chekli limitga  ega  bo‘lgan  funksiyalar  ham  yaqinlashuvchi  ketma-ketlik  singari  qator  xossalarga   ega. Faraz  qilaylik,     funksiya     to‘plamda  berilgan  bo‘lib,     nuqta     ning   limit  nuqtasi  bo‘lsin. 1-xossa .   Agar     da     funksiya  limitga  ega  bo‘lsa,  u yagona  bo‘ladi.   Bu  xossaning  isboti  limit  ta’riflarining  ekvivalentligi  hamda  ketma-ketlik  limitining   yagonaligidan  kelib  chiqadi. 2-xossa .   Agar ,  (   –  chekli  son) bo‘lsa,  u holda     nuqtaning  shunday       atrofi  topiladiki,  bu  atrofda     funksiya   chegaralangan  bo‘ladi. Aytaylik, bo‘lsin.  Funksiya  limiti  ta’rifga  binoan   da   ya’ni     bo‘ladi.  Keyingi  tengsizliklardan     funksiyaning     nuqtaning     atrofida  chegaralanganligi  kelib  chiqadi. 3-xossa .     Agar bo‘lib,     bo‘lsa,  u holda     nuqtaning  shunday     atrofi  topiladiki,  bu  atrofda bo‘ladi.   Shartga  ko‘ra . Funksiyaning  limiti  ta’rifiga  ko‘ra     uchun  shunday     son  topiladiki,   ,   ,     uchun bo‘ladi. Bu  esa     da     bo‘lishini  bildiradi. Faraz  qilaylik,     va     funksiyalar     to‘plamda  berilgan  bo‘lib,     nuqta     to‘plamning  limit  nuqtasi  bo‘lsin. 4-xossa .     Agar ,   bo‘lib,     da     tengsizlik  bajarilsa,  u holda   ,  ya’ni bo‘ladi. Aytaylik, ,   bo‘lsin. Funksiya  limitining  Geyne  ta’rifiga  ko‘ra     ga  intiluvchi  ixtiyoriy   ketma-ketlik  uchun     da   ,   ( 27.4 ) bo‘ladi. Ravshanki,     da   (2 7.5 ) Yaqinlashuvchi  ketma-ketlikning  xossalaridan  foydalanib,  (1)  va  (2)   munosabatlardan     ,  ya’ni     bo‘lishini  topamiz.   ► 5-xossa .     Faraz  qilaylik, ,     limitlar  mavjud  bo‘lsin.  U holda a)   da   ; b)   v)   g) Agar     bo‘lsa,   ; bo‘ladi. Bu  tasdiqlarning  isboti  sonlar  ketma-ketliklari  ustida  arifmetik  amallar  bajarilishi  haqidagi   ma’lumotlardan  kelib  chiqadi. 2-misol.   Ushbu limit  hisoblansin.   Ma’lumki,   .  Shuni  hisobga  olib  topamiz: .  ►

Funksiya limiti tushunchasi. Funksiya limitining xossalari Reja: 1 .         Funksiya limiti ,  limitlar  haqida  teoremalar. 2.         Ajoyib  limitlar. 3.         Funksiyaning  uzluksizligi . 4.   Funksiya  limiti  ta’riflari  va  ekvivalentligi. 5.      Limitga  ega  bo‘lgan  funksiyalarning  xossalari.

1. Funksiya limiti , limitlar haqida teoremalar Ta’rif . Agar  har   bir     son   uchun   shunday     son topilsaki,     bajarilganda     (1)   ham bajarilsa,   x   argument   a   ga  intilganda  funksiya   A   songa  teng   limitga ega   deyiladi  va  quyidagicha  belgilanadi:   funksiyaning   limiti   qaralayotganda   a   nuqta   funksiyaning aniqlanish   sohasiga   kirishi   yoki   kirmasligi   ham   mumkin. Funksiyaning   a   nuqtadagi  limiti  topilganda     deb  qaraladi. Quyidagi  uch  holni  qarab  o ` tamiz: 1-hol.                   A  – chekli 2-hol.   a   –  chekli,   3-hol.   1-hol.  Avvaldan  berilgan  har  qanday  cheksiz  kichik     son  uchun shunday   son  topilsinki,     bo`lganda     bo`lsin ; 2-hol.  Avvaldan  berilgan  har  qanday  istalgancha  katta     son uchun   shunday     topilsinki,     bo`lganda     bo`lsin:   3-hol.  Avvaldan  berilgan  har  qanday  istalgancha  katta     son uchun   shunday     son   topilsinki,     bo`lganda     kelib chiqsin.   . O ` zgarmas  funksiyaning  limiti  shu  o ` zgarmas  songa  teng. Isboti.   berilgan   bo`lsin.   Unda   har   qanday     uchun     ni  yoza  olamiz.

Demak, ixtiyoriy   a   uchun     Limitlar haqidagi teoremalar   Funksiyaning   limiti   haqidagi   asosiy   teoremalar   (yig ` indi, ko`paytma,  bo ` linma  haqidagi)  ketma-ketlik  limitlarining  teoremalariga o ` xshash  funksiyaning  limitini  hisoblashni  ham  osonlashtiradi. 1-teorema. Funksiyalar  yig ` indisining  (ayirmasining)  limiti  shu funksiyalar  limitlarining  yig ` indisiga(ayirmasiga)  teng : 2-teorema. Funksiyalar  ko`paytmasining  limiti  shu  funksiyalar limitlarining  ko`paytmasiga  teng : Natija. O ` zgarmas   ko`paytuvchini   limit   ishorasining   oldiga chiqarish  mumkin 3-teorema .  Funksiyalar  bo ` linmasining  limiti  shu  funksiyalar limitlarining  bo ` linmasiga  teng,  qachonki,  bo ` luvchi  funksiyaning  limiti noldan  farqli  bo`lganda : , 4-teorema. Agar     va     funksiyalari uchun   a   nuqtaning  biror  oralig ` ida     tengsizliklar bajarilib,     bo`lsa   u  holda     bo`ladi . 1-misol.   ni  hisoblang.

Yechish.   Funksiyaning limitlari  haqidagi  teoremalardan  foydalanib, quyidagilarni  topamiz: 2-misol .   ni  hisoblang. Ye chish .   Maxrajning  limitini  topamiz: S h uning  uchun  3-teoremadan  foydalanamiz:   2. Ajoyib limitlar Yoy  sinusining  shu  yoyga  nisbatining  limiti:   Bu  tenglik   birinchi  ajoyib  limit   deb  yuritiladi. Bunday  tenglik  yordamida  trigonometrik  funksiyalar  qatnashgan ko`pchilik  limitlar  hisoblanadi. 1-teorema.   o ` zgaruvchi  miqdor     da  2 bilan  3 orasida yotuvchi  limitga  ega. Ta’rif.   o ` zgaruvchi   miqdorning     dagi   limiti   e   soni deyiladi. ;     e   soni  irratsional  son:   e =2,  7182818284...

Ko'chirib oling, shunda to'liq holda ko'ra olasiz

O'xshashlar

Funksiya tushunchasi. Chiziqli funksiya.
Funksiya limiti.Funksiya limitining hissalari.
Funksiya tushunchasi. Chiziqli funksiya. Chiziqli tengsizliklar. Chiziqli tengsizliklar sistemasi
DAVRIY VA DAVRIYMAS FUNKSIYALAR. MONOTON FUNKSIYALAR. BERILGAN FUNKSIYA TESKARI FUNKSIYA TUSHUNCHASI MURAKKAB FUNKSIYA
Davriy va davriymas funksiyalar. Monoton funksiyalar. berilgan funksiya teskari funksiya tushunchasi murakkab funksiya