logo

Ikkinchi tartibli aniqlikdagi sxemalarning sifat xossalari va ularni regulyarlashtirish

Yuklangan vaqt:

08.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

284.0947265625 KB
Ikkinchi tartibli aniqlikdagi sxemalarning sifat xossalari va ularni
regulyarlashtirish
Reja:
1. Birinchi tartibli aniqlikdagi sxemalarning sifat xossalari
1.1. Pozitivlik xossasi
1.2. Monotonlik xossasi
1.3. Dissipativlik xossasi
1.4. Approksimasion qovushqoqlik
1.5. Misol
2. Ikkinchi tartibli aniqlikdagi sxemalarni regulyarlashtirish
2.1. Dastlabki mulohazalar
2.2. Sxemalarning noregulyar holatiga misollar
2.3. Oshkor silliqlashtirish
2.4. "Silliqlash qovushqoqligi"
2.5. Oshkormas silliqlashtirish
2.6. "Sun’iy qovushqoqlik"
2.7. Oraliq qatlamni oshirish 1. Birinchi tartibli aniqlikdagi sxemalarning sifat xossalari
1.1. Pozitivlik xossasi
Konvektiv ko’chish tenglamasini qaraymiz∂u
∂t
+a(t,x)∂u
∂x
=	f(t,x).
(1)
Quyidagi   (1)   tenglamani   approksimasiyalovchi   2-mavzuda   qaralgan   mos
ravishda   "yo’nalishni   ko’rsatuvchi   burchak",   Laks,   "oshkormas   chap   burchak",
"oshkormas o’ng burchak" sxemalarining xossalarini o’rganamiz
 	
um
n+1−	um
n	
τ	+am
num
n−	um−1	
n
h	=	fm
n,     	am
n≥	0  bo’lganda, (2 +
)	
um
n+1−	um
n	
τ	+am
n	um+1	
n	−	um
n	
h	=	fm
n,
    	am
n≤	0  bo’lganda, (2 -
)	
um
n+1−	0,5	(um−1	
n	+um+1	
n	)	
τ	+am
num+1	
n	−	um−1	
n	
2h	=	fm
n,
(3)	
um
n+1−	um
n	
τ	+am
num
n+1−	um−1	
n+1	
h	=	fm
n,
(4)	
um
n+1−	um
n	
τ	+am
num+1	
n+1−	um
n+1	
h	=	fm
n.
(5)
Ushbu   (2),   (3),  (4),   (5)   sxemalar   pozitivlik   xossasiga   ega:   manfiymas   o’ng
taraf,   manfiymas   chegaraviy   va   boshlang’ich   qiymatlarda   izlanayotgan   funksiya
ham manfiymas bo’ladi. 
Bu  tasdiqni  	
G   soha  	{0≤	t≤	T	,	0≤	x≤	X	}   to’g’ri  to’rtburchak  bo’lgan  hol
uchun isbotlaymiz. (2 +
) ni 	
um
n+1  ga nisbatan yechib quyidagini hosil qilamiz	
umn+1=	(1−	kmn)umn+kmnum−1	n	+τf	mn.
(6)
Turg’unlik shartiga ko’ra 	
km
n≤1  o’rinli. Agar barcha 	m  lar uchun 	um
n≥	0  bo’lsa, u
holda  (6)   dan   bevosita   1  dan  	
M   gacha  	m   uchun  	um
n+1≥	0   bo’lishi   kelib  chiqadi.
Faraz bo’yicha 	
u0
n+1≥0  bo’lishini ko’rsatish qolyapdi.  (4)   va   (5)   oshkormas   sxemalar   uchun   isbot   bir   qadar   qiyinroq   kechadi.   (4)
dan quyidagini topamizumn+1=	kmn	
1+kmnum−1	n+1+	umn	
1+kmn+	τf	mn	
1+kmn,	m=	1,2,...,M	.
(7)	
um
n≥	0
 deb faraz qilib va 	u0
n+1≥	0  ni qo’llab, (7) dan ketma-ket 	u1n+1≥0 , 	u2n+1≥0  va
h.k.ni topamiz. (5) sxema uchun ushbuga egamiz	
um+1	
n+1=(1−	1
km
n)um
n+1+	1
km
num
n+	τ
km
n	fm
n,	m=	1,2,...,M	,
va xuddi o’shanday fikrlaymiz. Buning uchun (5) sxema turg’unlik shartiga ko’ra	
km
n≥1
 ni hisobga olamiz.
(3) Laks sxemasiga murojat qilamiz. Undan quyidagini topamiz
umn+1=	0,5	(1+kmn)um−1	n	+0,5	(1−	kmn)um+1	n	+τf	mn,	m=	1,2,...,M	−	1.
(8)	
km
n≤1
 bo’lsin. Faraz qilaylik 	ui
n≥	0 , 	i=	0,1	,...,M  bo’lsin.(8) dan 	m=	0  va 	m=	M
dan tashqari barcha nuqtalarda barcha 	
m  lar uchun 	um
n+1≥	0  bo’lishi kelib chiqadi.
Farazga   ko’ra  	
u0
n+1≥	0 .  	uM
n+1   qiymat   qo’shimcha   to’r   chegaraviy   shart   yordami
bilan aniqlanishi kelib chiqadi; agar u pozitiv bo’lsa, u holda 	
uM
n+1≥	0  bo’ladi. 
(1) differensial tenglama uchun pozitivlik sharti tabiiy va ayon hisoblanadi.
Pozitivlik xossasi faqat birinchi tartibli aniqlikdagi sxemalarga aloqador.
1.2. Monotonlik xossasi	
n
  dan  	n+1   ga   o’tishda   fazoviy   to’r   profilining   monotonlikni   saqlash
xossasiga,   pozitivlik   xossasi   kabi,   faqat   birinchi   tartibli   aniqlikdagi   sxemalar   ega
bo’ladi.   Monotonlik   xossasi   xususan   (2)   "oshkor   burchak"   sxemasi   uchun   oddiy
isbotlanadi.   2-mavzuda   ta’kidlanganidek,  	
n   dan  	n+1   ga   o’tishda   bu   sxema
fazoviy   profilning   chiziqli   interpolyasiyasini   amalga   oshiradi,   bundan   tashqari
uning   fazoviy   o’zgaruvchi   bo’yicha   siljishini   ko’rsatadi.   Bu   ikkala   amal
monotonlikni saqlaydi.  1.3. Dissipativlik xossasi
1-mavzuda   aytilganidek   boshlang’ich   va   chegaraviy   funksiyalar   bilan
tug’iladigan   xususiyatlar   xarakteristika   bo’ylab   ko’chadi.   "Sof   ko’chish"   holida,
ya’ni  f=	0   da,   yechimning   fazoviy   profildagi   o’zgarishi   faqat   xarakteristikaning
yaqinlashishi   yoki   uzoqlashini   keltirib   chiqaradi.   (2)-(5)   sxemalar   o’ziga   xos
silliqlashtiruvchi ( dissipativ ) xossalarga ega bo’ladi. Masalan, boshlang’ich uzilish
o’piruvchi  to’lqinga aylanadi  – o’tuvchi  zona  kengligi  vaqt  bo’yicha  o’sadi  (agar
bu xarakteristikaning yaqinlashishiga to’sqinlik qilmasa).
Evristik darajada sxemaning dissipativlik xossasi 	
f=	0,	a=	const	,	a>0  da
yechimning ushbu ko’rinishi yordami bilan o’rganilishi mumkin:	
u=	exp	(−	ia	ωt	)exp	(−	iωx	).
(1)   differensial   tenglama   uchun   bir   vaqt   qadamida   yechim   o’zgarishini
tavsiflaydigan   o’tish   ko’paytuvchisi  	
λ=	exp	(−	ia	ωτ	)   ko’rinishda   bo’ladi.   (2)
"oshkor   burchak"   sxemasi   uchun   o’tish   ko’paytuvchisi  	
λh=	(1−	k)+kexp	(−	iα	) ,	
α=	ωh
 bo’ladi. 	|λh|  va 	|λ|=1  da taqqoslaymiz. 1-jadvalda 	k  ning ikkita qiymatida
va 	
α  ning bir qancha qiymatlarida 	|λh|  ning qiymatlari keltirilgan. 
1-jadval
              	
α	
k 0,2	
π 0,4	π 0,6	π 0,8	π	π
0,5 0,95 0,81 0,59 0,31 0
0,9 0,96 0,94 0,87 0,82 0,80
Berilgan   jadvaldan   (2)   sxema   uchun  	
x   bo’yicha   garmonik   tebranish
amplitudasi   vaqt   bo’yicha   kamayadi,   bundan   yuqori   chastotali   tebranishlar   past
chastotali   tebranishlarga   qaraganda   tezroq   dissipasiyalanadi,   bu   esa   yechimning
silliqlanishiga olib keladi. 1.4. Approksimasion qovushqoqlik
Birinichi tartibli aniqlikdagi sxemalarning dissipativlik xossalarini parabolik
tipdagi model differensial tenglamalari yordami bilan ham tavsiflash mumkin. 
(1) "oshkor burchak" sxemasini qaraymiz. Oddiylik uchun f≡	0,a=	const	,	
a>0
 deb olamiz. Turg’unlik shartiga mos ravishda 	k≤1  bo’lsin. Approksimasiya
xatoligining bosh qismini olamiz:	
E=	τ
2	
∂2u	
∂t2−	ah
2	
∂2u	
∂x2.
(9)
(1) tenglama yordami bilan  	
∂2u/∂t2  ni  	∂2u/∂x2  orqali ifodalab, soddalashtiruvchi
farazlarga asoslanib quyidagini hosil qilamiz	
∂2u	
∂t2=	∂
∂t(
∂u
∂t)=	∂
∂t(−	a∂u
∂x)=−	a	∂
∂x(
∂u
∂t)=	a2∂2u	
∂x2.
(4) ni almashtirib ushbu ko’rinishga kelamiz 	
−	ah
2	(1−	aτ
h	)
∂2u	
∂x2.
Shunday   qilib   birinchi   tartibli   (1)   tenglama   uchun   dastlabki   qurilgan   (2)   sxema
yana   quyidagi   yuqori   hosila   oldidagi   kichik   koeffisiyent   bilan   berilgan   ikkinchi
tartibli   differensial   tenglamani   approksimasiyalaydi   (buning   ustiga   katta   aniqlik
bilan):	
∂u
∂t+a∂u
∂t−	ν∂2u	
∂x2=	0,
(10)	
ν=	ah	(1−	k)/2.
    (11)
(11) bo’yicha aniqlanuvchi  	
ν   koeffisiyentli (10) tenglama (2) sxemaning   birinchi
differensial yaqinlashishi  (BDYa) deb ataladi.
(4)   "oshkormas   chap   burchak"   sxemasi   uchun   BDYa   ham   (10)   ko’rinishga
egaligini oson hisoblash mumkin, bunda	
ν=	ah	(1+k)/2.
    (12)
(5) "oshkormas  o’ng burchak" sxemasi  uchun BDYa (10)  ko’rinishda hosil
qilamiz, bu yerda ν=	ah	(k−	1)/2.    (13)	
k≥1
 sxema turg’unligi sharti 	ν  ning manfiymasligini ta’minlaydi.
(3) Laks sxemasi uchun BDYa ni (10) ko’rinishda topamiz, bunda	
ν=	ah	(1−	k2)/(2k).
    (14)
Yuqorida qaralgan barcha BDYa sxemalari parabolik tenglama hisoblanadi.
Uning   dissipativ   xossalari  	
ν∂2u/∂x2   had   bilan   bog’liq;   bu   qo’shiluvchi
approksimasion   yoki   sxemali   qovushqoqlik   deb   ataladi.   Biz   approksimasiya
qovushqoqligi  terminini ham qo’llaymiz.
Faraz   qilaylik   sxemaning   dissipativ   xossalari   birinchi   differensial
yaqinlashish   bilan   modellashtiriladi,   uning   approksimasion   qovushqoqligi
xossalariga   asoslanib   sxema   xossalari   haqida   taxminiy   mulohazalarni   aytish
mumkin. 
Shunday   qilib   (11)   dan  	
k   Kurant   sonining   kichik   qiymatlarida   "oshkor
burchak"   sxemasi   uchun   dissipativ   effektlar   kuchli   namoyon   bo’lishi   kerak.   (12)
bilan (11)   va  (13)  larni  taqqoslab  	
k   bir  xil   qiymatida  "oshkormas  chap  burchak"
sxemasi   "oshkor   burchak"   va   "oshkormas   o’ng   burchak"   sxemalariga   nisbatan
ancha kuchli dissipativ ta’sirga ega deb xulosa chiqarish mumkin.
(14)   dan   Kurant   sonining   o’rtacha   va   asosan   kichik   qiymatlarida   Laks
sxemasi yechimni g’oyat kuchli silliqlashtirishi kerak deb xulosa qilamiz. Masalan	
k=	0,5
  da  	ν   koeffisiyent   "oshkor   burchak"   sxemasidagiga   qaraganda   uch   marta
katta bo’ladi. 
Bunga   o’xshash   mulohazalar   sonli   eksperimentlarda   yetarlicha   yaxshi
tasdig’ini topadi.
2. Ikkinchi tartibli aniqlikdagi sxemalarni 
regulyarlashtirish 2.1. Dastlabki mulohazalar  
Agar   yechim   yetarlicha   silliqlikka   ega   bo’lsa,   u   holda   ikkinchi   tartibli
aniqlikdagi   sxemalar   birinchi   tartibli   sxemalar   bilan   solishtirganda   shubhasiz
afzallikka   ega.   Ular   hisoblashni   katta   to’r   qadamlari   bilan   o’tkazish   imkonini
beradi, odatda ular algoritm murakkabligidan kelib chiqadigan dasturchi va EHM
ning qo’shimcha vaqt sarfi o’rnini to’ldiradi. 
Boshqa   tomondan   aniq   sxemalar   bir   qator   jiddiy   kamchiliklarga   ega.   Ular
yechimning   yuqori   silliqligini   talab   qiladi,   chunki   approksimasiya   xatoligiga
yuqori tartibli hosilalar kiradi. Yechimning yetarlicha silliqlimasligi sxemalarning
formal   aniqligini   oshirish   faktik   (haqiqiy)   xatolikning   oshishiga   va   taqribiy
yechimning sifat xususiyatlarining buzilishiga olib kelishi mumkin.
Ikkinchi   tartibli   aniqlikdagi   sxemalar   (1)   differensial   tenglamaning   asosiy
xossalari   bo’lgan   –   pozitivlik   va   monotonlik   xossalariga   ega   bo’lmasligi   quyida
misollarda   ko’rsatiladi.   Bundan   esa   silliqmas   va   uzilishga   ega   yechimlarni
hisoblashda   sonli   natijalarni   izohlashni   murakkablashtiruvchi   har   xil   patologik
effektlarni   keltirib   chiqaradi.   Bunday   buzilishlarni   yo’qotish   uchun   har   xil
regulyarlashtiruvchi usullar qo’llaniladi .
2. 1.   Sxemalarning noregulyar holatiga misollar  
Ushbu 2-mavzuda qaralgan oshkor "chexarda" sxemasini qaraymizum+1/2	
n+1/2−0,5	(um
n+um+1	
n	)	
0,5	τ	+am+1/2	
n	um+1	
n	−	um
n	
h	=	fm+1/2	
n	,	
um−1/2	
n+1/2−0,5	(um−1	
n	+um+1	
n	)	
0,5	τ	
+am−1/2	
n	um
n−um−1	
n	
h	
=	fm−1/2	
n	,
(15)	
um
n+1−um
n	
τ	+am
n+1/2um+1/2	
n+1/2−um−1/2	
n+1/2	
h	=	fm
n+1/2.
(16)
(15), (16) "chexarda" sxemasi  uchun pozitivlik xossasining bajarilmasligini
ko’rsatamiz. (1) tenglamaga 	
f≡	0,	a≡	1  ni qo’yamiz va 	m≠	0  da 	u0
0=	1,	um
0=	0 bo’lgan   nuqtaviy   manba   funksiyasining   to’rli   analogi   bo’lgan   boshlang’ich
funksiya bilan Koshi masalasini qaraymiz.
Noldan farqli birinchi qatlam qiymatlarida uchta tugunda quyidagilarni hosil
qilamiz:u−1
1	=−	0,5	(1−	k),	u0
1=	1−	k2,	u1
1=	0,5	k(1+k).
Bunda odatdagidek  	
k   –   Kuranta   soni .  	k<1   da  	u−1
1	<0   egamiz ,   ya’ni  pozitivlik
xossasi buziladi .  	
k=	0,5   da pozitivlik xossasi buzilishi eng yaqqol ifodalanishini
ko’ramiz. 	
k=	0,5  uchun 	u−1
1	=−	0,125 ,  	u0
1=	0,750 , 	u1
1=	0,375  larga ega bo’lamiz.
(2)   "oshkor   burchak"   sxemasini   qo’llab  	
u0
1=	0,5 ,  	u1
1=	0,5   ni   topamiz;   qolgan
qiymatlar birinchi qatlamda nolga teng.
4-jadvalda   qaralayotgan   sxemalar   bo’yicha  	
n=	2   uchun   (	k=	0,5   da)
hisoblash natijalari taqqoslangan. Sifat nuqtai nazaridan "oshkor burchak" sxemasi
aniq yechimni yaxshiroq aks ettiradi (	
x=t  da 	u=1 , 	x≠t  da  	u=	0 ).
4 -jadval.
m
Sxema - 2 - 1 0 1 2
«Chexarda» 0,015 - 0,187 0,469 0,562 0 1 41
«Yavnыy ugolok» 0 0 0,250 0,500 0,250
Endi   2-mavzuda   qaralgan   quyidagi   oshkormas   "to’g’ri   to’rtburchak"
sxemasini qaraymiz	
(0,5	
um
n+1−	um
n	
τ	+0,5	
um+1	
n+1−	um+1	
n	
τ	)+	
+am+1/2	
n+1/2
(0,5	
um+1	
n+1−	um
n+1	
h	+0,5	
um+1	
n	−	um
n	
h	)=	fm+1/2	
n+1/2.
(17)
(1)   tenglama   uchun  	
0≤	x≤	+∞	,	0≤	t≤	T	;	u(0,x)=	0,u(t,0)=	1   shartlar
bilan chegaraviy masalani qaraymiz.   Bu masala yechimi  	
x<t   da 1 ga,  	x>t   da 0 ga   teng   uzilishga   ega   funksiya   bo’ladi .   (17)   "to’g’ri   to’rtburchak"   sxemasi
bo’yicha  k=	0,5   ga   mos  	h=0,01   va  	τ=0,05   qadamlar   bilan   vaqt   bo’yicha
o’ninchi   qatlamda   (	
m   uchun   1   dan   60   gacha)   hisoblash   5-jadvalda   keltirilgan
natijani   berdi .   Monotonlikning   sezilarli   buzilishi   ko’rinadi.   Ossillyasi ya   yuqori
darajada  (	
u≈1 )   +26%  va   - 18%  ga yetadi .
5 -jadval
1,01 0,95 1,08 1,01 0,92 0,94 1,03 1,10 1,08 1,01
0,92 0,88 0,90 0,96 1,04 1,10 1,14 1,13 1,06 1,01
0,94 0,87 0,83 0,82 0,84 0,88 0,95 1,02 1,10 1,16
1,21 1,25 1,26 1,26 1,23 1,18 1,13 1,06 0,98 0,89
0,81 0,72 0,65 0,56 0,49 0,42 0,36 0,31 0,26 0,22
0,18 0,15 0,13  0,10 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03
2.3. Oshkor silliqlashtirish
Quyidagi jarayon regulyarlashtirishga oddiy misol bo’ladi.   U yoki bu sxema
yordami bilan hosil qilingan yuqori qatlamdagi 	
um
n+1  qiymat ushbu silliqlashtirilgan	
¯um
n+1
 bilan almashtiriladi:	
um
−n+1=	(1−	2α)um
n+1+αu	m−1	
n+1+αu	m+1	
n+1.
(18)
Bu yerda 	
α  – qandaydir musbat son  ( silliqlashtirish  parametr i ).	
α≤	0,5
  da   (18)   amal   uchta   qo’shni   tugunlarda   manfiymas   vaznli
koeffisiyentlar bilan o’rtachalashtirish (tortishtirish) qiymatini amalga oshiradi.  	
x
dan   garmonik   bog’liq   bo’lgan   maxsus   ko’rinishdagi   yechimda   (18)   formula
bo’yicha silliqlashtirishga qo’shimcha ko’paytma mos keladi	
λсгл	=	1−	4αsin	2ωh
2	
.
(19) α≤	0,5  da  	|λсгл|≤	1   ga   egamiz,   ya’ni   silliqlashtirish   asosiy   sxema
turg’unligini buzmaydi.  
α≤	0,25   da  	ω   ning 0 dan  	π/h   gacha oshishi  bilan  	λсгл
ning   moduli   monoton   kamayadi,   shunday   qilib   yuqori   garmonika
silliqlashtrishning   kuchayishiga   olib   keladi.  	
α   silliqlashtirish   parametrining  	λсгл
ga ta’siri quyidagi 6-jadvaldagi ma’lumotlar bilan miqdoriy tavsiflanadi.
6 -jadval	
ωh	
α
0,2	π 0,4	π o,6	π 0,8	π	π
0,01 0,996 0,986 0,974 0,964 0,960
0,05 0,981 0,931 0,869 0,819 0,800
0,10 0,962 0,862 0,738 0,638 0,600
0,25 0,905 0,655 0,345 0,095 0,000
0,50 . 0,809 0,309 - 0,309 - 0,809 - 1,000,
Yechimning   past   chastotali   tashkil   etuvchilarini   bosmasligi   uchun  	
α
silliqlashtirish   parametrini   haddan   tashqari   katta   tanlab   bo’lmasligi   aniq.   Boshqa
tomondan   esa  	
α   parametrning   juda   kichik   qiymatlarida   regulyarlashtirish   effekti
yetarli   bo’lmasligi   mumkin.   Odatda  	
α   silliqlashtirish   parametri   har   xil  	α   ning
qiymatlaridagi   hisoblash   natijalarini   taqqoslab   tajriba   yo’li   bilan   tanlab   olinadi.
Agar  	
α   ning   oshishi   yoki   kamayishida,   aytaylik   1,5-2   marta   o’zgarganda,   sonli
yechim   talab   qilingan   aniqlik   chegarasida   o’zgarmasa   tanlangan  	
α   qanoatlanarli
sanaladi.   Yechimning  kichik  o’zgarishi,   bir  tomondan  kichik  	
α   uchun  yetarlicha
bo’lmagan   silliqlashtrishda   ro’y   beradigan   yuqori   chastotali   shovqinlarni
(pomexlarni)  samarador   bostirish  haqida, boshqa  tomondan  esa  silliqlilashtirishni
kichik   buzuvchi   ta’sirlar   haqida   darak   beradi   (bu   ta’sir   kuchli   bo’lganda,   ikkita
grafikning seziladigan "silliqlik" farqida ko’rinadi). Silliqlashtirishni   qo’llash   ehtiyotlik   va   qandaydir   chamalash   kabi   tajribaga
ega bo’lishni talab qiladi. α  bog’lanish katta xavf tug’diradi; "chirioyli" silliq egri
chiziqlar   odatda   jilvalangan   ossillyasiyali   grafiklarga   nisbatan   kam   kritik   deb
qabul qilinadi.
2.4. "Silliqlash qovushqoqligi"  
(18)   formula   bo’yicha   silliqlashni   qandaydir   parabolik   tenglama   bilan
bog’liq bo’lgan dissipativ effekt approksimasiyasi kabi talqin qilish mumkin. (18)
formulaga 	
α=	ετ	/h2  ni qo’yamiz va almashtirishdan keyin quyidagiga kelamiz	
¯umn+1−	umn	
τ	=	εum+1	n+1−	2umn+1+um−1	n+1	
h2	.
(20)
Biz   ushbu   issiqlik   o’tkazuvchanlik   tenglamasini   approksimasiyalovchi   sxemani
hosil qildik	
∂u
∂t
=	ε∂2u	
∂x	
.
(21)
Bo’linish   qoidasiga   asosan   (1)   tenglamaning   to’r   analoglarini   va   (21)   ni
ketma-ket   amalga   oshirishib   quyidagi   dissipasiyali   konvektiv   ko’chishni
yorituvchi "tarkibiy" tenglamani approksimasiyalashini kutish mumkin	
∂u
∂t+a∂u
∂x=	f+ε∂2u	
∂x2.
(22)
Modelli misollar va sonli eksperimentlar bu farazni tasdiqlaydi .
Silliqlash parametrini  	
α=	ετ	/h2   ko’rinishda tasvirlash unga mos keladigan
qiymatlar   uchun   tanlashni   yengillashtiradi   va   uning  	
τ,h   to’r   qadamlaridan
bog’lanishini   namoyon   etadi.   "Approksimasiya   qovushqoqligi"ga   o’xshashligi
bo’yicha (22) tenglamada  	
ε∂2u/∂x2   qo’shiluvchini "silliqlash qovushqoqligi" deb
atash mumkin . 2.5. Oshkormas silliqlash  
(21)   ni   oshkormas   to’rt   nuqtali   sxema   yordami   bilan   a pproksim asiyalab,
oshkormas silliqlash formulasini hosil qilamizαu	m+1	
−n+1−(1−	2α)¯um
n+1+α¯um−1	
n+1=−	um
n+1
,   	
α=	ετ	/h2 (23)
(23) tenglama uch nuqtali progonka yordami bilan yechiladi .  Oshkormas silliqlash	
α
  istalgan   musbat   qiymatlarida   turg’un   bo’lishini   osongina   ishonch   hosil   qilish
mumkin.   Shuning   uchun   u   jadal   regulyarlashtirish   kerak   bo’lgan   hollarda
qo’llaniladi  ( masalan ,  uzilishga ega yechimlarni hisoblashda ).
2.6. "Sun’iy qovushqoqlik"
Bu   yerda   (22)   tenglama   qo’llaniladi.   Ko’chish   tenglamasiga  	
ε∂2u/∂x2
"sun’iy qovushqoqlik"ning qo’shilishi yechimni uzluksiz va silliq qiladi; uzilishlar
kengligi   qandaydir  	
ε   dan   bog’liq   o’tish   sohalari   bilan   almashtiriladi.   (22)
tenglama ikkinchi tartibli u yoki bu sxemalar yordami bilan approksimasiyalanadi.
"Sun’iy   qovushqoqlik"   usulida   sxemaning   salbiy   xossalari   xuddi   tenglama
xossalarining yaxshilanishi bilan qoplanadi. 
Shunday qilib keyingi  qatlamda yechim  profili  avvalgi  qatlamdagi  profilga
nisbatan   bir   qancha   aralashgan   bo’ladi,   u   holda   silliqlashtiruvchi   qo’shimchani
yuqori   qatlamda   yozish   maqsadga   muvofiq.   Ajratilgan   bosqichda   silliqlash   bu
avtomatik qilinadi .
2.7. Oraliq qatlamni oshirish
Yuqorida   qaralgan   regulyarlashtirish   usuli   bevosita   fazoviy   o’zgaruvchi
bo’yicha   ikkinchi   hosilani   o’z   ichiga   oluvchi   "qovushqoqlik"ni   kiritadi.
Regulyarlashtirish   uchun   vaqt   o’zgaruvchisi   bo’yicha   hosilani   o’z   ichiga   oluvchi
"vaqt   qovushqoqligi"ni   ham   qo’llash   mumkin.   "Vaqt   qovushqoqligi"   dissipativ
xossalari tahlilida 	
t  vaqt bo’yicha differensiallashni (1) tenglama yordami bilan 	x
bo’yicha differensiallashga almashtirish mumkin. Shunday   qilib   "chexarda"   sxemasi   uchun   oraliq   qatlamda   qiymatlarni
aniqlovchi   (15)   tenglamalarda   0,5τ   o’rniga  	(0,5	+μ)τ   yoziladi,   bu   yerda  	μ   –
musbat   son   (oraliq   qatlamni   oshirish   parametri).   Bundan  	
un+1/2   da   qo’shimcha
paydo   bo’ladi,   bosh   qismi  	
μτ	∂u/∂t   ekanligi   oson   ko’rinadi.   Bu   (16)   bo’yicha
hisoblanadigan 	
un+1  qiymatlarda bosh qismi quyidagiga teng bo’lgan qo’shimchani
tug’diradi	
−	τa	∂
∂x(μτ	∂u
∂t)=	τa	∂
∂x(μτ	a∂u
∂x)
( soddalik uchun biz 	
f≡	0  qo’ydik ).
Oraliq qatlamni oshirish (1) tenglama o’ng tarafiga  	
ε=	μτ   da  	
εa	∂
∂x(a∂u
∂x)
qo’shiluvchini   qo’shish   bilan   modellashtiriladi,   bu   qo’shiluvchi   hosil   qilingan
effektning dissipativ xarakterini ko’rsatadi.
Endi   yuqoridagi   xususiyatlarni   2-mavzuda   qaralgan   quyidagi   oshkormas
markaziy ayirmali sxemalardan birida ham qarab o’tamiz	
um
n+1−	um
n	
τ	+0,5	am
n
(
um+1	
n+1−	um−1	
n+1	
2h	+
um+1	
n	−	um−1	
n	
2h	)=	fm
n+1/2.
(24)
Oshkormas   (17),   (24)   sxemalar   uchun   0,5   koeffisiyentlar   yuqori   va   quyi
qatlamlarda  	
a∂u/∂x   ni  approksimasiyalovchi  ifodalarda mos ravishda  	0,5	+	μ   va	
0,5	−	μ
 larga almashtiriladi, bunda 	μ  – musbat son. Bunda approksimasiya xatoligi
tarkibida  	
μτ	∂u2/∂t2   qo’shiluvchi   paydo   bo’lishini   ko’rish   oson.  	f≡	0   va	
a=	const
 da u ushbu ko’rinishni hosil qiladi 	ε∂u2/∂x2 , 	ε=	μτ	a2 .
"Vaqt   qovushqoqligi"   "fazoviy"   bilan   solishtirganda   bir   qator   katta
"harakatchanlik"ga   ega,   shu   sababli   u   izlanayotgan   funksiyaning   vaqt   bo’yicha
shiddatli o’zgarishiga tez javob beradi.

Ikkinchi tartibli aniqlikdagi sxemalarning sifat xossalari va ularni regulyarlashtirish Reja: 1. Birinchi tartibli aniqlikdagi sxemalarning sifat xossalari 1.1. Pozitivlik xossasi 1.2. Monotonlik xossasi 1.3. Dissipativlik xossasi 1.4. Approksimasion qovushqoqlik 1.5. Misol 2. Ikkinchi tartibli aniqlikdagi sxemalarni regulyarlashtirish 2.1. Dastlabki mulohazalar 2.2. Sxemalarning noregulyar holatiga misollar 2.3. Oshkor silliqlashtirish 2.4. "Silliqlash qovushqoqligi" 2.5. Oshkormas silliqlashtirish 2.6. "Sun’iy qovushqoqlik" 2.7. Oraliq qatlamni oshirish

1. Birinchi tartibli aniqlikdagi sxemalarning sifat xossalari 1.1. Pozitivlik xossasi Konvektiv ko’chish tenglamasini qaraymiz∂u ∂t +a(t,x)∂u ∂x = f(t,x). (1) Quyidagi (1) tenglamani approksimasiyalovchi 2-mavzuda qaralgan mos ravishda "yo’nalishni ko’rsatuvchi burchak", Laks, "oshkormas chap burchak", "oshkormas o’ng burchak" sxemalarining xossalarini o’rganamiz um n+1− um n τ +am num n− um−1 n h = fm n, am n≥ 0 bo’lganda, (2 + ) um n+1− um n τ +am n um+1 n − um n h = fm n, am n≤ 0 bo’lganda, (2 - ) um n+1− 0,5 (um−1 n +um+1 n ) τ +am num+1 n − um−1 n 2h = fm n, (3) um n+1− um n τ +am num n+1− um−1 n+1 h = fm n, (4) um n+1− um n τ +am num+1 n+1− um n+1 h = fm n. (5) Ushbu (2), (3), (4), (5) sxemalar pozitivlik xossasiga ega: manfiymas o’ng taraf, manfiymas chegaraviy va boshlang’ich qiymatlarda izlanayotgan funksiya ham manfiymas bo’ladi. Bu tasdiqni G soha {0≤ t≤ T , 0≤ x≤ X } to’g’ri to’rtburchak bo’lgan hol uchun isbotlaymiz. (2 + ) ni um n+1 ga nisbatan yechib quyidagini hosil qilamiz umn+1= (1− kmn)umn+kmnum−1 n +τf mn. (6) Turg’unlik shartiga ko’ra km n≤1 o’rinli. Agar barcha m lar uchun um n≥ 0 bo’lsa, u holda (6) dan bevosita 1 dan M gacha m uchun um n+1≥ 0 bo’lishi kelib chiqadi. Faraz bo’yicha u0 n+1≥0 bo’lishini ko’rsatish qolyapdi.

(4) va (5) oshkormas sxemalar uchun isbot bir qadar qiyinroq kechadi. (4) dan quyidagini topamizumn+1= kmn 1+kmnum−1 n+1+ umn 1+kmn+ τf mn 1+kmn, m= 1,2,...,M . (7) um n≥ 0 deb faraz qilib va u0 n+1≥ 0 ni qo’llab, (7) dan ketma-ket u1n+1≥0 , u2n+1≥0 va h.k.ni topamiz. (5) sxema uchun ushbuga egamiz um+1 n+1=(1− 1 km n)um n+1+ 1 km num n+ τ km n fm n, m= 1,2,...,M , va xuddi o’shanday fikrlaymiz. Buning uchun (5) sxema turg’unlik shartiga ko’ra km n≥1 ni hisobga olamiz. (3) Laks sxemasiga murojat qilamiz. Undan quyidagini topamiz umn+1= 0,5 (1+kmn)um−1 n +0,5 (1− kmn)um+1 n +τf mn, m= 1,2,...,M − 1. (8) km n≤1 bo’lsin. Faraz qilaylik ui n≥ 0 , i= 0,1 ,...,M bo’lsin.(8) dan m= 0 va m= M dan tashqari barcha nuqtalarda barcha m lar uchun um n+1≥ 0 bo’lishi kelib chiqadi. Farazga ko’ra u0 n+1≥ 0 . uM n+1 qiymat qo’shimcha to’r chegaraviy shart yordami bilan aniqlanishi kelib chiqadi; agar u pozitiv bo’lsa, u holda uM n+1≥ 0 bo’ladi. (1) differensial tenglama uchun pozitivlik sharti tabiiy va ayon hisoblanadi. Pozitivlik xossasi faqat birinchi tartibli aniqlikdagi sxemalarga aloqador. 1.2. Monotonlik xossasi n dan n+1 ga o’tishda fazoviy to’r profilining monotonlikni saqlash xossasiga, pozitivlik xossasi kabi, faqat birinchi tartibli aniqlikdagi sxemalar ega bo’ladi. Monotonlik xossasi xususan (2) "oshkor burchak" sxemasi uchun oddiy isbotlanadi. 2-mavzuda ta’kidlanganidek, n dan n+1 ga o’tishda bu sxema fazoviy profilning chiziqli interpolyasiyasini amalga oshiradi, bundan tashqari uning fazoviy o’zgaruvchi bo’yicha siljishini ko’rsatadi. Bu ikkala amal monotonlikni saqlaydi.

1.3. Dissipativlik xossasi 1-mavzuda aytilganidek boshlang’ich va chegaraviy funksiyalar bilan tug’iladigan xususiyatlar xarakteristika bo’ylab ko’chadi. "Sof ko’chish" holida, ya’ni f= 0 da, yechimning fazoviy profildagi o’zgarishi faqat xarakteristikaning yaqinlashishi yoki uzoqlashini keltirib chiqaradi. (2)-(5) sxemalar o’ziga xos silliqlashtiruvchi ( dissipativ ) xossalarga ega bo’ladi. Masalan, boshlang’ich uzilish o’piruvchi to’lqinga aylanadi – o’tuvchi zona kengligi vaqt bo’yicha o’sadi (agar bu xarakteristikaning yaqinlashishiga to’sqinlik qilmasa). Evristik darajada sxemaning dissipativlik xossasi f= 0, a= const , a>0 da yechimning ushbu ko’rinishi yordami bilan o’rganilishi mumkin: u= exp (− ia ωt )exp (− iωx ). (1) differensial tenglama uchun bir vaqt qadamida yechim o’zgarishini tavsiflaydigan o’tish ko’paytuvchisi λ= exp (− ia ωτ ) ko’rinishda bo’ladi. (2) "oshkor burchak" sxemasi uchun o’tish ko’paytuvchisi λh= (1− k)+kexp (− iα ) , α= ωh bo’ladi. |λh| va |λ|=1 da taqqoslaymiz. 1-jadvalda k ning ikkita qiymatida va α ning bir qancha qiymatlarida |λh| ning qiymatlari keltirilgan. 1-jadval α k 0,2 π 0,4 π 0,6 π 0,8 π π 0,5 0,95 0,81 0,59 0,31 0 0,9 0,96 0,94 0,87 0,82 0,80 Berilgan jadvaldan (2) sxema uchun x bo’yicha garmonik tebranish amplitudasi vaqt bo’yicha kamayadi, bundan yuqori chastotali tebranishlar past chastotali tebranishlarga qaraganda tezroq dissipasiyalanadi, bu esa yechimning silliqlanishiga olib keladi.

1.4. Approksimasion qovushqoqlik Birinichi tartibli aniqlikdagi sxemalarning dissipativlik xossalarini parabolik tipdagi model differensial tenglamalari yordami bilan ham tavsiflash mumkin. (1) "oshkor burchak" sxemasini qaraymiz. Oddiylik uchun f≡ 0,a= const , a>0 deb olamiz. Turg’unlik shartiga mos ravishda k≤1 bo’lsin. Approksimasiya xatoligining bosh qismini olamiz: E= τ 2 ∂2u ∂t2− ah 2 ∂2u ∂x2. (9) (1) tenglama yordami bilan ∂2u/∂t2 ni ∂2u/∂x2 orqali ifodalab, soddalashtiruvchi farazlarga asoslanib quyidagini hosil qilamiz ∂2u ∂t2= ∂ ∂t( ∂u ∂t)= ∂ ∂t(− a∂u ∂x)=− a ∂ ∂x( ∂u ∂t)= a2∂2u ∂x2. (4) ni almashtirib ushbu ko’rinishga kelamiz − ah 2 (1− aτ h ) ∂2u ∂x2. Shunday qilib birinchi tartibli (1) tenglama uchun dastlabki qurilgan (2) sxema yana quyidagi yuqori hosila oldidagi kichik koeffisiyent bilan berilgan ikkinchi tartibli differensial tenglamani approksimasiyalaydi (buning ustiga katta aniqlik bilan): ∂u ∂t+a∂u ∂t− ν∂2u ∂x2= 0, (10) ν= ah (1− k)/2. (11) (11) bo’yicha aniqlanuvchi ν koeffisiyentli (10) tenglama (2) sxemaning birinchi differensial yaqinlashishi (BDYa) deb ataladi. (4) "oshkormas chap burchak" sxemasi uchun BDYa ham (10) ko’rinishga egaligini oson hisoblash mumkin, bunda ν= ah (1+k)/2. (12) (5) "oshkormas o’ng burchak" sxemasi uchun BDYa (10) ko’rinishda hosil qilamiz, bu yerda