Ikkinchi tartibli aniqlikdagi sxemalarning sifat xossalari va ularni regulyarlashtirish Reja: 1. Birinchi tartibli aniqlikdagi sxemalarning sifat xossalari 1.1. Pozitivlik xossasi 1.2. Monotonlik xossasi 1.3. Dissipativlik xossasi 1.4. Approksimasion qovushqoqlik 1.5. Misol 2. Ikkinchi tartibli aniqlikdagi sxemalarni regulyarlashtirish 2.1. Dastlabki mulohazalar 2.2. Sxemalarning noregulyar holatiga misollar 2.3. Oshkor silliqlashtirish 2.4. "Silliqlash qovushqoqligi" 2.5. Oshkormas silliqlashtirish 2.6. "Sun’iy qovushqoqlik" 2.7. Oraliq qatlamni oshirish

1. Birinchi tartibli aniqlikdagi sxemalarning sifat xossalari 1.1. Pozitivlik xossasi Konvektiv ko’chish tenglamasini qaraymiz∂u ∂t +a(t,x)∂u ∂x = f(t,x). (1) Quyidagi (1) tenglamani approksimasiyalovchi 2-mavzuda qaralgan mos ravishda "yo’nalishni ko’rsatuvchi burchak", Laks, "oshkormas chap burchak", "oshkormas o’ng burchak" sxemalarining xossalarini o’rganamiz um n+1− um n τ +am num n− um−1 n h = fm n, am n≥ 0 bo’lganda, (2 + ) um n+1− um n τ +am n um+1 n − um n h = fm n, am n≤ 0 bo’lganda, (2 - ) um n+1− 0,5 (um−1 n +um+1 n ) τ +am num+1 n − um−1 n 2h = fm n, (3) um n+1− um n τ +am num n+1− um−1 n+1 h = fm n, (4) um n+1− um n τ +am num+1 n+1− um n+1 h = fm n. (5) Ushbu (2), (3), (4), (5) sxemalar pozitivlik xossasiga ega: manfiymas o’ng taraf, manfiymas chegaraviy va boshlang’ich qiymatlarda izlanayotgan funksiya ham manfiymas bo’ladi. Bu tasdiqni G soha {0≤ t≤ T , 0≤ x≤ X } to’g’ri to’rtburchak bo’lgan hol uchun isbotlaymiz. (2 + ) ni um n+1 ga nisbatan yechib quyidagini hosil qilamiz umn+1= (1− kmn)umn+kmnum−1 n +τf mn. (6) Turg’unlik shartiga ko’ra km n≤1 o’rinli. Agar barcha m lar uchun um n≥ 0 bo’lsa, u holda (6) dan bevosita 1 dan M gacha m uchun um n+1≥ 0 bo’lishi kelib chiqadi. Faraz bo’yicha u0 n+1≥0 bo’lishini ko’rsatish qolyapdi.

(4) va (5) oshkormas sxemalar uchun isbot bir qadar qiyinroq kechadi. (4) dan quyidagini topamizumn+1= kmn 1+kmnum−1 n+1+ umn 1+kmn+ τf mn 1+kmn, m= 1,2,...,M . (7) um n≥ 0 deb faraz qilib va u0 n+1≥ 0 ni qo’llab, (7) dan ketma-ket u1n+1≥0 , u2n+1≥0 va h.k.ni topamiz. (5) sxema uchun ushbuga egamiz um+1 n+1=(1− 1 km n)um n+1+ 1 km num n+ τ km n fm n, m= 1,2,...,M , va xuddi o’shanday fikrlaymiz. Buning uchun (5) sxema turg’unlik shartiga ko’ra km n≥1 ni hisobga olamiz. (3) Laks sxemasiga murojat qilamiz. Undan quyidagini topamiz umn+1= 0,5 (1+kmn)um−1 n +0,5 (1− kmn)um+1 n +τf mn, m= 1,2,...,M − 1. (8) km n≤1 bo’lsin. Faraz qilaylik ui n≥ 0 , i= 0,1 ,...,M bo’lsin.(8) dan m= 0 va m= M dan tashqari barcha nuqtalarda barcha m lar uchun um n+1≥ 0 bo’lishi kelib chiqadi. Farazga ko’ra u0 n+1≥ 0 . uM n+1 qiymat qo’shimcha to’r chegaraviy shart yordami bilan aniqlanishi kelib chiqadi; agar u pozitiv bo’lsa, u holda uM n+1≥ 0 bo’ladi. (1) differensial tenglama uchun pozitivlik sharti tabiiy va ayon hisoblanadi. Pozitivlik xossasi faqat birinchi tartibli aniqlikdagi sxemalarga aloqador. 1.2. Monotonlik xossasi n dan n+1 ga o’tishda fazoviy to’r profilining monotonlikni saqlash xossasiga, pozitivlik xossasi kabi, faqat birinchi tartibli aniqlikdagi sxemalar ega bo’ladi. Monotonlik xossasi xususan (2) "oshkor burchak" sxemasi uchun oddiy isbotlanadi. 2-mavzuda ta’kidlanganidek, n dan n+1 ga o’tishda bu sxema fazoviy profilning chiziqli interpolyasiyasini amalga oshiradi, bundan tashqari uning fazoviy o’zgaruvchi bo’yicha siljishini ko’rsatadi. Bu ikkala amal monotonlikni saqlaydi.

1.3. Dissipativlik xossasi 1-mavzuda aytilganidek boshlang’ich va chegaraviy funksiyalar bilan tug’iladigan xususiyatlar xarakteristika bo’ylab ko’chadi. "Sof ko’chish" holida, ya’ni f= 0 da, yechimning fazoviy profildagi o’zgarishi faqat xarakteristikaning yaqinlashishi yoki uzoqlashini keltirib chiqaradi. (2)-(5) sxemalar o’ziga xos silliqlashtiruvchi ( dissipativ ) xossalarga ega bo’ladi. Masalan, boshlang’ich uzilish o’piruvchi to’lqinga aylanadi – o’tuvchi zona kengligi vaqt bo’yicha o’sadi (agar bu xarakteristikaning yaqinlashishiga to’sqinlik qilmasa). Evristik darajada sxemaning dissipativlik xossasi f= 0, a= const , a>0 da yechimning ushbu ko’rinishi yordami bilan o’rganilishi mumkin: u= exp (− ia ωt )exp (− iωx ). (1) differensial tenglama uchun bir vaqt qadamida yechim o’zgarishini tavsiflaydigan o’tish ko’paytuvchisi λ= exp (− ia ωτ ) ko’rinishda bo’ladi. (2) "oshkor burchak" sxemasi uchun o’tish ko’paytuvchisi λh= (1− k)+kexp (− iα ) , α= ωh bo’ladi. |λh| va |λ|=1 da taqqoslaymiz. 1-jadvalda k ning ikkita qiymatida va α ning bir qancha qiymatlarida |λh| ning qiymatlari keltirilgan. 1-jadval α k 0,2 π 0,4 π 0,6 π 0,8 π π 0,5 0,95 0,81 0,59 0,31 0 0,9 0,96 0,94 0,87 0,82 0,80 Berilgan jadvaldan (2) sxema uchun x bo’yicha garmonik tebranish amplitudasi vaqt bo’yicha kamayadi, bundan yuqori chastotali tebranishlar past chastotali tebranishlarga qaraganda tezroq dissipasiyalanadi, bu esa yechimning silliqlanishiga olib keladi.

1.4. Approksimasion qovushqoqlik Birinichi tartibli aniqlikdagi sxemalarning dissipativlik xossalarini parabolik tipdagi model differensial tenglamalari yordami bilan ham tavsiflash mumkin. (1) "oshkor burchak" sxemasini qaraymiz. Oddiylik uchun f≡ 0,a= const , a>0 deb olamiz. Turg’unlik shartiga mos ravishda k≤1 bo’lsin. Approksimasiya xatoligining bosh qismini olamiz: E= τ 2 ∂2u ∂t2− ah 2 ∂2u ∂x2. (9) (1) tenglama yordami bilan ∂2u/∂t2 ni ∂2u/∂x2 orqali ifodalab, soddalashtiruvchi farazlarga asoslanib quyidagini hosil qilamiz ∂2u ∂t2= ∂ ∂t( ∂u ∂t)= ∂ ∂t(− a∂u ∂x)=− a ∂ ∂x( ∂u ∂t)= a2∂2u ∂x2. (4) ni almashtirib ushbu ko’rinishga kelamiz − ah 2 (1− aτ h ) ∂2u ∂x2. Shunday qilib birinchi tartibli (1) tenglama uchun dastlabki qurilgan (2) sxema yana quyidagi yuqori hosila oldidagi kichik koeffisiyent bilan berilgan ikkinchi tartibli differensial tenglamani approksimasiyalaydi (buning ustiga katta aniqlik bilan): ∂u ∂t+a∂u ∂t− ν∂2u ∂x2= 0, (10) ν= ah (1− k)/2. (11) (11) bo’yicha aniqlanuvchi ν koeffisiyentli (10) tenglama (2) sxemaning birinchi differensial yaqinlashishi (BDYa) deb ataladi. (4) "oshkormas chap burchak" sxemasi uchun BDYa ham (10) ko’rinishga egaligini oson hisoblash mumkin, bunda ν= ah (1+k)/2. (12) (5) "oshkormas o’ng burchak" sxemasi uchun BDYa (10) ko’rinishda hosil qilamiz, bu yerda