logo

Noravshan arifmetika

Yuklangan vaqt:

08.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

351.1513671875 KB
MAVZU:  Noravshan arifmetika
REJA:
1. Noravshan sonlar.
2. Musbat va manfiy noravshan sonlar.
3. Umumlashtirish tamoyili.
4. Zade umumlashgan tamoyili  Oraliq   (interval)   tahlil   tushunchasining   noravshan   to’plamlar   nazariyasida
tutgan   ahamiyati   bois,   uning   asosiy   tushuncha   hamda   usullarini   keltirib   o’tamiz
[99,118].
Oraliq sonlar .  R  barcha haqiqiy sonlar to’plami bo’lsin.  [a,b ]   oraliq deganda
(a≤	b ),   boshqa   izohlar   keltirilmagan   bo’lsa,   quyidagi   ko’rinishdagi   R   ning   berk
chegaralangan qism to’plami tushuniladi  [13,38,143]:	
[a,b]=	{x|x∈	R∧	a≤	x≤	b}
.
Barcha   oraliqlar   to’plamini   I(R)   bilan   belgilaymiz.   I(R)   ning   elementlarini
kichik harflar bilan belgilaymiz. Agar  A - I(R)  ning elementi bo’lsa  (	
A	∈	I(R	) ), u
holda uning chap va o’ng uchlarini 	
a,¯a:A=	[a,¯a]  ko’rinishda belgilaymiz. 	I(R)
ning   elementlarini   oraliq   sonlar   deb   ataymiz   [43,130,132] .	
∈,∩⊂
  va   h . k   belgilari   odatiy   nazariy - to ’ plamli   ma ’ noda   tushuniladi ,
jumladan    
⊂   qat ’ iy   qamrovni   anglatishi   shart   emas ,   ya ’ ni    	A	⊂	B   munosabatda
oraliqlar   teng   bo ’ lishi   mumkin .   A   va   B   oraliqlar     faqat   va   faqat  	
a=	b	,¯a=	¯b
bo’lganda teng hisoblanadi.  	
I(R)
  oraliqda   tartib   munosabati   quyidagicha   aniqlanadi:  	¯a<	b
bo’lgandagina   А <   В   bo’ladi. Kiritish bo’yicha ham tartiblash mumkin:   A   oraliq   B
oraliqdan  	
A	⊂	B   bo’lganda   katta   bo’lmaydi.   Asosan   biz   birinchi   ta’rifdan
foydalanamiz.  
А   va   В   oraliqlarning  	
A∩	B kesishmasi     A<B   yoki   B<A   bo’lganda   bo’sh
bo’ladi, aks holda 	
A∩	B=	[max	{a,b},min	{¯a,¯b}] –yana oraliq hosil bo’ladi.
Ta’rifga   ko’ra  	
[a,¯a]   oraliq  	−	a=	¯a   munosabat   bajarilganda   simmetrik
bo’ladi. 
A  oraliqning   	
ω(A)   kengligi   deb 	ω	(A)=	¯a−	a kattalikka aytiladi.           	
m	(A)
 -  o’rta  A oraliq uchlari yig’indisining yarmidir : 	m	(A	)=	(a+¯a)/2 .
Absolyut kattalik	
|A|  quyidagi   ko’rinishda aniqlanadi:  	|A|=	max	{|a|,|¯a|}  .
Va   nihoyat,  	
μ(A)=	max	{|a|,|¯a|} ,  	S(A	)=	(|a|+|¯a|)/2 .    	|A|≤|B|   da	
ω(A)≤	ω(B)
, 	A⊂B  va  	A≠	B  da 	ω(A)<ω	(B) .	
A	,B	∈I(R)
 elementlar o’rtasidagi   	ρ(A	,B	) masofa   	
ρ	(	A	,B	)=	max	¿	¿
 tenglik orqali kiritiladi.
Birlik   oraliq ,   ya’ni   uchlari   ustma-ust   tushgan  	
a=	¯a=	a   oraliq   a   songa
tengdir. Demak 	
R∈I(R) .
Standart   oraliqli   arifmetika .   Oraliqli   sonlar   ustidagi   amallar   quyidagicha
aniqlanadi[122,142]. 
¿∈{+,−,⋅,/}  bo’lsin, 	A,B∈I(R) . U holda                                          A∗	B=	{a∗	b|a∈	A	,b∈	B} ,
(1.2.1)
jumladan bo’lishda 	
0∉	B .
 (1.2.1)  ta’rif quyidagi munosabatlarga ekvivalent
                               	
A+B=	[a,¯a]+[b,¯b]=	[a+b,¯a+¯b] ,
(1.2.2)
                               	
A−	B=	[a,¯a]−	[b−	¯b]=	[a−	¯b,¯a−	b] ,
(1.2.3)
         	
A⋅B=	[a,¯a]⋅[b,¯b]=[min	{ab	,¯ab,a¯b,¯a¯b},max	{ab	,¯ab,a¯b,¯a¯b}] ,
(1.2.4)
                               	
A/b=	[a,¯a]/[b,¯b]=	[a,¯a]⋅[1/¯b,1/b] .                    (1.2.5)
Ayirish amalini qo’shish hamda ko’paytirish orqali ifodalsh mumkin, bunda	
−	B=(−1)⋅B=[−1,−1]⋅B
 va 	A−	B=	A+(−	B	) .	
a,¯a,b,¯b
  sonlarning   ishorasiga   qarab     oraliq   ko’paytirishga   oid   (1.2.4)
qoida quyidagi ko’rinishlarga kiradi   (	
[c,¯c]=[a,¯a]⋅[b,¯b]  deb olgan holda):
1.                    	
a≥	0,b≥	0 :                      	c=	ab	,¯c=	¯a¯b ;
2.                    	
a≥	0,¯b≥	0 :                      	c=	¯ab	,¯c=	a¯b ;
3.                    	
¯a≤	0,¯b≥	0 :                      	c=	a¯b,¯c=	ab  ;
4.                    	
¯a≤	0,¯b≤	0 :                      	c=	¯a¯b	,¯c=	ab ;
5.                    	
a<	0<	¯a	,b≥	0 :              	c=	a¯b	,¯c=	¯a¯b ;
6.                    	
a<	0<¯a	,¯b≤	0 :                	c=	¯ab,¯c=	ab ;    
7.	
a≥	0	,b<0<	¯b :                	c=	¯ab,¯c=	¯a¯b ;
8.	
¯a≤	0	,b<0<	¯b :                	c=	a¯b,¯c=	ab ;
9.                   	
a<	0<	¯a	,b<	0<	¯b :        	c=	min	{a¯b,¯ab},¯c=	max	{ab	,¯a¯b} .
Bu   yerdan   ko ’ rinib   turibdiki ,   faqatgina   bitta   holda   ( oxirgisida )   ko ’ paytmani
topish   uchun   to ’ rt   marta   ko ’ paytirishga   to ’ g ’ ri   keladi ,   qolgan   hollarda   esa   ikki
marta   ko ’ paytirish   yetarli . 
Agar   A   va   B - birlik oraliq bo’lsa, u holda (1.2.2)–(1.2.5)   tengliklar haqiqiy
sonlar ustidagi oddiy arifmaetik amallar bilan bir xil bo’ladi. Shunday qilib oraliq
son haqiqiy sonning, oraliq arifmetika esa - haqiqiyning umumiyroq ko’rinishidir. 
(1.2.1) ta’rifdan ko’rinib turibdiki, oraliq yig’indi va ko’paytma assosiativ va
kommutativ,   boshqa   so’z   bilan   aytganda  	
A,B,C	∈I(R)   larga   nisbatan   quyidagi
tengliklar o’rinli:
A+(B+C)=(A+B)+C,   A+B=B+A,	
A⋅(B⋅C	)=	(A⋅B	)⋅C
,    	A⋅B	=	B⋅A Nol va bir vazifasini oddiy 0   va 1 sonlari o’taydilar, chunki yuqorida qayd
etilganidek   ular   [0,0]   va   [1,1]   oraliqlarga   tengdirlar.   Boshqa   so’z   bilan   aytganda
ixtiyoriy A∈	I(R)  uchun	
A	+0=	0+	A=	A
,     	A⋅1=	1⋅A=	A .
Kelgusida ko’paytirishni anglatuvchi nuqtani yozmaymiz.
(1.2.1) tenglik ((1.2.2)-(1.2.5) kabi) operandlardan biri birlik oraliq bo’lsa, u
holda arifmetik amalning natijasi ham birlik oraliq bo’lishini bildiradi.  0=[0,0] ga
ko’paytirish   bundan   mustasnodir.   Bu   yerdan   kelib   chiqadiki,   A   birlik   oraliqda
qo’shish  va ko’paytirishga nisbatan teskari  elementlar  mavjud emas, chunki, agar
А   +   В   =   0,   АС   =   1 ,   u   holda   А ,   В ,   С     yuqorida   aytilganlarga   muvofiq   birlik
bo’lishlari   shart.   Qisqa   qilib   aytganda,   ayirish   qo’shishga,   bo’lish   ko’paytirishga
nisbatan   teskari   emas.     Demak  	
ω	(A)>0   bo’lganda  	A−	A≠	0,A/A≠	1 .   Lekin	
0∈	A−	A	,1∈	A	/A
.
Ma’lumki,   oraliqli   arifmetik   amallarning   ta’rifiga   ko’ra  	
(A−	B)+B≠	A ,	
(A/B	)∗	B≠	A
,   bu   yerda  	A=	[a1,a2],	B=	[b1,b2] .   Shuning   uchun,   oraliqlarni
ayirish   va  bo’lishdan  foydalanib,  sodda   A+X=B,    A*X=B     oraliqli  tenglamalarni,
demak shu kabi noravshan tenglamalarni yechib bo’lmaydi [89].
Berilgan   tenglamalarni   (ular   asosida   yanada   murakkabroqlarini)   yechish
zarurati   noravshan   va   oraliqli   sonlar   uchun   qo’shimcha   ayirish   va   bo’lish
amallarini   kiritish   zaruratini   uyg’otdi   [11,12].   q -ayirish   (--)   va   q -bo’lish     (//)
amallariga [11,12] da shunday ta’rif berilganki,   X=B- -A    (yoki   X=B//A ) tenglikni
bajarishda     A+X=B   (yoki   A*X=B )   tenglik   o’rinli   bo’ladi.   Bunda   q -ayirish   amali
kamayuvchi   oraliqning   uzunligi   ayriluvchi   oraliqdan   kichik   bo’lmagandagina
o’rinli   bo’ladi.   B//A   q -bo’lish   amali   ham   oraliqdagi   barcha   sonlarga   nisbatan
aniqlanmagan   (masalan,   agar   B>0,     A>0,   u   holda   B//A  	
b2/b1≥	a2/a1   shart
bajarilgandagina aniqlangan).
  q -ayirish   va   q -bo’lishning   mos   analitik   ifodalari   quyidagi   ko’rinishga   ega
[109,113]:	
X	=	B−	−	A⇒	μX(x)=	inf
z	
sup	{a∈[0,1	]:min	{μA(z−	x),a}≤	μB(z)}
;
         	
X	=	B	//	A	⇒	μX(x)=	inf
t	
sup	{a∈[0,1	]:min	{μA(t/x),a}≤	μB(t)} .
Berilgan ifodalarni soddalashtirib quyidagilarga ega bo’lamiz:	
X	=	B−	−	A⇒	μX(x)=	inf
z	
¿{1,agar	μA(z−	x)≤	μB(z),¿¿¿	
X	=	B//	A⇒	μX(x)=	inf
t	
¿{1,agar	μA(t/x)≤	μB(t),¿¿¿
[113]   da   noravshan   tenglamalarni   yechish   uchun   oraliq   sonlarni   ayirishning
qo ’ shimcha  	
⊕   amali   ko ’ rilgan ,  unga   ko ’ ra  	
(A	+	B	)⊕(−	B	)=	A
. A=	[a1,a2] va 	B=[b1,b2]  oraliqlar uchun u quyidagi ifoda orqali kiritiladi:	
A⊕B=	¿{[a1+b2,a2+b1],agar	a2+b1≥	a1+b2,¿¿¿¿
va  q -ayirish amali uchun mo’ljallangan shartda aniqlangan [12]. Bundan tashqari 	
A	⊕(−	B	)≡	A−	−	B
 ni isbotlash qiyin emas,  demak
                                     	
(A+	B	)⊕(−	B	)≡	(A+	B	)−	−	B .
Ko’rilayotgan   masalani   tahlil   qilishning   berilgan   bosqichida   noravshan
sonlarga   nisbatan   umumiy   tamoyil   asosida   aniqlanadigan   ayirish   va   bo’lish
amallari   ortiqcha   bo’lib,   ularning   o’rniga   q- ayirish   va   q -bo’lish   amallaridan
foydalanish   zarur.   Masalani   sinchkovlik   bilan   o’rganish   natijasida   uning   oraliq
arifmetikada yechib bo’linganligiga guvoh bo’ldik [130]. Lekin bu yerda ixtiyoriy
oraliq sonlar juftligi uchun aniqlangan  q -ayirish va  q -bo’lish amallari taklif etilgan.
Masalan,	
A
      	B	=	[min	{a1−	b1,a2−	b2},max	(a1−	b1,a2−	b2¿]¿ .
[11,12]     va   [130]     dagi   ta’riflar   o’rtasidagi   boglanish   quyidagidan   iborat.
Agar   [12]   dagi   ta’riflarga   ko’ra   natija   mavjud   bo’lsa,   u   holda   u   [130]
ta’rifdan   olish   mumkin   bo’lgan   natija   bilan   ustma-ust   tushadi.   Agar   [12]   ta’rifga
ko’ra   natija   olib   bo’lmasa,   u   holda   [130]   ta’rif   bo’yicha   yuqorida   qayd   etilgan
tenglamalarning   “qanoatlantiruvchi”   yechimlari   hosil   bo’ladi,   aniqrog’i:   berilgan
holda  X=B            A,    bu  yerda   q -ayirma    [130]    ta’rif  bo’yicha  bajariladi.  U  holda	
X	+A⊃B
. Xuddi shunday, agar 	X=B         	A  bo’lsa, u holda 	X∗A⊃B .
Noravshan   to’plamlar   nazariyasining   katta   bo’limi   -   yumshoq   hisoblashlar
(noravshan   arifmetika)   -   noravshan   sonlar   ustidagi   amallar   majmuini   kiritadi.   Bu
amallar   segment   tamoyil   asosida   tegishlilik   funksiyalari   ustidagi   amallar   orqali
kiritiladi.
   tegishlilik   darajasini   t egishlilik   funksiyasining   ordinatasi   ko’rinishida
aniqlaymiz.   U   holda   tegishlilik   funksiyasining   noravshan   son   bilan   kesishishi
ishonchlilik   oralig’ining   chegaralari   deb   ataluvchi   qiymatlar   juftligini   beradi.
Agar    	
A∈	F	(x)   va  	α∈[0,1	]   bo’lsa,   u   holda   A   to’plamning     sust  	α -darajali   F-
to’plam deb 	
ω	α(A)=	{x∈	X	|μA(x)≥	α}
,
ga aytiladi, kuchli  	
α -darajali to’plam deb esa 
           	
σα(A)=	{x∈	X	|μA(x)>α} .
ga aytiladi.
Darajali to’plamlar quyidagi xossalarga egadirlar:
1.	
ω0(A)=	X .-
-
/ 2.α≥	β	⇒	ω	α(A	)⊆	ω	β(A	) .
3.	
μf(x,y)=	0   если  	y≠	f(x) .
4.	
ωα(A∩	B)=	ωα(A)∩	ωα(B) .
5.	
A	⊆	B	⇔	ω	α(A	)⊆	ω	α(B	) .
6.	
σ0(A)=	σ(A),σ1(A)=	∅ .
7.	
α≥	β⇒	σα(A)⊆σβ(A) .
8.	
σα(A∪	B	)=	σα(A)∪	σβ(A	) .
9.	
σα(A∩	B	)=	σα(A)∩	σβ(A	) .
10.	
A	⊆	B	⇔	σα(A	)⊆	σα(B	) .
   tegishlilik darajasini belgilab olib, ikkita  	
A   va     	B   ravshan son bo’yicha
ishonchlilik   oraliqlari:   [a
1 ,   a
2 ]   va   [b
1 ,   b
2 ]   larni   aniqlaymiz.   U   holda   noravshan
sonlar   ustidagi   asosiy   amallar   ularning   ishonch   oraliqlari   ustidagi   amallarga
keltiriladi.   Oraliqlar   ustidagi   amallar   esa   o’z   navbatida   haqiqiy   sonlar-oraliqlar
chegarasi ustidagi amallar orqali ifodalanadilar:
 “qo’shish” amali : 
 [a
1 , a
2 ]  (+)  [b
1 , b
2 ] = [a
1  + b
1 , a
2  + b
2 ],                               
 “ayirish” amali : 
 [a
1 , a
2 ]  (-)  [b
1 , b
2 ] = [a
1  - b
2 , a
2  - b
1 ],                                
 “ko’paytirish” amali : 
 [a
1 , a
2 ]  (	
 )  [b
1 , b
2 ] = [a
1  	  b
1 , a
2  	  b
2 ],                            
 “bo’lish” amali : 
[a
1 , a
2 ]  (/)  [b
1 , b
2 ] = [a
1  / b
2 , a
2  / b
1 ],                         
“darajaga ko’tarish” amali: 
[a
1 , a
2 ]  (^)  i = [a
1 i
 , a
2 i
].                                  
Trapesiyasimon sonlar ustida ushbu amallarni bajarish mumkinligi hisobiga
bir qator muhim xulosalarga kelish mumkin:
 Haqiqiy son uchburchaksimon noravshan sonning xususiy holidir;
 Uchburchaksimon sonlarning yig’indisi uchburchaksimon sondir;
 Uchburchaksimon(trapesiyasimon)   sonning   haqiqiy   songa
ko’paytmasi uchburchaksimon (trapesiyasimon) son bo’ladi;
 Trapesiyasimon sonlarning yig’indisi trapesiyasimon sondir;
 Uchburchaksimon   va   trapesiyasimon   sonlarning   yig’indisi
trapesiyasimon sondir.
Noravshan   sonlar   ustidagi   nochiziqli   amallarning   xossalarini   tahlil   etish
natijasida   tadqiqotchilar   natijaviy   noravshan   sonlar   tegishlilik   funksiyasining
ko’rinishi   ko’p   hollarda   uchburchaksimonga   yaqin   bo’lishi   to’g’risidagi   xulosaga
keladilar.   Bu   natijani   uchburchaksimon   ko’rinishga   keltirish   orqali approksimasiyalashga   imkon   beradi.   Agar   keltirish   yo’li   yaqqol   ko’rinib   tursa,   u
holda uchburchaksimon sonlar ustidagi amallar tegishlilik funksiyalari uchlarining
absissalari ustidagi amallarga keltiriladi.  
Ya’ni, agar biz uchburchaksimon sonni  (a, b, c)  uchlarning absissalari majmui 
ko’rinishida kiritsak, u holda:
(a
1 , b
1 , c
1 ) + (a
2 , b
2 , c
2 )   (a
1  + a
2 , b
1  + b
2 , c
1  + c
2 )
yozuv o’rinli bo’ladi. Bu - yumshoq hisoblashlarning eng mashhur qoidasidir. 
  Noravshan ketma-ketliklar, noravshan to’g’ri burchakli matrisalar,
noravshan funksiyalar va ular ustida amallar
Noravshan ketma-ketlik -  bu noravshan sonlarning nomerlangan hisob 
to’plamidir [48,52,110].
Noravshan to’g’ri burchakli matrisa - noravshan  sonlarning ikki marotaba 
indekslangan chekli to’plamidir, jumladan birinchi indeks  M  ta satrni, ikkinchisi 
N  ta ustunni ifodalaydi. Bunda, haqiqiy sonlar matrisalari holidagi kabi, 
noravshan to’g’ri burchakli matrisalar ustidagi amallar ushbu matrisalarning 
noravshan komponentlari ustidagi amallarga keltiriladi [68,71,115]. Masalan,	
(
a11	a12	
a21	a22	)⊗(
b11	b12	
b21	b22	)=(
a11⊗b11⊕a12	⊗b21	a11⊗b12⊕a12	⊗b22	
a21⊗b11⊕a22⊗b21	a21⊗b12	⊕a22⊗b22	)
.
Bu yerda noravshan sonlar ustidagi barcha amallar yuqoridagi paragrfda qayd 
etilgan qoidalar asosida bajariladi.
F-to’plamlarning akslantirilishi
Noravshan to’plamlar nazariyasida   X*Y    dagi ixtiyoriy   F -munosabat   X   va   Y
o’rtasidagi   ma’lum   bir   F -akslantirishni   o’rnatadi   degan   fikr   mavjud.   X*Y   da	
μf(x,y)
  tegishlilik   funksiyali   ma’lum   bir   F -munosabat   berilgan   bo’lsin.   Uni   F -
akslantirishning noravshan grafigi sifatida talqin etish mumkin [73,103].
f:   X	
→ Y   F -akslantirish   berilgan   deyiladi,   agar   har   bir   A	∈ F(X)   ga   quyidagi
qoida asosida  f(A) 	
∈ F(Y)   mos qo’yilsa	
μf(A)(y)=	sup
x	
fi[μA(x),μf(x,y)]
,	
i=1,4 ,
(1.2.6)
bu yerda   f
i  funksiya  i -turdagi kesishma amallaridan birini aniqlaydi.
Agar   f   akslantirish     X*Y   dagi     f:X	
→ Y   akslantirishni   aniqlovchi   munosabat
bo’lsa, ya’ni 	
μf(x,y)=	1
 agar 	y=	f(x)
                                                                                                 va μf(x,y)=	0  agar 	y≠	f(x)
bo’lsa, u holda (1.2.6) dan  i=1 ,2,4  uchun 
                      	
μf(A)(y)=	sup	
x∈f−1(y)
μA(x) ,                                (1.2.7)        
  i=3  uchun esa
                        	
μf(A)(y)=	sup	
x∈f−1(y)
√μA(x)                                      (1.2.8)
ekanligi kelib chiqadi.
X=Y=R va f:R	
→  R   quyidagi  F -munosabat orqali aniqlansin:	
μ	f(x,y)=	exp	{−	(x2+	y2)}
.
Agar 	
μA(x)=	exp	{−	(x−	a)2}
,   	a≠	0
bo’lsa,   u   holda   i=1   uchun  	
μA(x)∧	μf(x,y)   funksiyaning   ixtiyoriy   y   dagi   x
bo’yicha maksimumiga 	
x=ϕ(y)  nuqtada erishilib, bu nuqta	
μA(x)=	μf(x,y)
tenglamadan hosil qilinadi, uning yechimi esa	
x=	ϕ(y)=	a2−	y2	
2a
 ga teng.
  	
μA(x)  yoki 	μf(x,y) da 	x=	ϕ(y) deb olib quyidagiga ega bo’lamiz:	
μf(A)(y)=	exp	{−	(
y2+	a2	
2a	)
2
}
.
X=Y=R   bo’lsin   va   y=f(x)=x 2
  akslantirish berilgan bo’lsin. Agar	
μA(x)=	exp	{−(x−	a)2}
bo’lsa, 	
x=	f−1(y)=±	√y  ekanligini hisobga olgan holda	
√	y−	a≤	√	y+	a
,       	a≥	0 ,	
√	y+	a≤	√	y−	a
,      	a<0
munosabatlarga ega bo’lamiz. Demak (1.2.7) ga ko’ra	
μf(A)(y)=¿{exp	{−(√y−|a|)
2
},y≥0,¿¿¿¿	
¿	
¿
 (1.2.6)-(1.2.8)  dan   kelib   chiqqan   holda   L . Zade   X   akslantirish   yoki     nuqtalar
bilan   bir   qatorda   X   noravshan   qism   to ’ plamlarni   hisobga   olgan   holda   F
munosbatning   aniqlanish   sohasini   kengaytirishga   imkon   beruvchi   asosiy   tenglikni
anglatuvchi   umumlashtirish   tamoyilini  [35]  kiritdi .  A A=	μ1/x1+	μ2/x2+...+	μn/xnko’rinishdagi noravshan to’plam bo’lsin. U holda umumlashtirish tamoyiliga ko’ra 	
F	(A)=	F(μ1/x1+...+μn/xn)=	μ1/F(x1)+...+μn/F	(xn)
,
ya’ni   A   to’plamning   F   akslantirishdagi   obrazini   shu   akslantirishdagi  	
x1,...,xn
elementlarning obrazlarini bilgan holda hosil qilish mumkin. 
Umumlashtirish   tamoyilining   ko’pgina   ilovalarida   quyidagi   muammoga
duch   kelinadi.   N   ta   o’zgaruvchili  	
F	:X1×	...×	Xn→	Y   funskiya   va  	μA(x1,...,xn)
tegishlilik   funksiyasi   bilan   xarakterlanuvchi	
X1×...×Xn dagi   A   noravshan   to’plam
berilgan   bo’lsin.   Lekin   ko’pgina   hollarda   A   to’plamning   o’zi   emas,   uning   mos
ravishda  	
X1×...×	Xn   dagi  	A1×	...×	An   proyeksiyalari berilgan bo’ladi. Bu borada
savol tug’iladi: 	
μA(x1,...,xn)   ga nisbatan qanday ifodadan foydalanish kerak?
Bunday   hollarda,   odatda  	
x1,...,xn   ga   qo’shimcha   shartlar   yuklatilmagan
bo’lsa,  A  munosbatning tegishlilik funksiyasi 
                                            	
μA(x1,...,xn)=	μA1(x1)∧	...∧	μAn(xn)               (1.2.9)
ko’rinishda   deb   olinadi,   bu   yerda  	
μAi ,   i=1,...,n   -   А
i     to’plamning   tegishlilik
funksiyasi,   bu   esa   A -o’zining   proyeksiyalari   dekart   ko’paytmasi   ya’ni	
A=	A1×	...×	An
dir degan farazga ekvivalentdir.
F-   X
1   va   X
2   larning   arifmetik   ko’paytmasi,     А  
1   va   А
2   proyeksiyalar   esa
quyidagi usulda aniqlangan bo’lsin:
А  
1 =taxminan 2 = 0,6/1 + 1/2 + 0,8/3,
А
 2 = taxminan 6 = 0,8/5 + 1/6 + 0,7/7.
  (1.2.3)     dan   foydalanib   va   umumlashtirish   tamoyilini   qo’llab,   quyidagiga
ega bo’lamiz:
Shunday qilib, taxminan 2   va   taxminan   6
noravshan   sonlarning arifmetik   ko’paytmasi
topilgan   tegishlilik funksiyali   noravshan
sondir. 
Noravshan funksiya.	
f:R→	R
  funksiya   (ravshan)   berilgan   bo’lsin.   U   holda   uning   grafigini
quyidagicha tanlash mumkin [7]: 	
{(x,y)∈R2|y=	f(x)}
.                                 (1.2.10))
Tegishlilik   qiymatlarini   shu   grafikdan   masofaning   uzoqlashib   borishi   bilan
monoton   kamayuvchi   F   noravshan   to’plamning   yadrosi   sifatida   olamiz.   Ushbu
noravshan   F   to’plam   noravshan   funksiyani   ifodalaydi.   Aniq   f   funksiyalar   uchun
biz  F  ni yadrosi { f(x )} ga, tegishlilik funksiyasi esa   0,8/5   1/6 0,7/7
0,6/1 0,6/5 0,6/6 0,6/7
1/2 0,8/10 1/12 0,7/14
0,8/3 0,8/15 0,8/18 0,7/21 μY(x)(y)=	μF(x,y)                                            (1.2.11)
ga teng bo’lgan   Y(x)  noravshan sonlar oilasi ( x  parametrli) deb olishimiz mumkin.
Quyidagi grafikli oshkormas funksiya holida 	
{(x,y)∈R2|f(x,y)=	0}
                                        (1.2.12)
noravshan   oshkormas   funksiyaga   o’tishda   sohaning   chegarasi   (ravshan)   sifatida
xususiy-ehtimolli interpretasiyadan foydalanishimiz mumkin.
Noravshan funksiyalarning uchta asosiy turi mavjud:
Noravshan   xossali   yoki   noravshan   cheklanishlarni   qanoatlantiruvchi   sodda
funksiyalar;
Argumentlarning   noravshanligini   akslantirib,   o’zlari   qo’shimcha
noravshanlikni   kiritmaydigan   funksiyalar:   bunda   ravshan   elementning   obrazi
funksiyaning ravshan qiymatiga teng bo’ladi;
Ravshan   argumentning   yomon-aniqlangan   funksiyalari:   biror   bir
elementning obrazi funksiya ta’siri ostida yuvilib ketadi.
f –W  dagi sodda funksiya V : 	
x∈	V	→	f(x)∈	W
,
  bu yerda  V  va  W  – ikkita universum.
А  va  В  – mos ravishda  V  va  W  dagi ikkita noravshan to’plam.  F  deb faqat va
faqat   quyidagi   munosabat   o’rinli   bo’lsa   noravshan   A   domenga   va   noravshan   B
sohaga ega bo’lgan funksiyaga aytiladi: 	
∀	x∈V	,μB(f(x))≥	μA(x)
.
Ravshan funksiyaning noravshan kengaytmasini ko’rib chiqamiz.
f   –   W   dagi   V   ravshan   funksiya:   V   dagi   X   noravshan   to’plamning   obrazi
kengaytirish tamoyili yordamida aniqlanadi:	
μf(x)(y)=	sup
x∈f−1(y)
μX(x)
,
                        (1.2.13)	
μf(x)(y)=	0
, agar 	f−1(y)=	0 ,
bu yerda 	
f−1(y)  -  y  antsedentlar to’plami. X   va   Y   universumlar   va   P(Y)   Y   dagi   barcha   noravshan   to’plamlar   majmui
bo’lsin.  ~f:X	→	P	(Y	)   -   noravshan   funksiya   deyiladi,   faqat   va   faqat	
μ~f(x)(y)=	μR(x,y),∀	(x,y)∈X×Y
 bo’lsa.
Noravshan funksiyaning ekstremumi.	
~f(x)
 chekli ordinar (noravshan bo’lmagan)  D  sohada aniqlansin. 	
~f(x)
 noravshan maksimum quyidagicha aniqlanadi:	
~M	=	max
x∈D
~f(x)={(sup {	~f¿(x),μ~M(x))|x∈D}
 .                           (1.2.14)
Noravshan funskiyalarni integrallash 
Noravshan funksiyani integrallash.	
~f(x)
  -  	[a,b]⊂R,∀	x∈[a,b]   dagi   noravshan   funksiya,  	~f(x)   noravshan   son,	
fα−(x)
  va  	fα+(x)   -  	α   -   darajali   kesimlar.   [a,b]   dagi  	
~f(x)   integral   quyidagi
noravshan to’plam sifatida aniqlanadi:	
~I(a,b)=	{(∫
a
b	
fα
−(x)dx	+∫
a
b	
fα
+(x)dx	),α}
.                           (1.2.15)
Bu yerda  	
y=	{g:[a,b]→	R/g} .
Noravshan   funskiya   barcha  	
x∈[a,b]   larda   LR-noravshan   son   ko’rinishida
tasvirlansin [3]. 	
~f(x)=(f(x),s(x),t(x))LR
.                                      (1.2.16)
f, s, t  [a,b]  dagi integrallanuvchi funksiyalar deb faraz qilinadi. U holda  	
~I(a,b)=(∫
a
b	
f(x)dx	,∫
a
b	
s(x)dx	,∫
a
b
t(x)dx	)LR
.
Misol.  	
f(x)=	x2,s(x)=	x/4   va  	t(x)=	x/2   li  	
~f(x)=(f(x),s(x),t(x))LR
noravshan funksiya berilgan bo’lsin.	
L(x)=	1	
1+	x2
,     	R(x)=	1	
1+2|x| . ∫
1
4~f ni topish talab etiladi. Quyidagi integrallarni hisoblaymiz :	
∫
1
4	
x2dx	=	21	;	∫
1
4	x
4	dx	=	1/875	;	∫
1
4	x
2	dx	=	3.75
.
U holda 	
~I(a,b)  noravshan integralning qiymati quyidagiga teng bo’ladi 	
~I(a,b)=(21	,1.875	,3.75	)LR
.
Uchlari  	
μa(x),μb(x)   bo’lgan   noravshan   oraliqda   ravshan   funksiyaning
integrallashuvini  ko’rib chiqamiz.  	
μa(x)   va  	μb(x)  	~D   noravshan sohaning quyi  va
yuqori   chegaralarining   darajalari   sifatida   talqin   etilishi   mumkin.   F  	
J=[a0,b0]
oraliqdagi  sodda  integrallanuvchi   funksiya  bo’lsin.  Kengaytirish  tamoyiliga  ko’ra	
∫~D	
f
 integralning tegishlilik funksiyasi quyidagi tarzda aniqlanadi 	
μ∫~D
f(Z)=	sup
x,y∈J
min	(μa(x),μb(y))
,                                (1.2.17)	
Z=∫
x
y	
f
.
Misol.
a={(4,0.8), (5,1), (6,0.4)},
b={(6,0.7), (7,1), (8,0.2)},	
f(x)=	2,x∈[4,8	]
 .
U holda	
∫~D	
f(x)dx	=∫
4
8	
2dx	=	2x|4
8
.
Hisoblash natijalari quyida keltirilgan: 
(a,b)	
∫
a
b
2dx	
min	(μx(a),μx(b)
(4,6) 4 0.7 (4,7) 6 0.8
(4,8) 8 0.2
(5,6) 2 0.7
(5,7) 4 1.0
(5,8) 6 0.2
(6,6) 0 0.4
(6,7) 2 0.4
(6,8) 4 0.2
Integralning  har   bir   qiymatiga nisbatan  tegishlilik  funksiyasining  maksimal
qiymatini tanlab, quyidagiga ega bo’lamiz ∫~D	
f{(0,0	.4),(2,0	.7),(4,1	),(6,0	.8),(8,0	.2)}
.
Noravshan funskiyalarni differensiallash 
Noravshan differensiallash.
“Funksiyaning  	
~X0   noravshan   nuqtadagi   hosilasi”   noravshan   to’plamning
tegishlilik funksiyasi kengaytirish tamoyiliga ko’ra quyidagicha aniqlanadi:	
μ(y)	
f(~X0)
=	sup
x∈f−1(y)
μ~X0(x)
.                                  (1.2.18)
Misol.       	
f(x)=	3
5	
x5 ,
~X0=	{(−	1,0	.3),(0,1	),(1,5	)}
.	
f'(x)=	3x4
.   f(x)   haqiqiy   funskiyaning  	~X0   nuqtadagi   qidiriluvchi   hosilasi
quyidagiga teng bo’ladi 	
f'(x0)=	{(0,1	),(3,0	.6)}
.
Noravshan hosilaning quyidagi xossalarini qayd etamiz [5].
Agar  	
f'   va  	g'   uzluksiz   va   ikkalasi   kamayuvchi   yoki   o’suvchi   bo’lsa,   u
holda 	
f'(~x0)⊕	g'(~x0)=	(f'+g')(~x0)
, (f⋅g)'(~x0)=(f'g+	fg')(~x0)⊆[f'(~x0)⊗g(~x0)]⊕[f(~x0)⋅g'(~x0)].
Agar   f,   g,  	
f'   va  	g'   uzluksiz,   f   va   g   musbat   va   f’   hamda   g’   lar
kamaymaydigan bo’lsa ( f,g -manfiy,  f’,g’ -o’smaydigan), u holda 	
(f⋅g)'(~x0)=[f'(~x0)⊗g(~x0)]⊕[f(~x0)⋅g'(~x0)]
.	
R0
  dagi   F   noravshan   funksiyaning   x   nuqtadagi   hosilasi   quyidagicha
aniqlanadi: 	
μ	F	(	x	0	)(	y	)	=	sup	¿	¿
.
Bu   yerda  	
fα+,fα−   lar   barcha  	α∈[0,1	]   larda   mavjud,   chegaralangan   va
differensialanuvchi deb olinadi. 
Noravshan tenglamalar
Umumiy   holda,   noravshan   tenglamalar   deb   koeffitsiyentlari   va/yoki
o’zgaruvchilari noravshan son bo’lgan tenglamalarga aytiladi.
Amaliyotda   ko’pincha   sodda   matematik   termli   va   noravshan   matemtik
munosabatli   tenglamalar   va   noravshan   sonli   va   sodda   matematik   munosabatli
tenglamalar ko’p uchraydi. 
Agar  	
f1   va  	f2   matematik termlar (	x∈R1   elementlar va bog’lovchi amallar:	
+,×,−,:
 konsturksiyasi),  Q  noravshan munosabat bo’lsa, u holda 	
f1Qf	2
noravshan munosabatli noravshan tenglama deb ataladi.
Q  ga misol bo’lib Q 	
Δ  «taxminan teng» xizmat qilishi mumkin.
Agar	
f1   va  	f2     noravshan   termlar   (	μAi∈F(R1),i∈N   elementlarning	
⊕,≈,⊗,m {	~ax,m {	~i¿n¿
  amallar   bilan   bog’langan   konstruksiyalari),   R   esa   sodda
matematik   munosabatlar   bo’lsa,  	
α -kesimlardan   foydalangan   holda   quyidagi
tenglamani aniqlash mumkin: 	
(¿
α
αf	1α)R	(¿
α
αf	2α)=	(¿
α	
α[δf1
,γf1])R	(¿
α
α[δf2,γf2])
.               (1.2.19)
Bu yerda 	
δf1Δδf1(α) ; 	δf2Δδf2(α) ; 	γf1Δγf1(α) ; 	γf2Δγf2(α) .	
δf(α)=	μ+
−1(α)
,  	γf(α)=	μ−
−1(α) ,  	μ+−1(α) ,  	μ−−1(α)   -   mos   ravishda  	μf(x)   ning
o’suvchi va kamayuvchi qismlariga nisbatan teskari funksiyalardir.
Agar 	
μA>0,μX>0,μC>0,f1ΔμC,	f2Δ	μA⊗	μX  bo’lsa, u holda μC=	μA⊗	μX⇔	∪
α	
α[δC,γC]=	¿
α
α	[δAδX	,γAγX].
Demak  	
f1(x)Rf	2(x)   turdagi   tenglamani   yechish   uchun   uni   (1.2.19)
ko’rinishga   keltirish   va  
δx   hamda  	γx   ga   nisbatan   alohida-alohida   yechib   olish
kerak. 
Noravshan funksiyani uning qiymatlar sonini xarakterlovchi sonlarning 
turiga qarab nomlash o’rinlidir. Agar qiymatlar maydoni - uchburchaksimon 
sonlarning maydoni bo’lsa, u holda funksiyaning o’zini ham  uchburchaksimon 
deb atash o’rinlidir. 
Masalan [64] ,  kompaniyalarning sotuv bashorati (o’sib boruvchi natija bilan)
haqiqiy   o’zgaruvchining   uchta   funksiyasi   orqali   berilgan:   f
1 (T)   –   optimistik
bashorat,   f
2 (T)   –   pessimistik   bashorat,   f
3 (T)   –   sotuvlarning   o’rtacha   kutilayotgan
qiymatlari,   bu   yerda   Т   –bashorat   vaqti.   U   holda   “ T   davrdagi   sotuv   bashorati”
lingvistik   o’zgaruvchisi   (   f
1 (T),   f
2 (T),   f
3 (T)   )   uchburchaksimon   sondir,   butun
bashorat maydoni esa egri chiziqli soha ko’rinishidagi uchburchaksimon noravshan
funksiyadir (21-rasm).
21- rasm .  Uchburchaksimon   noravshan   funksiya
Uchburchaksimon   noravshan   funksiyalar   ustidagi   bir   qator   amallarni   ko ’ rib
chiqamiz  ( tasdiqlar   isbotsiz   keltiriladi ) [22,25,33,102,111,138]:
 Uchburchaksimon   noravshan   funksiya   quyidagi   haqiqiy   differensiallash
(integrallash) qoidalari bo’yicha  differensiallanadi (integrallanadi): d
dT( f
1 (T), f
2 (T), f
3 (T) ) = (	
d
dT f
1 (T), 	
d
dT f
2 (T), 	
d
dT f
3 (T) ),	
∫
( f
1 (T), f
2 (T), f
3 (T) ) dT  =  (	∫ f
1 (T)dT, 	∫ f
2 (T) dT, 	∫ f
3 (T) dT ),
 Noravshan o’zgaruvchiga bog’liq funksiya noravshan bo’ladi. 
F -to’plamlarni akslantirish tushunchasi  amaliy ilovalarda ham, noravshan
kattaliklar ustida algebraik amallarni kiritishda ham katta ahamiyat kasb etadi Foydalanilgan adabiyotlar
1. Muhamediyeva   D.T.   Noravshan     axborot   holatida   sust   shakllangan
jarayonlarni modellashtirish.   Toshkent: O’zR FA   matematika va axborot
texnologiyalar instituti, 2010. 37 ta jadval, 87 ta rasm, 155 ta bibl.atama, 400
bet. 
2. Артикова   С.,   Мухамедиева   Д.Т.     Информатизация   регулирования
развития экономики Республики // Известия ВУЗов. –Т., 2000. №3.
3. Артикова С., Мухамедиева Д.Т. Реализация моделей принятия решений
с учетом информационных ситуаций //Узбекский журнал энергетики и
информатики.-Т. ,2000. №3.
4. Ахмедов   Т.М.   Мухамедиева   Д.Т.   Шодмонова   У.А.   Рациональное
управление   распределением   и   использованием   ресурсов   в   условиях
рыночной   экономики.   Доклады   международной   конференции
«Устойчивое   экономическое   развитие   и   эффективное   управление
ресурсами   в   Центральной   Азии».   ТГЭУ   и   Ноттенгемский   Трент
Университет (Великобритания). Ташкент-Ноттенгем. 2001. –С.14-17.

MAVZU: Noravshan arifmetika REJA: 1. Noravshan sonlar. 2. Musbat va manfiy noravshan sonlar. 3. Umumlashtirish tamoyili. 4. Zade umumlashgan tamoyili

Oraliq (interval) tahlil tushunchasining noravshan to’plamlar nazariyasida tutgan ahamiyati bois, uning asosiy tushuncha hamda usullarini keltirib o’tamiz [99,118]. Oraliq sonlar . R barcha haqiqiy sonlar to’plami bo’lsin. [a,b ] oraliq deganda (a≤ b ), boshqa izohlar keltirilmagan bo’lsa, quyidagi ko’rinishdagi R ning berk chegaralangan qism to’plami tushuniladi [13,38,143]: [a,b]= {x|x∈ R∧ a≤ x≤ b} . Barcha oraliqlar to’plamini I(R) bilan belgilaymiz. I(R) ning elementlarini kichik harflar bilan belgilaymiz. Agar A - I(R) ning elementi bo’lsa ( A ∈ I(R ) ), u holda uning chap va o’ng uchlarini a,¯a:A= [a,¯a] ko’rinishda belgilaymiz. I(R) ning elementlarini oraliq sonlar deb ataymiz [43,130,132] . ∈,∩⊂ va h . k belgilari odatiy nazariy - to ’ plamli ma ’ noda tushuniladi , jumladan ⊂ qat ’ iy qamrovni anglatishi shart emas , ya ’ ni A ⊂ B munosabatda oraliqlar teng bo ’ lishi mumkin . A va B oraliqlar faqat va faqat a= b ,¯a= ¯b bo’lganda teng hisoblanadi. I(R) oraliqda tartib munosabati quyidagicha aniqlanadi: ¯a< b bo’lgandagina А < В bo’ladi. Kiritish bo’yicha ham tartiblash mumkin: A oraliq B oraliqdan A ⊂ B bo’lganda katta bo’lmaydi. Asosan biz birinchi ta’rifdan foydalanamiz. А va В oraliqlarning A∩ B kesishmasi A<B yoki B<A bo’lganda bo’sh bo’ladi, aks holda A∩ B= [max {a,b},min {¯a,¯b}] –yana oraliq hosil bo’ladi. Ta’rifga ko’ra [a,¯a] oraliq − a= ¯a munosabat bajarilganda simmetrik bo’ladi. A oraliqning ω(A) kengligi deb ω (A)= ¯a− a kattalikka aytiladi. m (A) - o’rta A oraliq uchlari yig’indisining yarmidir : m (A )= (a+¯a)/2 . Absolyut kattalik |A| quyidagi ko’rinishda aniqlanadi: |A|= max {|a|,|¯a|} . Va nihoyat, μ(A)= max {|a|,|¯a|} , S(A )= (|a|+|¯a|)/2 . |A|≤|B| da ω(A)≤ ω(B) , A⊂B va A≠ B da ω(A)<ω (B) . A ,B ∈I(R) elementlar o’rtasidagi ρ(A ,B ) masofa ρ ( A ,B )= max ¿ ¿ tenglik orqali kiritiladi. Birlik oraliq , ya’ni uchlari ustma-ust tushgan a= ¯a= a oraliq a songa tengdir. Demak R∈I(R) . Standart oraliqli arifmetika . Oraliqli sonlar ustidagi amallar quyidagicha aniqlanadi[122,142]. ¿∈{+,−,⋅,/} bo’lsin, A,B∈I(R) . U holda

A∗ B= {a∗ b|a∈ A ,b∈ B} , (1.2.1) jumladan bo’lishda 0∉ B . (1.2.1) ta’rif quyidagi munosabatlarga ekvivalent A+B= [a,¯a]+[b,¯b]= [a+b,¯a+¯b] , (1.2.2) A− B= [a,¯a]− [b− ¯b]= [a− ¯b,¯a− b] , (1.2.3) A⋅B= [a,¯a]⋅[b,¯b]=[min {ab ,¯ab,a¯b,¯a¯b},max {ab ,¯ab,a¯b,¯a¯b}] , (1.2.4) A/b= [a,¯a]/[b,¯b]= [a,¯a]⋅[1/¯b,1/b] . (1.2.5) Ayirish amalini qo’shish hamda ko’paytirish orqali ifodalsh mumkin, bunda − B=(−1)⋅B=[−1,−1]⋅B va A− B= A+(− B ) . a,¯a,b,¯b sonlarning ishorasiga qarab oraliq ko’paytirishga oid (1.2.4) qoida quyidagi ko’rinishlarga kiradi ( [c,¯c]=[a,¯a]⋅[b,¯b] deb olgan holda): 1. a≥ 0,b≥ 0 : c= ab ,¯c= ¯a¯b ; 2. a≥ 0,¯b≥ 0 : c= ¯ab ,¯c= a¯b ; 3. ¯a≤ 0,¯b≥ 0 : c= a¯b,¯c= ab ; 4. ¯a≤ 0,¯b≤ 0 : c= ¯a¯b ,¯c= ab ; 5. a< 0< ¯a ,b≥ 0 : c= a¯b ,¯c= ¯a¯b ; 6. a< 0<¯a ,¯b≤ 0 : c= ¯ab,¯c= ab ; 7. a≥ 0 ,b<0< ¯b : c= ¯ab,¯c= ¯a¯b ; 8. ¯a≤ 0 ,b<0< ¯b : c= a¯b,¯c= ab ; 9. a< 0< ¯a ,b< 0< ¯b : c= min {a¯b,¯ab},¯c= max {ab ,¯a¯b} . Bu yerdan ko ’ rinib turibdiki , faqatgina bitta holda ( oxirgisida ) ko ’ paytmani topish uchun to ’ rt marta ko ’ paytirishga to ’ g ’ ri keladi , qolgan hollarda esa ikki marta ko ’ paytirish yetarli . Agar A va B - birlik oraliq bo’lsa, u holda (1.2.2)–(1.2.5) tengliklar haqiqiy sonlar ustidagi oddiy arifmaetik amallar bilan bir xil bo’ladi. Shunday qilib oraliq son haqiqiy sonning, oraliq arifmetika esa - haqiqiyning umumiyroq ko’rinishidir. (1.2.1) ta’rifdan ko’rinib turibdiki, oraliq yig’indi va ko’paytma assosiativ va kommutativ, boshqa so’z bilan aytganda A,B,C ∈I(R) larga nisbatan quyidagi tengliklar o’rinli: A+(B+C)=(A+B)+C, A+B=B+A, A⋅(B⋅C )= (A⋅B )⋅C , A⋅B = B⋅A

Nol va bir vazifasini oddiy 0 va 1 sonlari o’taydilar, chunki yuqorida qayd etilganidek ular [0,0] va [1,1] oraliqlarga tengdirlar. Boshqa so’z bilan aytganda ixtiyoriy A∈ I(R) uchun A +0= 0+ A= A , A⋅1= 1⋅A= A . Kelgusida ko’paytirishni anglatuvchi nuqtani yozmaymiz. (1.2.1) tenglik ((1.2.2)-(1.2.5) kabi) operandlardan biri birlik oraliq bo’lsa, u holda arifmetik amalning natijasi ham birlik oraliq bo’lishini bildiradi. 0=[0,0] ga ko’paytirish bundan mustasnodir. Bu yerdan kelib chiqadiki, A birlik oraliqda qo’shish va ko’paytirishga nisbatan teskari elementlar mavjud emas, chunki, agar А + В = 0, АС = 1 , u holda А , В , С yuqorida aytilganlarga muvofiq birlik bo’lishlari shart. Qisqa qilib aytganda, ayirish qo’shishga, bo’lish ko’paytirishga nisbatan teskari emas. Demak ω (A)>0 bo’lganda A− A≠ 0,A/A≠ 1 . Lekin 0∈ A− A ,1∈ A /A . Ma’lumki, oraliqli arifmetik amallarning ta’rifiga ko’ra (A− B)+B≠ A , (A/B )∗ B≠ A , bu yerda A= [a1,a2], B= [b1,b2] . Shuning uchun, oraliqlarni ayirish va bo’lishdan foydalanib, sodda A+X=B, A*X=B oraliqli tenglamalarni, demak shu kabi noravshan tenglamalarni yechib bo’lmaydi [89]. Berilgan tenglamalarni (ular asosida yanada murakkabroqlarini) yechish zarurati noravshan va oraliqli sonlar uchun qo’shimcha ayirish va bo’lish amallarini kiritish zaruratini uyg’otdi [11,12]. q -ayirish (--) va q -bo’lish (//) amallariga [11,12] da shunday ta’rif berilganki, X=B- -A (yoki X=B//A ) tenglikni bajarishda A+X=B (yoki A*X=B ) tenglik o’rinli bo’ladi. Bunda q -ayirish amali kamayuvchi oraliqning uzunligi ayriluvchi oraliqdan kichik bo’lmagandagina o’rinli bo’ladi. B//A q -bo’lish amali ham oraliqdagi barcha sonlarga nisbatan aniqlanmagan (masalan, agar B>0, A>0, u holda B//A b2/b1≥ a2/a1 shart bajarilgandagina aniqlangan). q -ayirish va q -bo’lishning mos analitik ifodalari quyidagi ko’rinishga ega [109,113]: X = B− − A⇒ μX(x)= inf z sup {a∈[0,1 ]:min {μA(z− x),a}≤ μB(z)} ; X = B // A ⇒ μX(x)= inf t sup {a∈[0,1 ]:min {μA(t/x),a}≤ μB(t)} . Berilgan ifodalarni soddalashtirib quyidagilarga ega bo’lamiz: X = B− − A⇒ μX(x)= inf z ¿{1,agar μA(z− x)≤ μB(z),¿¿¿ X = B// A⇒ μX(x)= inf t ¿{1,agar μA(t/x)≤ μB(t),¿¿¿ [113] da noravshan tenglamalarni yechish uchun oraliq sonlarni ayirishning qo ’ shimcha ⊕ amali ko ’ rilgan , unga ko ’ ra (A + B )⊕(− B )= A .

A= [a1,a2] va B=[b1,b2] oraliqlar uchun u quyidagi ifoda orqali kiritiladi: A⊕B= ¿{[a1+b2,a2+b1],agar a2+b1≥ a1+b2,¿¿¿¿ va q -ayirish amali uchun mo’ljallangan shartda aniqlangan [12]. Bundan tashqari A ⊕(− B )≡ A− − B ni isbotlash qiyin emas, demak (A+ B )⊕(− B )≡ (A+ B )− − B . Ko’rilayotgan masalani tahlil qilishning berilgan bosqichida noravshan sonlarga nisbatan umumiy tamoyil asosida aniqlanadigan ayirish va bo’lish amallari ortiqcha bo’lib, ularning o’rniga q- ayirish va q -bo’lish amallaridan foydalanish zarur. Masalani sinchkovlik bilan o’rganish natijasida uning oraliq arifmetikada yechib bo’linganligiga guvoh bo’ldik [130]. Lekin bu yerda ixtiyoriy oraliq sonlar juftligi uchun aniqlangan q -ayirish va q -bo’lish amallari taklif etilgan. Masalan, A B = [min {a1− b1,a2− b2},max (a1− b1,a2− b2¿]¿ . [11,12] va [130] dagi ta’riflar o’rtasidagi boglanish quyidagidan iborat. Agar [12] dagi ta’riflarga ko’ra natija mavjud bo’lsa, u holda u [130] ta’rifdan olish mumkin bo’lgan natija bilan ustma-ust tushadi. Agar [12] ta’rifga ko’ra natija olib bo’lmasa, u holda [130] ta’rif bo’yicha yuqorida qayd etilgan tenglamalarning “qanoatlantiruvchi” yechimlari hosil bo’ladi, aniqrog’i: berilgan holda X=B A, bu yerda q -ayirma [130] ta’rif bo’yicha bajariladi. U holda X +A⊃B . Xuddi shunday, agar X=B A bo’lsa, u holda X∗A⊃B . Noravshan to’plamlar nazariyasining katta bo’limi - yumshoq hisoblashlar (noravshan arifmetika) - noravshan sonlar ustidagi amallar majmuini kiritadi. Bu amallar segment tamoyil asosida tegishlilik funksiyalari ustidagi amallar orqali kiritiladi.  tegishlilik darajasini t egishlilik funksiyasining ordinatasi ko’rinishida aniqlaymiz. U holda tegishlilik funksiyasining noravshan son bilan kesishishi ishonchlilik oralig’ining chegaralari deb ataluvchi qiymatlar juftligini beradi. Agar A∈ F (x) va α∈[0,1 ] bo’lsa, u holda A to’plamning sust α -darajali F- to’plam deb ω α(A)= {x∈ X |μA(x)≥ α} , ga aytiladi, kuchli α -darajali to’plam deb esa σα(A)= {x∈ X |μA(x)>α} . ga aytiladi. Darajali to’plamlar quyidagi xossalarga egadirlar: 1. ω0(A)= X .- - /