ODIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR UCHUN CHEGARAVIY MASALALARNI TAQRIBIY YECHISH REJA: 1.Chekli -ayirmali metod bilan chegaraviy masalani yechish 2.Taqribiy analitik metodlar 3.Kollokatsiya metodi 4.Galerkin metodi. 1 -§. Masalaning qo‘yilishi

Faraz qilaylik, quyidagi n- tartibli oddiy differensial tenglamayn= f(x,y,y',.....yn−1) (1) berilgan bo’lsin.Uning y= y(x) yechimimi [a,b] oraliqda toppish talab qilinsin.Bu oraliqda k ta xi(i=1,2,3 ,...,k) nuqtalar olamiz: a≤ x 1≤ x 2≤ x 3≤...≤ x k≤b Yechim y(x) va uning (n-1)-tartibgacha hosilalarini xt (i 1,2,...,k) nuqtalardagi qiymatlaridan qandaydir qoidaga binoan tuzilgan quyidagicha tenglamalar berilgan bo‘lsin: Y i(y(x1),y'(x1),...,yn−1(x1),...,y(xk),y'(xk),...,yn−1(xk))=0 (2) j=1,2,…,n, va quyidagicha masalani qo'yamiz: | a,b\ oraliqda (1) tenglamaning (2) shartlami qanoatlantiradigan yechimi topilsin. Bu k nuqtali masala deyiladi. Agar k = 1, xt = a bo‘lganda, Koshi masalasi kelib chiqadi. Agar k = 2, x{ = a, x2 = b bo‘lsa, bunday masala chegaraviy masala deyiladi. Va nihoyat qaralyatgan k ta nuqtalardan m tasi (2 <.m<k) turli bo‘lsa, u holda (1), (2) m nuqtali (yoki ko ‘p nuqtali) masala deyiladi. Chegaraviy yoki ko‘p nuqtali (1), (2) masalaning yechimi mavjudligi hamda yechimning yagonaligi isbotlangan, deb faraz qilamiz. Agar differensial tenglama va chegaraviy shartlar chiziqli bo‘Lsa, (1), (2) masala chiziqli chegaraviy (k = 2) yoki ko‘p nuqtali chiziqli (k > 2) masala deyiladi. Differensial tenglama hamda chegaraviy shartlaming kamida bittasi nochiziqli bo‘lsa, (1), (2) masala nochiziqli chegaraviy (k = 2) yoki ko‘p nuqtali nochiziqli (k >2) masala deyiladi. Chiziqli chegaraviy yoki ko‘p nuqtah masalada differensial teng- lama va chegaraviy shartlar biijinsli bo‘lsa, u holda (1), (2) birjinsli chegaraviy yoki ko‘p

nuqtali masala deyiladi. (1) yoki (2) ning birontasi birjinsli bo‘lmasa, (1), (2) masala birjinsli bo‘lmagan masala deyiladi. Bir jinsli masala trivial (y(x)=0) yechimga ega. Lekin uning trivial bo‘lmagan yechimlarini topish ham ko‘p hollarda katta ahamiyatga ega. Buning uchun (l)ga yoki (2)ga biron parametr kiritib, shu parametrga bog‘liq bo‘lgan notrivial yechim topiladi. Parametrning bu qiymatlari masalaning xos sonlaridir. Ularga mos keladigan yechimlar masalaning xos funksiyalari deyiladi. 2-§. Ikkinchi tartibli chiziqli chegaraviy masalani Koshi masalasiga keltirish Faraz qilaylik, [ a,b] oraliqda y"(x) + p(x)y'(x)+ q(x)y(x)= f(x) (1) differensial tenglama berilgan bo‘lib, uningα 0y(a)+α 1y'(a)= A , |α 0|+|α 1|≠0 β 0y(b)+β 1y'(b)=B , |β 0|+|β 1|≠0 (2) chegaraviy shartlami qanoatlantiradigan yechimini topish masalasini ko‘ramiz. Yechimni y(x) = cu(x)+z(x) (3) ko‘rinishda qidiramiz, bu yerda c - konstanta, u(x) esa (1) ga mos keluvchi u"(x) + p(x)u'(x) + q(x)u(x) = 0 (4) bir jinsli tenglamaning noldan farqli yechimi, z(x) z"(x) + p(x)z' (x)+ q(x)z(x)= f(x) (5) 0ixtiyoriy c da (1) ni qanoatlantirishiga ishonch hosil qilish qiyin emas. Ixtiyoriy c uchun (2) ning birinchisi o‘rinli bo‘lishini talab etamiz, u holda cα 0u(a)+α 0z(a)+cα 1u'(a)+α 1z'(a)= A bo‘lib, undan c[α 0u(a)+α 1u'(a)]+α 0z(a)+α 1z'(a)=A (6) hosil bo‘ladi. Bu tenglik ixtiyoriy c larda o‘rinli bo'lishi uchun quyidagi tengliklar bajarilishi kerak:

α 0u(a)+α 1u'(a)=0, α 0z(a)+α 1z'(a)= A (7) Agar ixtiyoriy c≠0 uchun u(a)=α 1c, u'(a)=−cα 0 (8) deb olsak, unda (7) ning birinchisi o‘rinli bo‘ladi, uning ikkinchisining o‘rinli bo‘lishligini ta'minlash uchun α 0≠0 bo‘lganda z'(a)=0 z(a)= A α 0 (9) va α 1≠0 bo‘lganda z(a)=0 z'(a)= A α 1 (10) Shunday qilib, u(x) (4) biijinsli tenglamaning (8) shartlarni qanoatlantiradigan Koshi masalasining yechimi bo‘lib, z(x) esa (9) yoki (10) shartlami qanoatlantiradigan (5) tenglama uchun Koshi masalasining yechimidir. Shu bilan birga y(x) = cu(x)+z(x) funksiya (2) chegaraviy shartni ixtiyoriy c uchun x = a nuqtada qanoatlantiradi. Ikkinchi chegaraviy shartni y(x) = cu(x)+z(x) funksiya qanoat- lantirsin desak, undan c ning qiymati kelib chiqadi, ya’n bosilboiadi. Bu yerda β 0u(b)+β 1u(b)≠0 shart bajariladi, deb faraz qilinadi. Shunday qilib (1), (2) chegaraviy masala (4), (8) va (5), (9) (yoki (10)) Koshi masalasini yechishga keltirildi. Shuni ta'kidlash lozimki, agar β 0u(b)+β 1u'(b)≠0 boisa, (1), (2) chegaraviy masala yagona yechimga ega boiadi, aks holda bu masala yo umuman yechimga ega emas, yoki cheksiz ko‘p yechimga ega bo’ladi. 3-§. Chekli-ayirmali metod bilan ikkinchi tartibli chegaraviy masalani yechish Faraz qilaylik,[ a,b] da quyidagi L(y)≡ y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)= f(x) (1) α 0y(a)+α 1y'(a)= A , |α 0|+|α 1|≠0 , (2)

β 0y(b)+β 1y'(b)=B, |β|0+|β|1≠¿¿ 0 (3) chegaraviy masala berilgan boiib, u yagona yechimga ega bo’lsin.[ a,b] oraliqni h = (b-a)/N qadam bilan teng N bo’lakka bo’lib, {x i} n i=0 to’r hosil qilamiz: a= x 0<x 1<x 2<...<x N=b (4) Endi (1) ni x1,x2,...,xN−1 nuqtalarda, ya’ni {x i} n i=0 to‘rning ichki nuqtalarida, (2) va (3) ni mos ravishda x0, xN nuqtalarda qaraymiz. Bu yerda y'(xi),y''(xi) lami y(x) funksiya qiymatlari orqali approksimatsiya qilamiz. Buning uchun xi nuqta atrofida y(x) to‘rtinchi tartibli hosilaga ega, deb hisoblaymiz va quyidagi yoyilmalami hosil qilamiz: Bulaming chap tomoni mos ravishda o ‘ng hosila, chap hosila va markaziy hosila deb ataladi ko‘rinishga ega bo‘lgan (5) ning to‘ming ichki nuqtalaridagi approksimatsiyasi hosil bo‘ladi. Shuningdek, (2), (3) chegaraviy shartlaming (8), (9) formulalami ishlatib approksimatsiyasini topamiz: Bu tenglamalar sistemasining matritsasi uch diagonalli. Bunday sistemalami yechish uchun odatda haydash usuli qo‘llanadi. (16) ning yechimini quyidagi Shunday qilib, (16) tenglamalar sistemasini haydash usuli bilan yechish algoritmini hosil qildik: Bu algoritm bo‘yicha y, lar chegaraning chap nuqtasidan boshlab ketma-ket topiladi, shuning uchun (18) formulalar chapdan haydash formulalari deyiladi. Xuddi shuningdek, o‘ngdan haydash formu- lalarini chiqarish mumkin Agar a(. koeffitsiyentlar moduli bo‘yicha birdan kichik bo‘lsa, u holda (18) haydovchi formulalar turg ‘un deyiladi