oddiy differensial tenglamasi uchun chegaraviy masala qo'ylishi

Yuklangan vaqt:

29.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

101.46875 KB

Ko'chirib olish

Mavzu: O D D I Y D I F F E R E N S I A L TENGL A M A
L A R
U C H U N C H E G A R A V I
M A S A L A L A R N I T A Q R I B I Y
Y E C H I S H

Mavzu: : O D D I Y D I F F E R E N S I A L TENGL A M A L A R
U C H U N C H E G A R A V I
M A S A L A L A R N I T A Q R I B I Y Y E C H I S H
Reja .
׀ . Kirish
׀׀ . Asosiy qisim
1 Ikkinchi tartibli chiziqli chegaraviy masalani Koshi masalasiga keltirish
2 Chekli ayirmali metod bilan ikkinchi tartibli chegaraviy masalani yechish
3 Taqribiy analitik metodlar , Galerkin metodi
׀׀׀ Foydalanilgan adabiyotlar

Kirish
Tabiiy fanlar va muhandislik hisoblarining ko‘plab
tadqiqotlarida differensal tenglamalarning berilgan chegaraviy
shartlarni qanoatlanti- ruvchi yechimlarini topish talab etiladi.
Boshlang‘ich yoki chegaraviy masalalarni yechish – bu juda keng
ma’noda bo‘lib, ular aniq analitik usullar va taqribiy sonli usullardir.
Analitik usullar bilan biz differensial tenglamalar fanidan tanishmiz.
Bu usullar faqat tor doiradagi tenglamalar sinfinigina yechish
imkonini beradi. Xususan, bu usullar o‘zgarmas koeffitsiyentli
ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni yechishda keng
qo‘llaniladi. Bunday tenglamalar ko‘plab fizik jarayonlarni tadqiq
qilishda uchraydi, masalan tebranishlar nazariyasida, qattiq jismlar
dinamikasida va shunga o‘xshash. Taqribiy usullar kompyuterlar
paydo bo‘lmasidan ancha avval ishlab chiqilgan. Hozirgi kunda ham
ularning ko‘pchiligi amaliyotda o‘z mazmunini yo‘qotgani yo‘q.
Taqribiy usullar umumiy holda ikki guruhga bo‘lnadi: taqribiy-
analitik usullar (boshlang‘ich yoki chegaraviy masalaning berilgan
kesmadagi taqribiy yechimini biror funksiya ko‘rinishida izlash);
sonli yoki to‘r usullar (boshlang‘ich yoki chegaraviy masalaning
berilgan kesmadagi taqribiy yechimini qurish). Zamonaviy
hisoblash texnikasi va yig‘ilgan hisoblash tajribalari differensial
tenglamalarning katta va murakkab masalalarini taqribiy yechish
imkonini bermoqda. Sonli hisoblashlarda eng muhim jihat bu
yetarlicha aniqlikda izlanayotgan taqribiy yechimga erishishdir. Bu
aniqlikning muhim jihatlari esa EHMdan foydalanish aniqligi,
kiritilayotgan ma’lumotlarda yo‘l qo‘yilishi mumkin bo‘lgan
xatoliklar va yaxlitlash natijasida paydo bo‘ladigan xatoliklardan
qutilishdir. Hozirgi kunda ko‘plab zamonaviy matematik paketlar
mavjudki, ular oddiy differensial tenglamalarni yetarlicha aniqlikda

ham analitik va ham sonli yechib berish imkoniyatga ega [1, 10, 11,
14]. Buning uchun esa oddiy differensial tenglamalarni taqribiy
yechishning hisoblash usullari va ularning xususiyatlari bilan
yaqindan tanishishni talab qiladi. Bu bilan birga shunday masalalar
ham uchraydiki, ularni mavjud usullar bilan emas, balki ularning
modifikatsiyasi, yangi uslubi va algoritmi bilan yechish lozim
bo‘ladi. Umuman olganda, oddiy differensial tenglama bilan
berilgan chegara- viy- masala: yagona yechimga ega; yechimga ega
emas; bir nechta yoki cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lishi mumkin.
1 § Ikkinchi tartibli chiziqli chegaraviy
masalani Koshi masalasiga keltirish
Faraz qilaylik, [ a, b] oraliqday

y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)= f(x) (1)
differensial tenglama berilgan bo‘lib, uning
a0y(a)+a1
y(a)= A |a0|+|a1|≠ 0, (2)
β0y(b)+β1y(b)= B
|β0|+|β1|≠ 0
chegaraviy shartlami qanoatlantiradigan yechimini topish masalasini
ko‘ramiz.
Yechimni

y(x)=cu (x)+z(x) (3)
ko‘rinishda qidiramiz, bu yerda c - konstanta,
u(x) esa (1) ga mos
keluvchi

u''(x)+p(x)u'(x)+q(x)u(x)=0 (4)
bir jinsli tenglamaning noldan farqli yechimi, z(x)
z''(x)+p(x)z'(x)+q(x)z(x)= f(x)
( 5)
tenglamaning qandaydir yechimi. (3) bilan aniqlangan

y(x)=cu (x)+z(x)
yechim ixtiyoriy c da (1) ni qanoatlantirishiga
ishonch hosil qilish qiyin emas. Ixtiyoriy [ c ] uchun (2) ning birinchisi
o‘rinli bo‘lishini talab etamiz, u holda
ca 0u(a)+a0z(a)+ca 1u(a)+a1z(a)= A
bo‘lib, undan

c[a0u(a)+a1u(a)]+a0z(a)+a1z(a)= A (6)
hosil bo‘ladi. Bu tenglik ixtiyoriy c larda o‘rinli bo'lishi uchun quyidagi
tengliklar bajarilishi kerak:

a0u(a)+a1u(a)=o ( 7)

a0u(a)+a1u(a)= A
Agar ixtiyoriy
c≠0 uchun

u(a)=a1c, , u(a)=−a0c (8)
deb olsak, unda (7) ning birinchisi o‘rinli bo‘ladi, uning ikkinchisining
o‘rinli bo‘lishligini ta'minlash uchun a
0 ≠ 0
bo‘lgan

z(a)= A
a0 z(a)=a1c, (9)

va a1≠0 bo‘lganda

z(a)=0 ,
z(a)= A
a1 (1 0 )
deb olish mumkin. Shunday qilib,
u(x) (4) biijinsli tenglamaning
(8) shartlarni qanoatlantiradigan Koshi masalasining yechimi bo‘lib,
z(x)
esa (9) yoki (10) shartlami qanoatlantiradigan (5) tenglama uchun Koshi
masalasining yechimidir. Shu bilan birga
y(x)=cu (x)+z(x) funksiya (2)
chegaraviy shartni ixtiyoriy c uchun
x=a nuqtada qanoatlantiradi.
Ikkinchi chegaraviy shartni
y(x)=cu (x)+z(x) funksiya qanoat-
lantirsin desak, undan c ning qiymati kelib chiqadi, ya’ni

[β0u(b)+β1u(b)]c+β0z(b)+β1z(b)= B
bundan

bosilboiadi. Buyerda
β0u(b)+β1u(b)≠0 shart bajariladi, deb faraz
qilinadi.
Shunday qilib (1), (2) chegaraviy masala (4), (8) va (5), (9) (yoki (10))
Koshi masalasini yechishga keltirildi.
Shuni ta'kidlash lozimki, agar
β0u(b)+β1u(b)≠0 bo`lsa ,, (1), (2)
chegaraviy masala yagona yechimga ega boiadi, aks holda bu masala yo
umuman yechimga ega emas, yoki cheksiz ko‘p yechimga ega boiadi.
2§ Chekli-ayirmali metod bilan ikkinchi
tartibli chegaraviy masaiani yechish

Faraz qilaylik, [a ,b ] da quyidagi
(1)
a0y(a)+a1y(a)= o |a0|+|a1|≠ 0, (2)

β0y(b)+β1y(b)≠0 |β0|+|β1|≠ 0 ( 3)
chegaraviy masala berilgan boiib, u yagona yechimga ega boisin. [a,b]
oraliqni
h=(h−a)N qadam bilan teng N bo`lakka bo`lib, (x1)i=0
n to`r
hosil qilamiz:

( 4 )
Endi (1) ni
x1,x2,⋯ ,xn−1 nuqtalarda, ya’ni (x1)i=0
n to‘ming ichki
nuqtalarida, (2) va (3) ni mos ravishda
x0,xN nuqtalarda qaraymiz.
(1) da
x= x1i=1,2 ,...,N−1 desak,

i=1,2 ,...,N−1 (5)
hosil boiadi. Bu yerda
y(xi), y(xi) lami y(xi) funksiya qiymatlari
orqali approksimatsiya qilamiz. Buning uchun
xi nuqta atrofida y(x)
to‘rtinchi tartibli hosilaga ega, deb hisoblaymiz va quyidagi yoyilmalami
hosil qilamiz:
y(xi+1)= y(xi+h)= y(xi)+ h
1Ιy(x1)+ ¨h
2Ιy(xΙ)+h'''
3Ιy(xΙ)+ h4
4Ιy(xΙ+οh )
(6)

y(xi+1)= y(xi−h)= y(xi)− h
1Ιy(x1)+ ¨h
2Ιy(xΙ)− h'''
3Ιy(xΙ)+ h4
4Ιy(xΙ−οh ) (7)

0<θ<10<θ<1
Bulardan quyidagilarga ega bulamiz ;

y(xi+1)− y(xi)
h = y(xi)+o(h) ( 8)

y(xi)− y(x−1i)
h = y(xi)+o(h2) (9)

y(xi+1)− 2y(xi)+y(xi−1)
h'' = y(xi)+o(h'') (10 )
Bulaming chap tomoni mos ravishda o ‘ng hosila, chap hosila va markaziy
hosila deb ataladi. Shunga o‘xshash
¨y(xi) uchun
y(xi+1)− 2y(xi)+y(xi−1)
h'' = y(xi)+o(h'')
(11)
formulani hosil qilish mumkin.
Endi (5)dan (10), (11) larga asosan

y(xi+1)− 2y(xi)+y(xi−1)
h'' + p(xi)
y(xi+1)−2y(xi)+y(xi−1)
h'' q(xi)y(xi)= f(xi)+o(h'')
Ni hosil qildik

3 § Taqribiy analidk metodlar
Ba’zi bir tatbiqiy masalalami yechishda to‘r usulini emas, balki yechimni,
taqribiy boTsada, analitik ko‘rinishda topish talab etiladi. Bunday hollarda
yechimning aniqligi darajasi yuqori bo‘lishligi talab qilinmaydi, ammo aniq
yechim o'rniga shunday funksiyani qurish talab etiladiki, u chegaraviy
shartlami qanoatlantirishi kerak hamda differensial tenglamaga bogTiq
boTgan qandaydir munosabatlaming bajarilishini talab etadi. Yuqoridagi
talablarga javob bemvchi fiinksiya taqribiy ravishda differensial tenglamani
ham qanoatlantiradi. Bu munosabatlami hosil qilishda qo‘yiladigan
talablarga qarab turli metodlar hosil boTadi.
3 § Galerkin metodi
Bu metodda ham kichik kvadratlar metodidagi (4), (5) chegaraviy masalani
yechishdagi (φk(x)) funksiyalar sistemasiga bog‘liq shartlar
o‘rinli deb hisoblanadi. (3) ko‘rinishdagi taqribiy yechimning
c1,c2,… .,cn
parametrlari bu metoddaquyidagi shartlardan topiladi:

i=1,2 ,...,N
Buni quyidagicha yozamiz ;

i=1,2 ,...,N

Bu chiziqli algebraik tengiamalar sistemasini yechib noma’lum
parametrlami aniqlaymiz va (4), (5) chegaraviy masalaning taqribiy
yechimini Yn(x)=∑k=1
n
Ckϕk(k)
ko‘rinishda aniqlagan bo‘lamiz.
Bobga tegishli tayanch so ‘zlar: k nuqtali masala, chegaraviy ma- sala,
ayirmali metod, haydash usuh, turg‘unlik, taqribiy analitik metodlar.
Foydalanilgan adabiyotlar :
1. Isroilov M.I. Hisoblash metodlari, I. Toshkent, O‘qituvchi,
2000. 2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной

математики. – М., Наука, 1970. 3. Копченова И.В., Марон И.А.
Вычислительная математика в примерах и задачах. –М., Наука, 1972.
–368 с. 4. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И.
Вычислительные методы, том I . –М., Наука, 1976. 5. G . P . Ismatullayev ,
M . S . Kosbergenova
www.google.uz

Mavzu: O D D I Y D I F F E R E N S I A L TENGL A M A L A R U C H U N C H E G A R A V I M A S A L A L A R N I T A Q R I B I Y Y E C H I S H

Mavzu: : O D D I Y D I F F E R E N S I A L TENGL A M A L A R U C H U N C H E G A R A V I M A S A L A L A R N I T A Q R I B I Y Y E C H I S H Reja . ׀ . Kirish ׀׀ . Asosiy qisim 1 Ikkinchi tartibli chiziqli chegaraviy masalani Koshi masalasiga keltirish 2 Chekli ayirmali metod bilan ikkinchi tartibli chegaraviy masalani yechish 3 Taqribiy analitik metodlar , Galerkin metodi ׀׀׀ Foydalanilgan adabiyotlar

Kirish Tabiiy fanlar va muhandislik hisoblarining ko‘plab tadqiqotlarida differensal tenglamalarning berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlanti- ruvchi yechimlarini topish talab etiladi. Boshlang‘ich yoki chegaraviy masalalarni yechish – bu juda keng ma’noda bo‘lib, ular aniq analitik usullar va taqribiy sonli usullardir. Analitik usullar bilan biz differensial tenglamalar fanidan tanishmiz. Bu usullar faqat tor doiradagi tenglamalar sinfinigina yechish imkonini beradi. Xususan, bu usullar o‘zgarmas koeffitsiyentli ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni yechishda keng qo‘llaniladi. Bunday tenglamalar ko‘plab fizik jarayonlarni tadqiq qilishda uchraydi, masalan tebranishlar nazariyasida, qattiq jismlar dinamikasida va shunga o‘xshash. Taqribiy usullar kompyuterlar paydo bo‘lmasidan ancha avval ishlab chiqilgan. Hozirgi kunda ham ularning ko‘pchiligi amaliyotda o‘z mazmunini yo‘qotgani yo‘q. Taqribiy usullar umumiy holda ikki guruhga bo‘lnadi: taqribiy- analitik usullar (boshlang‘ich yoki chegaraviy masalaning berilgan kesmadagi taqribiy yechimini biror funksiya ko‘rinishida izlash); sonli yoki to‘r usullar (boshlang‘ich yoki chegaraviy masalaning berilgan kesmadagi taqribiy yechimini qurish). Zamonaviy hisoblash texnikasi va yig‘ilgan hisoblash tajribalari differensial tenglamalarning katta va murakkab masalalarini taqribiy yechish imkonini bermoqda. Sonli hisoblashlarda eng muhim jihat bu yetarlicha aniqlikda izlanayotgan taqribiy yechimga erishishdir. Bu aniqlikning muhim jihatlari esa EHMdan foydalanish aniqligi, kiritilayotgan ma’lumotlarda yo‘l qo‘yilishi mumkin bo‘lgan xatoliklar va yaxlitlash natijasida paydo bo‘ladigan xatoliklardan qutilishdir. Hozirgi kunda ko‘plab zamonaviy matematik paketlar mavjudki, ular oddiy differensial tenglamalarni yetarlicha aniqlikda

ham analitik va ham sonli yechib berish imkoniyatga ega [1, 10, 11, 14]. Buning uchun esa oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechishning hisoblash usullari va ularning xususiyatlari bilan yaqindan tanishishni talab qiladi. Bu bilan birga shunday masalalar ham uchraydiki, ularni mavjud usullar bilan emas, balki ularning modifikatsiyasi, yangi uslubi va algoritmi bilan yechish lozim bo‘ladi. Umuman olganda, oddiy differensial tenglama bilan berilgan chegara- viy- masala: yagona yechimga ega; yechimga ega emas; bir nechta yoki cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lishi mumkin. 1 § Ikkinchi tartibli chiziqli chegaraviy masalani Koshi masalasiga keltirish Faraz qilaylik, [ a, b] oraliqday y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)= f(x) (1) differensial tenglama berilgan bo‘lib, uning a0y(a)+a1 y(a)= A |a0|+|a1|≠ 0, (2) β0y(b)+β1y(b)= B |β0|+|β1|≠ 0 chegaraviy shartlami qanoatlantiradigan yechimini topish masalasini ko‘ramiz. Yechimni y(x)=cu (x)+z(x) (3) ko‘rinishda qidiramiz, bu yerda c - konstanta, u(x) esa (1) ga mos keluvchi

u''(x)+p(x)u'(x)+q(x)u(x)=0 (4) bir jinsli tenglamaning noldan farqli yechimi, z(x) z''(x)+p(x)z'(x)+q(x)z(x)= f(x) ( 5) tenglamaning qandaydir yechimi. (3) bilan aniqlangan y(x)=cu (x)+z(x) yechim ixtiyoriy c da (1) ni qanoatlantirishiga ishonch hosil qilish qiyin emas. Ixtiyoriy [ c ] uchun (2) ning birinchisi o‘rinli bo‘lishini talab etamiz, u holda ca 0u(a)+a0z(a)+ca 1u(a)+a1z(a)= A bo‘lib, undan c[a0u(a)+a1u(a)]+a0z(a)+a1z(a)= A (6) hosil bo‘ladi. Bu tenglik ixtiyoriy c larda o‘rinli bo'lishi uchun quyidagi tengliklar bajarilishi kerak: a0u(a)+a1u(a)=o ( 7) a0u(a)+a1u(a)= A Agar ixtiyoriy c≠0 uchun u(a)=a1c, , u(a)=−a0c (8) deb olsak, unda (7) ning birinchisi o‘rinli bo‘ladi, uning ikkinchisining o‘rinli bo‘lishligini ta'minlash uchun a 0 ≠ 0 bo‘lgan z(a)= A a0 z(a)=a1c, (9)

O'xshashlar

ODIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR UCHUN CHEGARAVIY MASALALARNI TAQRIBIY YECHISH

GIDRODINAMIKA. GIDRODINAMIKANING DIFFERENSIAL TENGLAMASI.

IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLI ODDIY DIFFIRENSIAL TENGLAMALAR (ODT) UCHUN CHEGARAVIY MASALALARNI TAQRIBIY YECHISH USULLARI

Oddiy differensial tenglamalarni chekli elementlar usuli bilan yechish

Chiziqli tezkor masala.