Shartsiz va shartli ekstremum masalalari.

Yuklangan vaqt:

08.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

92.96484375 KB

Ko'chirib olish

Shartsiz va shartli ekstremum masalalari .
Reja :
1. Shartsiz ekstremum masalasining qo’yilishi.
2. Ekstremumning ikkinchi tartibli zaruriy va yetarli shartlari
3. Shartli ekstremum masalasining qo’yilishi.
4. O’zgaruvchilarni yo’qotish usuli.
5. Optimallikning birinchi tartibli zaruriy sharti. Lagranj ko’paytuvchilari qoidasi.
6. Optimallikning ikkinchi tartibli zaruriy sharti va yetarli shart .
Asosiy adabiyotlar
1. Р.Габасов, Ф.М.Кириллова. Оптималлаштириш усуллари. Т. Узбекистон,
1995.
Qo’shimcha adabiyotlar
2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.
Наука, 1988.
3. Галеев Е.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач.
М: Изд МГУ. 1989.
4. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.Наука.1998.
5. Сухарев А.Г., Тимохов А.Н., Фёдоров В.В. Курс методов оптимизации.
М. Наука 1988
6. Исроилов И., Отакулов С. Вариацион хисоб ва оптималлаштириш
усуллари. I -кисм. Самарканд. Сам ДУ нашри, 1999, II -кисм Самарканд,
СамДУ нашри, 2001

Stasionarlik shartlaridan iborat
 f /  x
1 =2 x
1 -2 x
2 +1=0,  f /  x =-2 x
2 -2 x
1 =0.
sistema yagona x
1 =-x
2 =-41 yechimga ega. Bu x *
=(- 41 , 41 ) yagona stasionar
f(-
41 , 41 )=- 81 >-1=f(0,1); f(- 41 , 41 )<2=f(1,0). Demak, masala yechimga ega
emas.
2-teoremaga ko’ra, f(x) funksiya qavariq(botiq) bo’lganda (1) masalani yechish
uchun stasionar nuqtalarni aniqlash kifoya.
2. Ekstremumning ikkinchi tartibli zaruriy va yetarli shartlari.
Stasionar nuqtalarni optimallikka tekshirishda quyidagi ikkinchi tartibli zaruriy va
yetarli shartlardan foydalanamiz.
3-teorema . f(x) funksiya x *
 R n
ikki marta differensiallanuvchi bo’lsin. Agar
x *
- lokal optimal reja bo’lsa,
   





 

 

 0
x
x f 0
x
x f
2
* 2
2
* 2
(5)
bo’ladi.
Isboti. Isbotni minimum uchun keltiramiz. Maksimum uchun ham shunga
o’xshash bajariladi.
x *
- lokal optimal reja, ya’ni f(x) funksiyaning R n
dagi lokal minimum nuqtasi
bo’lsin.  L  R n
Uchun x(t)=x *
+Lt, t  R 1
va  (t)=f(x(t)), t  R 1
funksiyalarni
qaraymiz.
t=0-  (t) funksiya uchun lokal minimum nuqtasi bo’ladi. U vaqdta,  (t)ning
t=0 nuqtada differensiallanuvchiligi va bir o’zgaruvchili funksiya uchun
ekstremumning zaruriy shartiga asosan (12-§, 2- teorema),  ( 0)
 0 .
 ’’(t) 
t=0 =
dt
dx T
   L
x
x f L
x
))t(x(f x d
dt x
dx)t(x f
2
* 2 t 0t
T 2
0t 2
2

 

 


  , bo’lgani
uchun L T
  n
2
* 2
R L ,0 L
x
x f   


munosabatga ega bo’lamiz, ya’ni (5) o’rinlidir. 
4-teorema. f(x) funksiya x *

R n
nuqtada ikki marta differensiallanuvchi
bo’lsin. Agar

     















0
x
x f
0
x
x f
,0
x
x f
2
* 2
2
* 2 *
bo’lsa, x *
-(1) masalada lokal optimal reja bo’ladi.
Isboti. Ixtiyoriy l  R n
,  l  =1uchun x
i (t)=x *
+ lt , t
 R 1
va 
i ( t)=f(x
i (t)), t  R 1
funksiyalarni qaraymiz. Teoremaning shartiga ko’ra,

i (0)=

dt
t dx T
i  
,0
x
x f
L
x
))t( x(f d
2
* 2
t
0t
i 



 

i ’’(0)=

 
dt
t dx T
i    
0 L
x
x f
L
t
)t( x d
x
)t( x f
2
* 2
t
0t
i
2
i
2




 

 .
Teylor formulasidan foydalansak, 
L ( t) - 
L (0)= t 
L '(0)+
2
t2 
L ''(0)+0(t 2
)=
2
t2

L ''(0)+0(t 2
) 
2
t2
1 L
min
 
L ''(0)+0(t 2
)= 2
t2
1 L
min

  ) t(0 L
x
x f L 2
2
* 2 t 


munosatga ega bo’lamiz.

1 L
min

  0 L
x
x f L 2
* 2 t 


bo’lgani uchun, oxirgi munosabatdan yetarlicha kichik t>0 lar va  L  R n
,  L  =1
uchun

L (t)- 
L (0)>0 yoki f(x
i (t))>f(x *
)
kelib chiqadi. Bu esa x *
ning lokal minimum nuqtasi ekanligini ko’rsatadi.
Xuddi shunga o’xshash ko’rsatish mumkinki, agar x *
nuqtada
  0
x
x f ,0
x
) х(f
2
* 2 *


 


Bo’lsa, x *
-lokal maksimum nuqtasi bo’ladi.
3-misol . f(x)=x
1 2
+(x
2 -1) 2

min, x  R 2
.
1x
f


=2x
1 =0,
2x
f

 =2(x
2 -1)=0
 x
1 =0, x
2 =1.x *
=( 0,1)- stasionar nuqta.

2
2
x
f

=






2 0
0 2 >0
Chunki uning ketma ket bosh minorlari musbat:
D
1 =2,D
2 =
2 0
0 2 =4>0
Demak, 4-teoremaga asosan, x *
=(0,1)- lokal optimal rejadir. Bu nuqta global
optimal reja ham bo’ladi, chunki f(x *
)=0
 f(x),  x  R n

3. Shartli ekstremum masalasi.
f(x), x  R n
funksiya uchun tenglik ko’rinishida cheklashlar qo’yilgan
f(x)  min(max), g
1 (x)=0, g
2 (x)=0,… g
m (x)=0 (1)
shartli ekstremum masalasini qaraymiz. Љ uyida (1) masalani yechishning klassik
usullari- o’zgaruvchilarni yo’qotish usuli va Langraj ko’paytuvchilari usullarini
bayon qilamiz. Bu usullar haqida boshlang’ich ma’dumotlar bizga matematik
analiz kursidan ma’lum.
4. O’zgaruvchilarni yo’qotish usuli . Bu usulning mohiyati quydanicha. Faraz
qilaylik,
g
1 (x
1 ,x
2 ,…,x
n )=0, g
2 (x
1 ,x
2 ,…,x
n )=0,… g
m (x
1 ,x
2 ,…,x
n )=0 (2)
tenglamalardan m-ta o’zgaruvchilarni masalan, x
1 ,x
2 ,…,x
m larni qolganlari orqali
bir qiymatli ifodalash mumkin bo’lsin:
x
1 =h
1 (x
m+1 ,…,x
n ), … x
m =h
m (x
m+1 ,…,x
n ). (3)
(3) dan foydalanib, n-m o’zgaruvchili  (x
m+1 ,…,x
n )=f(h
1 (x
m+1 ,…,x
n ), … , h
m (x
m+1 ,
…,x
n ), x
m+1 ,…,x
n )
funksiyaga eag bo’lamiz. Endi
 (x
m+1 ,…,x
n )  min(max), (x
m+1 ,…,x
n )  R n+m
(4)
shartsiz ekstremum masalasini qaraymiz.(I),(4) masalalar uchun quyidagi sodda
tasdiqlarga ega bo’lamiz.
A) agar (x *
1 ,x *
2 ,…,x *
n )-masalaning yechimi bo’lsa,
(x *
m+1 ,x *
m+2 ,…,x *
n )-(4) masalaning yechimi bo’ladi.
B) agar (x *
m+1 ,x *
m+2 ,…,x *
n )-(4) masalaning yechimi bo’lsa,

{(h
1 (x
m+1 ,…,x
n ), h
2 (x
m+1 ,…,x
n ), …,h
m (x
m+1 ,…,x
n ), x
m+1 ,…,x
n )} – (1) masalaning
yechimi bo’ladi.
1-misol. f(x)= x
1 2
+x
2 2
+x
3 2
 min(max), x
1 +x
2 +x
3 =1.
g(x)= x
1 +x
2 +x
3 -1=0 cheklashdan x
3 =1- x
1 -x
2 , bir qiymatli aniqlangani uchun
 (x
1 ,x
2 )= 2x
1 2
+2x
2 2
+2x
1 x
2 -2 x
1 -2 x
2 +1  min(max), (x
1 ,x
2 )  R 2
shartsiz ekstremum masalasiga kelamiz.
 (x
1 ,x
2 )= (x
1 -x
2 ) 2
+(x
1 -1) 2
+ (x
2 -1) 2
-1  (x
1 -1) 2
+ (x
2 -1) 2
-1 munosabatdan  х~
da     х~  ekanligi kelib chiqadi ( х~ =(x
1 ,x
2 )).
U vaqtda Veyrshtrass teoremasiga ko’ra  (
х~ ) funksiyaning R 2
da global minimum
mavjud. Ammo global maksimum mavjud emas:
  

x~ sup 2Rx~ 
 (
х~ ) funksiyaning stasionar nuqtalarini aniqlaymiz:

31 2
31 1
1 2 х
2 1 х
х
х
0 2 х2 х4
0 2 х2 х4 2 1

 



   
   



Topilgan
*х~ = ( 3
1 ,
3
1 ) stasionar nuqta  (
х~ ) funksiyaning global minimum nuqtasi
bo’ladi (chunki global minimum nuqtasi mavjud, stasionar nuqta esa yagona).
Shunday qilib,
x *
e x *
1 =
3
1 , x *
2 =
3
1 , x *
3 =1- x *
1 - x *
2 =
3
1 }
(5) maaslada global minimum nuqta bo’ladi. Global maksimum esa mavjud emas:
  

x~ sup 3Rx~ 
.
5.Optimallikning birinchi tartibli zaruriy sharti.
Lagranj ko’paytuvchilari qoidasi.
1-l e m m a . Faraz qilaylik, g
i (x), 1=
m,1 , funksiyalar x *
 R n
nuqtaning birir
atrofida uzluksiz differensiallanuvchi, g
i (x *
)=0, 1=
m,1 , m<n,  g
i (x *
)/  x, 1= m,1 ,
vektorlar sistemasi esa chiziqli bog’lanmagan bo’lsin. U vaqtda
L T
0 x
) x( g * i  

, 1=
m,1 , (6)

sistemani qanoatlantiruvchi har bir L  R n
uchun shunday 
o >0 son va f(  ), 

silliq n–vektor funksiya topiladiki, h(0)=x *
, dh(0)/d  =1, g
i (h(  ))  0,
 
 , 1= m,1
, bo’ladi. Agar g
i (x) funksiyalar x *
nuqta atrofida ikki marta uzluksiz
differensiallanuvchi bo’lsa, h(  ),
 
 , funksiya ham ikki marta uzluksiz
differensiallanuvchi bo’ladi.
Lemmaning isbotini (5)dan qarash mumkin.
2-l e m m a. Faraz qilaylik, (1) masalada f(x), g
i (x), 1=
m,1 , funksiyalar x *
rejaning biror atrofida uzluksiz differensiallanuvchi, m>n,  g
i (x *
)/  x, 1=
m,1 ,
vektorlar sistemasi chiziqli bog’lanmagan bo’lsin. Agar x *
(1) masalada lokal
optimal reja bo’lsa, ixtiyoriy L  H(x *
) uchun
L T 0
x )x(f
*


( L T 0
x )x(f *


)
bo’ladi.
I s b o t i . x *
minimallashtirish masalasining lokal optimal rejasi bo’lsin.
Ammo biror L *
 H(x *
) uchun(7) tengsizlik bajarilmasin, ya’ni
L *T 0
x )x(f
*



bo’lsin. U vaqtda 1-lemmaga asosan, shunday x=h(  )funksiya mavjudki,
h(0)=x *
, dh(0)/d  =1 *
, g
i (h(  ))  0,
 
 , 1= m,1 .
     0
T
0 dx
)) h(f
d
) ( dh
d
)) (h( df
 





L *T 0
x )x(f *



Bundan kelib chiqadiki, yetarlicha kichik  >0 uchun h(  ) rejada f(h(  ))<f(x *
)
tengsizlik bajariladi. Bu esa x *
ning optimalligiga qarama qarshidir. Olingan
qarmma-qarshilik L T 0
x )x(f
*


,  L  H(x *
) munosabatni isbotlaydi. Xuddi shunga
o’xshash, agar x *
maksimallashtirish masalasining lokal optimal rejasi bo’lsa,L *T
0
x )x(f
*


,  L  H(x *
)munosabatning bajarilishini kqrsatish mumkin. 

(1) masalada uchun optimallikning zaruriy va yetarli shartlarini bayon qilishda
quyidagi funksiyalardan foydalanamiz:
F(x,  )=f(x)+ m
1i ii )x( g 
, (8)

F~ (x, ~ )= 
o f(x)+  m
1i ii )x( g 
, (9)
bu yerda  =( 
1 , 
2 ,…, 
m ),
~ =( 
o , 
1 , 
2 ,…, 
m ).
(8)ga klassik (yoki regulyar) Lagranj funksiyasi deyiladi. (9) esa umumlashgan
Lagranj funksiyasi deb ataladi.
1-teorema. Faraz qilaylikki, f(x), g
i (h(  ))  0,
 
 , 1= m,1 funksiyalar
x *
 R n
nuqtaning biror atrofida uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsin. Agar x *
-(1)
masalaning lokal optimal rejasi bo’lsa, shunday
~ *
 R n+1
, ~ *
 0, vektor mavjudki
0 x
) ~ x(F~ * *
 
 
(10)
tenglik bajariladi.
Isboti. (9) umumlashgan Lagranj funksiyasi yordamida (10)ni

 
  
 m
1i
* i *i
* *o 0 x
) x( g
x
) x(f  
(11)
ko’rinishda yozamiz. Demak, agar x *
-(1) masalada lokal optimal reja bo’lsa, bir
vaqtda nolga teng bulmagan shunday  *
o ,  *
1 ,  *
2 ,…,  *
m sonlar topilib, (11)
tenglikning bajarilishini ko’rsatish talab qilinadi.
Faraz qilaylik,  g
i (x *
)/  x, 1=
m,1 , vektorlir sistemasi chiziqli bog’langan bo’lsin,
ya’ni bir vaqtda nolga teng bulmagan shunday  *
1 ,  *
2 ,…,  *
m sonlar mavjudki,


 
 m
1i
* i *i 0 x
) x( g  (12)
tenglik bajariladi.  *
o =0 deb olib, (12)dan (11)ga ega bo’lamiz. Endi  g
i (x *
)/  x, 1=
m,1
, vektorlar sistemasi chiziqli bog’lanmagan bo’lsin deb faraz qilamiz. U holda
m  n bo’ladi.

a) m=n bo’lsin. Bu holda  g
i (x *
)/  x, 1=m,1 , vektorlar R n
da bazis tashkil qiladi.
Shuning uchun shunday  *
o , 1=
m,1 , sonlar topiladiki,

 
  
 m
1i
* i *i
*
0 x
) x( g
x
) x(f 
(13)
tengliku bajariladi, ya’ni (11) o’rinlidir (  *
o =1).
b)m<n bo’lsin. U holda 2-lemmaning ko’ra,
L *T 0
x )x(f
*


(>0)
L T
0 x
) x( g * i  

, 1=
m,1 , (14)
sistema R n
da yechimga ega bo’lmaydi. Ammo (14) sistema L  0 yechimga ega.
Shuning uchun Farkash teoremasiga asosan shunday 
i *
, 1=
m,1 ,
sonlar mavjudki, (13) tenglik bajariladi. bu esa (11) tengikning 
i *
=1 bo’lib
bajarilishi demakdir. 
1-teoyeremaga umumlashgan Lagranj ko’paytuvchilari qoidasi deyiladi. (10)
stasionarlik shartidagi
~ *
=(  *
o ,  *
1 ,  *
2 ,…,  *
m ). (1) masalaning x *
- lokal optimal
rejasiga mos keluvchi umumlashgan Lagranj vektori,  *
o ,  *
1 ,  *
2 ,…,  *
m sonlariga
esa Lagranj ko’paytuvchilari deyiladi.
1-t a’ r i f. Agar (1) masalaning x *
 R n
plani uchun shunday
~ *
 R n
vektor
topilib, (10) stasionarlik sharti bajarilsa, x *
ga (1) masalaning shartli-stasionar
plani deyiladi.
Ta’rifga asosan, shartli-stasionar planlarni aniqlash uchun n+m+1 ta
noma’lumlar x
1 , x
2 ,…, x
m , 
o , 
1 , 
2 ,…, 
m larga nisbatan quyidagi

o
ix
)x(f

 +
 
 m
1j i j x
)x(f  =0, 1=
n,1 , (15)
g
i (x)=0, 1=
m,1
n+m- ta tenglamalar sistemalar sistemasini yechish kerak bo’ladi.
Lagranj funksiyasining (10) stasionarlik shartidan Lagranj ko’paytuvchilari
o’zgarmas ko’paytuvchi aniqligida topiladi, ya’ni agar  *
o ,  *
1 ,  *
2 ,…,  *
m Lagranj

ko’paytuvchilari bo’lsa, ixtiyoriy  0 son uchun  *
o ,  *
1 ,  *
2 ,…,  *
m lar ham
Lagranj ko’paytuvchilari bo’ladilar. Xususiy holda,  *
o  0 bo’lganda,  =1/  *
o deb
olib, x *
lokal optimal rejasiga  *
o =1 ko’rinishda Lagranj ko’paytuvchisi mos
kelishini ko’ramiz. Shuning uchun (15) sistemani yechishda, 
o =0 va 
o =1 bo’lgan
ikki holni qarash yetarli.
2-t a’ r i f. Agar (1) masalaning x *
optimal rejasiga faqat  *
o  0 Lagranj
ko’paytuvchisi mos kelsa, (1) masalaga regulyar (yoki normal) masala deyiladi.
3-l e m m a. (1) masalaning regular bo’lishi uchun uning x *
optimal rejasida
hisoblangan
x
) x( g ,..., x
) x( g , x
) x( g * m * 2 * 1





 (16)
vektorlarning chiziqli bog’lanmagan bo’lishi zarur va yetarlidir.
I s b o t i. Zaruriyligi. Faraz qilaylikki, (1) masala regulyar, ammo (16)
vektorlar chiziqli bog’langan bo’lsin, ya’ni bir vaqtda nolga teng bo’lmagan  *
1 ,
 *
2 ,…,  *
m sonlar topilib.
 
 m
1i i
* *j x
) x(f 
=0 (17)
tenglik bajarilsin. Bu tenglik x *
optimal rejaga  *
o =0 Lagranj ko’paytuvchisi mos
kelishini ko’rsatadi. Olingan qarama-qarshilik lemma tasdig’ining zaruriylik
qismini isbotlaydi.
Yetarliligi. (16) vektorlar chiziqli bog’lanmagan bo’lsin, ammo (1) masala
regulyar bo’lmasin deb faraz qilaylik. U holda ta’rifga ko’ra x *
optimal rejaga  *
o
=0,  *
1 ,  *
2 ,…,  *
m (  *
i lar bir vaqtda nolga teng emas) Lagranj ko’paytuvchilari
mos keladi, ya’ni (17) bajariladi. bu esa (16) vektorlarning chiziqli
bog’lanmaganlik shartiga ziddir. 
Isbotlangan lemmadan kelib chiqadikki, regulyar masalalarda bog’lanishlar
soni o’zgaruvchilar soni m dan oshmaydi (m  n).
2-teorema. Faraz qilaylik, f(x), g
1 (x), g
2 (x),…, g
m (x) funksiyalar x *
 R n
nuqtaning biror atrofida uzluksiz differensiallanuvchi va (16) vektorlar sistemasi

chiziqli bog’lanmagan bo’lsin. U vaqtda, agar x *
- (1) masalaning lokal optimal
rejasi bo’lsa, shunday yagona  *
=(  *
1 ,  *
2 ,…,  *
m ) vektor topiladikix
) x(f 0 x
) , x(F * * *

   
 
+  
 m
1i i
* *j x
) x(f  =0 (18)
stasionarlik sharti bajariladi.
Isboti. (18) stasionarlik sharti 1-teorema va 3-lemmaning bevosita
natijasidir.
Endi (18) tenglikdagi  *
vektorning yagonaligini ko’rsatamiz. Faraz
qilaylikki, x *
optimal rejaga  *
=(  *
1 ,  *
2 ,…,  *
m ) va  *
=(  *
1 ,  *
2 ,…,  *
m )
Lagranj vektorlari mos kelsin (  *
=  *
) ya’ni (18) tenglik va

x
) x(f *

 +  
 m
1i
* i *j x
) x( g  =0 (19)
tenglik bajarilsin. (18) dan (19) ni ayirib,



m
1i
* i *j *i
x )x(g
)(  
=0 (20)
tenglikni olamiz. 
i = 
i *
- 
i *
, 1=
m,1 sonlar bir vaqtda nolga teng bo’lmaganligi
uchun (20) shart (16) vektorlarning chiziqli bog’langanligini biodiradi. Bu esa
teorema shartiga qarama-qarshidir. Demak,  *
=  *
, ya’ni x *
optimal rejaga yagona
Lagranj vektori mos keladi. 
Isbotlangan teoremaga klassik Lagranj ko’paytuvchilari qoidasi deyiladi.
I z o h. Faraz qilaylik, (1) masalada barcha bog’lanishlar chiziqli bo’lsin,
ya’ni
f(x)  min(max), Ax=b (21)
masala berilgan bo’lsin, bu yerda A-m  n o’lchamli matrisa, b  R n
.
Bu masala uchun (18) stasionarlik sharti (16) vektorlarning chiziqli
bog’lanmaganlik shartisiz ham bajariladi.
2-misol. f(x)=x
1  min, g(x)=x
1 3
-x
2 2
=0.
Bu masalaning rejalari yarim kubik parabolada yetadi. Ravshanki, x *
=(0,0) optimal
reja. Regulyar (klassik) Lagranj funksiyasini tuzamiz:
F(x,  )=f(x)+  g(x)=x
1 +  (x
1 3
-x
2 2
).

Bu funksiya uchun stasionarlik sharti1x
F


=1+3  x
1 2
=0,
2x
F

 =-2  x
2 =0,
bo’ladi. x *
=(0,0) nuqta bu tenglamalarni qanoatlantirmaydi. Demak, qaralayotgan
masala uchun (18) stasionarlik sharti bajarilmaydi, ya’ni masala regulyar emas.
Yuqorida bayon qilingan Lagranj ko’paytuvchilari qoidasiga asosan (1)
masalaning x *
optimal rejasi uchun shunday
~ *
 R m+1
, ~ *
 0 vektor topiladiki, x *
F~
(x, ~ *
) funksiya uchun stasionar nuqta bo’ladi, xolos. Ammo (1) masalaning x *
optimal rejasi
F~
(x, ~ *
)  min(max), x  R n
masala uchun optimal reja bo’lishi ham, bo’lmasligi ham mumkin.
3-misol. f(x)=x
2  min, g(x)=x
2 -x
1 2
=0.
Bu regulyar masaladir (chunki  g/  x
2 =1  0), x *
=(0,0) uning optimal plani bo’ladi.
F(x,  )=x
2 +  ( x
2 -x
1 2
)Lagranj funksiyasining stasionarlik sharti asosida tuzilgan.
1x
F


=-2  x
1 =0,
2x
F

 =1+  =0,
sistemadan  =-1 kelib chiqadi. F(x,-1)=x
2 -( x
2 -x
1 2
)= x
1 2
funksiya x *
=(0,0) nuqtada
minimumga erishadi.
4-misol. f(x)=x
2 3
 min, g(x)=x
2 -x
1 2
=0.
Bu masala ham regulyar bo’lib, x *
=(0,0) uning optimal rejasidir.
F(x,  )=x
2 3
+  ( x
2 -x
1 2
)Lagranj funksiyasi uchun stasionarlik sharti
1x
F


=-2  x
1 =0,
2x
F

 =3x
2 2
+  =0,
tenglamalarga olib keladi. x *
=(0,0) optimal planga  =0 Lagranj ko’paytuvchisi
mos keladi. x *
=(0,0) nuqta esa F(x,0)=x
2 3
funksiya uchun minimum nuqtasi ham,
maksimum nuqtasi ham bo’la olmaydi.
6. Optimallikning ikkinchi tartibli zaruriy sharti va yetarli shartlari.
Shartli stasionar planlari optimallikka tekshirishda qo’yidagi ikkinchi tartibli
zaruriy shart va yetarli shartdan foydalanamiz.

3-teorema. Faraz qilaylikki, f(x), g
1 (x), g
2 (x),…, g
m (x) funksiyalar x *
 R n
nuqtaning biror atrofida ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsin hamda
(16) vektorlar chiziqli bog’lagmagan bo’lsin. U vaqtda, agar
x *
-(1) masalada lokal minimum (lokal maksimum) nuqta bo’lsa, (18) ni
qanoatlantiruvchi ixtiyoriy  *
=(  *
1 ,  *
2 ,…,  *
m )  R m
va (6) tenglamalar
sistemasini qanoatlantiruvchi barcha L  R m
vektorlarda
L T0) ( 0 L x
) , x(F
2
* * 2
  
 
(22)
bo’ladi.
Isboti. Isbotni minimallashtirish masalasi uchun olib boramiz.
Maksimallashtirish masalasi uchun ham shunga o’xshash isbotlanadi.
Shartga ko’ra (16) vektorlar chiziqli bog’lanmagan bo’lgani uchun m  n
bo’ladi.
Agar m=n bo’lsa, (6) ni faqat L=0 qanoatlantiradi va bu vektor uchun (22)
ning bajaralishi ravshan.
m<n bo’lsin. U vaqtda, 1-lemmaga asosan (6) ni qanoatlantiruvchi har bir L  R n
vektor uchun shunday h(  ), 
o funksiya topiladiki, h(  ) ikki marta
differensiallanuvchi, h(0)=x *
, h'(0)=1, g
L (h(  ))=0, 
o , 1=
m,1 bo’ladi.
x *
-(1) masalada lokal minimum nuqta bo’lgani uchun  =0 nuqta
 (  )=f(h(  )), 
o funksiya uchun lokal minimum nuqta bo’ladi. Bir
o’zgaruvchili  (  )funksiya uchun minimumning zaruriy shartlarini zamiz:
0 d
)0( d  

, 0 d
)0( d
2
2
 

h'(0)=1 ekanligini xisobga olib, keyingi tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin
2
2
d
)0( d


= L T
L x
) x(f
2
* 2


+ 2
t 2
d
)0( h d
 x
) x(f *

  (23)
Shunga o’xshash  *
g(h(  ))=0, 
o ayniyatdan quyidagi tenglik kelib chiqadi
(bu yerda g(x)=(g
1 (x), g
2 (x),… g
m (x)))

2
2
d
d
 *T
g(h(  )) 0 x
) x(g
d
)0( h d L x
) x(g L
* T*
2
T 2
2
* T* T 0  
  
  



 (24)
Agar (23) tengsizlikni (24) tenglikka ko’shsak va natijani (8) Lagranj funksiyasi
terminida yozib (x *
,  *
) juftda (18) stasionarlik shartining bajarilishini hisobga
olsak, talab qilingan (22) munosabatga ega bo’lamiz. 
I z o h. Bog’lanishlari chiziqli bo’lgan (21) masala uchun 3-teorema (16)
vektorlarning chiziqli bog’lanmaganlik shartisiz ham bajariladi.
4-teorema. Faraz qilayliki, f(x), g
1 (x), g
2 (x),… g
m (x) funksiyalar (1)
masalaning x *
planida ikki marta differensiallanuvchi bo’lsin. Agar x *
nuqta uchun
shunday
~ *
=(  *
o ,  *
1 ,  *
2 ,…,  *
m ), ~ *
 ~ *
 0 topilib, ular (10) munosabatni
qanoatlantirsa (ya’ni x *
shartli-stasionar plan bo’lsa) hamda (6) tenglamalar
sistemasini qanoatlantiruvchi har bir L  R n
,L  0 uchun.
L T
0) ( 0 L x
) ~, x(F~
2
* * 2
  
 
(25)
bo’lsa, x *
- (1) masalada lokal optimal plan bo’ladi.
Isboti. Teskarisidan faraz qilamiz: x *
nuqta teoremaning shartlarini
qanoatlantirsin, ammo f(x) funksiyaning Qex  R n
: g
1 (x)=0, 1=
m,1 } to’plamdagi
lokal minimum nuqtasi bo’lmasin. U vaqtda shunday {x k
} ketma-ketlik topiladiki,
g
1 (x k
)=0,…,g
m (x k
)=0, f(x k
)<f(x *
) (26)
x k
 x *
, k=1,2,…, x k
 x *
, k 
munosabatlar bajariladi (x *
nuqta Q to’plamning yakkalangan nuqtasi emas deb
faraz qilinadi; x *
-Q to’pldamning yakkalangan nuqtasi bo’lsa, uni f(x) funksiya
lokal minimum yoki lokal maksimum nuqta deb hisoblash mumkin). x k
nuqtani
quyidagicha yozamiz:
k k *
* k
* k * k * k Lt x
x x
x x x x x x  

   
,
    

  k,0 t, x x t,
x x
x x L k * k k * k
* k k
.

k
L
=1 bo’lgani uchun {L k
} ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik
ajratish va belgilashlarni o’zgartirmasdan L k
 L *
deb hisoblash mumkin. (26)
munosabatlarni va g
i (x)=0, 1=m,1 funksiyalarning x *
nuqtadagi
differensiallanuvchanligini hisobga olib.
0= g
i (x k
)- g
i (x *
)=t
k L k
0 x
) x( g * i  

+0(t
k ), 1=
m,1
munosabatni olamiz. Bu tengliklarni t
k >0ga bo’lib va k  da limitga o’tib, L *T
0 x
) x( g * i  

, 1=
m,1 munosabatga ega bo’lamiz, ya’ni L *
vektor (6)sistemani
qanoatlantiradi.
x k
 Q, x *
 Q, 
0 *
 0 bo’lgani uchun (14) dan
   
**m
1i *
i*
i**
0m
1i **
0k*
0k
i*
ik*
0*k ~, x F~ ) x( g ) x(f ) x(f L ) x(f ) x( g ) x(f ~, x F~         
       
kelib chiqadi. Bu yerdan, (10)ni va
) ~,x(F~ * funksiyaning x *
nuqtadagi ikki marta
differensiallanuvchanligini hisobga olib.
      1,2,... k ), t(0 L x
~, x F~
Lt2
1 ~, x F~ ~, x F~ 0 2k k 2
* * 2 k 2k * * * k T   
      
munosabatga ega
bo’lamiz. Bu tengsizlikni t
k 2
>0 ga bo’lib va k  da limitga o’tib
T*L
0 L x
) ~, x(F~ * 2
* * 2
 
 
,
tengsizlikni olamiz. ammo, L *
>0 vektor (6) sistemani qanoatlantirgani uchun
teorema shartiga ko’ra
T*L
0 L x
) ~, x(F~ * 2
* * 2
 
 
,
tengsizlik bajarilishi lozim. Olingan qarama – qarshilik x *
nuqtaning (1) masalada
lokal minimum nuqta ekanligini ko’rsatadi. Teorema maksimum uchun ham
shunga o’xshash isbotlanadi. 
5-misol. f(x)=
2
1 ax
1 2
+
2
1 bx
2 2
 min (max), x
1 3
+x
2 3
=1 .
(a>0,b>0). Berilgan masalaning bircha planlarida regulyarik sharti bajarilgan
uchun klassik Langraj funksiyasidan foydalanamiz.

F(x,  )= 2
1 ax
1 2
+
2
1 bx
2 2
+  ( x
1 3
+x
2 3
-1).
Shartli stasionar planlari aniqlaymiz. Buning uchun
1x
F


=ax
1 +3  x
1 2
=0,
2x
F

 =bx
2 +3  x
2 2
=0, x
1 3
+x
2 3
-1=0
sistemani yechamiz. Bu sistema quyidagi yechimlarga ega:
1) x
1 =0, x
2 =1,  =-
3
b
2) x
1 =1, x
2 =0,  =-
3
a
3) x
1 =a/
3 3 3 b a  , x
2 =b/ 3 3 3 b a  ,  =- 3 3 3 b a  /3 .
Lagranj funksiyasining ikkinchi tartibli hosilalaridan tuzilgan matrisa
 







  

2
1
2
2
x 6 b 0
0 x b a
x
,x F

 
ko’rinishda bo’ladi. Yuqorida topilgan shartli-stasionar rejalar uchun bu matrisa
mos ravishda quyidagicha bo’ladi:
A
1 =






b 0
0 a , A
2 =






b 0
0 a , A
3 =








b 0
0 a .
(6) shart 3x
1 2
L
1 +3x
2 2
L
2 =0 ko’rinishda bo’ladi. Birinchi stasionar nuqta uchun bu
shart L
2 =0, ikkinchi stasionar nuqta uchun esa L
1 =0 ekanligini bildiradi. Demak,
A
1 va A
2 matrisalar 4-teoremada ko’rsatilgan shartlarni qanoatlantiradi. Natijada,
(0,1) va (1,0) nuqtalar minimallashtirish masalasining lokal yechimlaridir.
Uchinchi stasionar nuqta esa yana 4-teorema ko’ra lokal maksimum nuqta bo’ladi.

Shartsiz va shartli ekstremum masalalari . Reja : 1. Shartsiz ekstremum masalasining qo’yilishi. 2. Ekstremumning ikkinchi tartibli zaruriy va yetarli shartlari 3. Shartli ekstremum masalasining qo’yilishi. 4. O’zgaruvchilarni yo’qotish usuli. 5. Optimallikning birinchi tartibli zaruriy sharti. Lagranj ko’paytuvchilari qoidasi. 6. Optimallikning ikkinchi tartibli zaruriy sharti va yetarli shart . Asosiy adabiyotlar 1. Р.Габасов, Ф.М.Кириллова. Оптималлаштириш усуллари. Т. Узбекистон, 1995. Qo’shimcha adabiyotlar 2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М. Наука, 1988. 3. Галеев Е.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М: Изд МГУ. 1989. 4. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.Наука.1998. 5. Сухарев А.Г., Тимохов А.Н., Фёдоров В.В. Курс методов оптимизации. М. Наука 1988 6. Исроилов И., Отакулов С. Вариацион хисоб ва оптималлаштириш усуллари. I -кисм. Самарканд. Сам ДУ нашри, 1999, II -кисм Самарканд, СамДУ нашри, 2001

Stasionarlik shartlaridan iborat  f /  x 1 =2 x 1 -2 x 2 +1=0,  f /  x =-2 x 2 -2 x 1 =0. sistema yagona x 1 =-x 2 =-41 yechimga ega. Bu x * =(- 41 , 41 ) yagona stasionar f(- 41 , 41 )=- 81 >-1=f(0,1); f(- 41 , 41 )<2=f(1,0). Demak, masala yechimga ega emas. 2-teoremaga ko’ra, f(x) funksiya qavariq(botiq) bo’lganda (1) masalani yechish uchun stasionar nuqtalarni aniqlash kifoya. 2. Ekstremumning ikkinchi tartibli zaruriy va yetarli shartlari. Stasionar nuqtalarni optimallikka tekshirishda quyidagi ikkinchi tartibli zaruriy va yetarli shartlardan foydalanamiz. 3-teorema . f(x) funksiya x *  R n ikki marta differensiallanuvchi bo’lsin. Agar x * - lokal optimal reja bo’lsa,                 0 x x f 0 x x f 2 * 2 2 * 2 (5) bo’ladi. Isboti. Isbotni minimum uchun keltiramiz. Maksimum uchun ham shunga o’xshash bajariladi. x * - lokal optimal reja, ya’ni f(x) funksiyaning R n dagi lokal minimum nuqtasi bo’lsin.  L  R n Uchun x(t)=x * +Lt, t  R 1 va  (t)=f(x(t)), t  R 1 funksiyalarni qaraymiz. t=0-  (t) funksiya uchun lokal minimum nuqtasi bo’ladi. U vaqdta,  (t)ning t=0 nuqtada differensiallanuvchiligi va bir o’zgaruvchili funksiya uchun ekstremumning zaruriy shartiga asosan (12-§, 2- teorema),  ( 0)  0 .  ’’(t)  t=0 = dt dx T    L x x f L x ))t(x(f x d dt x dx)t(x f 2 * 2 t 0t T 2 0t 2 2           , bo’lgani uchun L T   n 2 * 2 R L ,0 L x x f      munosabatga ega bo’lamiz, ya’ni (5) o’rinlidir.  4-teorema. f(x) funksiya x *  R n nuqtada ikki marta differensiallanuvchi bo’lsin. Agar

                     0 x x f 0 x x f ,0 x x f 2 * 2 2 * 2 * bo’lsa, x * -(1) masalada lokal optimal reja bo’ladi. Isboti. Ixtiyoriy l  R n ,  l  =1uchun x i (t)=x * + lt , t  R 1 va  i ( t)=f(x i (t)), t  R 1 funksiyalarni qaraymiz. Teoremaning shartiga ko’ra,  i (0)=  dt t dx T i   ,0 x x f L x ))t( x(f d 2 * 2 t 0t i        i ’’(0)=   dt t dx T i     0 L x x f L t )t( x d x )t( x f 2 * 2 t 0t i 2 i 2         . Teylor formulasidan foydalansak,  L ( t) -  L (0)= t  L '(0)+ 2 t2  L ''(0)+0(t 2 )= 2 t2  L ''(0)+0(t 2 )  2 t2 1 L min   L ''(0)+0(t 2 )= 2 t2 1 L min    ) t(0 L x x f L 2 2 * 2 t    munosatga ega bo’lamiz. 1 L min    0 L x x f L 2 * 2 t    bo’lgani uchun, oxirgi munosabatdan yetarlicha kichik t>0 lar va  L  R n ,  L  =1 uchun  L (t)-  L (0)>0 yoki f(x i (t))>f(x * ) kelib chiqadi. Bu esa x * ning lokal minimum nuqtasi ekanligini ko’rsatadi. Xuddi shunga o’xshash ko’rsatish mumkinki, agar x * nuqtada   0 x x f ,0 x ) х(f 2 * 2 *       Bo’lsa, x * -lokal maksimum nuqtasi bo’ladi. 3-misol . f(x)=x 1 2 +(x 2 -1) 2  min, x  R 2 . 1x f   =2x 1 =0, 2x f   =2(x 2 -1)=0  x 1 =0, x 2 =1.x * =( 0,1)- stasionar nuqta.

2 2 x f  =       2 0 0 2 >0 Chunki uning ketma ket bosh minorlari musbat: D 1 =2,D 2 = 2 0 0 2 =4>0 Demak, 4-teoremaga asosan, x * =(0,1)- lokal optimal rejadir. Bu nuqta global optimal reja ham bo’ladi, chunki f(x * )=0  f(x),  x  R n 3. Shartli ekstremum masalasi. f(x), x  R n funksiya uchun tenglik ko’rinishida cheklashlar qo’yilgan f(x)  min(max), g 1 (x)=0, g 2 (x)=0,… g m (x)=0 (1) shartli ekstremum masalasini qaraymiz. Љ uyida (1) masalani yechishning klassik usullari- o’zgaruvchilarni yo’qotish usuli va Langraj ko’paytuvchilari usullarini bayon qilamiz. Bu usullar haqida boshlang’ich ma’dumotlar bizga matematik analiz kursidan ma’lum. 4. O’zgaruvchilarni yo’qotish usuli . Bu usulning mohiyati quydanicha. Faraz qilaylik, g 1 (x 1 ,x 2 ,…,x n )=0, g 2 (x 1 ,x 2 ,…,x n )=0,… g m (x 1 ,x 2 ,…,x n )=0 (2) tenglamalardan m-ta o’zgaruvchilarni masalan, x 1 ,x 2 ,…,x m larni qolganlari orqali bir qiymatli ifodalash mumkin bo’lsin: x 1 =h 1 (x m+1 ,…,x n ), … x m =h m (x m+1 ,…,x n ). (3) (3) dan foydalanib, n-m o’zgaruvchili  (x m+1 ,…,x n )=f(h 1 (x m+1 ,…,x n ), … , h m (x m+1 , …,x n ), x m+1 ,…,x n ) funksiyaga eag bo’lamiz. Endi  (x m+1 ,…,x n )  min(max), (x m+1 ,…,x n )  R n+m (4) shartsiz ekstremum masalasini qaraymiz.(I),(4) masalalar uchun quyidagi sodda tasdiqlarga ega bo’lamiz. A) agar (x * 1 ,x * 2 ,…,x * n )-masalaning yechimi bo’lsa, (x * m+1 ,x * m+2 ,…,x * n )-(4) masalaning yechimi bo’ladi. B) agar (x * m+1 ,x * m+2 ,…,x * n )-(4) masalaning yechimi bo’lsa,

{(h 1 (x m+1 ,…,x n ), h 2 (x m+1 ,…,x n ), …,h m (x m+1 ,…,x n ), x m+1 ,…,x n )} – (1) masalaning yechimi bo’ladi. 1-misol. f(x)= x 1 2 +x 2 2 +x 3 2  min(max), x 1 +x 2 +x 3 =1. g(x)= x 1 +x 2 +x 3 -1=0 cheklashdan x 3 =1- x 1 -x 2 , bir qiymatli aniqlangani uchun  (x 1 ,x 2 )= 2x 1 2 +2x 2 2 +2x 1 x 2 -2 x 1 -2 x 2 +1  min(max), (x 1 ,x 2 )  R 2 shartsiz ekstremum masalasiga kelamiz.  (x 1 ,x 2 )= (x 1 -x 2 ) 2 +(x 1 -1) 2 + (x 2 -1) 2 -1  (x 1 -1) 2 + (x 2 -1) 2 -1 munosabatdan  х~ da     х~  ekanligi kelib chiqadi ( х~ =(x 1 ,x 2 )). U vaqtda Veyrshtrass teoremasiga ko’ra  ( х~ ) funksiyaning R 2 da global minimum mavjud. Ammo global maksimum mavjud emas:     x~ sup 2Rx~   ( х~ ) funksiyaning stasionar nuqtalarini aniqlaymiz: 31 2 31 1 1 2 х 2 1 х х х 0 2 х2 х4 0 2 х2 х4 2 1                  Topilgan *х~ = ( 3 1 , 3 1 ) stasionar nuqta  ( х~ ) funksiyaning global minimum nuqtasi bo’ladi (chunki global minimum nuqtasi mavjud, stasionar nuqta esa yagona). Shunday qilib, x * e x * 1 = 3 1 , x * 2 = 3 1 , x * 3 =1- x * 1 - x * 2 = 3 1 } (5) maaslada global minimum nuqta bo’ladi. Global maksimum esa mavjud emas:     x~ sup 3Rx~  . 5.Optimallikning birinchi tartibli zaruriy sharti. Lagranj ko’paytuvchilari qoidasi. 1-l e m m a . Faraz qilaylik, g i (x), 1= m,1 , funksiyalar x *  R n nuqtaning birir atrofida uzluksiz differensiallanuvchi, g i (x * )=0, 1= m,1 , m<n,  g i (x * )/  x, 1= m,1 , vektorlar sistemasi esa chiziqli bog’lanmagan bo’lsin. U vaqtda L T 0 x ) x( g * i    , 1= m,1 , (6)

O'xshashlar

SHARTLI VA SHARTSIZ REFLEKSLAR, QO’ZG’ALISH VA

Shartli va tanlash jarayonlarni dasturlash.

Chekli o’lchovli ekstremal masalalarning umumiy qo’yilishi, xossalari va sinflari. Ekstremal masala yechimining mavjudligi.

Bir yoki ko’p o’zgaruvchili funksiyalar uchun optimallashtirish. Optimallashtirish masalalarini yechish uchun Matlab funksiyalari OPTIMIZATION kutubxonasi

Shartli ekstrеmumga qo`yilgan variatsion masalalar