Shartli ekstr е mumga qo`yilgan variatsion masalalar Reja 1. Bog`lanishlari chekli bo`lgan variatsion masalalar 1) Masalaning qo`yilishi. 2) Masala yechimini izlash tartibi(sxemasi). 3) Masalada shartli ekstremumning zaruriy shartini qo'llash algoritmi. 2. Differensial bog’lanishlari bo’lgan shartli ekstremum masalalari 1) Masalaning qo’yilishi 2) Masala yechimini izlash tartibi (sxemasi). 3) Masalada ekstremumning zaruriy shartini qo’llash algoritmi.

1.1. Masalaning qo`yilishi . Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi joizy(x)=(y1(x),...,yn(x)) vektor funksiyalar to’plami M ni qaraymiz: a) yi(x) funksiyalar [x0,x1] kesmada aniqlangan va uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsin, ya’ni yi(x)∈C1[x0,x1],i=1,n,x0,x1 - berilgan; b) yi(x) funksiyalar yi(x0)=yi0,yi(x1)=yi1,i=1,n (1) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin, ya’ni yi(x) egri chiziqlarning har biri mahkamlangan (qo’zg’almas) chegara nuqtalardan o’tadi, yi0,yi1,i=1,n , berilgan sonlar; c) yi(x) funktsiyalar barcha x∈[x0,x1] lar uchun ϕj(x,y1(x),...,yn(x))=0,j=1,m,m<n , (2) chekli bog’lanishlarni qanoatlantiradi., bunda yj(x,y1,y2...,yn),j=1,m funksiyalar barcha o’zgaruvchilari bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchidir. (2) tenglamalar o’zaro bog’lanmagan, ya’ni rang ¿( ∂ϕ1 ∂y1 ..... ∂ϕ1 ∂yn ¿ ) (................¿)¿ ¿ ¿ , hamda (2) bog’lanishlar (1) chegaraviy shartlarga muvofiqlashtirilgan. Oxirgi jumlaning ma’nosi shundan iboratki, chegaraviy nuqtalar (2) tenglamalarni x= x0 va x= x1 bo’lganda qanoatlantirishi shart. M to’plamda J[y1,y2,...,yn]=∫ x0 x1 F(x,y1,...,yn,y1',y2',...,yn')dx (3) funksional berilgan, bu yerda F(x,y1,...,yn,y1',y2',...,yn') funksiya o’zining barcha argumentlari bo’yicha ikkinchi tartibgacha uzluksiz xususiy hosilalarga ega, deb faraz qilinadi.

M to’plamga tegishli joiz y(x) vektor funksiyalar ichida shunday y∗(x)=(y1∗(x),...,yn∗(x))1 vektor funksiyani topish kerakki, unda (3) funktsional ekstremumga erishsin, ya’ni J[y1∗(x),y2∗(x),...,yn∗(x)]= extry(x)∈M∫ x0 x1 F(x,y1,...,yn,y1',y2',...,yn')dx (4) bo’lsin. Qo’yilgan masala, funksionallarning shartli ekstremumini topish haqidagi masalalar sirasiga kiradi. 1.2. Masala yechimini izlash tartibi (sxemasi). Sxema ekstremumning zaruriy sharti, birinchi variatsiyaning ekstremum beruvchi funksiyada nolga tengligiga, ya’ni δJ =0 shartga tayanadi. Ma’lumki, (4) masala, bir o’zgaruvchili bir necha funksiyalarga bog’liq funksionalning ekstremumi haqidagi masaladan (4-ma’ruzaga q.) faqat (2) chekli bog’lanishlar mavjudligi bilan farq qiladi. Shuning uchun, funksionalning birinchi variatsiyasi uchun, δJ =∫x0 x1 ∑i=1 n [Fyi− d dx Fyi]δyi(x)dx (5) ifodadan foydalanamiz. Modomiki, yi(x) funksiyalar (2) chekli bog’lanishlarni qanoatlantirishlari shart ekan, δϕi=∑ i=1 n [ ∂ϕj ∂yi ]|y∗(x)δy i(x)=0,j=1,m , (6) bu yerda y∗(x) - funksional ekstremumga erishadigan egri chiziq bo’lib, δy j variatsiya x ning [x0,x1] oraliqda tanlangan qiymatida hisoblangan. Shunday qilib, δyi(x) variatsiyalarning faqat n−m tasini ixtiyoriy deb hisoblash mumkin (masalan, δym+1(x),...,δyn(x) larni), qolganlari esa, (6) shartlardan aniqlanadi. Endi (6) tenglamalarning har birini qandaydir λj(x) funksiyaga hadma-had ko'paytirib va x0 dan x1 gacha bo'lgan chegaralarda integrallab,

∫ x0 x1 λj(x)∑i=1 n ∂ϕj ∂yi δyi(x)dx =0, j=1,m (7) munosabatlarni olamiz. (5) va (7) munosabatlarni hadma-had qo'shsak, ∫x0 x1 ∑i=1 n [Fyi+∑j=1 m λj(x)∂ϕj ∂yi − d dx Fyi']δy i(x)dx =0 (8) hosil bo'ladi. Agar F¿(x,y,y')=F(x,y,y')+∑j=1 m λj(x)ϕj(x,y) (9) belgilashni kiritsak, bunda F¿(x,y,y') - Lagranj funksiyasi , λj(x),j=1,m - Lagranj ko'paytuvchilari deb ataladi, oxirgi tenglamani, ∫x0 x1 ∑i=1 n [Fyi¿− d dx Fyi'¿]δy i(x)dx =0 (10) ko'rinishda yozish mumkin. m ta λ1(x),...,λm(x) ko'paytuvchilarni shunday tanlaylikki, ular y¿(x) egri chiziq bilan birga m ta Fyi¿− d dx Fyi'¿=0, i=1,m (11) Eyler tenglamalari sistemasini qanoatlantirsin. Bunday qilishning imkoniyati bor, chunki (11) sistema, (9) belgilashni hisobga olganda, Fyi+∑ j=1 m λj(x) ∂ϕj ∂yi − d dx Fyi'=0, i= 1,m ko'rinishni oladi. Ravshanki, (11) sistema λj(x) larga nisbatan chiziqli va uning determinanti noldan farqli (masalaning qo'yilishidagi c) bandga ko'ra), demak, u λ1(x),...,λm(x) yechimga ega.

λ1(x),...,λm(x) ko’paytuvchilar yuqoridagidek tanlanganda, (10) shart, quyidagi, ∫x0 x1 ∑i=m+1 n [Fyi¿− d dx Fyi'¿]δy i(x)dx =0 (12) ko’rinishni oladi, bunda δym+1(x),...,δyn(x) variatsiyalar o’zaro bog’lanmagan. U holda, variatsion hisobning masalasiga asosan (uni qo’llash uchun variatsiyalarning navbat bilan bittasini ixtiyoriy deb, qolganlarini nolga teng deb olish mumkin), Fyi¿− d dx Fyi'¿=0, i=m+1,..n (13) munosabatlarga ega bo’lamiz. Nihoyat, (11) va (13) larni hisobga olib, y¿(x) egri chiziq va Lagranj ko’paytuvchilari Fyi¿− d dx Fyi'¿=0, i=1,n (14) Eyler tenglamalari sistemasini qanoatlantirishi zarur degan xulosa qilish mumkin. Shunday qilib, 2n ta (1) chegaraviy shartlarni hisobga olgan holda, n+m ta (14) va (2) tenglamalardan y∗(x)=(y1∗(x),...,yn∗(x))1 vektor funksiya va λ1(x),...,λm(x) Lagranj ko’paytuvchilari topiladi. Bayon qilingan natijani quyidagicha ifodalaymiz. 1-t e o r e m a((4) masalada ekstremumning zaruriy sharti). Agar (1) cheegaraviy shartlarni va (2) chekli bog’lanishlarni qanoatlantiruvchi y∗(x)=(y1∗(x),...,yn∗(x))1 vector funksiyada, bunda yi(x)∈C1[x0,x1],i=1,n, (3) funktsional ekstremumga erishsa , y1∗(x),...,yn∗(x) funksiyalar. J¿[y1,...,yn]=∫x0 x1 F¿(x,y1,...,yn,y1',...,yn')dx=∫ x0 x1 [F(x,y1,...,yn,y1',...,yn')+∑j=1 m λj(x)ϕj(x,y1,...,yn)]dx funksional uchun tuzilgan