Variatsion hisobning predmeti, funksionalning ekstremumi
![Demak, y ( x ) chiziq bo’ylab A nuqtadan B nuqtaga ko’chish uchun sarflangan
T=T[ y ] vaqt uchun
(1)
ifodaga ega bo’lamiz. (1) ko’rinishdagi T=T[ y ] miqdor y = y ( x ), x [0, x
1 ] uzluksiz
differensiallanuvchi funksiyalar fazosida aniqlangan bo’lib, braxistoxrona haqi-
dagi masala esa, T[ y ] funksionalni ng , y (0)=0, y ( x
1 )= y
1 shartlarni qanoatlantiruvchi
uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar to’plamida, minimumin i topish
masalasidan iboratdir. Bu masala I.Bernulli, I.Nyuton, G.Leybnislar tomonidan
yechilgan bo’lib, eng tez o’tish (sirpanish) chizig’i sikloida deb ataluvchi
chiziqdan iborat bo’lar ekan (bunga biz keyinroq ishonch hosil qilamiz).
Geodezik chiziqlar haqidagi masala. Masala quyidagicha qo’yiladi:
Berilgan S sirtda yotuvchi va sirtning A
0 va h amda A
1 nuqtalarini tutashtiruvchi eng
qisqa uzunlikka ega bo’lgan chiziq topilsin (2-chizma).
Bunday eng qisqa uzunlikka ega chiziqlar geodezik chiziqlar deb ataladi.
Masalaning matematik modelini tuzish uchun, S sirt tenglama bilan
berilgan, A
0 va A
1 nuqtalarning koordinatalari, mos ravishda, ( x
0 ,y
0, z
0 ) va ( x
1 ,y
1, z
1 )
bo’lsin, deb faraz qilamiz. Qaralayotgan nuqtalarni tutashtiruvchi ixtiyoriy y=y(x),
z=z(x), x
0
x x
1 silliq chiziqni qaraymiz. Matematik analiz kursidan yaxshi
ma’lumki, bu chiziqning uzunligi
(2)
formula orqali topiladi. Masalaning qo’yilishiga ko’ra,
y(x0)= y0,z(x0)=z0,y(x1)= y1,z(x1)=z1,ϕ(x,y(x),z(x))=0,x0≤x≤ x1 (3)
munosabatlarga ega bo’lamiz. Shunday qilib, geodezik chiziqlar haqidagi masala
(2) ko’rinishdagi L[y,z] o’zgaruvchi miqdorni (3) shartlarni qanoatlantiruvchi
uzluksiz differensiallanuvchi, y=y(x), z=z(x), x
0
x x
1 funksiyalar to’plamida](/data/documents/d079382a-1427-41d6-8f03-43185399e526/page_3.png)
![minimallash-tirish masalasidan iborat. Bu masala, 1968 yilda Ya.Bernulli
tomonidan yechilgan.
Klassik izoperimetrik masala. Bu masalada berilgan uzunlikka ega
bo’lgan barcha yopiq chiziqlar ichida maksimal S yuzani chegaralovchi chiziqni
topish talab qilinadi.
Bunday chiziqning aylanadan iborat ekanligi qadimgi Yunonistonda ma’lum
edi. Izoperimetrik masala deb ataluvchi bu masalani xozirgi zamon matematikasi
tilida ifodalash uchun, yopiq chiziq x=x(t), y=y(t), t [t
0 ,t
1 ] parametrik tenglamalar
bilan berilgan, deb faraz qilamiz.
U holda, shu yopiq chiziq bilan chegaralangan yuza,
S[x,y]=∫t0
t1
xyt'dt (4)
formula orqali topiladi. Chiziq uzunligi ga tengligi va chiziqning yopiqligini
hisobga olsak,
(5)
izoperimetrik shartga va
(6)
chegaraviy shartga ega bo’lamiz. Shunday qilib, qaralayotgan masala (4)
ko’rinishdagi o’zgaruvchi miqdorning, (5), (6) shartlarni qanoatlantiruvchi
x= x(t),y= y(t),t0≤t≤t1
uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar to’plamida,
minimumini topishdan iboratdir.
Yuqorida keltirilgan masalalarda (1), (2) va (4) ko’rinishdagi o’zgaruvchi
miqdorlarga ega bo’ldik. Ular funksional tipidagi o’zgaruvchi miqdorlarga misol
bo’la oladi. Funksionallar esa, funksional analiz kursining asosiy tushunchalaridan
biri bo’lib, berilgan W funksional fazo V to’plamining har bir elementiga biror J(u)
haqiqiy sonni mos qo’yuvchi akslantirishni bildiradi. Funksionallar, odatda,
cheksiz o’lchovli funksional fazolarda berilgan bo’ladi. Ularning eng katta
(maksimal) va eng kichik (minimal) qiymatlarini topish haqidagi masalalar cheksiz](/data/documents/d079382a-1427-41d6-8f03-43185399e526/page_4.png)
![a) C[a,b] fazo. Bu fazo chiziqli normalangan fazo bo’lib, u [a,b] kesmada
aniqlangan uzluksiz funksiyalardan tashkil topgan. C[a,b] fazo f=f(x) elementining
normasi,
(7)
formula bo’yicha aniqlangan.
1-t a ’ r i f. C[a,b] fazodan olingan ikkita y
1 =y
1 (x) va y
2 =y
2 (x) funksiyalar
orasidagi nolinchi tartibli masofa deb,
(8)
tenglik bilan aniqlanadigan P
0 songa aytiladi. Demak, ikkita funksiya orasidagi
nolinchi tartibli masofa – ular ayirmasining normasiga tengdir. (8) tenglik bilan
aniqlangan P
0 ga, C[a,b] fazodagi metrika ham deyiladi. C[a,b] – metrik fazodir.
Nolinchi tartibli metrikaga asoslangan holda,
(9)
tenglik orqali, markazi y
0 C[a,b] elemenitda bo’lgan nolinchi tartibli ε - atrofni
qarash mumkin.
Markazi y
0 da bo’lgan nolinchi tartibli ε -atrof, geometrik nuqtai nazardan,
shunday y=y(x) funksiyalar to’plamidan iboratki, ularning grafiklari y
0 =y
0 (x) ni
o’zida saqlovchi 2 ε kenglikdagi (vertikal bo’yicha) yo’lakning ichida to’la yotadi
(3-chizma).
b) C 1
[a,b] fazo. Bu fazo [a,b] kesmada o’zining birinchi tartibli hosilalari
bilan birga uzluksiz funksiyalaridan iborat. Bu holda metrikani ikki xil yo’l bilan
aniqlash mumkin.
2-t a ’ r i f. Ikkita y
1 =y
1 (x) va y
2 =y
2 (x) funksiyalar orasidagi birinchi
tartibli masofa deb, quyidagi
(10)
tenglik bilan aniqlanadigan
ρ1 songa aytiladi.
Birinchi tartibli masofa tushunchasi orqali birinchi tartibli ε - atrof ushbu
(11)](/data/documents/d079382a-1427-41d6-8f03-43185399e526/page_6.png)
![tenglik yordamida kiritiladi, bunda y
0 – atrofning markazi.
Birinchi tartibli atrofnig ta’rifiga ko’ra, bir vaqtning o’zida
, tengsizliklar bajarilishi shart. Bu
yerdan, nolinchi tartibli ε – atrofning, birinchi tartibli ε – atrofdan kengroq
ekanligi, ya’ni
(12)
mansublik o’rinli bo’lishi kelib chiqadi.
C (1)
[a,b] ham chiziqli normalangan fazodir. Unda norma funksiya va uning
hosilasi modullari maksimumlarining yig’indisi kabi aniqlanadi:
(13)
v) C (n)
[a,b] fazo. Bu fazo [a,b] kesmada aniqlangan va o’zining n -
tartibgacha hosilalari bilan uzluksiz fuknsiyalaridan iborat (n≥1).
C (n)
[a,b] fazodagi f=f(x) elementning normasi
(14)
tenglik bilan aniqlanadi. Bu fazoning ikki elementi orasidagi masofa deganda, ular
ayirmalarining normasini tushunamiz. Bu masofani n-tartibli masofa deb ataymiz
va p
n (y
1 ,y
2 ) deb belgilaymiz:
(15)
C (n)
[a,b] metrik fazo, ρ
n - undagi metrikadir.
3. Chiziqli va kvadratik funksionallar. Funksionalning variatsiyalari.
Funksionalning variatsiyasi ta’rifini berishdan oldin chiziqli va kvadratik
funksionallar tushunchalarini eslatib o’tamiz.
Agar biror chiziqli normalangan W fazoda aniqlangan J[u] funksional bir
jinsli va additiv bo’lsa, ya’ni:
1) c -ixtiyoriy o’zgarmas.](/data/documents/d079382a-1427-41d6-8f03-43185399e526/page_7.png)
![2)
shartlar bajarilsa, J[u]-chiziqli funksional deyiladi. Masalan, agar p(x) va q(x) lar
[ x
0 ,x
1 ] kesmada uzluksiz funksiya bo’lsa,
tenglik orqali aniqlangan J[y] funksional W=C 1
[x
0 ,x
1 ] da chiziqli funksional
bo’ladi.
W – chiziqli normalangan fazo, J=J[u,v] funksional har bir o’zgaruvchisi
bo’yicha chiziqli bo’lsin. Agar u=v deb olsak, hosil bo’lgan J[u,u] funksionalga
kvadratik funksional deyiladi. Masalan, agar a(x)-[x
0 ,x
1 ] oraliqda aniqlangan
uzluksiz funksiya bo’lsa,
funksional W=C[x
0 ,x
1 ] fazoda har bir u=u(x ) va v=v(x) elementlar bo’yicha
chiziqli funksionaldir. Bu yerda u=v deb olib, C[x
0 ,x
1 ] da aniqlangan
kvadratik funksionalga ega bo’lamiz.
3-t a ’ r i f. Agar J[y] funksional W chiziqli normalangan fazoda berilgan
bo’lsa,
ayirmaga J[y] funksionalning orttirmasi deyiladi.
4-t a ’ r i f. Agar W chiziqli normalangan fazoda berilgan J[y]
funksionalning orttirmasi uchun,
(16)
yoyilma o’rinli bo’lib, bunda -b ga nisbatan chiziqli funksional, esa,
da / munosabatni qanoatlantirsa , J[y] funksional
nuqtada differensiallanuvchi yoki birinchi variatsiyasiga ega deyiladi.](/data/documents/d079382a-1427-41d6-8f03-43185399e526/page_8.png)
![(16) yoyilmaning bosh qismidan iborat L[y,h] ga esa, J[y] funksionalning
birinchi variatsiyasi deyiladi va u kabi belgilanadi: .
Keltirilgan ta’rif bo’yicha variatsiyaga ega funksionallarga adabiyotlarda
Freshe ma’nosida (yoki kuchli ma’noda ) differensiallanuvchi funksionallar ham
deyiladi.
6- t a ’ r i f. W chiziqli normalangan fazoning y elementi va uning ixtiyoriy
elementi uchun, funksionalning orttirmasi,
(17)
ko’rinishdagi yoyilmaga ega bo’lsin, bu yerda ga nisbatan chiziqli
fnuksional, esa, ga nisbatan kvadratik funksional,
U holda, J[y] funksional nuqtada ikkinchi
variatsiyaga ega deyiladi. h ga nisbatan kvadratik funksional esa, J[y]
funksionalning ikkinchi variatsiyasi deyiladi hamda bu variatsiya
kabi belgilanadi: .
M i s o l. bo’lsin.
Bu funksional uchun (17) yoyilma
ko’rinishda bo’ladi. Demak , yuqorida keltirilgan ta ’ riflarga ko ’ ra ,
.
Funksionalning Freshe bo’yicha kuchli ma’noda differensiallanuvchiligi
Bilan bar qatorda Lagranj bo’yicha kuchsiz ma’noda differensiallanuvchiligi
tushunchasi ham mavjud.
W chiziqli normalangan fazoning biror V to’plamida aniqlangan J[y]
funksional berilgan bo’lsin. V to’plam yoki to’plam W
ning chiziqli qism fazosi bo’lsin.](/data/documents/d079382a-1427-41d6-8f03-43185399e526/page_9.png)
![7- t a ’ r i f. J[y] funksionalning nuqtadagi Lagranj bo’yicha birinchi
variatsiyasi deb, funksiyaning nuqtadagi hosilasiga aytiladi:
.
funksiyaning nuqtada ikkinchi tartibli hosilasiga esa, J[y]
funksionalning Lagranj bo’yicha ikkinchi variatsiyasi deyiladi:
M i s o l.
Bu funksional W=C 1
[x
0 ,x
1 ] da aniqlangan. Uning Lagranj bo’yicha
birinchi va ikkinchi variatsiyalarini hisoblaymiz.
Demak, ta’rifga ko’ra
Funksionalning Freshe bo’yicha dfferensiallanuvchiligidan, Lagranj bo’yicha ham
d i fferensiallanuvchiligi kelib chiqadi va bunda mos variatsiyalar o’zaro tengdir
4. Funksionalning ekstremumi. Ekstremumning zaruriy va yetarli
shartlari. Yuqorida ta’kidlaganidek, funksionallarning eng katta yoki eng kichik
qiymatlarini topishga keltiriluvchi amaliy masalalar juda ko’p uchraydi va
matematikaning bunday masalalarni o’rganadigan bo’limi – variatsion hisobdir.
Endi funksionalning ekstremumi tushunchasining aniq matematik ta’rifini
keltiramiz va funksional variatsiyasidan foydalanib, ekstremumning umumiy
ko’rinishidagi zaruriy hamda yetarli shartlarini bayon qilamiz.
Cheksiz o’lchovli W fazoning biror V to’plamida aniqlangan J[y] funksional
berilgan bo’lsin.](/data/documents/d079382a-1427-41d6-8f03-43185399e526/page_10.png)
![8-t a ’ r i f. Agar ixtiyoriy uchun J[y∗]≤J[y](J[y∗]≥ J[y]) tengsizlik
bajarilsa, nuqta J[y] funksionalning V to’plamidagi global minimum
(maksimum) nuqtasi, J[y *
] esa funksionalning minimal (maksimal) qiymati
deyiladi:
J[y∗]=min
y∈V
J[y](J[y∗]=max
y∈V
J[y])
Funksionalning minimum va maksimum nuqtalarini, umumiy nom bilan,
ekstremum nuqtalari deb ataymiz.
Masalan, W=C[0,1] da aniqlangan
J[y]≥0= J[y∗],∀ y∈C[0,1 ]
.
Endi W – chiziqli normalangan fazo, J[y] funksional to’plamda
aniqlangan bo’lsin deb faraz qilamiz.
9-t a ’ r i f. Agar biror son topilib,
¿ ¿ shartni qanoatlantiruvchi
barcha y
V nuqtaga J[y *
] J[y] (J[y *
]≥J[y]) tengsizlik bajarilsa, y *
V nuqtaga
J[y] funksionalning V to’plamdagi lokal minimum (lokal maksimum) nuqtasi
deyiladi.
Yuqorida keltirilgan ta’riflardan funksionalning global ekstremumi uning
lokal ekstremumi ham bo’lishi kelib chiqadi. Bu tasdiqning aksinchasi esa, to’g’ri
emas.
M i s o l. , funksionalni qaraymiz. U, W=C 1
[0,1] da
aniqlangan.
Shu funksional V= { y
C 1
[0,1]: y(x)=0 } to’plamda global maksimumga ega
emas: Haqiqatan ham, agar y
n =nx, n=0,1,… (y
n
V) funksiyalarni
qarasak,
.](/data/documents/d079382a-1427-41d6-8f03-43185399e526/page_11.png)
![Ammo, y *
=0 funksiya, J[y] funksional uchun lokal maksimum nuqtasi
bo’ladi.
Haqiqatan ham: J[y *
]=0, //y-y *
//
C[0,1] <ε (0<ε<1) bo’dganda, y 2
-1 0,
shuning uchun,
.
J[y] funksionalning cheksiz o’lchovli W fazoning V qism to’plamidagi
minimumini (yoki maksimumini) topish haqidagi masala, cheksiz o’lchovli
ekstremal masaladir. Bu masalani variatsion masala deb ataymiz va
(18)
yoki
ko’rinishda belgilaymiz.
Keyingi ma ’ ruzalarda qaraladigan variatsion masalalarda J [ y ] funksional , W
fazo va uning V to ’ plami aniqlashtiriladi . Odatda , V to ’ plam funksiyalar ( yoki
ularning geometrik talqini sifatida chiziqlar , sirtlar ) to ’ plamidan iborat bo ’ ladi .
Shuning uchun, (18) ekstremal masalada V to’plam elementlariga joyiz
funksiyalar (chiziqlar, sirtlar) deb ataymiz.
Chiziqli normalangan W fazoning biror V to’plamida aniqlangan J[y]
funksional berilgan bo’lsin ( V=W bo’lishi ham mumkin). V – chiziqli qism fazo
yoki biror
y0∈V uchun qurilgan M(y
0 )={h W: y+h V} to’plam chiziqli qism
fazodan iborat bo’lsin.
Shu farazlarda, (18) masalalarda ekstremumning zaruriy va yetarli shartlari
quyidagi teoremalarda ifodalangan.
1- t e o r e m a. Agar
y0∈V
nuqta J[y] funksionalning lokal minimum
(maksimum) nuqtasi bo’lsa va shu nuqtada birinchi variatsiya hamda
ikkinchi variatsiya mavjud bo’lsa,
(19)
shartlar bajariladi.](/data/documents/d079382a-1427-41d6-8f03-43185399e526/page_12.png)
![I s b o t i. Isbotni minimum uchun keltiramiz. Maksimum uchun ham shunga
o’xshash isbotlanadi.
J[y] funksionalning y
0 V nuqtada variatsiyaga ega ekanligidan,
(20)
tenglik bajariladi, bu yerda .
y0 - lokal minimum nuqtasi
bo’lganligidan, yetarli kichik
t>0 uchun, (20) dan,
yoki da limitga o’tib,
δJ ≥0 munosabatni olamiz. Xuddi shuningdek, (20)
yoyilmadan yetarli kichik t<0 uchun foydalanib, munosabatni olamiz.
Demak, .
Endi J[y] funksionalning y
0 nuqtada ikkinchi variatsiyasining
mavjudligini va birinchi variatsiya =0 ekanligini hisobga olib,
J[y0+th ]− J[y0]= t2
2δ2J[y0,h]+O (t2), t∈R
(21)
yoyilmaga ega bo’lamiz, bu yerda lokal minimum nuqtasi
bo’lganligi uchun, (21) dan,
t engsizlik o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. Bu tengsizlikda da limitga o’tib,
≥0 munosabatni olamiz. Teorema isbotlandi.
2-t e o r e m a. Agar J[y] funksional y
0
V nuqtada birinchi va ikkinchi
variatsiyalarga ega bo’lib, ular
(22)
(bu yerda >0 – biror o’zgarmas) shartlarni qanoatlantirsa, y
0 – lokal minimum
(lokal maksimum) nuqtasi bo’ladi.
I s b o t i. (22) munosabatlardan va ikkinchi variatsiya ta’rifidan
foydalanib,](/data/documents/d079382a-1427-41d6-8f03-43185399e526/page_13.png)
Variatsion hisobning predmeti, funksionalning ekstremumi .. Reja: 1. Variatsion hisobning klassik masalalari. 2. Variatsion hisob predmeti va uning rivojlanishidan qisqa tarixiy ma’lumotlar. 3. Asosiy funksional fazolar. 4. Funksionalning variatsiyalari. 5. Funksionalning ekstremumi. 6. Ekstremumning zaruriy va yetarli shartlari.
1. Variatsion hisobning klassik masalalari . Variatsion hisob predmeti . Dastlab variatsion hisob predmetini yaxshiroq anglab olishga imkon beruvchi hamda matematikada bu yo’nalishning paydo bo’lishi va rivojlanishida muhim ahamiyatga ega bo’lgan masalalardan quyidagilarni keltiramiz. Braxistoxrona haqidagi masala . 1696 yilda I.Bernulli tomonidan qo’yilgan bu masalada bir vertikal to’g’ri chiziqda yotmagan ikkita A va B nuqtalarni tutashtiruvchi shunday chiziqni topish talab qilinadiki, material nuqta o’z og’irlik kuchi ta’siri ostida shu chiziq bo’ylab harakat qilib, A nuqtadan B nuqtaga eng qisqa vaqtda yetib kelsin.(1-chizma). Masalaning nomi grekcha “braxistos” –eng qisqa, “xronos” –vaqt so’zlaridan kelib chiqqan. Braxistoxrona haqidagi masalani hozirgi zamon matematikasi tilida ifodalash uchun to’g’ri burchakli O xy kooordinatalar sistemasini 1-chizmada ko’rsatilganidek, ya’ni O y o’qni pastga yo’naltirib, qaraymiz. A nuqtani koordinata-lar boshiga joylashtiramiz. B nuqtaning koordinatalari (x 1 ,y) bo’lsin. A( 0,0 ) va В ( x 1, y 1 ) nuqtalarni ixtiyoriy y=y(x) silliq chiziq bilan tutashtiramiz. Shu chiziq bo’ylab og’irlik kuchi ta’sirida harakatlanuvchi material nuqtaning massasi m ga, t vaqt momentidagi tezligi v ga teng bo’lsin. U holda, t vaqtda harakatdagi nuqtaning kinetik energiyasi , potensial energiyasi P=- mgy bo’ladi, bu yerda g≈9.8 m/c 2 -erkin tushish tezlanishi o’zgarmasi. Fizikadan yaxshi ma’lum bo’lgan energiyaning saqlanish qonuniga ko’ra, −mgy +mv 2 2 =0 tenglikni olamiz. Bu yerdan . Endi ekanligini hisobga olsak, dt = ds v= √ 1+y'2 2gy dx bo’ladi.
Demak, y ( x ) chiziq bo’ylab A nuqtadan B nuqtaga ko’chish uchun sarflangan T=T[ y ] vaqt uchun (1) ifodaga ega bo’lamiz. (1) ko’rinishdagi T=T[ y ] miqdor y = y ( x ), x [0, x 1 ] uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar fazosida aniqlangan bo’lib, braxistoxrona haqi- dagi masala esa, T[ y ] funksionalni ng , y (0)=0, y ( x 1 )= y 1 shartlarni qanoatlantiruvchi uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar to’plamida, minimumin i topish masalasidan iboratdir. Bu masala I.Bernulli, I.Nyuton, G.Leybnislar tomonidan yechilgan bo’lib, eng tez o’tish (sirpanish) chizig’i sikloida deb ataluvchi chiziqdan iborat bo’lar ekan (bunga biz keyinroq ishonch hosil qilamiz). Geodezik chiziqlar haqidagi masala. Masala quyidagicha qo’yiladi: Berilgan S sirtda yotuvchi va sirtning A 0 va h amda A 1 nuqtalarini tutashtiruvchi eng qisqa uzunlikka ega bo’lgan chiziq topilsin (2-chizma). Bunday eng qisqa uzunlikka ega chiziqlar geodezik chiziqlar deb ataladi. Masalaning matematik modelini tuzish uchun, S sirt tenglama bilan berilgan, A 0 va A 1 nuqtalarning koordinatalari, mos ravishda, ( x 0 ,y 0, z 0 ) va ( x 1 ,y 1, z 1 ) bo’lsin, deb faraz qilamiz. Qaralayotgan nuqtalarni tutashtiruvchi ixtiyoriy y=y(x), z=z(x), x 0 x x 1 silliq chiziqni qaraymiz. Matematik analiz kursidan yaxshi ma’lumki, bu chiziqning uzunligi (2) formula orqali topiladi. Masalaning qo’yilishiga ko’ra, y(x0)= y0,z(x0)=z0,y(x1)= y1,z(x1)=z1,ϕ(x,y(x),z(x))=0,x0≤x≤ x1 (3) munosabatlarga ega bo’lamiz. Shunday qilib, geodezik chiziqlar haqidagi masala (2) ko’rinishdagi L[y,z] o’zgaruvchi miqdorni (3) shartlarni qanoatlantiruvchi uzluksiz differensiallanuvchi, y=y(x), z=z(x), x 0 x x 1 funksiyalar to’plamida
minimallash-tirish masalasidan iborat. Bu masala, 1968 yilda Ya.Bernulli tomonidan yechilgan. Klassik izoperimetrik masala. Bu masalada berilgan uzunlikka ega bo’lgan barcha yopiq chiziqlar ichida maksimal S yuzani chegaralovchi chiziqni topish talab qilinadi. Bunday chiziqning aylanadan iborat ekanligi qadimgi Yunonistonda ma’lum edi. Izoperimetrik masala deb ataluvchi bu masalani xozirgi zamon matematikasi tilida ifodalash uchun, yopiq chiziq x=x(t), y=y(t), t [t 0 ,t 1 ] parametrik tenglamalar bilan berilgan, deb faraz qilamiz. U holda, shu yopiq chiziq bilan chegaralangan yuza, S[x,y]=∫t0 t1 xyt'dt (4) formula orqali topiladi. Chiziq uzunligi ga tengligi va chiziqning yopiqligini hisobga olsak, (5) izoperimetrik shartga va (6) chegaraviy shartga ega bo’lamiz. Shunday qilib, qaralayotgan masala (4) ko’rinishdagi o’zgaruvchi miqdorning, (5), (6) shartlarni qanoatlantiruvchi x= x(t),y= y(t),t0≤t≤t1 uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar to’plamida, minimumini topishdan iboratdir. Yuqorida keltirilgan masalalarda (1), (2) va (4) ko’rinishdagi o’zgaruvchi miqdorlarga ega bo’ldik. Ular funksional tipidagi o’zgaruvchi miqdorlarga misol bo’la oladi. Funksionallar esa, funksional analiz kursining asosiy tushunchalaridan biri bo’lib, berilgan W funksional fazo V to’plamining har bir elementiga biror J(u) haqiqiy sonni mos qo’yuvchi akslantirishni bildiradi. Funksionallar, odatda, cheksiz o’lchovli funksional fazolarda berilgan bo’ladi. Ularning eng katta (maksimal) va eng kichik (minimal) qiymatlarini topish haqidagi masalalar cheksiz
o’lchovli ekstremal masalalar bo’lib, bunday masalalarni o’rganish variatsion hisob predmetini tashkil etadi. XVII asrning oxiridan XX asr o’rtalarigacha bo’lgan davr klassik variatsion hisobning paydo bo’lishi va rivojlanishini o’z ichiga oladi. Bu davrda dastlabki fundamental tadqiqotlar L.Eyler va J..Lagranj tomonidan bajarildi. XVIII asrning oxirlarida Eyler, Lagranj va Lejandrlarning ilmiy tadqiqotlari natijasida variatsion hisob birinchi variatsiyani tekshirish qismi bo’yicha tugallangan shaklga ega bo’ldi. XIX asrda esa, avval ma’lum bo’lgan variatsion masalalarni umumlashtirish boshlandi va variatsion hisobning tadbiqlari bo’yicha natijalar olindi (M.I.Ostrogradskiy tomonidan 1834 yilda karrali integralli variatsion masalalar uchun zaruriy shartlar olindi, variatsion hisobning mexanikaga tadbiqi qaraldi). XIX asrning ikkinchi yarmida funksionallar ekstremumlarining yetarli shartlari olindi (K.Veyershtrass tomonidan, 1879 yilda). XX asrda variatsion hisobning to’g’ri usullari yuzaga keldi. Ular variatsion masalalarni taqribiy yechish uchun, hamda ularda yechimning mavjudligini isbotlash uchun juda muhimdir. XX asrning boshlarida matematikada yangi yo’nalish – funksional analiz yuzaga keldi va aniq tabiatshunoslikning turli sohalarida, jumladan, kvant mexanikasida keng qo’llanila boshladi. Variatsion hisob «chiziqsiz» funksional analizning tarkibiy qismiga aylandi. XX asrnig ikkinchi yarmiga kelib optimal boshqaruvning matematik nazariyasiga asos solinishi va uning jadal rivojlanishi variatsion hisob taraqqiyotida yangi davrni boshlab berdi. Bu yangi yo’nalishda, sobiq Ittifoqda akademik L.S.Pontryaginning «maksimum prinsipi», amerikalik R.Bellmanning dinamik pogrammalashtirish usuli asosiy natijalar hisoblanadi. 2. Asosiy funksional fazolar. Bizga funksional analiz kursidan yaxshi ma’lum bo’lgan va variatsion hisob masalalarini o’rganishda keng foydalaniladigan eng muhim funksional fazolarni eslatib o’tamiz.