Variatsion hisobning asosiy masalasi (ikkinchi variatsiyani tekshirish, ekstremumning yetarli shartlari). Reja: 1. Ikkinchi variatsiyani hisoblash. Lejandr sharti. 2. Yakobi tenglamasi. Yakobi sharti. 3. Kuchsiz ekstremumning yetarli shartlari. 4. Kuchli ekstremumning zaruriy va yetarli shartlari. 5. Kvadratik funksional uchun natija. 6. Misollar.

1.Lejandr sharti. y 0 =y 0 (x) joyiz funksiya bo’lsin (y 0 V). Shu nuqtada (1) funksionalning ikkinchi variatsiyasini hisoblaymiz. Ta’rifga ko’ra, bu variatsiya, δ2J[y2,h]= d2J[y0+αh ] dα 2 /α=0¿¿ formula bo’yicha hisoblanadi, bu yerda h= h(x)∈C(1)[x0,x1],h(x0)= h(x1)= 0 . Agar F(x,y,y')∈C(2)(Q) deb faraz qilsak, ϕ(α)= J[y0+αh ] funksiya  =0 nuqta atrofida uzluksiz ikkinchi tartibli hosilaga ega. Demak, δ2J[y0,h]=d2 dα 2∫ x0 x1 F(x,y0(x)+αh (x),y0′ (x)+αh'(x))dx |α=0= =∫ x0 x1 ∂2 ∂α2F(x,y0(x)+αh (x),y0′ (x)+αh'(x))dx |α=0= = =∫ x0 x1 [Fyy(x,y0(x),y0′(x))h2(x)+2Fyy'(x,y0(x),y0′(x))h(x)h'(x)+ +Fy'y'(x,y0(x),y0′ (x))h'2(x)]dx , h= h(x)∈C(1)[x0,x1], h(x0)= h(x1)= 0 (3) 1-t e o r e m a (Lejandr). F(x,y,y')∈C(2)(Q) bo’lsin. A gar y0(x)∈C(1)[x0,x1]−(1) funksionalning (2) to’plamdagi kuchsiz minimali (maksimali) bo’lsa, F y'y'(x,y0(x),y0′ (x))≥ 0 (≤ 0), ∀ x∈[x0,x1] (4) tengsizlik bajariladi. (4) munosabatga Lejandr sharti deyiladi. I s b o t i. Faraz qilaylik, (4) bajarilmasin, ya’ni biror  [x 0 ,x 1 ] uchun, F y'y'(ξ ,y0(ξ ),y0′ (ξ))< 0 (5) bo’lsin. Fy'y'(x,y0(x),y0′ (x)) funksiyaning uzluksizligiga asosan,  (x 0 ,x 1 ) deb olish mumkin. Bundan tashqari, bu funksiyaning uzluksizligidan va (5) tengsizlikdan, shunday  >0 sonning mavjudligi kelib chiqadiki,

sup F y'y'(x,y0(x),y0′ (x))= β<0 x∈(ξ− ε,ξ+ε) (6) bo’ladi. Quyidagi , hε(x)= ¿{sin 2π(x−ξ+ε) 2ε ,x∈(ξ−ε,ξ+ε)¿¿¿¿ funksiyani qaraymiz, bu funksiya C(1)[x0,x1] ga tegishli va h ε′(x)=¿{ π 2ε sin π(x−ξ+ε) ε ,x∈(ξ−ε,ξ+ε)¿¿¿¿ Endi (3) formulada h=hε(x),h'= hε′(x) deb olib, quyidagiga ega bo’lamiz: δ2J[y0,hε]= ∫ ξ−ε ξ+ε [F yy(x,y0(x),y0′ (x))sin 4π(x− ξ+ε) 2ε + +F yy'(x,y0(x),y0′ (x))π ε sin 2π(x− ξ+ε) 2ε sin (x− ξ+ε) ε + +F y'y'(x,y0(x),y0′ (x))π2 4ε2sin 2π(x− ξ+ε) 2ε ]dx ≤ ¿1 ε2∫ ξ−ε ξ+ε [βπ2 4 sin 2π(x− ξ+ε) ε +επ Fyy'(x,y0(x),y0′(x))sin 2π(x−ξ+ε) 2ε sin π(x−ξ+ε) ε +] +ε2Fyy(x,y0(x),y0′(x))sin 4π(x−ξ+ε) 2ε ]dx Bu yerdan (6) ni e’tiborga olib, yetarli kichik  >0 uchun δ2J[y0,hε] <0 tengsizlikni olamiz. Ammo, lokal minimumning zaruriy shartiga ko’ra, δ2J[y0,hε]  0 munosabat bajarilishi kerak. Bu qarama-qarshilik, teoremani minimum uchun isbotlaydi. U maksimum uchun ham, shunga o’xshash isbotlanadi. 2.Yakobi sharti. Yuqorida isbotlangan Lejandr sharti , lokal minimum ( maksimum ) ning , funksional ikkinchi variatsiyasi yordamida ifodalanadigan , i δ2J[y0,h]≥0 (≤0) shartidan foydalanib keltirib chiqariladi . Funksional ikkinchi variatsiyasining ekstremum nuqtasida ishorasini saqlashini ifodalovchi bu shartdan yana bitta ikkinchi tartibli zaruriy shart - Yakobi shartini keltirib chiqarish mumkin .

F(x,y,y')∈C(2)(Q) deb hisoblab, y 0 (x) joyiz funksiya uchun, ω(x,h,h')=Fy'y'(x,y0(x),y0′ (x)h'2+ +2Fyy'(x,y0(x),y0′ (x))hh'+Fyy(x,y0(x),y0′ (x))h2 funksiyani qaraymiz. U vaqtda, (3) formulaga ko’ra, δ2J[y0,h]=∫ x2 x1 ω(x,h,h')dx (7) bo’ladi. Agar y 0 (x) kuchsiz minimal (maksimal ) bo’lsa, δ2J[y0,h]≥0 (≤0) shart barcha h(x)∈C(1)[x0,x1], h(x0)=h(x1)=0 funksiyalar uchun bajariladi. h0(x)=0 uchun esa δ2J[y0,h0]=0 bo’lishi ravshan. Demak, qaralayotgan variatsion hisob masalasiga, qo’shib olingan ekstremal masala deb ataluvchi, δ2J[y0,h]=∫ x0 x1 ω(x,h,h')dx → min (max )¿ } ¿¿ ¿ (8) Masala, h0(x)=0 yechimga ega. Faraz qilaylik, F(x,y,y')∈C(3)(Q),y0(x)∈C(2)[x0x1] - joyiz stasionar funksiya Fy'y'(x,y0(x),y0′ (x)≠0 ∀ x∈[x0x1] bo’lsin. U vaqtda, (8) masala uchun tuzilgan, ωh(x,h,h')− d dx ωh'(x,h,h')= 0 Eyler tenglamasiga, variason hisob asosiy masalasi uchun Yakobi tenglamasi deyiladi. ω(x,h,h') funksiyaning ko’rinishini hisobga olib, Yakobi tenglamasini A (x)h''+ B (x)h'+C (x)h= 0 (9) ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglama ko’rinishida yozish mumkin, bu yerda A(x)=Fy'y'(x,y0(x),y0′ (x)), B(x)= d dx Fy'y'(x,y0(x),y0′ (x)), C(x)= d dx Fyy'(x,y0(x),y0′ (x))−Fyy(x,y0(x),y0′ (x))

Differensial tenglamalar kursidan ma’lumki, (9) tenglama h(x0)=0,h'(x0)=1 chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi (aynan noldan farqli ) yagona yechimga ega. Shu yechimning x 0 dan farqli nollariga, x 0 nuqtaga qo’shma nuqta deyiladi. Qo’shma nuqtaga yana quyidagi ekvivalent ta’rifni ham berish mumkin. T a’ r i f. Agar (9) Yakobi tenglamasi h(x0)=0,h(x¿)=0 x¿≠ x0 shartlarni qanoatlantiruvchi trivial (aynan nol) bo’lmagan h(x), x  [x 0 ,x 1 ] yechimga ega bo’lsa, x * nuqtaga y 0 (x) joyiz chiziq bo’ylab x 0 nuqtaga qo’shma nuqta deyiladi. 2-t e o r e m a (Yakobi). Faraz qilaylik: a) F(x,y,y')∈C(3)(Q), б)y0(x)∈C(2)[x0x1] - kuchsiz minimal (maksimal) Fy'y'(x,y0(x),y0′ (x))>0 (<0) ∀ x∈[x0x1] bo’lsin. U holda, y 0 (x) funksiya Yakobi shartini qanoatlantiradi: (x 0 ,x 1 ) intervalda y 0 (x) chiziq bo’ylab x 0 nuqtaga qo’shma bo’lgan nuqta mavjud emas. I s b o t i. Teskarisini faraz qilamiz. y 0 (x), x  [x 0 ,x 1 ] joyiz chiziq bo’ylab x 0 ga qo’shma bo’lgan x *  x  [x 0 ,x 1 ] nuqta mavjud bo’lsin. h * (x)  0, x  [x 0 ,x 1 ] esa, Yakobi tenglamasining unga mos yechimi bo’lsin, ya’ni ωh(x,h¿(x),h¿′ (x))− d dx ωh'(x,h¿(x),h¿′ (x))≡ 0, ∀ x∈[x0,x1] h¿(x0)= h¿(x¿)= 0 (10) shartlar bajarilsin. Qo’shma nuqta ta’rifiga ko’ra, h¿′ (x¿− 0)≠0 shart bajariladi.Quyidagi h(x)=¿{h ¿ (x),x∈[x0,x∗],¿¿¿¿ (11) funksiyani tuzamiz. Endi 2ω(x,h,h')=hω h+h'ωh' formulani, hamda (10), (11) larni hisobga olib, (8) dan quyidagini olamiz: