logo

Variatsion hisobning asosiy masalasi (ikkinchi variatsiyani tekshirish, ekstremumning yetarli shartlari).

Yuklangan vaqt:

08.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

303.6943359375 KB
Variatsion hisobning asosiy masalasi (ikkinchi variatsiyani tekshirish,
ekstremumning yetarli shartlari).
Reja:
1. Ikkinchi variatsiyani hisoblash. Lejandr sharti.
2. Yakobi tenglamasi. Yakobi sharti.
3. Kuchsiz ekstremumning yetarli shartlari.
4. Kuchli ekstremumning zaruriy va yetarli shartlari.
5. Kvadratik funksional uchun natija.
6. Misollar.      
 
 
           1.Lejandr   sharti.   y 0
=y 0
(x)   joyiz   funksiya   bo’lsin   (y 0
V).   Shu   nuqtada   (1)
funksionalning ikkinchi variatsiyasini hisoblaymiz. Ta’rifga ko’ra, bu variatsiya, 
                                     	
δ2J[y2,h]=	d2J[y0+αh	]	
dα	2	/α=0¿¿         
formula bo’yicha hisoblanadi, bu yerda 	
h=	h(x)∈C(1)[x0,x1],h(x0)=	h(x1)=	0
 .  
Agar  	
F(x,y,y')∈C(2)(Q)     deb   faraz   qilsak,  	ϕ(α)=	J[y0+αh	]   funksiya    =0   nuqta
atrofida uzluksiz ikkinchi tartibli hosilaga ega. Demak,  
   	
δ2J[y0,h]=d2
dα	2∫
x0
x1
F(x,y0(x)+αh	(x),y0′
(x)+αh'(x))dx	|α=0=	
=∫
x0
x1
∂2
∂α2F(x,y0(x)+αh	(x),y0′
(x)+αh'(x))dx	|α=0=	
=
=∫
x0
x1
[Fyy(x,y0(x),y0′(x))h2(x)+2Fyy'(x,y0(x),y0′(x))h(x)h'(x)+	
+Fy'y'(x,y0(x),y0′
(x))h'2(x)]dx	,	h=	h(x)∈C(1)[x0,x1],	h(x0)=	h(x1)=	0
    (3)
                1-t   e   o   r   e   m   a   (Lejandr).        	
F(x,y,y')∈C(2)(Q)   bo’lsin.   A gar	
y0(x)∈C(1)[x0,x1]−(1)
        funksionalning   (2)   to’plamdagi   kuchsiz   minimali
(maksimali)   bo’lsa,	
F	y'y'(x,y0(x),y0′
(x))≥	0	(≤	0),	∀	x∈[x0,x1]
                  (4)
tengsizlik bajariladi.  (4)  munosabatga Lejandr sharti deyiladi.
             I s b o t i.     Faraz qilaylik, (4) bajarilmasin, ya’ni biror 	
 [x
0 ,x
1 ]  uchun, 
                                        	
F	y'y'(ξ	,y0(ξ	),y0′
(ξ))<	0           (5)
bo’lsin.  	
Fy'y'(x,y0(x),y0′
(x))  funksiyaning uzluksizligiga asosan, 	 (x
0 ,x
1 )  deb olish
mumkin.   Bundan   tashqari,   bu   funksiyaning   uzluksizligidan   va   (5)   tengsizlikdan,
shunday   >0  sonning mavjudligi kelib chiqadiki,  sup	F	y'y'(x,y0(x),y0′
(x))=	β<0	x∈(ξ−	ε,ξ+ε)                              (6)
bo’ladi. Quyidagi ,
                       	
hε(x)=	¿{sin	2π(x−ξ+ε)	
2ε	
,x∈(ξ−ε,ξ+ε)¿¿¿¿
funksiyani qaraymiz, bu funksiya  	
C(1)[x0,x1]  ga tegishli va
                     	
h
ε′(x)=¿{
π
2ε
sin	
π(x−ξ+ε)	
ε	
,x∈(ξ−ε,ξ+ε)¿¿¿¿
Endi (3) formulada 	
h=hε(x),h'=	hε′(x)  deb olib, quyidagiga ega bo’lamiz:
                                                                                             	
δ2J[y0,hε]=	∫
ξ−ε	
ξ+ε
[F	yy(x,y0(x),y0′
(x))sin	4π(x−	ξ+ε)	
2ε	+	
+F	yy'(x,y0(x),y0′
(x))π
ε	sin	2π(x−	ξ+ε)	
2ε	sin	(x−	ξ+ε)	
ε	+	
+F	y'y'(x,y0(x),y0′
(x))π2
4ε2sin	2π(x−	ξ+ε)	
2ε	]dx	≤	
¿1
ε2∫
ξ−ε	
ξ+ε
[βπ2
4	sin	2π(x−	ξ+ε)	
ε	+επ	Fyy'(x,y0(x),y0′(x))sin	2π(x−ξ+ε)	
2ε	sin	π(x−ξ+ε)	
ε	+]	
+ε2Fyy(x,y0(x),y0′(x))sin	4π(x−ξ+ε)	
2ε	]dx
        Bu   yerdan   (6)   ni   e’tiborga   olib,   yetarli   kichik    >0   uchun  	
δ2J[y0,hε] <0
tengsizlikni olamiz. Ammo, lokal minimumning zaruriy shartiga ko’ra,  	
δ2J[y0,hε]
 0 munosabat  bajarilishi  kerak. Bu qarama-qarshilik, teoremani  minimum  uchun
isbotlaydi. U maksimum uchun ham, shunga o’xshash isbotlanadi.
                    2.Yakobi   sharti.   Yuqorida   isbotlangan   Lejandr   sharti ,     lokal   minimum
( maksimum ) ning ,   funksional   ikkinchi   variatsiyasi   yordamida   ifodalanadigan , i	
δ2J[y0,h]≥0	(≤0)
  shartidan   foydalanib   keltirib   chiqariladi .   Funksional   ikkinchi
variatsiyasining   ekstremum   nuqtasida   ishorasini   saqlashini   ifodalovchi   bu   shartdan
yana   bitta   ikkinchi   tartibli   zaruriy   shart - Yakobi   shartini   keltirib   chiqarish   mumkin .      F(x,y,y')∈C(2)(Q)  deb hisoblab,  y 0
(x)  joyiz funksiya uchun, 
                     	
ω(x,h,h')=Fy'y'(x,y0(x),y0′
(x)h'2+	
+2Fyy'(x,y0(x),y0′
(x))hh'+Fyy(x,y0(x),y0′
(x))h2                
funksiyani qaraymiz. U vaqtda, (3) formulaga ko’ra, 
                	
δ2J[y0,h]=∫
x2
x1
ω(x,h,h')dx                                                                          (7)
bo’ladi. Agar  y 0
(x)  kuchsiz minimal (maksimal ) bo’lsa,   	
δ2J[y0,h]≥0	(≤0)  shart
barcha 	
h(x)∈C(1)[x0,x1],	      	h(x0)=h(x1)=0    funksiyalar uchun bajariladi. 	h0(x)=0
uchun   esa  	
δ2J[y0,h0]=0   bo’lishi   ravshan.   Demak,   qaralayotgan   variatsion   hisob
masalasiga,  qo’shib olingan ekstremal masala  deb ataluvchi, 
                           	
δ2J[y0,h]=∫
x0
x1
ω(x,h,h')dx	→	min	(max	)¿
}
¿¿	¿                   (8)
Masala, 	
h0(x)=0  yechimga ega.
              Faraz   qilaylik,  	
F(x,y,y')∈C(3)(Q),y0(x)∈C(2)[x0x1]   -   joyiz   stasionar   funksiya	
Fy'y'(x,y0(x),y0′
(x)≠0	∀	x∈[x0x1]
 bo’lsin. U vaqtda, (8) masala uchun tuzilgan, 
                         	
ωh(x,h,h')−	d
dx	
ωh'(x,h,h')=	0      
Eyler   tenglamasiga,   variason   hisob   asosiy   masalasi   uchun   Yakobi   tenglamasi
deyiladi. 	
ω(x,h,h')  funksiyaning ko’rinishini hisobga olib, Yakobi tenglamasini 
                           
A	(x)h''+	B	(x)h'+C	(x)h=	0                     (9)
ikkinchi   tartibli   bir   jinsli   chiziqli   differensial   tenglama   ko’rinishida   yozish
mumkin, bu yerda 
                          	
A(x)=Fy'y'(x,y0(x),y0′
(x)),   	B(x)=	d
dx	Fy'y'(x,y0(x),y0′
(x)),
                        	
C(x)=	d
dx	Fyy'(x,y0(x),y0′
(x))−Fyy(x,y0(x),y0′
(x))               Differensial   tenglamalar   kursidan   ma’lumki,   (9)   tenglama  h(x0)=0,h'(x0)=1
chegaraviy   shartlarni   qanoatlantiruvchi   (aynan   noldan   farqli   )   yagona   yechimga
ega.   Shu   yechimning   x
0     dan  farqli   nollariga,   x
0   nuqtaga   qo’shma   nuqta   deyiladi.
Qo’shma nuqtaga yana quyidagi ekvivalent ta’rifni ham berish mumkin.
         T a’ r i f. Agar (9) Yakobi tenglamasi   	
h(x0)=0,h(x¿)=0	x¿≠	x0  shartlarni
qanoatlantiruvchi   trivial   (aynan   nol)   bo’lmagan   h(x),   x	
 [x
0 ,x
1 ]   yechimga   ega
bo’lsa,     x *
    nuqtaga     y 0
(x)       joyiz   chiziq   bo’ylab     x
0     nuqtaga   qo’shma   nuqta
deyiladi.
           2-t e o r e m a (Yakobi).  Faraz qilaylik: 
a) 	
F(x,y,y')∈C(3)(Q),	б)y0(x)∈C(2)[x0x1]  - kuchsiz minimal (maksimal)  
 	
Fy'y'(x,y0(x),y0′
(x))>0	(<0)	∀	x∈[x0x1]    bo’lsin. U holda,   y 0
(x)   funksiya Yakobi
shartini  qanoatlantiradi:   (x
0 ,x
1 )   intervalda   y 0
(x)   chiziq bo’ylab   x
0   nuqtaga qo’shma
bo’lgan nuqta mavjud emas.
           I s b o t i. Teskarisini faraz qilamiz.  y 0
(x), x	
 [x
0 ,x
1 ]   joyiz chiziq bo’ylab  x
0
ga   qo’shma   bo’lgan   x *	

x	 [x
0 ,x
1 ]     nuqta   mavjud   bo’lsin.   h *
(x)	 0,   x	 [x
0 ,x
1 ]   esa,
Yakobi tenglamasining unga mos yechimi bo’lsin, ya’ni 
               	
ωh(x,h¿(x),h¿′
(x))−	d
dx	
ωh'(x,h¿(x),h¿′
(x))≡	0,	∀	x∈[x0,x1]	
h¿(x0)=	h¿(x¿)=	0    (10)
shartlar   bajarilsin.   Qo’shma   nuqta   ta’rifiga   ko’ra,  	
h¿′
(x¿−	0)≠0   shart
bajariladi.Quyidagi 
                     	
h(x)=¿{h
¿
(x),x∈[x0,x∗],¿¿¿¿                                                                 (11)
funksiyani tuzamiz.
             Endi   	
2ω(x,h,h')=hω	h+h'ωh' formulani, hamda (10), (11) larni hisobga olib,
(8) dan quyidagini olamiz: δ2J[y0,h]=∫
x0
x1
ω(x,h,h')dx	=∫
x0
x¿
ω(x,h,h')dx	=	1
2∫
x0
x¿
(h¿ωh+h¿′
ωh')dx	=	
=1
2∫
x0
x¿
(h¿d
dx	ωh+h¿′
ωh')dx	=	1
2∫
x0
x¿
d
dx	(h¿ωh')dx	=	
=1
2h¿(x)ωh(x,h¿(x),h¿′
(x))|x0
x¿
=	0.            Shunday   qilib , (11)   funksiya   -   (8)   masalaning   yechimidir .   teng   munosab a tlar
ko ’ rsatadiki ,  h ( x )  funksiya   uchun    x *
  -  bukilish   nuqtasidir .  Natijida ,   x = x *
   nuqtada  
                              	
ωh(x,h,h')|x=x¿−0=ωh'(x,h,h')|x=x¿+0                                         (12)
Veyershtrass   -   Erdman   sharti   bajariladi .    	
ω(x,h,h')   funksiyaning   ko ’ rinishini
hisobga   olib  ,(12)  tenglikni   quyidagicha   yozamiz : 
                    	
[h(x)Fyy(x,y0(x),y0′
(x))+h'(x)Fy'y'(x,y0(x),y0′
(x))]|x=x¿−0=	
=[h(x)Fyy(x,y0(x),y0′
(x))+h'(x)Fy'y'(x,y0(x),y0′
(x))]|x=x¿+0        (13)	
h(x¿−	0)=	h(x¿+0)  =0
  va 	Fy'y'(x,y0(x),y0′
(x)) uzluksiz bo’lgani uchun, (13) tenglik 
             	
[h'(x¿−0)−	h'(x¿+0)]Fy'y'(x¿,y0(x¿),y0′
(x¿))=	0                                      (14)
ko’rinishga keladi. Teoremaning shartiga ko’ra 	
Fy'y'(x¿,y0(x¿),y0′
(x¿))≠0 . U vaqtda
(14)   dan  	
h'(x¿−	0)=	h'(x¿+0)=	0   bo’lishi   kelib   chiqadi.   Bu   esa     x *  
  ning   bukilish
nuqtasi ekanligiga ziddir. Olingan qarama-qarshilik teoremani isbotlaydi.
            3.Kuchsiz ekstremumning yetarli shartlari.   Shunday qilib, variatsion hisob
asosiy   masalasida   ekstremumning   birnchi   tartibli   zaruriy   sharti   -   joyiz
funksiyaning   stasionarligi   (Eyler   tenglamasining   bajarilishi)   bo’lsa,   Lejandr   va
Yakobi shartlari –ikkinchi tartibli zaruriy shartlardir.
      Sodda misollar ko’rsatadiki, bu uchala shartning birortasi ham alohida olganda
ekstremumning   yetarli   sharti   bo’la   olmaydi.   Ammo   ular   birgalikda   kuchsiz
ekstremumning yetarli shartiga yaqinroqdir.
       Quyida Lejandr va Yakobi shartlarini kuchaytirish natijasida kelib chiqadigan
yetarli shartlarni keltiramiz.
            3-t e o r e m a.     Faraz qilaylik: a) F(x,y,y')∈C(3)(Q),y0(x)∈C(2)[x0x1]  -joyiz stasionar funksiya bo’lsin;
b) kuchaytirilgan  Lejandr sharti bajarilsin:
  	
Fy'y'(x,y0(x),y0′
(x))>0	(<0)	∀	x∈[x0x1] ;    
c) kuchaytirilgan Yakobi sharti o’rinli bo’lsin:    y 0
(x)    joyiz chiziq bo’ylab    (x
0 ,x
1 ]
da   x
0   nuqtaga qo’shma bo’lgan   x
1   nuqta mavjud emas. 
       U holda,  y 0
(x)  -  variatsion hisobning asosiy masalasida kuchsiz lokal minimal
(maksimal) bo’ladi.
                I   s   b   o   t   i.   Funksionalning   ikkinchi   variatsiyasi   uchun   hosil   qilingan   (3)
formuladagi ikkinchi qo’shiluvchini bo’laklab integrallaymiz:	
∫
x0
x1
2hh'F	yy	dx	=	∫x0
x1
F	yy'd
dx	h2dx	=	F	yyh2(x)|x0
x1−	∫x0
x1
h2d
dx	F	yy'dx	=	
=	−∫
x0
x1
h2d
dx	F	yy'dx	
u(x)∈C	(2),u(x)>0,x∈[x0,x1]
                       (15)
                                                                                                                              (16)
shartlarni   qanoatlantiruvchi   ixtiyoriy      	
u(x)   funksiyani   qaraymiz.   Bu   funksiya
uchun,
             	
∫
x0
x1	d
dx	(u'
u	F	y'yh2)dx	=	u'
u	F	y'yh2|x0
x1=	0           (17)
munosabat bajariladi. Endi (15) ni hisobga olib, (3) va (17) dan, 	
δ	0	J	[	y	0	,	h	]	=	∫
x	0	
x	1	
¿	¿	¿	
¿	
¿
                 (18)
tenglikni   olamiz.    	
u(x),x∈[x0,x1] funksiyani   shunday   tanlaymizki,   (18)     dagi
integral   ostidagi     ifoda   h   va   h	
   ga   nisbatan   to’la   kvadrat   bo’lsin.   Buning   uchun,
quyidagi:                  [u'
u	F	y'y']2=	[F	yy−	d
dx	F	y'y'−	d
dx	(u'
u	F	y'y')]F	y'y'            (19)
ayniyatning bajarilishi zarur va yetarli.
                 	
d
dx	(u'
u	Fy'y')=	(u''u−u¿	
u2	)Fy'y+u'
u	
d
dx	F	y'y'
bo’lgani uchun, (19) ayniyatni,	
F	y'y'{−	u''F	y'y'−	u'd
dx	
F	y'y'+(F	yy−	d
dx	
F	y'y')u}/u=	0
          (20)
ko’rinishda yozish mumkin.  Teoremaning shartiga ko’ra,	
Fy'y'=	Fy'y'(x,y0(x),y0′
(x))≠0,x∈[x0,x1]
.   Demak,   (20)   dan   ko’rinadiki,	u(x)
funksiya, 
                 	
(A(x)u''+B(x)u'+C(x)u)/u=0         
tenglamani   qanoatlantirishi   kerak,   bu   yerda   A(x),B(x),C(x )-   (9)   Yakobi
tenglamasidagi kabi aniqlanadi.Teoremaning c) shartiga ko’ra, 
                	
A(x)u''+B(x)u'+C(x)u=0                                                                       (21)
Yakobi   tenglamasi,  	
u(x0)=0,u(x¿)=0,x∈[x0,x1]   shartlarni   qanoatlantiruvchi
trivial   bo’lmagan   yechimga   ega   emas .  	
[x0,x1]   ning   kompaktligi   va   differensial
tenglama   yechimining   boshlang’ich   shartlaridan   uzluksiz   bog’liqligi   haqidagi
teoremadan, shunday yetarli kichik  	
ε >0   sonning mavjudligi kelib chiqadiki, (21)
tenglamaning    	
u(x0−ε)=0,u'(x0−	ε)=1   boshlang’ich   shartlardagi   yechimi  	[x0,x1]
da   musbat   bo’ladi.   Shunday   qilib   (16),   (19)   shartlarni   qanoatlantiruvchi  	
u(x)
funksiya mavjud. Shu funksiya yordamida, (18) ifodani,
       	
δ	0	J	[	y	0	,	h	]	=	∫	
x	0	
x	1	
¿	¿	¿
ko’rinishda yozamiz:
             (22) dan ko’rinadiki, barcha  	
h(x)∈C(1)x∈[x0,x1],h(x0)=	h(x1)=	0,   funksiyalar
uchun  	
δ2J[y0,h¿]≥	0 bajariladi.   Agar   biror  	h¿(x)≠0,x∈[x0,x1]   funksiya   uchun	
δ2J[y0,h¿]=	0
 deb faraz qilsak, (22) dan    [Fy'y']
1
2h¿'(x)=	[Fyy−	d
dx	F	yy'−	d
dx	(u'
u	Fy'y')]
1
2h¿(x)	∀	x∈[x0,x1]             
bo’lishi   kelib   chiqadi.   Bu   yerdan    	
h¿(x0)=0,Fy'y'|x=x0¿0     shartlarni   hisobga   olib,	
h¿(x0)=0
  ga   ega   bo’lamiz.   Ammo    	h¿(x)   funksiya   (8)   minimallashtirish
masalaning   yechimi   bo’lgani   uchun,  	
δ2J[y0,h¿]=	0 ,   (9)   Yakobi   tenglamasini
qanoatlantiradi   va   h *
(x
0 )=h *	

(x
0 )=0     boshlang’ich   shartlardan,     h *
(x)	 0,   x	 [x
0 ,x
1 ]
bo’lishi kelib chiqadi. Bu olingan qarama-qarshilik ko’rsatadiki, barcha    h *
(x)	
   0,
x	
 [x
0 ,x
1 ], h(x
0 )=h(x
1 )=0  funksiyalar uchun, 	δ2J[y,h]>0   bajariladi.  
       Endi quyidagi funksionalni qaraymiz:
                	
Φ	(y0,h)=	δ2J[y0,h]−	q
2∫x0
x1
h2(x)dx	,	q>0	.        (23)
Bu funksional uchun Eyler tenglamasi, 
                  	
(A	(x)−	q)h''+	B	(x)h'+C	(x)h=	0    
           (24)
ko’rinishda   bo’ladi.  	
A(x)=	Fy'y'(x,y0(x),y0′
(x)>0,x∈[x0,x1] .bo’lgani   uchun,
shunday  q>0   topiladiki, 	
¿A(x)q>0,x∈[x0,x1]  bajariladi. Farazga ko’ra, (9)  Yakobi
tenglamasining ,
                                      h(	
x
0 )=0,   h	 (	x
0 )=1
(25)
boshlang’ich shartlardagi yechimi  ( x
0 ,x
1 )  intervalda nolga aylanmaydi. 
              Differensial   tenglamalar   yechimining   parametrdan   uzluksiz   bog’liqligi
haqidagi   teoremaga   ko’ra,   (24)   tenglamaning   (25)   shartlardagi   yechimi   ham,
shunday   xossaga   ega   bo’ladi.   (23)   funksional   uchun   yuqoridagi   kabi   mulohaza
yuritib,
                              	
Φ(y0,h)≥0,∀	h(x)∈C(1)[x0,x1],h(x0)=h(x1)=0
 munosabatni olamiz. Bu esa, (23) ga ko’ra,                        δJ	[y0,h	]≥	q
2	∫
x0
x1
h2(x)dx               (26)
tengsizlik bajarilishini bildiradi.
                   	
h(x)=∫
x0
x
h'(t)dt   bo’lgani  uchun, Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini qo’llab,
quyidagini  olamiz:
          	
h2(x)=(∫x0
x
h'(t)dt	)2¿(x−	x0)∫x0
x1
h'2(t)dt≤(x1−	x0)∫x0
x1
h'2(t)dt	.	x∈[λ0,λ1];
                             	
∫x0
x1
h2(t)dt≤(x1−x0)2∫x0
x1
h'2(t)dt	.
Natijada, (26) tengsizlikdan, 
                     	
δ2J[y0,h]≥	q	
2(x1−x0)2∫x0
x1
h2(x)dx                                                         (27)
tengsizlik kelib chiqadi.              
       Ikkinchi variatsiya ta’rifiga ko’ra,
               (28)
tenglik bajariladi,bu yerda 
                                                     
(29)
              y 0
(x)-   Е   yler   tenglamasini   qanoatlantirgani   uchun,     bo’ladi.   U
vaqtda, (28) dan, 
                                                                     (30)
kelib chiqadi. 
       Endi (27) va (29) ni hisobga olgan holda,  (30) munosabatdan shunday 	
ε>0
sonning   mavjudligi   kelib   chiqadiki,   barcha       va   uchun,      bo’ladi, ya’ni    y 0
(x)   kuchsiz
lokal minimaldir. Teorema isbotlandi.
              4.   Kuchli   ekstremumning   zaruriy   va   yetarli   shartlari.   Bu   yerda   kuchli
ekstremumning   zaruriy   va   yetarli   shartlarini   isbotsiz   keltirish   bilan   cheklanamiz
(isbotlarini ,masalan [2] dan qarash mumkin).
     berilgan ochiq to’plam,   bo’lsin.
Quyidagi 
       E(x,y,y',u,)=F(x,y,u)−F(x,y,y')−(u−	y')Fy'(x,y,y'),(x,y,y',u)∈Q×R1          (31)
funksiyani qaraymiz.   funksiyaga Veyershtrass funksiyasi deyiladi.
                   4-teorema.    Agar -   (1)   funksionalning	
~V={y(x)∈D	'[x0,x1]:y(x0)=	y0,y(x1)=	y1}
  to’plamdagi   kuchli   lokal   minimum   (maksimum   )   nuqtasi   bo’lsa,   y 0
(x)   mavjud
bo’lgan barcha   nuqtalarda 
                   	
E(x,y0(x),y0'(x),u)≥0	(≤0)	∀	u∈R1                                                 (32)
Veyershtrass sharti bajariladi . y 0
(x)  ning    burchak nuqtalarida esa, (32) shart, 
                                                                        (33)
ko’rinishda bo’ladi.
      5-t e o r e m a    .    Quyidagi shartlar bajarilsin:
    1).    
    2).  
    3).     (1) funksionalning joyiz stasionar funksiyasi;
    4). 	
y0(x)  funksiya uchun kuchaytirilgan Lejandr va Yakobi shartlari o’rinli.
              U   holda,	
y0(x) -   (1)   funksionalning   (2)   to’plamdagi   kuchli   lokal   minimum
(maksi-mum)  nuqtasi bo’ladi.
        Bu yerda shuni ta’kidlash joyizki, yuqorida keltirilgan Veyershtrass shartidan
muhim   natijalar   olish   mumkin.   Shulardan   biri,   avvalgi   ma’ruzamizda   aytib o’tilgan,   Veyershtrass-Erdman   shartlarining   ikkinchisidir.   Haqiqatan   ham,
Veyershtrass-Erdman shartlarining birinchisiga ko’ra,    y 0
(x)    kuchli ekstremalning
   burchak nuqtasida. 
                      Fy'(ξ,y0(ξ),y0'(ξ−0))=Fy'(ξ,y0(ξ),y0'(ξ+0))                                   (34)
bajariladi. (33) Veyershtrass shartida   deb olsak, 
                  	
E(ξ,y0(ξ),y0'(ξ±0),y0'(ξ∓0))≥0                                                         (35)
tengsizlik   bajariladi.   Endi   Veyershtrass   funksiyasining   (31)   ko’rinishini   hisobga
olib, (35) ni qayta yozsak, va bunda (34) dan foydalansak,
           	
F(ξ,y0(ξ),y0'(ξ−0))−	y0'(ξ−0)Fy'(ξ,y0(ξ),y0'(ξ−0)=	
¿F(ξ,y0(ξ),y0'(ξ+0))−	y0'(ξ+0)Fy'(ξ,y0(ξ),y0'(ξ+0))                                (36)
munosabatni olamiz. Bu esa, Veyershtrass-Erdman shartlarining ikkinchisidir.
      Veyershtrass-Erdman shartlarini qisqacha 
               
ko’rinishda yozish mumkin. 
       5. Kvadratik funksional bo’lgan hol.  Faraz qilaylik, (1) funksional quyidagi 
                                                                     (37)
ko’rinishdagi   kvadratik   funksionaldan   iborat   bo’lsin.   Bunday   funksional
ekstremumining zaruriy va yetarli shartlari quyidagi teoremadan aniqlashtiriladi.
       6-t e o r e m a.  
            
 bo’lsin. Agar Yakobi sharti bajarilmasa, u holda,
                                
ya’ni   (37)   funksionalning   (2)   to’plamda   global   ekstremumi   mavjud   emas.Agar
kuchaytirilgan Yakobi sharti bajarilsa, (37) funksionalning yagona joyiz stasionar
funksiyasi   mavjud   va   bu   stasionar   funksiya   funksionalning   global   minimum
(maksimum ) nuqtasi bo’ladi. 
         6.Misollar.
1)∫
0
b
(y'2−	y2+2ysin	x)dx	→	min,	y(0)=0,y(b)=1 .   (38)
  Eyler tenglamasini yozamiz: 
                                               
Bu   tenglamaning   umumiy   yechimi     ko’rinishda
bo’ladi .
                         y(0)=0, y(b)=1  
shartlardan foydalanib  c
1  va c
2  o’zgarmaslarni topamiz:
         
Demak,     b	
 k, k=1,2,..    bo’lganda ,
                                                                 (39)
    Funksiya (38) masalada yagona joyiz stasionar funksiyadir. Agar  b=	
 k ,  k=1,2,..
bo’lsa, masalada stasionar  funksiyalar yo’q. Demak, bu holda ekstremum mavjud
emas. 
                  ,demak, kuchaytirilgan Lejandr sharti bajariladi. 
Yakobi tenglamasini tuzamiz:  A(x)= ,
                                     .
    h *
+h=0   -   Yakobi   tenglamasi,       uning   umumiy   yechimi.
Demak,    x *
=	
     nuqta   x
0 =0   nuqtaga qo’shma nuqtadir.    (0,	 )    oraliqda    x
0 =0    ga
qo’shma   nuqta   yo’q.     Shunday   qilib,   b	
   bo’lganda   Yakobi   sharti,     b<	
bo’lganda esa kuchaytirilgan Yakobi sharti bajariladi.   b>	
     bo’lganda esa Yakobi
sharti   bajarilmaydi.   5-teoremaga   ko’ra,   0<b<	
   bo’lganda   (39)   formula   bilan
aniqlanuvchi   y 0
(x)  funksiya (38) masalada kuchli minimal bo’ladi.
 2)                                                                      (40)
            bo’lgani   uchun   Eyler   tenglamasi     ko’rinishda
bo’ladi.   Bu   yerdan   y=x+c   va   y=c
1 x+c
2   ko’rinishdagi   yechimlarga   ega   bo’lamiz.
y=x+c     funksiya   chegaraviy   shartlarni   qanoatlantirmaydi.   y=c
1 x+c
2   funksiya
uchun   y(0)=y(2)=0   chegaraviy   shartlardan   c
1 =c
2 =0   bo’lishi   kelib   chiqadi.
Demak ,   y 0
(x)=0,x [0.2]   qaralayotgan   masalada   yagona   silliq   joyiz   stasionar
fnksiyadir.
         ya’ni kuchaytirilgan Lejandr sharti bajariladi. Endi
Yakobi tenglamasini tuzamiz:
          .
  -   Yakobi   tenglamasi,     uning   umumiy   yechimidir.
  shartlardan   h(x)	
 0   bo’lishi   kelib   chiqadi.   Demak ,   [0,2]   da
x
0 =0   nuqtaga   qo’shma   nuqta   mavjud   emas,   ya’ni   kuchaytirilgan   Yakobi   sharti
bajariladi. Demak, 3-teoremaga ko’ra ,   kuchsiz lokal maksimal bo’ladi.
   Ammo    uchun Veyershtrass sharti bajarilmaydi, ya’ni 
      
funksiya   ishorasini   o’zgartiradi.   4-teoremaga   asosan,   y 0
(x)	
 0 -   kuchli   lokal
maksimal bo’la olmaydi.          
  Asosiy adabiyotlar
1.   Р.Габасов,   Ф.М.Кириллова.   Оптималлаштириш   усуллари.   Т.
Узбекистон, 1995.
2.   Л.Э.Эльсголц.   Дифференциальные   уравнения   и   вариационное
исчисление. М. Наука1969.
Qo’shimcha adabiyotlar
1.   И.М.Гельфанд,   С.В.Фомин.   Вариационное   исчисление.   М.   Наука
1989.
2.   Н.И.Ахиезер.   Лексии   по   вариационному   исчислению.
Гостехиздат,1955. 
3 Коша А. Вариационное исчисление. М. Высшая школа, 1983  
4.   Исроилов   И.,   Отакулов   С.   Вариацион   хисоб   ва   оптималлаштириш
усуллари. 
I -кисм.   Самарканд.   Сам   ДУ   нашри,   1999,   II -кисм   Самарканд,   СамДУ
нашри, 2001

Variatsion hisobning asosiy masalasi (ikkinchi variatsiyani tekshirish, ekstremumning yetarli shartlari). Reja: 1. Ikkinchi variatsiyani hisoblash. Lejandr sharti. 2. Yakobi tenglamasi. Yakobi sharti. 3. Kuchsiz ekstremumning yetarli shartlari. 4. Kuchli ekstremumning zaruriy va yetarli shartlari. 5. Kvadratik funksional uchun natija. 6. Misollar.

1.Lejandr sharti. y 0 =y 0 (x) joyiz funksiya bo’lsin (y 0 V). Shu nuqtada (1) funksionalning ikkinchi variatsiyasini hisoblaymiz. Ta’rifga ko’ra, bu variatsiya, δ2J[y2,h]= d2J[y0+αh ] dα 2 /α=0¿¿ formula bo’yicha hisoblanadi, bu yerda h= h(x)∈C(1)[x0,x1],h(x0)= h(x1)= 0 . Agar F(x,y,y')∈C(2)(Q) deb faraz qilsak, ϕ(α)= J[y0+αh ] funksiya  =0 nuqta atrofida uzluksiz ikkinchi tartibli hosilaga ega. Demak, δ2J[y0,h]=d2 dα 2∫ x0 x1 F(x,y0(x)+αh (x),y0′ (x)+αh'(x))dx |α=0= =∫ x0 x1 ∂2 ∂α2F(x,y0(x)+αh (x),y0′ (x)+αh'(x))dx |α=0= = =∫ x0 x1 [Fyy(x,y0(x),y0′(x))h2(x)+2Fyy'(x,y0(x),y0′(x))h(x)h'(x)+ +Fy'y'(x,y0(x),y0′ (x))h'2(x)]dx , h= h(x)∈C(1)[x0,x1], h(x0)= h(x1)= 0 (3) 1-t e o r e m a (Lejandr). F(x,y,y')∈C(2)(Q) bo’lsin. A gar y0(x)∈C(1)[x0,x1]−(1) funksionalning (2) to’plamdagi kuchsiz minimali (maksimali) bo’lsa, F y'y'(x,y0(x),y0′ (x))≥ 0 (≤ 0), ∀ x∈[x0,x1] (4) tengsizlik bajariladi. (4) munosabatga Lejandr sharti deyiladi. I s b o t i. Faraz qilaylik, (4) bajarilmasin, ya’ni biror  [x 0 ,x 1 ] uchun, F y'y'(ξ ,y0(ξ ),y0′ (ξ))< 0 (5) bo’lsin. Fy'y'(x,y0(x),y0′ (x)) funksiyaning uzluksizligiga asosan,  (x 0 ,x 1 ) deb olish mumkin. Bundan tashqari, bu funksiyaning uzluksizligidan va (5) tengsizlikdan, shunday  >0 sonning mavjudligi kelib chiqadiki,

sup F y'y'(x,y0(x),y0′ (x))= β<0 x∈(ξ− ε,ξ+ε) (6) bo’ladi. Quyidagi , hε(x)= ¿{sin 2π(x−ξ+ε) 2ε ,x∈(ξ−ε,ξ+ε)¿¿¿¿ funksiyani qaraymiz, bu funksiya C(1)[x0,x1] ga tegishli va h ε′(x)=¿{ π 2ε sin π(x−ξ+ε) ε ,x∈(ξ−ε,ξ+ε)¿¿¿¿ Endi (3) formulada h=hε(x),h'= hε′(x) deb olib, quyidagiga ega bo’lamiz: δ2J[y0,hε]= ∫ ξ−ε ξ+ε [F yy(x,y0(x),y0′ (x))sin 4π(x− ξ+ε) 2ε + +F yy'(x,y0(x),y0′ (x))π ε sin 2π(x− ξ+ε) 2ε sin (x− ξ+ε) ε + +F y'y'(x,y0(x),y0′ (x))π2 4ε2sin 2π(x− ξ+ε) 2ε ]dx ≤ ¿1 ε2∫ ξ−ε ξ+ε [βπ2 4 sin 2π(x− ξ+ε) ε +επ Fyy'(x,y0(x),y0′(x))sin 2π(x−ξ+ε) 2ε sin π(x−ξ+ε) ε +] +ε2Fyy(x,y0(x),y0′(x))sin 4π(x−ξ+ε) 2ε ]dx Bu yerdan (6) ni e’tiborga olib, yetarli kichik  >0 uchun δ2J[y0,hε] <0 tengsizlikni olamiz. Ammo, lokal minimumning zaruriy shartiga ko’ra, δ2J[y0,hε]  0 munosabat bajarilishi kerak. Bu qarama-qarshilik, teoremani minimum uchun isbotlaydi. U maksimum uchun ham, shunga o’xshash isbotlanadi. 2.Yakobi sharti. Yuqorida isbotlangan Lejandr sharti , lokal minimum ( maksimum ) ning , funksional ikkinchi variatsiyasi yordamida ifodalanadigan , i δ2J[y0,h]≥0 (≤0) shartidan foydalanib keltirib chiqariladi . Funksional ikkinchi variatsiyasining ekstremum nuqtasida ishorasini saqlashini ifodalovchi bu shartdan yana bitta ikkinchi tartibli zaruriy shart - Yakobi shartini keltirib chiqarish mumkin .

F(x,y,y')∈C(2)(Q) deb hisoblab, y 0 (x) joyiz funksiya uchun, ω(x,h,h')=Fy'y'(x,y0(x),y0′ (x)h'2+ +2Fyy'(x,y0(x),y0′ (x))hh'+Fyy(x,y0(x),y0′ (x))h2 funksiyani qaraymiz. U vaqtda, (3) formulaga ko’ra, δ2J[y0,h]=∫ x2 x1 ω(x,h,h')dx (7) bo’ladi. Agar y 0 (x) kuchsiz minimal (maksimal ) bo’lsa, δ2J[y0,h]≥0 (≤0) shart barcha h(x)∈C(1)[x0,x1], h(x0)=h(x1)=0 funksiyalar uchun bajariladi. h0(x)=0 uchun esa δ2J[y0,h0]=0 bo’lishi ravshan. Demak, qaralayotgan variatsion hisob masalasiga, qo’shib olingan ekstremal masala deb ataluvchi, δ2J[y0,h]=∫ x0 x1 ω(x,h,h')dx → min (max )¿ } ¿¿ ¿ (8) Masala, h0(x)=0 yechimga ega. Faraz qilaylik, F(x,y,y')∈C(3)(Q),y0(x)∈C(2)[x0x1] - joyiz stasionar funksiya Fy'y'(x,y0(x),y0′ (x)≠0 ∀ x∈[x0x1] bo’lsin. U vaqtda, (8) masala uchun tuzilgan, ωh(x,h,h')− d dx ωh'(x,h,h')= 0 Eyler tenglamasiga, variason hisob asosiy masalasi uchun Yakobi tenglamasi deyiladi. ω(x,h,h') funksiyaning ko’rinishini hisobga olib, Yakobi tenglamasini A (x)h''+ B (x)h'+C (x)h= 0 (9) ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglama ko’rinishida yozish mumkin, bu yerda A(x)=Fy'y'(x,y0(x),y0′ (x)), B(x)= d dx Fy'y'(x,y0(x),y0′ (x)), C(x)= d dx Fyy'(x,y0(x),y0′ (x))−Fyy(x,y0(x),y0′ (x))

Differensial tenglamalar kursidan ma’lumki, (9) tenglama h(x0)=0,h'(x0)=1 chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi (aynan noldan farqli ) yagona yechimga ega. Shu yechimning x 0 dan farqli nollariga, x 0 nuqtaga qo’shma nuqta deyiladi. Qo’shma nuqtaga yana quyidagi ekvivalent ta’rifni ham berish mumkin. T a’ r i f. Agar (9) Yakobi tenglamasi h(x0)=0,h(x¿)=0 x¿≠ x0 shartlarni qanoatlantiruvchi trivial (aynan nol) bo’lmagan h(x), x  [x 0 ,x 1 ] yechimga ega bo’lsa, x * nuqtaga y 0 (x) joyiz chiziq bo’ylab x 0 nuqtaga qo’shma nuqta deyiladi. 2-t e o r e m a (Yakobi). Faraz qilaylik: a) F(x,y,y')∈C(3)(Q), б)y0(x)∈C(2)[x0x1] - kuchsiz minimal (maksimal) Fy'y'(x,y0(x),y0′ (x))>0 (<0) ∀ x∈[x0x1] bo’lsin. U holda, y 0 (x) funksiya Yakobi shartini qanoatlantiradi: (x 0 ,x 1 ) intervalda y 0 (x) chiziq bo’ylab x 0 nuqtaga qo’shma bo’lgan nuqta mavjud emas. I s b o t i. Teskarisini faraz qilamiz. y 0 (x), x  [x 0 ,x 1 ] joyiz chiziq bo’ylab x 0 ga qo’shma bo’lgan x *  x  [x 0 ,x 1 ] nuqta mavjud bo’lsin. h * (x)  0, x  [x 0 ,x 1 ] esa, Yakobi tenglamasining unga mos yechimi bo’lsin, ya’ni ωh(x,h¿(x),h¿′ (x))− d dx ωh'(x,h¿(x),h¿′ (x))≡ 0, ∀ x∈[x0,x1] h¿(x0)= h¿(x¿)= 0 (10) shartlar bajarilsin. Qo’shma nuqta ta’rifiga ko’ra, h¿′ (x¿− 0)≠0 shart bajariladi.Quyidagi h(x)=¿{h ¿ (x),x∈[x0,x∗],¿¿¿¿ (11) funksiyani tuzamiz. Endi 2ω(x,h,h')=hω h+h'ωh' formulani, hamda (10), (11) larni hisobga olib, (8) dan quyidagini olamiz: