Umumiy minimallashtirish masalasi uchun optimallik shartlari

Yuklangan vaqt:

08.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

63.71484375 KB

Ko'chirib olish

Umumiy minimallashtirish masalasi uchun optimallik shartlari
Reja:
1. Umumiy minimallashtirish masalasi uchun optimallik shartlari
2. Yo’nalish bo’yicha hosilaga ega funksiyalar uchun optimallik shartlari
Asosiy adabiyotlar
1. Р.Габасов, Ф.М.Кириллова. Оптималлаштириш усуллари. Т. Узбекистон,
1995.
Qo’shimcha adabiyotlar
2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.
Наука, 1988.
3. Галеев Е.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач.
М: Изд МГУ. 1989.
4. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.Наука.1998.
5. Сухарев А.Г., Тимохов А.Н., Фёдоров В.В. Курс методов оптимизации.
М. Наука 1988
6. Исроилов И., Отакулов С. Вариацион хисоб ва оптималлаштириш
усуллари. I -кисм. Самарканд. Сам ДУ нашри, 1999, II -кисм Самарканд,
СамДУ нашри, 2001

1 Ushbu paragrafda chekli ulchamli umumiy minimallashtirish masalasi
f(x) min, x Q, Q  R n (1)
uchun bir qator optimallik shartlarini keltiramiz.
I. Yo’nalishlar terminidagi optimallik sharti.
1-t a’rif. Q
 R n , x * Q, h  R n , h  0 b o’ lsin. Agar shunday  0 >0
topilib, barcha  (0, 
0 ) uchun x * +  h  Q munosabat bajarilsa , h ga Q
t o’ plam uchun x nuqtada joyiz yo’nalish deyiladi (1-chizma).
x
 Q nuqtada joyiz yo’nalishlar to’plamini G(x * ,Q) deb belgilaymiz.
1-chizma 2-chizma
Љ avariq to’plamning ixtiyoriy nuqtasida joyiz yo’nalishlar mavjud.
Aniqroq qilib aytganda, agar Q-qavariq to’plam, x
* Q bo’lsa ,  x  Q, x  x
*
uchun h=x-x * yo’nalish x * nuqtadagi joyiz yo’nalishdir (2-chizma).
2-t a’rif . f(x) funksiya x
* R n nuqta atrofida aniqlangan va h  R n ,
h
 0 bo’lsin. Agar shunday  0 >0 topilib, barcha  (0,  0 ) sonlar uchun
f(x
* +  h)<f(x * )(f(x * +  h>f(x * )) tengsizlik bajarilsa, h ga f(x) funksiyaning x*
nyqtadagi kamayish (o’sish) yo’nalishi deyiladi.
F(x) funksiyaning x
* nuqtadagi kamayish yo’nalishlar to’plamini
U(x
* ,f)deb belgilaymiz.
1-misol . f(x)=x
31 +x 32 , x * =(0,0), h  =(1,1), h  (-1,-1) bo’lsin.

F(x* +  h  )=f(h  )=2 3 >0=f(x * ) ,  >0
F(x
* +  h  )=f(h  )=-2 3 <0=f(x * ),  >0 .
Demak, h
 =(1,1)-x * nuqtada o’sish yo’nalishi , h  =(-1,-1) esa
kamayish yo’nalishidir.
Љ aralayotgan funksiya uchun x
* (0,0) nuqtada o’sish yo’nalishi
ham, kamayish yo’nalishi ham bo’lmagan vektorlar ham mavjud.
Masalan, h
* =(1,-1) yoki h * =(-1,1) shular jumlasidandir, chunki
F(x
* +  h * )=f(h * x * )=0=f(x * ),  >0 .
1-lemma. f(x) funksiya x
* nuqtada h – yo’nalish bo’yicha hosilaga
ega bo’lsin. Agar
f '(x
* ,h)<0 (2)
bo’lsa, h
 U(x * ,f) bo’ladi. Agar h  U(x * , f) bo’lsa,
f ' (x
* ,h)  0 (3)
tengsizlik bajariladi.
Isbot i. 1) Faraz qilaylikki, (2) shart bajarilsin. U vaqtda yo’nalish
bo’yicha hosilaning ta’rifiga ko’ra, shunday 
0 >0 son mavjudki, 0<  <  0
uchun

1 [f(x
* +  h)- f(x * )]<0 tengsizlik bajariladi. Bu yerdan f(x * +  h)<f(x * ),
0<  <  b o’ lishi kelib chiqadi. Demak, h  U(x
* ,f).
2) h
 U(x * ,f) bo’lsin, ammo (3) bajarilmasin, ya’ni f ' (x * ,h)> 0
b o’ lsin. U vaqtda yuqoridagi kabi fikr yuritib , h ning f(x) funksiya uchun
x
* nuqtada o’sish yo’nalishi ekanligini olamiz. Bu qarama-qarshilik
lemmani isbotlaydi. 
Izoh. f'(x
* ,h)=0 shartni qanoatlantiruvchi h  R n vektor f(x)
funksiyaning x
* nuqtadagi kamayish (yoki o’sish) yo’nalishi bo’lishi

ham, bo’lmasligi ham mumkin. Masalan, f(x)=-x21 -x 22 funksiya uchun har
bir h
 R n ,h  0, x * =(0,0) nuqtada kamayish yo’nalishi bo’ladi, ammo f ' (x
*
,h)=0 , f(x)=x 31 +x 32 funksiya uchun esa h=(1,-1) va h=(-1,1) vektorlar
o’sish yo’nalishi ham, kamayish yo’nalishi ham emas (avvalgi misolga
qarang), ammo f ' (x
* ,h)=0 .
Differensiallanuvchi funksiyalar uchun f ' (x
* ,h)= x )x(f
h *
т

ekanligini
hisobga olib, isbotlangan lemmadan quyidagi natijaga ega bo’lamiz.
Nat ija. f(x) funksiya x
* nuqtada differensiallanuvchi bo’lsin. Agar
h
 R n vektor x
x f hт

 ) ( * <0 shartni qanoatlantirsa, h
 U(x * ,f) bo’ladi. Agar
h
 U(x * ,f) bo’lsa, x )x(f
h *
т

 0 tengsizlik bajariladi.
1-t eorema . x
* Q nuqtaning (1) masalada lokal optimal reja
bo’lishi uchun
U(x
* ,f)  G(x * ,Q)=  (4)
munosabatning bajarilishi zarur , Q – qavariq , f(x)-Q da qavariq funksiya
bo’lganda esa, (4) munosabatning bajarilishi x
* Q nuqtaning (1)
masalada global optimal reja bo’lishi uchun yetarlidir.
Isbot i. Zaruriy ligi. x
* Q lokal optimal rejada (4) munosabat
bajarilmasin deb faraz qilamiz. U holda shunday h
 R n vektor
mavjudki, yetarlicha kichik  >0 sonlar uchun x
* +  h  Q va f(x * +  h)<f(x * )
bo’ladi. Bu esa x
* ning lokal optimal reja ekanligiga qarama-qarshidir.
Y et arliligi. Qavariq Q to’plamda qavariq f(x) funksiya uchun (4)
munosabat bajarilsin. Q qavariq to’plam bo’lganligi uchun ixtiyoriy x
 Q

uchun h=x-x* G(x * ,Q) bo’ladi. f(x) funksiya qavariq bo’lganligidan,
ixtiyoriy
 [0,1] uchun
F(x
* +  h)=f(  x+(1-  )x * )   f(x)+ (1-  )f(x * ) (5)
munosabat o’rinlidir. (4) ga ko’ra, yetarlicha kichik  >0 sonlar uchun f(x
*
)
 f(x * +  h) o’rinlidir. Natijada, (5) dan 0  f(x * )-f(x * +  h) yoki f(x * )  f(x)
munosabatga ega bo’lamiz. Bu esa x
* ning (1) masalada global optimal
plan ekanligini ko’rsatadi. 
2. Y o’nalish bo’y icha hosilaga ega funk siy alar uchun opt imallik
shart lari.
2-t eorema . Agar x
* - (1) masalaning lokal optimal rejasi bo’lib,
f(x) funksiya h
 G(x * ,Q) yo’nalish bo’yicha hosilaga ega bo’lsa,
f '(x
* ,Q)  0 (6)
bo’ladi. Agar f(x) qavariq Q to’plamda qavariq funksiya bo’lib, har bir
h
 G(x * ,Q) uchun (6) tengsizlik bajarilsa , x * - (1) masalaning global
optimal rejasi bo’ladi.
Isboti. 1) x
* – (1) masalaning lokal optimal rejasi bo’lsin, ammo
biror h
 G(x * ,Q) uchun (6) tengsizlik bajarilmasin, ya’ni f '(x * ,h)>0 bo’lsin
deb faraz qilamiz. U vaqtda, 1-lemmaga asosan, h  U(x
* ,f). Natijada
h
 U(x * ,f)  G(x * ,Q)  . Bu esa 1-teoremaga ziddir.
2) f(x) qavariq Q to’plamda qavariq funksiya bo’lsin. Agar ixtiyoriy
h
 G(x * ,Q) uchun (6) tengsizlik bajarilganda x * - global optimal plan
bo’lmaydi, ya’ni f(
x )<f(x * ) sharti qanoatlantiruvchi x  Q reja mavjud
deb faraz qilsak, xh 
-x
*  G(x * ,Q) uchun (6) ga zid bo’lgan quyidagi
munosabatni olamiz:

f'(x* , h )= 
 
 
) x(f )h x(f lim
* *
0  
 

) x(f ) x(f) 1( )x(f lim
* *
0
  
 = f( x )-f(x * )<0 . 
Nat ija. (1) masalada Q=[a,b]  R
n bo’lsin. Agar x *  [a,b] lokal
optimal reja bo’lsa,
F ' (x
* +0)  0, f '(x * )  0
bo’ladi. Agar f(x)-[a,b] da qavariq funksiya bo’lib, (7) munosabatlar
bajarilsa, x
*  [a,b] global optimal reja bo’ladi.
3-t eorema. Faraz qilaylikki, Q  R n
qavariq to’plam, f(x) funksiya x
*
 Q nuqtaning atrofida Lipshis shartini qanoatlantirsin. Agar ixtiyoriy
h  G(x
* ,Q),  h  =1 uchun
f '(x
* ,h)>0
tengsizlik bajarilsa, x
* -(1) masalaning lokal optimal rejasi bo’ladi.
Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni x
*  Q uchun (8) bajarilsin,
ammo u (1) masalaning lokal lptimal rejasi bo’lmasin. U vaqtda x
* ga
yaqinlashuvchi va f(x
K )<f(x * ) shartni qanoatlantiruvchi {x k } rejalar
ketma-ketligi mavjud.

k =  x k
+x *
 , h
k =(x k
-x *
)/ 
k , k=1,2,… deb olamiz.  h
k  =1, k=1,2,…
bo’lgani uchun {h  R n
:  h  =1} to’plamning kompaktligiga asosan, {h
k }
ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.
Belgilashlarni o’zgartirmasdan h
k  h
* deb hisoblaymiz. Bundan
tashqari, Q to’plam qavariq bo’lgani uchun k  ,  h
*  =1deb
hisoblaymiz. Bundan tashqari,Q to’plam qavariq bo’lgan uchun
x *
+  h k
=x *
+ (x k
-x *
)= x k
+(1-  )x *
 Q,ya’ni Shunday qilib, h
*
) Q, x(G *  va
shuning uchun (8) shartga ko’ra f’(x *
, h
* ). Ikkinchi tomondan,
yetarlicha xatta k lar uchun quyidagi tengsizlik bajariladi:

   
k
* k k * x f h xf

  =    
k
* k k * xf h xf

   +    
k
k k * *k * h xf h xf

       
k
* k ) x(f xf

 +
+L  h
k -h
*  ,
bu yerda L-f(x) funksiyaning Lipshis o’zgarmasidir. Bu yerdan:
f'(x *
,h
* )=
klim
   
k
* k k * x f h xf

   
k lim
 
k
* k ) x(f xf


 0.
Olingan qarama-qarshilik teoremani isbotlaydi. 
3.Differensiallanuvchi va subdifferensiallanuvchi funksiyalar uchun optimallik
shartlari.
4-t eorema. Faraz qilaylikki, (1) masalada Q – qavariq to’plam, f(x)
funksiya x *
 Qnuqtada differensiallanuvchi bo’lsin.
U vaqtda:
1) agar f(x) lokal optimal reja bo’lsa, barcha x *
 Q uchun
(x-x *
) T
x
) x(f *


(9)
tengsizlik bajariladi;
2) agar f(x) funksiya Q to’plamda qavariq bo’lib, barcha x *
 Q
uchun (9) munosabat bajarilsa, x *
- (1) masalada global optimal reja
bo’ladi.
Bu teorema 2-teoremadan natija sifatida kelib chiqadi.
Љ uyida uning mustaqil isbotini keltiramiz.
2-l e m m a. Faraz qilaylik, Q{x  R n
: a
j  x
j  b
j , j=
n,1 } bo’lsin, bu
yerda
-  a
j  b
j  +  , j=
n,1 . U vaqtda (9) shart quyidagiga ekvivalentdir:

x
) x(f *

= n,1 j
, b x агар 0,
, a x агар 0,
, b x a агар ,0
j *j
j *j
j *j j






  
  
   .
1-misol. 2x
1 2
+x
1 x
2 +x 2
2  min, -1  x
1  1, x
2  2(10)
5-teoremaning birinchi tasdi ђ i va 2-lemmaga asosan (10) masalaning
har bir x=(x
1 ,x
2 ) yechimi quydagi ikki shartni qanoatlantiradi:
1x
f


=4x
1 +x
2 




 
 
  
,1 x агар 0,
,1 x агар 0,
,1 x 1- агарр ,0 *
11 1
(11)
1x
f


=x
1 +2x
2



 
 
.2 агарx,0
,2 агарx,0
2
2 (12)
(11), (12) munosatlardan oltita sistema tuzish mumkin. Masalan, bu
sistemalarning dastlabki ikkitasi
4x
1 +x
2 =0, -1<x
1 <1, x
1 +2x
2 =0, x
2 >2; (13)
4x
1 +x
2 =0, -1<x
1 <1 , x
1 +2x
2  0, x
2 =2 (14)
ko’rinishda bo’ladi.
Silvestr kriteriylarga asosan f(x)= 2x
1 2
+x
1 x
2 +x 2
2 uchun  2
f(x)/  x 2
>0
bajariladi. shuning uchun f(x) kuchli qavariq funksiyadir. Demak,
birinchidan lokal va global yechimlar ustma-ust tushadi; ikkinchidan
(10) masala yagona yechimga ega; uchinchidan faqat shu yechim (11),
(12) shartlarni qanoatlantiradi. Shunday qilib, yuqorida eslatilgan oltita
sistemani yechishga kirishmasdan ham ulardan faqat bittasi yagona
yechimga ekanlagani va shu yechim (10) masalaning optimal rejasi
bo’lishligini oldidan bilib olamiz.

Endi (13) sistemani qaraymiz. Ko’rinib turibdiki, u yechimga ega
emas. (14) sistema esa yagona x o
=(-1/2,2) yechimga ega. Ana shu
yechim (10) masalaning yagona optimal rejasi bo’ladi.
5-t eorema. x *
 Q rejaning (1) masalada optimal bo’lishi uchun
 f(x *
) (  =(0,…,0)  R n

munosabatning bajarilishi zarur va yetarlidir. Bu yerda  f(x *
)-f(x)
funksiyaning x *
nuqtadagi subdifferensiali.
I s b o t i. Zaruriyligi. x *
-(1) masalaning optimal rejasi bo’lsin. U
vaqtda
f(x)  f(x *
)=f(x *
)+(x-x *
) T
 ,  x  Q, ya’ni  f(x *
) .
Yetarliligi. Agar biror x *
 Q nuqtada  f(x *
) bo’lsa, ta’rifga ko’ra
f(x)  f(x *
)=f(x *
)+(x-x *
) T
 =f(x *
) ,  x  Q,
ya’ni x *
- (1) masalaning optimal rejasidir. 
2-misol . f(x)=  x  - a T
x  min, x  R n
masalaning barcha optimal
rejalarini topish talab qilinadi, bu yerda a  R n
ixtiyoriy vektor.
f(x) funkiya R n
da qavariq va uning x=  nuqtadagi
subdifferenisiali  f(  )=K
1 (  )-a ko’rinishda bo’ladi, bu yerda
K
1 (  )={x  R n
:  x  1}. Љ olgan nuqtaldarda f(x) funksiya
differenisiallanuvchi va
 f(x)/  x=x/  x  -a.  f(  )  a  K
1 (  )  a  1.
 f(x)/  x=0 tenglama faqat  a  =1 bo’lgandagina yechimga ega; bunda
har bir x *
=  a,  >0 nuqta uning yechimidir. Shunday qilib,  a  <1
bo’lganda x *
=  - berilgan masalaning yagona yechimidir; agar  a  =1
bo’lsa, ixtiyoriy x *
=  a,  0 nuqta qaralayotgan masalaning optimal
rejasi bo’ladi; agar  a  >1 bo’lsa masala yechimga ega emas.

Umumiy minimallashtirish masalasi uchun optimallik shartlari Reja: 1. Umumiy minimallashtirish masalasi uchun optimallik shartlari 2. Yo’nalish bo’yicha hosilaga ega funksiyalar uchun optimallik shartlari Asosiy adabiyotlar 1. Р.Габасов, Ф.М.Кириллова. Оптималлаштириш усуллари. Т. Узбекистон, 1995. Qo’shimcha adabiyotlar 2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М. Наука, 1988. 3. Галеев Е.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М: Изд МГУ. 1989. 4. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.Наука.1998. 5. Сухарев А.Г., Тимохов А.Н., Фёдоров В.В. Курс методов оптимизации. М. Наука 1988 6. Исроилов И., Отакулов С. Вариацион хисоб ва оптималлаштириш усуллари. I -кисм. Самарканд. Сам ДУ нашри, 1999, II -кисм Самарканд, СамДУ нашри, 2001

1 Ushbu paragrafda chekli ulchamli umumiy minimallashtirish masalasi f(x) min, x Q, Q  R n (1) uchun bir qator optimallik shartlarini keltiramiz. I. Yo’nalishlar terminidagi optimallik sharti. 1-t a’rif. Q  R n , x * Q, h  R n , h  0 b o’ lsin. Agar shunday  0 >0 topilib, barcha  (0,  0 ) uchun x * +  h  Q munosabat bajarilsa , h ga Q t o’ plam uchun x nuqtada joyiz yo’nalish deyiladi (1-chizma). x  Q nuqtada joyiz yo’nalishlar to’plamini G(x * ,Q) deb belgilaymiz. 1-chizma 2-chizma Љ avariq to’plamning ixtiyoriy nuqtasida joyiz yo’nalishlar mavjud. Aniqroq qilib aytganda, agar Q-qavariq to’plam, x * Q bo’lsa ,  x  Q, x  x * uchun h=x-x * yo’nalish x * nuqtadagi joyiz yo’nalishdir (2-chizma). 2-t a’rif . f(x) funksiya x * R n nuqta atrofida aniqlangan va h  R n , h  0 bo’lsin. Agar shunday  0 >0 topilib, barcha  (0,  0 ) sonlar uchun f(x * +  h)<f(x * )(f(x * +  h>f(x * )) tengsizlik bajarilsa, h ga f(x) funksiyaning x* nyqtadagi kamayish (o’sish) yo’nalishi deyiladi. F(x) funksiyaning x * nuqtadagi kamayish yo’nalishlar to’plamini U(x * ,f)deb belgilaymiz. 1-misol . f(x)=x 31 +x 32 , x * =(0,0), h  =(1,1), h  (-1,-1) bo’lsin.

F(x* +  h  )=f(h  )=2 3 >0=f(x * ) ,  >0 F(x * +  h  )=f(h  )=-2 3 <0=f(x * ),  >0 . Demak, h  =(1,1)-x * nuqtada o’sish yo’nalishi , h  =(-1,-1) esa kamayish yo’nalishidir. Љ aralayotgan funksiya uchun x * (0,0) nuqtada o’sish yo’nalishi ham, kamayish yo’nalishi ham bo’lmagan vektorlar ham mavjud. Masalan, h * =(1,-1) yoki h * =(-1,1) shular jumlasidandir, chunki F(x * +  h * )=f(h * x * )=0=f(x * ),  >0 . 1-lemma. f(x) funksiya x * nuqtada h – yo’nalish bo’yicha hosilaga ega bo’lsin. Agar f '(x * ,h)<0 (2) bo’lsa, h  U(x * ,f) bo’ladi. Agar h  U(x * , f) bo’lsa, f ' (x * ,h)  0 (3) tengsizlik bajariladi. Isbot i. 1) Faraz qilaylikki, (2) shart bajarilsin. U vaqtda yo’nalish bo’yicha hosilaning ta’rifiga ko’ra, shunday  0 >0 son mavjudki, 0<  <  0 uchun  1 [f(x * +  h)- f(x * )]<0 tengsizlik bajariladi. Bu yerdan f(x * +  h)<f(x * ), 0<  <  b o’ lishi kelib chiqadi. Demak, h  U(x * ,f). 2) h  U(x * ,f) bo’lsin, ammo (3) bajarilmasin, ya’ni f ' (x * ,h)> 0 b o’ lsin. U vaqtda yuqoridagi kabi fikr yuritib , h ning f(x) funksiya uchun x * nuqtada o’sish yo’nalishi ekanligini olamiz. Bu qarama-qarshilik lemmani isbotlaydi.  Izoh. f'(x * ,h)=0 shartni qanoatlantiruvchi h  R n vektor f(x) funksiyaning x * nuqtadagi kamayish (yoki o’sish) yo’nalishi bo’lishi

ham, bo’lmasligi ham mumkin. Masalan, f(x)=-x21 -x 22 funksiya uchun har bir h  R n ,h  0, x * =(0,0) nuqtada kamayish yo’nalishi bo’ladi, ammo f ' (x * ,h)=0 , f(x)=x 31 +x 32 funksiya uchun esa h=(1,-1) va h=(-1,1) vektorlar o’sish yo’nalishi ham, kamayish yo’nalishi ham emas (avvalgi misolga qarang), ammo f ' (x * ,h)=0 . Differensiallanuvchi funksiyalar uchun f ' (x * ,h)= x )x(f h * т  ekanligini hisobga olib, isbotlangan lemmadan quyidagi natijaga ega bo’lamiz. Nat ija. f(x) funksiya x * nuqtada differensiallanuvchi bo’lsin. Agar h  R n vektor x x f hт   ) ( * <0 shartni qanoatlantirsa, h  U(x * ,f) bo’ladi. Agar h  U(x * ,f) bo’lsa, x )x(f h * т   0 tengsizlik bajariladi. 1-t eorema . x * Q nuqtaning (1) masalada lokal optimal reja bo’lishi uchun U(x * ,f)  G(x * ,Q)=  (4) munosabatning bajarilishi zarur , Q – qavariq , f(x)-Q da qavariq funksiya bo’lganda esa, (4) munosabatning bajarilishi x * Q nuqtaning (1) masalada global optimal reja bo’lishi uchun yetarlidir. Isbot i. Zaruriy ligi. x * Q lokal optimal rejada (4) munosabat bajarilmasin deb faraz qilamiz. U holda shunday h  R n vektor mavjudki, yetarlicha kichik  >0 sonlar uchun x * +  h  Q va f(x * +  h)<f(x * ) bo’ladi. Bu esa x * ning lokal optimal reja ekanligiga qarama-qarshidir. Y et arliligi. Qavariq Q to’plamda qavariq f(x) funksiya uchun (4) munosabat bajarilsin. Q qavariq to’plam bo’lganligi uchun ixtiyoriy x  Q

uchun h=x-x* G(x * ,Q) bo’ladi. f(x) funksiya qavariq bo’lganligidan, ixtiyoriy  [0,1] uchun F(x * +  h)=f(  x+(1-  )x * )   f(x)+ (1-  )f(x * ) (5) munosabat o’rinlidir. (4) ga ko’ra, yetarlicha kichik  >0 sonlar uchun f(x * )  f(x * +  h) o’rinlidir. Natijada, (5) dan 0  f(x * )-f(x * +  h) yoki f(x * )  f(x) munosabatga ega bo’lamiz. Bu esa x * ning (1) masalada global optimal plan ekanligini ko’rsatadi.  2. Y o’nalish bo’y icha hosilaga ega funk siy alar uchun opt imallik shart lari. 2-t eorema . Agar x * - (1) masalaning lokal optimal rejasi bo’lib, f(x) funksiya h  G(x * ,Q) yo’nalish bo’yicha hosilaga ega bo’lsa, f '(x * ,Q)  0 (6) bo’ladi. Agar f(x) qavariq Q to’plamda qavariq funksiya bo’lib, har bir h  G(x * ,Q) uchun (6) tengsizlik bajarilsa , x * - (1) masalaning global optimal rejasi bo’ladi. Isboti. 1) x * – (1) masalaning lokal optimal rejasi bo’lsin, ammo biror h  G(x * ,Q) uchun (6) tengsizlik bajarilmasin, ya’ni f '(x * ,h)>0 bo’lsin deb faraz qilamiz. U vaqtda, 1-lemmaga asosan, h  U(x * ,f). Natijada h  U(x * ,f)  G(x * ,Q)  . Bu esa 1-teoremaga ziddir. 2) f(x) qavariq Q to’plamda qavariq funksiya bo’lsin. Agar ixtiyoriy h  G(x * ,Q) uchun (6) tengsizlik bajarilganda x * - global optimal plan bo’lmaydi, ya’ni f( x )<f(x * ) sharti qanoatlantiruvchi x  Q reja mavjud deb faraz qilsak, xh  -x *  G(x * ,Q) uchun (6) ga zid bo’lgan quyidagi munosabatni olamiz:

O'xshashlar

Variatsion hisobning asosiy masalasi (ikkinchi variatsiyani tekshirish, ekstremumning yetarli shartlari).

Terminal boshqarish masalasi uchun maksimum prinsipi.

Chiziqli bo”lmagan programmalashtirishning umumiy masalasi

RYUKZAK MASALASI

Chiziqli programmalashtirish masalasi