Chiziqli bo”lmagan programmalashtirishning umumiy masalasi Reja : 1. Lagranj ko’paytuvchilari qoidasi. 2. Optimallikning ikkinchisi tartibli zaruriy va yetarli shartlari. Asosiy adabiyotlar 1. Р.Габасов, Ф.М.Кириллова. Оптималлаштириш усуллари. Т. Узбекистон, 1995. Qo’shimcha adabiyotlar 2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М. Наука, 1988. 3. Галеев Е.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М: Изд МГУ. 1989. 4. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.Наука.1998. 5. Сухарев А.Г., Тимохов А.Н., Фёдоров В.В. Курс методов оптимизации. М. Наука 1988 6. Исроилов И., Отакулов С. Вариацион хисоб ва оптималлаштириш усуллари. I -кисм. Самарканд. Сам ДУ нашри, 1999, II -кисм Самарканд, СамДУ нашри, 2001 D

1. Lagranj k o’pay t uv chilari qoidasi. Chiziqli bo’lmagan programmalashtirishning umumiy masalasini, ya’ni quyidagi f(x) min(max), g i (x)  0, k,11  , g i (x)=0, m,1k1  , x  P, P  R n (1) ekstremal masalani qaraymiz. Xususiy holda, k=0, P=R n bo’lganda (1) masaladan avvalgi paragrafda o’rganilgan klassik shartli ekstremum masalasiga ega bo’lamiz. (I) masala uchun optimallikning zaruriy va yetarli shartlarini bayon qilishda klassik (regulyar) Lagranj funksiyasi F(x,  )=f(x)+  m i ii x g 1 ) (  ,  =(  1 ,  2 , …,  m ), va umumlashgan Lagranj funksiyasi F~ (x, ~ )=  o f(x)+  m 1i ii )x( g  , ~ =(  o ,  1 , …,  m ), ishlatiladi. 1-ta’rif. Agar (1) masalaning tengsizlik ko’rinishidagi i -bog’lanishi x * nuqtada g i (x * )=0 (g i (x * )<0) bo’lib bajarilsa, bu bog’lanish x * nuqtada aktiv (passiv) deyiladi. x * nuqtada aktiv bog’lanishlar indekslari to’plamini I a (x * ) deb belgilaymiz. 1-t eorema . Faraz qilaylik, (1) masalada P – qavariq to’plam, f(x), g 1 (x),…, g k (x) funksiyalar x *  Q nuqtada differensiallanuvchi, g k+1 (x), …,g m (x) funksiyalar x * nuqtaning biror atrofida uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsin. Agar x * - (1) masalaning lokal optimal rejasi bo’lsa, shunday ~ * =(  * o ,  * 1 , …,  * m ) topiladiki, quyidagi munosabatlar bajariladi: a )  o *  0,  i *  0 (  i *  0), i= k,1 (3)

b ) (x-x * ) T  0 x ~, x F~ * *     (  0)  x  P (4) c )  i * g i (x * ) = 0 (5) Isboti. Bu yerda va bundan keyingi teoremalarda isbotni minimum uchun keltiramiz. Maksimum uchun mos natijaga ega bo’lish uchun f(x)  max, x  Q masalani f(x)  min, x  Q masalaga keltirish kifoya. Teoremani tenglik ko’rinishdagi cheklashlar chiziqli (ya’ni, (g k+1 (x), …,g m (x)) chiziqli funksiyalar) bo’lgan holda isbotlash bilan cheklanamiz. Uning umumiy holdagi isboti bilan adabiyotlardan, masalan , [11] da tanishish mumkin. Quyidagi (x-x * ) T   0 x xf *    (6) (x-x * ) T   0 x x g * i    i  I a (x * ) (7) (x-x * ) T   0 x x g * i    , i=k+1, … , m (8) sistemani qaraymiz, bu yerda x * - (1) masalaning lokal optimal rejasi. (6)-(8) sistema x  P yechimga ega emas. Teskarisidan faraz qilamiz, ya’ni bu sistema x o  P yechimga ega bo’lsin. h o =x o -x * deb olamiz. 10-§ dagi 1-lemmaning natijasiga ko’ra (6), (7) tengsizliklardan h o  U(x * , f) va h o  U(x * ,g i ), i  I a (x * ) kelib chiqadi, ya’ni yetarlicha kichik  >0 sonlar uchun g i (x * +  h o )< g i (x * )=0, i  I a (x * ) munosabat bajariladi. ixtiyoriy i  {1,2,…,k}\I a (x * ) uchun g i (x * )<0 bajariladi. shuning uchun g i (x) funksiyalarning uzluksiligiga asosan modul bo’yicha yetarlicha kichik  larda g i (x * +  h o )<0, i  {1,2,…,k}\I a (x * ) bo’ladi. g i (x), i= m,1 k funksiyalar

chiziqli bo’lgani uchun g i (x * +  h o )=g i (x * )+  h oT   0 x x g * i    ,  R 1 munosabatga ega bo’lamiz. Bu yerdan (8) ni hisobga olib, g i (x * +  h o )=g i (x * )=0,  R 1 munosabatga ega bo’lamiz. Nihoyat, R- qavariq to’plam bo’lgani uchun, barcha  [0,1] larda x * +  h o =  x o +(1-  )x *  P bo’ladi. Shunday qilib, yetarlicha kichik  >0 sonlarda x * +  h o  Q , ya’ni h o  G(x * ,Q). Yuqorida h o  U(x * ,f) ekanligi ham ko’rsatilgan edi. Demak, h o  G(x * ,Q)  U(x * ,f). Bu esa, 13-ma’ruzadagi 1-teoremaga qarama-qarshidir. Demak, olingan qarama-qarshilik,(6)-(8) sistemaning x  P yechimga ega emasligini ko’rsatadi. Endi qavariq analizdagi Fan teoremasiga ko’ra, bir vaqtda nolga teng bo’lmagan shunday  o * ,  i * , i  I a (x * ), i = m,1 k sonlar topiladiki,  o *  0,  i *  0, i  I a (x * ), (x-x * ) T     0 x ) x( g x xf m,...,1k )x(Ii * i *i * *o a                  ,  x  P (9) munosabatlar bajariladi. i  {1,2,…,k}\I a (x * ) uchun  o * =0 deb olib, (5) shartlarga va umumlashgan Lagranj funksiyasining ko’rinishini hisobga olib, (9) dan (4) ga ega bo’lamiz.  I z o h l a r. a) x *  intP bo’lganda (4) shart   0 x ~, x F~ * *        0 x ~, x F~ i * *     i= m,1 (10) shartga ekvivalentdir: b ) agar P={x  R n : a j  x j  b j , j= m,1 }, -  <a j <b j <+  , bo’lsa , (4) shart quyidagiga ekvivalentdir:

                  . b x агар ,0 , a x агар ,0 , b x a агар ,0 x ~, x F~ j *j j *j j j j * *1- teoremadagi *m *1 *о ,..., ,    sonlarga x * optimal rejaga mos keluvchi Langraj ko’paytuvchilari deyiladi. Shuni ta’kidlash lozimki, Langraj ko’paytuvchilari musbat ko’paytuvchi anio’ligida topiladi, ya’ni agar ~ * =( *m *1 *о ,..., ,    ) (3)-(5) shartlarni qanoatlantirsa, ixtiyoriy  >0 uchun  ~ * ham shu shartlarni qanoatlantiradi. Ќ ususiy holda, agar *0 >0 bo’lsa, *0 1    debolib, x * lokal optimal planga *0 =1 ko’rinishda Langraj ko’paytuvchisi mos kelishini ko’ramiz. 2-ta’rif. Agar (I) masalaning x * optimal rejasiga faqat *0 >0 Langraj ko’paytuvchisi mos kelsa, (I)masala regulyar deyiladi. 1-l e m m a . x *  intP -(I) masalaning lokal optimal rejasi bo’lsin. u vaqtda (1) masalaning regulyar bo’lish uchun   x x g * i   , i  S(x * )=I o (x * )  {k+1,…,m} (11) vektorlarning chiziqli bog’lanmagan bo’lishi zarur va yetarlidir. Isboti. x *  intP bo’lganda (4) shartning   0 x ~, x F~ * *     shartga aylanish yuqorida aytib o’tildi. Bu yerdan, Langraj funksiyasini ko’rinishini va (5) ni hisobga olib,